陕西省八校联考2015届高三下学期联考(二)数学(文)试题(扫描版)
湖北省八校2015届高三第一次联考理科数学试卷(解析版)
湖北省八校2015届高三第一次联考理科数学试卷（解析版）一、选择题1．已知复数∈+=a ai z (21R ），i z 212-=，若21z z 为纯虚数，则=||1z （ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．5 【答案】D 【解析】由于()()()5422521221221ia a i ai i ai z z ++-=++=-+=为纯虚数，则1=a ，则=1z 5，故选择D.考点：复数的概念，复数的代数运算，复数的模 2．如图给出的是计算11112462014++++L 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）A ．2013≤iB ．2015≤iC ．2017≤iD ．2019≤i 【答案】B【解析】由程序知道，2,4,6,2014i =L 都应该满足条件，2016=i 不满足条件，故应该选择B.考点：算法，程序框图3．设224a x dx πππ-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则二项式6(展开式中含2x 项的系数是（ ） A ．192- B ．193 C ．6- D ．7【答案】A【解析】由于()22222222cos sin cos sin 24a x dx x x dx xdx xπππππππππ----⎛⎫=+=-=== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰则6(含2x 项的系数为192)1(2516-=-C ，故选择A.考点：定积分，二项式定理4．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）A ．314 B ．4 C ．310D ．3 【答案】B【解析】几何体如图，体积为：42213=⨯，故选择B考点：三视图，几何体的体积 5．“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既非充分条件也非必要条件 【答案】D【解析】5≠a 且5-≠b 推不出0≠+b a ，例如2,2-==b a 时0=+b a0≠+b a 推不出5≠a 且5-≠b ，例如6,5-==b a ，故“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的既不充分又不必要条件，故选择D 考点：充要条件6．已知实数等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论中一定成立的（ ） A ．若03>a ，则02013<a B ．若04>a ，则02014<a C ．若03>a ，则02013>SD ．若04>a ，则02014>S 【答案】C【解析】设11-=n n q a a ，因为02010>q 所以A ，B 不成立，对于C ，当03>a 时，01>a ，因为q -1与20131q -同号，所以02013>S ，选项C 正确，对于D ，取数列：－1，1，－1，1， ，不满足条件，D 错.故选C考点：等比数列的性质，前n 项和7．用)(A C 表示非空集合A 中的元素个数，定义⎩⎨⎧<-≥-=-)()(),()()()(),()(||B C A C A C B C B C A C B C A C B A ．若}2,1{=A ，}|32||{2a x x x B =-+=，且1||=-B A ，由a 的所有可能值构成的集合为S ，那么C （S ）等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】由于a x x =-+|32|2的根可能是2个，3个，4个，而|A －B|＝1，故a x x =-+|32|2只有3个根，故4=a ，1C(S)=∴，故选A. 考点：集合的性质8．已知x ， y ， ∈z R ，且522=+-z y x ，则222)3()1()5(++-++z y x 的最小值是（ ） A ．20 B ．25 C ．36 D ．47 【答案】C【解析】由于()()()()()()324)]3(21)2(5[)]221][(315[2222222=++--++≥+-+++-++z y x z y x 则()()()222315++-++z y x （当且仅当232115+=--=+z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=133z y x 时取等号）.故选C 考点：柯西不等式，最值9．已知抛物线的一条过焦点F 的弦PQ ，点R 在直线PQ 上，且满足)(21OQ OP OR +=，R 在抛物线准线上的射影为S ，设α，β是△PQS 中的两个锐角，则下列四个式子中一定正确的有（ ）①1tan tan =βα ②2sin sin ≤+βα ③1cos cos >+βα ④2tan|)tan(|βαβα+>-A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【解析】由于△PQS 是直角三角形，则2πβα=+，故①②③都对，当PQ 垂直对称轴时|tan()|0tan2αβαβ+-=<，故选C考点：抛物线性质，平面向量，三角函数性质10．设定义在D 上的函数)(x h y =在点))(,(00x h x P 处的切线方程为)(:x g y l =，当0x x ≠时，若0)()(0>--x x x g x h 在D 内恒成立，则称P 为函数)(x h y =的“类对称点”，则x x x x f ln 46)(2+-=的“类对称点”的横坐标是A ．1B ．2C ．eD ．3 【答案】B【解析】由于4()26f x x x '=+-，则在点P 处切线的斜率=切k 642)(000/-+=x x x f . 所以切线方程为()20000004()2664ln y g x x x x x x x x ⎛⎫==+--+-+ ⎪⎝⎭200004264ln 4x x x x x ⎛⎫=+--+- ⎪⎝⎭()()()()()22000000464ln 2664ln x f x g x x x x x x x x x x x ϕ⎛⎫=-=-+-+----+ ⎪⎝⎭， 则0()0x ϕ=，)2)((2)21)((2)642(642)('000000x x x x x x x x x x x x x x --=--=-+--+=ϕ.当0x <()x ϕ在002,x x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()()0.x x ϕϕ<= 从而有002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0)(0<-x x x ϕ；当0x >()x ϕ在002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当002,x x x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()()0.x x ϕϕ>= 从而有002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()00x x x ϕ<-；所以在(2,)+∞上不存在“类对称点”. 当0x =(22()x x xϕ'=-，所以()x ϕ在(0,)+∞上是增函数，故0()0.x x x ϕ>-所以x =是一个类对称点的横坐标. （可以利用二阶导函数为0，求出24()20f x x''=-=，则2=x ）故选择B考点：函数性质，新定义问题 二、填空题11．随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是____． 【答案】241π-【解析】分别以三角形的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则在三角形内部且在三圆外部的区域即为与三角形三个顶点距离不小于1的部分，即241462112112ππ-=⨯⨯⨯⨯-=P 考点：几何概型12．已知直线)0(:>+=n n my x l 过点)5,35(A ，若可行域⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+≤003y y x n my x 的外接圆直径为20，则n ＝_____． 【答案】310【解析】如图，∠AOB ＝30°，要使得外接圆直径为20，根据正弦定理，有020sin 30AB=，即AB ＝10，而)5,35(A ，B 点在x 轴上，由可行域可知，B （n ，0）于是由|AB|＝10推出()10025352=+-n ，则=n 310（n ＝0舍去） 考点：简单线性规划，正弦定理13．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<++-≤≤=31,3210,2)(2x x x x x x f ，将f （x ）的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，则所得旋转体的体积为________． 【答案】203π 【解析】将)(x f 的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，所得旋转体为一个圆锥和一个半个球的组合体，其中球的半径为2，棱锥的底面半径为2，高为1， 所以所得旋转体的体积为23114202123233πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 考点：函数图象，旋转体体积14．以（0， m ）间的整数∈>m m ,1(N ）为分子，以m 为分母组成分数集合A 1，其所有元素和为a 1；以),0(2m 间的整数∈>m m ,1(N ）为分子，以2m 为分母组成不属于集合A 1的分数集合A 2，其所有元素和为a 2； ，依次类推以),0(n m 间的整数∈>m m ,1(N ）为分子，以n m 为分母组成不属于A 1，A 2， ，1-n A 的分数集合A n ，其所有元素和为a n ；则12n a a a +++=L ＝________．【答案】12n m -【解析】由题意1a ＝1m ＋2m＋ ＋1m m -2a ＝21m ＋22m ＋ ＋21m m -＋21m m +＋ ＋221m m -＋221m m +＋ ＋21m m- ＝21m ＋22m ＋ ＋21m m -－（1m ＋2m ＋ ＋1m m -） ＝21m ＋22m ＋ ＋21m m -－a 1 a 3＝31m ＋32m ＋ ＋331m m -－a 2－a 1a n ＝1n m ＋2n m ＋ ＋1n nm m-－a n －1 －a 2－a 1所以12n a a a ⋅⋅⋅+++＝1n m ＋2n m ＋ ＋1n nm m -＝1n m ·[1＋2＋ ＋（m n－1）]＝12n m - 考点：整数性质，集合，求和15．（选修4－1：几何证明选讲）如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上的一点，过C 的直线交直线AB 于E ，交过A 点的切线于D ，BC ∥OD .若AD ＝AB ＝ 2，则EB ＝_________．【答案】23【解析】连接OC ，则COD BCO CBO DOA ∠=∠=∠=∠， 于是COD AOD ∆≅∆，则CD OC ⊥，则CD 是半圆O 的切线 设x EB =，由BC ∥OD 得BOEBCD EC =， 则x EC 2=，所以()()222+⋅=x x x ，有32=x 考点：平面几何，全等三角形，圆的切线 16．（选修4－4：坐标系与参数方程）在极坐标系内，已知曲线C 1的方程为04)sin 2(cos 22=+--θθρρ，以极点为原点，极轴方向为x 正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧+=-=t y t x 3185415（t 为参数）．设点P 为曲线C 2上的动点，过点P 作曲线C 1的两条切线，则这两条切线所成角余弦的最小值是_______． 【答案】87【解析】曲线1C 的一般方程为044222=++-+y x y x 即()()12122=++-y x ，圆心为()2,1-，半径为1.曲线2C 的一般方程为01543=-+y x 点()2,1-到直线的距离是：451583=--=d ，则这两条切线所成角余弦的最小值是8741212=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-.考点：极坐标，参数方程三、解答题17．（本小题满分12分）已知△ABC 的三内角A ， B ， C 所对边的长依次为a ，b ，c ，若43c o s =A ，81cos =C ． （1）求c b a ::；（2）若46||=+BC AC ，求△ABC 的面积．【答案】（1）456；（2）4【解析】 试题分析：（1）由已知求出sinA 和sinC ，进而求出sinB ，再由正弦定理可得三边的比值；（2）根据（1），可设出三边的长，由46||=+BC AC 即可求出三边长，又知道夹角正弦值，可以求出三角形面积.试题解析：（1）依题设：sinA ，sinC＝，故cosB ＝cos[π－（A ＋C ）]＝－cos （A ＋C ）＝－（cosAcosC －sinAsinC ）＝－（332－2132）＝916.则sinB所以==C B A c b a sin :sin :sin ::456 6分（2）由（1）知：==C B A c b a sin :sin :sin ::456，不妨设：a ＝4k ，b ＝5k ，c ＝6k ，k ＞0.故知：|AC |＝b ＝5k ，|BC |＝a ＝4k. 依题设知：|AC |2＋|BC |2＋2|AC ||BC |cosC ＝46 ⇒ 46k 2＝46，又k ＞0⇒k ＝1.故△ABC 的三条边长依次为：a ＝4，b ＝5，c ＝6.△ABC 的面积是47158735421=⨯⨯⨯ 12分考点：同角三角函数关系式，正弦定理，三角形面积18．（本小题满分12分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组组成.设随机变量ξ表示密码中所含不同数字的个数. （1）求)2(=ξP ；（2）求随机变量ξ的分布列和它的数学期望． 【答案】（1）18；（2）10132. 【解析】 试题分析：（1）先确定ξ＝2时，只能取1和2，然后分别找出所有的可能性和满足条件的情况数，即得概率；（2）仿（1），分别找出所有可能情况，再注意计算ξ＝2，3，4的概率，分布列和期望得解. 试题解析：（1）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码. 3321(2).48P ξ∴===4分（2）由题意可知，ξ的取值为2，3，4三种情形.若3ξ=，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4.2123332(221)19(3).324A C P ξ++∴=== 若12223232394,(4)432A A A A P ξξ+====则（或用)3()2(1=-=-ξξP P 求得）. 8分ξ∴的分布列为：.32101329432193812=⨯+⨯+⨯=∴ξE 12分考点：古典概型，概率分布列，期望19．（本小题满分12分）如图1，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，︒=∠60A ，︒=∠90C ，2=CD ，把△ABD 沿BD 折起，使二面角C BD A --为直二面角（如图2）．（1）求AD 与平面ABC 所成的角的余弦值； （2）求二面角D AC B --的大小的正弦值．【答案】（1）772；（2）734.【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，利用直线和平面法向量，直线与平面所成角和二面角都不难求得.试题解析：如图2所示，以BD 的中点O 为原点，OC 所在的直线为x 轴，OD 所在的直线为y 轴，OA 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()0,2,0D ()0,2,0-B()0,0,2C ()6,0,0A（1）设面ABC 的法向量为(),,n x y z =⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0BC n AB n 取1=z有()13,n =()6,2,0-=AD ， 721-= AD ∴与面ABC 所成角的余弦值是772. 6分 （2）同理求得面ACD的法向量为()13,n=，则71=则二面角D AC B --的正弦值为734. 12分 考点：空间几何体，空间直角坐标系，直线与平面所成角，二面角20．（本小题满分12分）已知等比数列{a n }的公比1>q ，前n 项和为S n ，S 3＝7，且31+a ，23a ，43+a 成等差数列，数列{b n }的前n 项和为T n ，2)13(6++=n n b n T ，其中∈n N *． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n }的通项公式；图2BDADC B A 图1（3）设1210{,,}A a a a =L ，1240{,,}B b b b =L ，C A B =U ，求集合C 中所有元素之和．【答案】（1）12-=n n a ；（2）32n b n =-；（3）3318.【解析】试题分析：（1）设a n ＝a 1q n －1，利用已知条件，可求得a 1和q ，从而得到{a n }的通项公式；（2）将2)13(6++=n n b n T 变更序号作差，可得b n ＋1与b n 的关系，再迭代（或叠乘）可得{b n }的通项公式；（3）分别求出两个集合中元素之和，再减去公共元素之和即可.