四点共面条件
四点共面,链接教材,变式拓展——以一道高考题为例
试题研究２０２４年１月上半月㊀㊀㊀四点共面,链接教材,变式拓展以一道高考题为例◉江苏省张家港市沙洲中学㊀陶㊀贤㊀㊀空间中的四点共面的判断与证明是空间向量与立体几何部分的一个基本知识点,也是一大难点,历年高考数学试题中较少涉及,没有引起大家的高度重视．而在２０２０年高考数学全国卷Ⅲ的文科和理科试题中,都出现了空间四点共面的证明问题,也充分说明了该部分知识的基础性与重要性．借助空间中四点共面的判断与证明,很好地考查考生的数形结合思想㊁空间想象能力与推理论证能力,以及直观想象㊁逻辑推理等数学核心素养．１真题呈现图１高考真题㊀(２０２０年高考数学全国卷Ⅲ理科第１９题)如图１,在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,点E ,F 分别在棱D D １,B B １上,且２D E ＝E D １,B F ＝２F B １．(１)证明:点C １在平面A E F 内．(２)若A B ＝２,A D ＝１,A A １＝３,求二面角A ＧE F ＧA １的正弦值．此题以长方体为问题背景,通过相应线段的长度关系,证明点在平面内(其实就是证明四点共面)以及求解二面角的平面角的正弦值,改变以往传统的证明直线与平面之间的平行或垂直关系,令人耳目一新．图２２问题破解(Ⅰ)第(１)问的证法如下:证法１:几何法．如图２,在棱C C １上取点G ,使得C １G ＝１２C G ,连接D G ,F G ,C １E ,C １F ．在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,A D ʊBC 且AD ＝B C ,B B １ʊC C １且B B １＝C C １．由C １G ＝１２C G ,B F ＝２F B １,可得C G ＝２３C C １＝２３B B １＝B F ,所以四边形B C G F 为平行四边形,则G F ʊB C 且G F ＝B C ．又B C ʊA D 且B C ＝A D ,所以A D ʊG F 且A D ＝G F ,即四边形A F D G 是平行四边形,则A F ʊD G 且A F ＝D G ．同理可证,四边形D E C １G 为平行四边形,则C １E ʊD G 且C １E ＝D G ．所以C １E ʊA F 且C １E ＝A F ,则四边形A E C １F为平行四边形．因此,点C １在平面A E F 内．证法２:基底法１共面向量定理．在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,B B １ʊC C １ʊD D １且B B １＝C C １＝D D １,结合２DE ＝E D １,BF ＝２F B １,可得E D １＝B F ．由A C １ң＝A C ң＋C C １ң＝A B ң＋A D ң＋D E ң＋E D １ң＝A B ң＋A D ң＋D E ң＋B F ң＝(A B ң＋B F ң)＋(A D ң＋D E ң)＝A F ң＋A E ң,知A ,E ,F ,C １四点共面,所以点C １在平面A E F 内．证法３:基底法２共面向量定理的推论．设D １A １ң＝a ,D １C １ң＝b ,D １D ң＝c ,则D １A ң＝a ＋c ,D １E ң＝２３c ,可得c ＝３２D １E ң,于是a ＝D １A ң－３２D １E ң．由D １F ң＝D １A １ң＋A １B １ң＋B １F ң＝D １A １ң＋D １C １ң＋１３B １B ң＝D １A １ң＋D １C １ң＋１３D １D ң＝a ＋b ＋１３c ＝(D １A ң－３２D １E ң)＋D １C １ң＋１３ˑ３２D １E ң＝D １A ң＋D １C １ң－D １E ң(其中１＋１－１＝１),知A ,E ,F ,C １四点共面,所以点C １在平面A E F 内．图３证法４:坐标法．设A B ＝a ,A D ＝b ,A A １＝c ,如图３所示,以C １为坐标原点,C １D １ң的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系C １Ｇx yz ．