山东大学管理学院线性代数42相似矩阵

性质2.如A～B，则A与B的秩相同。
证明：A～B，则存在可逆矩阵P有
P－1AP＝B
(1)
由于P可逆，可设
P＝T1T2…Ts (Ti为初等矩阵) 代人（1）得
（T1T2…Ts）－1A（T1T2…Ts）＝B ∴ Ts-1Ts-1-1…T2 –1T1-1A（T1T2…Ts）＝B
即A经过2s次初等变换可变成B，所以必有
0 0 1/ 2
1
此时
Λ 2 ,
3
且有 P-1AP = .
（2） 使 P-1AP = 成立的 P、 不唯一. 如
若取
1 1 1 P(p1 ,p3 ,p2) 0 2 1
0 2 0
单击这里求逆
1 1 1/ 2
则
P1 0 0 1/ 2 .
0 1 1
此时
1 Λ
3
,
2
亦有 P-1AP = .
1 p1 0 ,
1
当 2 3 2 时，解方程组
(A2E)x0,
4 1 1 x1
即
0 0 0 x2 0 单击这里求解
4 1 1 x3
得对应于 2 3 2 的特征向量为
1
1
p1 4 , p2 0 ,
0
4
因为 3 阶矩阵 A 找到了 3个线性无关的特
征向量，所以方阵 A 相似于对角矩阵.
第二节 相似矩阵
一、相似矩阵的概念 定义4.2 设A、Bn阶矩阵，如果存在非奇异矩阵P，使得 P－1AP＝B
我们称A与B相似。记为“A～B”；P称为A与B相似的变换矩阵。 显然，相似矩阵有如下简单性质： （ⅰ）A～A （只需取P＝I） （ⅱ）如A～B，则必有B～A 证明：因为A～B，所以存在可逆矩阵P，有
一个ni重特征值λi有n个线性无关的特征向量。 （即（λiI－A）X＝0的基础解系有ni个）
2 1 1
例: 矩阵 A 0 3 1
2 1
3
－ 2 1 － 1
I－ A＝0 3 1 (2)2(4)0
－ 2 － 1 － 3
因此特征值λ1＝2 λ2＝4 当λ＝2时方程组(λI－A)X＝0为
因此可得 A2 – A 与 B2 – B 相似。
矩阵与对角矩阵相似的条件
一.判定定理.n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A 有n个线性无关的特征向量。（记P为A的特征向量组成的矩 阵，对角矩阵Λ是由P的列对应的特征值组成的对角矩阵， 则有P－1AP＝Λ，即A～Λ）.
证明：（i）必要性
如果A与对角矩阵Λ相似，则存在可逆矩阵P有
1 1 1
令
P(p1 p2 p3) 0 4 0,
1 0 4
则 P 可逆，且有
1
P1
AP
2 .
2
例4
设
0 A x
0 1
1 y
相似于对角矩阵,
1 0 0
求 x与 y 应满足的条件.
解 先求特征值, A 的特征多项式为
0 1 |AE| x 1 y
1 0
(1)2(1),
所以 A 的特征值为
∴ P－1AP＝Λ 即是 A～Λ
证毕.
可以得到求与A相似的对角矩阵Λ，以及相似变换矩阵 P 的
步骤：
第一步：由∣λI－A∣＝0求出特征值。
第二步：对于每个λ，解方程组(λI－A)X＝0求出基础
解系，最后得到n个线性无关的特征向量X1X2…Xn。
P(x1,x2,,xn)
1
2
n
第三步：得到
必有 P – 1AP = Λ
P－1AP＝Λ
可得 AP＝PΛ
设
P＝(X1X2…Xn) 其中,Xi为P的第i列,
由于P可逆，显然X1X2…Xn线性无关。
下证Xi为特征向量
再设
1
2
n
PX1,X2,
1
,Xn
2
1X1,2X2,
n
,nXn
又 AP = A (X1X2…Xn) = （AX1 AX2 …AXn） 由AP = PΛ得：（AX1 AX2 …AXn）=（λ1X1 λ2X2 …λnXn） 进而可得：AXi = λiXi ( i = 1,2, …, n) 所以X1X2…Xn是A的n个线性无关的特征向量。
4 6 0
例. 矩阵
A
3
5
0
3 6 1
求可逆矩阵P及对角矩阵Λ，使P－1AP＝Λ。
4 6 0 解: IA 3 5 0 (1)2(2)0
3 6 1
因此特征值λ1＝1 λ2＝ - 2 当λ＝1时方程组（λI－A）X＝0为
3 x1 3 x1
6x 6 x2
2
0 0
3 x 1 6 x 2 0
例 3 判定下列矩阵是否相似于对角矩阵,
若相似, 则求出可逆矩阵 P , 使 P-1AP 是对角矩阵.