试题解析：（1）∵73=S ，∴7321=++a a a ①∵31+a ，23a ，43+a 成等差数列，∴231643a a a =+++ ② 2分②－①得，22=a 即21=q a ③又由①得，5211=+q a a ④消去1a 得，02522=+-q q ，解得2=q 或21=q （舍去） ∴12-=n n a 4分（2）当∈n N *时，2)13(6++=n n b n T ，当2≥n 时，2)23(611+-=--n n b n T ∴当2≥n 时，1)23()13(6---+=n n n b n b n b ，即53231--=-n n b b n n 6分 ∴1412=b b ，4723=b b ，71034=b b ， ，53231--=-n n b b n n ∴324123147103214735n n b b b b n b b b b n --⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯-L L ，即231-=n b b n ∵11=b ，∴)2(23≥-=n n b n ，故∈-=n n b n (23N *） 8分（3）1023122121101010=-=--=S ，23808024140340=-⨯⨯=T 10分 ∵A 与B 的公共元素有1，4，16，64，其和为85，∴集合C 中所有元素之和33188510232380851040=-+=-+=T S 12分 考点：等差数列，等比数列，递推数列，数列求和，容斥原理.21．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，23=+CD AB ．（1）求椭圆的方程；（2）求由A ，B ，C ，D 四点构成的四边形的面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,916四边形S . 【解析】试题分析：（1）利用已知离心率和直线AB 斜率为0时，23=+CD AB ，可求得a ，b ，c 的值，从而得到椭圆标准方程；（2）因为AB ⊥CD ，故1||||2S AB CD =⋅⋅四边形，将AB 和CD 所在直线方程分别与椭圆方程联立，用斜率表示出|AB|和|CD|，然后利用函数思想，结合均值不等式可求得S 的范围.试题解析：（1）由题意知，c e a =，则c b c a ==,2，且AB 斜率为0时，2||||22b AB CD a a+=+== 所以1c =．所以椭圆的方程为2212x y +=． 4分 （2）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在， 由题意知22222121=⨯⨯=⋅=CD AB S 四边形； 5分 ②当两弦斜率均存在且不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，且设直线AB 的方程为(1)y k x =-，则直线CD 的方程为1(1)y x k=--． 将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得2222(12)4220k x k x k +-+-=，所以)21221|||12k AB x x k +=-==+． 8分同理，2212(1)||21k CD k+==+ 9分所以2242114(1)||||22225k S AB CD k k +=⋅⋅==++四边形 ()()()2221422112121k k k k +==-++++，22121219k k ⎛⎛⎫++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝Q 当且仅当1±=k 时取等号 11分 ∴)2,916[∈四边形S 综合①与②可知，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,916四边形S 13分 考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，弦长公式，基本不等式. 22．（本小题满分14分）已知0>t ，设函数132)1(3)(23+++-=tx x t x x f ． （1）若)(x f 在（0， 2）上无极值，求t 的值；（2）若存在)2,0(0∈x ，使得)(0x f 是)(x f 在[0， 2]上的最大值，求t 的取值范围；（3）若e m xe x f x (2)(+-≤为自然对数的底数）对任意),0[+∞∈x 恒成立时m 的最大值为1，求t 的取值范围．【答案】（1）t ＝1；（2）5[,)3+∞；（3）⎥⎦⎤ ⎝⎛31,0. 【解析】试题分析：（1）因为f '（x ）＝（x －1）（x －t ），要使得)(x f 在（0， 2）上无极值，只有t ＝1时，有f '（x ）≥0恒成立；（2）由（1）知t ＝1时，不满足条件，t ≠1时，因为x ＝1必定是极值点，对t 的范围分类探究，找出使得f （1）或f （t ）（t ∈（0，2）时）为最大值的t 的范围；（3）分离参数m ，找出使得不等式恒成立的m 的范围（与t 相关），注意m 的最大值为1，由此求出t 的取值范围.试题解析：（1）∵2()33(1)33(1)()f x x t x t x x t '=-++=--，又()f x 在（0， 2）无极值 1t ∴= 3分（2）①当01t <<时，()f x 在(0,)t 单调递增，在(,1)t 单调递减，在(1,2)单调递增， ∴()(2)f t f ≥由()(2)f t f ≥得：3234t t -+≥在01t <<时无解②当1t =时，不合题意；③当12t <<时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)t 单调递减，在(,2)t 单调递增，(1)(2)12f f t ≥⎧∴⎨<<⎩即1332212t t ⎧+≥⎪⎨⎪<<⎩523t ∴≤< ④当2t ≥时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，满足条件 综上所述：),35[+∞∈t 时，存在)2,0(0∈x ，使得)(0x f 是)(x f 在[0，2]上的最大值. 8分 （3）若323(1)3122x t x x tx xe m +-++≤-+对任意[)0,x ∈+∞恒成立 即3223(1)3(1)313122x x t t m xe x x tx x e x x t ++⎛⎫≤-+-+=-+-+ ⎪⎝⎭对任意[)0,x ∈+∞恒成立 令()23(1)32x t g x e x x t +=-+-，[)0,x ∈+∞ 由于m 的最大值为1， 则()23(1)302x t g x e x x t +=-+-≥恒成立，否则存在()+∞∈,00x 使得()00g x < 则当0x x =，1=m 时，()2x f x xe m ≤-+不恒成立.由于()0310≥-=t g ，则310≤<t 10分 当310≤<t 时，()3(1)22x t g x e x +'=-+，则()2x g x e ''=-，若()20x g x e ''=-= 2ln =x 则()g x '在()2ln ,0上递减，在()+∞,2ln 上递增，则()()()02ln 212322ln min >-++=='t g x g ()x g ∴在[)+∞,0上是递增的函数()()0310≥-=≥∴t g x g ，满足条件∴t 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛31,0 14分 考点：利用导数研究函数性质，最值，范围，不等式恒成立问题，范围.。
陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考理科数学试题 Word版含解析
2020届高三年级数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合()(){}140A x x x =+-<，{}2B x x =>，则A B =（ ）．A. ()4,4-B.1,2C.()2,4D. (2,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】由集合A 的描述得到{}14A x x =-<<，利用交集运算即可得集合AB【详解】由()(){}140A x x x =+-<知：{}14A x x =-<<，而{}2B x x => ∴{|24}AB x x故选：C【点睛】本题考查了集合的基本运算，根据集合描述得到集合，利用集合的交集运算求交集，属于简单题2. 已知数列{}n a 满足120n n a a ++=且22a =，则{}n a 的前10项的和等于（ ）．A. 10123-B. 10123--C. 1021-D. 1012-【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到数列{}n a 表示首项为1-，公比为2-的等比数列，结合求和公式，即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 满足120n n a a ++=，即12n na a +=-， 又由22a =，即1220a +=，解得11a =-，所以数列{}n a 表示首项为1-，公比为2-的等比数列，所以1010101[1(2)]121(2)3S -⨯---==---，即{}n a 的前10项的和为10123--. 故选：B.【点睛】本题主要考查了等比数列的定义、通项公式，以及等比数列的前n 项和的应用，其中解答中熟记等比数列的求和公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.3. 已知i 为虚数单位，a R ∈，若复数(1)z a a i =+-的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，且5z z ⋅=，则z ＝（ ） A. 12i -+ B. 12i -- C. 2i - D. 23i -+【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =，据此可知12i z =-+或2i z =-，结合共轭复数的特征确定z 的值即可.【详解】由5z z ⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =， 所以12z i =-+或2z i =-，因为z 在复平面内对应的点位于第三象限，所以12z i =-+． 故选：A.【点睛】本题主要考查复数的运算，共轭复数的定义，以及复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4. 已知,m n直线，,αβ为平面，给出下列命题：①{//m n m nαα⊥⇒⊥ ②{//m m n n ββ⊥⇒⊥ ③{//m m ααββ⊥⇒⊥ ④{////m n m n αβαβ⊂⊂⇒ 其中的正确命题序号是 A. ③④ B. ②③C. ①②D.①②③④【解析】试题分析：①中,n α可能平行或直线在平面内；②由线面垂直的判定定理可知结论正确；③由面面平行的性质可知结论正确；④两直线,m n 平行或异面 考点：空间线面平行垂直的判定与性质5. 已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A. ()cos xf x ex =⋅B. ()ln cos f x x x =⋅C. ()cos x f x e x =+D. ()ln cos f x x x =+【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】对于A,B 两个选项，π02f ⎛⎫=⎪⎝⎭，不符合图像，排除A,B 选项.对于C 选项，()1cos11f e =+>，不符合图像，排除C 选项，故选D.【点睛】本小题主要考查根据函数图像选择相应的解析式，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.6. 设12,e e 是平面内两个不共线的向量，1212(1),2=-+=-AB a e e AC be e （a ＞0，b ＞0），若A ，B ，C 三点共线，则12a b+的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】B 【解析】根据,,A B C 三点共线，求得a 与b 关系，然后利用基本不等式求解. 【详解】因为0,0a b >>，若,,A B C 三点共线，设AB AC λ=， 即()1212(1)2a e e be e λ-+=-, 因为12,e e 是平面内两个不共线向量， 所以112a bλλ-=⎧⎨=-⎩，解得11,122a b λ=--=-， 即112a b +=， 则1212121122b a a b a b a b a b⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,2224≥+=+=， 当且仅当22b a a b=，即2b a =，即11,24a b ==时取等号，故最小值为4， 故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量共线定理的应用以及基本不等式的应用，属于中档题.7. 已知p ：1a =±，q ：函数()(ln f x x =为奇函数，则p 是q 成立的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】当p 成立，判断q 是否成立，再由q 成立时，判断p 是否成立，即可知p 是q 成立何种条件【详解】当1a =±时，()ln(ln(f x x x =+=，即有222()ln(1)ln()ln(1)1f x x x x x x x-=+-==-++++，故有()()f x f x -=-即()f x 为奇函数：p q ⇒ 当()()22ln f x x a x=++为奇函数时，有()()f x f x -=-，即2222ln()ln()a x x a x x +-=-++(0)a ≠，2222222a x xa x x a a x x+-+-==++有1a =±：q p ⇒ ∴综上，知：p q ⇔ 故选：C【点睛】本题考查了充要条件，由定义法判断两个结论间是否为充要条件，属于简单题 8. 已知圆222 (0)x y r r +=>与抛物线22y x =交于,A B 两点，与抛物线的准线交于,C D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则r 等于 ( ) A.2B. 2C.5 D. 5【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，由四边形ABCD 是矩形可得点,A D 的纵坐标相等．根据题意求出点,A D 的纵坐标后得到关于r 方程，解方程可得所求．【详解】由题意可得，抛物线的准线方程为12x =-．画出图形如图所示．在222(0)x y r r +=>中，当12x =-时，则有2214y r =-．①由22y x =得22y x =，代入222x y r +=消去x 整理得422440y y r +-=．②结合题意可得点,A D 的纵坐标相等，故①②中的y 相等，由①②两式消去2y 得2222114(()0)444r r r -+--=，整理得42815016r r --=， 解得254r =或234r =-（舍去），∴2r =． 故选C ．【点睛】解答本题的关键是画出图形并根据图形得到AD 与x 轴平行，进而得到两点的纵坐标相等．另外，将几何问题转化代数问题求解也是解答本题的另一个关键．考查圆锥曲线知识的综合和分析问题解决问题的能力，属于中档题．9. 已知sinα、cosα是方程5x 2﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos （α+4π）＝（ ）A.10B. ﹣10D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理可得sin cos αα+=，2sin cos 5αα⋅=-，结合(0,)απ∈，可得cos sin 0αα-<，根据两角和的余弦公式可得cos()sin )4πααα+=-=.【详解】因为sinα、cosα是方程5x 2﹣2＝0的两个实根，所以sin cos αα+=，2sin cos 5αα⋅=-，因为(0,)απ∈，且sin cos 0αα⋅<，所以sin 0α>且cos 0α<， 所以cos sin 0αα-<，所以cos()cos cossin sin444πππααα+=-sin )2αα=-===2510=-=-. 故选：D.【点睛】本题考查了韦达定理，两角和的余弦公式，属于基础题.10. 对于函数f （x ）＝cos 2x sin x cos x ，x ∈R ，下列命题错误的是（ ） A. 函数f （x ）的最大值是32B. 不存在054,63ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭x 使得f （x 0）＝0 C. 函数f （x ）在[6π，2π]上单调递减 D. 函数f （x ）的图象关于点（512π，0）对称 【答案】D 【解析】 【分析】应用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质判断各选项．【详解】由已知1cos 21()2sin 2262x f x x x π+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， ()f x 的最大值是32，A 正确． 