常用基本不等式
基本不等式中常用公式
基本不等式中常用公式一、基本不等式中常用公式：（1）222b a +≥2)(b a +≥ab ≥ba 112+（当且仅当a ＝b 时，等号成立） （2）ab ≤2)(b a +（当且仅当a ＝b 时，等号成立） （3）a ²+b ²≥2ab （当且仅当a ＝b 时，等号成立）（4）ab ≤4)(2b a +（当且仅当a ＝b 时，等号成立） （5）||a|－|b| |≤|a ＋b|≤|a|＋|b|。
（当且仅当a ＝b 时，等号成立）二、基本不等式不等式的特殊性质有以下三种：①不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
二、基本不等式的应用基本不等式应用：1、应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”。
所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件。
“一正”“二定”“三相等”，是指在用不等式a +b ≥2ab 证明或求解问题时所规定和强调的特殊要求。
一正：a、b都必须是正数；二定：在a+b为定值时,便可以知道ab的最大值；在ab为定值时,就可以知道a+b的最小值。
三相等：当且仅当a、b相等时,等号才成立；即在a＝b时,a+b ＝2ab。
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式。
其可表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
2、在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式。
3、条件最值的求解通常有两种方法：（1）一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解；（2）二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值。
基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点总结向量不等式：注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； a b 、反向或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+； a b 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+.这些和实数集中类似代数不等式：,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔-=+-=+≥.绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤双向不等式：a b a b a b -±+≤≤左边当0(0)ab ≤≥时取得等号,右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.放缩不等式：①00a b a m >>>>，,则b m b b ma m a a m-+<<-+. 说明：b b m a a m+<+0,0a b m >>>,糖水的浓度问题. 拓展：，则，，000>>>>n m b a ba nb n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a bc R +∈,b d ac <,则b bd da a c c+<<+； ③n N +∈<< ④,1n N n +∈>,21111111n n n n n-<<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1xe x +≥()x R ∈.函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质1函数()0)(>+=b a xbax x f 、图象如图：2函数()0)(>+=b a xb ax x f 、性质：①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；②单调递增区间：(,-∞,)+∞；单调递减区间：(0,,[0). 基本不等式知识点总结重要不等式1、和积不等式：,a b R ∈⇒222a b ab +≥当且仅当a b =时取到“=”．变形：①222()22a b a b ab ++≤≤当a = b 时,222()22a b a b ab ++==注意：(,)2a b a b R ++∈,2()(,)2a b ab a b R +∈≤ 2、均值不等式：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”.若0x >,则12x x +≥ 当且仅当1x =时取“=”; 若0x <,则12x x+≤- 当且仅当1x =-时取“=”若0x ≠,则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 当且仅当b a =时取“=”.