道正抽象函数问题及解题
抽象函数题的解法与技巧
抽象函数题的解法及技巧随着高考改革的不但深入，对基本初等函数中的抽象函数部分考查又有所提高，其题型包括抽象函数的定义域值域问题，抽象函数的单调性和奇偶性问题，求解析式及对称性问题，现就结合着近几年高考出现的体型对抽象函数部分题的解法及技巧总结如下，供备考同学们参考使用。
类型一：求抽象函数的定义域。
例题1．（2013高考大纲版数学（理））已知函数f(x ）的定义域为（-1,0）,则函数f （2x-1）的定义域为 (A)（-1,1） (B)（-1，21） (C)（-1,0） (D)（21，1） 解析：因为原函数的定义域为（﹣1，0），所以﹣1＜2x ﹣1＜0，解得﹣1＜x ＜．所以则函数f （2x ﹣1）的定义域为（-1，21）．故选B ． 变式1：已知f （2x-1）定义域是[]2,1，则函数)(x f 的定义域为 答案：[1,3]变式2：已知已知f(2x-1)定义域是[]2,1，则函数)12(+x f 的定义域为 答案：[0,1] 解题技巧：抽象函数是没有解析式的函数，解决此类问题的方法是抓住这种类型题的本质，像例题1这种题型的本质是解不等式，变式1题型的本质就是求函数的值域，变式2这种题型的本质就是解不等式和求值域的结合。
解决这类问题的技巧搞清本质抓住两个小括号的范围要对应起来，是解决的技巧所在。
类型二：抽象函数的求值问题：例2.对任意实数x,y ，均满足f(2x +y)=2[f 2)(x ]+f(y)且f （1）≠0，则f2014）=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：令x=1，y=n ，得f （n+1）=f （n ）+22)]1([f , 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=21,即f （n+1）-f （n ）=21，f （n ）=2n，所以，f(2014)=22014=1007. 解题技巧：抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
高一数学抽象函数常见题型解法综述
抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。
本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。
解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x从而函数f （x ）的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数))((x f ϕ的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题。
例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。
解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得4111)21(3)21(2)3(log 11221≤≤⇒≤-≤⇒≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 21x f -的定义域是]4111[，评析：这类问题的一般形式是：已知函数f （x ）的定义域是A ，求函数))((x f ϕ的定义域。
正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。
这类问题实质上相当于已知)(x ϕ的值域B ，且A B ⊆，据此求x 的取值范围。
例2和例1形式上正相反。
二、求值问题例3. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①51)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。
解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f +=因为51)6(1)2(==f f ，，所以54)3(-=f 又取3==y x ，得58)3()3()9(-=+=f f f 评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取32==y x ，，这样便把已知条件51)6(1)2(==f f ，与欲求的f （3）沟通了起来。
高三数学抽象函数问题的解题策略
抽象函数问题的解题策略鄂尔多斯市 东联现代中学抽象函数是指没有给出具体的解析式，只给出了其他的一些条件（如函数的定义域、经过的点，解析递推式，部分图象特征等）的函数问题，它是高中数学函数部分的难点，也是高中与大学函数部分的一个衔接点，因为抽象函数没有具体的解析式，所以理解研究起来往往困难重重，但是着类问题对于培养学生的创新精神和实践能力，增强运用数学的意识，有着十分重要的作用，近几年的高考都设置了有关抽象函数问题试题，分量一年比一年重，为此，本文根据近几年的教学经验，从利用特殊模型、函数性质，特殊方法等方面谈谈求解抽象函数问题的策略。
一、 利用特殊模型例1、若函数()f x 具有性质：1.()f x 为偶函数；2、对任意,x R ∈ 都有44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数的解析式可以是______________。