054,63ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，11172,666x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，1sin 262x π⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，()0f x =无解，B 正确；[,]62x ππ∈时，72626x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，()f x 递减，C 正确；5111sin 012222f ππ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，()f x 图象关于点51122π⎛⎫⎪⎝⎭，对称，D 错．故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题可利用三角函数恒等变换把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质求解．11. 已知2F ，1F 是双曲线22221(0,0)y xa b a b-=>>的上、下两个焦点，过1F 的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ，A ，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( )A. y =B. 2y x =±C. y =D.y x = 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义算出△12AF F 中，1||2AF a =，2||4AF a =，由2ABF ∆是等边三角形得12120F AF ∠=︒，利用余弦定理算出227c a =，结合双曲线渐近线方程即可的结论．【详解】根据双曲线的定义，可得12||||2BF BF a -=，2ABF ∆是等边三角形，即2||||BF AB =，由12||||2BF BF a -=，即11||||||2BF AB AF a -==， 又21||||2AF AF a -=， 21||||24AF AF a a ∴=+=，△12AF F 中，1||2AF a =，2||4AF a =，12120F AF ∠=︒，222121212||||||2||||cos120F F AF AF AF AF ∴=+-︒，即222214416224()282c a a a a a =+-⨯⨯⨯-=， 解得227c a =，则22266b c a a a =-==， 由此可得双曲线C 的渐近线方程为6bx y y a=±=±， 即66y x =±． 故选：D ．【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出a ，b 的关系是解决本题的关键．12. 已知函数2119,0(){1,0x x x f x xe x -+≤=+>，点,A B 是函数()f x 图象上不同 两点，则AOB ∠（O 为坐标原点）的取值范围是（ ） A. (0,)4πB. (0,]4πC. (0,)3πD. (0,]3π【答案】A 【解析】 【详解】 【分析】试题分析：当x≤0时，由219y x =+2291y x -=，（x≤0），此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为y=-3x ，此时渐近线的斜率1k =-3， 当x ＞0时，()11x f x xe-=+，当过原点的直线和f （x ）相切时，设切点为()1,1a a ae-+，函数的导数()()1111x x x f x e xe x e ---=+=+'，则切线斜率()()121a k f a a e -=+'=，则对应的切线方程为()()()1111a a y aea e x a ---+=+-，即()()()1111a a y a ex a ae --=+-++，当x=0，y=0时，()()()11110a a a ex a ae --+-++=，即21111a a a a e ae ae ---+=+，即211a a e -=，得a=1，此时切线斜率22k =， 则切线和y=-3x 的夹角为θ， 则32tan 1123θ--==-⨯，则4πθ=，故∠AOB （O 为坐标原点）的取值范围是(0,)4π第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（把答案填在答题卷中相应的横线上）13. 若实数x y ，满足不等式组35024020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，，，则z x y =+的最小值为______．【答案】-13 【解析】 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z ＝2x +y 对应的直线进行平移，可得当x ＝y ＝1时，z ＝2x +y 取得最小值．【详解】作出不等式组35024020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域：得到如图的阴影部分，由y 2350x y =-⎧⎨-+=⎩ 解得B （﹣11，﹣2）设z ＝F （x ，y ）＝x +y ，将直线l ：z ＝x +y 进行平移，当l 经过点B 时，目标函数z 达到最小值， ∴z 最小值＝F （﹣11，﹣2）＝﹣13． 故答案为﹣13【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．14. 从13、12、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m 、n ，则“log m n ＞0”的概率为_____． 【答案】715.【解析】 【分析】根据对数的性质、排列知识和古典概型的概率公式可得结果.【详解】因为log 0m n >等价于1m 且1n >，或01m <<且01n <<，从13、12、2、3、5、9中任取两个不同的数，共可得到2630A =个对数值， 其中对数值为正数的有222421214A A +=+=个，所以“log m n ＞0”的概率为1473015=. 故答案为：715. 【点睛】本题考查了对数的性质、排列知识和古典概型的概率公式，属于基础题.15. 已知点A 、B 、C 在球心为O 的球面上，若AB ＝AC ＝5，BC ＝6，球心O 到截面ABC 的距离为1，则该球的表面积为_____． 【答案】68916π【解析】 【分析】由正弦定理求出△ABC 外接圆半径后由勾股定理求得球半径，从而得球表面积． 【详解】△ABC 中∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，∴3cos 5B =，∴4sin 5B =，设△ABC 外接圆半径为r ， 则52524sin 45AC r B ===，258r =， 设球半径为R，则8R ==，表面积为2689689446416S R πππ==⨯=． 故答案：68916π． 【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是利用截面圆性质，截面圆圆心到球心连线与截面圆垂直．16. 在ABC ∆中，内角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，D 是AB 的中点，若1CD = 且1()sin ()(sin sin )2a b A c b C B -=+-，则ABC ∆面积的最大值是___【答案】5【解析】 【分析】由题意及正弦定理得到2222ab a b c +-=，于是可得1cos 4C =，sin C =然后在CDA ∆和CDB ∆中分别由余弦定理及CDA CDB π∠∠+=可得2222()4c a b =+-．在此基础上可得2242aba b ++=，再由基本不等式得到85ab ≤，于是可得三角形面积的最大值． 详解】如图，设CDA θ∠=，则CDB πθ∠=-,在CDA ∆和CDB ∆中，分别由余弦定理可得22221144cos ,cos()c c b a c cθπθ+-+-=-=，两式相加，整理得2222()02c a b +-+=，∴2222()4c a b =+-．① 由()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭及正弦定理得()()1c b 2a b a c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 整理得2222aba b c +-=，② 由余弦定理的推论可得2221cos 24a b c C ab +-==，所以15sin C =把①代入②整理得2242aba b ++=， 又222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立， 所以54222ab abab ≥+=，故得85ab ≤． 所以1181515sin 22545ABC ab C S ∆=≤⨯⨯=． 即ABC ∆15． 15． 【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：17. 已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：//AF平面PCE；（Ⅱ）若二面角P CD B--为45︒，2AD=，3CD=，求PD与平面PCE所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2317【解析】【分析】（1）G为CD的中点，由线面平行的判定即有//PC面AFG，//EC面AFG，又PC EC C⋂=，由面面平行判定即有面//PCE面AFG，由面面平行的性质即得证；（2）构建以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴构建空间直角坐标系，求面PCE的法向量与斜线方向向量的夹角余弦值，结合它与线面角的关系即可求得PD与平面PCE所成角的正弦值【详解】（1）若G为CD的中点，连接FG、AG，如下图示∵E 、F 分别是AB 、PD 的中点∴//FG PC ，且//AE GC ，AE GC =即AGCE 为平行四边形，有//AG EC 又由FGAG G =，PC ⊄面AFG ，EC ⊄面AFG∴//PC 面AFG ，//EC 面AFG ，又PC EC C ⋂=，即面//PCE 面AFG 由AF ⊂面AFG ，即有//AF 面PCE 得证（2）由四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，且二面角P CD B --为45︒，即有AP 、AB 、AD 两两垂直，且45PDA ∠=︒∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴构建空间直角坐标系由2AD =，3CD =，知：(3,2,0)C ，(0,2,0)D ，3(,0,0)2E ，(0,0,2)P∴(0,2,2)PD =-，(3,2,2)PC =-，3(,0,2)2PE =- 令(,,)m x y z =为面PCE 的一个法向量，则32203202x y z x z +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，若1x =有33(1,,)44m =- ∴317cos ,17PD m PD m PD m⋅==由平面法向量与斜线的方向量的夹角与线面角的关系，知：PD 与平面PCE 所成角的正弦值 【点睛】本题考查了由面面平行判定证面面平行，利用面面平行性质定理证明线面平行，通过构建空间直角坐标系，求平面法向量与斜线方向向量夹角的余弦值，根据其与线面角的关系求线面角的正弦值18. 已知{}n a 是各项都为正数的数列，其前n 项和为n S ，且11a =，2211n n S S +=+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()1nnnba -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）n a *(1,)n n N ≥∈；（2）(1)n T =-【解析】 【分析】（1）由递推式2211n n S S +=+可知2{}n S 为等差数列，可得2n S n =，再根据1n nn a S S -=-结合已知条件即可求{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得()1nn b =-，将n 分为偶数、奇数讨论得到{}n b 的前n 项和n T【详解】（1）由2211n n S S +=+，知：2211n n S S +-=，由11a =有211S =，即数列2{}n S 是首项、公差均为1的等差数列∴21(1)n S n n =+-=又由{}n a 是各项都为正数的数列，即=n S *(1,)n n N≥∈，而1n nn a S S -=-*(2,)n n ≥∈N∴=n a *(2,)n n ≥∈N ，又11a ==，满足上式，故1=--n a n n *(1,)n n N ≥∈ （2）由()()11(1)nnnnb n n a -==-+-，知：123...(10)(21)(32)...(1)(1)n n n T b b b b n n =++++=-+++-+++-+-∴当n 为偶数时，n T n =；当n 为奇数时，n T n =-， 所以(1)n n T n =-.【点睛】本题考查了数列，利用前n 项和的递推式求数列通项公式，根据新数列与已知数列的关系求新数列前n 项和，注意将n 分为奇偶数讨论19. 为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位:h ).根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示).（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数x 和样本方差2s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s . （i ）求(0.88.3)P Z <<；（ii ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间(0.8,8.3)的人数为ξ，试求()E ξ. 6.16 2.5≈，若Z ~()2,N μσ，()0.6827P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=.【答案】（Ⅰ）平均数5.85；样本方差6.16；（Ⅱ）（i ）0.8186；（ii ）4093. 【解析】【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图的小矩形的中间数据，代入平均数和样本方差公式即可得解； （Ⅱ）利用正态分布的图像与性质以及二项分布的期望，即可得解. 【详解】（Ⅰ）这100名学生每周平均锻炼时间的平均数为10.0530.250.370.2590.15110.05 5.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.2222222(1 5.8)0.05(3 5.8)0.2(5 5.8)0.3(7 5.8)0.25(9 5.8)0.15(11 5.8)0.05s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯6.16=.（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）知~(5.8,6.16)Z N ， 即()2~ 5.8,2.5Z N ，从而(0.88.3)(5.85 5.8 2.5)(2)P Z P Z P Z μσμσ<<=-<<+=-<<+1()[(22)()]0.81862P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ=-<<++-<<+--<<+=（ii ）由（i ）可知，~(5000,0.8186)B ξ， 故()50000.81864093E np ξ==⨯=.【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了正态分布和二项分布，考查了计算能力，属于较难题.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 过椭圆C 的焦点，且与x 轴垂直时，23AB =. （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在与x 轴不垂直的直线l ，使弦AB 的垂直平分线过椭圆C 的右焦点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2219x y +=；（2）不存在. 【解析】 【分析】（1）列a,b,c 的方程组即可求解；（2）设直线l 的斜率为k(k 0)<，直线FP 的斜率为k'，由点差法得kk'1==-，得0x =【详解】（1）由题意:点（c,13±）在椭圆上，故222222c a3c 11a 9bc a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩，∴2a 9=，2b 1=，∴椭圆C 的标准方程为：22x y 19+=；（2）（点差法）：设()11A x ,y ，()22B x ,y ，AB 的中点为()00P x ,y ，椭圆C的右焦点为()F ，直线l 的斜率为k(k 0)<，直线FP 的斜率为k'，则：22112222x 9y 9x 9y 9⎧+=⎨+=⎩，∴()()()()12121212x x x x 9y y y y 0-++-+=，∴()0121212120x y y x x k x x 9y y 9y -+==-=--+，k'=，∴kk'1==-，即：()0x 3,34=∉-，故不存在. 【点睛】本题考查椭圆方程，点差法应用，遇到“弦中点”问题，注意点差法的应用，是中档题21. 