2019年高考数学试题分类汇编--选考内容

2019年高考真题理科数学解析汇编：选考内容

一、选择题

1 ．（2019年高考（四川理））如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使1

AE=,连接EC、ED则sin CED

∠=

A B C D

2 ．（2019年高考（四川理））函数

29

,3

()3

ln(2),3

x

x

f x x

x x

?-

<

?

=-

?

?-≥

?

在3

x=处的极限是（）A．不存在B．等于6C．等于3D．等于0

3 ．（2019年高考（江西理））在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD

的中点,

则

22

2

||||

||

PA PB

PC

+

=（）A．2 B．4 C．5 D．10

4 ．（2019年高考（北京理））如图,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,以BD为直径的圆与BC交

于点E,则

（）A．CE·CB=AD·DB B．CE·CB=AD·AB

C．AD·AB=

2

CD

二、填空题

5 ．（2019年高考（重庆理））lim

n→∞

=______________________ .

6 ．（2019年高考（上海理））如图,在极坐标系中,过点0

,2(

M

6

π

α=.若将l的极坐标方程写成)

(θ

ρf

=的形式,则

=

)

(θ

f_________ .

7 ．（2019年高考（上海理））有一列正方体,棱长组成以1为首项,21为公比的等比数列,

B

体积分别记为V 1,V 2,,V n ,,则=+++∞

→)(lim 21n n V V V _________ .

8 ．（2019年高考（上海理））函数

1

sin cos 2)(-=

x

x x f 的值域是_________ .

9 ．（2019年高考（上海春））若矩阵11122122a a a a ??

???

满足:11122122,,,{1,1},a a a a ∈-且

11122122

0a a a a ＝　,则这样的互不相等的矩阵共有______个.

10．（2019年高考（陕西理））(坐标系与参数方程)直线2cos 1ρθ

=与圆2cos ρθ=相交

的弦长为___________.

11．（2019年高考（陕西理））如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为

E,EF DB ⊥,垂足为F,若6AB =,1AE =,则DF DB ?=__________.

12．（2019年高考（陕西理））若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a

的取值范围是___________.

13．（2019年高考（山东理））若不等式

42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤,则实数

k =__________.

14．（2019年高考（江西理））在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为

___________。

15．（2019年高考（江西理））曲线C 的直角坐标方程为x 2

+y 2

-2x=0,以原点为极点,x 轴

的正半轴为极轴建立积坐标系,则曲线C 的极坐标方程为___________.

16．（2019年高考（湖南理））如图2,过点P 的直线与圆O 相交于A,B 两点.若PA=1,AB=2,PO=3,

则圆O 的半径等于_______.

17．（2019年高考（湖南理））不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.

18．（2019年高考（湖南理））在直角坐标系xOy 中,已知曲线1C :1,

12x t y t

=+??

=-? (t 为参数)

与曲线2C :sin ,

3cos x a y θθ=??

=?

(θ为参数,0a >) 有一个公共点在X 轴上,则__a =.

19．（2019年高考（湖北理））(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系

xOy

图2

中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线π

4

θ=

与曲线2

1,

(1)

x t y t =+??=-?(t 为参数)相交于A ,B 两点,则线段AB 的中点的直角坐标为__________. 20．（2019年高考（湖北理））(选修4-1:几何证明选讲)如图,点D 在O 的弦AB 上移

动,4AB =,连接OD ,过点D 作OD 的垂线交O 于点C ,则CD 的最大值为

__________.

21．（2019年高考（广东理））(几何证明选讲)如图3,圆O 的半径为1,A 、B 、C

是圆周上的三点,满足30ABC ∠=?,过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于

点P ,则PA =__________.

22．（2019年高考（广东理））(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中,曲

线1C 和2C 的参数方程分别为x t

y =???=??t 为参数)和x y θθ

?=??=??(θ为参数),则曲线1

C 与2C 的交点坐标为________.

23．（2019年高考（广东理））(不等式)不等式21x x +-≤的解集为__________________.

24．（2019年高考（北京理））直线2,1x t y t =+??

=--?(t 为参数)与曲线3cos 3sin x y =α

??=α

?(α为参数)

的交点个数为____________.

25．（2019年高考（安徽理））在极坐标系中,圆4sin ρθ=的圆心到直线()6

R π

θ

ρ=

∈的

距离是_____

三、解答题

26．（2019年高考（新课标理））选修45-:不等式选讲

已知函数()2f x x a x =++-

(1)当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集;

(2)若()4f x x ≤-的解集包含[1,2],求a 的取值范围.

