23.2 一元二次方程的解法学案(华师大版九上)
华师大版-数学-九年级上册--23.2一元二次方程的解法 第二课时
23.2.2一元二次方程的解法【教学目标】：1.会用直接开平方法解形如b k x a =-2)(（a ≠0,a b ≥0）的方程；2.灵活应用因式分解法解一元二次方程。
3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。
【重点难点】：合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。
【教学过程】：一 、 复习练习：1、 什么是直接开平方法？请举例说明。
2、 什么是因式分解法，请举例说明。
3、 你能解以下方程吗？1） 8－x 2= —1 2)3y 2—18=0 3) x(x-1)+4x=0 4）—3x 2 —27=04、 你是怎样解方程()21256x +=的？让学生说出作业中的解法，教师板书。
解：1、直接开平方，得x+1=±16所以原方程的解是x 1＝15，x 2＝－172、原方程可变形为 ()212560x +-=方程左边分解因式，得（x+1+16）(x+1－16)=0即可（x+17）(x －15)=0所以x ＋17=0，x －15=0原方程的蟹 x 1＝15，x 2＝－17二、例题讲解与练习巩固1、例1 解下列方程（1）（x ＋1）2－4＝0； （2）12（2－x ）2－9＝0.分 析 两个方程都可以转化为2＝a的形式，从而用直接开平方法求解.解 （1）原方程可以变形为（x ＋1）2＝4，直接开平方，得 x ＋1＝±2.所以原方程的解是 x 1＝1，x 2＝－3.（1） 原方程可以变形为________________________，有 ________________________.所以原方程的解是 x 1＝________，x 2＝_________.2、说明：（1）这时，只要把)1(+x 看作一个整体，就可以转化为b x =2（b ≥0）型的方法去解决，这里体现了整体思想。
（2） 在对方程4)1(2=+x 两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。
华师大版-数学-九年级上册- 23.2一元二次方程的解法 探索一元二次方程的解法
探索一元二次方程的解法探索一：我们知道2x =25，则x =，即5x =±，像这样利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的解法叫做直接开平方法．用直接开平方法解一元二次方程的理论根据是平方根的定义，如果方程具备2()ax b c +=的形式，都可以利用直接开平方法来解，其步骤为：（1）将方程化为 2()ax b c +=（c ≥0）的形式；（2）两边开平方得ax b +=3）求ax b +=ax b +=的值，即原方程的解．例1．解方程：213(2)3x += 解：21(2)3x +=，123x +=±；x+2=13,x+2=13-,所以1257,33x x =-=-． 探索二：大家都知道：两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0，即若 ab=0，则a=0或b=0，如(x+5)(x-3)=0，那么一定有x+5=0或x-3=0，所以x= -5或x=3 由于2215x x +-可以分解为(x+5)(x-3)，所以方程2215x x +-=0的解为x 1= -5，x 2=3， 这样我们就得到了解一元二次方程的另一种解法，即因式分解法．其步骤为：（1）将方程化为一般形式，即方程右边化为0；（2）将方程左边因式分解；（3）根据“两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0”，得到两个一元一次方程；（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．例2．解方程：23(5)2(5)x x -=-．解：移项得23(5)2(5)0x x ---=，即23(5)2(5)0x x -+-=，(5)(313)0x x --=， 所以x-5=0或3x-13=0，所以12135,3x x ==． 探索三：大家都知道：两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0，即若 ab=0，则a=0或b=0，如(x+5)(x-3)=0，那么一定有x+5=0或x-3=0，所以x= -5或x=3 由于2215x x +-可以分解为(x+5)(x-3)，所以方程2215x x +-=0的解为x 1= -5，x 2=3，这样我们就得到了解一元二次方程的另一种解法，即因式分解法．其步骤为：（1）将方程化为一般形式，即方程右边化为0；（2）将方程左边因式分解；（3）根据“两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0”，得到两个一元一次方程；（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．