（只须写出满足条件的()f x 的一个解析式即可）分析：看到已知条件中有关于 π的不等式，所以联想到三角函数，结合()f x 为偶函数，得满足条件的函数()f x 的解析式是 ()f x =cos4x 或()sin 2f x x =。
例2、若函数()f x 和()g x 在R 上有定义，且()()()()()()(),210,f x y f x g y f x g y f f -=--=≠则()1g ()()11__g g +-= 。
（用数字作答）。
分析与解：()()()()()f x y f x g y f x g y -=-∴联想到三角公式，可取()sin ,f x x =则()f x 是奇函数，于是有：()()()()()()()sin 2sin 11sin 11cos 1sin 1sin1cos1cos 1sin1coc -=--=---=+-=⎡⎤⎣⎦()cos1cos 11∴+-=-，即()()111g g +-=-例3、设函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数m ，n ，总有()()()f n m f m f n +=且x >0,时0<()f x <1,()1证明:()01f =，且当x<0 时,()1f x > ()2证明:()f x 在R 上单调第减. ()3设()()()(){}()(){}22,1,,21,A fx y f x f y f B x y f ax y a R =∣>=∣-+=∈,,若,A B =∅确定a 的X 围.分析与解:由于()()()f n m f x f y +=,所以联想到指数函数()()01x f x a a =<≠,则题意十分简明,为理解和解决问题作了模型和方法上的铺垫. (1)\在()()()f n m f x f y +=中,取0,0m n >=,有()()()0f m f m f =0x >且()01f x <<∴()01f =又设:0,,m x n x =<=-()()()()()()()01011f x f m n f f x f x f x f x <-<∴+==-∴=> 即 0x <时,()1f x >(2) 设12x x <,则120x x -<,且()()21101,0f x x f x <-<>()()()()()()21211112110f x f x f x x x f x f x f x x ∴-=-+-=--<⎡⎤⎣⎦()f x ∴在R 上是增函数.(3) ()()()(){}22,1A x y f x f y f =∣>,有221;xy +<()(){},21,B x y f ax y =|-+=有20ax y -+=,A B =∅22120x y ax y +<∴{-+= 无解,即直线20ax y -+=和单位圆没有交点,只须213a a ≥⇒≤⇒≤≤例 4.已知定义域R +为的函数()f x ,对于任意,x y R +∈ 的是,恒有()()()f xy f x f y =+(1) 求证:当x R +∈时,()1;f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2) 若1x >时,恒有()0,f x <,求证:()f x 必有反函数.(3) 设()1f x -是()f x 的反函数,求证:()1f x -在其定义域内恒有()()()1111212f x x f x f x ---+=分析与解:由于()()()f xy f x f y =+,所以联想带对数函数()()log 01a f x x a =<≠则问题就简单易于理解了. (1) 令1x y ==,得()10f = 令1y x=得()10f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴当x R ∈时,有()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2) 设12,x x R +∈且12,x x <则211,xx >故()()()22121110x f x f x f x f f x x ⎛⎫⎛⎫-=+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()21,f x f x <()f x ∴在R +上单调递减，故()f x 必有反函数。
抽象函数问题常见题型及解法综述
解： 取 ｚ一 ２ ， 一３ ， 得 ｆ（ ６ ） 一 ｆ（ ２ ） ＋ ｆ（ ３ ） 。 又
，（ ２ ） 一 １ ， 厂（ ６ ） 一 １
，
．
函 数的 基本 概念 问 题 ．
１ ． 抽 象 函数 的定义 域 问题
已知 函数 厂（ ｚ） 满足： 对 任 意 ｚ、 ∈Ｒ，
３ ． 抽 象 函 数 的 值 域 问 题
侧 ２ 已知函数 厂 （ ｚ ） 的定义域是［ 一１ ， ２ ］ ， 求
函数 ｆ（ １ ｏ ｇ ￣（ ３ 一ｚ） ） 的定义 域 。 解： 由函数 厂（ ） 的定义域是［ 一１ ， ２ ］ ， 得： 在 函
的定 义域是 Ａ， 求 函 数 ｆ（ （ ｚ） ） 的 定 义 域 。 正 确 理 解 函 数 符 号 及 其 定 义 域 的 含 义 是 求 解 此 类 问 题 的 关
对 任 意 的 ｚ∈Ｒ， 有 ｆ（ Ｏ ） 一ｆ（ ｚ） ＋ｆ（ 一 ） 一０
厂（ 一． ２ Ｃ ） 一 一 ，（ ） 。
