天津一中2014_2015学年高三数学下学期4月月考试卷理(含解析)
天津市第一中学2018届高三下学期第四次月考数学(理)试题Word版含解析
天津一中、益中学校2017-2018高三年级四月考试卷数学（理）一、选择题：1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，，所以，因为且，所以，，故选D.2. 若实数，满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】画出表示的可行域如图，由，得，平行直线，当直线经过时，有最大值，故选C.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3. 执行如图所示的程序框图，则输出的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：初始条件，；运行第一次，，；运行第二次，，；运行第三次，，；运行第四次，，；运行第五次，，．满足条件，停止运行，所以输出的，故选C．考点：程序框图．【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“”，否则很容易出现错误．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．4. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，则角为（）A. B. 或 C. D.【答案】A【解析】由余弦定理可得，，解得，解得，，故选A.5. 已知正项．．等差数列中，若，若，，成等比数列，则等于（）A. B. C. D.【解析】正项等差数列中，，，构成等比数列，即构成等比数列，依题意，有，解得或（舍去），，故选A.6. 已知双曲线：的焦距为，点在的一条渐近线上，则的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意得双曲线的渐近线方程为∵点在双曲线的一条渐近线上∴∵焦距∴∴双曲线方程为故选D.7. 设是自然对数的底，，且，且，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】时，“”，推不出“”，充分性不成立，时，，必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B.8. 已知函数，若函数在定义域内有且只有三个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【解析】函数在定义域内有且只有三个零点，等价于有且有三个根，当时，，不是方程的根，当时，，令，当时，在单调递增，当时，在单调递增，在单调递减，图象如图所示：其中可得时与图象有三个交点，方程有且有三个根，函数在定义域内有且只有三个零点，所以实数的取值范围是，故选A..二、填空题：9. 对于复数，若，则__________．【解析】，，故答案为.10. 若二项式的展开式中的常数项为，则__________．【答案】【解析】二项式的展开式的通项为，令所以常数项为二项式的展开式中的常数项为，则，故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.11. 在极坐标系中，为曲线上的动点，是直线上的动点，则的最小值为__________．【答案】1【解析】由可得，即圆心为，半径为的圆，直线化为，的最小值为圆心到直线的距离与圆半径的差，，故答案为. 12. 已知一个公园的形状如图所示，现有种不同的植物要种在此公园的，，，，这五个区域内（四种植物均要使用），要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有__________种．【答案】【解析】可分两类：第一类，若A，E相同，D有2种种法，则有；第二类，若A，E不相同，D只有1种种法，则有；由分类计数原理可得所有种法种数为。
天津市七校2014届高三数学4月联考 文
天津市七校2014届高三数学4月联考 文本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并在规定位置填涂信息点。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡和答题纸上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回。
祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项：1.每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式:· 如果事件B A ，互斥，那么)()()(B P A P B A P += ．· 棱柱的体积公式 Sh V =其中S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱柱的高．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）化简224(1)ii ++的结果是（ ）A ．2i +B ．2i -+C ．2i -D ．2i --（2）已知变量y x ，满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y +的最大值是( )A ．2B ．5C ．6D ．8（3）如果执行右面的程序框图，那么输出的S =( ) A ．190B ．94C ．46D ．22（4）设R x ∈，则“21>x ”是“0122>-+x x ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（5）设双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，，且直线c a x 2-=（c 是双曲线的半焦距）与抛物线24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为（ ） A ．2211224x y -= B ．2214896x y -=C ．222133x y -=D ．22136x y -=（6）已知正项等比数列}{n a 满足5672a a a +=，若存在两项nm a a ，使得14a a a n m =，则n m 41+的最小值为（ ） A ．625B ．35C ．23D ．2（7）给出下列四个命题，其中真命题为（ ）①命题“x x R x 31,2>+∈∃”的否定是“x x R x 31,2≤+∈∀”；②函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是1-； ③()3.02.02.02.13.06.3log <<；④若R m ∈，直线01)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互垂直，则1=m . A ．①④B ．②④C ．②③D ．①③（8）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =，若对于任意的[]2,+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ．[)+∞,2B ．[)+∞,2C ．(]2,0D ．(][)+∞⋃-∞-,22,第Ⅱ卷 注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上。
2015届天津市第一中学高三5月月考试题 数学(理)
2 侧视图俯视图天津一中2014-2015高三年级五月考数学试卷（理科）一、选择题：1．若复数z 满足(1)42(z i i i +=-为虚数单位），则||z =ABCD 2．以下说法错误的是 A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”； B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件； C ．若p ∧q 为假命题,则p ,q 均为假命题；D ．若命题p :∃x 0∈R,使得20x 010x ++<则﹁p :∀x ∈R,则210x x ++≥3．若,x y 满足0,1,0,x y x x y +≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩则下列不等式恒成立的是A ．1y ≥B ．2x ≥C ．220x y ++≥D ．210x y -+≥ 4．执行如图的程序框图，若输出的48S =，则输入k 的值可以为A ．4B ．6C ．D ．105．某几何体的三视图（单位：cm ）如右图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是A ． 32cmB ． 3cmC ． 3cm D ． 33cm6．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设123,,x x x 均为实数，且()1211log 13x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2321log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3231log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭则A A ．132x x x << B ．321x x x << C ．312x x x << D ．213x x x << 8．已知正数,,x y z 满足2221x y z ++=，则12zs xyz+=的最小值为 A ．3 B ．4CD．1)二、填空题：9．已知二项式2()nx x+的展开式中各项二项式系数和是16，则展开式中的常数项是____． 24 10．曲线sin (0y x x =≤≤π)与x 轴围成的封闭区域的面积为 ．2 11．如图，在圆内接四边形ABCD 中，AB //DC ，过点A 作 圆的切线与CB 的延长线交于点E .若5,6AB AD BC AE ====， 则DC =25412．已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为，P 是上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4=，则=QF 513．在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是AB 的中点，E 为线段AC 上一动点，则ED EB ⋅的取值范围为 23,316⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．已知函数213,10()132,01x g x x x x x ⎧- -<≤⎪=+⎨⎪-+<≤⎩，若方程()0g x mx m --=有且仅有两个不等的实根，则实数m 的取值范围是 9(,2][0,2)4m ∴∈--15．已知函数()sin())f x x x ωϕωϕ=++(0,0||)2πωϕ><<为奇函数,且函数()y f x =的图象的两相邻对称轴之间的距离为2π.。
天津市河北区2014届高三总复习质量检测(一)理科数学试卷(带解析)
天津市河北区2014届高三总复习质量检测（一）理科数学试卷（带解析）1．己知集合{}{}|23|lg(2)0M x x N x x =-<<=+≥，则MN =（ ）.(A)(2,)-+∞ (B)[)1,3- (C)(]2,1-- (D)(2,3)- 【答案】B 【解析】 试题分析：由已知集合{}1N x x =-…，所以{}{}[)2311,3MN x x x x x =-<<-=-…，故正解答案选B. 考点：1.集合运算；2.对数不等式.2．已知变量x ，y 满足约束条件110,1x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z=2x +y 的最大值是（ ）.(A) -4 (B) 0 (C)2 (D)4 【答案】C 【解析】试题分析：首先作出可行域110,1x y x+≤⎧⎪+≥≤区域，目标函数可化为2y x z =-+，所以作出直线y ()1,0时，所z 的最大值为max 2102z =⨯+=，故正解答案为C.3．执行下边的程序框图，输出m 的值是（ ）.(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【答案】A 【解析】试题分析：第一次执行循环体时：1m =，23a =，0ba=，选择“否”；第二次：2m =，228239a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，293384b a =⨯=，选择“否”；第三次：3m =，328339a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，89198b a =⨯=，选择“是”，故此输出m 的值为3.正解答案选A. 考点：1.程序框图；2.幂运算.4．直线:10l mx y -+=与圆22:(1)5C x y +-=的位置关系是（ ）. (A)相切 (B)相离 (C)相交 (D)不确定 【答案】C 【解析】试题分析：由直线:10l mx y -+=，得()10y m x -=-，因此直线l 恒过点()0,1，又点()0,1是圆C 的圆心，所以直线l 与圆C 的位置关系是相交.故正确答案为C.考点：直线与圆5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）. (A)56 (B) 103 (C)53(D)2 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知此几何体是由一个长为2点切去一角的空间多面体，如图所示，则其体积为111022323V =⨯⨯=.故正确答案选B.2222考点：1.三视图；2.简单组合体体积. 6．在ABC ∆中，3,3BC AC B π===，则ABC ∆的面积是（ ）.(A)【答案】A【解析】试题分析：由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅∠，即2340AB AB --=，解得4AB =，所以11sin 4322ABC S AB BC B ∆=⋅⋅=⨯⨯=故正确答案为A. 考点：1.余弦定理；2.三角形面积.7．已知函数log3,0()1(),03x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩．那么不等式()1f x ≥的解集为（ ）.(A){}|30x x -≤≤ (B){}|30x x x ≤-≥或 (C){}|0x x ≤≤ (D){}|03x x x ≤≥或 【答案】D【解析】试题分析：由已知得，①当0x >时，有3log 13x x ⇒厖；②当0x …时，有1103xx ⎛⎫⇒ ⎪⎝⎭厔，综①②得不等式的解集为{}|03x x x ≤≥或.故正确答案选D. 考点：1.对数、指数不等式；2.分类讨论思想.8．