例3．解方程：23(5)2(5)x x -=-．解：移项得23(5)2(5)0x x ---=，即23(5)2(5)0x x -+-=，(5)(313)0x x --=， 所以x-5=0或3x-13=0，所以12135,3x x ==． 探索四：前面我们学习了用配方法解一元二次方程，即一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0），因为a ≠0，所以方程两边同除以a ，得20b c x x a a ++=，移项，得2b c x x a a+=-， 配方，得222()()22b b c b x x a a a a ++=-+，即2224()24b b ac x a a -+=，因为a ≠0，所以24a ＞0，当24b ac -≥0时，2b x a +=2b x a =-±1b x =-+=2222b b x a a a--=--=；当24b ac -＜0时，一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）无解，一般地，对于一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0），当24b ac -≥0时，它的根是x =：，我们把x =叫做一元二次方程的求根公式，这种解方程的方法叫做公式法其步骤为：（1）化方程为一般式20ax bx c ++=(a ≠0)；（2）确定a,b,c ，计算24b ac -；（3）若24b ac -≥0，代入求根公式求解；若24b ac -＜0，方程无解例4．解方程：2230x x --=解：a=1,b=-2,c= -3, 24b ac -=16,所以121,3x x =-=。
华师大版-数学-九年级上册-23.2一元二次方程的解法 课时3
移项，得
x2－3x－ 1 ＝0
4
x2－3x＝ 1
4
配方，得 x2－3x+（
即
(x—23)
2＝
5 2
3 2
Байду номын сангаас
）2＝ 1
4
+（
直接开平方，得
x— 3 2
＝±
10 2
3 2 ）2
所以x1＝
3 10 2
x2=
3 10 2
课堂 小结
1.若二次项系数不为一，方程两边同除以二次项系数． ２．若有常数项先将常数项移到方程右边 ３．方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方 ４．利用直接开平方法解方程
用配方法解下列方程 （1）x2-6x－7=０
（2）x2+3x+1=0
解：
（1）移项，得 x2-6x=7
（2）请同学们自行完成.
左边配方，得 x2-6x+32=7+32
(x-3)2=16
x-3=±4 原方程的解是 x1=7, x2=-1
随堂练习
解方程: 4x2－12x－1＝0
解：（1）将方程两边同时除以4，得
回顾 思考
因式分解法解一元二次方程的基本思想和方法：
当一元二次方程的一边为0 ，而另一边易于分解成两个一 次因式时，
可以使每一个一次因式等于零，分别解两个一次方程，
得到的解就是原一元二次方程的解.
（降次）
驶向胜利 的彼岸
1． x2+2x=5
2． x2-4x+3=0
分析: 能否经过适当变形，将它们转化为
( )2=a
的形式，应用直接开方法求解
解： 1.原方程化为
华师大版-数学-九年级上册--23.2一元二次方程的解法 第四课时
23.2.4一元二次方程的解法教学目标：1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。
2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。
3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。
重点难点：1、难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；2、重点：对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。
教学方法：三疑三探教学过程：一、设疑自探——解疑合探1、用配方法解下列方程：（1）x x 10152=+ (2)2131203x x -+=2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？二、质疑再探：问题1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠转化为2224()4b b ac x a a -+=呢？教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：因为0a ≠，方程两边都除以a ，得20b c x x a a ++= 移项，得2b c x x a a +=-配方，得 2222()()222b b b c x x a a a a ++=- 即2224()24b b ac x a a -+=问题2：当240b ac -≥，且0a ≠时，2244b ac a -大于等于零吗？让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当240b ac -≥时，因为0a ≠，所以240a >，从而22404b ac a -≥。