连接C １F ,则C １(０,０,０),A (a ,b ,c ),E (a ,０,２３c ),F (０,b ,１３c ),于８６２０２４年１月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀是E A ң＝(０,b ,１３c ),C １F ң＝(０,b ,１３c ),可得E A ң＝C １F ң,因此E A ʊC １F ,即A ,E ,F ,C １四点共面,所以点C １在平面A E F 内．点评:证明空间中的四点共面问题,常见的证明方法就是以上三大类 (１)利用空间几何图形的特征,借助几何法的推理与论证,通过空间问题平面化来证明;(２)利用共面向量定理或推论,借助空间向量的基底法,通过向量的线性运算与转化来证明;(３)利用空间直角坐标系的建立,借助坐标法的运算,通过向量的平行判断与转化来证明等．特别地,对于共面向量定理及其推论,是立体几何中的一个重要的定理,可以用来处理一些与之相关的问题,往往可以使问题处理得更加简捷㊁巧妙．(Ⅱ)第(２)问的解法如下:解:以C １为坐标原点,C １D １ң的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系C １Ｇx yz ,则由已知可得A (２,１,３),E (２,０,２),F (０,１,１),A １(２,１,０),则A E ң＝(０,－１,－１),A F ң＝(－２,０,－２),A １E ң＝(０,－１,２),A １F ң＝(－２,０,１)．设平面A E F 的法向量为m ＝(x １,y １,z １)．由m A E ң＝０,m A F ң＝０,{得－y １－z １＝０,－２x １－２z １＝０,{取z １＝－１,得x １＝y １＝１,则m ＝(１,１,－１)．设平面A １E F 的法向量为n ＝(x ２,y ２,z ２)．由n A １E ң＝０,n A １F ң＝０,{得－y ２＋２z ２＝０,－２x ２＋z ２＝０,{取z ２＝２,得x ２＝１,y ２＝４,则n ＝(１,４,２)．所以c o s ‹m ,n ›＝m n |m ||n |＝１＋４－２３ˑ２１＝７７．设二面角A ＧE F ＧA １的平面角为θ,则|c o s θ|＝７７,可得s i n θ＝１－c o s ２θ＝４２７．因此,二面角A ＧE F ＧA １的正弦值为４２７．点评:坐标法是求解二面角的平面角的三角函数值问题中一个比较常见的方法,借助空间直角坐标系的建立,以及对应的点㊁向量的坐标的表示,结合相应两半平面的法向量的设置与确定,结合向量的数量积公式的转化与应用来确定相应的二面角的平面角问题．坐标法实现了用代数方法处理立体几何问题中的四点共面㊁线面位置关系㊁空间角㊁距离等几何推理与求解问题．３链接教材以上基于向量的四点共面的判断,其对应的共面向量定理及其推论是数学教材中的一个基本知识点,来源于教材,又服务于证明,可以很好地证明或求解与四点共面有关的数学问题．普通高中课程标准实验教科书«数学 选修２－１»(人教A 版)第８７页:结论１:共面向量定理．空间一点P 位于平面A B C 内的充要条件是存在有序实数对(x ,y ),使A P ң＝xA B ң＋y A C ң．普通高中课程标准实验教科书«数学 选修２－１»(人教A 版)第８８页思考 :结论２:共面向量定理的推论．空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C 满足向量关系式O P ң＝xO A ң＋y O B ң＋zO C ң(x ＋y ＋z ＝１)的点P 与点A ,B ,C 共面．共面向量定理是共线向量定理在空间中的推广与拓展,共线向量定理用来证明三点共线,共面向量定理用来证明四点共面．４变式拓展图４高考真题㊀(２０２０年高考数学全国卷Ⅲ文科第１９题)如图４,在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,点E ,F分别在棱D D １,B B １上,且２D E ＝E D １,BF ＝２F B １．证明:(１)当A B ＝B C 时,E F ʅA C ;(２)点C １在平面A E F 内．证明:(１)连接B D ,B １D １．