27．（2019年高考（新课标理））本小题满分10分)选修4—4;坐标系与参数方程

已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数??

?

??

?==,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴

为极轴建立坐标系,曲线2C 的坐标系方程是2=ρ,正方形ABCD 的顶点都在2C 上,

且,,,A B C D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,)3

π

(1)求点,,,A B C D 的直角坐标;

(2)设P 为1C 上任意一点,求2222

PA PB PC PD +++的取值范围.

28．（2019年高考（新课标理））选修4-1:几何证明选讲

如图,,D E 分别为ABC ?边,AB AC 的中点,直线DE 交

ABC ?的外接圆于,F G 两点,若//CF AB ,证明:

(1)CD BC =; (2)BCD

GBD ??

29．（2019年高考（辽宁理））选修4-5:不等式选讲

已知()|1|()f x ax a R =+∈,不等式()3f x …的解集为{|2x -剎1x …}. (Ⅰ)求a 的值;

(Ⅱ)若|()2()|2

x f x f k -…恒成立,求k 的取值范围.

30．（2019年高考（辽宁理））选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标xOy 中,圆221:4C x y +=,圆22

2:(2)4C x y -+=.

(Ⅰ)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆12,C C 的极坐标方程,并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示); (Ⅱ)求出12C C 与的公共弦的参数方程.

31．（2019年高考（辽宁理））选修4-1:几何证明选讲

如图,⊙O 和⊙/

O 相交于,A B 两点,过A 作两圆的切线分别交两圆于C ,D 两点,连接DB 并延长交⊙O 于点E .

F

G

证明

(Ⅰ)AC BD AD AB ?=?; (Ⅱ) AC AE =.

32．（2019年高考（江苏））[选修4 - 5:不等式选讲] (2019年江苏省10分)已知实数x,y

满足:11|||2|36x y x y +<-<，，

求证: 5

||18

y <.

33．（2019年高考（江苏））[选修4 - 4:坐标系与参数方程]在极坐标中,已知圆C 经过点

(

)

4P

π，

,

圆心为直线sin 32ρθπ?

?-=- ???

与极轴的交点,求圆C 的极坐标方程.

34．（2019年高考（江苏））[选修4 - 2:矩阵与变换]已知矩阵A 的逆矩阵113441122-??

-??=??

??-????

A ,

求矩阵A 的特征值.

35．（2019年高考（江苏））[选修4 - 1:几何证明选讲]如图,AB 是圆O 的直径,,D E 为

圆上位于AB 异侧的两点,连结BD 并延长至点C ,使BD DC =,连结,,AC AE DE . 求证:E C ∠=∠

.

36．（2019年高考（福建理））已知函数

()|2|,f x m x m R =--∈，且(2)0f x +≥的解

集为[1,1]-。 （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若,,a b c R ∈，且111

23m a b c

++=，求证：239a b c ++≥。

37．（2019年高考（福建理））选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为几点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知

直线l 上两点,M N 的极坐标分别

为(2,0),(

)32

π

,圆C 的参数方

程22cos 2sin x y θθ

=+??

?

=??(θ为参数). (Ⅰ)设P 为线段MN 的中点,求直线OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线l 与圆C 的位置关系.

38．（2019年高考（福建理））选修4-2:矩阵与变换

设曲线2

2

221x xy y ++=在矩阵0(0)1a A a b ??=> ???

对应的变换作用下得到的曲线为

221x y +=.

(Ⅰ)求实数,a b的值.

A的逆矩阵. (Ⅱ)求2

2019年高考真题理科数学解析汇编：选考内容参考答案

一、选择题 1. [答案]B

10

10

cos 1sin 10103EC ED 2CD -EC ED CED cos 1

CD 5CB AB EA EC 2

AD AE ED 11AE ][22

222

22

2=

∠-=∠=

?+=∠∴==++==+=

∴=CED CED ，）（，正方形的边长也为解析

[点评]注意恒等式sin 2

α+cos 2

α=1的使用,需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况. 2. [答案]A

[解析]分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值,故不存在极限. [点评]对于分段函数,掌握好定义域的范围是关键.

3. D 【解析】本题主要考查两点间的距离公式,以及坐标法这一重要的解题方法和数形结合

的数学思想.

不失一般性,取特殊的等腰直角三角形,不妨令4AC BC ==,

则

AB =,CD =

12AB =

1

||2

PC PD CD ===

PA PB ===

=,所以

222||||1010

10||2

PA PB PC ++==. 【点评】对于非特殊的一般图形求解长度问题,由于是选择题,不妨尝试将图形特殊化,

以方便求解各长度,达到快速求解的目的.体现考纲中要求掌握两点间的距离公式.来年需要注意点到直线的距离公式. 4. 【答案】A

【解析】由切割线定理可知2

CE CB CD ?=,在直角ABC ?中,90,ACB CD AB ∠=?⊥,则由射影定理可知2

CD AD DB =?,所以CE CB AD DB ?=?.