问题3：在研究问题1和问题2中，你能得出什么结论？让学生讨论、交流，从中得出结论，当240b ac -≥时，一般形式的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根为2b x a +=，即x =。
由以上研究的结果，得到了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式：x = （240b ac -≥） 这个公式说明方程的根是由方程的系数a 、b 、c 所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
华师大版-数学-九年级上册--23.2 一元二次方程的解法 第六课时 教案2
23.2 一元二次方程的解法(6)第6课时教学内容了解百分率的等量关系，根据实际问题的数量关系列一元二次方程解应用题．教学目标1．知识与技能．（1）了解有关百分率的等量关系．（2）会根据实际问题的数量关系列一元二次方程解应用题．（3）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．2．过程与方法．（1）经历探索列一元二次方程解应用题的过程．（2）体验通过图表进行应用题等量分析的方法．（3）发展学生应用数学的意识．3．情感、态度与价值观．（1）对数学有好奇心和求知欲．（2）锻炼学生在数学活动中克服困难和意志．（3）在数学学习中获得成功的体验．重难点、关键1．重点：列一元二次方程解应用题．2．难点：解应用题中的等量分析．3．关键：合理利用图表进行等量分析．教学准备1．教师准备：小黑板．（百分率问题的等量关系）2．学生准备：列一元二次方程解应用题的总结提纲．教学过程一、复习回顾，导入新课1．一件商品的原价为100元，提价30%后的价格是_______．2．小亮第一次数学测验得了70分，他计划在第三次测验中得80分，•那么他在今后两次测验中成绩的平均增长率大约是_______．3．某药商品的原价是18元，经过二次降价后的价格为13元，这两次平均降价的百分率是________．二、范例学习，加深理解例：某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元，•已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．解：设每次降价的百分率为x，根据题意，得56（1-x）2=31.5解这个方程，得x1=0.25，x2=1.75．因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.75不符合题意，符合题意的是x=0.25=25%．答：每次降价的百分率是25%．点拨：第一次降价后的售价是31.5-31.5x=31.5（1-x）•，•第二次降价后的售价是31.5（1-x）-31.5（1-x）x=31.5（1-x）（1-x）=31.5（1-x）2，另外，求出方程的解后，要注意检验方程的解是否符合实际意义．三、随堂练习，巩固深化1．基础训练．课本P30练习第1、2题．2．探研时空．（04，深圳实验区中考题）课外植树小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130m2的长方形花圃，打算一面利用长15m的仓库墙面，三面利用长为33m的旧围栏，求花圃的长与宽．点拨：可设花圃与仓库墙面不平等的边为xm，则与仓库墙面平等的边为（33-•2x）m，根据题意可得方程：x（33-2x）=130，求得方程解时，要保证边（33-2x）≤15m，•才能合理利用长15m的仓库墙面．四、归纳总结，提高认识1．综述本节课的主要内容．2．谈谈本节课的收获与体会．3．展示本节课的总结图表．五、布置作业，专题突破1．课本P31习题23．2第8、9题．2．选用课时作业设计．六、课后反思（略）第六课时作业设计1．某企业计划经过两年将某种产品的年产量提高16%，求年平均增长的百分率．（精确到0.001）2．（06福建泉州市中考题）某商品每件进价200元，现加价10%出售，则每件商品可获利润________元．3．某药品的原价是100元，连续两次降价后的价格为81元，•若每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．答案:1．设年平均增长的百分率为x，则（1+x）2=1+16%，解得：x1≈0.077，x2≈-2.077，∵增长的百分率不为负数，∴x2=-2.077不合题意，符合题意的是x1≈0.077=7.7%．答：年平均增长的百分率为7.7%．2．203．设每次降价的百分率为x，则100（1-x）2=81，解得：x1=0.1，x2=1.9，• ∵降价的百分率不能超过1，∴x2=1.9不合题意，符合题意的是x=0.1=10%．答：•每次降价的百分率为10%．。
