中国剩余定理(B级).

一、

中国剩余定理——中国古代趣题

1) 趣题一

中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”

此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。 2) 趣题二

我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：

“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”

这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：

三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘． 五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘． 七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．

除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数． 此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233?+?+?=，233105128-=，12810523-=

中国剩余定理及弃九法

知识框架

为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？

先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a是一个被3除余a而被5

与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b是被5除余b，被3与7整除的数；同

理15c是被7除余c，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，702115

++是

a b c

被3除余a，被5除余b，被7除余c的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．

了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．

3)核心思想和方法

对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:

今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？

题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。

先由5735

?=，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数35270

?=是否可以，很显然70除以3余1

类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。

最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：

k k

?+?+?±=-，其中k是自然数。

270321245[3,5,7]233[3,5,7]

也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。

例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，

那么我们可以计算2703212452[3,5,7]23

?+?+?-?=得到所求

如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,

我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。

二、弃九法原理

在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：

例如：检验算式1234189818922678967178902889923

++++=

1234除以9的余数为1

1898除以9的余数为8

18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7 178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9的余数为2

而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用

例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的

但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。

注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。

【例 1】 将自然数1，2，3，…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然

数100，那么所得的数除以9的余数是多少？

【巩固】 检验下面的加法算式是否正确：2638457＋3521983＋6745785＝12907225。

例题精讲

重难点

【例 2】 假设2)]2n ()1n (n [+?+?=3039162537□6，其中□代表一个隐藏的数字，你能找出来么？

【巩固】 假设2)]2n ()1n (n [+?+?=15127743□136，同样是求□代表的一位数字。

【例 3】 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、这十个数中，选出九个数字，组成一个两位数、一个三位

数和一个四位数，使这三个数的和等于2010，那么其中未被选中的数字是______

【巩固】 在右边的加法算式中，如果不同的汉字代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数华杯决赛

的最大值是______________.

1

1

2

赛决杯华届六十年兔+

【例4】一个数除以3的余数是2，除以5的余数是1，则这个数除以15的余数是。

【巩固】一群猴子分桃，桃子共有56个，每只猴子可以分到同样多的桃子。但在它们正要分桃时，又来了4只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数量相同，那么最后每只猴子分到个桃子。

【例5】n除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，，除以16余15。n最小为。

【巩固】不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。问最多有多少名同学?

【例6】a是一个三位数.它的百位数字是4，9

a-能被9整除，问a是多少？

a+能被7整除，7

【巩固】一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是__________。

【例7】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数____.

【巩固】一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．

【例8】如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗?

B A

【巩固】三个连续三位数的和能够被13整除，且这三个数中最大的数被9除余4，那么符合条件的三位数中最小的数最大是。

【例9】某小学的六年级有一百多名学生．若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出二人；若按七人一行排队，则多出一人．该年级的人数是．

【巩固】 智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，

结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级原人数应该是（ ）人。

【例 10】 三个连续的自然数，从小到大依次是4、7、9的倍数，这三个自然数的和最小是 ．

【巩固】 在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大

的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？

【随练1】 有一个2000位的数A 能被9整除，数A 的各个数位上的数字之和是B ，数B 的各个数位上的

数字之和是C ，数C 的各个数位上的数字之和是D 。求D 。

课堂检测

【随练2】 小朋友们做游戏，若3人分成一组，则最后余下2人；若4人分成一组，则最后余下3人；若5

人分成一组，则最后余下4人。那么一起做游戏的小朋友至少有 人。

【随练3】 学习委员收买练习本的钱,她只记下四组各交的钱,第一组2.61元,第二组3.19元,第三组2.61元,

第四组3.48元,又知道每本练习本价格都超过1角,全班共有_____人.

【作业1】 检验下面的减法算式是否正确：

7832145-2167953＝5664192。

【作业2】 检验下面的乘法算式是否正确：

46876×9537＝447156412。

【作业3】 有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是5483，第一个数各个位的数字之和是11，

第二个数的各个位数字之和是16，求两个三位数的和。

家庭作业

【作业4】某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是。【作业5】一个数能被3、5、7整除，若用11去除则余1，这个数最小是_____.

【作业6】有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数．

学习心得