乘法公式经典题型及拓展

乘法公式

、复习：

(a+b)(a-b)=a 2-b2 (a+b) 2=a2+2ab+b2 (a-b) 2=a2-2ab+b2 (a+b)(a 2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a 2+ab+b2)=a3—b3

归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式:

位置变化,

符号变化,

指数变化,

系数变化, 2a b 2a 4a2b2

换式变化, xy xy

xy

2 2

xy

zm zm m

2 2

z 2zm m

⑥增项变化,

连用公式变化,

逆用公式变化,

例1 .已知a 解：T (a b)

例2.已知a xy xy

2xy

2x 2y 2z

4xy 4xz

ab 求a2b2的值。

a22ab 2, ab 1

b 8, ab b22b2=(a

二a2b2=22

求(a b)2的值。

b)22ab

2

例 3:计算 19992

-2000 X 1998

解析〗此题中 2000=1999+1， 1 998= 1 999- 1 ，正好符合平方差公式。

解：19992-2000 X 1998 =1999 2

- (1999+1)X( 1999-1 )

例 4：已知 a+b=2, ab=1,求 a 2+b 2和(a-b) 2

的值。

解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。

解： a 2+b 2=(a+b) 2

-2ab=4-2=2

a-b) 2=(a+b) 2-4ab=4-4=0

例 5:已知 x-y=2 , y-z=2 , x+z=14。求 x 2-z 2

的值。

解析〗此题若想根据现有条件求出 x 、y 、z 的值，比较麻烦，考虑

到 x 2

-z 2

是由 x+z 和 x-z 的积得来的，所以只要求出 x-z 的值即可。

解：因为 x-y=2 ， y-z=2 ，将两式相加得 x-z=4 ，所以 x 2-z 2

=( x+z ) (x-

z)=14

解：T (a b)2 a 2 2ab b 2

(a b)

22

a

2ab b 2

二(a b)2

(a b)2

4ab 二(a

b)2

4ab =(a b)2

2

a b 8, ab 2 二(a b)

8

2

4 2 56

=1999

2-(19992-1 2

) =+1 =1

X 4=56。

例 6:判断(2+1) (22+1) (24

+1)

K 解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的

规律可循。观察到1=( 2-1 )和上式可构成循环平方差。

=2 4096 =16 1024

因为当一个数的个位数字是 6的时候，这个数的任意正整数幕的个位

数字都是6,所以上式的个位数字必为6。

例7.运用公式简便计算

(1) 1032

(22048

+1) +1的个位数字是几

解：(2+1)( 22

+1)( 24

+1)

/ -,2048 八 .

(2 +1)

+1

(2-1 )( 22+1)( 24

+1)

/ -,2048

八

1982

10000 600 9

40000 800 4 1 )

1032

10609

)1982

39204

100 3 2

200 2 2

1002

2

100 3 32

2 2

200 2 200 2 2

例8.计算

2 2

9c 16b

例9.解下列各式

分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第 三个。

解：(1)v a 2

b 2

13, ab 6

(1) 已知a 2 b 2

13

,

ab 6,求

a b 2

,

a b 2

的值

(2) 已知 a b

2

7,

a b 2

4,求 a 2 b 2, ab 的值。

(3) 已知 a a

1

2

a b

2 .2

2,求 a b ab 的值。

2

(4)

已知 x - 3 , x

求:

x 4

A 的值。 x

分析:

在公式 a b 2 2

a b 2

2ab 中，如果把a b , a 2

O

b 2

和 ab 4b 3c

a 4

b 3c

3x y

3x

3c

4b 3c 4b 3c 4b 6a

3x

3x 9x 2

4y 4

c 2 2

9x y

4y