华师大版-数学-九年级上册- 整理推荐 23.2一元二次方程的解法(二)
23.2一元二次方程的解法(二)1．(1)方程(2－x)(x＋1)＝0的根是；(2)方程(4x－1)(x＋3)＝0的根是．2．(1)方程3x(x＋3)＝2(x＋3)的根是；(2)方程(2x－1)2＝3x(2x－1)的根是．3．(1)方程x2－x－12＝0的根是；(2)方程(x＋1)(x－2)＝4的根是．4．方程(3x＋4)2＋4(3x＋4)＋3＝0的根是．5．方程(x－3)2＝x－3的根是 ( ) A．x＝3 B．x1＝3，x2＝4 C．x＝－3 D．x1＝0，x2＝16．方程x2－) x＝0的根是 ( )A．x1＝1，x2 B．x1，x2C．x1x2．x1，x2＝17．已知多项式m2－4m－11的值为10，则m的值为 ( )A．3或7 B．－3或7 C．3或－7 D．－3或－78．要使分式2544x xx-+-的值为0，则x的值是 ( )A．4或1 B．4 C．1 D．－4或－19．用因式分解法解下列方程：(1)3(x－5)2＝2(5－x)； (2)(2x－1)(x＋1)＝(3x＋1)(x＋1)；(3)(x－2)(x－5)＝70； (4)(2x＋1)2＋3(2x＋1)＋2＝0．10．已知三角形两边的长分别为1和2，第三边的数值是方程2x2－5x＋3＝0的根，求这个三角形的周长．11．解关于x的方程abx2－(a2＋b2)x＋ab＝0 (ab≠0)．王强同学采用了如下步骤：原方程变形为abx2－a2x－b2x＋ab＝0(abx2－a2x)－(b2x一ab)＝0，ax(bx－a)一b(bx一a)＝0，做到这儿，王强帮妈妈干活去了，请你完成下面的求解步骤，求得原方程的解．12．在高尔夫球比赛中，运动员打出的球在空中飞行高度h(m)与打出后飞行时间t(s)之间的关系为h＝－t(t－7)．(1)经过多少秒后，球的飞行高度为l0米?(2)经过多少秒后，球回到地面?13．阅读下面例题：解方程x2－︱x︱－2＝0．解：(1)当x≥0时，原方程化为x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－l(不合题意舍去)；(2)当x＜0时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得x1＝l(不合题意舍去)，x2＝－2．∴原方程的根是x1＝2，x2＝－2．请参照例题解方程：x2－︱x－1︱－1＝0．参考答案1．(1) x1＝2，x2＝－l (2) x1＝14，x2＝－32．(1) x1＝23，x2＝－3 (2) x1＝12，x2＝－13．(1) x1＝4，x2＝－3 (2) x1＝3，x2＝－2 4．x1＝－73，x2＝－535．B 6．C 7．B 8．C 9．(1) x1＝5，x2＝133(2) x1＝－1，x2＝－2(3) x1＝12，x2＝－5 (4) x1＝－32，x2＝－1 10．周长为9211．(1) x1＝ba，x2＝ab12．(1)2秒或5秒 (2)7秒13．点拨：(1)当x≥1时，原方程化为x2－x＋1－1＝0，∴x1＝0(舍去)，x2＝1．(2)当x＜l时，原方程化为x2＋x－1－1＝0，∴x1＝－2，x2＝1(舍去)．∴原方程的根是x1＝1，x2＝－2．。
华师大版-数学-九年级上册-23.2一元二次方程的解法 完整版
23.2一元二次方程的解法一、填空题1.（2009重庆綦江）一元二次方程x 2=16的解是 ． 【关键词】一元二次方程 【答案】14x =，24x =-2.（2009山东威海）若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．【关键词】一元二次方程 【答案】13．（2009年甘肃庆阳）若关于x 的方程2210x x k ++-=的一个根是0，则k = ． 【关键词】一元二次方程组的解法 【答案】14.(2009年浙江温州)方程(x-1)2=4的解是 【关键词】解一元二次方程 【答案】x 1=3,x 2=-1.5.（2009年甘肃兰州）阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca.根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2+6x +3＝0的两实数根，则21x x +12x x 的值为 ． 【关键词】一元二次方程根与系数关系【答案】106.(2009年福建宁德)方程042=-x x 的解______________． 【关键词】一元二次方程的解 【答案】x 1=0, x 2=47.（2009年广西崇左）分解因式：2242x x -+= ． 【关键词】利用求根方法因式分解 【答案】22(1)x -8.（2009年广西崇左）一元二次方程230x mx ++=的一个根为1-，则另一个根为 ．【关键词】利用一元二次方程的根的定义可得，或利用根与系数的关系可得。
