专题16 圆锥曲线与重心问题-2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破(全国通用)(解析版)
专题16 圆锥曲线与重心问题
一、单选题
1．已知点P Q M ，，是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>上的三点，坐标原点O 是PQM 的重心，
若点,M ⎫⎪⎪⎝⎭，直线PQ 的斜率恒为1
2-，则椭圆C 的离心率为（ ） A
B
C
D
【解析】设()()1122,,,P x y Q x y
，又,M ⎫⎪⎪⎝⎭
由原点O 是PQM
的重心，得
1212220,033
x x y y +++==，
即1212,x x y y +=+=，又P Q ，是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的点，
2222
1122
22221,1x y x y a b a b ∴+=+=，作差可得：()()()()121212122
2
x x x x y y y y a b -+-+=-， 即()(
)2
2
12122
12121
2b b x x y y x x a y y ⎛⎫⋅ ⎪+-=-=-=-+⎝⎭
，即12b a =，
∴c e a ==， 故选：D
2．已知椭圆()22
2210x y a b a b +=>>的右焦点和上顶点分别为点()(),0F c b c >和点A ，直线
:65280l x y --=交椭圆于,P Q 两点，若F 恰好为APQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A
B
C
D
【解析】由题设()()()()1122,0,0,,,,,F c A b P x y Q x y ，则线段PQ 的中点为()00,B x y ， 由三角形重心的性质知2AF FB =，即()00,2,()c b x c y -=-，解得：003,22
c b x y =
=- 即3,22c b B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭代入直线:65280l x y --=，得592802b c +-=①.
又B 为线段PQ 的中点，则12123,x x c y y b +=+=-，
又,P Q 为椭圆上两点，2222
112222221,1x y x y a b a b
∴+=+=，
以上两式相减得()()()()121212122
2
0x x x x y y y y a b +-+-+=，
所以22121222121236
5
PQ
y y x x b b c k x x a y y a b -+==-⋅=-⨯=-+-，化简得225a bc =② 由①②及222a b c =+
，解得：42
a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩
，即离心率e =. 故选：C. 3．设点P 为椭圆22
:12516
x y C +=上一点，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，且12PF F ∆的重
心为点G ，如果12||:||2:3PF PF =，那么1GPF ∆的面积为（ ） A
B
．C
．
3
D
．【解析】
由于点P 为椭圆22
:12516x y C +
=上一点，1212||:||2:3,||||210PF PF PF PF a =+==， 12||4,||6PF PF ∴==
，又12||26F F c === ，
故12PF F ∆为等腰三角形，以1PF
为底的高为：h =，
故1211
||2
PF F S PF h ∆=
⨯=，1
1
12
22182
3
32
3
GPF OPF PF F S S S =
=⨯=
，故选：C 4．已知A 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左顶点，12F F 、分别为左、右焦点，P 为双曲
线上一点，G 是12
PF F △的重心，若1GA
PF λ=，则b
a 为（
） A
B ．
C
D ．与λ的取值有关
【解析】因为G 是12
PF F △的重心，所以2PG GO =，又因1GA PF λ=，所以1//GA PF ， 12OA AF ∴=，2a c a ∴=
-，3c a =∴，又222c a b =
+，b
∴=，∴
b
a
=B ．
5．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y
C a b a b
-=>>的左、右焦点，点A 是双曲线C 右支上一
点，若12AF F △的内切圆M 的半径为a ，且12AF F △的重心G 满足12MG F F λ=，则双曲线C 的离心率为（ ）
A B C ．2
D ．【解析】如图所示：
因为12MG F F λ=，所以12//MG F F ，所以M G y y a ==，33A G y y a ==， 所以()12
1211
23222
AF F S
c a AF AF c a =⋅⋅=⋅++⋅，又122AF AF a -=，解得122,2AF c a AF c a =+=-， 设(),A A A x y ，()1,0F c -，
所以1AF A ex a +.
所以1A AF a ex =+，解得2A
x a =，所以()2,3A a a ，代入双曲线方程得：()
()2
2
2
2
231a a a
b
-
=，
解得,2b c a ，所以2c
e a
=
=.故选：C 6．已知ABC 的三个顶点都在抛物线T ：()2
20y px p =>，且()2,8C -，抛物线T 的焦点F
为ABC 的重心，则AF BF +=（ ） A ．40
B ．38
C ．36
D ．34
【解析】由题意知()2
822p -=⨯，解得16p =，所以()8,0F ．设()11,A x y ，()22,B x y ，则由三角形的重心坐标公式得122
83
x x ++=，化简得1222x x +=，根据抛物线的定义，得12123822
p p
AF BF x x x x p +=+
++=++=，故选：B ．
7．已知A 、B 、C 是抛物线()2
20y px p =>上三个不同的点，且抛物线的焦点F 是ABC 的
重心，若直线AB 、BC 、CA 的斜率存在且分别为AB k 、BC k 、CA k ，则
111
AB BC CA
k k k ++=（ ） A ．3
B ．1-
C ．1
D ．0
【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则2112y px =，2
222y px =，
两式相减，得()22
12122y y p x x -=-，则
1212121
2AB x x y y k y y p
-+==-， 设()33,C x y ，同理可得2312BC y y k p +=，131
2AC y y k p
+=，因为焦点F 是ABC 的重心，所以1230y y y ++=，
则
2313120211221
AB BC CA y y y y y y p k p
k p k +++++++==，故选：D. 8．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为()2,0F ，过点F 的直线交C 于A ，
B 两点，OAB 的重心为点G ，则点G 到直线3310x y -+=的距离的最小值为（ ） A ．2
B
C
D
．【解析】由题意，抛物线为28y x =，可令直线AB 为2x my =+，若11(,)A x y ，22(,)B x y ， ∴联立直线与抛物线得28160y my --=且264(1)0m ∆=+>，则128y y m +=，
∴2
1212()484x x m y y m +=++=+，又OAB 的重心为点G ，即1212
(
,)33
x x y y G ++， ∴2848(,)33m m
G +，则G 到直线3310x y -+=
的距离221
|8()3|m d -+== ∴当12m =
时，min d =
=.故选：C. 二、多选题
9．椭圆22
143
x y +=的左、右焦点分别是12F F 、，00(,)P x y 是椭圆第一象限上的一点（不包
括轴上的点），12PF F ∆的重心是G ，12F PF ∠的角平分线交x 轴于点M （m ，0），下列说法正确的有（ ）
A ．G 的轨迹是椭圆的一部分
B ．OG
的长度范围是4
)3
C ．
1
2
MF MF 取值范围是(1,3) D ．014
m x =
【解析】设重心(),G x y ，又()()0012(,),1,0,1,0P x y F F -，
∴0
03
3
x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，即0033x x y y =⎧⎨=⎩，又00(,)P x y 是椭圆上一点， ∴
()()2
2
3314
3
x y +
=，即()2
2931,0,04
x y x y +=>>，故A 正确； ∵G 的轨迹是椭圆229314x y +=的一部分，长半轴长为23
∴23OG ⎫
∈⎪⎪⎝⎭
，故B 错误；
根据内角平分线定理可知，1122222241MF PF a PF MF PF PF PF -===-，又()21,2PF ∈，∴()2
4
11,3PF -∈，故C 正确；
同样利用内角平分线定理与焦半径公式，由1122MF PF MF PF =可知，0
01
22122
11x m m x
+
=--+， ∴01
4
m x =
，故D 正确. 故选：ACD. 10．若双曲线2
2:
14
5
x y C ， 12,F F 分别为左、右焦点，设点P 在双曲线上且在第一象限的
动点，点I 为12PF F △的内心，点G 为12PF F △的重心，则下列说法正确的是（ ）
A ．双曲线C 的离心率为3
2
B ．点I 的运动轨迹为双曲线的一部分
C ．若122PF PF =，12PI xPF yPF =+，则29
y x -=. D ．存在点P ，使得12//IG F F 【解析】由题意，双曲线2
2:
14
5
x y C
，可得2,3a b c ===，
则离心率为3
2
c e a =
=，所以A 正确； 设12,PF m PF n ==，12PF F △的内切圆与边1PF 切于点S ，与边2PF 切于点K ，
与边12F F 切于点T ，可得1122,,PS PK FS FT F T F K ===， 由双曲线的定义可得2m n a -=，即12122FS F K FT F T a -=-=， 又由1
22FT F T c +=，解得2F T c a =-，则T 的横坐标为a ，
由I 与T 的横坐标相同，可得I 的横坐标为2a =，可得I 在定直线2x =上运动， 所以B 不正确；
由122PF PF =且1224PF PF a -==，解得12128,4,26PF PF F F c ====， 则126436167cos 2868PF F +-∠=
=⨯⨯
，可得12sin PF F ∠=
所以12tan PF F ∠=
21tan PF F ∠=
设直线1:3)PF y x =
+
，直线2:3)PF y x =-
，联立方程组，求得P ， 设12PF F △的内切圆的半径为r
，则12
11=86(846)22
PF F S r ⨯⨯++⋅，
解得r =
I
，可得12215(2,),(7,15),(1,3PI PF PF =--
=
--=-
，
由12PI xPF yPF =+，可得27x y
-=--⎧⎪
⎨=⎪⎩，解得24,99x y ==，
可得2
9
y x -=
，所以C 正确； 设0000(,)(0,0)P x y x y >>，则00
(
,)33
x y G ， 设12PF F △的内切圆的半径为r ，则12
12011
=
(2)22
PF F S
F F y m n c r ⨯=++⋅， 于是01(2)2cy m n c r =++⋅，可得0
22cy r m n c =++，若12//IG F F ，可得
00223
cy y m n c =++，即412m n c +==，
又由24m n a -==，联立可得4n =，因此()2200
22
3165420x y x y ⎧-+=⎪⎨
-=⎪⎩，解得004,x y == 即存在点P ，使得12//IG F F
，所以D 正确. 故选：ACD.