设函数()()()2ln 102xf x ax a x =+->+． （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x 、2x ，且()()120f x f x +>，求a 的取值范围． 【答案】（1）01a <<时，()f x在(0,上单调递减，)+∞上单调递增；1a ≥时，()f x 在(0,)+∞上的单调递增；（2）1(,1)2a ∈【解析】 【分析】（1）利用导函数24()1(2)a f x ax x '=-++，讨论在()0f x '<、()0f x '>时a 的取值范围及其对应的单调区间即可；（2）由()f x 存在两个极值点，即可得01a <<，同时可用a 表示出1x 、2x ，进而代入函数式得到()()2124(1)ln(21)21a f x f x a a -+=-+-，利用导函数研究其单调性，结合单调区间边界值即可确定a 的范围 【详解】（1）由题意，得24()1(2)a f x ax x '=-++ 当()0f x '<时，214(1)x a<-：01a <<时，()f x在0x <<1a ≥时，()f x 无递减区间当()0f x '>时，214(1)x a>-：01a <<时，()f x在x >1a ≥时，()f x 在(0,)+∞上的单调递增∴综上，有：01a <<时，()f x在(0,上单调递减，)+∞上单调递增；1a ≥时，()f x 在(0,)+∞上的单调递增（2）由（1），令()0f x '=有214(1)x a=-，()f x 存在两个极值点1x 、2x 即01a <<由题意知：120x x +=，21214(1)x x x a=-=-()()2121212121212124()ln[1()]2()4x x x x f x f x a x x a x x x x x x +++=+++-+++∴()()2124(1)ln(21)21a f x f x a a -+=-+-1()2a ≠令24(1)()ln(21)21a g a a a -=-+-， 即1(0,)2a ∈和1(,1)2a ∈时，28(1)()0(21)a g a a -'=<-，所以有()g a 在区间内分别单调递减∴1(0,)2a ∈时，有()(0)4g a g <=-，即()()124f x f x +<-1(,1)2a ∈时，有()(1)0g a g >=，即()()120f x f x +> ∴综上，知：1(,1)2a ∈时()f x 存在两个极值点1x 、2x ，且()()120f x f x +> 【点睛】本题考查了利用导函数研究函数的性质，讨论含参函数的单调区间，并根据已知极值点个数、函数不等关系求参数的范围（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．【选修4—4：坐标系与参数方程】22. 在直角坐标系xOy 中，已知圆C ：2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)，点P 在直线l ：40x y +-=上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足2OP OR OQ =⋅，求Q 点轨迹的极坐标方程．【答案】（1）2ρ=,4sin cos ρθθ=+；（2）812sin ρθ=+. 【解析】 试题分析：（1）圆2cos :(2x C y sin θθθ=⎧⎨=⎩为参数），利用平方法消去参数可得直角坐标方程：224x y +=，利用互化公式可得圆C 的极坐标方程以及直线l 的极坐标方程；（2）)设,,P Q R 的极坐标分别为()()()12,,,,,ρθρθρθ，由124,2sin cos ρρθθ==+，又2OP OR OQ =⋅，即可得出.试题解析：（1）圆C 的极坐标方程2ρ=，直线l 的极坐标方程ρ＝. (2)设,,P Q R 的极坐标分别为()()()12,,,,,ρθρθρθ，因为124,2sin cos ρρθθ==+ 又因2OP OR OQ =⋅，即 212ρρρ=⋅ ()21221612sin cos ρρρθθ∴==⨯+， .【选修4—5：不等式选讲】23. [选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|1|f x x =-． （Ⅰ）求不等式(2)(1)2f x f x -+≥的解集；（Ⅱ）若0a >，0b >且(3)a b f +=，求证：1122a b +++≤．【答案】（1）(,1][3,)-∞-⋃+∞（2）见证明【解析】【分析】 解法一：（1）去掉绝对值符号，利用分类讨论思想求解不等式的解集即可;（2）要证1122a b +++≤成立，只需证22(11)(22)a b +++≤成立，利用分析法证明求解即可．解法二：（1）作出函数g （x ）＝f （2x ）﹣f （x +1）利用数形结合转化求解即可;（2）利用综合法转化求解证明1122a b +++≤成立．【详解】解法一：（1）因为()|1|f x x =-，所以1,01(2)(1)2113,0211,2x x f x f x x x x x x x ⎧⎪-≤⎪⎪-+=--=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩， 由(2)(1)2f x f x -+≥得：0,12x x ≤⎧⎨-≥⎩或10,2132x x ⎧<<⎪⎨⎪-≥⎩或1,21 2.x x ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩ 解得或x ∈∅或3x ≥，所以不等式的解集为：(,1][3,)-∞-⋃+∞.（2）(3)2a b f +==，又0a >，0b >，1122a b ++成立，只需证22(11)(22)a b ++≤成立，即证2(1)(1)8a b a b +++++≤，(1)(1)2a b ++成立，因为0a >，，所以根据基本不等式 (1)(1)(1)(1)22a b a b +++++≤=成立， 故命题得证．解法二：（1）因为()|1|f x x =-，所以1,0,1(2)(1)2113,0,211,.2x x f x f x x x x x x x ⎧⎪-≤⎪⎪-+=--=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩作出函数()(2)(1)g x f x f x =-+的图像（如下图）因为直线2y =和函数()g x 图像的交点坐标为(1,2)A -, (3,2)B . 所以不等式的解集为：(,1][3,)-∞-⋃+∞（2）(3)2a b f +==，又0,0a b >>，3212a a ++3212b b ++≤， 332121422a b a b +++++= 1122a b ++成立．【点睛】本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．。
2015届安徽省宣城市八校高三上学期联考数学(文)试题及答案
宣城市八校2015届高三上学期联考数学（文）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列、 不等式、推理与证明。
考生注意事项：l ．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2．答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦十净后，冉选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后冉用0．5毫米的黑色墨水签字笔捕清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．稿纸上答题无效．．．．．．．。
4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）如图，设全集U=N ，集合A={1，3，5，7，8}，B ＝{1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合为（A ）{2，4} （B ）{7，8} （C ）{1,3,5} （D ）{1,2,3,4,5} （2）设i 是虚数单位，则复数11iz i+=-的共轭复数z = （A ）－i（B ）i（C ）1－I（D ）1+i（3）函数y=1(1)g x +的定义域为（A ）（－1，3] （B ）（－1，0）（0，3] （C ）[－1，3] （D ）[－1．0）（0，3]（4）设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若a 3=7，S 3=21，则数列{a n }的公比是（A ）12-（B ）1（C ）12或1 （D ）12-或1 （5）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x<0时f （x ）=3x ，若f （x 0）=19-，则x 0=（A ）－2 （B ）12- （C ）12（D ）2（6）若曲线y=alnx+x 2（a>0）的切线倾斜角的取值范围是[3π，2π），则a=（A ）124（B ）38（C ）34（D ）32（7）设S n ，是等差数列{a n }的前n 项和，且a 2+2a 4+5a 6=48，则S 9= （A ）36 （B ）45 （C ）54 （D ）63 （8）若将函数y=sin （2x 4π-）的图像向左平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（A ）8π（B ）4π （C ）38π （D ）34π （9）若x ，y 满足约束条件5125a x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，且z=2x+y 的最小值为－1，则a=（A ）－2 （B ）－1 （C ）0 （D ）1 （10）在l 和l 7之间插入n 个数，使这n+2个数成等差数列，若这n 个数中第一个为a ，第n 个为b ，当125a b+取最小值时，n ＝（A ）4（B ）5（C ）6 （D ）7第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．。
安徽省皖南八校2015届高三上学期第一次联考数学(文)试题 Word版含解析
安徽省皖南八校2015届高三上学期第一次联考数学（文）试题（解析版）【试卷综析】试卷注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.对中学数学教学和复习回归课本,重视对基础知识的掌握起到好的导向作用.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.【题文】1．设全集{2,1,1,2,3}U =--,集合A={-1，1，2},B={-1,1},则()U A C B =I A.{1} B.{2} C.{1，2} D.{-1，1} 【知识点】集合运算. A1【答案解析】B 解析：因为全集{2,1,1,2,3}U =-- ，B={-1,1}，所以{2,2,3}U C B =- 所以()U A C B =I {2}，故选B.【思路点拨】根据补集、交集的定义求解.【题文】2A. B. C. D. 【知识点】函数的定义域. B1【答案解析】D故选D.【思路点拨】根据函数解析式写出函数有意义的条件，进而求得函数的定义域.【题文】3 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【知识点】复数的基本概念与运算. L4【答案解析】C 对应的点位于第三象限，故选C.【思路点拨】根据复数除法及共轭复数的定义求得结论.【题文】4．若0.332,sin1,log 0,2a b c ===，则 A.b>c>a B.b>a>c C.c>a>b D.a>b>c 【知识点】数值大小的比较. E1【答案解析】D 解析：0.3321,sin1(0,1),log 0.20,>∈<Q a b c ∴>>，故选D. 【思路点拨】分析各值所在的范围，这些范围两两的交集是空集，从而得a,b,c 的大小关系. 【题文】5．已知()1,13,1x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩那么((1))f f 的值是A.0B.-2C.1D.-1 【知识点】函数值的意义. B1 【答案解析】C 解析：因为()1,13,1x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，所以()12f =，所以((1))f f =()2f =1，故选C. 【思路点拨】根据函数值的意义求解.【题文】A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.-sin2-cos2D.sin2-cos2 【知识点】三角函数的求值化简. C7【答案解析】D因为2 D.【思路点拨】根据诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系化简已知的式子得2的终边位置去掉绝对值.【题文】7.已知ABC 中，A 等于（ ）A ．45︒ B. 60︒ C. 60120︒︒或 D. 45135︒︒或 【知识点】解三角形.C8【答案解析】A 解析：由正弦定理可得2a b <∴∠【思路点拨】根据正弦定理即可求出角的大小 .【题文】8.已知向量,a b ，满0a b =≠，且关于x 的函数22014a x a bx +⋅+在R 上有极值，则a 与b 的夹角θ的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【知识点】导数；向量的运算 B11 F2 2a x ab +⋅，函数在实数上有极值，220,0cos a a b a b -⋅>=≠∴【思路点拨】求出导数，再利用函数性质列出条件求解.【题文】9.把曲线sin 230y x y -+=先沿x y 轴向下平移1个单位长度，得到曲线方程是（ ）A ()1cos 230y x y -+-= B. ()1sin 210y x y +-+= C. ()1cos 210y x y +-+= D. ()1cos 210y x y -+++= 【知识点】函数的平移变换 B8【答案解析】C 解析：把曲线ysinx-2y+3=0先沿xy 轴向下平移1个单位长度，即曲线（1+y ）cosx-2y+1=0， 故选：C ．【思路点拨】根据题意对函数进行平移变换即可.【题文】10.已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a的取值范围是（ ）A. ()2,+∞B. (),2-∞-C. ()1,+∞D. (),1-∞-【知识点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．B9,B11 【答案解析】B 解析：当a=0时，f （x ）=﹣3x 2+1=0，解得x=，函数f （x ）有两个零点，不符合题意，应舍去；﹣）x=＞0，列表如下： ，） （，+∞）f （x ）=0，不符合条件：f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，应舍去．﹣）x=＜0，列表如下： （﹣∞，）（，0f （x 0）=0， ∵f（x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，∴极小值f （）=a （）3﹣3（）2+1＞0， 化为a 2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）． 故答案为：（﹣∞，﹣2）． 【思路点拨】分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a ＜0时，求出函数的导数，利用导数和极值之间的关系转化为求极小值f （）＞0，解出即可．5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在题后横线上.11.，则sin cos αα=【思路点拨】根据同角三角函数的基本关系式可直接求解. 【题文】12.已知向量()()1,2,3,2OA OB =-=-，则1AB = 【知识点】向量的加减及坐标运算.F1【答案解析】()2,2- 解析：由题可知()(14,42,AB OB OA AB =-=-∴=-. 【题文】13.是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b= 【知识点】导数的几何意义及其运算.B11【答案解析】ln 21- 解析：设切点坐标为()00,x y ，得：02x =，代入曲线方程()ln 0y x x =>可得：0ln 2y =，又因为()00,x y 在直线上，故ln 21b =-，故答案为：ln 21-。
陕西省西安市八校2011届高三联考理科数学试题(Word版)
西安地区：陕师大附中、西安高级中学、西安高新一中、西安交大附中、 西安市八十三中、西安一中、西安铁一中、西安中学、西工大附中“八校”联考2011届高三年级数学(理科)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分, 考试时间120分钟. 注意事项:1. 答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上,认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上。
2. 选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3. 请按照题号各题的答案区域（黑色线框）内作答，超出答案区域书写的答案无效。
4. 保持纸面清洁，不折叠，不破损。