【考点定位】 本题考查的是平面几何的知识,具体到本题就是射影定理的各种情况,需要学生对于垂直的变化有比较深刻的印象.

二、填空题 5. 【答案】

25

【解析】

n n n

→∞→∞

==

112

lim

55

n→∞

+

===【考点定位】本题考查极限的求法和应用,

n没有极限,可先分母有理化后再法再求极限.

6.[解析] )0,2(

M的直角坐标也是(2,0),斜率

3

1

=

k,所以其直角坐标方程为2

3=

-y

x,

化为极坐标方程为:2

sin

3

cos=

-θ

ρ

θ

ρ,1

)

sin

cos

(

2

3

2

1=

-θ

θ

ρ,

1

)

sin(

6

=

-θ

ρπ,

)

sin(

1

6

θ

π

ρ

-

=,即=

)

(θ

f

)

sin(

1

6

θ

π-

.(或=

)

(θ

f

)

cos(

1

3

π

θ+

)

7. [解析] 易知V1,V2,,V n,是以1为首项,3为公比的等比数列,所以

7

8

1

2

1

8

1

1

)

(

lim=

=

+

+

+

-

∞

→

V

n

n

V

V

V .

8. [解析]x

x

x

x

f2

sin

2

cos

sin

2

)

(

2

1

-

-

=

-

-

=∈]

,

[

2

3

2

5-

-.

9. 8

10.解析:将极坐标方程化为普通方程为

1

2

x=与222

x y x

+=,联立方程组成方程组求出

两交点的坐标

1

(,

22

和

1

(,

22

-,

11.解析:5

BE=,25

DE AE EB

=?=

,DE=在Rt DEB

D中,25

DF DB DE

?==

12. A解析:1|||1|3

a x a x

-≤-+-≤,解得:24

a

-≤≤

13. 【解析】由2

|4

|≤

-

kx可得6

2≤

≤kx,所以3

2

1≤

≤x

k

,所以1

2

=

k

,故2

=

k.

14.

33

|

22

x x

??

∈-≤≤

??

??

R【解析】本题考查绝对值不等式的解法以及转化与划归、分类讨论的数学思想.

原不等式可化为

1

,

2

12216,

x

x x

?

≤-

?

?

?---≤

?

.①或

11

,

22

21216,

x

x x

?

-<<

?

?

?---≤

?

②或

1

,

2

21216,

x

x x

?

≥

?

?

?-++≤

?

③

由①得3122x -

≤≤-；由②得1122x -<<；由③得1322

x ≤≤, 综上，得原不等式的解集为3

3|2

2x x ?

?∈-

≤≤???

?

R . 【点评】不等式的求解除了用分类讨论法外，还可以利用绝对值的几何意义——数轴来求解；后者有时用起来会事半功倍.体现考纲中要求会用绝对值的几何意义求解常见的绝对值不等式.来年需要注意绝对值不等式公式,a b a b a b a c c b +≤+-≤-+-的转化应用.

15. (1)2cos ρθ=【解析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化及转化与化归的数

学思想.

由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式cos ,

sin ,

x y ρθρθ=??

=?得

22222cos x y x ρρθ+-=-

0=,又0ρ>,所以2cos ρθ=.

【点评】公式cos ,sin x y ρθρθ==是极坐标与直角坐标的互化的有力武器.体现考纲中要求能进行坐标与直角坐标的互化.来年需要注意参数方程与直角坐标的互化,极坐标与直角坐标的互化等.

16.

【解析】设PO 交圆O 于C,D,如图,设圆的半径为R,由割线定理知

,1(12)(3-)(3),PA PB PC PD r r r ?=??+=+∴=即

【点评】本题考查切割线定理,考查数形结合思想,由切割线定理知PA PB PC PD ?=?,从而求得圆的半径.

17. 【答案】14x

x ?

?>???

?

【解析】令()2121f x x x =+--,则由()f x 13,()2141,(1)23,(1)x x x x ?

-<-??

?

=--≤≤??

>???

得()f x 0>的

解集为14x x ??>

????

. P

O

【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值,转化为代数不等式(组).

18. 【答案】

32

【解析】曲线1C :1,12x t y t

=+??