11．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线
l 与y 轴及双曲线()222210,0x y
a b a b
-=>>的两条渐近线的三个不同交点构成集合M ，且M
恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若l 的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（ ） A
B
C
D
【解析】设:l y x m =+，由y x m b
y x a =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得am x b a
bm y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩
，得(,)am bm A b a b a --， 由y x m b y x a =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，得am x b a
bm y b a ⎧
=-⎪⎪+⎨
⎪=⎪+⎩，得(,)am bm B b a b a -++，由0y x m x =+⎧⎨=⎩，得0x y m =⎧⎨=⎩，得(0,)P m ，
||AB =
||AP =
=
||BP =
= 若A 为重心、B 为外心、P 为垂心，则1
||||2
AB AP =，
12=3a b =
，此时双曲线的离心率e ==，
若A 为重心、B 为垂心、P 为外心，则1
||||2
AP AB =，
12=0a =不成立；
若B 为重心、A 为垂心、P 为外心，则1
||||2
BP AB =，
所以
22||1||
2||
m m b a b a =⨯+-，化简得2a b =
，此时双曲线的离心率e ==
若B 为重心，P 为垂心、A 为外心，则1
||||2
BA BP =
，
22||1||||2m m b a b a
=-+，化简得5a b =
，此时双曲线的离心率e =；
若P 为重心、A 为垂心、B 为外心，则1
||||2
BP AP =
，
12=，化简得3b a =或3a b =，
此时双曲线的离心率e ==e = 若P 为重心，B 为垂心、A 为外心，则1
||||2
AP BP =，
12=，化简得3b a =-或3a b =-都不成立.
综上所述：e =e =e =或e =
故选：ABD
12．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这
条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作ABC ，AB AC =，点(2,4)B -，
点(5,3)C -，且其“欧拉线”与圆222:(5)M x y r -+=相切，则下列结论正确的是（ ）
A ．圆M 上点到直线30x y -+=的最大距离为B
．圆M 上点到直线30x y -+=的最小距离为C
．若点(,)x y 在圆M 上，则x y +的最小值是3-
D ．圆22(1)()2x a y a --+-=与圆M 有公共点，则a 的取值范围是2⎡⎣
【解析】因为AB AC =，由题意可得三角形ABD 的欧拉线为BC 的中垂线， 由(2,4)B -，点(5,3)C -可得BC 的中点为31,22⎛⎫
⎪⎝⎭
，且43125BC k +=
=---， 所以线段BC 的中垂线方程为：13
22
y x -
=-，即10x y --=， 因为三角形ABC 的“欧拉线”与圆222:(5)M x y r -+=相切，
所以圆心(5,0)到直线10x y --=的距离
d r ==
=
所以圆M 的方程为：22(5)8x y -+=，因为圆心(5,0)到直线30x y -+=的距离
d =
=， A
中，圆M 上点到直线30x y -+=的距离的最大值为d r +==A 不正确：
B 中，圆M 上点到直线30x y -+=的距离的最小值为d r -=故B 正确；
C 中：令t x y =+，所以y t x =-，代入圆M 的方程22(5)8x y -+=， 可得22(5)()8x t x -+-=，整理可得222(102)170x t x t -+++=，
由于(,)x y 在圆上，所以222(102)170x t x t -+++=有根，
则()()2
2
10242170t t ∆=+-⨯⨯+≥，整理可得：29100t t -+≤，解得：19t ≤≤，
所以t 的最小值为1，即x y +的最小值为1，所以C 错误； D 中：22(1)()2x a y a --+-=圆心坐标(1,)a a +
； 圆M 的22(5)8x y -+=的圆心坐标为(5,0)
，半径为
要使圆22(1)()2x a y a --+-=与圆M
有公共点，则圆心距∈，
≤22470
410a a a a ⎧-+≥⎨--≤⎩
，解得22a ≤≤D 正确； 故选：BD ． 三、填空题
13．已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22
221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线
l 与双曲线的右支交于第一象限内的一点P ，若,33b a G ⎛⎫
⎪⎝⎭
为12F PF △的重心，则该双曲线的离
心率为______.
【解析】设()P m n ,，()1-,0F c ，()2,0F c ，则由重心坐标公式可得33
0033b m c c a n +-⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得m b n a =⎧⎨
=⎩ ∴点P 的坐标为(),b a .∵点P 在曲线C 上，∴22
221b a a b
-=，∴4422b a a b -=.