【答案】3- 9．（2009年湖北十堰）方程(x ＋2)(x －1)=0的解为 ． 【关键词】解一元二次方程【答案】－2，1；－2或1(x =－2，x =1或1,221=-=x x )10．（2009年山西）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ． 【关键词】解一元二次方程；一元二次方程根与系数的关系 【答案】答案不唯一，如21x = 二、选择题1.(2009年四川成都)若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是A.1k >- B .1k >-且0k ≠ C.1k < D.1k <且0k ≠【关键词】一元二次方程根的判别式 【答案】B2.（2009年山西太原）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()216x += B ．()216x -= C ．()229x +=D ．()229x -=解析：本题考查配方，2250x x --=，22151x x -+=+，()216x -=，故选B ． 【关键词】配方 【答案】B3.（2009年内蒙古呼和浩特）用配方法解方程23610x x -+=，则方程可变形为（ ） A ．21(3)3x -=B ．213(1)3x -=C ．2(31)1x -=D ．22(1)3x -=【关键词】解一元二次方程 【答案】D4.（2009年湖北襄樊）如图5，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则ABCD 的周长为（ ）A．4+ B．12+．2+ D．212++解析：本题考查平行四边形及一元二次方程的有关知识，∵a 是一元二次方程ADCEB图52230x x +-=的根，∴1a =，∴AE=EB=EC=1，∴AB=，BC=2，∴ABCD 的周长为4+，故选A 。
华师大版-数学-九年级上册-23.2一元二次方程的解法
思考
（1）方程 x2 4 能否用因式分解法来解？
（2）方程 x2 1 0
能否用直接开平方法来解？来自做一做试用两种方法解方程
x2 900 0
例1 解下列方程
（1） x2 2 0
（2） 16x2 25 0
解 （1）移项，得：
x2 2
直接开平方，得：
x 2
即
x1 2, x2 2
试一试
解下列方程，并说明你所用的 解法，与同伴交流。
(1) x2 4 (2) x2 1 0
方程（1）的解法：
x 因为 是4的平方根，所以
x 4
即 x 2
这种方法叫做直接开平方法。
方程（2）的解法：
将方程左边用平方差公式分解因式，得
x 1x 1 0
即 x 1 0 或 x 1 0
所以 x1 1, x2 1
2
即
x1 0, x2 3
（2）
x2 3x
解 （1）移项，得 x2 3x 0
方程左边分解因式，得
xx 3 0
所以 x 0 或者 x 3 0
即
x1 0, x2 3
随堂练习
练习：P22第1、2、
作业：P31第1.(1)(2) 第4.(1)(2)
（2） 16x2 25 0 解 （2）移项，得： 16x2 25
方程两边都除于16。得
x2 25 16
直接开平方，得 即
x5 4
x1
5 4
,
x2
5 4
例2 解下列方程
（1） 3x2 2x 0
（2） x2 3x
解 （1）方程左边分解因式，得
x3x 2 0
所以 x 0 或者 3x 2 0
23.2 一元二次方程的解法 课件(华师大版九年级上册) (6)
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回顾与复习 1
你掌握了吗
1、我们已经学过一元二次方程的解法有哪些？
1、直接开平方法 3、配方法 2、因式分解法 4、公式法
配方法的步骤是什么？ 求根公式是怎样的？
x 70 x 825 0 2、解方程：
2
x1 55, x2 15
用公式法解下列方程
x 3x 2 0 2 x 8x 16 0 2 3 y 10 2 y
2
思考:上面的一元二次方程有几个根? 1、方程有两个不相等的实数根 2、方程有两个相等的实数根 3、方程没有实数根
想一想
2
？
ax +bx+c=0的根为什么会有不同的情况呢?会与
什么有关系呢？
2
作 业
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练习2 已知关于x 的一元二次方程 2x
2
(4k 1) x 2k 1 0
2
当k取什么值时：1、方程有两个不相等的实数根 2、方程有两个相等的实数根 3、方程没有实数根
已知一元二次方程证明根的情况 例3：已知关于x 的一元二次方程
x kx k 2 0
2
求证方程必有两不相等的实数根。
• 课堂练习; 2 • 1、对于方程4(m+1)x +2(2m-1)x=1-m
学科网
(m≠-1）
• • • •
（1）方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围 （2）方程有两个相等的实数根，Байду номын сангаасm的取值范围 （3）方程没有实数根，求m的取值范围 2 2 2 2 2、已知a+c≠0，a +b =c 求证（a+c）x +2bx+c-a=0 总有 相等的实数根
23.2.2配方法学案-2021-2022学年华师大版数学九年级上册
