专题16 圆锥曲线与重心问题-2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破(全国通用)(解析版)

专题16 圆锥曲线与重心问题一、单选题1．已知点P Q M ，，是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的三点，坐标原点O 是PQM 的重心，若点,M ⎫⎪⎪⎝⎭，直线PQ 的斜率恒为12-，则椭圆C 的离心率为（ ） ABCD【解析】设()()1122,,,P x y Q x y，又,M ⎫⎪⎪⎝⎭由原点O 是PQM的重心，得1212220,033x x y y +++==，即1212,x x y y +=+=，又P Q ，是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的点，2222112222221,1x y x y a b a b ∴+=+=，作差可得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=-， 即()()2212122121212b b x x y y x x a y y ⎛⎫⋅ ⎪+-=-=-=-+⎝⎭，即12b a =，∴c e a ==， 故选：D2．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点和上顶点分别为点()(),0F c b c >和点A ，直线:65280l x y --=交椭圆于,P Q 两点，若F 恰好为APQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ）ABCD【解析】由题设()()()()1122,0,0,,,,,F c A b P x y Q x y ，则线段PQ 的中点为()00,B x y ， 由三角形重心的性质知2AF FB =，即()00,2,()c b x c y -=-，解得：003,22c b x y ==- 即3,22c b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入直线:65280l x y --=，得592802b c +-=①.又B 为线段PQ 的中点，则12123,x x c y y b +=+=-，又,P Q 为椭圆上两点，2222112222221,1x y x y a b a b∴+=+=，以上两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，所以221212221212365PQy y x x b b c k x x a y y a b -+==-⋅=-⨯=-+-，化简得225a bc =② 由①②及222a b c =+，解得：42a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即离心率e =. 故选：C. 3．设点P 为椭圆22:12516x y C +=上一点，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，且12PF F ∆的重心为点G ，如果12||:||2:3PF PF =，那么1GPF ∆的面积为（ ） AB．C．3D．【解析】由于点P 为椭圆22:12516x y C +=上一点，1212||:||2:3,||||210PF PF PF PF a =+==， 12||4,||6PF PF ∴==，又12||26F F c === ，故12PF F ∆为等腰三角形，以1PF为底的高为：h =，故1211||2PF F S PF h ∆=⨯=，1112221823323GPF OPF PF F S S S ==⨯=，故选：C 4．已知A 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点，12F F 、分别为左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是12PF F △的重心，若1GAPF λ=，则ba 为（） AB ．CD ．与λ的取值有关【解析】因为G 是12PF F △的重心，所以2PG GO =，又因1GA PF λ=，所以1//GA PF ， 12OA AF ∴=，2a c a ∴=-，3c a =∴，又222c a b =+，b∴=，∴ba=B ．5．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，点A 是双曲线C 右支上一点，若12AF F △的内切圆M 的半径为a ，且12AF F △的重心G 满足12MG F F λ=，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．2D ．【解析】如图所示：因为12MG F F λ=，所以12//MG F F ，所以M G y y a ==，33A G y y a ==， 所以()12121123222AF F Sc a AF AF c a =⋅⋅=⋅++⋅，又122AF AF a -=，解得122,2AF c a AF c a =+=-， 设(),A A A x y ，()1,0F c -，所以1AF A ex a +.所以1A AF a ex =+，解得2Ax a =，所以()2,3A a a ，代入双曲线方程得：()()2222231a a ab-=，解得,2b c a ，所以2ce a==.故选：C 6．已知ABC 的三个顶点都在抛物线T ：()220y px p =>，且()2,8C -，抛物线T 的焦点F为ABC 的重心，则AF BF +=（ ） A ．40B ．38C ．36D ．