∵c e a
=（1e >），∴c ea =，∴22222a b c e a +==，∴()222
1e a b =-，∴()222111e e --=-，
∴42310e e -+=
，解得2e
2e =
，∴e =
14．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=＞＞的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，斜率为12-
的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△ABF 1的重心为G (,)63
c c
，则椭圆C 的离心率为________．
【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则2222
1122
22221,1,x y x y a b a b
+=+=
两式相减得
12122()()x x x x a -+＋12122
()()
y y y y b -+＝0.(*)
因为△ABF 1的重心为G (,)63
c c
，
所以1212,36
,33x x c c
y y c +-⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩故12123,2,c x x y y c ⎧+=⎪⎨
⎪+=⎩代入(*)式得1212223()()02x x c y y c a b --+=， 所以1212y y x x --＝2232b a -＝12-，即a 2＝3b 2，所以椭圆C 的离心率e
15．已知A ，B ，C 是抛物线()2
20y px p =>上三个不同的点，且抛物线的焦点F 是ABC
的重心，若直线AB ，BC ，CA 的斜率存在且分别为AB k ，BC k ，CA k ，则
111
AB BC CA
k k k ++=______． 【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则2112y px =，2
222y px =，两式相减，得()2212122y y p x x -=-，
所以
12121212AB x x y y k y y p -+==-，设()33,C x y ，同理可得2312BC y y k p +=，131
2AC y y k p
+=．由于焦点F 是ABC 的重心，所以1230y y y ++=，故
111
0AB BC CA
k k k ++=． 16．已知抛物线E ：y 2＝4x ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）为抛物线上的三个动点，其中x 1＜x 2＜x 3且y 2＜0，若ABC 的重心恰为抛物线E 的焦点，且AB 、AC 、BC 三边中点到抛物线E 的准线的距离成等差数列，则直线AC 的斜率为_____. 【解析】
如图所示，设F 是抛物线的焦点，00(,)D x y ，
由题得3300302,(1,)2(1,),122CF FD x y x y x x =∴--=-∴-=-， 所以3032x x -=
，即332D x x -=，同理21
33,,22
G H x x x x --=
= 因为F 是ABC 的重心，所以123123+3+0.x x x y y y +=+=， 因为AB 、AC 、BC 三边中点到抛物线E 的准线的距离成等差数列， 所以
312333+1++12(1)222
x x x ---=+，所以1322222,32,1x x x x x x +=∴-=∴=. 由题得2
222241,2,0,2y y y y =⨯∴=±<∴=-.所以13 2.y y +=
因为233
3131312
11
4,()()4()4y x y y y y x x y x ⎧=⎪∴+-=-⎨=⎪⎩，31313131()42()4()==2()2y y y y x x x x -∴-=-∴-，， 所以直线AC 的斜率为2. 四、解答题
17．在双曲线C ：22
145
x y -=中，1F ､2F 分别为双曲线C 的左右两个焦点，P 为双曲线上且
在第一象限内的点，12PF F △的重心为G ，内心为I .
（1）求内心I 的横坐标；
（2）已知A 为双曲线C 的左顶点，直线l 过右焦点2F 与双曲线C 交于M 、N 两点，若AM 、
AN 的斜率1k 、2k 满足121
2k k +=-，求直线l 的方程；
（3）若12//IG F F ，求点P 的坐标.
【解析】(1)依题意，双曲线C 的焦点12(3,0),(3,0)F F -，作出12PF F △的内切圆，I 为圆心，切点分别为S ，K ，T ，如图：
设点I 的横坐标为t ，显然IT ⊥x 轴，1122||||,||||,||||PS PK F S FT F K F T ===， 由双曲线定义知1212124||||(||||)(||||)||||
PF PF PS F S PK F K FT F T =-=+-+=-(3)(3)2t t t =+--=，解得2t =，所以内心I 的横坐标为2；
(2)点(2,0)A -，显然直线l 不垂直于x 轴，否则由双曲线对称性得120k k +=， 设直线l 的斜率为k ，则直线l ：(3)y k x =-，
由22
(3)5420y k x x y =-⎧⎨-=⎩消去y 得：2222(54)2436200k x k x k -+--=， 显然2
540k -≠，设1122(,),(,)M x y N x y ，22121222243620
,4545
k k x x x x k k ++==--， 则121212121212(3)(3)11
25()222222
y y k x k x k k k k x x x x x x --+=
+=+=-+++++++ 2
21222121222244()44525253620242()4
24
4545
k x x k k k k k k k x x x x k k +++-=-⋅=-⋅
+++++⋅+--22402011
251002
k k k k k -=-⋅==-，
解得2k =-，即直线l ：2(3)y x =--，所以直线l 的方程为26y x =-+；
(3)设点0000(,)(0,0)P x y x y >>，则12PF F △的重心00
(,)33
x y G ， 因12//IG F F ，则0
||3
y IT =
，而12||||4PF PF =+， 12
0012122211
(||||||)||(42||6)(5||)2233PF F y y S
PF PF F F IT PF PF =++=++⋅=+， 又12
12001
||32
PF F S
F F y y =
⋅=，联立解得2||4PF =， 从而有22
0022
00(3)165420x y x y ⎧-+=⎨-=⎩
，解得00
4
x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
，即点P ， 所以点P
的坐标为.
18．已知椭圆2
22:1(1)x C y a a
+=>的右焦点与抛物线2:4C y x '=的焦点重合.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知椭圆C 的右焦点2F 与点(2,0)H -关于直线l 对称，问：是否存在过右焦点2F 的直线l '与椭圆C 交于,G K 两点，使OGK 的重心恰好在直线l 上？若存在，求出直线l '的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题可得抛物线的交点为()1,0，1c ∴=，则222112a b c =+=+=， 所以椭圆的方程为2
212
x y +=；
（2）可得()21,0F ，则直线l 的方程为12
x =-，假设存在符合题意的直线l '，
当直线l '的斜率不存在时，直线l '的方程为1x =，易得OGK 的重心坐标为2,03⎛⎫
⎪⎝⎭
，不满足
在直线l 上，舍去；当直线l '的斜率存在时，设为k ，显然0k ≠，则l '的方程为()1y k x =-， 设()()1122,,,G x y K x y ，联立方程()22
121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
得()
2222
124220k x k x k +-+-=，则
2
122
412k x x k +=
+， 要使OGK 的重心恰好在直线l 上，则120132
x x ++=-，即123
2x x +=-，
即2243
122
k k =-+，方程无解.
综上，不存在满足条件的直线l '.
19．若椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为()1,0F ，过F 且斜率为1k 的直线l 与C 交于
A ，
B 两点，设O 为坐标原点，点D 满足OA OB OD +=，设直线OD 的斜率为2k ，且
121
2
k k ⋅=-.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若P 为椭圆C 上一点，且点O 为△PAB 的重心，证明：AB PF =.
【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()1212,D x x y y ++，又A ，B 在椭圆C 上，
∴22
1122222222
11
x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差2222
1212
220x x y y a b --+=，整理得：21212122121212y y y y b k k x x x x a -+⋅=⋅=-=--+， ∴2
2
2a b =，又2
2
1a b -=，∴2
2a =，2
1b =，故椭圆C 的方程为2
212
x y +=；
（2）设直线l 的方程为()1y k x =-，
与椭圆C 联立并整理得：()
2222
214220k x k x k +-+-=，28(1)0k ∆=+>，
∴212
2421
k x x k ，则()1212
22221k
y y k x x k -+=+-=+， 又O 恰为△PAB 的重心，故P 坐标为()1212,x x y y ----，即22242,2121k k P k k ⎛⎫
- ⎪++⎝⎭
因为P 在椭圆C 上，即2
222242()222121k k k k -⎛⎫+= ⎪++⎝⎭
，解得2
12k =，
∴
PF 2
1224121k x x k +==+，2122221
212
k x x k -⋅==-+，
故
AB ；∴AB PF =
.
20．已知A 为椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>与抛物线22y px =的交点，设椭圆的左右焦
点为12,F F ，抛物线的焦点为F ，直线AF 将12AF
F △的面积分为9：7两部分.
（1）求椭圆及抛物线的方程； （2）若直线l ：y kx m =+与椭圆
22
22
1x y a b +=相交于P Q 、两点，且OPQ △的重心恰好在圆22:1O x y +=上，求m 的取值范围.