1 1 2 (1) A 0 1 0
0 0 1
2 1 1 (2) A 0 2 0
4 1 3
(1) 解 矩阵 A 是个对角线上的元素相同的上
三角矩阵, 注意任何对角矩阵、上下三角矩阵的特征
所以
1 p3 2 ,
2
p 3 是对应于
3 3
的特征向量.
因为
1
1
1
p1 0 , p2 1 , p3 2
线性无关
0
0
2
即三阶矩阵 A 有三个线性无关的特征向量, 所以
矩阵 A 可对角化.
1 1 1
令
P(p1 ,p2 ,p3) 0 1 2
0 0 2
单击这里求逆
1 1 1/ 2
则
P1 0 1 1 .
1
P1AP
Λ
2
,
3
则
A = PP-1.
1 1 1
令
P(p1,p2,p3) 1 2 3
1 4 9
单击这里开始求逆
3 5/2 1/2
1 1 0 |EA| 0 2 1
0 0 3
( 1 )( 2 )( 3 ),
所以 A 的三个特征值分别为:
1 1, 22, 33 .
当 1 1 时, 解方程组
(AE)x0,
0 1 0 x1
即
0 1 1 x2 0,
0 0 2 x3
0 1 0 x1 0 1 1 x2 0, 0 0 2 x3
单击这里开始求解 解之得基础解系为
1 p1 0 ,
0
所以 p 1 是对应于 1 1 的特征向量.
当 2 2 时, 解方程组
(A2E )x0,
即
1 1 0 x1 0 0 1 x2 0,
0 0 1 x3
1 1 0 x1 0 0 1 x2 0, 0 0 1 x3
1 1 0
此时
A 2 2 0
4 2 1
这时候, A能对角化, 所以存在方阵 T 使
1 0 0 T 1 AT 0 1 0
0 0 0
上式两边同时左乘 T 及右乘 T-1 可得 A TT 1
1 0 0 n 1 0 0 又 n 0 1 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0
1 1 0 ∴ An (TT 1 )n TnT 1 TT 1 A 2 2 0
秩A＝秩B
性质3.如A～B，则∣A∣＝∣B∣ 证明：A～B，则存在可逆矩阵P有
P－1AP＝B 所以有
∣B∣＝∣P－1AP∣＝| P－1||A| |P|＝|A| 性质4.如A～B，则A与B的奇异性相同（利用性质3可得此结 论） 例1. 已知三阶矩阵A与B相似，A的特征值为1、2、3，求矩 阵B2－2B的特征值。
0 x1 x2 0 x1 x2
x3 x3
0 0
1 其基础解系为: v 1 1
2 x1 x2 x3 0 所以矩阵A不与对角矩阵相似.
1
1 1 0 例. 已知 A 2 2 0 能对角化, 求An(n1).
4 x 1
解: 先求A的特征方程
1 1 0
det( A I ) 2 2 0 (1 )[(1 )(2 ) 2]
4
x 1
(1 )(2 2 2) (1 )(2 ) (1 )( 1)
由此可见A有三个特征值, λ1=0, λ2=λ3=1. 因为A能够对角 化, 必须对应于重根λ2=λ3=1有两个线性无关的特征向量,
对于特征值λ= 1时（λΙ－A）Y＝0为
2 y1 2 y1
y2 y2
单击这里开始求解 解之得基础解系为
1 p2 1 , 0
所以 p 2 是对应于 2 2 的特征向量.