=-?直角坐标方程为32y x =-,与x 轴交点为3

(,0)2;

曲线2C :sin ,3cos x a y θθ

=??=?直角坐标方程为22

219x y a +

=,其与x 轴交点为(,0),(,0)a a -, 由0a >,曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在X 轴上,知3

2

a =

. 【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程,考查等价转化的思想方法等.曲线

1C 与曲线2C 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程,找出与x 轴交点,即可求得.

19.考点分析:本题考察平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点.

解析:π

4θ=

在直角坐标系下的一般方程为)(R x x y ∈=,将参数方程2

1,(1)x t y t =+??=-?

(t 为参数)转化为直角坐标系下的一般方程为2

2

2

)2()11()1(-=--=-=x x t y 表示一条抛物线,联立上面两个方程消去y 有0452

=+-x x ,设B A 、两点及其中点P 的横坐标分别为0x x x B A 、、,则有韦达定理2

5

20=+=

B A x x x ,又由于点P 点在直线x y =上,因此AB 的中点)2

5

,25(P .

20.考点分析:本题考察直线与圆的位置关系

解析:(由于,CD OD ⊥因此22OD OC CD -=,线段OC 长为定值, 即需求解线段OD 长度的最小值,根据弦中点到圆心的距离最短,此 时D 为AB 的中点,点C 与点B 重合,因此2||2

1

||==

AB CD .

21.解析连接OA ,则60AOC ∠=?,90OAP ∠=?,因为1OA =,所以PA .

22.解析:()1,1.法1:曲线1C 的普通方程是2y x =(0y ≥),曲线2C 的普通方程是22

2x y +=,

联立解得1

1x y =??=?

,所以交点坐标为()1,1.

法2:联立

t θθ

?=?,可得2

2sin

θθ=,即22cos 20θθ-=,解得

cos θ=

cos θ=舍去),

所以1

1t =??=,交点坐标为()1,1. 23.解析:1,2

??-∞- ??

?

.2x x +-的几何意义是x 到2-的距离与x 到0的距离的差,画出数轴,先找出临界“21x x +-=的解为12x =-”,然后可得解集为1,2?

?-∞- ??

?.

24. 【答案】2

【解析】直线转化为1x y +=,曲线转化为圆22

9x y +=,将题目所给的直线和圆图形作出,易知有两个交点.

【考点定位】 本题考查直线和圆的位置关系,而且直线和圆是以参数方程的形式给出的,学生平时对消参并不陌生的话,此题应该是比较容易的.

25.

圆22

4sin (2)4x y ρθ=?+-=的圆心(0,2)C

直线:()06

l R x π

θρ=

∈?=;点C 到直线l

=

三、解答题

26. 【解析】(1)当3a =-时,()3323f x x x ≥?-+-≥

2323x x x ≤???

-+-≥?或23323x x x <

??-+-≥? 1x ?≤或4x ≥

(2)原命题()4f x x ?≤-在[1,2]上恒成立

24x a x x ?++-≤-在[1,2]上恒成立 22x a x ?--≤≤-在[1,2]上恒成立 30a ?-≤≤

27. 【解析】(1)点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,

),(2,

),(2,),(2,)3

636

π

πππ

点,,,A B C D

的直角坐标为1,1)--

(2)设00(,)P x y ;则002cos ()3sin x y ?

??

=??

=?为参数

2

2

2

2

224440t PA PB PC PD x y =+++=++ 25620sin [56,76]?=+∈

28. 【解析】(1)//CF AB ,//////DF BC CF BD AD CD BF ??=

//CF AB AF BC BC CD ?=?= (2)//BC GF BG FC BD ?==

//BC GF GDE BGD DBC BDC ?∠=∠=∠=∠?BCD GBD ??

29. 【答案及解析】

【点评】本题主要考查分段函数、不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用,考查分类讨论思想在解题中的灵活运用,第(Ⅰ)问,要真对a 的取值情况进行讨论,第(Ⅱ)问要真对)2

(2)(x f x f -的正负进行讨论从而用分段函数表示,进而求出k 的取值范围.本题属于中档题,难度适中.平时复习中,要切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用.

30. 【答案及解析】

【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的极坐标方程、普通方程与参数方程的互化、

极坐标系的组成.本题要注意圆22

1:4C x y +=的圆心为)0,0(半径为21=r ,圆

222:(2)4C x y -+=的圆心为)0,2(半径为22=r ,从而写出它们的极坐标方程;对于

两圆的公共弦,可以先求出其代数形式,然后化成参数形式,也可以直接根据直线的参数形式写出.对于极坐标和参数方程的考查,主要集中在常见曲线的考查上,题目以中低档题为主.