34【解析】由题意知()2822p -=⨯，解得16p =，所以()8,0F ．设()11,A x y ，()22,B x y ，则由三角形的重心坐标公式得12283x x ++=，化简得1222x x +=，根据抛物线的定义，得12123822p pAF BF x x x x p +=+++=++=，故选：B ．7．已知A 、B 、C 是抛物线()220y px p =>上三个不同的点，且抛物线的焦点F 是ABC 的重心，若直线AB 、BC 、CA 的斜率存在且分别为AB k 、BC k 、CA k ，则111AB BC CAk k k ++=（ ） A ．3B ．1-C ．1D ．0【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则2112y px =，2222y px =，两式相减，得()2212122y y p x x -=-，则12121212AB x x y y k y y p-+==-， 设()33,C x y ，同理可得2312BC y y k p +=，1312AC y y k p+=，因为焦点F 是ABC 的重心，所以1230y y y ++=，则2313120211221AB BC CA y y y y y y p k pk p k +++++++==，故选：D. 8．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为()2,0F ，过点F 的直线交C 于A ，B 两点，OAB 的重心为点G ，则点G 到直线3310x y -+=的距离的最小值为（ ） A ．2BCD．【解析】由题意，抛物线为28y x =，可令直线AB 为2x my =+，若11(,)A x y ，22(,)B x y ， ∴联立直线与抛物线得28160y my --=且264(1)0m ∆=+>，则128y y m +=，∴21212()484x x m y y m +=++=+，又OAB 的重心为点G ，即1212(,)33x x y y G ++， ∴2848(,)33m mG +，则G 到直线3310x y -+=的距离221|8()3|m d -+== ∴当12m =时，min d ==.故选：C. 二、多选题9．椭圆22143x y +=的左、右焦点分别是12F F 、，00(,)P x y 是椭圆第一象限上的一点（不包括轴上的点），12PF F ∆的重心是G ，12F PF ∠的角平分线交x 轴于点M （m ，0），下列说法正确的有（ ）A ．G 的轨迹是椭圆的一部分B ．OG的长度范围是4)3C ．12MF MF 取值范围是(1,3) D ．014m x =【解析】设重心(),G x y ，又()()0012(,),1,0,1,0P x y F F -，∴0033x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，即0033x x y y =⎧⎨=⎩，又00(,)P x y 是椭圆上一点， ∴()()2233143x y +=，即()22931,0,04x y x y +=>>，故A 正确； ∵G 的轨迹是椭圆229314x y +=的一部分，长半轴长为23∴23OG ⎫∈⎪⎪⎝⎭，故B 错误；根据内角平分线定理可知，1122222241MF PF a PF MF PF PF PF -===-，又()21,2PF ∈，∴()2411,3PF -∈，故C 正确；同样利用内角平分线定理与焦半径公式，由1122MF PF MF PF =可知，0012212211x m m x+=--+， ∴014m x =，故D 正确. 故选：ACD. 10．若双曲线22:145x y C ， 12,F F 分别为左、右焦点，设点P 在双曲线上且在第一象限的动点，点I 为12PF F △的内心，点G 为12PF F △的重心，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线C 的离心率为32B ．点I 的运动轨迹为双曲线的一部分C ．若122PF PF =，12PI xPF yPF =+，则29y x -=. D ．存在点P ，使得12//IG F F 【解析】由题意，双曲线22:145x y C，可得2,3a b c ===，则离心率为32c e a ==，所以A 正确； 设12,PF m PF n ==，12PF F △的内切圆与边1PF 切于点S ，与边2PF 切于点K ，与边12F F 切于点T ，可得1122,,PS PK FS FT F T F K ===， 由双曲线的定义可得2m n a -=，即12122FS F K FT F T a -=-=， 又由122FT F T c +=，解得2F T c a =-，则T 的横坐标为a ，由I 与T 的横坐标相同，可得I 的横坐标为2a =，可得I 在定直线2x =上运动， 所以B 不正确；由122PF PF =且1224PF PF a -==，解得12128,4,26PF PF F F c ====， 则126436167cos 2868PF F +-∠==⨯⨯，可得12sin PF F ∠=所以12tan PF F ∠=21tan PF F ∠=设直线1:3)PF y x =+，直线2:3)PF y x =-，联立方程组，求得P ， 设12PF F △的内切圆的半径为r，则1211=86(846)22PF F S r ⨯⨯++⋅，解得r =I，可得12215(2,),(7,15),(1,3PI PF PF =--=--=-，由12PI xPF yPF =+，可得27x y-=--⎧⎪⎨=⎪⎩，解得24,99x y ==，可得29y x -=，所以C 正确； 设0000(,)(0,0)P x y x y >>，则00(,)33x y G ， 设12PF F △的内切圆的半径为r ，则1212011=(2)22PF F SF F y m n c r ⨯=++⋅， 于是01(2)2cy m n c r =++⋅，可得022cy r m n c =++，若12//IG F F ，可得00223cy y m n c =++，即412m n c +==，又由24m n a -==，联立可得4n =，因此()2200223165420x y x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，解得004,x y == 即存在点P ，使得12//IG F F，所以D 正确. 