23.2 一元二次方程解法第三课时 配方法一、双基整合 步步为营1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①首先将方程整理为，左边为_____项和______项，右边为_______项；②其次将二次项系数变为____；③方程两边各加上_____________________，这是配方法的关键的一步；④方程左边写成_____________式，右边__________。
当右边是_______实数时，用开平方法即可求得方程的解；当右边是_______实数时，方程无解。
2、用配方法解一元二次方程(1)x 2-10x+24=0； (2)x 2-8x+15=0； (3)x 2+2x-99=0；（4）2x －4x ＝7 （5）2x －3x －10＝0 （6）2x －5x ＋2＝0（7）52x ＋3x －8＝0 （8）32x －10x ＋6＝0二、铸就能力 拓广探索 3、已知方程(m ＋2)8)3(--m m x＋3mx －5=0是关于x 的一元二次方程。
求的m 值。
4、用配方法解方程 （1）x 2－4x －5=0。
（2）x 2-2x －9999=0。
（3）051562=+-x x(4)1)25(5-=-x x ； （5）2x －22x －1=0三、智能升级 链接中考5、用配方法解方程xx 2410-+=6、用配方法解方程2410x x ++=，经过配方，得到（ ）Ａ．()225x +=Ｂ．()225x -= Ｃ．()223x -= Ｄ．()223x += 7、解方程：x 2+2x ＝2.8、用配方法解方程：2210x x --=．第三课时 配方法参考答案一、双基整合 步步为营1、①二次；一次；常数；②1；③一次项系数一半的平方；④完全平方；合并简化；非负；负。
2、(1)x 1＝4，x 2＝6；(2)x 1＝3，x 2＝5；(3)x 1＝9，x 2＝－11；（4）1121+=x ，1122-=x ；（5）2,521-==x x ；（6）21,221==x x ；（7）58,121-==x x ； （8）375,37521-=+=x x 二、铸就能力 拓广探索3、解：根据一元二次方程的定义得：m(m －3)－8=2，m ＋2≠0，∴m=54、（1）解：x 2－4x=5x 2－4x+ 22=5+22(x －2)2=9x －2=3或x －2=－31,521-==x x（2）x 2-2x －9999=0。
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《一元二次方程的解法》教学设计
学习目标：
1、会熟练运用求根公式解一元二次方程。
2、了解b2-4ac的值与一元二次方程解的情况的关系。
学习重点：熟练地运用公式法解一元二次方程。
学习难点：选用适当的方法解一元二次方程。
学习过程：
问题引入：
知识回忆： 1、一元二次方程的求根公式是什么？其成立的条件是什么？
2、问题：小英说：不解方程2x2-2x-3=0，我也知道它的根的个数，
你知道其中的原因吗？
探究新知：
请同学们带着以下问题用10分钟的时间自学完教材P43—P44练习前的内容，
并完成下面的自学检测中的练习。
1、自学思考题：
⑴根据b2-4ac的值的符号，可以判定一元二次方程的根的情况，所以我们
把 叫做一元二次方程根的判别式。
⑵一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）配方变形为 。
⑶当b2-4ac>0时，方程的根是什么？它们有怎样的关系？
⑷当b2-4ac<0时，方程的根是什么？它们有怎样的关系？
⑸当b2-4ac=0时，方程的根是什么？它们有怎样的关系？
2、自学检测：
⑴、在方程x2-4x+3=0中，b2-4ac= 两根为x1= x2= 。
⑵、在方程x2-4x+4=0中，b2-4ac= 两根为x1= x2= 。
⑶、在方程x2-4x+6=0中，b2-4ac= 两根为x1= x2= 。
⑷、下列方程中，没有实数根的是（ ）
A、012xx B、0562xx C、03322xx D、
0122xx
⑸、方程022xx的根的情况是（ ）
A、只有一个实数根 B、有两个相等的实数根
C、有两个不相等的实数根 D、没有实数根
⑹、下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A、0122xx B、0122xx C、0222xx D、
0222xx
⑺、试一试：不解方程，判别下列方程根的情况。
①x2+3x-1=0 ②x2-6x+9=0 ③2x2-3x+4=0
3、自主点拨：
（1）首先将所给方程化成一元二次方程的一般形式，正确找出a、b、c；
（2）只要能判断b2-4ac的符号就行，具体数值不必计算；
（3）判别根的情况，不必求出方程的根。
4、实践交流：
补例：是否存在这样的非负整数m，使关于x的一元二次方程
01)12(22xmxm
有两个实数根？若存在，请求出m的值；若不存在，请说
明理由．
学习步骤：①尝试解答 ②交流汇报（学生汇报解题的思路和方法）③教
师点拨规范解答：
思路点拨：一元二次方程)0(02acbxax，当△≥0时，方程有两个
