12-13(1)-12级-矩阵论试题与答案
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参考答案
一(15分)在3R 中的线性变换T 将基11=11α?? ? ? ?-??,20=21α?? ? ? ?-??,31=01α?? ? ? ?-??变为基11=10β?? ?
- ? ???,
20=11β?? ? ? ?-??,30=32β??
?
?
?-??
, (1)求线性变换T 在基123ααα,,下的表示矩阵A ; (2)求向量(1,2,3)T
ξ=及()T ξ在基123ααα,,下的坐标。 解:(1)由123123123(,,)(,,)(,,)T A βββαααααα==知:
1123123(,,)(,,)A αααβββ-=
1
101100212100111120113101113112111012112012011---??????????
? ? ??? ?=-=---=- ? ? ??? ? ? ? ??? ?--------??
????????
。 (2)设112323(,,)x x x ξααα?? ?= ? ???,则11
21233212110(,,)1012411239x x x αααξ-????????
? ??? ?==--=- ? ??? ? ? ??? ?----????????
()T ξ在基123ααα,,下的坐标:112233233213y x y A x y x ??????
? ? ?
==- ? ? ? ? ? ?-??????。
二(15分)已知301121101A ??
?
=-- ? ?-??
,
(1)求A 的最小多项式()m λ及At
e ;
(2)求微分方程组d ()
()d (0)(1,1,1)
T x t Ax t t x ?=?
??=?的解。
解:(1)
3(2)I A λλ-=-,A 的最小多项式2()(2)m λλ=-;
设()()()t
f e m
g a b λλλλλ==++,()t f te λλ'=,
由22(2)2(2)2t t f e a b f te ?==+??'==??得:22(12)t
t a te b t e ?=??=-??,210101At t t t e aA bI e t t t t +?? ?=+=-- ? ?
--??; (2)2012()1212At t t x t e x e t t +??
?==- ? ?-??
。
三(15分)设0.10.70.30.6A ??
=
???
,
(1)计算1A ,A ∞,F
A
;
(2)判断矩阵幂级数
k
k A
∞
=∑是否收敛,若收敛,求其和。
解:(1)1 1.3A =,0.9A ∞=
,F
A
=
(2)因为0.91A ∞=<,所以,矩阵幂级数
k
k A
∞
=∑是收敛,且
10
0.40.71()0.30.90.15k k A I A ∞
-=??
=-=
???
∑。 四(15分)已知101001111011A b ???? ? ?
== ? ? ? ?????
,
, (1)利用A 的满秩分解求广义逆矩阵+
A ;
(2)求无解方程组AX b =的最小二乘解以及极小范数最小二乘解。
解:(1)101101010110101110110A BC ??????
? ?=== ? ? ??
? ? ?????
112221()()1416121H H H H A C CC B B B +---??
?
==-- ? ???
(2)解法方程组T
T
A AX A b =:
1101
20212()0111011121320000T T A A A b ?
? ?
??
? ?=→ ? ? ? ??? ?
??
,
最小二乘解:1121110X k ?? ?-?? ? ?=-+ ? ? ? ??? ?
??,极小范数最小二乘解:01212LS X A b +
??
? ? ?== ? ? ???
五(10分)设A 是主对角元全为零的上三角矩阵,利用Jordan 分解定理证明:存在正整数k ,使得0k
A =。
证:因A 的特征值全为零,所以存在可逆矩阵P ,使得
1
2
1m J J P AP J -??
?
?= ? ??
?,其中010,1,2,,10i i
i
n n
J i m ???
?
?== ? ??
?。
设J 中Jordan 块的最大阶数位k ,则有0,1,2,
,k
i J i m ==,从而,
11120k k
k k k m J J A PJ P P P J --??
?
?=== ? ? ??
?
。
六(10分)设T 为n 维欧式空间V 中的线性变换,且对内积满足:,,(,)(,)x y V Tx y x Ty ?∈=-,试证:T 在标准正交基12,,n ααα,下的表示矩阵()ij n n A a ?=为反对称矩阵。
证:由1212(,,
,)(,,
,)n n T A αααααα=得
1122i i i ni n T a a a αααα=+++ 1122j j j nj n T a a a αααα=++
+
则 1122(,)(,)i j i i ni n j ji T a a a a αααααα=++
+=
1122(,)(,)i j i j j nj n ij T a a a a αααααα=++
+=
由(,)(,)i j i j T T αααα=-知:ij ji a a =-,即T A A =-,所以,A 为反对称矩阵。 七(10分)设A 是n 阶方阵,A 的特征多项式为(),0n I A a a λλ-=-≠,
(1)证明矩阵()nA trA I -是不可逆的;
(2)证明A 是可逆的,并求1
A -(用A 的多项式表示)。 证:(1)由
(),0n I A a a λλ-=-≠知:A 的n 个特征值0a λ=≠,trA na =且0aI A -=,
所以,()()0n
nA trA I n A aI n A aI -=-=-=,从而,矩阵()nA trA I -是不可逆的。 (2)12=0n n A a λλλ??