故选：ACD.11．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线l 与y 轴及双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的两条渐近线的三个不同交点构成集合M ，且M恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若l 的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（ ） ABCD【解析】设:l y x m =+，由y x m by x a =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得am x b abm y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，得(,)am bm A b a b a --， 由y x m b y x a =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，得am x b abm y b a ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，得(,)am bm B b a b a -++，由0y x m x =+⎧⎨=⎩，得0x y m =⎧⎨=⎩，得(0,)P m ，||AB =||AP ==||BP == 若A 为重心、B 为外心、P 为垂心，则1||||2AB AP =，12=3a b =，此时双曲线的离心率e ==，若A 为重心、B 为垂心、P 为外心，则1||||2AP AB =，12=0a =不成立；若B 为重心、A 为垂心、P 为外心，则1||||2BP AB =，所以22||1||2||m m b a b a =⨯+-，化简得2a b =，此时双曲线的离心率e ==若B 为重心，P 为垂心、A 为外心，则1||||2BA BP =，22||1||||2m m b a b a=-+，化简得5a b =，此时双曲线的离心率e =；若P 为重心、A 为垂心、B 为外心，则1||||2BP AP =，12=，化简得3b a =或3a b =，此时双曲线的离心率e ==e = 若P 为重心，B 为垂心、A 为外心，则1||||2AP BP =，12=，化简得3b a =-或3a b =-都不成立.综上所述：e =e =e =或e =故选：ABD12．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作ABC ，AB AC =，点(2,4)B -，点(5,3)C -，且其“欧拉线”与圆222:(5)M x y r -+=相切，则下列结论正确的是（ ）A ．圆M 上点到直线30x y -+=的最大距离为B．圆M 上点到直线30x y -+=的最小距离为C．若点(,)x y 在圆M 上，则x y +的最小值是3-D ．圆22(1)()2x a y a --+-=与圆M 有公共点，则a 的取值范围是2⎡⎣【解析】因为AB AC =，由题意可得三角形ABD 的欧拉线为BC 的中垂线， 由(2,4)B -，点(5,3)C -可得BC 的中点为31,22⎛⎫⎪⎝⎭，且43125BC k +==---， 所以线段BC 的中垂线方程为：1322y x -=-，即10x y --=， 因为三角形ABC 的“欧拉线”与圆222:(5)M x y r -+=相切，所以圆心(5,0)到直线10x y --=的距离d r ===所以圆M 的方程为：22(5)8x y -+=，因为圆心(5,0)到直线30x y -+=的距离d ==， A中，圆M 上点到直线30x y -+=的距离的最大值为d r +==A 不正确：B 中，圆M 上点到直线30x y -+=的距离的最小值为d r -=故B 正确；C 中：令t x y =+，所以y t x =-，代入圆M 的方程22(5)8x y -+=， 可得22(5)()8x t x -+-=，整理可得222(102)170x t x t -+++=，由于(,)x y 在圆上，所以222(102)170x t x t -+++=有根，则()()2210242170t t ∆=+-⨯⨯+≥，整理可得：29100t t -+≤，解得：19t ≤≤，所以t 的最小值为1，即x y +的最小值为1，所以C 错误； D 中：22(1)()2x a y a --+-=圆心坐标(1,)a a +； 圆M 的22(5)8x y -+=的圆心坐标为(5,0)，半径为要使圆22(1)()2x a y a --+-=与圆M有公共点，则圆心距∈，≤22470410a a a a ⎧-+≥⎨--≤⎩，解得22a ≤≤D 正确； 故选：BD ． 三、填空题13．已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的右支交于第一象限内的一点P ，若,33b a G ⎛⎫⎪⎝⎭为12F PF △的重心，则该双曲线的离心率为______.