【解析】（1
）A 为椭圆与抛物线的交点22
421a b ⇒
+=，24p =；21
2
p y x ⇒=⇒=； 又直线AF 将12AF F △的面积分为9：7两部分191
()2474
c c c ⇒+
=-⇒=； 2
2
4a b ⇒-=，
解之可得：2,b a ==，抛物线的方程为：2y x =；椭圆的方程为：22
184
x y += （2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由22
184
x y y kx m ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
得222(12)4280k x kmx m +++-= 由0∆>，得224(21)k m +>…（※），且122
412km
x x k +=-
+ 由POQ △重心恰好在圆221x y +=上，得22
1212()()9x x y y +++=
即22
1212()[()2]9x x k x x m ++++=，即2221212(1)()4()49k x x km x x m +++++=
∴22222222216(1)1649(12)12k k m k m m k k +-+=++，化简得222
29(12)4(41)k m k +=+，代入（※）得k ∈R ，
又设2
2
141(1)4t k t k t -+=⇒=≥，222
29(12)4(41)k m k +==+29(21)16t t t
++919(2)164t t =++≥，
当且仅当1t =时，取等号，∴2
94m ≥
，则实数m 的取值范围为32
m ≤-或32m ≥
21．已知椭圆2222:1(0) x y M a b a b +=>>
1 2P ⎫⎪⎭在椭圆M 上.
（1）求椭圆M 的方程；
（2）设O 为坐标原点，A ，B ，C 是椭圆M 上不同的三点，且O 为ABC 的重心，探究ABC
面积是否为定值，若是求出这个定值；若不是，说明理由
【解析】（1）
由题知：
2
222222
121a b c a a b c ⎧⎛⎫⎪ ⎪
⎝⎭⎪+
=⎪⎪
⎪=
⎨⎪=+⎪⎪⎪⎪⎩
，解得2a =，1b =，所以椭圆M 的方程为2
214x y +=； （2）当直线AB 的斜率不存在时，AB x ⊥轴，点C 在x
轴上，AB C 到AB 的距
离为3d =
，则12ABC S AB d =
=
△ 当直线AB 的斜率存在时，设直线:AB y kx m =+
由2
214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去x ，整理()()222418410k x kmy m +++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则有()
2
2
16410k m
=+->△，122841km x x k +=-+，212244
41
m x x k -⋅=+，
所以()121222241m y y k x x m k +=++=+
，12AB x =-=， 因为O 为ABC 的重心，则由()
2282,4141km
m OC OA OB k k ⎛⎫=-+=- ⎪++⎝⎭
，
点2282,4141km m C k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
在椭圆上，则2
22282411441km m k k ⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎝⎭+-= ⎪+⎝⎭
得22441m k =+， 点O 到直线AB
的距离为d =
所以332
ABC
ABO
S
S
AB d ==== 综上：
ABC S =
△为定值． 22．设1C 是以F 为焦点的抛物线
22(0)y px p =>，2C
是以直线20x =与20x =的渐近线，以为一个焦点的双曲线.
（1）求双曲线2C 的标准方程；
（2）若1C 与2C 在第一象限有两个公共点,A B ，求p 的取值范围，并求FA FB
⋅的最大值； （3）是否存在正数p
，使得此时FAB ∆的重心G 恰好在双曲线2C 的渐近线上？如果存在，求出p 的值；如果不存在，说明理由.
【解析】（1）由题可知焦点为，故焦点在y 轴上，设双曲线2C 的方程为
22
2
21(0,0)y x a b a b
-=>> 2C
是以直线20x =
与20x =为渐近线，
∴
a b =2
2
2
7c a b =+=，2a ∴=
，b =∴双曲线方程为22143
y x
-=； （2）抛物线22(0)y px p =>的焦点(2
p F ，0)，联立双曲线方程消y 得：246120x px -+=， 可得1212323
x x p x x ⎧
+=⎪⎨
⎪=⎩，1C 与2C 在第一象限内有两个公共点A 和B ，∴>0∆
，p ∴> 设()()1122,,,A x y B x y ，则()212121212122224p p p p FA FB x x y y x x x x y y ⎛
⎫⎛⎫=--+=-+++ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
将1212
323x x p x x ⎧
+=⎪⎨
⎪=⎩
代入得221
3(922p FA FB
p =-++=--+，函数的对称轴为p =
43
3
p >
p ∴=FA FB 的最大值为9； （3）由（2）知FAB ∆的重心123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭
为2(3p
G ，12
)3y y +，
12y y +=
23p G ⎛
∴
⎝⎭
， 假设G 恰好在双曲线2C
的渐近线上，代入20x =
可得22
03
p ⨯=，∴
27
p =，0p ∴=或p =
433p >
p ∴=
∴存在正数p =FAB ∆的重心G 恰好在双曲线2C 的渐近线上
高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合(新高考卷)
高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷 【母题题文】已知点A(2,1)在双曲线C:x2 a2−y2 a2−1 =1(a>1)上，直线l交C于P，Q 两点，直线AP，AQ的斜率之和为0． (1)求l的斜率; (2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积． 【答案】解：(1)将点A代入双曲线方程得4 a2−1 a2−1 =1，化简得a4−4a2+4=0 得： a2=2，故双曲线方程为x2 2 −y2=1; 由题显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则联立直线与双曲线得： (2k2−1)x2+4kmx+2m2+2=0，△>0， 故x1+x2=−4km 2k2−1，x1x2=2m2+2 2k2−1 ， k AP+k AQ=y1−1 x1−2+y2−1 x2−2 =kx1+m−1 x1−2 +kx2+m−1 x2−2 =0， 化简得：2kx1x2+(m−1−2k)(x1+x2)−4(m−1)=0， 故2k(2m2+2) 2k2−1+(m−1−2k)(−4km 2k2−1 )−4(m−1)=0， 即(k+1)(m+2k−1)=0，而直线l不过A点，故k=−1． (2)设直线AP的倾斜角为α，由tan∠PAQ=2√2，得tan∠PAQ 2=√2 2 ， 由2α+∠PAQ=π，得k AP=tanα=√2，即y1−1 x1−2 =√2，
联立y 1−1 x 1−2=√2，及x 12 2 −y 12=1得x 1=10−4√23 ，y 1=4√2−53 ， 同理，x 2=10+4√2 3，y 2= −4√2−5 3 ， 故x 1+x 2= 20 3 ，x 1x 2=689 而|AP|=√3|x 1−2|，|AQ|=√3|x 2−2|， 由tan∠PAQ =2√2，得sin∠PAQ = 2√2 3 ， 故S △PAQ =1 2|AP||AQ|sin∠PAQ =√2|x 1x 2−2(x 1+x 2)+4|= 16√2 9 ． 【母题来源】2022年新高考II 卷 【母题题文】.设双曲线C:x 2a 2−y 2 b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方 程为y =±√3x. (1)求C 的方程; (2)经过F 的直线与C 的渐近线分别交于A ，B 两点，点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)在C 上，且x 1>x 2>0，y 1>0.过P 且斜率为−√3的直线与过Q 且斜率为√3的直线交于点M ，从下面三个条件 ① ② ③中选择两个条件，证明另一个条件成立： ①M 在AB 上; ②PQ//AB; ③|AM|=|BM|． 【答案】解：(1)由题意可得b a =√3，√a 2+ b 2=2，故a =1，b =√3． 因此C 的方程为x 2 − y 23 =1． (2)设直线PQ 的方程为y =kx +m(k ≠0)，将直线PQ 的方程代入C 的方程得(3−k 2)x 2−2kmx −m 2−3=0， 则x 1+x 2=2km 3−k 2，x 1x 2=−m 2+3 3−k 2 ，
圆锥曲线全国卷高考真题选择题36道(原卷版)-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练
韩哥智慧之窗-精品文档 1 专题16：圆锥曲线全国卷高考真题选择题36道（原卷版） 一、单选题 1，2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 2，2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过 点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ?最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y +-= C ．210x y -+= D ．210x y ++= 3，2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ） A B C D 4，2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 5，2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04?? ??? B ．1 ,02?? ??? C ．(1,0) D ．(2,0) 6，2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 设双曲线C ：22 221x y a b -=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2 ．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