5. 做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题纸上把所选择题目对应的题号涂黑。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)一. 选择题: (本大题共10小题, 每小题5分, 共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1. 已知集合{}{}2|4,|4,P x x Q x x x R =<=<∈, 则( ) A. P Q ⊆ B. Q P ⊆ C. R P Q ⊆ð D. R Q P ⊆ð2. 1iz i=-, 在复平面上对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和, 2580,a a += 则52SS =( )A. 11B. 5C. 8-D. 11-4.已知函数()cos (0),f x x x ωωω=+> 若函数()y f x =的图象与直线2y =的相邻两个公共点间的距离为π, 则()f x 的单调递增区间是( )A. 5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ k Z ∈B. 511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k Z ∈ C. 2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ k Z ∈ D. ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k Z ∈ 5. 已知函数1()ln xf x x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 若实数0x 是函数的零点, 且100x x <<, 则1()f x ( )A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 不大于06. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. 2π+B. 4π+C. 2πD. 4π+7. 已知椭圆C 的方程是22221(0),x y a b a b+=>> 其左顶点为A , 左、右焦点分别为1F 、2F , D 是它短轴上的一个顶点,若1232DF DA DF =+, 则该椭圆的离心率为( ) A.12 B. 13 C. 14 D. 158. 已知,a b 是实数, 则“2a >, 且2b >”是“4a b +>, 且4ab >”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件9. 如果执行如图的程序框图, 输入正整数,n m 满足,n m ≥ 那么输出的P 等于( )A. 1m n C -B. 1m n A -C. m n CD. mn A10. 一条直线型生产线上从左往右依次有机器人1α, 2α, 3α,4α, 5α, 6α, 其中相邻两个的间隔距离均为2， 现在要在该生产线上选择一个位置放置工具箱, 若到六个机器人的距离之和最小的位置为最佳工具位置, 则最佳位置与机器人1α的距离需且只需满足( )A. 2d =B. 46d ≤≤C. 13d ≤≤D. 06d ≤≤第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二. 填空题:(本大题共5小题, 每小题5分, 共25分. 把答案填写在题中的横线上.) 11. 圆222210x y x y +-++=的圆心到直线10x y -+=的距离是 .12. 若1()n x x+的展开式的二项式系数之和为64, 则展开式中常数项为 .13. 已知正数,x y 满足20,350x y x y -⎧⎨-+⎩≤≥则11()()42x y z =⋅的最小值为 .14. 如图所示, 在一个边长为1的正方形AOBC 内, 曲线2y x =和y =围成一个叶形图(阴影部分). 向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任一点是对等可能的), 则所投的点落在叶形图内部的概率是15. (考生注意: 请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题评分.)A. (不等式选做题)不等式112x x +>+的解集为 .B. (几何证明选做题)如图, 已知,EB EC 是O 的两条切线, ,B C 是切点. ,A D 是O 上两点, 如果46E ∠= ,32DCF ∠= , 则A ∠的度数为C. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线3sin 40:1cos40x t l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩(t 为参数), 则直线l 的倾斜角为三. 解答题: (本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和22.n S n n =+ 其中*n N ∈ (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设11,n n n b a a +=⋅ 记数列{}n b 的前n 项和为n T , 求证: 16n T <.17. (本小题满分12分)在ABC ∆中, 角,,A B C 所对的边的长分别是,,a b c 且1cos 3A =. (1)求2sin cos22B CA ++的值; (2)若a 求bc 的最大值.18. (本小题满分12分)如下图(1)所示,已知正方形AMCD 的边长为2, 延长AM , 使得M 为AB 的中点, 连结AC . 现将A D C ∆沿AC 折起, 使平面A D C ⊥平面ABC ,得到几何体,D ABC - 如图(2)所示. (1)求证: BC ⊥平面ACD ;(2)求平面ACD 与平面MCD 的夹角的余弦值.19. (本小题满分12分)为了推动21世纪高等院校科研的发展,从某市“交通大学”,“工业大学”,“电子科技大学”三所“211工程”重点院校的相关教师中, 用分层抽样的方法抽取若干人组成研究小组, 有关数据如下表. (单位:人)高校相关教师人数抽取人数交通大学54 x电子科技大学36 4工业大学18 y(1)求,x y的值;(2)若从“工业大学”,“电子科技大学”两所院校抽取的人中选2人为代表作专业报告. 求这2人中至少有一人是来自“工业大学”的概率.20. (本小题满分13分)在双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>中, 过焦点垂直于实轴的弦长为焦点到一条渐近线的距离为1.(1)求该双曲线的方程;(2)若直线:(0,0)l y kx m k m=+≠≠与双曲线交于,A B两点, (,A B不是左右顶点), 且以AB为直径的圆过双曲线C 的右顶点.求证: 直线l过定点, 并求出该定点的坐标21. (本小题满分14分)已知函数().f x mx=(1)当1m=-时, 求函数()f x的最大值;(2)若()f x为定义域上的单调函数, 求实数m的取值范围;(3)当1m=时, 且10a b>≥≥, 证明: 4()()2. 3f a f ba b-<<-西安地区“八校”2011届高三联考 数学试题(理科)参考答案一. 选择题(每小题5分, 共50分)题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案B B D D ACD A D B二. 填空题(每小题5分, 共25分) 11.12. 20 13. 116 14. 1315. A. 3(,2)(2,)2-∞--- B. 99 C. 50三. 解答题(本大题共6小题, 共75分) 16. (本小题满分12分)解: (1)由22n S n n =+得 1n =时, 113a S == ------------------------2分当2n ≥时, 221(2)[(1)2(1)]n n n a S S n n n n -=-=+--+- ------------3分 *21()n n N =+∈ -----------------------5分 显然13a =符合21n a n =+ 故21n a n =+*()n N ∈ -------------------6分 (2)1111[](21)(23)22123n b n n n n ==-++++ -----------------------7分∴121111111[()()()235572123n n T b b b n n =++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-++ ----------------9分11111[]2323646n n =-=-++ ----------------------11分 ∵1046n >+, 则16n T < -----------------------12分 17. (本小题满分12分) 解: (1) 由1cos 3A =得27cos22cos 19A A =-=- ---------------------2分故21cos()sin cos2cos222B C B C A A +-++=+ ---------------------3分 1cos cos22AA +=+ ----------------------------4分 11713()299+=+-=- ------------------------------6分 (2)∵2221cos 23b c a A bc +-== 且*,b c R ∈ ------------------8分故222b c bc +≥又a ∴2222331222b c a bc bc bc bc +--=-≥ -----------------------10分 从而13132bc -≥ ∴3223bc ≥ 故94bc ≤当且仅当32b c ==时, bc 取得最大值94--------------------------12分18. (本小题满分12分)解: 在图1中,可得AC BC == 从而222,AC BC AB +=故AC BC ⊥ 取AC 的中点O , 连结DO, 则DO AC ⊥, 又面ADC ⊥面ABC ,面ADC 面ABC AC =, DO ⊂面ACD ,从而OD ⊥平面ABC , ------------4分 ∴OD BC ⊥又,AC BC AC OD O ⊥= ,∴BC ⊥平面ACD ----------------------------6分另解: 在图1中,可得AC BC == 从而222,AC BC AB +=故AC BC ⊥ ∵面ADC ⊥面ABC ,面ADC 面ABC AC =, BC ⊂面ABC ,从而BC ⊥平面ACD . (2)建立空间直角坐标系O xyz -如图所示, 则(M C DCM CD ==----------------------8分 设1(,,)n x y z =为面CDM 的法向量,则1100n CM n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00==, 解得y x z x =-⎧⎨=-⎩ 令1x =-, 可得1(1,1,1)n =- 又2(0,1,0)n =为面ACD 的一个法向量∴121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>==∴平面ACD 与平面MCD. ----------------------12分 19. (本小题满分12分)(1)由题意可得:5436184x y== 解得6,2x y == -------------------6分 (2)记事件A :从“工业大学” 、“电子科技大学”两所院校抽取的人中选2人为代表作专业报告,至少有一人来自“工业大学”,则A 包含基本事件的共1122429C C C ⋅+=种 ----------------------------9分另外从两所高校中共6人抽取2人作专业报告, 基本事件共有2615C =种,故93()155P A == -----------------12分 20. (本小题满分13分) 解: (1)由已知得2211b ab a ⎧=⎪⎪⇒=⎨=----------------4分∴双曲线的方程为2213x y -= -----------------5分(2)设1122(,),(,),A x y B x y 联立2233y kx mx y =+⎧⎨-=⎩得 222(13)63(1)0k x kmx m ---+= ----------------6分则2236k m ∆=2212(1)(13)0m k ++-> 化简得22130m k +->由韦达定理得21212223(1),1331bkm m x x x x k k ++==-- -------------------7分∵以AB 为直径的圆过双曲线的右顶点M∴0,MA MB ⋅=即1212(0x x y y += -------------------8分又2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++∴221212(1)()30k x x km x x m +++++=整理得2260m k ++=解得: m =或m =-均满足22130m k +-> -----------------10分当3m k =-时, :(l y k x =此时过定点(3,0)与已知矛盾,((3,0)为双曲线的右顶点)当m =-时, :(l y k x =-此时又过定点()符合题意.∴直线l 过定点,定点坐标为() --------------------------13分 21. (本小题满分14分)解: (1)1m =-时, 1()()2f x x x =>则1112()2112121212xf x x x x -'=⋅⋅-=-=+++ ----------------1分 令()0f x '=得0x =, 令()0f x '>得102x -<<, 令()0f x '<得0x >故()f x 在1(,0)2-上递增, 在(0,)+∞上递减 -----------------------2分所以max ()(0)0f x f == -----------------------3分(2)依题意()0f x '≥或()0f x '≤恒成立, 1(,)2x ∈-+∞ ----------------------4分∵1()ln(12)2f x mx x mx ==++∴11()()122f x m x x '=+>-+ ----------------------------5分 ∵1012x >+, 故不存在m R ∈,使得1()012f x m x'=++≤恒成立 ---------------6分 若()0f x '≥对一切1(,)2x ∈-+∞恒成立.则112m x -+≥对一切1(,)2x ∈-+∞恒成立 -----------------------------7分 ∵1012x-<+ ∴0m ≥ 此时1()012f x m x '=+>+对一切1(,)2x ∈-+∞恒成立 故当[0,)m ∈+∞时,()f x 为在定义域上的单调函数. ----------------------8分 (3)当1m =时,令411()()ln(12)323g x f x x x x =-=+- -------------------9分则112(1)()1233(12)x g x x x -'=-=++, 当[]0,1x ∈时, 总有()0g x '≥ 即()g x 在[]0,1上递增当01b a <≤≤时, ()()g b g a <即44()()4()()333f a f b f b b f a a a b --<-⇒>- ------------------------12分令1()()2ln(12),2h x f x x x x =-=+- 则由(1)知()h x 在[]0,1上递减∴()()h a h b <即()2()2,()()2()f a a f b b f a f b a b -<--<- ∵0a b ->, ∴()()2f a f b a b-<-综上可得4()()23f a f b a b-<<-成立, 其中01b a <≤≤ ------------------14分。
八省联考2023届高三(T8联考)数学试题及答案
八省联考2023届高三（T8联考）数学试题及答案2023届高三第一次学业质量评价(T8联考)数学试题及答案新高考八省联考八省联考是指河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8个省份的高考考生的一次高考前模拟考试。
这次模拟考试是由教育部统一组织的一次大规模的高考模拟考试，被广大考生称为“八省联考”。
为了让考生能够提前适应新高考的考试题型、考试方式，尤其是熟悉新高考的赋分方式，由教育部组织各试点省市区开展了这次高考模拟考试。
八省联考能够让广大考生熟悉新高考的流程，题型以及模式，这也是教育部组织广大考生进行八省联考的主要的目的，通过进行模拟测试，能够让考生提前熟悉这些政策的改变，有利于在高考当中正常的发挥。
八省联考的“3”指的是：语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩。
八省联考的“1”指的是：物理和历史，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩。
八省联考的“2”指的是：考生从化学、生物、地理和政治四门科目中选两门，选考由各省命题，通过等级赋分的方式，将赋分后的成绩计入考生总成绩。
高三怎么数学复习1、立足基础知识高三复习数学的时候老师平时讲的大多数都是基础知识，很少讲特别难的，因为只有高考考察的大部分内容还是基础，并且只有基础知识掌握好了才能进一步学好难的。
再者平时考试结束以后，很多同学都会出现这种情况：明明是很简单的题，但是不知道为什么当时考虑错了，这也是因为基础知识没有学好，考试的时候一紧张就会出现思维混乱，简单的题就会做错。