（ １ ） 求证 ： ｆ（ ｘ ） 是 奇 函数 。
（ ２ ） 证明 ： 厂（ ） 是 减 函数 。 （ ３ ） 当 ｚ∈［ 一３ ， ３ ］ 时， 求 ｆ（ ｘ ） 的值 域 。
解： （ １ ） 令 ｚ： 一０ ， 得 ｆ（ ０ ） 一ｆ（ ０ ） ＋ｆ（ ０ ）
ｆ（ Ｏ ） 一０ 。
质 通过 代 数表 述 给 出 。抽 象 函数 的相 关 题 目往 往 是
是 Ａ 中的元 素 ， 而不能是 以外 的元 素 ， 否则 ， ｆ（ ｘ）
无 意 义。 因此 ， 如 果 ，（ 。 ） 有 意义 ， 则 必有 ｚ 。 ∈Ａ。
抽象函数常见题型解法综述
抽象函数常见题型解法综述赵春祥抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。
本文就抽象函数常见题型及解法评析如下： 一、定义域问题例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。
解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x从而函数f(x)的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数))((x f ϕ的定义域是A ，求f(x)的定义域问题，相当于已知))((x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题。
例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。
解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得4111)21(3)21(2)3(log 11221≤≤⇒≤-≤⇒≤-≤--x x x所以函数)]3([log 21x f -的定义域是]4111[，评析：这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的定义域是A ，求函数))((x f ϕ的定义域。
正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。
这类问题实质上相当于已知)(x ϕ的值域B ，且A B ⊆，据此求x 的取值范围。
例2和例1形式上正相反。
二、求值问题例3. 已知定义域为+R 的函数f(x)，同时满足下列条件：①51)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f(3)，f(9)的值。
解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f +=因为51)6(1)2(==f f ，，所以54)3(-=f又取3==y x得58)3()3()9(-=+=f f f评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取32==y x ，，这样便把已知条件51)6(1)2(==f f ，与欲求的f(3)沟通了起来。
抽象函数常见题型解法(改后)
A 级 抽象函数典型问题及解法梳理一、抽象函数定义域问题例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。
例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。
二、抽象函数值域问题例3、若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-，求函数)2(+=x f y 的值域。
三、求抽象函数解析式问题例4、已知f(x)是奇函数，当x > 0时，f(x) = x(1+x ) , 求当x< 0 时，f(x)的解析式。
例5、 定义在R 上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,若f(x)=lg(10x +1),x ∈R 则g(x) =_____h(x) = ______例6、已知是偶函数，当时，,求的解析式.四、用函数图象变换求解析式1、 将函数xy 2=的图像向左平移一个单位，得到图像1c ；再将1c 向上平移一个单位得到2c ，求2c 的解析式.2、 把函数11+=x y 的图像沿x 轴向右平移1个单位,所得图像记为C, 求C 关于原点对称的图像的函数表达式.3、将函数的图像沿x 轴向左平移一个单位,再沿y 轴翻折180o ,得到的图像, 求的解析式.4、将函数的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再将所得图象，沿x 轴方向向右平移4π个单位长度，求所得新图象对应的函数解析式.5、已知函数是偶函数，且x ∈(0,+∞)时有f(x)=x1, 求当x ∈(－∞,－2)时, 求的解析式.五、抽象函数单调性问题1、 若奇函数f(x)在区间[3,7 ]上是增函数，且最小值为5，最大值为7，试判断在[－7,－3]上的单调性及最值情况2、已知f(x)是R 上的奇函数，当x< 0时，f(x)为减函数，且f(2)=0，则f(x)>0的解为______________3、 已知f(x)是周期为2的偶函数，且在区间[0,1]上是增函数，则f(－6.5)、f(－1)、f(0)的大小关系为_____六、抽象函数对称性问题1、函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称。