因为A B ＝B C ,所以四边形A B C D 为正方形,故A C ʅB D ．又因为B B １ʅ平面A B C D ,于是B B １ʅA C ,而B D ,B B １Ì平面B B １D １D ,所以A C ʅ平面B B １D １D ．因为E F ÌB B １D １D ,所以E F ʅA C ．(２)可以参照上述理科真题第(１)问的证明方法．５解后反思新一轮课程改革的核心就是培育学生的核心素养,发展学生的综合能力．承载着 立德树人㊁服务选才和引导教学 功能的数学高考,应借助试题 情境 的变革,夯实基础,以教材为本并超越教材,着眼于基础知识㊁基本技能㊁基本方法的考查,特别重视对数学思想方法㊁关键能力和学科素养的考查．因而在平时的数学教学与复习中,教师应在拓展延伸中紧扣课本,链接教材,注重归类迁移能力培养,聚焦思维品质,培养关键能力,从而有效实现学生数学素养的渐进式提升．Z９６。
证明四点共面的方法基本定理
证明四点共面的方法基本定理嘿，咱今儿就来聊聊证明四点共面的方法基本定理哈！
你想想看，这四点共面，就好像四个小伙伴要在一个平面上聚会一样。
那怎么知道它们是不是真的在一块儿呢？
咱先说其中一个方法，比如如果有三个点确定了一个平面，那只要看第四个点是不是也在这个平面上就行啦。
这就好比三个人已经在一个房间里玩得火热，咱看看第四个人是不是也能进得去这个房间呀。
要是能进去，那不就四点共面啦！
还有呢，如果这四个点两两连接的线段，它们之间的关系能满足某些特定条件，那也能说明它们共面哟。
这就好像四条线交织在一起，形成了一种特殊的图案，而这种图案就表明它们是在一个平面上的。
再比如说，如果有一条直线和直线外的三点，它们之间存在某种奇妙的关联，那也能证明这四点共面呀。
就好像一条路和路边的三个标志，它们组合起来就有了特殊的意义，能让我们知道它们在一个平面上。
你说这神奇不神奇？证明四点共面，就像是解开一个小小的谜题，每一种方法都是解开谜题的一把钥匙。
咱再想想，生活中是不是也有类似的情况呢？比如说一群朋友要一
起去做一件事，那怎么确定大家都能在一个“平面”上行动呢？是不是
也得看大家的关系、目标是不是一致呀。
在学习数学的过程中，遇到这样的问题，可别头疼呀。
要像侦探一样，仔细去寻找那些线索，那些能证明四点共面的线索。
一旦找到了，那种成就感，可别提多棒啦！
总之呢，证明四点共面的方法基本定理就像是一个神奇的工具，能
帮我们解决很多数学问题。
只要我们用心去理解，去运用，就一定能
掌握好它。
别小看这四点共面，它里面的学问可大着呢！好好去探索吧，你会发现更多有趣的东西哦！。
证明四点共面的方法
证明四点共面的方法方法一：向量法对于四点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，D(x4,y4,z4)，若它们共面，则它们所在向量的线性组合为0向量，即λ1 * AB + λ2 * AC + λ3 * AD = 0其中，AB表示B减去A所得向量，AC表示C减去A所得向量，AD表示D减去A所得向量，λ1、λ2、λ3为实数。
将向量分量展开，得到一个由12个未知数和3个未知量构成的线性方程组，通过高斯消元法求解，若有非零解，则四点共面，否则不共面。
方法二：行列式法对于四点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，D(x4,y4,z4)，若它们共面，则它们所在的三维空间中存在三个向量AB、AC、AD，它们的行列式为0，即x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1 = 0x4 - x1 y4 - y1 z4 - z1其中， A 表示矩阵A的行列式，即其所在行与列的元素乘积之和。
将行列式展开，得到一个以x1、y1、z1为变量的三元二次方程，求解之后判断其解的个数，若为1，则四点共面，否则不共面。