2、做题注重审题减少错误审题是做题的第一步，只有读懂了题干，清楚了题目的要求才能继续分析解题，如果题干内容都不清楚就半猜测的做题，就很容易做错。
就像考试卷子发下来以后，发现明明是会做的题却做错了，就是因为审题不清楚、不谨慎。
所以高三学生备考数学的时候不仅要注重知识的掌握，还要改善自身的小毛病，那些可以避免的错误以后就不要再犯。
昆明市2015届高二下学期期末八校联考数学(文)试题含答案
昆明市2015届高二下学期期末八校联考文科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数i i-1的虚部为 （A ）i 21- （B ）i 21 （C ）21- （D ）21（2）设全集}5,4,3,2,1{=U ，}4,3{=M ，}3,2{=N ，则图中阴影部分所表示的集合是（A ）}5,2,1{ （B ）}4,2{（C ）}4,2,1{ （D ）}2{（3）对于函数()sin 2f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，下列命题正确的是 （A ）()f x 是周期为2的偶函数 （B ）()f x 是周期为π的偶函数 （C ）()f x 是周期为2的奇函数 （D ）()f x 是周期为π的奇函数 (4)函数)1lg(3)(+-=x xx f 的定义域是（A ）]3,0( （B ）]3,0()0,1( - （C ）]3,1(- （D ）)3,1(-（5）抛物线22x y =的准线方程为（A ）21-=x （B ）1-=x （C ）81-=y （D ）41-=y (6)执行如下程序，输出S 的值为（A ）8 （B ）26 （C ）170 （D ）42（7）已知2=a ，b 是单位向量，且a 与b 夹角为60，则)(b a a -⋅等于（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（8）已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+≤--10101y y x y x ，则目标函数y x z +=2A ．最大值为1B ．最大值为2C ．最大值为3D ．以上都不对 （9）)(x f 是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时，)1(2)(x x x f -=，则=-)25(f（A ）21- （B ）41- （C ）41 （D ）21（10）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）38 （B ）34（C ）8 （D ）4(11) 直线021=++y aax 与圆222r y x =+相切，则圆的半径最大时，a 的值是 （A ）1 （B ）1- （C ）1± （D ）a 可为任意非零实数（12）已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面垂直，D 、E 分别是11C A 、1AB 的中点，且三棱柱的六个顶点都在球O 的球面上，若1==AC AB ，90=∠CAB ，球O 的半径为2，则异面直线1AA 与DE所成的角为（A ）30 （B ）45 （C ）60 （D ）75第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2019届四省八校双教研联盟高考高三联考试题数学文科试题(解析版)
第 1 页 共 4 页四省八校双教研联盟高考联考试卷文 科 数 学一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给的四个选项中， 只 有一项符合）1、集合21A xx⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， B {}220x x x =+-，则U A C B =（ ）A 、(0, 2)B 、(0, 1]C 、(0, 1)D 、[0, 2]2、已知（2 + i ）y = x + yi ，x , y ∈ R ，则xi y+=（ ） ABC 、2 D3、在公差不为 0 的等差数列{a n }中满足 4a 3 + a 11 - 3a 5 = 10 ，则15a 4 = （ ） A 、 - 1 B 、0 C 、1 D 、24、如图（1）为某省 2016 年快递业务量统计表，图（2）某省 2016 年快递业务收入 统计表，对统计图下列理解错误的是（ ）A 、2016 年 1~4 月业务量最高 3 月最低 2 月，差值接近 2000 万件B 、2016 年 1~4 月业务量同比增长率均超过 50％，在 3 月最高，和春节蛰伏后网购迎 来喷涨有关C 、从两图中看，增量与增长速度并不完全一致，但业务量与业务的收入变化高度一 致D 、从 1~4 月来看，业务量与业务收入量有波动，但整体保持高速增长 5、某班 10 个学生身高如图。
则学生平均身高 x （单位：cm ）（ ） A 、162 B 、162.5 C 、163 D 、163.5第 2 页 共 4 页6、m ，n 是两不同直线，α是平面， n ⊥ α，则 m //α是 m ⊥n 的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分有不必要条件 7、某几何体三视图如右则该几何体体积为（ ） A 、13 B 、23 C 、1 D 、438、如图为程序框图，则输出结果为（ ）A 、105B 、315C 、35D 、59、设 x ，y 满足24020330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z =21y x +的范围（ ）A 、19[,]27B 、118[,]27C 、16[1,]5 D. 8[1,]510、已知在 Rt △ABC 中，A =2π，AB =3，AC =4，P 为 BC 上任意一点(含 B ，C )，以 P 为圆心，1 为半径作圆，Q 为圆上 任意一点，设AQ x =AB yAC +，则 x +y 的最大值为 （ ） A 、1312B 、1512C 、1712D 、191211、已知F 1 ，F 2 是 双 曲 线 E 的 左 右 焦 点 ， 点 P 在 E 上 ， ∠ F 1 PF 2 =3π且2121()0F F F P F P +⋅=则 E 的离心率 e=（）A1 B1CD12、 f ( x ) =(21)1x e a x x---有唯一零点，则 m =（ ） A 、1(,)2e -+∞ B 、211(,]24e e -- C 、211(,)24e e -- D 、21(,)4e --∞二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、若a =(1，- 1) ，a - 2b =(k -1, 2k + 2) 且a ⊥ b ，则 k =第 3 页 共 4 页14、若 f (x )=2 s in (wx +ϕ)- 3, (w ＞0) 对 ∀x ∈ R 都有()()63f x f x ππ+=-成立，则()4f π=15、f (x ) =sin 2(13tan )12sin 2()24xx x π+--的最小正周期为 16、三棱锥 P -ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且 AB = 1，BC =2 ，V P - ABC = 2 ，则 其外接球体积V 球=三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17~21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．）17、（ 12 分 ） △ ABC 中 角 A 、 B 、 C 所 对 应 的 边 记 为 a 、 b 、 c ，M =(cos B , 2a - b ) , N =(cos C ，c ) 且 M // N ，(1) 求角 C 大小；(2) 若 c =1，当△ABC面积取得最大值时求△ABC 内切圆半径18、（12 分）18、（12 分）如图，平面 PAD ⊥平面 ABCD ，∠ABC =∠BCD = 90°PA = PD =AD=AB =2CD =2，H 为 PB 中点， (1) 求证：CH // 平面 PAD ； (2) 求点 C 到平面 PAB 距离.19、（12 分）越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症， 经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表其中(1) 作出散点图；(2) 根据上表数据用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y = b ˆx + a ˆ (精确到 0.01)；第 4 页 共 4 页(3) 根据经验观测值为正常值的 0.85~1.06 为正常，若 1.06~1.12 为轻度焦虑，1.12~1.20 为中度焦虑，1.20 及以上为重度焦虑。
2020年陕西省西安市八校高考(理科)数学联考试卷 (解析版)
2020年陕西省西安市八校高考数学联考试卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，2）C．（2，4）D．（﹣1，3）2．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1+2a n＝0，且a2＝2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1D．1﹣2103．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若复数z＝a+（1﹣a）i的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，且z•＝5，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2﹣i D．﹣2+3i4．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题序号是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④5．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝e|x|•cos x B．f（x）＝ln|x|•cos xC．f（x）＝e|x|+cos x D．f（x）＝ln|x|+cos x6．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．87．（5分）已知p：a＝±1，q：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知圆x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线y2＝2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则r等于（）A．B．C．D．9．（5分）已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos （α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣10．（5分）对于函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R，下列命题错误的是（）A．函数f（x）的最大值是B．不存在x0∈（，）使得f（x0）＝0C．函数f（x）在[，]上单调递减D．函数f（x）的图象关于点（，0）对称11．（5分）已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝，点A、B是函数f（x）图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．（0，）D．（0，]二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最小值为．14．（5分）从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，则“log m n＞0”的概率为．15．（5分）已知点A、B、C在球心为O的球面上，若AB＝AC＝5，BC＝6，球心O到截面ABC的距离为1，则该球的表面积为．16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若CD＝1且（a﹣b）sin A＝（c+b）（sin C﹣sin B），则△ABC面积的最大值是．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P﹣CD﹣B为45°角，AD＝2，CD＝3，求PD与平面PCE所成角的正弦值．18．（12分）已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且a1＝1，S n+12＝S n2+1．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）设b n＝，求{b n}的前n项和T n．19．（12分）为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．附：≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.954520．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）＝ln（1+ax）﹣（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1、x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x+1）≥2的解集．（2）若a＞0，b＞0且a+b＝f（3），求证：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，2）C．（2，4）D．（﹣1，3）【分析】解不等式得集合A，根据交集的定义写出A∩B．解：集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|x＞2}，故选：C．2．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1+2a n＝0，且a2＝2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1D．1﹣210【分析】通过a n+1+2a n＝0可确定数列{a n}是公比为﹣2的等比数列，进而通过a2＝2可知首项a1＝﹣1，利用等比数列的求和公式计算即得结论．解：∵a n+1+2a n＝0，∴数列{a n}是公比为﹣2的等比数列，∴a2＝（0﹣a4）＝﹣1，故选：B．3．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若复数z＝a+（1﹣a）i的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，且z•＝5，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2﹣i D．﹣2+3i【分析】由已知求解a的范围，再由z•＝|z|2＝5列式求解a值．解：z＝a+（1﹣a）i的共轭复数＝a+（a﹣1）i，对应点的坐标为（a，a﹣1），又z•＝|z|2＝a8+（a﹣1）2＝3，解得a＝﹣1（a＜0）．故选：A．4．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题序号是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④【分析】由线面垂直及线线垂直的几何特征可判断①的真假；由线面垂直的性质定理可判断②的真假；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可判断③的真假；由面面平行的性质及几何特征可判断④的真假，进而得到答案．解：或n⊂α，故①错误；由线面垂直的性质定理可得，故②正确；由面面平行的性质及几何特征可得或m，n异面，故④错误；故选：A．5．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝e|x|•cos x B．f（x）＝ln|x|•cos xC．f（x）＝e|x|+cos x D．f（x）＝ln|x|+cos x【分析】采用排除法排除A，B，C．解：由图可知f（）＞0，故可排除A，B；对于C：f（x）＝e|x|+cos x，当x∈（0，1）时f（x）＞3，故可排除C．故选：D．6．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【分析】利用向量共线定理推出a，b的关系，进而解出的最小值解：∵A，B，C三点共线，∴，共线，可解得，b＝2﹣2a∴＝＝故选：B．7．（5分）已知p：a＝±1，q：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝lna＝0，解得a．即可判断出结论．解：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝ln（﹣x+）+ln（x+）＝lna＝0，∴p是q成立的必要不充分条件．故选：B．8．（5分）已知圆x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线y2＝2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则r等于（）A．