如何解答抽象函数问题
解题宝典抽象函数问题的难度一般不大.常见的抽象函数问题有求抽象函数的值域，求抽象函数的定义域，判断抽象函数的周期性、单调性、奇偶性等.下面结合实例，谈一谈三类常见的抽象函数问题的解法.一、求抽象函数的值域求抽象函数的值域问题，往往要求根据已知关系式和定义域来求函数的值域.解答此类问题，需对已知关系式进行赋值，以便根据函数单调性的定义，判断出函数的单调性，然后根据函数的单调性求得函数在定义域内的最值，即可确定函数的值域.若定义域包含了多个单调区间，则需在每个区间内讨论函数的单调性，再比较各个区间上的最大、最小值，即可解题.例1.若对任意实数x ，y 都有f ()x +y =f ()x +f ()y ，当x >0时恒有f ()x >0，且f ()-1=-2，求函数f ()x 在区间[]-2,1上的值域.解:令x 1=y ，x 2=x +y ，可得x 2-x 1>0，∵f ()x 2-f ()x 1=f ()()x 2-x 1+x 1-f ()x 1=f ()x 2-x 1+f ()x 1-f ()x 1>0，∴f ()x 1<f ()x 2，可得f ()x 在R 上单调递增，∴当x ∈[]-2,1时，f ()-2≤f ()x ≤f ()1，∵f ()-2=f ()-1-1=f ()-1+f ()-1=-4，f ()1=f ()-1+2=f ()-1+f ()2=f ()-1+f ()1+f ()1=2，∴f ()x 在区间[]-2,1上的值域为[]-4,2.解答本题，需对已知关系式f ()x +y =f ()x +f ()y 进行赋值，令x 1=y ，x 2=x +y ，通过等量代换判断出f ()x 2-f ()x 1的符号，便可判断出函数f ()x 的单调性.再根据函数的单调性，即可求得抽象函数的值域.二、抽象函数的单调性问题抽象函数的单调性问题通常要求根据已知关系式或函数的性质判断函数的单调性，求得函数的单调区间.解答此类问题，需灵活运用单调性的定义.解题的基本思路为：①在定义域内任选两个数x 1、x 2，且使x 1＜x 2，②结合已知条件，化简f ()x 2-f ()x 1或f ()x 2f ()x 1，并将其与0、1比较，③得出结论.若f ()x 2>f ()x 1，则函数在定义域上单调递增；若f ()x 2<f ()x 1，则函数f ()x 单调递减.例2.已知对任意x ∈R ，恒有f ()x >0，当x >0时，f ()x >1.对任意x ,y ∈R ，均有f ()x +y =f ()x f ()y ，试证明：f ()x 在R 上单调递增.分析：我们需先设出x 1，x 2，然后通过等量代换，判断出f ()x 2f ()x 1与1的大小关系，以便根据函数单调性的定义证明抽象函数f ()x 在R 上单调递增.证明：令x 1<x 2，则f ()x 2>0，f ()x 1>0，x 2-x 1>0，f ()x 2f ()x 1=f ()x 2-x 1+x 1f ()x 1=f ()x 2-x 1f ()x 1f ()x 1=f ()x 2-x 1>1,所以f ()x 2>f ()x 1，故函数f ()x 在R 上单调递增.三、抽象函数的奇偶性问题对于抽象函数的奇偶性问题，通常需根据奇偶函数的定义来求解.在解题时，要首先对已知关系式进行赋值，如令x =0、1、-1、-x 等，并将其代入式子中，以便判断出f ()-x 与f ()x 之间的关系.若f ()-x =f ()x ，则函数为偶函数；若f ()-x =-f ()x ，则该函数为奇函数.例3.若函数f ()x ，g ()x 的定义域为R ，对于任意x ,y ∈R ，均有f (x +y )+f ()x -y =2f ()x f ()y ，且f ()0≠0，试判断函数f ()x 的奇偶性.解:令x =y =0，由f (x +y )+f ()x -y =2f ()x f ()y 可得2f 2()0=2f ()0，因为f ()0≠0，所以f ()0=1，令x =0，可得f ()0+y +f ()0-y =2f ()0f ()y =2f ()y ，则f ()y =f ()-y ，故函数f ()x 为偶函数.要判断出函数的奇偶性，需令x =y =0，通过多次赋值，才能判断出f ()-x 与f ()x 之间的关系.总之，抽象函数是一类较为特殊的函数，它没有具体的解析式和图象，因而在解答抽象函数问题时，需重点研究已知关系式和抽象函数的性质，从中找到解题的突破口.（作者单位：云南省曲靖市会泽县实验高级中学）方琼41。
高中数学专题：抽象函数常见题型解法
抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。
一、定义域问题例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。
例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。
二、求值问题例 3. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①51)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。
三、值域问题例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。
