高等数学同步练习题

高等数学同步练习题 第一部分 函数 1.求下列函数的定义域： (1)1)1ln(12xxy；

(2) ][1axy. 2.讨论下列哪些函数相同： (1) xln2与2lnx； (2) 2x与x； (3) x与xxsgn. 3.讨论下列函数奇偶性：

(1) )1ln(2xxy； (2) xexy2；

4. (1) 设52)2(2xxxf，求)2(xf； (2) 设xefx)1(，求)(xf； (3)设221)1(xxxxf，求)(xf.

5.设111011)(xxxxf，xexg)(，求)]([xgf和)]([xfg并作出这两个函数的图形。 第二部分 一元微分学 一、求导数 1. 若函数)(xf在a可导，计算

(1)ahafhfah)()(lim; (2)hhafafh)()(lim0; (3)hafhafh)()2(lim0; (4)hhafhafh2)()2(lim0. 2. 求导数: (1) xy; (2) 53xxy. (3) xy1 (4) 531xxy 3. 求下列曲线在指定点的切线及法线方程 (1) )1,1(1在点xy处; (2) )21,3(cos在点xy处.

(3) 求2xy在点)0,1(处的切线 4. 若函数)(xf在a处可导，计算)]()1([limafnafnn.

5. 如果)(xf为偶函数，且)(xf存在，证明0)0(f. 6. 计算函数0001)(1xxexxfx 在点x=0的左右导数.

7. 计算函数cxbaxcxxxf2)(在c的右导数，当a、b取何值时，函数)(xf在c处不 连续、连续及可导？ 8. 已知)(,00sin)(xfxxxxxf求. 9. 求下列函数的导数: (1) 6324xxy; (2) 5123xxy; (3) xxxy133;

(4) )21)(1(23xxy; (5) 221xxy; (6) xxxycossin; (7) xxyln; (8) xxxycottan; (9) xxy4; (10) xexy2; (11) xxyarcsin; (12) xxyarctan; (13) xxxxysinsin; (14) xxyarccos2; (15) xxyln;

(16) 11xxy; (17) 143522xxxy. 10. 求下列函数的导数: (1) 22)32(xy; (2) 22axy; (3) xxy11; (4) xxxy; (5) xxy3cossin2; (6) )tan(baxy; (7) xxy3cos2sin; (8) xy5cot2; (9) xysinln;

(10) xy2cosln; (11) xaxaxxy2222)ln(; (12) 54xey; (13) xaey; (14) 2)(arcsinxy; (15) )1arctan(2xy; (16) xxxy)1(; (17) xxxysin1ln;

(18) xxycos)(sin; (19) 211xy.

11. 设函数)(xf和)(xg可导，且0)()(22xgxf，试求函数)()(22xgxfy的导数. 12. 设)(),(xgxf可导，求下列函数y的导数dxdy

(1) )(2xfy (2) )(cos)(sin22xgxfy 13. 求下列各题的二阶导数:

(1) 21xxy; (2) teytsin; (3) 21arcsinxxy;

(4) 113xy; (5) )1ln(2xxy . 14. 设)(xf存在，求下列函数y的二阶导数22dxyd. (1) )(xefy; (2) )](ln[xfy. 15. 求下列函数的n阶导数的一般表达式: (1) )1(1xxy; (2) xxyln; (3) xy2sin. 16.求由下列方程所确定的隐函数y的导数xydd (1) )cos(yxy (2) yxey1 (3) 0xyyx 17.求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数22ddxy (1) 122yxyx ; (2); 22lnarctanyxxy (3); )tan(yxy. 18.已知yxxybae 证明 0)(2)ln(2yyay.

19.求由下列参数方程所确定的函数y的导数

(1) 2)1(11ttytx ; (2) tbytax33sincos.

20.求由下列参数方程所确定的函数y的二阶导数22ddxy (1) 23)1ln(ttyttx; (2) 存在且不等于零设)()()()(tftftftytfx 21.求下列函数的微分dy (1) xxysin2 (2) xxxyln (3) xytanln (4) 21arcsinxy 22． 计算下列函数)(xyy的导数.dxdy： ⑴ xdtty02;)1cos( ⑵ 20;)1ln(xdtty ⑶ 1;xtdttey ⑷ xxtdteycossin;2 ⑸ ttuduyduux00sin)cos1(; ⑹ 402cossin2tyduuxt;

⑺ .0cos00xyyttdtdte 二、求极限

1.计算下列各极限：

(1) 15lim3xxx； (2)；15865lim223xxxxx

(3)； hxhxh220)(lim (4)；)1113(lim31xxx (5)； 121lim22xxxx (6)；31lim2xxxx (7); 157134lim32xxxxx (8); xxx1sinlim20 (9); nknnk12lim (10); ))1(1321211(limnnn



2计算下列各极限： (1) 203050)3()12()52(limxxxx; (2) 11sin11lim22xxxxx;

(3) 134lim2xxx; (4) xxxx11lim0; (5) 1lim21tttt; 3.如果 51lim21xbaxxx，求a与b的值。 4 已知3221lim()21xaxbxxx，求a与b的值。 5.计算下列极限： (1) xaxxsinlim0； (2) xxx23tanlim0； (3) axaxaxsinsinlim； (4) 202cos1limxxx； (5)； nnnx2sin2lim (6)；x

xxsinlim

6.计算下列极限： (1) nnnn)1(lim； (2) xxx)21(lim；

(3) xxx20)31(lim； (4) nnnn)3212(lim；

(5)； xxx2sin120)(coslim (6) xxxsin20)31(lim 7利用极限存在准则，证明下列极限：

(1) 22222limnn;

(2) 1)12111(lim222

nnnnn

.

(3)设11112111,11,1nn

nxxx，x

xxx，证明：数列}{nx收敛，并求其极限

8当0x时，如果以x为基本无穷小，指出下列各无穷小的阶，且找出等价无穷小： (1) x2sin； (2) 42xx；

(3) 3cos1x； (4) 2211xx； (5) )1ln(2132x. 9.利用等价无穷小代换求极限： (1) xxx6tan3tanlim0； (2) 0,011limsin0aaeaxxx； (3) xeexxxcos1lim0； (4)；21)1(cos1limxxx (5)； xxxxxxtansincoslim0 (6)；11sin1lim20xxexx (7)； xxxln)1sin(lim1 10.下列函数在哪些点处间断；说明这些间断点的类型。若是可去间断点，则重新定义函数在该点的值，使之连续。 (1) 11)(2xxxf； (2) x

xxf||(；

(3) x

xxftan)(； (4) xxexf111)(；

(5)xxxxfnnn2211lim)( 11.设





001sin)(2xxaxxxxf，要使)(xf在,内连续，应当怎样选择数a？

12.确定ba,，使0101)(2xexbaxxxxfx 在),(内连续。

13.设函数







0)]ln([ln10)(2,0cos1sin)(2*xxxxx

xbNkkxxxaxxf，问ba,为何值时，

)(xf在它的定义域内的每点处连续。