B．C．D．【分析】先得C的坐标，根据ABCD为矩形得A的坐标，再代入抛物线可得．解：易得C（﹣，），则A（，），将A点坐标代入y2＝2x得r2﹣＝1，解得r＝，故选：C．9．（5分）已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos（α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】根据根与系数的关系求出sinα+cosα以及sinαcosα的值，结合α的范围联立解得sinα，cosα的值，再用两角和的余弦公式代入计算即可求出值．解：∵sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），∴sinα+cosα＝，sinαcosα＝﹣，∴cos（α+）＝cosα﹣sinα＝（cosα﹣sinα）＝×（﹣﹣）＝﹣．故选：D．10．（5分）对于函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R，下列命题错误的是（）A．函数f（x）的最大值是B．不存在x0∈（，）使得f（x0）＝0C．函数f（x）在[，]上单调递减D．函数f（x）的图象关于点（，0）对称【分析】化简函数f（x）的解析式得f（x）＝sin（2x+）+，由三角函数的性质逐个加以判断即可得出答案．解：f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R＝cos2x+sin2x+＝sin（2x+）+，所以f（x）的最大值为，故A正确，所以2x+＝+7kπ或2x+＝﹣+2kπ，k∈Z，故不管k为何整数，上式解都不在区间（，）内，C．由2kπ+≤2x+≤+2kπ，k∈Z，即f（x）在[，]上单调递减，D．把f（）＝sin n（2×+）+＝≠0，故选：D．11．（5分）已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2＝120°，利用余弦定理算出c2＝7a2，结合双曲线渐近线方程即可的结论．解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF8|＝|AB|，又∵|AF2|﹣|AF1|＝2a，∵△AF1F2中，|AF6|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，即4c2＝4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）＝28a2，由此可得双曲线C的渐近线方程为x＝±y＝±y，故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝，点A、B是函数f（x）图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．（0，）D．（0，]【分析】当x≤0时，函数f（x）是双曲线得到渐近线的斜率k＝﹣3，当x＞0时，求函数过原点的切线，根据直线的夹角公式进行求解即可．解：当x≤0时，由y＝得y2﹣9x2＝1，（x≤8），此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为y＝﹣3x，此时渐近线的斜率k1＝﹣3，当x＞0时，f（x）＝1+xe x﹣1，当过原点的直线和f（x）相切时，设切点为（a，6+ae a﹣1），则切线斜率k2＝f′（a）＝（a+7）e a﹣1，即y＝（1+a）e a﹣1（x﹣a）+1+ae a﹣1，即a2e a﹣1+ae a﹣1＝1+ae a﹣1，则切线和y＝﹣5x的夹角为θ，故∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（0，），故选：A．二、填空题（共4小题）.13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最小值为1．【分析】根据题意画出不等式组表示的平面区域，找出最优解，求出目标函数z的最小值．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示；设z＝x+y，将直线l：z＝x+y进行平移，∴z最小值＝3﹣2＝1．故答案为：1．14．（5分）从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，则“log m n＞0”的概率为．【分析】基本事件总数N＝6×5＝30，log m n＞0包含的基本事件个数M＝2×1+4×3＝14，由此能求出“log m n＞0”的概率．解：∵从、、2、4、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，基本事件总数N＝6×5＝30，从5，3，5，9中取两个数，则“log m n＞0”的概率为P＝＝．故答案为：．15．（5分）已知点A、B、C在球心为O的球面上，若AB＝AC＝5，BC＝6，球心O到截面ABC的距离为1，则该球的表面积为．【分析】根据球的截面圆性质、截面ABC的距离为1，求解△ABC外接圆的半径r，构造勾股定理即可求解．解：由AB＝AC＝5，BC＝6，可知△ABC是等腰三角形，作BC的高线h，可得h＝4，那么sin B＝；可得△ABC外接圆的半径r＝，那么球的R＝＝故答案为：16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若CD＝1且（a﹣b）sin A＝（c+b）（sin C﹣sin B），则△ABC面积的最大值是．【分析】利用正弦定理可得：a2+b2﹣c2＝ab，①，cos C＝，sin C＝，利用2＝+可得a2+b2+ab＝4，②，由①②可得ab＝4﹣c2，所以面积S＝（4﹣c2）×，再根据c2＝a2+b2﹣ab≥2ab ﹣＝ab＝（4﹣c2），得c2≥，从而可得S的最大值．解：∵，∴由正弦定理可得：，∴由余弦定理可得：cos C＝＝＝，可得：sin C＝＝，由①②得ab＝4﹣c2，S△ABC＝ab sin C＝（4﹣c2）×，∴S△ABC＝（4﹣c2）×≤（4﹣）×＝．故答案为：．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P﹣CD﹣B为45°角，AD＝2，CD＝3，求PD与平面PCE所成角的正弦值．【分析】（1）作PC的中点G，连结FG，EG，证明四边形AEGF为平行四边形，推出AF∥平面PCE．（2）法一：证明PA⊥CD，CD⊥PD，说明∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，设D 到平面PCE的距离为h，由V P﹣DCE＝V D﹣PCE，求出h，然后求解PD与平面PCE所成角的正弦值．法二：证明PA⊥CD，CD⊥PD，说明∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，以A为原点，AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PCE的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：作PC的中点G，连结FG，EG，△PCD中，FG为中位线，FG ∥CD且，由AE∥CD且得四边形AEGF为平行四边形，AF∥EG，∴AF∥平面PCE……………………………（4分）∴CD⊥PD，∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，∴∠PDA＝45°……………………………………（8分）设D到平面PCE的距离为h，由V P﹣DCE＝V D﹣PCE得：S△PCE•h＝S△BCE•PA，（也可以得出二面角为∠PDA后，借助AF⊥平面PCD得EG⊥平面PCD，法二：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，以A为原点，AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，所以PD与平面PCE所成角的正弦值为．……………………………………（12分）18．（12分）已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且a1＝1，S n+12＝S n2+1．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）设b n＝，求{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由等差数列的定义，以及通项公式可得所求；（2）由数列的递推式求得a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣（n≥2），又a1＝S1＝1，所以a n ＝﹣，b n＝＝＝（﹣1）n（+），分别讨论n为奇数或偶数，由裂项相消求和可得所求和．解：（1）a1＝1，S n+12＝S n2+1，所以{S n2}是首项为5，公差为1的等差数列，因为{a n}各项都为正数，（2）a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣（n≥2），b n＝＝＝（﹣1）n（+），当n为偶数时，T n＝﹣1++1﹣（+）+…﹣（+）+（+）＝．所以{b n}的前n项和T n＝（﹣1）n．19．（12分）为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．附：≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9545【分析】（Ⅰ）直接由频率分布直方图结合公式求得样本平均数和样本方差s2；（Ⅱ）（i）利用正态分布的对称性即可求得P（0.8＜X≤8.3）；（ii）由（i）知学生假期日平均数学学习时间位于（0.8，8.3）的概率为0.8186，且ξ服从二项分布，由二项分布的期望公式得答案．解：（Ⅰ）这100名学生每周平均锻炼时间的平均数═1×0.05+3×0.2+2×0.30+7×0.25+9×0.15+11×3.05＝5.8；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知X服从正态分布N（5.8，6.16），且σ＝≈2.5，（ii）由（i）知每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.7）的概率为0.8186，∴E（ξ）＝5000×0.8186＝4093．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）假设存在直线l，设方程为y＝kx+m，k≠0，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得AB中点坐标，写出AB的垂直平分线方程，把右焦点坐标代入，结合判别式大于0可得结论．解：（1）由已知可得，，解得a＝2，b＝1，c＝．∴椭圆C的方程为；设A（x1，y1），B（x2，y2），∴△＝324k2m2﹣36（1+9k2）（m2﹣1）＞5，即9k2+1＞m2，设AB的中点坐标为M（x0，y0），∴M（﹣，），∵弦AB的垂直平分线过E的右焦点（，0），代入9k2+1＞m2，得，∴不存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点．21．（12分）设函数f（x）＝ln（1+ax）﹣（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1、x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求导得f'（x）＝，易知（1+ax）（x+2）2＞0，于是分0＜a＜1和a≥1两类讨论f'（x）与0的大小关系，即可得f（x）的单调性．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a≥1不符合题意，必有0＜a＜1，且x1、x2是方程ax2+4a﹣4＝0的两个不同实根，由函数的定义域可推出a∈（0，）∪（，1）；将f（x1）+f（x2）化简为ln（2a﹣1）2+﹣2；利用换元法构造新函数g（t）＝lnt2+﹣2，然后分﹣1＜t＜0和0＜t＜1两类讨论g（x）的单调性，并求出相应的最值即可得解．解：（Ⅰ）∵f（x）＝ln（1+ax）﹣，∴f'（x）＝﹣＝．∴（1+ax）（x+2）2＞0，于是f'（x）的正负性由ax2+4a﹣4决定．②当4＜a＜1时，令ax2+4a﹣4＞0，得x＞，∴f'（x）＞8，f（x）单调递增；综上所述，当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（x）存在两个极值点x1、x2，∵函数f（x）的定义域为（，﹣8）∪（﹣2，+∞），f（x1）+f（x2）＝ln（1+ax1）﹣+ln（1+ax2）﹣＝ln（8a﹣1）2﹣＝ln（2a﹣3）2+﹣2．设g（t）＝lnt2+﹣2，①当﹣1＜t＜5时，g（t）＝2ln（﹣t）+﹣2，∴g'（t）＝＝＜0，∴g（t）在（﹣1，0）上单调递减，即当0＜a＜时，f（x1）+f（x2）＜0，不符合题意．②当8＜t＜1时，g（t）＝2lnt+﹣2，∴g'（t）＝＝＜8，∴g（t）在（0，1）上单调递减，即当＜a＜8时，f（x1）+f（x2）＞0，符合题意．a的取值范围为（，1）．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，利用互化公式可得圆C的极坐标方程．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，利用互化公式可得直线l的极坐标方程．（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），由，又|OP|2＝|OR|•|OQ|，即可得出．解：（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，∴圆C的极坐标方程ρ＝3．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，直线l的极坐标方程ρ＝．因为，∴ρ＝．[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x+1）≥2的解集．（2）若a＞0，b＞0且a+b＝f（3），求证：．【分析】解法一：（1）去掉绝对值符号，利用分类讨论思想求解不等式的解集即可．（2）要证成立，只需证成立，利用分析法证明求解即可．解法二：（1）作出函数g（x）＝f（2x）﹣f（x+1）利用数形结合转化求解即可．（2）利用综合法转化求解证明成立．【解答】选修4﹣5：不等式选讲，满分（10分）．解法一：（1）因为f（x）＝|x﹣1|，所以，解得x≤﹣1或x∈∅或x≥3，所以不等式的解集为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．……………（4分）所以要证成立，即证，因为a＞0，b＞0，所以根据基本不等式成立，解法二：（3）因为f（x）＝|x﹣1|，作出函数g（x）＝f（2x）﹣f（x+1）的图象（如下图）因为直线y＝2和函数g（x）图象的交点坐标为A（﹣1，4），B（3，2）．……………………………（4分）（2）a+b＝f（3）＝2，……………………………（4分）所以，，……………………………（8分）所以成立．……………………………（10分）。
湖北省八校2015届高三第一次联考文科数学试卷(解析版)