解：令0==y x ，得2)]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。
若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。
由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有)]2([)2()2()22()(2≥==+=xf x f x f x x f x f下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ，设存在Rx ∈0，使得)(0=x f ，则)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ， 所以0)(>x f评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。
四、解析式问题例5. 设对满足10≠≠x x ，的所有实数x ，函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1()(，求f （x ）的解析式。
高中常见抽象函数题型归纳
抽象函数常见题型及解法没有明确给出解析式的函数统称为抽象函数。
常见题型及其解法如下： 一、函数性质法1.利用奇偶性整体思考；2.利用单调性等价转化；3.利用周期性回归已知；4.利用对称性数形结合；5.借助特殊点.二、特殊模型和抽象函数)()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =-⇔=+()()()()[()]()()()()()f y f x y f x y f x f x y y f x y f x f y f x f y +-=⇒=+-=⇒+=()()()()()[()]()()()()f x f x y f x f y f x f x y y f x y f y f x y f y +=⇒=-+=-⇒-=)()()()()()(y f x f y x f y f x f yxf +=⋅⇔-=()()()()()()()()()()x x xf x y f x f y f x f y f f y f f x f y y y y ⋅=+⇒=⋅=+⇒=-四、经典例题及易混易错题型(一)定义域问题这类问题只要紧紧抓住：将函数f g x [()]中的g x ()看作一个整体，相当于f x ()中的x 这一特性，问题就会迎刃而解.例1. 函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[log ()]222的定义域是___. 分析：因为log ()22x 2-相当于f x ()中的x ，所以log ()2221x -≤，解得22<≤x 或-≤<-22x . 例2. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域.分析：已知函数()()x f ϕ的定义域是A ，求函数f(x)的定义域,相当于求内函数()x ϕ的值域.)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x ,从而函数f （x ）的定义域是［1，4］例3.若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=x f y 的定义域.解析：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=x f y 而言，有1124x -≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x . 所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞例4.已知f x ()的定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12的定义域是______. 分析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以 010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨⎩x a x a a x a a x a (1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1(2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，1f x ()的定义域为(0)，1，意思是凡被f 作用的对象都在(0)，1中.评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ϕ的定义域问题，相当于解内函数()x ϕ的不等式问题.例5.定义在(]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为______，值域为______. 答案:(]8,3,34,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡(二)函数值问题1. 赋特殊值法求值例1.已知f x ()的定义域为R +，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，若f ()84=，则f (2)=_______.分析：在条件f x y f x f y ()()()+=+中，令x y ==4，得f f f f ()()()()844244=+==，∴=f ()42又令x y ==2，得f f f (4)(2)(2)=+=2，∴=f (2)1例2.设函数)(x f 的定义域为()+∞,0，且对于任意正实数y x ,都有)(xy f =)(x f )(y f +恒成立。