实数根，并注意隐含条件0a即m≠0．
课堂小结：
１.一元二次方)0(02acbxax根的情况与判别式的关系．
2. 一元二次方)0(02acbxax根的判别式的应用．
3、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
⑴ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根则Δ＞0.
⑵ ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根则Δ＝0.
⑶ ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根则Δ＜0.
实践应用：
P45, 练习 1、2
达标检测：
一、必做题：
选择题：
1、下列方程中，没有实数根的方程是（ ）
A.x2=9 B.4x2=3(4x-1)
C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0
2、下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A、2x2+x+1=0 B、x2-x-1=0 C、x2-6x+10=0 D、x2-2x+1=0
3、方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.不能确定
4、方程x2-x+2=0根的情况是（ ）
A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.有两个不相等的实数根
5、方程x2+4x=2的正根是( )
A、2-6 B、2+6 C、-2-6 D、-2+6
6、方程x2+x-1=0的一个根是（ ）
A、1-5 B、251 C、-1+5 D、251
填空题：
7、如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= _____。
8、方程3x2-23x+1=0的两根为x1= ____ x2= ____。
9、已知a、b、c是△ABC的三边长，那么关于的方程cx2+(a+b)x+4c=0
的根的情况是_____
解答题：
10、用公式法解方程 ：
（1）03242yy； (2）xx3492；
11、当m为何值时，关于的一元二次方程x2-41x+m-21=0有两个相等的实
数根？此时这两个实数根是多少？
二、选做题：
1、用公式法解方程4x2+12x+3=0，得到 （ ）
A．x=362 B．x=362 C．x=3232 D．x=3232
2、在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若a、c异号，则方程根的情况
是（ ）
A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.有两个不相等的实数根
3、关于x的方程2x2+3ax-2a=0有一个根是x=2,则关于的方程y2+a=7的解
是_____
4、若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-47=0有两根相等的实数根，则k=_____
5、若关于x的方程x2-(a+2)x+a-2b=0的根的判别式等于0，且x=21是方程
的根，则a+b=_____
6、解下列方程：
①2x2+x-6=0 ②5x2-4x-12=0 ③ 0216212xx
7、已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m>0时，关于x的方程
c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有两个相等的实数根。求证ΔABC为RtΔ。
课外作业：
课本习题2．3中A组第1、2题，选做B组第3、4题
中考链接：
1、（2011.福建福州）一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2、 (2009.安徽）方程x2-3x+1=0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C． 有两个不相等的实数根 D．没有实数根
3、（2010年.长沙）下列一元二次方程有实数根的是（ ）
A． x2-x+1=0 B． x2-2x+3=0 C．x2+x-1=0 D．x2+4=0
4、（2012年，北京）关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根,则m的
值为_____
5、（2010.贵州）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有两个相等的实
数根,那么mn=_____
6、（2010.上海）若关于x的方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0的根的判别式等于1，
求m的值及该方程的根。