【解析】设()P m n ,，()1-,0F c ，()2,0F c ，则由重心坐标公式可得330033b m c c a n +-⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得m b n a =⎧⎨=⎩ ∴点P 的坐标为(),b a .∵点P 在曲线C 上，∴22221b a a b-=，∴4422b a a b -=.∵c e a=（1e >），∴c ea =，∴22222a b c e a +==，∴()2221e a b =-，∴()222111e e --=-，∴42310e e -+=，解得2e2e =，∴e =14．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△ABF 1的重心为G (,)63c c，则椭圆C 的离心率为________．【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则2222112222221,1,x y x y a b a b+=+=两式相减得12122()()x x x x a -+＋12122()()y y y y b -+＝0.(*)因为△ABF 1的重心为G (,)63c c，所以1212,36,33x x c cy y c +-⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩故12123,2,c x x y y c ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩代入(*)式得1212223()()02x x c y y c a b --+=， 所以1212y y x x --＝2232b a -＝12-，即a 2＝3b 2，所以椭圆C 的离心率e15．已知A ，B ，C 是抛物线()220y px p =>上三个不同的点，且抛物线的焦点F 是ABC的重心，若直线AB ，BC ，CA 的斜率存在且分别为AB k ，BC k ，CA k ，则111AB BC CAk k k ++=______． 【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则2112y px =，2222y px =，两式相减，得()2212122y y p x x -=-，所以12121212AB x x y y k y y p -+==-，设()33,C x y ，同理可得2312BC y y k p +=，1312AC y y k p+=．由于焦点F 是ABC 的重心，所以1230y y y ++=，故1110AB BC CAk k k ++=． 16．已知抛物线E ：y 2＝4x ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）为抛物线上的三个动点，其中x 1＜x 2＜x 3且y 2＜0，若ABC 的重心恰为抛物线E 的焦点，且AB 、AC 、BC 三边中点到抛物线E 的准线的距离成等差数列，则直线AC 的斜率为_____. 【解析】如图所示，设F 是抛物线的焦点，00(,)D x y ，由题得3300302,(1,)2(1,),122CF FD x y x y x x =∴--=-∴-=-， 所以3032x x -=，即332D x x -=，同理2133,,22G H x x x x --== 因为F 是ABC 的重心，所以123123+3+0.x x x y y y +=+=， 因为AB 、AC 、BC 三边中点到抛物线E 的准线的距离成等差数列， 所以312333+1++12(1)222x x x ---=+，所以1322222,32,1x x x x x x +=∴-=∴=. 由题得2222241,2,0,2y y y y =⨯∴=±<∴=-.所以13 2.y y +=因为2333131312114,()()4()4y x y y y y x x y x ⎧=⎪∴+-=-⎨=⎪⎩，31313131()42()4()==2()2y y y y x x x x -∴-=-∴-，， 所以直线AC 的斜率为2. 四、解答题17．在双曲线C ：22145x y -=中，1F ､2F 分别为双曲线C 的左右两个焦点，P 为双曲线上且在第一象限内的点，12PF F △的重心为G ，内心为I .（1）求内心I 的横坐标；（2）已知A 为双曲线C 的左顶点，直线l 过右焦点2F 与双曲线C 交于M 、N 两点，若AM 、AN 的斜率1k 、2k 满足1212k k +=-，求直线l 的方程；（3）若12//IG F F ，求点P 的坐标.【解析】(1)依题意，双曲线C 的焦点12(3,0),(3,0)F F -，作出12PF F △的内切圆，I 为圆心，切点分别为S ，K ，T ，如图：设点I 的横坐标为t ，显然IT ⊥x 轴，1122||||,||||,||||PS PK F S FT F K F T ===， 由双曲线定义知1212124||||(||||)(||||)||||PF PF PS F S PK F K FT F T =-=+-+=-(3)(3)2t t t =+--=，解得2t =，所以内心I 的横坐标为2；(2)点(2,0)A -，显然直线l 不垂直于x 轴，否则由双曲线对称性得120k k +=， 设直线l 的斜率为k ，则直线l ：(3)y k x =-，由22(3)5420y k x x y =-⎧⎨-=⎩消去y 得：2222(54)2436200k x k x k -+--=， 显然2540k -≠，设1122(,),(,)M x y N x y ，22121222243620,4545k k x x x x k k ++==--， 则121212121212(3)(3)1125()222222y