当 3 3 时, 解方程组
(A3E)x0,
2 1 0 x1
即
0 1 1 x2 0,
0 0 0 x3
2 1 0 x1 0 1 1 x2 0, 0 0 0 x3
单击这里开始求解 解之得基础解系为
所以
A～C
二、相似矩阵的性质 n阶矩阵A与B如果相似，则它们会有许多共同之处。 性质1.如A～B，则A与B有相同的特征值。 证明：A～B，则存在可逆矩阵P有 P－1AP＝B 所以 |λI－B|＝|λI－P－1AP | ＝| P－1（λI－A）P| ＝| P－1||λI－A || P| ＝|λI－A | 即A与B的特征方程相同, ∴A与B有相同的特征值。
0 2
其基础解系为:
1
0
,
2
1
1
0
当λ＝－2时，方程组（λΙ－A）X＝0为
6 x1 6 x 3 x1 3 x2
2
0 0
3 x1 6 x2 3 x3 0
1
其基础解系为: 3
1
1
0 2 1 P0 1 1
1 0 1
1
1
2
有 P－1AP＝Λ
判定定理2.n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是对于每
P－1AP＝B 所以 A＝PBP－1 即 A＝(P－1)－1 B(P－1) 即是 B～A
（ⅲ）如A～B，B～C，则必有A～C。
证明: 因为A～B, B～C，所以存在可逆矩阵P1、P2
P1－1AP1＝B，P2－1BP2＝C
所以有 P2－1（P1－1AP1）P2＝C
即有 （P1P2）－1A（P1P2）＝C
0 0 0
所以 x、y 应满足的条件为 :
xy0.
例 5 设 3 阶矩阵 A 的特征值为
11,22,33,
对应的特征向量依次为
1
1
1
p1 1, p2 2, p3 3,
1
4
9
求 A 和 A100 .
解 因 3 阶方阵 A 的三个特征值互不相
等, 所以 A 可对角化, 即存在可逆方阵 P , 使
4 2 1
例 2 设有矩阵
1 1 0 A 0 2 1.
0 0 3
(1) 问来自百度文库阵 A 是否可对角化, 若能, 试求可逆
矩阵 P 和对角矩阵 , 使 P-1AP = . (2) 使 P-1AP = 成立的 P 、 是否唯一，
举例说明.
解 （1） 矩阵 A 的特征多项式为
单击这里求特征多项式和特征值
解：A与B相似，则B的特征值也为 1、2、3
由上节例3知 B2 - 2B 的特征值为 －1、0、3。
例2.设n阶矩阵A与B相似，证明A2-A与B2-B相似。
证明：A与B相似。则存在可逆矩阵P，有
所以
P-1AP＝B B2＝(P-1AP)(P-1AP)＝P-1A2P
可得 P－1 (A2 – A ) P＝P－1A2P－P－1AP＝B2－B
值都是其对角线上的元素, 所以此题 A 的特征值为
1231,
则 A 不相似于对角矩阵, 因为如果 A 相似于对角
矩阵 , 则 就是单位矩阵, 且应有可逆矩阵 P ,
使 A = P-1 P, 但是
P-1 P = P-1EP = E
就应有 A = E, 这显然不对, 所以说 A 不相似于对
角矩阵.
0 0
4 y1 xy2 0
对其系数矩阵作行初等变换,
2 1 0 r1(1)r2 2 1 0
2 1 0
2 1 0 r12r3 0
0 0 r2r3 0 x 2 0
4 x 0
0 x 2 0
0 0 0
可以看出如果此齐次方程要有两个线性无关的基础解系, 就必须
有两个自由变量, y3已经是一个自由变量, 因此需要y2也是自由 变量, 这就要求上面矩阵的第二行全为零, 即x+2=0,得x=-2
(2) 解 先求特征值，A 的特征多项式为
单击这里求特征值
2 1 1 |EA| 0 2 0
4 1 3
(1)(2)2,
A 的特征值为
1 1 ,232,
再求特征向量
当 1 1 时，解方程组
(AE)x0,
即
1 1 1 x1 0 3 0 x2 0
单击这里求解
4 1 4 x3
得对应于 1 1 的特征向量为
(ii) 充分性
设A有n个线性无关的特征向量X1X2…Xn，它们依次对应的 特征值分别为λ1λ2…λn，
则有AXi＝λiXi
令 P ＝ (X1X2…Xn)
1
2
n
则可得 AP = A (X1X2…Xn) = （AX1 AX2 …AXn） PΛ＝（λ1X1 λ2X2 …λnXn） ∴AP＝PΛ
121,31,
A 相似于对角矩阵的充分必要条件是, A 有三个 线性无关的特征向量,
即 A 的二重特征值 1 应能找到两个线性无关的
特征向量. 这时就要求矩阵 AE 的秩为 1 ,
即
R(AE)1.
下面把矩阵 AE 化为行最简形.
1 0 1 AE x 0 y
1
0 1
行变换
1 0 1
0 0 x y