中学数学中常见抽象函数题型及其解法
文/刘兵抽象函数是相对于具体的函数而言，是指没有给出函数解析式或对应法则，只是给出函数所满足的一些性质，抽象函数一般是指满足这些性质的一类函数．求解抽象函数问题，要有扎实的知识基础和较强的抽象思维和逻辑推理能力。
随着高考“多考点想，少考点算”精神的突显，抽象函数问题在高考命中呈现逐渐加强的趋势．常见函数的抽象函数形式指数函数：f(x+y)=f(x)f(y)，三角函数：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，正比例函数：f(x+y)=f(x)+f(y)，幂函数：f(xy)=f(x)f(y)，对数函数：f(x)+f(y)=f(xy)。
周期为n的周期函数：f(x)=f(x+n)抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的其它性质，如单调性、奇偶性、周期性及函数变换与图象的对称性之间的关系，或是求函数值、解析式等．抽象函数问题的解法，主要是“赋值法”、“穿脱法”和“定义法”。
一、赋值法先以特殊值作尝试，在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点,从而使问题得以解决。
这类问题经常出现,要认真理解其解题的要领和方法。
例1设函数f(x)的定义域为自然数集，若f(x+y)=f(x)+f(y)+x对任意自然数x,y恒成立，且f(1)=1，求f(x)的解析式。
分析:当令y=1时,可得f(x＋1)=f(x)＋x＋1,这相似于数列中的递推关系,再利用相应的递推关系可求出函数的解析式。
解：令y=1, 则f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1，∴ f(1)=1f(2)=f(1)+2f(3)=f(2)+3…f(n)=f(n-1)+n各式相加得：f(n)=1+2+3+…+n =∴ f(x) =例2已知函数f(x)满足f(x+y)＋f(x-y)=2 f(x)·f(y)，x∈R,y∈R,且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数。
分析: 当令x=y=0时,可得f(0)=1,再利用题中条件变形求解。
证明：令x=y=0∴ f(0)+f(0)=2f 2(0)∵ f(0)≠0, ∴f(0)=1令 x=0, 则f(y)+f(－y) =2f(0)·f(y)∴ f(－y)=f(y),∵y∈R,∴ f(x)是偶函数例3 已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，对任意x>0,y>0恒有f(xy)=f(x)+f(y)求证：当x>0时, f( ) =－f(x)分析:当令x=y=1时,可得f(1)=0,再灵活运用f(1)=f(x·)可求得。
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道正抽象函数问题及解题 一、常见抽象函数f(x)的结构与特例（函数） 1、f(x+y)=f(x)+f(y)—— 一次函数y = kx（k为常数） 2、f(xy)=f(x) f(y)—— 幂函数y = xn（n为常数）） 3、f(x+y)=f(x)·f(y)—— 指数函数y = ax（a＞0且a≠1)
4、f(xy)=f(x)+f(y)——对数函数 y = xalog (a＞0且a≠1)
5、f(x)+f(y)=2f(2yx)f(2yx)—— 余弦函数y = cosx [f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)] 6、f(x+y)=)()(1)()(yfxfyfxf —— 正切函数y = tgx 定理一：设fx()是定义在R上的偶函数，其图象关于直线)0(aax对称， 则fx()是周期函数，且2a是它的一个周期。 证明：fx()关于直线xa对称 fxfaxxR()()2， 又由fx()是偶函数知fxfxxR()()， fxfaxxR()()2， 将上式中x以x代换，得 fxfaxxR()()2， fx()是R上的周期函数且2a是它的一个周期
我们把两条对称轴x0和xaa()0一般化得到
定理二：设fx()是定义在R上的函数，其图象关于两直线xa和xbab()对称, 则fx()是周期函数，且2()ba是它的一个周期。 证明：fx()关于直线xaxb和对称
RxxbfxafRxxbfxfRxxafxf，，，，)2()2()2()()2()(
将上式的x以x代换得faxfbxxR()()22， fxbafxabfxaafxxR[()][()][()]()22222， fx()是R上的周期函数且2()ba是它的一个周期
若再把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，fx()还是不是周期函数？， 周期是多少?