若0>ab ,则2≥+ab ba 当且仅当b a =时取“=”若0ab ≠,则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 当且仅当b a =时取“=” 3、含立方的几个重要不等式a 、b 、c 为正数：3333a b c abc ++≥0a b c ++>等式即可成立,时取等或0=++==c b a c b a ；不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如：当0>ab 时,ab b a 222≥+同时除以ab 得2≥+b a a b 或ba ab -≥-11; ,,b a 均为正数,b a ba -≥22八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2)2(b a ab +≤； ③2)2(222b a b a +≤+ ④)(222b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则ba b a +≥+411；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11(2≥+； ⑧ 若0≠ab ,则222)11(2111b a ba +≥+; 上述八个不等式中等号成立的条件都是“b a =”;最值定理积定和最小①,0,x y x y >+≥由若积()xy P =定值,则当x y =时和x y +有最小值和定积最大②,0,x y x y >+≥由若和()x y S +=定值,则当x y =是积xy 有最大值214s .推广：已知R y x ∈,,则有xy y x y x 2)()(22+-=+.1若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小.2若和||y x +是定值,则当||y x -最大时,||xy 最小；当||y x -最小时,||xy 最大.③已知,,,R a x b y +∈,若1ax by +=,则有则的最小值为：21111()()2 ()by axax by a b a b ab a b x y x y x y+=++=+++++=+≥④已知,若则和的最小值为：①.②应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：⑴凑系数乘、除变量系数.例1.当 04x <<时,求函的数(82)y x x =-最大值.⑵凑项加、减常数项：例2.已知54x <,求函数1()4245f x x x =-+-的最大值.⑶调整分子：例3.求函数2710()(1)1x x f x x x ++=≠-+的值域； ⑷变用公式：基本不等式2a b ab +≥有几个常用变形2222a b a b ++≥,222()22a b a b ++≥不易想到,应重视；例4.求函数152152()22y x x x =--<<的最大值；⑸连用公式：例5.已知0a b >>,求216()y a b a b =+-的最小值；⑹对数变换：例6.已知1,12x y >>,且xy e =,求ln (2)yt x =的最大值；⑺三角变换：例7.已知20y x π<<≤,且tan 3tan x y =,求t x y =-的最大值；⑻常数代换逆用条件：例8.已知0,0a b >>,且21a b +=,求11t a b=+的最小值. “单调性”补了“基本不等式”的漏洞： ⑴平方和为定值若22x y a +=a 为定值,0a ≠,可设,,x a y a αα==,其中02απ<≤.①(,)2)4f x y x y a a a πααα=+==+在15[0,],[,2)44πππ上是增函数,在15[,]44ππ上是减函数； ②1(,)sin 22g x y xy a α==在1357[0,],[,],[,2)4444πππππ上是增函数,在1357[,],[,]4444ππππ上是减函数；③11(,)x y m x y x yxy +=+==.令sin cos )4t πααα=+=+,其中[1)(1,1)(1,2]t ∈--.由212sincos t αα=+,得22sin cos 1t αα=-,从而2(,)1)m x y t t==-在[1)(1,1)(1,2]--上是减函数. ⑵和为定值若x y b +=b 为定值,0b ≠,则.y b x =-①2(,)g x y xy x bx ==-+在(,]2b -∞上是增函数,在[,)2b +∞上是减函数；②211(,)x y bm x y x y xy x bx +=+==-+.当0b >时,在(,0),(0,]2b -∞上是减函数,在[,),(,)2b b b +∞上是增函数；当0b <时,在(,),(,]2b b b -∞上是减函数,在[,0),(0,)2b+∞上是增函数. ③2222(,)22n x y x y x bx b =+=++在(,]2b -∞上是减函数,在[,)2b +∞上是增函数；⑶积为定值若xy c =c为定值,0c ≠,则.c y x= ①(,)cf x y x y x x=+=+.