y k x k x k k k k x x x x x x --+=+=+=-+++++++ 221222121222244()44525253620242()4244545k x x k k k k k k k x x x x k k +++-=-⋅=-⋅+++++⋅+--22402011251002k k k k k -=-⋅==-，解得2k =-，即直线l ：2(3)y x =--，所以直线l 的方程为26y x =-+；(3)设点0000(,)(0,0)P x y x y >>，则12PF F △的重心00(,)33x y G ， 因12//IG F F ，则0||3y IT =，而12||||4PF PF =+， 120012122211(||||||)||(42||6)(5||)2233PF F y y SPF PF F F IT PF PF =++=++⋅=+， 又1212001||32PF F SF F y y =⋅=，联立解得2||4PF =， 从而有22002200(3)165420x y x y ⎧-+=⎨-=⎩，解得004x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即点P ， 所以点P的坐标为.18．已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的右焦点与抛物线2:4C y x '=的焦点重合.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知椭圆C 的右焦点2F 与点(2,0)H -关于直线l 对称，问：是否存在过右焦点2F 的直线l '与椭圆C 交于,G K 两点，使OGK 的重心恰好在直线l 上？若存在，求出直线l '的方程；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题可得抛物线的交点为()1,0，1c ∴=，则222112a b c =+=+=， 所以椭圆的方程为2212x y +=；（2）可得()21,0F ，则直线l 的方程为12x =-，假设存在符合题意的直线l '，当直线l '的斜率不存在时，直线l '的方程为1x =，易得OGK 的重心坐标为2,03⎛⎫⎪⎝⎭，不满足在直线l 上，舍去；当直线l '的斜率存在时，设为k ，显然0k ≠，则l '的方程为()1y k x =-， 设()()1122,,,G x y K x y ，联立方程()22121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()2222124220k x k x k +-+-=，则2122412k x x k +=+， 要使OGK 的重心恰好在直线l 上，则120132x x ++=-，即1232x x +=-，即2243122k k =-+，方程无解.综上，不存在满足条件的直线l '.19．若椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，过F 且斜率为1k 的直线l 与C 交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，点D 满足OA OB OD +=，设直线OD 的斜率为2k ，且1212k k ⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；（2）若P 为椭圆C 上一点，且点O 为△PAB 的重心，证明：AB PF =.【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()1212,D x x y y ++，又A ，B 在椭圆C 上，∴22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差22221212220x x y y a b --+=，整理得：21212122121212y y y y b k k x x x x a -+⋅=⋅=-=--+， ∴222a b =，又221a b -=，∴22a =，21b =，故椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）设直线l 的方程为()1y k x =-，与椭圆C 联立并整理得：()2222214220k x k x k +-+-=，28(1)0k ∆=+>，∴2122421k x x k ，则()121222221ky y k x x k -+=+-=+， 又O 恰为△PAB 的重心，故P 坐标为()1212,x x y y ----，即22242,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为P 在椭圆C 上，即2222242()222121k k k k -⎛⎫+= ⎪++⎝⎭，解得212k =，∴PF 21224121k x x k +==+，2122221212k x x k -⋅==-+，故AB ；∴AB PF =.20．已知A 为椭圆22221x y a b+=(0)a b >>与抛物线22y px =的交点，设椭圆的左右焦点为12,F F ，抛物线的焦点为F ，直线AF 将12AFF △的面积分为9：7两部分.（1）求椭圆及抛物线的方程； （2）若直线l ：y kx m =+与椭圆22221x y a b +=相交于P Q 、两点，且OPQ △的重心恰好在圆22:1O x y +=上，求m 的取值范围.