已知函数41()41x x f x -=+，若120,0x x >>，且12()()1f x f x +=，则12()f x x +的最小值为（ ）. (A)14 (B)45(C)2 (D)4 【答案】B 【解析】试题分析：因为12()()1f x f x +=，所以1212414114141x x xx --+=++，整理得()1212444430x x x x ⋅-+-=，又1244x x +…124430x x ⋅-…，解得3，即124449x x x x+⋅=?，因此()1212121241224114141915x x x x x x f x x +++-+==--=+++….故正确答案为B.考点：1.指数函数；2.基本不等式.9．复数11iz i-=+，则z =______________. 【答案】1 【解析】试题分析：因为()()()211111i i z i i i i --===-++-，所以1z ==.故正确答案为1.考点：复数分母有理化、模.10．5(21)x -的展开式中3x 项的系数是____________（用数字作答）. 【答案】80 【解析】试题分析：由题意得()()()55551552112rrrrr rr r T C x C x ----+=-=-⋅，令53r -=，解得2r =，代入上式得()23351280C -=.故正确答案为80.考点：二项式定理.11．在极坐标系中，圆心为(1,)2π，且过极点的圆的方程是____________.【答案】2sin ρθ= 【解析】试题分析：设圆上任一点P 的坐标为(),ρθ，连接圆心C 与极点O ，延长OC 交圆另一点A ，连接AP 得Rt OPA ∆，所以cos 22ρπθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理得所求圆的方程2sin ρθ=. 考点：圆的极坐标方程.12．如图，AB 是半圆D 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD ⊥PD.若PC=4，PB=2，则CD=____________.【答案】125【解析】试题分析：连接OC ，则得直角三角形OPC ，设半圆的半径为r ，则有()22224r r +=+，解得3r =，又由CD CP AO OP =，得4123325CD =⋅=+.故正确答案为125. 考点：1.圆的切线；2.平行线分线段成比例. 13．己知0,0x y >>，若2287y xm m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【答案】81m -<<【解析】试题分析：因为288y x x y +=…，所以287m m >+恒成立，即2780m m +-<恒成立，解得所求实数m 的范围为81m -<<. 考点：1.基本不等式.14．已知a 、b 为非零向量，()m a tb t R =+∈，若1,2a b ==，当且仅当14t =时，m 取得最小值，则向量a 、b 的夹角为___________. 【答案】23π 【解析】 试题分析：设向量,a b的夹角为θ，则2222222cos 44cos 1m a tb a t a b t b t t θθ=+=++=++，构造函数()2221144cos 14cos cos 124f t t t t θθθ⎛⎫=++=+-+ ⎪⎝⎭，因为当且仅当14t =时，m 取得最小值，所以当14t =时，函数()f t 有最小值，即111cos 0cos 422θθ+=⇒=-时，函数()f t 有最小值，又[]0,θπ∈，所以解得23πθ=.考点：1.向量；2.二次函数.15．己知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量(sin ,sin ),m A B =(cos ,cos )n B A =，且sin 2m n C ⋅=.（1）求角C 的大小：（2）若sinA ，sinC ，sinB 成等差数列，且18CA CB ⋅=，求边c 的长． 【答案】（1）3π；（2）6. 【解析】试题分析：（1）由向量数量积坐标运算得()sin m n A B ⋅=+，又,,A B C 三角形的三个内角，所以有()sin sin A B C +=，因此sin 2sin C C =，整理得1cos 2C =，所以所求角C 的大小为3π；（2）由等差中项公式得2sin sin sin C A B =+，根据正弦定理得2c a b =+，又18CA CB ⋅=，得c o s 18a b C=，由（1）可得36ab =，根据余弦定理得()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，即224336c c =-⨯，从而可解得6c ∴=.（1）()sin cos sin cos sin m n A B B A A B ⋅=+=+ 2分 在ABC !中，由于()sin sin A B C +=，所以sin m n C ⋅=.又sin m n C ⋅=，sin 2sin C C ∴=，sin 2sin C C ∴=，又s i n 0C ≠，1cos 2C ∴=. 5分而0C π<<，3C π∴=. 7分（2）sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，2sin sin sin C A B ∴=+，由正弦定理得2c a b =+.9分18CA CB ⋅=，cos 18ab C ∴=.由（1）知1cos 2C =，所以36ab =. 11分 由余弦定理得()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，224336c c ∴=-⨯，236c ∴=.6c ∴=. 13分考点：1.正弦、余弦定理；2.向量数量积.16．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满200元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红色球，1个黄色球，1个蓝色球和1个黑色球．顾客不放回的每次摸出1个球，直至摸到黑色球停止摸奖．规定摸到红色球奖励10元，摸到黄色球或蓝色球奖励5元，摸到黑色球无奖励． （1）求一名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（2）记X 为一名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）14； （2）所以随机变量X 的分布列为：，10EX =.【解析】 试题分析：（1）由题意知，事件“一名顾客摸球3次停止摸球”的基本事件为前两次摸到的球可能为红、黄、蓝球中的两种、第三次必是黑球，所以该事件个数为23A ，而事件总数是从四个球中不放回地选三个的总数为34A ，由古典概型的概率计算公式可求出所事件的概率；（2）由题意得，一名顾客摸球次数的可能性分别为1、2、3、4，由（1）的做法可得随机变量X 的所有取值为0、5、10、15、20，并分别求出相应的概率，从而可得到随机变量X 的分布列，并求出其数学期望.（1）设“一名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则()233414A P A A ==.故一名顾客摸球3次停止摸奖的概率为14. 4分（2）随机变量X 的所有取值为0、5、10、15、20. 6分()104P X ==，()2224156A P X A ===，()22234411106A P X A A ==+=，()1222341156C A P X A ⋅===，()33441204A P X A ===. 所以随机变量X 的分布列为：11分11111051015201046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 13分考点：1.古典概型；2.随机变量布列、数学期望.17．如图,在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD，侧棱PA PD ==ABCD 为直角梯形，其中BC//AD ，AB ⊥AD ，AD=2，AB=BC=l ，E 为AD 中点．（1）求证：PE ⊥平面ABCD ：（2）求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值： （3）求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角.【答案】（1）证明：在PAD ∆中，PA PD =，E 为AD 中点，PE AD ∴⊥.又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD ⊥.PE ∴⊥平面ABCD ；（2（3【解析】试题分析：（1）由题意可根据面面垂直的性质定理来证，已知侧面PAD ⊥底面ABCD ，并且相交于AD ，而PAD ∆为等腰直角三角形，E 为AD 中点，所以PE AD ⊥，即PE 垂直于两个垂直平面的交线，且PE ⊂平面PAD ，所以PE ⊥平面ABCD ；（2）连结BE ，由题意可知PBE ∠是异面直线PB 与CD 所成的角，并且三角形PBE是直角三角形，EB ==112PE AE AD ===，PB ，由余弦定理得cos EB PBE PB ∠===；（3）利用体积相等法可得解，设点A 到平面PCD 的距离h ，即由P A C D AP C D V V--=，得1133ACD PCD S EP S h ∆∆⋅=⋅， 而在R t P E C ∆中，PC ，所以P C C D D P ==，因此2PCD S ∆==，又112A C D S A D AB ∆=⋅=，1EP =，从而可得解. （1）证明：在PAD ∆中，PA PD =，E 为AD 中点，PE AD ∴⊥. 2分 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD . PE ∴⊥平面ABCD . 4分（2）解：连结BE ，在直角梯形ABCD 中，BCAD ，22AD AB BC ==，有E D B C且ED BC =.所以四边形EBCD 平行四边形，EBDC ∴.由（1）知P E E B ⊥，PBE∠为锐角，所以PBE ∠是异面直线PB 与CD 所成的角. 7分2,1AD AB BC ===，在Rt AEB ∆中，1,1AB AE ==.EB ∴=.在Rt PEA ∆中，1,AP AE ==1EP ∴=.在Rt PBE ∆中，PB =cosEB PBE PB ∴∠===.所以异面直线PB 与CD 分（3）解：由（2）得CD EB ==在Rt PEC ∆中，PCPC CD DP ∴==， 2PCD S ∆==. 设点A 到平面PCD 的距离h ，由P ACD A PCD V V --=，得1133ACD PCD S EP S h ∆∆⋅=⋅. 11分又112ACD S AD AB ∆=⋅=，解得h =分 考点：：1.线面垂直；2.异面直线角；3.点到面距离.18．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为B(0，4)，离心率5e =， 直线l 交椭圆于M,N 两点．（1）若直线l 的方程为y=x-4，求弦MN 的长：（2）如果∆BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 的方程.【答案】（1）9；（2）65280x y --=. 【解析】试题分析：（1）由椭圆顶点()0,4B 知4b =，又离心率c e a ==，且222a b c =+，所以220a =，从而求得椭圆方程为2212016x y +=，联立椭圆方程与直线4y x =-消去y 得29400x x -=，12400,9x x ==，再根据弦长公式12MN x =-，可求得弦MN 的长；（2）由题意可设线段MN 的中点为()00,Q x y ，则根据三角形重心的性质知2BF FQ =，可求得Q 的坐标为()3,2-，又设直线MN 的方程为()()()112223,,,,y k x M x y N x y +=-，根据中点公式得12126,4x x y y +=+=-，又由点,M N 是椭圆上的点所以222211221,120162016x y x y +=+=，两式相减整理得1212121244665545y y x x k x x y y -+∴==-⋅=-⋅=-+-，从而可求出直线MN 的方程.（1）由已知4b =，且c a =，220a ∴=.所以椭圆方程为2212016x y +=. 4分 由2212016x y +=与4y x =-联立，消去y 得29400x x -=，12400,9x x ∴==. 6分129MN x∴=-=. 7分（2）椭圆右焦点F的坐标为()2,0，设线段MN的中点为()00,Q x y，由三角形重心的性质知2BF FQ=，又()0,4B，()()002,422,x y∴-=-，故得003,2x y==-.所以得Q的坐标为()3,2-. 9分设直线MN的方程为()()()112223,,,,y k x M x y N x y+=-，则12126,4x x y y+=+=-，且222211221,120162016x y x y+=+=，两式相减得()()()()1212121202016x x x x y y y y+-+-+=. 11分1212121244665545y y x xkx x y y-+∴==-⋅=-⋅=-+-，故直线MN的方程为65280x y--=. 13分考点：1.椭圆方程；2.直线方程.19．已知函数1()()3xf x=，等比数列{}n a的前n项和为()f n c-，数列{}(0)n nb b>的前n项为nS，且前n项和nS满足12)n nS S n--=+≥．（1）求数列{}n a和{}n b的通项公式：（2）若数列11n nb b+⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n项和为nT，问使10052014nT>的最小正整数n是多少？【答案】（1）()213n na n=-…，()211nb n n=-…；（2）252.【解析】试题分析：（1）由已知得当2n…时，()()()12113nn na f n c f n c a a-=----=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则等比数列{}n a的公比13q=，又()2121193a a q f c∴=-==-⨯⎡⎤⎣⎦，解得121,3c a==-，由等比数列通项公式11nna a q-=可得所求数列{}n a的通项公式；由已知可先求出数列的通项公式，再求{}n b 的通项公式，因为11n n S S --=⇒==，1==，所以是首项为1，公差为1的等差数列，n =，即2n S n =，从而()1212n n n b S S n n -=-=-…，又11211b ==⨯-，故数列{}n b 的通项公式为()211n b n n =-…；（2）由数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式1111111212322121n b b b n n n n -⎛⎫=⋅=- ⎪---+⎝⎭可采用裂项求和法先求出前n 项和111111121335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而可得1005100510051251201421201444n n T n n >⇒>⇒>=+，故满足条件的最小正整数n 是252. （1）因为等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c =，则当2n …时，()()()12113n n n a f n c f n c a a -=----=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 因为是等比数列，所以{}n a 的公比13q =. 