当0c >时,在[上是减函数,在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时,在(,0),(0,)-∞+∞上是增函数；②111(,)()x y cm x y x x y xy c x+=+==+.当0c >时,在[上是减函数,在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时,在(,0),(0,)-∞+∞上是减函数；③222222(,)()2c c n x y x y x x c x x=+=+=+-在(,-∞上是减函数,在()+∞上是增函数.⑷倒数和为定值若112x y d +=d 为定值,111,,x d y ,则.c y x=成等差数列且均不为零,可设公差为z ,其中1z d≠±,则1111,,z z x d y d =-=+得,.11d d x y dz dz ==-+. ①222()1d f x x y d z =+=-.当0d >时,在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数,在11[0,),(,)d d+∞上是增函数；当0d <时,在11(,),(,0]d d -∞上是增函数,在11[0,),(,)d d --+∞上减函数；②222(,).1d g x y xy d z ==-.当0d >时,在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数,在11[0,),(,)d d+∞上是增函数；当0d <时,在11(,),(,0]d d -∞上是减函数,在11[0,),(,)d d --+∞上是增函数；③222222222(1)(,).(1)d d z n x y x y d z +=+=-.令221t d z =+,其中1t ≥且2t ≠,从而22222(,)4(2)4d t d n x y t t t==-+-在[1,2)上是增函数,在(2,)+∞上是减函数.。
基本不等式题型及常用方法总结
基本不等式题型及常用方法总结1. 引言不等式是数学中重要的概念之一，它在数学建模、优化理论、概率论等领域中有着广泛的应用。
基本不等式是解决不等式问题的基础，掌握常用的解题方法对于学习和应用不等式理论至关重要。
本文将系统总结基本不等式题型及常用方法，以帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
2. 一元一次不等式2.1 一元一次线性不等式2.1.1 基本性质：线性函数图像特点、函数值与符号关系在解决一元一次线性函数时，我们首先需要了解线性函数图像的特点。
对于形如ax+b>0或ax+b<0的线性函数，我们可以通过求解对应方程ax+b=0得到临界点x=-b/a，并以此为界将数轴分为两个区间。
在每个区间内，我们可以通过选取任意一个测试点来判断该区间内函数值与符号之间的关系。
2.1.2 解法：图像法、代数法对于一元一次线性不等式，我们可以通过图像法和代数法来解决问题。
图像法是通过绘制线性函数的图像，通过观察函数在不同区间的变化来确定不等式的解集。
代数法则是通过代数运算，将不等式转化为等价的形式，从而得到解集。
例如，对于ax+b>0形式的线性不等式，我们可以将其转化为ax>-b，并根据a的正负性讨论出解集。
2.2 一元一次绝对值不等式绝对值函数是一个常见的非线性函数，在解决绝对值不等式时我们需要特别注意其特点和解题方法。
对于形如|ax+b|>c或|ax+b|<c的绝对值不等式，我们可以将其转化为一个或多个线性不等式，并根据这些线性不等式得到最终的解集。
2.3 一元二次根号型不等式二次根号型函数在数学中也有着重要地位，在解决二次根号型函数时我们需要掌握特定方法。
例如，在求解形如√(ax^2+bx+c)>0或√(ax^2+bx+c)<0 的二次根号型函数时，可以通过求出二次方程ax^2+bx+c=0 的两个实数根，并根据根的位置和函数的凹凸性来确定函数值与符号之间的关系。
几个基本不等式
几个基本不等式
，
不等式：
1. x < 2
2. 2x ≥ 8
3. 0 ≤ y ≤ 3
4. x + y ≤ 5
今天我们将讨论不等式，不等式是数学中非常重要的概念。
通过不等式，我们可以更准确
地表达数学概念，从而进行比较和推断。
不等式可以帮助我们解决许多问题。
在本文中，我们将讨论几个基本的不等式，它们分别是x<2、2x≥8、0≤y≤3和x+y≤5。
首先，我们来看一下x<2。
这一不等式表示x小于2. 它表示，任何一个x值都不能大于2，也就是说，x只能是1或者更小的值。
其次，我们来看2x≥8。
这一不等式表示2x大于或等于8. 它表示，任何一个x值乘以2
都不能小于8，也就是说，x不能小于4.
第三，我们来看0≤y≤3。
这一不等式表示y的取值范围在0到3之间。
它表示，任何一
个y值都不能小于0，也不能大于3，也就是说，y只能是0、1、2或者3。
最后，我们来看x+y≤5。
这一不等式表示x+y小于或等于5. 它表示，x和y的参数值之
和不能超过5.