定理三：设fx()是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x1对称。 则fx()是周期函数，且4是它的一个周期。， 证明fx()关于x1对称fxfxxR()()2， 又由fx()是奇函数知 fxfxxRfxfxxR()()()()，
，2 将上式的x以x代换，得
RxxfxfxfxfxfRxxfxf，，)()]([)2()]2(2[)4()()2(
fx()是R上的周期函数且4是它的一个周期. fx()是奇函数的实质是fx()的图象关于原点（0，0）中心对称，又fx()的图象
关于直线x1对称，可得fx()是周期函数，且4是它的一个周期。由此进行一般 化推广，我们得到
定理四：设fx()是定义在R上的函数，其图象关于点Ma()，0中心对称，且 其图象关于直线xbba()对称。证明fx()是周期函数，且4()ba是它的 一个周期。 证明：fx()关于点Ma()，0对称 faxfxxR()()2， fx()关于直线xb对称
fxfbxxRfbxfaxxR()()()()222，， 将上式中的x以x代换，得
RxxfaxafaxbfabxafabxbfabxfRxxafxbf，，)()]2(2[)]2(2[)]42(2[)]42(2[)](4[)2()2(
fx()是R上的周期函数且4()ba是它的一个周期
由上我们发现，定义在R上的函数fx()，其图象若有两条对称轴或一个对称中心 和一条对称轴，则fx()是R上的周期函数。进一步我们可以继续猜定义在R上的函数fx()，其图象如果有两个对称中心，那么fx()是否为周期函数呢？
定理五：设fx()是定义在R上的函数，其图象关于两点Ma()，0和Nbab()()，0 都对称。证明fx()是周期函数，且2()ba是它的一个周期。 证明：fx()关于MaNb()()，，，00对称 faxfxxRfbxfxxRfaxfbxxR()()()()()()2222，，， 将上式中的x以x代换，得
RxxfaxafaxbfabxfRxxbfxaf，，)()]2(2[)]2(2[)](2[)2()2(
fx()是周期函数且2()ba是它的一个周期. 二、例析 1.已知函数f(x)对于任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x＞0时，f(x) ＞0，f(-1)=-2，求函数f(x)在区间[-2，1]上的值域。 解：由f(x+y)=f(x)+f(y) 联想：k(x+y)=kx+ky 特例：y=kx （k为常数）为奇函数。k＜0时为减函数，k＞0时为增函数。 猜测：f(x)为奇函数且f(x)为R上的单调增函数，且f(x)在[－2,1]上有f(x)∈[－4,2] 设x1＜x2且x1，x2∈R 则x2-x1＞0 ∴f(x2－x1)＞0 ∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)＞0 ∴f(x2)＞f(x1),∴f(x)为R上的单调增函数。 令x=y=0,则f(0)=0,令y=-x，则f(-x)=-f(x) ∴f(x)为R上的奇函数。 ∴f(-1)=-f(1)=-2 ∴f(1)=2，f(-2)=2f(-1)=-4 ∴-4≤f(x)≤2(x∈[-2,1]) 故f(x)在[-2,1]上的值域为[-4，2]
2.已知函数f(x)对于一切正实数x、y都有f(xy)=f(x)f(y)且x＞1时，f(x)＜1，f(2)=91 （1） 求证：f(x)＞0 （2）求证：f(x-1)=[f(x)]-1 （3）求证：f(x)在（0，+∞）上为单调减函数 （4）若f(m)=9，试求m的值。
证：由f(xy)=f(x)f(y)，联想nxx)21（=nnxx21 特例：y = xn（n为常数）（y = x-2） 猜测：f(x)＞0，在（0，+∞）上为单调减函数，……
（1） 对任意x＞0，f(x)=f(xx·)=[f(x)]2≥0 假设存在y＞0，使f(y)=0，则对任意x＞0