2分 ()2121193a a q f c ∴=-==-⨯⎡⎤⎣⎦，解得121,3c a ==-.()213n nan ∴=-…. 4分 由题设知{}()0n n b b >的首项11b c ==，其前n项和n S满足)12n n S S n --=…，由11n n S S --=⇒=1==.所以是首项为1，公差为1的等差数列. 6分n =，2n S n =.()1212n n n b S S n n -=-=-…，又11211b ==⨯-. 故数列{}n b 的通项公式为()211n b n n =-…. 8分 （2）因为()211n b n n =-…，所以1111122121n b b b n n -⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭. 10分 111111121335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 12分要使10052014n T >，则1005212014n n >+.所以1005125144n >=. 故满足条件的最小正整数n 是252. 14分考点：1.数列通项公式；2.数列列前n 项和公式. 20．已知函数2()ln ,f x x ax x a R =+-∈. （1）当a=l 时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围；（3）令2()()g x f x x =-，是否存在实数a ，当(]0,x e ∈(e 是自然对数的底数)时，函数g(x)最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）单调递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）72a -…；（3）存在实数2a e =. 【解析】试题分析：（1）把1a =代入函数解析式得()2ln f x x x x =+-，且定义域为()0,+∞，利用导数法可求出函数的单调区间，由()()1211221x x f x x x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=+-=，分别解不等式()0f x '…，()0f x '…，注意函数定义域，从而可求出函数()f x 的单调区间；（2）此问题利用导数法来解决，若函数()f x 在[]1,2上是减函数，则其导函数()212120x ax f x x a x x+-'=+-=…在()1,2上恒成立，又因为()0,x ∈+∞，所以函数()221h x x ax =+-，必有()()1020h h ⎧⎪⎨⎪⎩……，从而解得实数a 的取值范围；（3）利用导数求极值的方法来解决此问题，由题意得()(]()ln 0,g x ax x x e =-∈，则()11ax g x a x x-'=-=，令()0g x '=，解得1x a =，通过对1a 是否在区间(]0,e 上进行分类讨论，可求得当10ea<<时，有()min 13g x g a ⎛⎫==⎪⎝⎭，满足条件，从而可求出实数a 的值.（1）当1a =时，()()2121121221x x x x f x x x x x⎛⎫-+ ⎪+-⎝⎭'=+-==. 2分因为函数()2ln f x x x x =+-的定义域为()0,+∞，所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '…，当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '….所以函数()f x 的单调递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 4分（2）()212120x ax f x x a x x+-'=+-=…在()1,2上恒成立. 令()221h x x ax =+-，有()()1020h h ⎧⎪⎨⎪⎩……， 6分得172a a -⎧⎪⎨-⎪⎩……，72a ∴-…. 8分（3）假设存在实数a ，使()(]()ln 0,g x ax x x e =-∈有最小值3，()11ax g x a x x-'=-=. 9分 当0a …时，()g x 在(]0,e 上单调递减， ()()min 13g x g e ae ∴==-=，4a e=（舍去）； 10分 ②当10e a <<时，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. ()min 11ln 3g x g a a ⎛⎫∴==+= ⎪⎝⎭，解得2a e =，满足条件； 12分③当1e a…时，()g x 在(]0,e 上单调递减， ()()min 13g x g e ae ∴==-=，4a e=（舍去）. 13分综上，存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时，()f x 有最小值3. 14分考点：1.导数性质；2.不等式求解；3.分类讨论.。
【名师解析】天津市天津一中2015届高三上学期零月月考数学理试题 Word版含解析
天津一中2014---2015高三年级月考数学试卷（理科）一、选择题：【题文】（1）i 是虚数单位，211i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭的值是 （ ）A.-1B.1C.-iD.i 【知识点】复数的概念.L4【答案解析】A 解析：解：由题意可知()22111i i i -⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭，所以正确选项为A. 【思路点拨】根据复数的化简可分母实数化，然后根据虚数的概念直接求解. 【题文】(2)在()61x x +的展开式中，含3x 项的系数是 （ ）A.30 B,20 C.15 D.10【知识点】二项式定理.J3【答案解析】C 解析：解：由题意可知()61x x +的展开式中，含3x 项的系数，即为()61x +的展开式中的2x 项的系数，()61x +的展开式中的2x 项为44261C x ，所以它的系数为446115C =.【思路点拨】根据二项式展开式，可以求出与所求项有关的特定项的系数. 【题文】(3)如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 A.16 B.2524 C.34 D.1112【知识点】程序框图；算法.L1【题文】(4)若曲线()()a f x g x x ==，在点()1,1P 处的切线分别为12,l l ，且12l l ⊥，则实数a 的值为（ ） A.-2 B.2 C.12 D.12- 【知识点】导数的几何意义.B11【答案解析】A 解析：解：根据题意可知()f x 在()1,1P 处的导数为()()1211122f x x f -''=∴=，()g x 在()1,1P 处的导数为()()11a g x ax g a-''=∴=，121122l l a a ⊥∴⨯=-∴=-，所以正确选项为A.【思路点拨】根据函数的导数可以求出切线的斜率，再根据函数的几何关系可求出字母的值. 【题文】(5)数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是数列{}n a 为递增数列的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【知识点】充分必要条件.A2【答案解析】解析：解:若a 1＜0，q ＞1时，{a n }递减，∴数列{a n }单调递增不成立． 若数列{a n }单调递增，当a 1＜0，0＜q ＜1时，满足{a n }递增，但q ＞1不成立． ∴“公比q ＞1”是“数列{a n }单调递增”的既不充分也不必要条件． 故选：D【思路点拨】根据命题的关系可知结果. 【题文】（6）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ） A.12 B,23 C. 34 D.35【知识点】概率,K1【思路点拨】甲队获冠军分为两种情况，概率是每种概率的和.【题文】(7)设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，若cosC ccosB asinA b +=，则ABC 的形状为（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定 【知识点】正弦定理；两角和与差的公式.C5,C8 【答案解析】A 解析：解：由正弦定理可知22sin ,2sin ,2sin sin sin sin a b cR a R A b R B c R C A B C===∴===，cos cos sin sin cos sinCcosB sinAsinAb Cc B a A B C ∴+=∴+=()22sin sin sin sin sin 190B C A A A A A ∴+=⇒=∴=∴∠=︒所以三角形为直角三角形，A 正确.【思路点拨】根据正弦定理把边转化成角，然后根据两角和的展开式进行化简.【题文】（8）函数()f x 的定义域是R ，()02f =，对任意()(),1x R f x f x '∈+>，则不等式()1xxe f x e ⋅>+的解集为（ ）A.{}|0x x > B.{}|0x x < C.{}|101x x x <-<<或D.{}|11x x x ><-或【知识点】导数，导数与函数的单调性.B11,B12【答案解析】解析：解：设h （x ）=e x f （x ）-e x-1，则不等式e x f （x ）＞e x+1的解集就是 h （x ）＞0 的解集． h （0）=1×2-1-1=0，h′（x ）=e x [f （x ）+f′（x ）]-e x， ∵[f （x ）+f′（x ）]＞1， ∴对于任意 x ∈R ， e x [f （x ）+f′（x ）]＞e x，∴h'（x ）=e x [f （x ）+f'（x ）]-e x＞0 即h （x ）在实数域内单调递增． ∵h （0）=0，∴当 x ＜0 时，f （x ）＜0；当 x ＞0 时，f （x ）＞0．∴不等式e x •f（x ）＞e x+1的解集为：{x|x ＞0}． 故答案为：{x|x ＞0}．【思路点拨】构造函数，利用导数研究分析函数的单调性.二、填空题：【题文】（9）以Rt ABC的直角边AB为径作圆O,圆O与斜边AC交于D，过D作圆O的切线与BC交于E，若BC=3，AB=4，则OE=【知识点】直线与圆的关系；全等三角形的判定.H4【答案解析】解析：解：由题意，连接【思路点拨】根据已知条件可求出O点为AB的中点，然后根据中位线的条件求出OE的长. 【题文】(10)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【知识点】三视图；柱体体积公式.G2【答案解析】解析：解：由题意可知几何体为底面为等腰梯形的四棱柱，根据体积公式可知它的体积为()1284105002V Sh ==+⨯⨯= 【思路点拨】根据三视图得到几何体的图形，再利用体积公式可求出体积. 【题文】（11）在直角坐标系x o y 中，已知曲线11:()12x t C t y t =+⎧⎨=-⎩为参数与曲线2sin :()3cos x a C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数,a>0有一个公式点在x 轴上，则a=【知识点】椭圆的参数方程；直线的参数方程.N3 【答案解析】32a =解析：解：曲线11:()12x t C t y t=+⎧⎨=-⎩为参数化为普通方程为：230x y +-=令30,2y x ==，曲线2sin :()3cos x a C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数,a>0化为普通方程为：22219x y a +=∵两曲线有一个公共点在x 轴上293412a a =∴= 【思路点拨】化参数方程为普通方程，利用两曲线有一个公共点在x 轴上，可得方程，即可求得结论.【题文】(12)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生.【知识点】抽样方法；分层抽样的概念.I1∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，∴要从高二抽取3501510⨯= 故答案为：15【思路点拨】根据分层抽样的概念，满足按比例分配的关系，可按比例求解.【题文】(13)若点O 、F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP PF ⋅的最大值为【知识点】向量的数量积；二次函数求最值问题.F3【答案解析】解析：解：解：设P （x ，y ）， 则()()22,1,OP FP x y x y x x y ⋅=⋅+=++4OP OF ⋅的最大值为【思路点拨】设在椭圆上可把OP OF ⋅ 表示为【题文】(14)设函数()f x m=，若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是 .【知识点】函数的最大最小值.B3 【答案解析】解析：解：由题意可得()0021,22x k f x k k z m m πππ+==+∈=且，即x ，再由()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦可得当m 2最小时，|x 0|最小，而|x 0|最小为222113,4,24m m m m ∴>+∴>求得m>2或m<-2【思路点拨】根据导数与函数的关系，找到函数的最值，再由题意可求解.三、解答题：【题文】（15）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c,且222tan A b c a =+-（I ）求角A 的大小：（II ）求cos cos B C +的取值范围.【知识点】余弦定理；两角和与差的展开式.C5,C8【答案解析】解析：解：(1)tan tan sin 3A A A A π====(2)21cos cos cos cos cos cos 32B B B B B B B π⎛⎫⎛⎫+=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos sin 26362B B B BC B ππππ⎛⎫==++=∴<< ⎪⎝⎭2,sin cos cos 633622B B B C ππππ⎤⎤⎡⎤⎛⎫∴+∈∴+∈∴+∈⎥⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦【思路点拨】根据余弦定理，找出角之间的关系，再利用两角和与差的公式确定三角函数值的范围.