方法三：向量叉积法对于四点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，D(x4,y4,z4)，若它们共面，则向量AB和AC的叉积与向量AD共线，即AB ×AC 与AD 共垂，或者AB ×AD 与AC 共垂，或者AC ×AD 与AB 共垂其中，×表示向量叉积，结果为另一个向量，其大小为两个向量所构成的平行四边形的面积，方向遵循右手定则（即右手四指伸直，从第一个向量转向第二个向量，则大拇指所指方向即为结果所在方向）。
将向量分量展开，得到一个由9个未知数和3个未知量构成的线性方程组，通过高斯消元法求解，若有非零解，则四点共面，否则不共面。
四点共面问题探究
空间四点共面充要条件的应用与探究 河北唐山一中 姚洪琪 063000平面上的三点共线与空间的四点共面，是平面向量与空间向量问题中的一类重要题型。
在高中数学人教A 版选修教材2-1《空间向量与立体几何》一章中，给出了四点共面的一个判定方法，在配套的教参中更明确为充要条件。
因此有些老师在教学中就给出了如下的空间P 、A 、B 、C 、四点共面的充要条件：对于空间任意一点O ，存在实数x 、y 、z ，使得OC OB OA x OP z y ++=且x+y+z=1。
这个结论对于解决空间四点共面问题提供了很便捷的方法，例如：问题1：对于空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，有OC OB OA OP 326++=，则 （ ）(A)O 、A 、B 、C 四点共面 (B) P 、A 、B 、C 四点共面 (C) O 、P 、B 、C 四点共面 (D) O 、P 、A 、B 、C 五点共面 分析：由条件可以得到OC OB OA OP 213161++=，而1213161=++，则P 、A 、B 、C 四点共面。
显然答案为（B ）问题2：已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，OC OB OA x OM 3121++=，则x= 。
分析：由上面的充要条件很容易得到6131211x =--=。
问题3：在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、M 、N 分别是AA 1、AB 、AD 上一点，且132AA AP =,AB AM 21=,AD AN 41=，对角线AC 1与平面PMN 交与点H ，求H 点分AC 1的比。
分析：因为P 、M 、N 、H 四点共面，则可设为AN z AM y AP AH ++=x ，且x+y+z=1由已知，132AA AP =,AB AM 21=,AD AN 41=，则AD z AB y AA AH 4232x 1++=又A 、H 、C 1三点共线，则1AC AH λ= 而AD AB AA AC ++=11 所以，AD z AB y AA AH 4232x 1++=AD AB AA λλλ++=1 因为向量AD AB AA ，，1不共面， 则有：λ===4232z y x ，所以，λ23=x ，λ2=y ，λ4=zMC 1又因为x+y+z=1，所以，λ23+λ2+λ4=1，解得152=λ所以，1152AC AH =即：H 点分AC 1的比为2:13.以上三个问题的解决都用到了课本中提到的四点共面的充要条件，思路新颖，解法简洁，确实为学生们解决空间四点共面问题提供了一条重要的解题思路。
向量四点共面定理等于1
向量四点共面定理等于1（原创版）目录1.引言2.向量四点共面定理的概念3.向量四点共面定理的证明4.向量四点共面定理的应用5.结论正文1.引言在空间几何中，向量四点共面定理是一个重要的定理。
该定理描述了四个点在空间中的位置关系，对于解决一些几何问题具有重要意义。
本文将从向量四点共面定理的概念、证明和应用三个方面进行介绍。
2.向量四点共面定理的概念向量四点共面定理是指：如果四个点在空间中的向量分别满足一定的条件，那么这四个点一定共面。
具体来说，设四个点分别为 A(x1, y1, z1)，B(x2, y2, z2)，C(x3, y3, z3)，D(x4, y4, z4)，如果满足条件：(1) x1(y2z3 - y3z2) + x2(y3z4 - y4z3) + x3(y4z1 - y1z4) + x4(y1z2 - y2z1) = 0(2) y1(x2z3 - x3z2) + y2(x3z4 - x4z3) + y3(x4z1 - x1z4) + y4(x1z2 - x2z1) = 0(3) z1(x2y3 - x3y2) + x2(y3x4 - y4x3) + x3(y4x1 - y1x4) + x4(y1x2 - y2x1) = 0则四个点 A、B、C、D 共面。