f(x)=f(yx·y)=f(yx)f(y)=0，这与已知矛盾 故对任意x＞0，均有f(x)＞0 （2）∵f(x)=f(x×1)=f(x)f(1)，f(x)＞0, ∴f(1)=1
∴f(x)f(x1)=f(x1·x)=f(1)=1 ∴f(x-1)=[f(x)]-1
（1） x1、x2∈(0,+∞)，且x1＜x2，则12xx＞1，∴f(12xx)＜1， ∴f(x2)=f(12xx·x1)=f(12xx)f(x1)＜f(x1) 即f(x2)＜f(x1) ∴f(x)在（0，+∞）上为单调减函数。 （4）∵f(2)=91，f(m)=9 ∴f(2)f(m)=1 ∴f(2m)=1=f(1)，而f(x)在(0，+∞)是单调减函数 ∴2m=1 即m=21 3.已知函数f(x)对于一切实数x、y满足f(0)≠0，f(x+y)=f(x)f(y)， 且当x＜0时，f(x)＞1 （1）当x＞0时，求f(x)的取值范围 （2）判断f(x)在R上的单调性 解：由f(x+y)=f(x)f(y) 联想：ax+y=ax·ay 特例：y=ax（a＞0,a≠1），a0=1≠0。 当a＞1时为单调增函数，且x＞0时，y＞1，x＜0时，0＜y＜1； 0＜a＜1时为单调减函数，且x＜0时，y＞1，x＞0时，0＜y＜1。 猜测： f(x)为减函数，且当x＞0时，0＜f(x)＜1。 （1）对于一切x、y∈R，f(x+y)=f(x)f(y)且f(0)≠0 令x=y=0，则f(0)=1，现设x＞0，则-x＜0，∴f(-x) ＞1
又f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1 ∴f(-x)=)(1xf ＞1 ∴0＜f(x)＜1 （2）设x1＜x2，x1、x2∈R，则x1-x2＜0，f(x1-x2) ＞1 且)()()()()()()()(212221222121xxfxfxfxxfxfxxxfxfxf＞1 ∴f(x1)＞f(x2)， ∴f(x)在R上为单调减函数 4.已知函数f(x)定义域为(0,+∞)且单调递增，满足f(4)=1，f(xy)=f(x)+f(y) （1）证明f(1)=0 （2） 求f(16) （3）若f(x)+f(x-3)≤1，求x的范围 （4）试证f(xn)=nf(x)（n∈N） 解：由f(xy)=f(x)+f(y) 联想：yaxaxyalogloglog（x、y∈R+） 特例：y=xalog（a＞0，a≠1） 猜测：f(x)有f(1)=0，f(16)=2，…… （1）令x=1，y=4，则f(4)=f(1×4)=f(1)+f(4)∴f(1)=0 （2）f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=2 f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]≤1=f(4) f(x)在（0，+∞）上单调递增 ∴ x(x-3)≤4 ∴ -1≤x≤4 x-3＞0 x＞3 ， 即3＜x≤4 x＞0 ∴ x∈（3，4] （4）∵f(xy)=f(x)+f(y) ∴f(xn)=f(x·x……x)=nf(x)（n∈N） n个x
5、设函数f(x)满足f(x1)+f(y2)=2f(221xx)f(221xx)，且f(2)=0，x、y∈R；求证：f(x)为周期函数，并指出它的一个周期。 证：由f(x1)+f(x2)= 2f(221xx)f(221xx)
联想：cosx1+cosx2=2cos221xxcos221xx 特例：y=cosx，为周期函数且2π为它的一个周期。 猜测：f(x)为周期函数，2π为它的一个周期
令x1=x+π,x2=x 则f(x+π)+f(x)=2f(x+2)f(2)=0 ∴f(x+π)=-f(x) ∴f(x+2π)=f(x) ∴f(x)为周期函数且2π是它的一个周期。
6.已知函数f(x)满足f(x+1)=)(1)(1xfxf，若f(2)=2002，试求f(2003)。
解：由f(x+1)= )(1)(1xfxf， 联想：tg (x+4)=tgxtgx11 特例：y=tgx 为周期函数且周期为4×4=π。 猜测：f(x)为周期函数且周期为4×1=4