【题文】(16)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同(I)从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率:(II)从盒中一次随机抽出4个球，其中红球，黄球，绿球的个数分别记为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 中的最大数，求X 的概率分布列和数学期望()E X . 【知识点】概率；离散型随机变量的分布列与数学期望.K1,K8【答案解析】解析：解：224329163153618C C P C ++++=== (2)X 的可能取值为2，3，4()()31314536449911134,312663C C C C P x P x C C +======()113991112663126P x ==--=()198784280201261269E x ++===【思路点拨】由题意找出所求事件的概率，根据变量的取值求出分布列与数学期望.【题文】(17)如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD PA ⊥底面.BC 2,4,3CD AC ACB ACD π===∠=∠=,F 为PC 的中点，AF PB ⊥. (I)求PA 的长：（II ）求二面角B AF D --的正弦值.【知识点】空间坐标系；空间向量；空间距离公式；法向量.F3,G9【答案解析】解析：解：2,3BC BD ACB ACD CA BD π==∠=∠=∴⊥∴如图建立空间坐标系()())()()0,0,0,0,1,0,,,O C BD A ∴()0,3,,0,1,2z P z F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭)2,00,2,06022z z AF PB AF PB z z ⎛⎫⊥∴⋅=∴⋅-=∴-=∴= ⎪⎝⎭()0,3,23P ∴-(2PA ∴==（2）设面AFD 的法向量()()0,,3,3,20n AD n x y z n n AF ⎧⋅==∴∴=-⎨⋅=⎩，设面ABF 的法向量()()0137,,3,3,2cos sin 880m AB m x y z m m AF θθ⎧⋅==∴∴=-∴=∴=⎨⋅=⎩ 【思路点拨】由题意可建立空间坐标系，再根据坐标求出距离；设定法向量，利用法向量的关系求出夹角的正弦值.【题文】(18)数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意的*n N ∈，总有2,S ,n n na a 成等差数列 (I)求数列{}n a 的通项公式： (II)设数列{}nb 前n 项和为n T ，且2ln n nxb a =，求证对任意的实数(1,]x e ∈和任意的正整数n ，总有2n T <【知识点】数列的通项公式；特殊数列求和.D2,D3, D4【答案解析】解析：解：(1)2,s ,n n n a a 成等差数列()222*11111112,12,122n n n n n n a a S n a a a a a S n n N ---∴+==+=∴=∴+=≥∈当时，a 且22221111121n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ------+-=∴-=+∴-={}n a ∴是等差数列11,d 1a n a n ==∴=（2）[]()222ln ln 11,1,0ln 121n n n x x b x e x n a n n n n ==∈∴<≤∴≥≤<-当时，b 11111111112212231n T n n n n n=-∴≤+-+-+-=-<-- 【思路点拨】(1)根据已知条件求出数列的通项公式；(2)根据通项之间的关系列出不等关系式，再利用裂项求和的方法求解.【题文】(19)已知椭圆()22221,0x y a b a b +=>>(（I ）求椭圆的标准方程：（II ）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，若22AC BDbk k a⋅=-(i) 求OA OB ⋅的最值：(ii)求证：四边形ABCD 的面积为定值.【知识点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系.H5,H8【答案解析】解析：解：222222222842(1)11844c aa x y ab b a bc ⎧=⎪⎪⎧=⎪+=∴∴+=⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎪⎩(2)设()()()22112222:,,,2828AB y kx m l y kx m A x y B x y x kx m x y =+⎧=+∴++=⎨+=⎩()2222121222428124280,1212km m k x kmx m x x x x k k --+++-=∴+==++()()2222212122222848121212m km m k y y kx m kx m k km m k k k ---⎛⎫=++=++= ⎪+++⎝⎭22222212222121812842212212OA OBy y b m k m k k m b a x x k k--⋅=-∴⋅=-∴=-⋅∴=+++ 222212122222288424212121212m m k k OA OB x x y y k k k k ---⋅=+=+==-++++，22OA OB=-2k AB x OA OB ∴-≤⋅<⋅⊥，当k=0时，当不存在即轴max 1OA OB =2,S 42ABCD AOBAOBSS⋅==2224ABCD k m S =-==【思路点拨】根据已知条件可直接求出椭圆的标准方程，由直线与椭圆的位置关系进行运算，找出所求项与已知条件联系.【题文】(20)设函数()()2ln 1f x x a x =++(I)若函数()y f x =在区间[1,)+∞上是单调递增函数，求实数a 的取值范围： (II)若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：()2110ln 22f x x <<-+ 【知识点】导数；利用导数证明不等式.B12【答案解析】解析：解：（1）()()2222,011a x x af x x f x x x ++''=+=≥++在[1,)+∞上恒成立2222212,4a x x a a ≥--∴≥-⋅-≥-（2）()()()22220221,1x x af xg x x x a x ++'==∴=++-+∞+令在上有解()480910102a a ⎧⎪∆=->⎪∴->⎨⎪⎪<<⎩2211121222220,1,220x x a x x x x x x a ∴++=<+=-++=且1221110222x x x =-=-<<()()()()()()2222222221222ln 122ln 11,0112x x x x x x x x f x x x x x x -++-++⎛⎫∴==∈- ⎪----⎝⎭令k ()()()()()222326212ln 1,4211x x x k x x k x k x x ++⎛⎫'''''=++=∴-=- ⎪⎝⎭++()()0102,002k x k x ⎛⎫''''=∴∈-= ⎪⎝⎭存在使()()1100,12ln 20-022k k k x ⎛⎫⎛⎫''=-=-<∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在，上递减()()()211100ln 222f x k k x k x ⎛⎫<<-∴<<-+ ⎪⎝⎭【思路点拨】根据条件求出函数的导数，再确定参数的取值范围；利用导数分析函数的单调性，结合条件证明不等式成立.。
天津市第一中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题
天津一中2014-2015-2高二年级期中检测数学科试卷(理科)一、选择题（每小题3分，共30分）1. 函数x e x x f -⋅=)(的一个单调递增区间是（ ）A. []0,1- B ． []8,2 C.[]2,1 D ．[]2,0 2.函数)(x f 的定义域为(,)a b ，其导函数),()(b a x f 在'内的图象如图所示，则函数)(x f 在区间(,)a b 内极小值点的个数是（ ）A. 4B.3C.2D.13.若函数()y f x =的导函数．．．在区间[],a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[],a b 上的图象可能是( )4.已知直线y kx =是ln y x =的切线，则k 的值为( ) A. 12 B ．12- C. 1eD ．1e - 5.函数()22f x x ax a =-+在区间(),1-∞上有最小值，则函数()()f x g x x =在区间()1,+∞ 上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数6.用反证法证明命题“若0,,,0abc a b c =则中至少有一个为”时，假设正确的是（ ）A.假设,,a b c 中只有一个为0；B. 假设,,a b c 都不为0；C.假设,,a b c 都为0；D. 假设,,a b c 不都为07.数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=-····,从k 到1k +,左边需增乘的代数式( ） A. 21k + B ．2(21)k + C.211k k ++ D ．231k k ++ 8.如图，直线y kx =分抛物线2y x x =-与x 轴所围图形为上下两部分面积比为1：7，则k 的值为 ( ).A. 1 B ．21-C ．0.5D ． 0.49.函数3()log (3)(0,1)a f x x ax a a =->≠在区间(2,1)--内单调递减， a 的取值范围是（ ） A ．[2)+∞， B ．()1,2 C ．2[,1)3 D ．2[,1)[2,)3+∞ 10.对于给定的正数K ，定义函数⎩⎨⎧>≤=Kx f K K x f x f x f K )()()()(，，，其中函数x e x x f 1ln )(+=，恒有)()(x f x f K =，则 （ ）A ．K 的最大值为e 1B ．K 的最小值为e1 C ．K 的最大值为2 D ．K 的最小值为2二、填空题（每小题4分，共24分）11. 计算：2204x dx -⎰＝________.12. 已知322()3f x x ax bx a =+++在1x =-时有极值0，则a b -的值为 ．13.已知向量2(,1),(1,)a x x b x t =+=-，若函数()f x a b =⋅在区间)1,1(-上是增函数，则t 的取值范围是 .14. 用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，则该长方体的长为 cm 时，其体积最大.15. 观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=则1010a b +=__________.16．已知函数a x x a x f x ln )(2-+=，对任意的]10[21，、∈x x ,不等式1)()(21-≤-a x f x f 恒成立，则a 的取值范围为_______________．天津一中2014-2015-2高二年级期中检测数学科试卷（理科）答题纸二、填空题（每小题4分，共24分）11． 12．13． 14．15． 16．三、解答题：（共4题，46分）17．已知()()2,ln 23+-+==x ax x x g x x x f(Ⅰ)如果函数()x g 的单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,31,求函数()x g 的解析式； (Ⅱ) 对任意()+∞∈,0x ,()()22'+≤x g x f 恒成立,求实数a 的取值范围.18．已知函数21()ln (0).2f x x a x a =-> (I)求()f x 在区间[1,e]上的最小值; (Ⅱ)若()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点,求a 的取值范围.19. 已知数列{}n a 满足0n a >，其前n 项和n S 满足22n n S a n =+()*n N ∈. （Ⅰ）求123a a a ，，的值；（Ⅱ）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法．．．．．．加以证明；（Ⅲ）设0x >，0y >，且1x y +=.20. 已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴.(Ⅰ)确定a 与b 的关系； (Ⅱ)试讨论函数()g x 的单调性； (Ⅲ)证明：对任意n N *∈，都有211ln(1)ni i n i =-+>∑成立.。
数学_2014年天津市高考数学压轴试卷(理科)(含答案)
