“转化与化归”的思想方法在数学教学中应用

“ 转化 与化 归＂ 的思想 方法在数学教学 中应用
浙江省苍 南县桥墩 高级 中学 章传科
转化与化归思想是高中数学最重要 的思想 之一 ， 它 的实 质是揭示联系 ， 实 现转化 。 除极简单 的数学 问题外 ， 数学 问题 的解决基本上是通过转化为已知或已解决 问题 实现 的。 从这 个意义上讲 ， 一个 数学 问题 的解答过程就是一个从未知 向已 知转化 的过程 。数学思想的作用是无声的 ， 蕴涵于一个个具 体 的数学 问题 的解 答过程 中， 要寻 找它的踪迹 ， 也必须先 深 入到数学 问题 中。现在让我们 在一些具体 的问题 中去体 会 “ 转化化归” 的思想方法 。 在 函数 与不等式 问题中的应用。 函数 与不 等式的 内容在每 年的高考 中几 乎 占去 了了。高中数学“ 法 向量 ” 的引 入 和运用对 高中立体几何 的解题起到 了一种革命性 的作用 ， 抛弃 了传统方法 中繁 复的添加辅助线的过程 ， 将 几何问题直 接代 数化。 三、 在数 列问题 中的应用。 数列是 高中数学的重要 内容 ，又是学 习高等数 学的基 础 。高考对数列的知识考查 比较全 面 ， 其 中数列与其它知识 的整合是重点考查的内容 ， 尤其是对递推数列 的考察往往难 度较大 。解数列 问题往往是以等差和等 比数 列为基础 ， 通 过 转化将一个不具备等差或等 比数列特征 的数 列转化为等差 、 之二 ， 函数 与 不 等 式 问题 的 内容 丰 富 多 变 ， 解法灵活多样 ， 是 等 比数列 问题求解。如下例： 高考考查的重点也 是难 点。 函数 的三要素 中定义域和值域都 例如： 已知数列｛ ａ ｝ 满足： ａ ｌ ＝ ÷， 且， ％ ； ！ 争 ＝ ＿（ ｌ ｎ Ｎ ’ ） 与不等式紧密相连 ， 很多函数问题与不等 式问题是 相互 交错 的通项公式 。 的， 一些特定 的函数 问题和不等式问题直接求解相对 比较 困 求数列 ｆ 数列 问题研究 的是一列数之间的代 数关系 ， 这 种关系大 难， 可运用转化 的方式进行等 价求解。如解分段 函数的 “ 最 多是 隐性的 ， 这种 隐性 的关 系往往难 以直接找到 ， 需要对 问 值” 问题或求方程解 的个数问题。 例如： “ 证 明不 等式 ｌ ｎ ｘ ２ （ ｘ － １ ）， 其中 ｘ ≥１ ” 这种 问题 ， 如 题予 以转化才能求解 。解答例 ４中的问题 ， 需要先 构造一个 ｌ ｌ 相关 的等 比数 列 ， 先求 出该等 比数列 的通项 公式 ， 才能 果按照常规的思维用不等式 的证 明方法如 比较法 、 分析法等 与 ａ 求 出数列 ｛ ａ ｎ １ 的通项 公式。一些常见 的求递推 数列通项公式 很难 下 手 ， 但是转换一个角度 ， 将它视作要证明函数 ： ， ｏ ） 一 ！ （ ｘ ２ ）的值恒大于 ０ ， 只需 要利用导数 考查函数 的 的方法如叠加法 、 累乘 法、 待定系数法 、 特征根 法等 都是运用 单调性 ， 求最小值 ， 问题 就很解决 了。证 明一个数学命题 ， 实 转 化的思想将一个 不具 备等差或 等 比数列性质 的数列 通项 际上是 由假设 经过 推理以得 出结论 ，当直接处理不容易 时 ， 问题转化为求等差或等 比数列 的通项问题加 以解决。 四、 在 曲线 与 方 程 问题 中 的应 用 。 往往我们会先考虑它的等价命题 或者辅助命题 ， 去寻求解题 圆锥 曲线是平面解析几何 的核心 内容 ， 也 是每年高考 的 的思路 。 