全国名校高考数学专题训练圆锥曲线
全国名校高考专题训练——圆锥曲线选择填空100题 一、选择题(本大题共60小题) 1.(江苏省启东中学高三综合测试二)在抛物线y 2 ＝2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为( ) C. 2 D. 4 2.(江苏省启东中学高三综合测试三)已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于( ) 3.(江苏省启东中学高三综合测试四)设F 1，F 2是椭圆4x 249＋y 26 ＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|：|PF 2|＝4：3，则△PF 1F 2的面积为( ) 4.(安徽省皖南八校高三第一次联考)已知倾斜角α≠0的直线l 过椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 交椭圆于A ，B 两点，P 为右准线上任意一点，则∠APB 为( ) A.钝角 B.直角 C.锐角 D.都有可能 5.(江西省五校高三开学联考)从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b 2，4b 2 ]，则这一椭圆离心率e 的取值范围是( ) A.[53，32] B.[33，22] C.[53，22] D. [33，32] 6.(安徽省淮南市高三第一次模拟考试)已知点A ，F 分别是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和左焦点，点B 为椭圆短轴的一个端点，若BF →·BA →＝0=0，则椭圆的离心率e 为( ) 7.(安徽省巢湖市高三第二次教学质量检测)以椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于( ) 8.(北京市朝阳区高三数学一模)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2的顶点在原点，它的准线与双曲线C 1的左准线重合，若双曲线C 1与抛物线
高考文科数学圆锥曲线专题训练
高考文科数学圆锥曲线专题训练 用时：60分钟 一、选择题 1. θ是任意实数，则方程4sin 22=+θy x 所表示的曲线不可能是 A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 2. 已知椭121 )(122 2=-+t y x 的一条准线方程是8=y ，则实数t 的值是 A. 7或－7 B. 4或12 C. 1或15 D. 0 3. 双曲线142 2=+k y x 的离心率)2,1(∈e ，则k 的取值范围为 A. )0,(-∞ B. （－12，0） C. （－3，0） D. （－60，－12） 4. 以 112422=-y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 A. 112162 2=+y x B. 116122 2=+y x C. 14 162 2=+y x D. 116 42 2=+y x 5. 抛物线2 8mx y =的焦点坐标为 A. )0,81 ( m B. )321, 0(m C. )321 ,0(m ± D. )0,321 (m ± 6. 已知点A （－2，1），x y 42 -=的焦点为F ，P 是x y 42 -=的点，为使PF PA +取得最小值，P 点的坐标是 A. )1,41 (- B. )22,2(- C. )1,4 1(-- D. )22,2(-- 7. 已知双曲线的渐近线方程为043=±y x ，一条准线方程为095=-y ，则双曲线方程为 A. 116922=-x y B. 11692 2=-y x C. 125 92 2=-x y D. 125 92 2=-y x
8. 抛物线2x y =到直线42=-y x 距离最近的点的坐标为 A. )4 5,23( B. )1,1( C. )4 9,23( D. )4,2( 9. 动圆的圆心在抛物线x y 82=上，且动圆与直线02=+x 相切，则动圆必过定点 A. （4，0） B. （2，0） C. （0，2） D. （0，－2） 10．中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为 2 1 ，则椭圆方程为 125 75D. 17525C.125 2752B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x 二、填空题 11. 到定点（2，0）的距离与到定直线8=x 的距离之比为 2 2 的动点的轨迹方程为_______. 12.双曲线2222=-my mx 的一条准线是1=y ，则=m ___________. 13. 已知点（－2，3）与抛物线)0(22>=p px y 的焦点距离是5，=p ____________. 14．直线l 的方程为y =x +3,在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2 －4y 2 =3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_______________. 三、解答题 15. 已知双曲线的中心在原点，过右焦点F （2，0）作斜率为5 3 的直线，交双曲线于M 、N 两点，且MN ＝4，求双曲线方程。 16. 过椭圆13 42 2=+y x 的左焦点F 作直线l 交椭圆于P 、Q ，2F 为右焦点。 求：22QF PF ．的最值
2020版高考数学 专题突破-高考中的圆锥曲线问题-证明与探索性问题教案(理)(含解析)新人教A版
第3课时 证明与探索性问题 题型一 证明问题 例1(2017·全国Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22 ＋y 2 ＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →. (1)求点P 的轨迹方程； (2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . (1)解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)， NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)． 由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22 y . 因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 2 2 ＝1. 因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2. (2)证明 由题意知F (－1,0)． 设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )， PF → ＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ， OP →＝(m ，n )，PQ → ＝(－3－m ，t －n )． 由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1. 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.
所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →. 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ， 所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 思维升华圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法． 跟踪训练1已知椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点A (0,1)，离心率e ＝63 ，圆C ：x 2＋y 2＝4，从圆C 上任意一点P 向椭圆T 引两条切线PM ，PN . (1)求椭圆T 的方程； (2)求证：PM ⊥PN . (1)解 由题意可知b ＝1，c a ＝ 63，即2a 2＝3c 2， 又a 2＝b 2＋c 2，联立解得a 2＝3，b 2＝1. ∴椭圆方程为x 23 ＋y 2＝1. (2)证明 方法一 ①当P 点横坐标为±3时，纵坐标为±1，PM 斜率不存在，PN 斜率为0，PM ⊥PN . ②当P 点横坐标不为±3时，设P (x 0，y 0)， 则x 20＋y 2 0＝4，设k PM ＝k ， PM 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y －y 0＝k (x －x 0)，x 23 ＋y 2＝1， 消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k (y 0－kx 0)x ＋3k 2x 20－6kx 0y 0＋3y 2 0－3＝0， 依题意Δ＝36k 2(y 0－kx 0)2－4(1＋3k 2)(3k 2x 20－6kx 0y 0＋3y 20－3)＝0， 化简得(3－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 2 0＝0， 又k PM ，k PN 为方程的两根， 所以k PM ·k PN ＝1－y 203－x 20＝1－(4－x 20)3－x 20＝x 20－33－x 20 ＝－1. 所以PM ⊥PN . 综上知PM ⊥PN . 方法二 ①当P 点横坐标为±3时，纵坐标为±1，PM 斜率不存在，PN 斜率为0，PM ⊥PN . ②当P 点横坐标不为±3时，设P (2cos θ，2sin θ)， 切线方程为y －2sin θ＝k (x －2cos θ)，