2014年天津市高考数学压轴试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合A ＝{x|x >1}，B ＝{x|x <m}，且A ∪B ＝R ，那么m 的值可以是（ ）A −1B 0C 1D 22. 设集合A ={x|2x ≤4}，集合B 为函数y =lg(x −1)的定义域，则A ∩B =( )A (1, 2)B [1, 2]C [1, 2)D (1, 2]3. 函数y =sin(2x +φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为( )A 3π4B π4C 0D −π4 4. 函数f(x)=log 2(1+x)，g(x)=log 2(1−x)，则f(x)−g(x)是（ ）A 奇函数B 偶函数C 既不是奇函数又不是偶函数D 既是奇函数又是偶函数5. （江西师大附中期末考试）设曲线y =sinx 上任一点(x, y)处切线斜率为g(x)，则函数y =x 2g(x)的部分图象可以为（ ）A B C D6. 设z =2x +y ，其中变量x ，y 满足条件{x −4y ≤−33x +5y ≤25x ≥m，若z 的最小值为3，则m 的值为（ ）A 1B 2C 3D 47. 已知点P(x, y)在直线x +2y =3上移动，当2x +4y 取最小值时，过P 点(x, y)引圆C ：(x −12)2+(y +54)2=1的切线，则此切线长等于（ ） A 1 B √2 C √3 D 28. 已知函数f(x)=ln(e x −1)(x >0)( )A 若f(a)+2a =f(b)+3b ，则a >bB 若f(a)+2a =f(b)+3b ，则a <bC 若f(a)−2a =f(b)−3b ，则a >bD 若f(a)−2a =f(b)−3b ，则a <b二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的相应位置．9. 设常数a ∈R ，若(x 2+a x )5的二项展开式中x 4项的系数为20，则a =________．10. 已知tanα=13，tanβ=−17，且0<α<π2，π2<β<π，则2α−β的值________． 11. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2+a 4=6，S 4=10．则a 10=________．12. 棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是________．13. 已知圆的方程为x 2+y 2−6x −8y =0，设该圆过点(3, 5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．14. 等腰Rt △ACB ，AB =2，∠ACB =π2．以直线AC 为轴旋转一周得到一个圆锥，D 为圆锥底面一点，BD ⊥CD ，CH ⊥AD 于点H ，M 为AB 中点，则当三棱锥C −HAM 的体积最大时，CD 的长为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．15. 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是黑球的概率为27，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取球后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．（1）求随机变量ξ的分布列及数学期望；（2）求乙取到白球的概率．16. 在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，a 、b 是方程x 2−2√3x +2=0的两个根，且A +B =120∘，求△ABC 的面积及AB 的长．17. 如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱AB 上的动点．（1）求证：DA 1⊥ED 1；（2）若直线DA 1与平面CED 1成角为45∘，求AEAB 的值；（3）写出点E 到直线D 1C 距离的最大值及此时点E 的位置（结论不要求证明）．18. 数列{a n }是递增的等差数列，且a 1+a 6=−6，a 3⋅a 4=8．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{a n }的前n 项和S n 的最小值；（3）求数列{|a n |}的前n 项和T n ．19. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(1, 0)，且点(−1, √22)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得QA →⋅QB →=−716恒成立？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．20. 已知f(x)=lnx ，g(x)=af(x)+f′(x)，（1）求g(x)的单调区间；（2）当a =1时，①比较g(x)与g(1x )的大小； ②是否存在x 0>0，使得|g(x)−g(x 0)|<1x 对任意x >0成立？若存在，求出x 0的取值范围；若不存在，请说明理由．2014年天津市高考数学压轴试卷（理科）答案1. D2. D3. B4. A5. C6. A7. D8. A9. ±√210. −3π411. 1012. 413. 20√614. √6315. 乙取到白球的概率为1335．…16. 解：∵ A +B =120∘，∴ C =60∘．∵ a 、b 是方程x 2−2√3x +2=0的两个根，∴ a +b =2√3，ab =2，∴ S △ABC =12absinC =12×2×sin60∘=√32，AB =c =√a 2+b 2−2abcosC =√(a +b)2−3ab =√(2√3)2−6=√6． 17.解：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，B(1, 1, 0)，C(0, 1, 0)，D 1(0, 0, 1)，A 1(1, 0, 1)，设E(1, m, 0)(0≤m ≤1)(I)证明：DA 1→=(1, 0, 1)，ED 1→=(−1, −m, 1)∴ DA 1→⋅ED 1→=0∴ DA 1⊥ED 1；（2）解：设平面CED 1的一个法向量为v →=(x, y, z)，则∵ CD 1→=(0, −1, 1)，CE →=(1, m −1, 0)∴ {−y +z =0x +(m −1)y =0． 取z =1，得y =1，x =1−m ，得v →=(1−m, 1, 1)．∵ 直线DA 1与平面CED 1成角为45∘，∴ sin45∘=|cos <DA 1→，v →>|=√22， ∴ |2−m|⋅=√22，解得m =12．-----（3）解：点E 到直线D 1C 距离的最大值为√62，此时点E 在A 点处．------18. 解：（1）由{a 1+a 6=−6⋅得：{a 3+a 4=−6⋅， ∴ a 3、a 4是方程x 2+6x +8=0的二个根，∴ x 1=−2，x 2=−4；∵ 等差数列{a n }是递增数列，∴ a 3=−4，a 4=−2，∴ 公差d =2，a 1=−8．∴ a n =2n −10；（2）∵ S n =n(a 1+a n )2=n 2−9n =(n −92)2−814，∴ (S n )min =S 4=S 5=−20；（3）由a n ≥0得2n −10≥0，解得n ≥5，此数列前四项为负的，第五项为0，从第六项开始为正的．当1≤n ≤5且n ∈N ∗时，T n =|a 1|+|a 2|+...+|a n |=−(a 1+a 2+...+a n )=−S n=−n 2+9n ；当n ≥6且n ∈N ∗时，T n =|a 1|+|a 2|+...+|a 5|+|a 6|+...+|a n |=−(a 1+a 2+...+a 5)+(a 6+...+a n )=S n −2S 5=n 2−9n −2(25−45)=n 2−9n +40．∴ T n ={9n −n 2，1≤n ≤5，n ∈N ∗n 2−9n +40，n ≥6，n ∈N ∗．19. 由题意，c ＝1∵ 点(−1, √22)在椭圆C 上，∴ 根据椭圆的定义可得：2a =(√22)+√22，∴ a =√2∴ b 2＝a 2−c 2＝1，∴ 椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1；假设x 轴上存在点Q(m, 0)，使得QA →⋅QB →=−716恒成立 当直线l 的斜率为0时，A(√2, 0)，B(−√2, 0)，则(√2−m,0)⋅(−√2−m,0)=−716，∴ m 2=2516，∴ m =±54① 当直线l 的斜率不存在时，A(1,√22)，B(1,−√22)，则(1−m,√22)⋅(1−m,−√22)=−716， ∴ (1−m)2=116∴ m =54或m =34②由①②可得m =54． 下面证明m =54时，QA →⋅QB →=−716恒成立 当直线l 的斜率为0时，结论成立；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝ty +1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2) 直线方程代入椭圆方程，整理可得(t 2+2)y 2+2ty −1＝0，∴ y 1+y 2=−2tt 2+2，y 1y 2=−1t 2+2∴ QA →⋅QB →=(x 1−54, y 1)⋅(x 2−54, y 2)＝(ty 1−14)(ty 2−14)+y 1y 2＝(t 2+1)y 1y 2−1 4t(y1+y2)+116=−2t2−2+t22(t2+2)+116=−716综上，x轴上存在点Q(54, 0)，使得QA→⋅QB→=−716恒成立．20. 解：（1）∵ f′(x)=1x ，g(x)=alnx+1x，g(x)的定义域为(0, +∞)．g′(x)=ax−1x2=ax−1x2①当a≤0时，g′(x)<0，(0, +∞)是g(x)的单调区间；②当a>0时，由g′(x)>0，得x>1a ；由g′(x)<0，得0<x<1a，即增区间是(1a ，+∞)，减区间是(0,1a)．（2）g(x)=lnx+1x ，g(1x)=ln1x+x=−lnx+x∴ g(x)−g(1x )=2lnx+1x−x=μ(x)μ′(x)=2x−1x2−1=−x2+2x−1x2=−(x−1)2x2①当x=1时，μ(x)=0，此时g(x)=g(1x)②当0<x<1时，μ′(x)<0，∴ μ(x)>μ(1)=0．∴ g(x)>g(1x)③当x>1时，μ′(x)<0，∴ μ(x)<μ(1)=0．∴ g(x)<g(1x)．(3)|g(x)−g(x0)|<1x⇔−1x<g(x0)−g(x)<1x⇔lnx<g(x0)<lnx+2 x∵ lnx∈(−∞, +∞)，∴ g(x0)>lnx不能恒成立．故x0不存在．。
天津一中2014-2015高一年级数学期末试卷
天津一中2014-2015高一年级数学期末试卷一.选择题(每小题3分，共30分)1.若a<b<0,则下列不等式不能成立的是A.1a >1b B .2a >2b C.|a|>|b| D.(12)a >(12)b 2.不等式2x 2+ax+b>0的解集是{x|x>3或x<-2},则a 、b 的值分别是A.2,12B.2,-2C.2,-12 D .-2,-123.如图,方程y=ax+1a表示的直线可能是 B4.设x,y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则z=x+yA.有最小值2,最大值3B.有最大值3,无最小值C .有最小值2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值5.等差数列的首项为125,且从第10项开始为比1大的项,则公差d 的取值范围是 A.d>875 B.d<325 C.875<d<325 D .875<d≤3256.从装有4个红球和3个黑球的口袋内任取3个球,那么互斥而不对立的事件是A.至少有一个红球与都是黑球B.至少有一个红球与恰有一个黑球C.至少有一个红球与至少有一个黑球D .恰有一个红球与恰有两个红球7.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x≤0－x ＋2， x>0,则不等式f(x)≥x 2的解集为 A .[-1,1] B.[-2,2] C.[-2,1] D.[-1,2]8.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于A.15 B .25 C.35 D.459.已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当x≤0时, f(x)=x 2,若∀x ∈[t,t+1],不等式f(x)≤9f(x+t)恒成立,则实数t 的最大值为A .25- B.32- C.23- D.210.如果执行下面的程序框图,那么输出的S=A.2450B.2500 C .2550 D.2652二.填空题(每小题4分，共24分)11.若直线x+my+2=0与2x+3y+1=0互相垂直,则m=_____.-2/312.已知1,a 1,a 2,4成等差数列,1,b 1,b 2,b 3,4成等比数列,则a 1＋a 2b 2的值为_ .5/2 13. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 .1514.在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x ∈[0,1]的概率为______．1/315.把J 、Q 、K 三张牌随机地排成一排,则JK 两牌相邻而排的概率为_____．2/316.已知不等式y x a y x +≤+对一切x>0,y>0恒成立,则实数a 的取值范围为 [√2,+∞)三.解答题(共46分)17.袋中有4个不同的红球,2个不同的白球,从中任取2个球.试求：(1)所取的2球都是红球的概率；(2)所取的2球不是同一颜色的概率．解：(1)将4红球编号为1,2,3,4；2个白球编号为5,6.任取2球，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“都是红球”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝615＝25.(2)基本事件同(1)，用B 表示“不同色”这一事件，则B 包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝815.(12分)18.在△ABC 中，a,b,c 分别为内角A,B,C 的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC（1）求A 的大小；（2）求sinB+sinC 的最大值.解：（1）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++即 222a b c bc =++ 由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+- 故 1c o s 2A =-，A=120° （2）由（1）得： sin sin sin sin(60)BC B B +=+︒-1sin 2sin(60)B B B =+=︒+ 故当B=30°时，sinB+sinC 取得最大值1。
天津市天津一中2014届高三下学期5月月考数学理试卷