【解析】（1）A 为椭圆与抛物线的交点22421a b ⇒+=，24p =；212p y x ⇒=⇒=； 又直线AF 将12AF F △的面积分为9：7两部分191()2474c c c ⇒+=-⇒=； 224a b ⇒-=，解之可得：2,b a ==，抛物线的方程为：2y x =；椭圆的方程为：22184x y += （2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(12)4280k x kmx m +++-= 由0∆>，得224(21)k m +>…（※），且122412kmx x k +=-+ 由POQ △重心恰好在圆221x y +=上，得221212()()9x x y y +++=即221212()[()2]9x x k x x m ++++=，即2221212(1)()4()49k x x km x x m +++++=∴22222222216(1)1649(12)12k k m k m m k k +-+=++，化简得22229(12)4(41)k m k +=+，代入（※）得k ∈R ，又设22141(1)4t k t k t -+=⇒=≥，22229(12)4(41)k m k +==+29(21)16t t t++919(2)164t t =++≥，当且仅当1t =时，取等号，∴294m ≥，则实数m 的取值范围为32m ≤-或32m ≥21．已知椭圆2222:1(0) x y M a b a b +=>>1 2P ⎫⎪⎭在椭圆M 上.（1）求椭圆M 的方程；（2）设O 为坐标原点，A ，B ，C 是椭圆M 上不同的三点，且O 为ABC 的重心，探究ABC面积是否为定值，若是求出这个定值；若不是，说明理由【解析】（1）由题知：2222222121a b c a a b c ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎪+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎪⎩，解得2a =，1b =，所以椭圆M 的方程为2214x y +=； （2）当直线AB 的斜率不存在时，AB x ⊥轴，点C 在x轴上，AB C 到AB 的距离为3d =，则12ABC S AB d ==△ 当直线AB 的斜率存在时，设直线:AB y kx m =+由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，整理()()222418410k x kmy m +++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则有()2216410k m=+->△，122841km x x k +=-+，21224441m x x k -⋅=+，所以()121222241m y y k x x m k +=++=+，12AB x =-=， 因为O 为ABC 的重心，则由()2282,4141kmm OC OA OB k k ⎛⎫=-+=- ⎪++⎝⎭，点2282,4141km m C k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭在椭圆上，则222282411441km m k k ⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎝⎭+-= ⎪+⎝⎭得22441m k =+， 点O 到直线AB的距离为d =所以332ABCABOSSAB d ==== 综上：ABC S =△为定值． 22．设1C 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>，2C是以直线20x =与20x =的渐近线，以为一个焦点的双曲线.（1）求双曲线2C 的标准方程；（2）若1C 与2C 在第一象限有两个公共点,A B ，求p 的取值范围，并求FA FB⋅的最大值； （3）是否存在正数p，使得此时FAB ∆的重心G 恰好在双曲线2C 的渐近线上？如果存在，求出p 的值；如果不存在，说明理由.【解析】（1）由题可知焦点为，故焦点在y 轴上，设双曲线2C 的方程为22221(0,0)y x a b a b-=>> 2C是以直线20x =与20x =为渐近线，∴a b =2227c a b =+=，2a ∴=，b =∴双曲线方程为22143y x-=； （2）抛物线22(0)y px p =>的焦点(2p F ，0)，联立双曲线方程消y 得：246120x px -+=， 可得1212323x x p x x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，1C 与2C 在第一象限内有两个公共点A 和B ，∴>0∆，p ∴> 设()()1122,,,A x y B x y ，则()212121212122224p p p p FA FB x x y y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=--+=-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭将1212323x x p x x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩代入得2213(922p FA FBp =-++=--+，函数的对称轴为p =433p >p ∴=FA FB 的最大值为9； （3）由（2）知FAB ∆的重心123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭为2(3pG ，12)3y y +，12y y +=23p G ⎛∴⎝⎭， 假设G 恰好在双曲线2C的渐近线上，代入20x =可得2203p ⨯=，∴27p =，0p ∴=或p =433p >p ∴=∴存在正数p =FAB ∆的重心G 恰好在双曲线2C 的渐近线上。