圆锥曲线中的面积与范围问题-2022年高考数学重难点专题(新高考地区专用)
专题19 圆锥曲线中的面积与范围问题1、三角形的面积 ① 1 2 AOB AB d S= ⋅;(其中d是三角形的顶点O到直线AB的距离) ② 2 Δ 2 Δ 11 ||||||()4 22 11 ||||||()4 22 AOB A B A B A AO A B B A B B B A S OP y y OP y y y y S OQ x x OQ x x x x ⎧ =-=+-⋅ ⎪⎪ ⎨ ⎪=-=+-⋅ ⎪⎩ . 2、四边形的面积或其他多边形面积 1 2 APBQ S AB PQ = 四边形 ;(其中弦AB与弦PQ所在直线互相垂直) 若AB与PQ的夹角为θ,则 1 sin 2 APBQ S AB PQθ = 四边形 , 还有部分不规则的四边形或其他多边形面积问题, 可以转化为三角形面积的倍数,再参照上述三角形面积的求法进行求解即可. 3、求最值与范围问题的常用方法: （1）几何法: 若题目利用圆锥曲线的定义转化之后或题目中给的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决(比如: 两点间线段最短, 或垂线段最短, 或三角形的三边性质等) 解题模板: 第一步：根据圆锥曲线的定义或题目中给的条件和结论,把所求的最值或范围转
化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等; 第二步：利用两点间线段最短, 或垂线段最短, 或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条件, 进而求出最值或范围. （2）代数法: 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值或范围,最值常用基本不等式法、或利用求函数值域的方法(配方法、导数法等)求解. 解题模板: 第一步：将所求最值或范围的量用变量表示出来; 第二步：用基本不等式或求函数值域的方法求出最值或范围. （2021秋•昌平区期末）直线3x ﹣4y ＝0与抛物线W ：y 2＝2px （p ＞0）交于A ，B 两点，F 为抛物线W 的焦点，若|AB |＝5，则△ABF 的面积为（ ） A ．3 8 B ． 2732 C ．3 2 D ．8 3 【分析】由直线AB 的方程与抛物线的方程联立求出A ，B 的坐标，进而求出弦长|AB |的值，再由|AB |的值可得参数p 的值，可得焦点F 的坐标，求出点F 到直线AB 的距离d ，代入三角形的面积公式可得面积的值． 【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{3x −4y =0y 2=2px ，可得：{x =0y =0或{x =32p 9y = 8p 3 ， 所以|AB |= √x 2+y 2 =√322p 281+64p 29=√322 +24281 p 2 而|AB |＝5， 可得√322+24281⋅p 2=5，解得p =98 ，即F （916 ，0）， 所以F 到直线AB 的距离d = |3×9 16| √32+(−4)2 =27 16×5， 所以S △ABF =1 2•|AB |•d =1 2×5•2716×5 = 2732 ， 故选：B ．
专题16 圆锥曲线与重心问题-2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破(全国通用)(解析版)
专题16 圆锥曲线与重心问题 一、单选题 1．已知点P Q M ，，是椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>上的三点，坐标原点O 是PQM 的重心， 若点,M ⎫⎪⎪⎝⎭，直线PQ 的斜率恒为1 2-，则椭圆C 的离心率为（ ） A B C D 【解析】设()()1122,,,P x y Q x y ，又,M ⎫⎪⎪⎝⎭ 由原点O 是PQM 的重心，得 1212220,033 x x y y +++==， 即1212,x x y y +=+=，又P Q ，是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的点， 2222 1122 22221,1x y x y a b a b ∴+=+=，作差可得：()()()()121212122 2 x x x x y y y y a b -+-+=-， 即()( )2 2 12122 12121 2b b x x y y x x a y y ⎛⎫⋅ ⎪+-=-=-=-+⎝⎭ ，即12b a =， ∴c e a ==， 故选：D 2．已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的右焦点和上顶点分别为点()(),0F c b c >和点A ，直线 :65280l x y --=交椭圆于,P Q 两点，若F 恰好为APQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 【解析】由题设()()()()1122,0,0,,,,,F c A b P x y Q x y ，则线段PQ 的中点为()00,B x y ， 由三角形重心的性质知2AF FB =，即()00,2,()c b x c y -=-，解得：003,22 c b x y = =- 即3,22c b B ⎛⎫ - ⎪⎝⎭代入直线:65280l x y --=，得592802b c +-=①. 又B 为线段PQ 的中点，则12123,x x c y y b +=+=-，
新高考Ⅰ卷2022高考数学一题多解探寻圆锥曲线压轴破解之策与算法优化含解析
2022新高考Ⅰ卷21题解析几何压轴题解法探究 2022新高考Ⅰ卷数学试题，据称是近20年来史上第二难高考数学试题(史上最难2003)．本文将对该卷21题解析几何压轴题，从不同的角度进行解析剖析．以期总结方法规律，优化思考方向，破解难点疑点，为广大的2023届高考师生提供有益的参考和帮助． 【2022新高考1卷21题】 已知点(2,1)A 在双曲线22 22:1(1)1 x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0． （1）求l 的斜率； （2 ）若tan PAQ ∠=PAQ △的面积． 【答案】（1）1-（2 ） 9 方法一：直线双参+韦达法 【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222 :11 x y C a a -=-解得2 2a =，所以双曲线为2212x y -= 设直线PQ 的方程为y kx m =+，设1122(,),(,)P x y Q x y ， 联立22 12x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩ 消去y 得222 (21)4220k x kmx m -+++= 2121222422 ,2121 km m x x x x k k +∴+=-=--， 由121211 022 AP BP y y k k x x --+= +=--可得1221(1)(2)(1)(2)0y x y x --+--= 即1221(1)(2)(1)(2)0kx m x kx m x +--++--= 展开整理得12122(12)()4(1)0kx x m k x x m +--+--= 即222 2242(12)()4(1)02121 m km k m k m k k +⋅+--⋅---=-- 即2 (1)210m k k k +++-=，(1)(21)0k m k ++-=
专题07 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题-2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破(解析版)
专题07 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题 一、单选题 1．设1F ，2F 为双曲线2 2 14 y x -=的两个焦点， 点P 在双曲线上且满足1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为（ ） A ．2 B C ．4 D ．【解析】由题意，双曲线2 2 14 y x -=，可得1,2a b == ，则c = 因为点P 在双曲线上，不妨设点P 在第一象限，由双曲线的定义可得122PF PF -=， 又因为1290F PF ∠=︒，可得2221212PF PF F F += ，即22 21220PF PF +==， 又由22 2121212()2PF PF PF PF PF PF +=-+，可得2 122220PF PF +=，解得128PF PF =， 所以12F PF △的面积为121 42 S PF PF = =.故选：C. 2．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，与直线20x y +=交于A ，B 两点，若AB =双曲线的方程为（ ） A ．2225y x -= B ．2216y x -= C ．229y x -= D ．226y x -= 【解析】由题意可设双曲线方程为22y x m -=，0m >， 由2220y x m x y ⎧-=⎨+=⎩得23x m = ，则x =，0m > ，不妨假设A x = A y =- 由图象的对称性可知，AB = OA 9m =， 故双曲线方程为：229y x -=，故选：C 3．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：2 2 x －y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则|AB | ＝（ ） A ． B ． C ． D ． 【解析】解法一：由题意可知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －4)＋2.由22 (4)2, 12 y k x x y =-+⎧⎪ ⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝－2 8(21) 12k k k --＝8，解得k ＝1.