天津市天津一中2014届高三下学期5月月考数学理试卷全卷满分150分，考试时间120分钟★ 祝大家考试顺利 ★ 注意事项：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．一、选择题．（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. i 是虚数单位，若复数20132ii z +=，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知实数x y ，满足1218y y x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤，则目标函数z x y =-的最小值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. -23. 执行右边的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是（ ） A. 120B. 720C. 1440D. 50404. 下列命题中正确的是（ ）A. 命题“x ∃∈R ，使得210x -<”的否定是“x ∀∈R ，均有210x -<”．B. 命题“若3x =，则2230x x --=”的否命题是：若3x ≠，则2230x x --≠．C. 命题“存在四边相等的四边形不是正方形”，该命题是假命题．D. 命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题是真命题．5. 已知双曲线的一个焦点与抛物线220x y =的焦点重合，且其渐近线的方程为340x y ±=，则该双曲线的标准方程为（ ）A. 221916x y -=B. 221169x y -=C. 221916y x -=D. 221169y x -=6. 在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且满足sin cos a B b A =，则）第3题图A. 17. 若正数a ，b 满足111a b +=，则41611a b +--的最小值为（ ）A. 16B. 25C. 36D. 498. 定义域为R 的偶函数()f x 满足对x ∀∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，若函数()()log 1a y f x x =-+在(0,)+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、填空题．（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）9. 某校共有学生1000名，其中高一年级有380名，高二年级有男生180名，已知在全校学生中抽取1名，抽到高二年级女生的概率为0.19，先采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取100名，则应在高三年级抽取的人数为______________．10. 如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形（单位：cm ），则该三棱锥的外接球表面积为______________2cm ．11. 曲线1C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=，曲线2C 的参数方程为31x t y t =-⎧⎨=-⎩，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为______． 12. 在()13nx -的展开式中，各项系数的和是64，那么此展开式中含2x 项的系数为_______． 13. 如图，已知点C 在O ⊙直径BE 的延长线上，CA 与O ⊙相切于点A ，若AB AC =，则． 14. 在ABC △中，60B ∠=︒，O 为ABC △的外心，P 为劣弧AC 上的一个动点，且OP xOA yOC =+（x y ∈R ，），则x y +的取值范围为______________．432侧视图俯视图正视图第10题图第13题图三、解答题．（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数2()cos cos f x x x x a ++． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若()f x 在区间ππ[,]63-上的最大值与最小值的和为32，求a 的值．16. 在上海世博会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观．在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A 片区，3个场馆分布在B 片区，3个场馆分布在C 片区．由于参观的人很多，在进入每个场馆前都需要排队等候．已知A 片区的每个场馆的排队时间为2小时，B 片区和C 片区的每个场馆的排队时间都为l 小时．参观前小红突然接到公司通知，要求她一天后务必返回，于是小红决定从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观． （Ⅰ）求小红每个片区都参观1个场馆的概率；（Ⅱ）设小红排队时间总和为ξ(小时)，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．17. 如图，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，90BAD ADC ∠=∠=︒，112AB AD CD ===，PD =（Ⅰ）若M 为PA 中点，求证：AC ∥平面MDE ； （Ⅱ）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段PC 上是否存在一点Q （除去端点），使得平面QAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为π3？若存在，请说明点Q 的位置；若不存在，请说明理由．18. 已知数列{}n b 是公比大于1的等比数列，n S 是数列{}n b 的前n 项和，满足314S =，且18b +，23b ，36b +构成等差数列，数列{}n a 满足11a =，121111()n n n a b b b b -=+++*2n n ∈N （≥且）．（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式n b ；EA（Ⅱ）证明：111n nn n a b a b +++=*2n n ∈N （≥且）； （Ⅲ）证明：12111(1)(1)(1)4na a a +⋅+⋅⋅+＜*n ∈N （）．19. 已知中心在坐标原点的椭圆Ω的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，它的离心率为12，一个焦点是(1,0)-，过直线4x =上一点M 引椭圆Ω的两条切线，切点分别为A B 、．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若在椭圆2222 1(0)x y a b a bΩ+=>>：上的点00(,)x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=，求证：直线AB 恒过定点(1,0)C ；（Ⅲ）是否存在实数λ，使得AC BC AC BC λ+=⋅恒成立？（点C 为直线AB 恒过的定点）若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20. 设()(1)x f x e a x =-+．（Ⅰ）若0a ＞，()0f x ≥对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的最大值；（Ⅱ）设()()x ag x f x e=+，且11(,)A x y ，22(,)B x y 12x x ≠（）是曲线()y g x =上任意两点，若对任意的1a -≤，直线AB 的斜率恒大于常数m ，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）求证：13(21))n n n n n n +++-*n ∈N （）．1.复平面内，复数20132iz i +=，则复数z 的共轭复数z 对应的点的象限是（ A ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.已知实数x ，y 满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则目标函数z ＝x －y 的最小值为( A )A.－2B.5C.6D.73.执行右边的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是( )A ．120B ．720C ．1440D ．5040 【答案】B4.下列命题，正确的是（ B ）A.命题x ∃∈R ，使得210x -<的否定是：x ∀∈R ，均有210x -<.B.命题：若3x =,则2230x x --=的否命题是：若3x ≠，则2230x x --≠.C.命题：存在四边相等的四边形不是正方形，该命题是假命题.D.命题：cos cos x y =，则x y =的逆否命题是真命题.5.已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2=20y 的焦点重合，且其渐近线的方程为3x ±4y=0,则 该双曲线的标准方程为（ C ）A. 116922=-y xB. 191622=-y xC. 116922=-x yD. 191622=-x y所对的边分别为,,a b c ,且满足sin cos a B b A =,则7.若正数a ，b 满足,1=+b a 则11614-+-b a 的最小值为（ A ）A 、16B 、25C 、36D 、498.定义域为R 的偶函数)(x f 满足对x R ∀∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）D ．)66,0(9.某校共有学生1000名，其中高一年级由380名，高二年级有男生180名，已知在全校学生中抽取1名，抽到高二年级女生的概率为0.19，先采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取100名，则应在高三年级抽取的人数是 25010.如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形 (单位：cm)，则该三棱锥的外接球的表面积为 ___29π___2cm ．第12题图432侧视图俯视图正视图11.曲线1C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=，曲线2C 的参数方程为31x ty t=-⎧⎨=-⎩，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为827 12.在(13)n x -的展开式中，各项系数的和等于64，那么此展开式中含2x 项的系数 135 . 13.已知C 点在O 直径BE 的延长线上，CA 切O 于点A ，若AB AC =，则AC BC = 3314.在ΔABC 中，B ∠=600，O 为ΔABC 的外心，P 为劣弧AC 上一动点，且y x OP += （x,y ∈R )，则x+y 的取值范围为__[]2,1___.15.已知函数2()cos cos f x x x x a ++.（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）若()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值与最小值的和为32，求a 的值.16.在上海世博会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观，在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A 片区，3个场馆分布在B 片区， 3个场馆分布在C 片区。
2014-2015学年天津市南开中学高三下学期第一次月考数学(文)试卷 Word版含解析
2014-2015学年天津市南开中学高三（下）第一次月考数学试卷（文科） 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂在答题卡上!） 1．设集合A={2，5}，集合B={1，2}，集合C={1，2，5，7}，则（A∪B）∩C为（ ） A． {1，2，5} B． {﹣1，2，5} C． {2，5，7} D． {﹣7，2，5} 2．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（ ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 3．不等式的解集是（ ） A．B． C． D． 4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最大值为（ ） A． 4 B． 11 C． 12 D． 14 5．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 6．已知函数f（x）=sin（2x﹣），若存在a∈（0，π），使得f（x+a）=f（x+3a）恒成立，则a=（ ） A．B． C． D． 7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ） A．B． C． D． 8．已知函数f（x）=，若a、b、c均不相等且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围为（ ） A．（1，10）B．（5，6）C．（10，15）D．（20，24） 二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上!） 9．已知向量=（2，5），=（，y），且⊥（+2），则y的值为 ． 10．设向量，，其中0＜α＜β＜π，若，则β﹣α=． 11．已知，其中，则cosα=． 12．已知正数a．b满足4a+b=30，使得取最小值时，则实数对（a，b）是 ． 13．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=． 14．有下列四个命题： （1）“若X+Y=0，则X，Y互为相反数”的逆命题； （2）“全等三角形的面积相等”的否命题． （3）“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题； （4）“不等边的三角形的三个内角相等”的逆命题． 其中真命题的是 ． 三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p 或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围． 16．已知， （Ⅰ）求tanx的值； （Ⅱ）求的值． 17．解关于x的不等式＞0（a∈R）． 18．设x∈R，函数f（x）=cos（ωx+?）（ω＞0，）的最小正周期为π，． （Ⅰ）求ω和?的值； （Ⅱ）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象； （Ⅲ）若的取值范围． 19．已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函数f（x）=（）?﹣2． （1）求函数f（x）的最小正周期T； （2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2，c=4，且f（A）=1，求A，b和△ABC的面积S． 20．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，f（1）=1，且若?a、b∈[﹣1，1]，a+b≠0，恒有＞0， （1）证明：函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数； （2）解不等式； （3）若对?x∈[﹣1，1]及?a∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤m2﹣2am+1恒成立，求实数m的取值范围． 