通过对这4个不等式的讨论，我们可以看出，在计算机编程或逻辑断言中，不等式是非常
重要的工具。
它们有助于准确地记录和表达概念，同时它们也有助于我们在解决这些问题
时得到正确的结果。
总之，不等式是一个很有用的概念，在本文中，我们介绍了几个常用的不等式，我们可以
利用它们来更好地理解数学概念，从而帮助我们更有效率地解决问题。
基本不等式方法总结
基本不等式方法总结基本不等式方法是数学中的一种重要解题思路，它通过对不等式进行变形、加减运算、取平方等操作，来推导出新的不等式关系，从而解决问题。
本文将介绍基本不等式方法的基本原理和应用技巧。
一、基本不等式的原理基本不等式是指那些在不等式中常用到的基本关系式，它们可以用来推导出其他更复杂的不等式。
常见的基本不等式包括三角不等式、算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦茨不等式、均值不等式等。
1. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
它表明两个数的绝对值之和不大于这两个数的绝对值之和。
2. 算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于任意非负实数a1、a2、...、an，有(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ √(a1 * a2 * ... * an)。
它表明n个非负实数的算术平均值大于等于它们的几何平均值。
3. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有|(a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn)| ≤ √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * √(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。
它用于描述向量的内积的性质。
4. 均值不等式：对于任意非负实数a1、a2、...、an，有算术平均≥几何平均≥ ... ≥ 平方平均。
它表明一组非负实数的各种平均值之间的大小关系。
二、基本不等式的应用技巧在解决实际问题时，我们可以根据具体情况选择合适的基本不等式进行推导和变形。
以下是几个常见的应用技巧：1. 利用不等式的性质：不等式具有保序性，即如果a ≤ b，那么对于任意c，有a + c ≤ b + c。
利用这个性质，我们可以对不等式进行加减运算，从而得到新的不等式。
2. 利用不等式的平方性质：如果a ≥ 0，那么a^2 ≥ 0。
利用这个性质，我们可以对不等式进行平方操作，从而得到更简洁的形式。
基本不等式积定
基本不等式是指在数学中常用的一些不等关系，其中最基本的两个不等式是：
1. 加法不等式：对于任意实数a、b 和c，有a < b，则a + c < b + c。
这个不等式表示，在不等式两边同时加上同一个数时，不等号的方向保持不变。
2. 乘法不等式：对于任意正实数a、b 和c，有a < b，则ac < bc；对于任意负实数a、b 和c，有a < b，则ac > bc。
这个不等式表示，在不等式两边同时乘以同一个正数时，不等号的方向保持不变；而在不等式两边同时乘以同一个负数时，不等号的方向会改变。
这两个基本不等式是解决不等式问题的重要工具，它们可以帮助我们简化不等式的形式，从而更容易求解不等式。
1。
基本不等式最值问题
基本不等式最值问题在数学中，基本不等式是解决最值问题的常用工具。
最值问题可以简单理解为在一定条件下，求一个函数的最大值或最小值。
而基本不等式是通过确定函数的上界或下界，从而确定函数的最值。
本文将介绍基本不等式的概念、应用以及解决最值问题的步骤。
一、基本不等式的概念基本不等式是指一些常见的不等式模式，通过这些模式，可以直接得到函数的上界或下界，从而确定函数的最值。
常见的基本不等式有以下几种：1. 平方不等式：对于任意实数a，有a^2≥0，即任意实数的平方都大于等于0。
这个不等式模式可以用于求解二次函数的最值问题。
2. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|，即两个数的绝对值之和不大于这两个数的绝对值之和。
这个不等式模式可以用于求解绝对值函数的最值问题。
3. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意n个实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有|(a1b1+a2b2+...+anbn)|≤√(a1^2+a2^2+...+an^2)√(b1^2+b2^2+ ...+bn^2)，即两个向量的内积的绝对值不大于它们的模的乘积。
这个不等式模式可以用于求解向量函数的最值问题。
二、解决最值问题的步骤解决最值问题的一般步骤如下：1. 确定问题：明确要求求解的最值是函数的最大值还是最小值。
2. 建立模型：根据题目中的条件，建立函数模型。
根据问题的特点，可以选择适合的基本不等式。
3. 求解过程：根据建立的模型，利用基本不等式求解函数的上界或下界。
具体的求解过程要根据问题的具体条件进行分析和推导。
4. 检验答案：将求解得到的值代入原函数，验证其是否为最大值或最小值。
同时，还要检查是否存在其他的极值点。
三、应用举例下面通过两个具体的例子来说明基本不等式的应用。
例1：求函数y=x^2+2x+3在定义域内的最小值。
解：首先，我们可以求出函数的导数为y'=2x+2，令其等于0，得到x=-1。
由于这是一个二次函数，且a>0，所以函数在x=-1处取得最小值。
基本不等式四个公式
基本不等式四个公式不等式是一个有效的数学方法，用来描述两个量的差异，它的限制两个数的大小范围，有利于我们理解数字之间的关系，应用也很广泛。
基本不等式四个公式是不等式的基础，是推理计算的基础，一般在有限的条件下，由四个不等式构成，分别为：大于等于、小于等于、小于、大于式。
第一个不等式公式是大于等于式，又称为“不小于等于式”，表示两个数之间的不等式关系，它可以用来表示一个数不小于另外一个数，表达形式为：A≥B，其中A代表被比较数，B代表比较数，表示A不小于B。
例如：4≥2，表明4不小于2。
第二个不等式公式是小于等于式，又称为“不大于等于式”，表示两个数之间的不等式关系，它可以用来表示一个数不大于另外一个数，表达形式为：A≤B，其中A代表被比较数，B代表比较数，表示A不大于B。
例如：4≤5，表明4不大于5。
第三个不等式公式是小于式，又称为“不大于式”，表示两个数之间的不等式关系，它可以用来表示一个数小于另外一个数，表达形式为：A<B，其中A代表被比较数，B代表比较数，表示A小于B。
例如：3<4，表明3小于4。
第四个不等式公式是大于式，又称为“不小于式”，表示两个数之间的不等式关系，它可以用来表示一个数大于另外一个数，表达形式为：A>B，其中A代表被比较数，B代表比较数，表示A大于B。
例如：5>2，表明5大于2。
在工作中使用不等式是非常常见的，可以用于判断某人的年龄是否已满18岁、是否满足报考条件等。
在教学中，不等式也起着重要作用，有助于学生全面地掌握数学知识，更好地推理计算。
基本不等式四个公式的范围很广，可以用于科学研究、实践中的不等式推理，可以用来判断两个数之间的大小关系，也可以用来判断函数的单调性，恒等式和变换形式，对高中生、大学生和学习数学有很大帮助。
综上所述，基本不等式四个公式是不等式的基础，是推理计算的基础，它有助于学习者全面掌握数学知识，并帮助学习者正确判断数字之间的关系，从而更好地推理计算，在科学研究和实践中也具有重要的作用。
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常用基本不等式
以下是常用的基本不等式：
1. 平均数不等式：对于任意n个正实数a1，a2，…，an，有：
(a1 + a2 + …+ an) / n ≥(a1×a2×…×an)^(1/n)
等号成立当且仅当所有数相等。
2. 加权算术平均数不等式：对于任意n个非负实数a1，a2，…，an和正实数w1，w2，…，wn，有：
(w1a1 + w2a2 + …+ wn·an) / (w1 + w2 + …+ wn) ≥(a1^(w1) ×a2^(w2) ×…×an^(wn))^(1/(w1 + w2 + …+ wn))
3. 均值-几何平均数不等式：对于任意n个正实数a1，a2，…，an，有：
(a1 + a2 + …+ an) / n ≥(a1×a2×…×an)^(1/n)
等号成立当且仅当所有数相等。
4. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意两个n维实向量x和y，有：
|x·y| ≤||x||·||y||
其中x·y表示向量内积，||x||和||y||表示向量的模长。
5. 三角不等式：对于任意两个实数a和b，有：
|a + b| ≤|a| + |b|
等号成立当且仅当a和b同号。
这些基本不等式在数学、物理、工程等各个领域中都有广泛的应用，是学习和掌握数学知识的基础。