31. 【答案及解析】

【点评】本题主要考查圆的基本性质,等弧所对的圆周角相等,同时结合三角形相似这一知识点考查.本题属于选讲部分,涉及到圆的性质的运用,考查的主要思想方法为等量代换法,属于中低档题,难度较小,从这几年的选讲部分命题趋势看,考查圆的基本性质的题目居多,在练习时,要有所侧重.

32. 【答案】证明:∵()()3||=|3|=|22|22y y x y x y x y x y ++-≤++-,

由题设11|||2|36x y x y +<

-<，，

∴1153||=366y <+.∴5

||18

y <. 【考点】绝对值不等式的基本知识. 【解析】根据绝对值不等式的性质求证.

33. 【答案】解:∵圆C 圆心为直线sin 3ρθπ??-

= ??

?

与极轴的交点,

∴在sin 3ρθπ?

?-= ???

中令=0θ,得1ρ=.

∴圆C 的圆心坐标为(1,0).

∵圆C 经过点(

)

4

P

π

，,∴圆C 的半径为PC =

.

∴圆C 经过极点.∴圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ. 【考点】直线和圆的极坐标方程.

【解析】根据圆C

圆心为直线sin 3ρθπ?

?-= ???

与极轴的交点求出的圆心坐标;根据圆

C 经过点(

)

4

P

π

，

求出圆C 的半径.从而得到圆C 的极坐标方程. 34. 【答案】解:∵1-A A =E ,∴()

1

1

--A =A .

∵1

13441122-??-??=????

-????

A ,∴()11 2 32 1--??=????A =A . ∴矩阵A 的特征多项式为()2

2 3==342 1 f λλλλλ--??--??--??

. 令()=0f λ,解得矩阵A 的特征值12=1=4λλ-，.

【考点】矩阵的运算,矩阵的特征值.

【解析】由矩阵A 的逆矩阵,根据定义可求出矩阵A ,从而求出矩阵A 的特征值. 35. 【答案】证明:连接AD .

∵AB 是圆O 的直径,∴090ADB ∠=(直径所对的圆周角是直角). ∴AD BD ⊥(垂直的定义).

又∵BD DC =,∴AD 是线段BC 的中垂线(线段的中垂线定义). ∴AB AC =(线段中垂线上的点到线段两端的距离相等). ∴B C ∠=∠(等腰三角形等边对等角的性质). 又∵,D E 为圆上位于AB 异侧的两点,

∴B E ∠=∠(同弧所对圆周角相等). ∴E C ∠=∠(等量代换).

【考点】圆周角定理,线段垂直平分线的判定和性质,等腰三角形的性质. 【解析】要证E C ∠=∠,就得找一个中间量代换,一方面考虑到B E ∠∠和是同弧所对圆周角,相等;另

一方面由AB 是圆O 的直径和BD DC =可知AD 是线段BC 的中垂线,从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到B C ∠=∠.从而得证.

本题还可连接OD ,利用三角形中位线来求证B C ∠=∠.

36. 【考点定位】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基本知识，考查运算求解能力，

考查化归与转化思想。

【解析】(1)∵(2)0,f x m x x +=-≥∴≤ｍ

0,,(2)0m m x m f x ∴≥-≤≤∴+≥的解集是[1,1]-

故1m =。 (2)由（1）知

111

1,,,23a b c R a b c

++=∈,由柯西不等式得 111

23(23)()23a b c a b c a b c ++++++

+29≥=。 37. 【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识,考查

运算求解能力,考查转化与化归的思想.

【解析】(Ⅰ)由题意知(2,0),(0,

3M N ,因为P 是线段MN 中点,

则(1,3

P , 因此PO 直角坐标方程为

:.y x =

(Ⅱ)因为直线l

上两点(2,0),M N ∴l 垂直平分线方程为

30y -=,圆心

(2,),半径2r =.

∴3

2

d r =

=

<,故直线l 和圆C 相交. 【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查转化化归思想.

38. 【考点定位】本题主要考查矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力,考查转化与化归

的思想.

解:(1)设曲线2

2

221x xy y ++=上任一点(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下的像是

(,)P x y ''',由01x x ax a b y y bx y '????????== ? ? ?

? ? ? ?'??+??????,得x ax

y bx y '=???'=+??,因为(,)P x y '''在圆221x y +=上,所以22()()1ax bx y ++=,化简可得2222()21a b x bxy y +++=

依题意可得2

2

()2,221,1a b b a b +==?==或1,1a b =-= 而由0a >可得1a b == (2)由(1)1011A ??= ???,2221

10101010||1,()11112121A A A -????????==?== ??? ? ?-????????