2014-2015学年天津市南开中学高三（下）第一次月考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂在答题卡上!） 1．设集合A={2，5}，集合B={1，2}，集合C={1，2，5，7}，则（A∪B）∩C为（ ） A． {1，2，5} B． {﹣1，2，5} C． {2，5，7} D． {﹣7，2，5} 考点：交集及其运算；并集及其运算． 专题：计算题． 分析：由A与B求出两集合的并集，找出并集与C的交集即可． 解答：解：∵集合A={2，5}，集合B={1，2}， ∴A∪B={1，2，5}， ∵C={1，2，5，7}， ∴（A∪B）∩C={1，2，5}． 故选A 点评：此题考查了交集及其运算，以及并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 2．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（ ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：简易逻辑． 分析：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解． 解答：解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件； 反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件． 故选D 点评：判断充要条件的方法是： ①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． ⑥涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法． 3．不等式的解集是（ ） A．B． C． D． 考点：其他不等式的解法． 分析：本题为选择题，可考虑用排除法，也可直接求解． 解答：解：本小题主要考查分式不等式的解法．易知x≠1排除B；由x=0符合可排除C； 由x=3排除A，故选D．也可用分式不等式的解法，将2移到左边直接求解 故选D 点评：本题考查分式不等式的解法，注意分母不为0，属基本题． 4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最大值为（ ） A． 4 B． 11 C． 12 D． 14 考点：简单线性规划的应用． 专题：计算题；数形结合． 分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=4x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可． 解答：解：易判断公共区域为三角形区域，如图所示： 三个顶点坐标为（0，1）、（2，3）、（1，0）， 将（2，3）代入z=4x+y得到最大值为11． 故选B． 点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 5．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 考点：函数的零点；对数函数的单调性与特殊点． 专题：函数的性质及应用． 分析：先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1=|x﹣2|，y2=lnx（x＞0）的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数． 解答：解：由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞）； 由函数零点的定义，f（x）在（0，+∞）内的零点即是方程|x﹣2|﹣lnx=0的根． 令y1=|x﹣2|，y2=lnx（x＞0），在一个坐标系中画出两个函数的图象： 由图得，两个函数图象有两个交点， 故方程有两个根，即对应函数有两个零点． 故选C． 点评：本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系，通过转化和作图求出函数零点的个数． 6．已知函数f（x）=sin（2x﹣），若存在a∈（0，π），使得f（x+a）=f（x+3a）恒成立，则a=（ ） A．B． C． D． 考点：三角函数的周期性及其求法；函数恒成立问题． 专题：计算题． 分析：首先求出f（x+a）和f（x+3a），然后根据正弦的周期性求出a的值． 解答：解：f（x+a）=sin（2x+2a﹣） f（x+3a）=sin（2x+6a﹣） 因为f（x+a）=f（x+3a），且a∈（0，π） 所以2x+2a﹣+2π=2x+6a﹣ ∴a=即存在a=使得f（x+a）=f（x+3a）恒成立． 故选D． 点评：本题考查了三角函数的周期性，要注意a∈（0，π）的范围，属于基础题． 7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ） A．B． C． D． 考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案． 解答：解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值， ∴函数的周期T满足=﹣=， 由此可得T==π，解得ω=2， 得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ） 又∵当x=时取得最大值2， ∴2sin（2?+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z） ∵，∴取k=0，得φ=﹣ 故选：A． 点评：本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题． 8．已知函数f（x）=，若a、b、c均不相等且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围为（ ） A．（1，10）B．（5，6）C．（10，15）D．（20，24） 考点：函数的零点与方程根的关系． 专题：计算题；作图题；数形结合． 分析：画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可． 解答：解：作出函数f（x）的图象如图， 不妨设a＜b＜c，则 ab=1， 则abc=c∈（10，15）． 故选C． 点评：此题是中档题．本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力． 二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上!） 9．已知向量=（2，5），=（，y），且⊥（+2），则y的值为 ﹣3 ． 考点：平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系． 专题：平面向量及应用． 分析：由题意可得=29+2（+5y）=0，解此方程求得 y的值． 解答：解：由题意可得=+2=29+2（+5y）=0，解得 y=﹣3， 故答案为﹣3． 点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于中档题． 10．设向量，，其中0＜α＜β＜π，若，则β﹣α=． 考点：向量的模． 分析：利用向量模的坐标公式求出两个向量的模，利用向量的数量积公式求出；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程求出，求出两个角的差． 解答：解：∵， ∴，=cos（β﹣α） ∵ ∴ ∴ 即cos（β﹣α）=0； 又有0＜α＜β＜π， ∴ 故答案为 点评：本题考查向量模的坐标公式、向量的数量积公式、向量模的平方等于向量的平方． 11．已知，其中，则cosα=． 考点：两角和与差的正弦函数． 专题：三角函数的求值． 分析：由α的范围求得的范围，由平方关系结合已知求得，再由cosα=cos[（）﹣]展开两角差的余弦得答案． 解答：解：∵，∴， 又，∴． 则cosα=cos[（）﹣]=cos（）cos+sin（）sin=． 故答案为：． 点评：本题考查已知角的三角函数值求未知角的三角函数值，考查了两角和与差的三角函数，关键是“拆角与配角”思想的应用，是中档题． 12．已知正数a．b满足4a+b=30，使得取最小值时，则实数对（a，b）是 （5，10） ． 考点：基本不等式在最值问题中的应用． 专题：不等式的解法及应用． 分析：利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求得结论、 解答：解：∵正数a．b满足4a+b=30， ∴=（4a+b）（）=≥?（5+）=0.3， 当且仅当，即a=5，b=10时，取最小值0.3． ∴实数对（a，b）是（5，10）． 故答案为：（5，10）． 点评：本题考查基本不等式的运用，考查“1”的代换，考查学生的计算能力，正确运用“1”的代换是关键． 13．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=． 考点：函数的值． 专题：函数的性质及应用． 分析：通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可． 解答：解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=， 则f（）+f（）=f（8﹣）+f（8﹣）=f（﹣）+f（﹣）=﹣f（）﹣f（）===． 故答案为：． 点评：本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力． 14．有下列四个命题： （1）“若X+Y=0，则X，Y互为相反数”的逆命题； （2）“全等三角形的面积相等”的否命题． （3）“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题； （4）“不等边的三角形的三个内角相等”的逆命题． 其中真命题的是 ①③ ． 考点：命题的真假判断与应用． 专题：阅读型． 分析：可写出各选项的命题内容，再去判断真假． 解答：解：（1）“若X+Y=0，则X，Y互为相反数”的逆命题是“若X，Y互为相反数，则X+Y=0”．为真命题． （2）“全等三角形的面积相等”的否命题是“不全等三角形的面积不相等”是假命题 （3）“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是“若x2+2x+q=0没有实根，则q＞1” ∵△=4﹣4q＜0，q＞1 所以为真命题． （4）“不等边的三角形的三个内角相等”的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边的三角形”是假命题． 故答案为：①③ 点评：本题主要考查四种命题及命题的真假．属于基础题． 三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p 或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围． 考点：复合命题的真假；一元二次方程的根的分布与系数的关系． 专题：分类讨论． 分析：根据题意，首先求得p、q为真时m的取值范围，再由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，分p假q真与p真q假两种情况分别讨论，最后综合可得答案． 解答：解：由题意p，q中有且仅有一为真，一为假， 若p为真，则其等价于，解可得，m＞2； 若q为真，则其等价于△＜0，即可得1＜m＜3， 若p假q真，则，解可得1＜m≤2； 若p真q假，则，解可得m≥3； 综上所述：m∈（1，2]∪[3，+∞）． 点评：本题考查命题复合真假的判断与运用，难点在于正确分析题意，转化为集合间的包含关系，综合可得答案． 16．已知， （Ⅰ）求tanx的值； （Ⅱ）求的值． 考点：同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正切． 分析：（1）由可直接求出tan，再由二倍角公式可得tanx的值． （2）先对所求式子进行化简，再同时除以cosx得到关于tanx的关系式得到答案． 解答：解：（1）由，， ∴． （2）原式==， 由（1）知cosx﹣sinx≠0， 所以上式==cotx+1==． 点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系．这里二倍角公式是考查的重要对象． 17．解关于x的不等式＞0（a∈R）． 考点：其他不等式的解法． 专题：不等式的解法及应用． 分析：不等式即＜0，分a＜﹣1、a=﹣1、﹣1＜a＜2、a=2、a＞2这5种情况，分别求得它的解集． 解答：解：关于x的不等式＞0，即＜0， 当a＜﹣1时，原不等式解集为（﹣∞，a）∪（﹣1，2）； 当a=﹣1时，原不等式解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）； 当﹣1＜a＜2时，原不等式解集为（﹣∞，﹣1）∪（a，2）； 当a=2时，原不等式解集为（﹣∞，﹣1）； 当a＞2时，原不等式解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，a）． 点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题． 18．设x∈R，函数f（x）=cos（ωx+?）（ω＞0，）的最小正周期为π，． （Ⅰ）求ω和?的值； （Ⅱ）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象； （Ⅲ）若的取值范围． 考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；余弦函数的图象；余弦函数的单调性． 分析：（I）由周期求ω，由特殊点求φ； （II）明确函数f（x），借用五点法，先列表，再画图； （III）利用余弦函数的单调性解之即可． 解答：解：（I）周期，∴ω=2， ∵， 且，∴． （II）知，则列表如下： 图象如图： （III）∵， ∴ 解得， ∴x的范围是． 点评：本题考查三角函数中ω、φ的确定方法、五点法作图及三角函数的单调性． 19．已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函数f（x）=（）?﹣2． （1）求函数f（x）的最小正周期T； （2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2，c=4，且f（A）=1，求A，b和△ABC的面积S． 考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法． 专题：计算题． 