原命题 的等价命题或辅助命题 的证 明必须是我们所 圆锥 曲线 除了对基本性质 的考查 ， 每年都会 有一 熟悉 的知识和方法 。 这种运用 等价问题法和构造 函数法在解 必 考内容 ， 答一些直接处理很 难下手的函数 或不等式 问题 时非 常有 用 ， 道综合应用题 ， 常以定值 问题 、 最值问题 、 范围问题 等面貌呈 现， 属于知识 的交 汇点 ， 常常需 要运用参 数法或者换 元法对 体现 了“ 转化 与化归 ” 思想的熟悉化原则 和简单化原则 。 从新课 改的课程 内容设 计来看 ，作 为数学 的基础性 内 原 问题 加以转化 。我们来看下 面的例题 ： 容， 函数 、 不等式和方程仍然是 比重最 大的一块 ， 这三者的关 例如 ： 设椭圆的中心是坐标原 点 ， 长 轴在 ｘ 轴上 ， 离心率 系密不可分 ， 三者之 间问题 的相互转化也是其问题设计 的一 ｅ － Ｚ ， 已知点 Ｐ （ ０ ， ÷） 到这个椭圆上的点最远距离是 个重要指导思想 ， “ 转化 与化 归” 的思想方法有着大量 的运用 和体现 。 、 ／ 丁， 求这个椭 圆的方程 ， 并 求椭 圆上的点到点 Ｐ的距离等 二、 在 平面与空间几何 问题 中的应用。 于ｘ ， ｙ的点 的坐标 。 新课程标准在几何部分有较大的修改 和变 动 ， 删去 了三 本 题在求椭 圆上 的点到点 Ｐ的距离时 ，直接 使用变量 ， 垂线定理及其逆定理等 ， 而且平行关系和垂直关系的判定和 很难 寻到出路 ，但是若利用椭 圆的参数方程进行 三角换元 ， 性质定理 的证 明都 只给 出一个。 新课程下 的立体几何课程定 就可以转化 成一 个三角函数值 的范 围问题 。 这种解法颇有些 位于培养和发展学生把握图形的能力 、 空间想象与几何直觉 “ 山重水复疑无路 ， 柳 暗花 明又一村 ” 的味道。换元法作为化 的能力 、 逻辑思 维能力 ， 并突 出直 观感知 、 操 作确认 、 思辩论 归转 化方法 中的核心方法 ， 在运用过程中又衍 生 出整体换元 证、 度量计算等探索研究几何 的过程。这让习惯 了借助三垂 法 、 平均数换元法 、 比值换元法 、 三角代 换法、 不等量换 元法 、 线定理及 其逆定理处理 空间角和距离 问题的数学 老师很不 根式换 元法 、 倒数换元法 、 相反数换元法 、 坐标换 元法等具体 适应 ， 在这种 情形下 ， 利用 向量 的工具性将空 间图形的位置 的 方 法 。 换元 的实 质是 转化 ， 关键是构造元和设元 ， 理 论 依 据 关系问题转化成代数计算问题将是最好 的方法 。 利用 向量可 是 等量代换 ， 目的是 变换研究对象 ， 将 问题移至新 对象 的知 以证 明空 间图形的平行与垂 直关系 ，可以求空 间角和距 离 ， 识 背景 中去研究 ， 从 而使非标准 型问题标准化 、 复 杂问题 简 而且所运用的公式简单易懂 ， 容易掌握 。下面的这个例题是 单 化 ， 变得容易处理。 比较常见也是常考 的一个类型。 数学 中的转化 比比皆是 ， 如未 知 向已知 转化 ， 复杂 问题 例 如 ：已 知 在 三 棱 锥 Ｐ—Ａ Ｂ Ｃ中 ， Ｐ Ａ上平 面 Ａ Ｂ Ｃ ， 向简单问题转化 ， 新知识 向旧知识 的转化 ， 命 题之间的转化 ， ／ ＿Ｂ ＡＣ ＝ ９ ０ 。， Ｄ、 Ｅ 、 Ｆ分别 是棱 Ａ Ｂ 、 Ｂ Ｃ 、 Ｃ Ｐ的 中 点 ， Ａ Ｂ ＝ ２ ， 数与形的转化 ， 空 间向平面 的转化 ， 高维 向低 维转 化 ， 多元 向