3.向量四点共面定理的证明向量四点共面定理的证明过程较为繁琐，涉及到向量的运算和一些基本的几何知识。
具体的证明过程可以参考相关的几何教材。
4.向量四点共面定理的应用向量四点共面定理在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，该定理可以用来判断四个点是否在同一个平面上，从而优化图形的绘制；在物理学中，该定理可以用来分析物体在空间中的运动轨迹等。
5.结论向量四点共面定理是空间几何中的一个基本定理，对于解决一些几何问题具有重要意义。
高中数学四点共面
高中数学四点共面
嘿，小伙伴们！咱们来聊聊高中数学里的四点共面。
你说啥是四点共面？简单说，就是四个点在同一个平面上。
这在空间几何里可是个重要的概念哟！
四点共面的判断方法
1. 要是这四个点构成的向量之间存在线性关系，那就说明它们共面啦。
比如说，存在实数λ、μ、ν，使得向量PA = λ向量PB + μ向量PC + ν向量PD，并且λ + μ + ν = 1，那这四个点肯定在一个面上。
2. 咱们还能通过三个点确定一个平面，然后看看第四个点是不是在这个平面上。
要是在，那就四点共面咯。
四点共面的应用
1. 在解决空间几何的题目时，判断四点共面可以帮助咱们找到更简单的解题思路。
2. 比如计算四面体的体积啥的，如果知道四个顶点共面，那计算起来可就方便多啦。
咋样，小伙伴们，是不是对高中数学里的四点共面有点感觉啦？哈哈，多做几道题练练手，就更熟悉啦！。
四点共面 行列式
四点共面行列式四点共面的概念在几何学中非常重要，它描述了四个点在同一平面上的情况。
在数学中，我们可以通过行列式的形式来判断四个点是否共面，本文将介绍相关的定义和定理，以及行列式的应用。
一、四点共面的定义首先，我们来了解四点共面的定义。
在空间坐标系中，如果四个点的位置可以表示成三维坐标（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），（x3，y3，z3）和（x4，y4，z4），并且它们都在同一平面（不共线），则这四个点就被称作共面点。
二、判断四点是否共面的公式由于坐标系需要进行各种变换，而我们需要用一种数学方法来判断四点是否共面，因此可以使用行列式来求解。
行列式是一种矩阵运算，它可以求出矩阵中的一个标量值，用来表示矩阵的重要性质。
下面是判断四点共面的公式的矩阵形式。
[x1 y1 z1 1][x2 y2 z2 1][x3 y3 z3 1] = 0[x4 y4 z4 1]在使用这个公式时，我们需要把四个点的坐标填入矩阵中，然后计算该行列式的值。
如果值等于0，那么四个点就共面；如果行列式的值不等于0，那么这四个点就不共面。
三、行列式的定义和性质在介绍行列式应用之前，我们可以先简单介绍一下行列式的定义和性质。
行列式是一个方阵中每个元素的代数余子式按照一定规律按行或按列排成的行列式，它的值可以用递归公式表示，也可以用初等变换求解。
行列式的性质有许多，在这里我们只介绍三个基本性质。
1、交换两行（列）性质：行列式不变。
2、其中一行（列）乘以一个常数k，行列式的值也相应地乘以k。
3、其中一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
四、行列式的应用行列式在数学中有许多应用，其中之一就是判断四点是否共面。
在几何学中，四点共面的概念是非常重要的，因为它常常用于研究多边形、圆柱体和球体等几何形体的性质。
此外，在科学、工程和计算机图形学等领域，行列式也经常作为一种工具被使用。
五、总结在本文中，我们首先介绍了四点共面的定义和判断四点是否共面的公式，然后简单介绍了行列式的定义和性质，最后讨论了行列式在数学中的应用。
空间向量四点共面定理的推导
空间向量四点共面定理的推导1. 引言哎，大家好！今天我们来聊聊一个在几何中很酷的话题——空间向量四点共面定理。