分析：（Ⅰ）利用向量数量积的坐标表示可得，结合辅助角公式可得f（x）=sin（2x﹣），利用周期公式可求； （Ⅱ）由结合可得，，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，从而有，即b2﹣4b+4=0，解方程可得b，代入三角形面积公式可求． 解答：解：（Ⅰ）=（2分）===（4分） 因为ω=2，所以（6分） （Ⅱ） 因为，所以，（8分） 则a2=b2+c2﹣2bccosA，所以，即b2﹣4b+4=0 则b=2（10分） 从而（12分） 点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，辅助角公式的应用，三角函数的周期公式的应用，由三角函数值求角，及三角形的面积公式．综合的知识比较多，但试题的难度不大． 20．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，f（1）=1，且若?a、b∈[﹣1，1]，a+b≠0，恒有＞0， （1）证明：函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数； （2）解不等式； （3）若对?x∈[﹣1，1]及?a∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤m2﹣2am+1恒成立，求实数m的取值范围． 考点：函数恒成立问题；函数单调性的性质；不等式的证明． 专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 分析：（1）利用函数单调性的定义进行证明：在区间[﹣1，1]任取x1、x2，且x1＜x2，利用函数为奇函数的性质结合已知条件中的分式，可以证得f（x1）﹣f（x2）＜0，所以函数f（x）是[﹣1，1]上的增函数； （2）由于f（x）是[﹣1，1]上的增函数，不等式即为﹣1≤x+＜≤1，解不等式即可得到解集； （3）根据函数f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，说明f （x）的最大值1小于或等于右边，因此先将右边看作a的函数，m为参数系数，解不等式组，即可得出m的取值范围． 解答：解：（1）证明：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2） ∵＞0， 即＞0， ∵x1﹣x2＜0， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0． 则f（x）是[﹣1，1]上的增函数； （2）由于f（x）是[﹣1，1]上的增函数， 不等式即为 ﹣1≤x+＜≤1， 解得﹣≤x＜﹣1， 即解集为[﹣，﹣1）； （3）要使f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立， 只须f（x）max≤m2﹣2am+1，即1≤m2﹣2am+1对任意的a∈[﹣1，1]恒成立， 亦即m2﹣2am≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=﹣2ma+m2， 只须， 解得m≤﹣2或m≥2或m=0，即为所求． 点评：本题考查了抽象函数的单调性与函数的值域、不等式恒成立等知识点，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．。
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1 2014-2015学年天津一中高 三（下）4月月考数学试卷（理科） 一．选择题： 1．已知复数为纯虚数，其中i虚数单位，则实数x的值为（ ）
A． ﹣ B． C． 2 D． 1
2．若实数x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为（ ） A． B． C． 1 D． 2 3．阅读程序框图，若输出S的值为﹣14，则判断框内可填写（ ）
A． i＜6？ B． i＜8？ C． i＜5？ D． i＜7？ 4．下列说法中正确的是（ ） A． “x＞5”是“x＞3”必要不充分条件 B． 命题“对∀x∈R，恒有x2+1＞0”的否定是“∃x∈R，使得x2+1≤0” C． ∃m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）是奇函数 D． 设p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p∧q也是真命题
5．三个实数成等差数列，其首项是9．若将其第二项加2、第三项加20，则这三个数依次构成等比数列{an}，那么a3的所有可能取值中最小的是（ ） A． 1 B． 4 C． 36 D． 49
6．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（ ） 2
A． 5x2﹣=1 B． 5x2﹣=1 C． ﹣=1 D． ﹣=1 7．如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=6，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F为DE中点，则•的值为（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 8．已知a∈R，若关于x的方程x2+x﹣|a+|+a2=0没有实根，则a的取值范围是（ ） A． （﹣∞，﹣1）∪（，+∞） B． （﹣∞，）∪（1，+∞） C． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D． （﹣∞，）∪（，+∞）
二．填空题： 9．某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有 名学生．
10．的展开式中，常数项为 ． 11．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是 cm2
12．在极坐标系中，圆ρ=4cosθ的圆心到直线ρsin（θ+）=4的距离为 ． 3
13．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，BE∥MN交AC于点E．若AB=6，BC=4，则AE的长为 ．
14．函数g（x）=log2（x＞0），关于方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，则实数m的取值范围为 ．
三、 15．（2008•安徽）已知函数． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．
16．（2013•红桥区二模）某学校高三（1）班学生举行新年联欢活动；准备了10张奖券，其中一等奖的奖券有2张，二等奖的奖券有3张，其余奖券均为3等奖． （1）求从中任意抽取2张，均得到一等奖奖券的概率； （2）从中任意抽取3张，至多有1张一等奖奖券的概率； （3）从中任意抽取3张，得到二等奖奖券数记为ξ，求ξ的数学期望．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且椭圆C上一点N到点Q（0，3）的距离最大值为4，过点M（3，0）的直线交椭圆C于点A、B． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．
18．（2014•河北区三模）如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点． （Ⅰ）求证：FG∥平面PED； （Ⅱ）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小； （Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为60°？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由． 4
19．（2015春•天津校级月考）已知数列{an}的各项均为正值，a1=1，对任意n∈N*，an+12﹣1=4an
（an+1），bn=log2（an+1）都成立．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式； （2）令cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn；
（3）当k＞7且k∈N*时，证明对任意n∈N*，都有成立．
20．（2013•绵阳模拟）已知函数f（x）=ex﹣x2﹣ax，（a∈R）． （1）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值； （2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）如果函数g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2恰好有两个不同的极值点x1，x2．证明：＜ln2a．
2014-2015学年天津一中高三（下）4月月考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析
一．选择题： 1．已知复数为纯虚数，其中i虚数单位，则实数x的值为（ ）
A． ﹣ B． C． 2 D． 1
考点： 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念． 专题： 计算题． 5
分析： 利用两个复数代数形式的除法法则化简复数z为，再由纯虚数的定义可得2x﹣1=0，且 x+2≠0，由此求得实数x的值． 解答： 解：∵== 是纯虚数，∴2x﹣1=0，且 x+2≠0， ∴x=， 故选B． 点评： 本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法法则的应用，属于基础题．
2．若实数x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为（ ） A． B． C． 1 D． 2 考点： 简单线性规划． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=2x﹣y的最大值． 解答： 解：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分）， 平移直线y=2x﹣z，由平移可知当直线y=2x﹣z， 经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z取得最大值，
由，解得，即A（0，1）． 将A（0，﹣1）的坐标代入z=2x﹣y，得z=0﹣（﹣1）=1， 即目标函数z=2x﹣y的最大值为1． 故选：C．
点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 6
3．阅读程序框图，若输出S的值为﹣14，则判断框内可填写（ ） A． i＜6？ B． i＜8？ C． i＜5？ D． i＜7？ 考点： 程序框图． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 设计循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决． 解答： 解：第一次执行循环体时，S=1，i=3；第二次执行循环时，S=﹣2，i=5；第三次执行循环体时，S=﹣7，i=7，第四次执行循环体时，S=﹣14，i=8， 所以判断框内可填写“i＜8？”， 故选B． 点评： 本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于基础题．
4．下列说法中正确的是（ ） A． “x＞5”是“x＞3”必要不充分条件 B． 命题“对∀x∈R，恒有x2+1＞0”的否定是“∃x∈R，使得x2+1≤0” C． ∃m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）是奇函数 D． 设p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p∧q也是真命题
考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 简易逻辑． 分析： 必须对选项一一加以判断：对A应用充分必要条件定义解决；对B应用命题的否定确定；对C应用奇函数的定义解决；对D应用真值表判断． 解答： 解：对A，因为x＞5可推出x＞3，所以“x＞5”是“x＞3”充分不必要条件，故A错； 对B，由全称命题或存在性命题的否定得：B正确； 对C，若函数f（x）=x2+mx（x∈R）是奇函数，则由定义知不存在m，故C错； 对D，因为p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p，q中至少有一个为真，所以p∧q可真可假，故D错． 故选：B 点评： 本题主要考查简易逻辑的基础知识：充分必要条件、命题的否定、复合命题的真值表等，注意分析和逻辑推理，是一道基础题． 7
5．三个实数成等差数列，其首项是9．若将其第二项加2、第三项加20，则这三个数依次构成等比数列{an}，那么a3的所有可能取值中最小的是（ ） A． 1 B． 4 C． 36 D． 49
考点： 等差数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 设出等差数列的3项，结合其第二项加2、第三项加20，得到的三个数依次构成等比数列列式求得d的值，则 a3的最小取值可求． 解答： 解：设三数分别为9，9+d，9+2d， ∵其第二项加2、第三项加20，得到的三个数依次构成等比数列， ∴（9+d+2）2=9（9+2d+20）， 整理，得（d+11）2=9（2d+29）， d2+4d﹣140=0， （d+14）（d﹣10）=0． 解得：d=﹣14或d=10． 当d=﹣14时，a3=9+2d+20=9﹣28+20=1； d=10时，a3=9+20+20=49． ∴a3的取值最小是1． 故选：A． 点评： 本题考查了等差数列的性质，考查了等比中项的概念，训练了分类讨论的数学思想方法，属中档题．
6．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（ ） A． 5x2﹣=1 B． 5x2﹣=1 C． ﹣=1 D． ﹣=1
考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 根据抛物线的方程算出其焦点为（﹣1，0），从而得出左焦点为F（﹣1，0），再设出双曲线的方程，利用离心率的公式和a、b、c的平方关系建立方程组，解出a、b的值即可得到该双曲线的方程． 解答： 解：∵抛物线方程为y2=﹣4x，∴2p=4，得抛物线的焦点为（﹣1，0）． ∵双曲线的一个焦点与抛物y2=﹣4x的焦点重合， ∴双曲线的左焦点为F（﹣1，0），
设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），可得a2+b2=1…①
∵双曲线的离心率等，∴=，即…②