2022届高考数学专题复习圆锥曲线
专题 圆锥曲线 1．已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>过点M （2，3），点A 为其左顶点，且AM 的斜率 为 1 2 ， （1）求C 的方程； （2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值． 2．已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =， 其中O 为原点． （1）求椭圆的方程； （2）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 3．已知椭圆22 22:1x y C a b +=过点(2,1)A --，且2a b =． （1）求椭圆C 的方程： （2）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点 ,P Q ．求 || || PB BQ 的值．
4．如图，已知椭圆221:12 x C y +=，抛物线2 2:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物 线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）． （1）若1 16 = p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （2）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值． 5．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且过点()2,1A ． （1）求C 的方程： （2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值． 6．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22 :143 x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ． （1）求△AF 1F 2的周长； （2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的
高中数学新思路-圆锥曲线专题
高中数学新思路-圆锥曲线专题 一、圆锥曲线的基本概念 圆锥曲线是平面解析几何中的一类重要曲线，包括椭圆、抛物线、双曲线等。它们在几何形状和性质上都有自己独特的特点，通常可以用参数方程或普通方程来表示。 二、椭圆的标准方程与几何性质 椭圆是一种常见的圆锥曲线，它的标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的半径。椭圆有一些重要的几何性质，比如它的面积是πab，它的周长是4πa等。 三、抛物线的标准方程与几何性质 抛物线是一种圆锥曲线，它的标准方程为y^2 = 2px，其中p是焦距的一半。抛物线有一些重要的几何性质，比如它的准线是x=-p/2，它的焦点是(p/2, 0)等。 四、双曲线的标准方程与几何性质 双曲线是一种常见的圆锥曲线，它的标准方程为(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的实轴和虚轴的半径。双曲线有一些重要的几何性质，比如它的面积是πab，它的周长是4πa等。 五、圆锥曲线的焦点与准线 圆锥曲线的焦点和准线是描述其几何形状的重要参数。对于椭圆和双曲线，焦点位于曲线的中心，准线则是与焦点相切的直线。对于抛物线，焦点就是曲线的顶点，准线则是与焦点垂直的直线。 六、圆锥曲线的切线与法线
圆锥曲线的切线和法线是描述曲线在某一点处导数的几何量。对于椭圆和双曲线，其切线和法线分别是与过该点的曲率圆相切的直线和垂直于切线的直线。对于抛物线，其切线和法线分别是与过该点的射线的切线和垂直于射线的直线。 七、圆锥曲线中的最值问题 在解决圆锥曲线问题时，经常需要找到某个量的最大值或最小值。这类问题通常通过求导数并令其为零来找到可能的极值点，然后通过验证确定最大值或最小值。 八、圆锥曲线与直线的综合问题 在解决圆锥曲线与直线的综合问题时，需要找到曲线和直线的交点，然后通过这些交点来求解问题。这类问题可以通过联立方程组并求解得到交点坐标。 九、圆锥曲线在实际生活中的应用 圆锥曲线在很多实际生活场景中都有应用，比如卫星轨道设计、桥梁和建筑结构、航天器和导弹的弹道轨迹等。了解圆锥曲线的性质和应用有助于更好地理解这些实际问题的数学模型，进而找到解决问题的方法。
专题02 椭圆的焦点弦,中点弦,弦长问题-2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破(原卷版)
专题02 椭圆的焦点弦、中点弦、弦长问题 一、单选题 1．已知斜率为1的直线l 过椭圆2 214 x y +=的右焦点，交椭圆于A B 、两点，则弦AB 的长为（ ） A ．45 B ．65 C ．85 D ．135 2．经过椭圆22 221x y a b +=(a ＞b ＞0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为（ ） A ．2a b B ．22a b C ．2b a D ．22b a 3．已知F 是椭圆22 1259 x y +=的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 面积的最大值为（ ） A ．6 B ．15 C ．20 D ．12 4．设1F ，2F 是椭圆221164 x y +=的左右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，则22 AF BF +的最大值为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．10 5．已知椭圆2219x y +=，过点11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为（ ） A ．950x y +-= B ．940x y --= C ．950x y +-= D ．940x y -+= 6．已知椭圆()22 22:10x y G a b a b +=>>的右焦点为() 32,0F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为2,2，则G 的方程为（ ） A ．2213214+=x y B ．22 13820+=x y C ．2214830+=x y D ．2213618 x y += 7．过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的焦点(),0F c 的弦中最短弦长是（ ） A ．2 2b a B ．22a b C ．22c a D ．22c b 8．过椭圆:T 2 212 x y +=上的焦点F 作两条相互垂直的直线12l l 、，1l 交椭圆于,A B 两点，2l 交椭圆于,C D 两点，则AB CD +的取值范围是（ ） A ．83,33⎡⎢⎣ B ．82,33⎡⎤⎢⎥⎣ C ．82,32⎡⎢⎣ D ．83,32⎡⎢⎣ 二、多选题
圆锥曲线不联立体系第三讲三点共线问题-高考数学圆锥曲线16
专题16 三点共线问题 在处理三点一线问题时，设点法往往比设线法有更大的优势 三点共线问题设点法：一般来说有两点是在圆锥曲线上，另一点在坐标轴上，这样问题的核心就是要找到圆锥曲线上两点12x x +与12x x ⋅之间的联系，把两者之间的联系建立起来．那么用点参法如何解决这一问题呢?我们来看一个具体的例子 假设11()A x y ，，22()B x y ，是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上不同的两点，且直线AB 经过点(0)M m ， ，则12 12y y x m x m =--，交叉相乘可得：1221()()y x m y x m -=-，我们可以将两边同时平方然后将y 加以替换，整理，具体过程如下 口诀：积加a 方的双倍，和与双勾来相对，a 的平方太积极，左右都在不缺位． 备注： 1当直线AB 经过纵轴上定点(0)M m ，时2 2 12122()()()b y y b m y y m ⇒+=++ 2在双曲线中有类似的结论．直线AB 经过点(0)M m ，时，2 2 12122()()()a x x a m x x m +=++（和椭圆一致）， 当直线AB 经过纵轴上定点(0)M m ，时2 2 12122()()()b y y b m y y m -=-+（和椭圆有区别）,推导过程与椭圆类 似，在这里就不重复了. 第一讲 平方重构法 【例1】如图4-3-1所示，已知椭圆22 184 x y +=的左、右顶点分别为P ，Q ，弦AB 经过椭圆C 的右焦点F ， 且直线AB 的斜率不为零，记直线PA ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，试问是否存在常数λ，使得12k k λ=在AB 绕点F 旋转的过程中始终成立？ 图4-3-1 第二讲 截距点差法 我们学过，过不同两点11()A x y ，，22()B x y ，的直线方程可表示为 22 1212 y y x x y y x x --=--，但是这种形式都有一定的局限性，不能表示斜率不存在或斜率为零，为了克服它们的局限性，我们将其化为整式，得到12211221()()x x y y y x x y x y -+-=-上式将会是我们在本节中经常见到的一个式子，分别令0x =和0y =，就能 得到直线AB 的y 轴截距b 和x 轴截距a 的计算公式1221121221 21x y x y b x x x y x y a y y -⎧=⎪-⎪ ⎨-⎪=⎪-⎩ ．
专题14抛物线中的定点定值定直线问题-2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破(全国通用)(原卷版)
专题14 抛物线中的定点、定值、定直线问题 一、单选题 1．已知抛物线()2 :20C y px p =≥的焦点F 与椭圆22 :143x y E +=的一个焦点重合，过坐标原点О作两条互相垂直的射线OM ，ON ，与C 分别交于,M N ，则直线MN 过定点（ ） A ．()4,0 B ．()4,0- C ．()1,0- D ．()1,0 2．已知直线l 与抛物线26y x =交于不同的两点A ，B ，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且12k k ⋅则直线l 恒过定点（ ） A ．(- B ．(- C ．(- D ．( 3．已知曲线C ：22y px =(0)p >，过它的焦点F 作直线交曲线C 于M ，N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于点P ，可证明PF MN 是一个定值m ，则m =（ ） A ．1 2 B ．1 C ．2 D 4．已知抛物线2:2C y x =，过定点(,0)M a 的直线与抛物线C 交于,A B 两点，若 2211||||MA MB +常数，则常数a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．抛物线x 2＝－2y 与过点P (0，－1)的直线l 交于A ，B 两点，如果OA 与OB 的斜率之和为1，则直线l 的方程是( ) A ．Y =－x －1 B ．Y =x ＋1 C ．Y =x －1 D ．Y =－x ＋1 6．设点F 为抛物线216y x =的焦点，A ，B ，C 三点在抛物线上，且四边形ABCF 为平行四边形，若对角线5BF =（点B 在第一象限），则对角线AC 所在的直线方程为 A ．82110x y --= B ．480x y --= C ．4230--=x y D ．230x y --= 7．已知动点A ，B 关于坐标原点O 对称，2AB =，M 过点A ，B 且与直线1y =相切.若存在定点P ，使得MA MP -为定值，则点P 的坐标为（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．()0,1 D ．()0,1-