你可能在学校里听过，但可能没太理解，没关系，今天我就来给大家拆解拆解，轻松愉快地一起把这个定理搞懂。
毕竟，谁说数学就一定要一本正经、严肃认真呢？咱们可以轻松一点，把它当成一场有趣的游戏。
好吧，咱们开始吧！2. 什么是四点共面2.1 定义首先，咱们得搞清楚什么叫四点共面。
简单来说，四个点如果能在同一个平面上“聚会”，那它们就是共面的。
想象一下，你和三个好朋友在一个草坪上野餐，大家都在同一块地方，就是共面啦！而如果其中有一个朋友站到了山顶上，那就不好办了，大家就不能一起吃午餐了，是吧？2.2 直观理解那么，四点要共面，有什么条件呢？直观上看，咱们可以把这四个点分别用向量来表示，比如说 (A)、(B)、(C) 和 (D)。
要让它们共面，简单来说，就是从这四个点出发，能构建出一个“平面”。
想象一下，像搭积木一样，只要搭出来的东西不倒，那就是共面的了。
其实，数学里很多东西就像这玩具一样，你只需要把它们放在对的位置就行了。
3. 推导定理3.1 使用向量好，接下来咱们来推导一下这个定理。
我们设四个点的坐标分别是 (A(x_1, y_1,z_1))、(B(x_2, y_2, z_2))、(C(x_3, y_3, z_3)) 和 (D(x_4, y_4, z_4))。
这时候，我们可以引入向量的概念，定义向量 ( vec{AB = vec{B vec{A )，( vec{AC = vec{C vec{A )，( vec{AD = vec{D vec{A )。
这三条向量就像是从 (A) 出发的“小路”，通往 (B)、(C) 和 (D)。
3.2 共面条件接下来，我们需要找出这三条向量是否在同一个平面上。
这里就要用到一个小技巧，咱们可以用向量的混合积。
简单地说，如果这三个向量的混合积为零，哎，就是说它们共面。
公式上看就是：vec{AB cdot (vec{AC times vec{AD) = 0。
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四点共面条件
四点共面条件是指四个点在同一个平面上的条件。
在三维空间中，如果四个点的坐标满足某种条件，那么这四个点就可以被认为是共面的。
让我们来看一下什么是共面。
在三维空间中，我们可以用坐标系来表示点的位置。
如果四个点的坐标满足某种关系，使得它们可以被画在同一个平面上，那么我们就可以说这四个点共面。
具体来说，如果四个点的坐标满足以下条件之一，那么它们就是共面的：
1. 任意三个点都在同一个平面上；
2. 四个点的坐标可以通过线性组合表示出来；
3. 三个点的向量线性相关，即它们在同一个平面上；
4. 三个点构成的平面与第四个点共面。
下面我们来逐一解释这些条件。
首先，任意三个点都在同一个平面上。
这是最直观的情况，如果我们可以在三维空间中找到一个平面，使得这三个点都在这个平面上，那么我们可以说这四个点共面。
四个点的坐标可以通过线性组合表示出来。
这意味着我们可以找到四个系数，使得每个点的坐标乘以对应的系数之后相加等于零。
这样的话，我们可以说这四个点共面。
第三，三个点的向量线性相关。
这意味着我们可以找到三个系数，使得每个点的坐标乘以对应的系数之后相加等于零。
这样的话，我
们可以说这四个点共面。
三个点构成的平面与第四个点共面。
这意味着我们可以找到一个平面，使得这三个点都在这个平面上，并且第四个点也在这个平面上。
这样的话，我们可以说这四个点共面。
总结一下，四个点共面的条件可以归纳为以上四种情况。
当我们在解决问题时，如果需要判断四个点是否共面，我们可以根据这些条件进行判断。
如果满足其中任意一种情况，那么这四个点就是共面的。
当然，这只是在理论上的判断，实际应用中可能还需要考虑其他因素。
在几何学中，共面是一个非常重要的概念。
它不仅在数学中有着广泛的应用，也在物理学、工程学等领域中有着重要的意义。
对于我们来说，了解四点共面条件不仅可以帮助我们理解几何学的基本概念，还可以在解决实际问题时提供一定的参考。
希望通过以上的解释，读者们对四点共面条件有了更清晰的认识。
同时也希望读者们能够在实际问题中运用这些知识，更好地理解和解决相关的几何学问题。