湖北省八校2015届高三第一次联考文科数学试卷（解析版）一、选择题1．若复数z 满足()i z i -=+11，则=z （ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 【答案】C【解析】i ii i z -=-=+-=2211，则i z =-，故选C考点：复数的概念，复数的代数运算2．已知函数211)(xx f -=的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则()R M C N =U （ ）A ．}1|{<x xB ．}1|{≥x xC ．ΦD ．}11|{<≤-x x 【答案】A【解析】()1,1-=M ，()+∞-=,1N ，故(){|1}R M C N x x =<U ，故选A考点：集合及其运算 3．下列函数中，对于任意∈x R ，同时满足条件)()(x f x f -=和)()(x f x f =-π的函数是（ ） A ．x x f sin )(= B ．x x x f cos sin )(= C ．x x f cos )(= D ．x x x f 22sin cos )(-= 【答案】D【解析】由题意知道：()x f 是偶函数，且周期是π，选项A ，C 的周期是π2，选项B ，函数()x x f 2sin 21=为奇函数，故选D. 考点：三角函数性质4．若幂函数a mx x f =)(的图像经过点)21,41(A ，则它在点A 处的切线方程是（ ）A ．02=-y xB ．02=+y xC ．0144=+-y xD ．0144=++y x【答案】C【解析】∵()a f x mx =为经过点A ⎪⎭⎫⎝⎛21,41的幂函数，∴21,1==a m 故x x f =)(，xx f 21)(='，则它在点A 处的切线方程为0144=+-y x ，故选C考点：幂函数，导数 5．如图给出的是计算11112462014++++L 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）A ．2013≤iB ．2015≤iC ．2017≤iD ．2019≤i 【答案】B【解析】由程序知道，2,4,6,2014i =L 都应该满足条件，2016=i 不满足条件，故应该选择B ．考点：算法，程序框图6．已知实数等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论一定成立的是（ ） A ．若03>a ，则02013<a B ．若04>a ，则02014<a C ．若03>a ，则02013>S D ．若04>a ，则02014>S 【答案】C【解析】设11-=n n q a a ，因为02010>q 所以A ，B 不成立，对于C ，当03>a 时，01>a ，因为q -1与20131q -同号，所以02013>S ，选项C 正确，对于D ，取数列：－1，1，－1，1， ，不满足条件，D 错．故选C ． 考点：等比数列前n 项和性质7．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）A ．314B ．4C ．310D ．3【答案】B【解析】几何体如图，体积为：42213=⨯，故选B考点：三视图，几何体体积8．点A 是抛物线)0(2:21>=p px y C 与双曲线)0,0(1:22222>>=-b a by a x C 的一条渐近线的交点（异于原点），若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6 【答案】C【解析】∵点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛p p A ,2适合x a b y =，∴422=a b ，∴5=e故选C.考点：抛物线与双曲线性质9．已知符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,1,0,0,0,1)sgn(x x x x 则函数x x x f 2ln )sgn(ln )(-=的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】⎪⎩⎪⎨⎧<<--=>-=)10(,ln 1)1(,0)1(,ln 1)(22x x x x x x f ，1>x 时，0ln 1)(2=-=x x f ，解得e x =；当1=x 时，0)(=x f ；当10<<x 时，0ln 1)(2=--=x x f ，即1ln 2-=x 无解．故函数)(x f 的零点有2个．故选B ．考点：函数性质，零点 10．有下列命题：①在函数)4cos()4cos(ππ+-=x x y 的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数13-+=x x y 的图象关于点)1,1(-对称； ③“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的必要不充分条件；④已知命题p ：对任意的∈x R ，都有1sin ≤x ，则p ⌝是：存在∈x R ，使得1sin >x ； ⑤在△ABC 中，若6cos 4sin 3=+B A ，1cos 3sin 4=+A B ，则角C 等于︒30或︒150． 其中所有真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】对于① 1cos()cos()cos 2442y x x x ππ=-+=，相邻两个对称中心的距离为22T π=，①错对于② 函数31x y x +=-的图象关于点(1,1)对称， ②错 对于③ 5≠a 且5-≠b 推不出0≠+b a ，例如2,2-==b a 时0=+b a 0≠+b a 推不出5≠a 且5-≠b ，例如6,5-==b a ，故“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的既不充分又不必要条件，故③错 对于④：很明显是对的对于⑤：由1cos 3sin 4,6cos 4sin 3=+=+A B B A 得（两式平方和）：()21sin =+B A 6cos 4sin 3=+B A 则6π=+B A 或65π而A B A sin 346cos 4sin 3+≤=+， 故6,2132sin π>>≥A A ，π65=+∴B A ，故6π=C ，故⑤错.故选A考点：函数，三角函数，命题二、填空题11．在边长为2的正△ABC 中，则=⋅BC AB _________． 【答案】－2【解析】BC AB ⋅＝232cos22-=⨯⨯π考点：平面向量的数量积12．某校选修篮球课程的学生中，高一学生有30名，高二学生有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个容量为n 的样本，已知在高一学生中抽取了6人，则在高二学生中应抽取___人． 【答案】8【解析】在高二学生中应抽取830640=⨯人. 考点：统计，抽样方法，分层抽样13．设x ， y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≥+≤0,0121y x x y x y ，则目标函数y x z 2+=的最大值为___________．【答案】8【解析】由图象得知，y x z 2+=过点()3,2达到最大，最大值为8.考点：线性规划14．随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是____． 【答案】241π-【解析】分别以三角形的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则在三角形内部且在三圆外部的区域即为与三角形三个顶点距离不小于1的部分，即241462112112ππ-=⨯⨯⨯⨯-=P . 考点：几何概型15．观察下列等式：112=，32122-=-，6321222=+-，1043212222-=-+-， ，由以上等式推测出一个一般性的结论：对于∈n N *，2222121234(1)n n +-+-++-=L ___________．【答案】2)1(21nn n +-+ 【解析】由于()()()()244110,23316,22213,21111214213212211+-=-+-=+-=-+-=++++， 则2222121234(1)n n +-+-++-=L 2)1(21nn n +-+ 考点：合情推理，数列16．用)(A C 表示非空集合A 中的元素个数，定义⎩⎨⎧<-≥-=-)()(),()()()(),()(||B C A C A C B C B C A C B C A C B A ．若}2,1{=A ，}|32||{2a x x x B =-+=，且1||=-B A ，则=a ___________． 【答案】4【解析】由于a x x =-+|322的根可能是2个，3个，4个，而|A －B|＝1，故ax x =-+322只有3个根， 故4=a .考点：集合性质17．在平面直角坐标系xOy 中，直线b x y +=2是曲线x a y ln =的切线，则当0>a 时，实数b 的最小值是 ．【答案】－2【解析】设切点为（0x ，)ln 0x a ，则x a y ln =上此点处的切线为+=x x ay 0a x a -0ln ，故⎪⎩⎪⎨⎧=-=ba x a x a 00ln 2a aa b -=∴2ln ()0>a 在()2,0上单调递减，在()+∞,2上单调递增.b ∴的最小值为2-.考点：利用导数研究函数性质，切线三、解答题18．（本小题满分12分）已知函数∈-+-=x x x x f (1cos 2)62sin()(2πR ）．（1）求)(x f 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，三内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，已知21)(=A f ，b ， a ， c 成等差数列，且9=⋅AC AB ，求a 的值．【答案】（1）∈++-k k k ](6,3[ππππZ ）；（2）23=a . 【解析】 试题分析：（1）化简f （x ）为一个角的一个三角函数关系式，根据三角函数性质求单调递增区间；（2）由等差及数量积条件，再结合余弦定理，建立a ，b ，c 的方程组，消去b ，c ，可求得a.试题解析：（1）x x x x x x f 2cos 2cos 212sin 231cos 2)62sin()(2+-=-+-=π 2分x x 2cos 212sin 23+=＝)62sin(π+x 3分 由∈+≤+≤+-k k x k (226222πππππZ ）得，∈+≤≤+-k k x k (63ππππZ ） 5分故)(x f 的单调递增区间是∈++-k k k ](6,3[ππππZ ） 6分（2）21)62sin()(=+=πA A f ，π<<A 0，62626ππππ+<+<A 于是6562ππ=+A ，故3π=A 8分由c a b ,,成等差数列得：c b a +=2，由9=⋅AC AB 得9cos =A bc ，18,921==bc bc 10分由余弦定理得，bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+=， 于是54422-=a a ，182=a ，23=a 13分 考点：三角函数变换，三角函数性质，三角形，平面向量，等差数列19．（本小题满分12分）正方体1111D C B A ABCD -的棱长为l ，点F 、H 分别为A 1D 、A 1C 的中点．（1）证明：A 1B ∥平面AFC ； （2）证明：B 1H ⊥平面AFC ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 试题分析：（1）利用中点，结合三角形的中位线性质，只需取AC 中点E ，证A 1B ∥EF 即可；（2）注意到B 1H 即B 1D ，只需证B 1D 与AF 、AC 均垂直即可. 试题解析：（1）连BD 交AC 于点E ，则E 为BD 的中点，连EF ， 又F 为A 1D 的中点，所以EF ∥A 1B ， 3分 又⊂EF 平面AFC ，⊄B A 1平面AFC ，由线面平行的判断定理可得A 1B ∥平面AFC 5分（2）连B 1C ，在正方体中A 1B 1CD 为长方形， ∵H 为A 1C 的中点 ，∴H 也是B 1D 的中点， ∴只要证⊥D B 1平面ACF 即可 6分 由正方体性质得BD AC ⊥，B B AC 1⊥，∴⊥AC 平面B 1BD ，∴D B AC 1⊥ 9分又F 为A 1D 的中点，∴D A AF 1⊥，又11B A AF ⊥，∴⊥AF 平面A 1B 1D ， ∴D B AF 1⊥，又AF 、AC 为平面ACF 内的相交直线， 11分 ∴⊥D B 1平面ACF.即⊥H B 1平面ACF. 12分 考点：空间几何体，线面关系20．（本小题满分13分）已知等比数列{a n }的公比1>q ，前n 项和为S n ，S 3＝7，且31+a ，23a ，43+a成等差数列，数列{b n }的前n 项和为T n ，2)13(6++=n n b n T ，其中∈n N *． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n }的通项公式；（3）设1210{,,}A a a a =L ，1240{,,}B b b b =L ，C A B =U ，求集合C 中所有元素之和． 【答案】（1）12-=n n a ；（2）32n b n =-；（3）3318【解析】试题分析：（1）设a n ＝a 1q n －1，利用已知条件，可求得a 1和q ，从而得到{a n }的通项公式；（2）将2)13(6++=n n b n T 变更序号作差，可得b n ＋1与b n 的关系，再迭代（或叠乘）可得{b n }的通项公式；（3）分别求出两个集合中元素之和，再减去公共元素之和即可. 试题解析：（1）∵73=S ，∴7321=++a a a ① ∵31+a ，23a ，43+a 成等差数列，∴231643a a a =+++ ② 2分 ②－①得，22=a 即21=q a ③ 又由①得，5211=+q a a ④消去1a 得，02522=+-q q ，解得2=q 或21=q （舍去） ∴12-=n n a 4分（2）当∈n N *时，2)13(6++=n n b n T ，当2≥n 时，2)23(611+-=--n n b n T ∴当2≥n 时，1)23()13(6---+=n n n b n b n b ，即53231--=-n n b b n n 6分 ∴1412=b b ，4723=b b ，71034=b b ， ，53231--=-n n b b n n ∴324123147103214735n n b b b b n b b b b n --⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯-L L ，即231-=n b bn∵11=b ，∴)2(23≥-=n n b n故∈-=n n b n (23N *） 8分（3）1023122121101010=-=--=S ，23808024140340=-⨯⨯=T 10分 ∵A 与B 的公共元素有1，4，16，64，其和为85，∴集合C 中所有元素之和33188510232380851040=-+=-+=T S 12分 考点：等差数列，等比数列，递推数列，数列求和.21．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22， 过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，23||||=+CD AB ．（1）求椭圆的方程；（2）求由A ，B ，C ，D 四点构成的四边形的面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,916四边形S . 【解析】试题分析：（1）利用已知离心率和直线AB 斜率为0时，23=+CD AB ，可求得a ，b ，c 的值，从而得到椭圆标准方程；（2）因为AB ⊥CD ，故1||||2S AB CD =⋅⋅四边形，将AB 和CD 所在直线方程分别与椭圆方程联立，用斜率表示出|AB|和|CD|，然后利用函数思想，结合均值不等式可求得S 的范围.试题解析：（1）由题意知，c e ==，则c b c a ==,2，2322222||||2=+=+=+∴c c ab a CD AB ，所以1c =．所以椭圆的方程为2212x y +=． 4分 （2）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在， 由题意知22222121=⨯⨯=⋅=CD AB S 四边形； 5分②当两弦斜率均存在且不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，且设直线AB 的方程为(1)y k x =-，则直线CD 的方程为1(1)y x k =--．将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得2222(12)4220k x k x k +-+-=，所以2222221221)1(22211221||1||kk k k k x x k AB ++=++⋅+=-+=． 8分 同理，2)1(2221)11(22||2222++=++=k k kk CD ． 10分 所以24222222522)1(42)1(2221)1(222121k k k k k k k CD AB S +++=++⋅++⋅=⋅⋅=四边形()()()2221422112121k k k k k k+==-++++，22121219k k ⎛⎛⎫++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝Q 当且仅当1±=k 时取等号 11分∴)2,916[∈四边形S综合①与②可知，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,916四边形S 13分 考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，弦长公式，范围，基本不等式. 22．（本小题满分14分）已知函数x x x x f --=3)(． （1）判断xx f )(的单调性； （2）求函数)(x f y =的零点的个数；（3）令x xx f axax x g ln )()(2+++=，若函数)(x g y =在)1,0(e 内有极值，求实数a 的取值范围．【答案】（1）x x f )(在),0(+∞单调递增；（2）2；（3）21-+>ee a . 【解析】试题分析：（1）令()()f x x xϕ=，求Φ'（x ），通过Φ'（x ）＞0可得单调性；（2）根据（1）的单调性，结合特殊值的符号，可确定零点的个数；（3）通过g'（x ）求出g （x ）的单调性，得到g （x ）有两个极值点，并得出两个极值点的关系，通过其中一个极值点在)1,0(e内，可得另一个极值点的范围，然后将a 表示为这两个极值点的关系式，求出范围. 试题解析：（1）设x x x 11)(2--=ϕ，其中0>x ，0212)('3>+=x x x ϕ，∴)(x ϕ在),0(+∞单调递增 3分（2）因为01)1(<-=ϕ，213)2(-=ϕ，有)(x ϕ在),0(+∞单调递增 故)(x ϕ在（1， 2）内有唯一零点 5分 又)()(3x x x x x x f ϕ⋅=--=，显然0=x 为)(x f 一个零点，因此)(x f y =在),0[+∞有且仅有2个零点 7分（3）1ln ln )1)(1()1(ln )(2-+=+-++=+-+=x a x x x x x x ax x xx ax ax x g 22222)1(1)2()1(12)1(1)('+++-=--+-=--=x x x a x x x ax x x x a x x g 9分 设1)2()(2++-=x a x x h ，则0)(=x h 有两个不同的根x 1， x 2，且一根在)1,0(e内， 不妨设ex 101<<，由于121=⋅x x ，所以e x >2 12分 由于1)0(=h ，则只需0)1(<e h ，即011)2(12<++-e a e， 解得：21-+>ee a 14分 考点：利用导数研究函数的性质，单调性，极值，零点，范围.。