高考数学复习专题训练—圆锥曲线的定义、方程与性质(含答案及解析)
高考数学复习专题训练—圆锥曲线的定义、方程与性质 一、单项选择题 1.(2021·湖北华中师大一附中月考)已知抛物线y=mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为17 8 ,则m的值为() A.1 B.2 C.1 2D.1 4 2.(2021·四川成都七中月考)双曲线x 2 a2−y2 b2 =1(a,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,则其离心率为() A.√3 B.√3 2C.√5 D.√5 2 3.(2021·新高考Ⅰ,5)已知F1,F2是椭圆C:x 2 9+y2 4 =1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值 为() A.13 B.12 C.9 D.6 4.(2021·贵州贵阳期末)过抛物线y2=4x的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,若AB的中点的纵坐标为2,则|AB|等于() A.4 B.6 C.8 D.10 5.(2021·广东佛山二模)已知双曲线C:x 2 a2−y2 b2 =1(a>0,b>0)的离心率等于2,F1,F2分别是双曲线的左、 右焦点,A为双曲线的右顶点,P在双曲线的渐近线上且PF1⊥PF2,若△PAF1的面积为3a,则双曲线的虚轴长等于() A.√3 B.2 C.2√3 D.4 二、多项选择题 6.(2021·江苏南通适应性联考)已知Rt△ABC中有一个内角为π 3 ,如果双曲线E以A,B为焦点,并经过点C,则该双曲线的离心率可能是() A.√3+1 B.2 C.√3 D.2+√3 7.(2021·广东佛山模拟)已知双曲线C:9x2-16y2=144的左、右焦点分别为F1,F2,点P为C上的一点,且|PF1|=6,则下列说法正确的是() A.双曲线的离心率为5 3 B.双曲线的渐近线方程为3x±4y=0 C.△PF1F2的周长为30 D.点P在椭圆x 2 100+y2 75 =1上
圆锥曲线与重心问题专题复习
专题1、圆锥曲线与重心问题专题复习 三角形的重心：三角形三条中线的交点。 知识储备: （1）G 是ABC ∆的重心0GA GB GC ⇔++=；重心坐标( ,)33 A B C A B C x x x y y y G ++++； （2）G 为ABC ∆的重心，P 为平面上任意点，则1 (+)3 PG PA PB PC =+； （3）重心是中线的三等分点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1； （4）重心与三角形的3个顶点组成的3个三角形的面积相等，即重心到3条边的距离与3条边的长成反比； 经典例题 例1、（2019成都市树德中学高三二诊12题）抛物线2 :4C y x =的焦点为F ，点P 、Q 、R 在C 上，且PQR ∆的重心为F ，则PF QF +的取值范围为（ ） A ．993, ,522⎛⎫⎛⎤ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ B ．994,,522⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ C ．()93,44,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．[] 3,5 例2．（2020·浙江高三月考）已知()11 ,0F -，21,0F ，M 是第一象限内的点，且满足124MF MF +=，若I 是12MF F △的内心，G 是12MF F △的重心，记12IF F △与1GF M △的面积分别为1S ，2S ，则（ ） A ．12S S > B ．1 2S S C ．12S S < D ．1S 与2S 大小不确定 例3．（2020·湖南长郡中学高三期中）已知1F 、2F 为椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 的椭 圆上一点（左右顶点除外），G 为12PF F △为重心.若122 3 F GF π∠≤恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．10,3 ⎛⎤ ⎥⎝ ⎦ B ．10,2 ⎛⎤ ⎥⎝ ⎦ C ．11,32 ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,12⎡⎫ ⎪⎢⎣⎭ 例4．（2020·全国高二单元测试）已知A 、B 分别是双曲线2 2 :1y C x -=的左、右顶点，P 为C 上一点，
高考数学二轮核心考点突破：专题16-圆锥曲线的基本量问题(有答案解析)
专题16 圆锥曲线的基本量问题 【自主热身，归纳总结】 1、双曲线x 2 4－y 2 3＝1的渐近线方程为________． 【答案】： 3x ±2y ＝0 思路分析 把双曲线方程中等号右边的1换为0，即得渐近线方程． 该双曲线的渐近线方程为x 2 4－y 2 3 ＝0，即3x ±2y ＝0. 2、 已知椭圆C 的焦点坐标为F 1(4，0)，F 2(4，0)，且椭圆C 过点A (3，1)，则椭圆C 的标准方程为 ． 【解析】 AF 1+ AF 2=62，椭圆C 的标准方程为221182 x y +=． 3、在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线x 2 －y 2 3 ＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则 双曲线C 的焦距为________． 【答案】. 4 3 解法1 与双曲线x 2 －y 2 3＝1有公共的渐近线的双曲线C 的方程可设为x 2 －y 2 3 ＝λ，又它经过点P(－2，3)， 故4－1＝λ，即λ＝3，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2 9＝1，故a 2＝3，b 2＝9，c 2＝a 2＋b 2 ＝12，c ＝23，2c ＝ 4 3. 解法2 因为双曲线x 2 －y 2 3 ＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，且双曲线C 过点P(－2，3)，它在渐近线y ＝－3 x 的下方，而双曲线C 与x 2 －y 2 3 ＝1具有共同的渐近线，所以双曲线C 的焦点在x 轴上，设所求的双曲线方程 为x 2 a 2 －y 2 b 2 ＝1(a>0，b>0)，从而⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝3，4a 2 －3b 2 ＝1， 解得⎩ ⎪⎨⎪⎧a 2 ＝3，b 2 ＝9，从而c ＝23，故双曲线C 的焦距为4 3. 4、若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 ． 【解析】 由 ，得 9 252 m <<． 【变式2】、已知抛物线x 2 ＝2py (p ＞0)的焦点F 是椭圆y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，若P ，Q 是椭圆与抛物 线的公共点，且直线PQ 经过焦点F ，则该椭圆的离心率为________． 【答案】 2－1 解法1 由抛物线方程可得，焦点为F ⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫ 0，p 2；由椭圆方程可得，上焦点为(0，c )．故p 2＝c ，将y ＝c 代入椭
高考数学二轮复习 专题限时集训(十六)A 圆锥曲线热点
专题限时集训(十六)A [第16讲 圆锥曲线热点问题] (时间：45分钟) 1．已知方程 x 2 k ＋1＋ y 2 3－k ＝1(k ∈R)表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是( ) A ．k <1或k >3 B ．1
C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞) 6．已知两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP → ＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程是( ) A ．y 2 ＝8x B ．y 2 ＝－8x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝－4x 7．已知椭圆C 1：x 2 m ＋2＋y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m －y 2 n ＝1共焦点，则椭圆C 1的离心率e 的取 值范围为( ) A. 22，1 B ．0，2 2 C ．(0，1) D ．0，12 8．已知抛物线方程为y 2 ＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( ) A.52 2＋2 B. 52 2＋1 C. 52 2－2 D. 52 2 －1 9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)一条渐近线的倾斜角为π3，离心率为e ，则a 2＋e b 的最小值为 ________． 10．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的中心、右焦点、右顶点依次分别为O 、F 、G ，且直线x ＝ a 2 c 与x 轴相交于点H ，则|FG | |OH | 最大时椭圆的离心率为________． 11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在棱AB 上，AM ＝1 3，点P 是平面ABCD 内的动 点，且点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到M 的距离的平方差为8 9 ，则P 点的轨迹是________． 12．如图16－1，过抛物线x 2 ＝4y 焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点(A 在第一象限)，点C (0，t )(t >1)．若△CBF ，△CFA ，△CBA 的面积成等差数列，求直线l 的方程．