=≠,所以,A 是可逆的。由Hamilton-Cayley 定理知,
()()0n f A A aI =-= 即
11222
111
()(1)(1)0n n n n n n n n n n n n A aI A C aA C a A C a A a I ------=-+-
+-+-=
故, 11
112223
111
(1)[(1)]n n n n n n n n n n n
A A C aA C a A C a I a
---------=-+-+-。
八(10分),设n 阶正规矩阵A 的所有非零特征值为12,r λλλ,,, 证明:A 的正奇异值为,1,2,i i i r σλ=
=。
证:因为正规矩阵可酉相似对角化,所以存在酉矩阵U ,使得
10H
r
U AU λλ??
?
?
?= ?
?
??
? 及 10H H
r
U A U λλ??
? ?
?= ? ? ??
?
, 两式相乘有 212
0H H r
U A AU λλ?? ?
?
?= ? ? ? ??
?
, 可见H
A A 的正特征值为2
2
2
12,r λλλ,
,,故,A 的正奇异值,1,2,
i i i r σλ==。
2012矩阵论复习题
2012矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3.设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=,试证明S 是3R 的子空间,并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)( 1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=
2016矩阵论试题
第 1 页 共 6 页 (A 卷) 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题,违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式:闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷(A ) 适用专业:2016级硕士研究生 考试日期:2017.1.09 时间:120 分钟 共 8页 一、填空选择题(每小题3分,共30分) 1-5题为填空题: 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ,则1||||A =。 2. 设线性变换1T ,2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ,B ,则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3.在3R 中,基T )2,1,3(1--=α,T )1,1,1(2-=α,T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β, T )3,2,1(2=β,T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ,则 5432333A A A A A -++-= . 5.??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题: 6.设A 是正规矩阵,则下列说法不正确的是 ( ). (A) A 一定可以对角化; (B )?=H A A A 的特征值全为实数; (C) 若E AA H =,则 1=A ; (D )?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7.设矩阵A 的谱半径1)( 华北电力大学硕士研究生课程考试试题(A 卷) 2013~2014学年第一学期 课程编号:50920021 课程名称:矩阵论 年 级:2013 开课单位:数理系 命题教师: 考核方式:闭卷 考试时间:120分钟 试卷页数: 2页 特别注意:所有答案必须写在答题册上,答在试题纸上一律无效 一、判断题(每小题2分,共10分) 1. 方阵 A 的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。 见书52页,代数重数指特征多项式中特征值的重数,几何重数指不变子空间的维数,前者加起来为n ,后者小于等于n 2. 设12,,,m αααL 是线性无关的向量,则12dim(span{,,,})m m ααα=L . 正确,线性无关的向量张成一组基 3.如果12,V V 是V 的线性子空间,则12V V ?也是V 的线性子空间. 错误,按照线性子空间的定义进行验证。 4. n 阶λ-矩阵()A λ是可逆的充分必要条件是 ()A λ的秩是n . 见书60页,需要要求矩阵的行列式是一个非零的数 5. n 阶实矩阵A 是单纯矩阵的充分且必要条件是A 的最小多项式没有重根. 二、填空题(每小题3分,共27分) (6)210021,003A ?? ?= ? ???则A e 的Jordan 标准型为223e 1 00e 0 ,00 e ?? ? ? ?? ?。 首先写出A e 然后对于若当标准型要求非对角元部分为1. (7)301002030λλλ-?? ?+ ? ?-??的Smith 标准型为10003000(3)(2)λλλ?? ?- ? ?-+?? 见书61-63页,将矩阵做变换即得 南京航空航天大学2012级硕士研究生 二、(20分)设三阶矩阵,,. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形; A (2) 利用矩阵的知识,判断矩阵和是否相似,并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页 第 4 页 三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解; A (2) 求广义逆矩阵; +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页 第 5 页 武汉理工大学研究生考试试题(2010) 课程 矩阵论 (共6题,答题时不必抄题,标明题目序号) 一,填空题(15分) 1、已知矩阵A 的初级因子为223 ,(1),,(1)λλ-λλ-,则其最小多项式为 2、设线性变换T 在基123,,εεε的矩阵为A ,由基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为P ,向量β在基123,,εεε下的坐标为x ,则像()T β在基123,,ααα下的坐标 3、已知矩阵123411102101,,,00113311A A A A -????????==== ? ? ? ?--???????? ,则由这四个矩阵所生成的子空间的维数为 4、已知0100001000011 000A ?? ? ?= ? ???,则1068A A A -+= 5、已知向量(1,2,0,)T i α=--,21i =-,则其范数 1α= ;2α= ;∞α= ; 二,(20)设1112112121220a a V A a a a a ??????==-=?? ?????? ?为22?R 的子集合, 1、证明:V 是22?R 的线性子空间; 2、求V 的维数与一组基; 3、对于任意的1112111221222122,a a b b A B a a b b ????== ? ????? V ∈,定义 2222212112121111234),(b a b a b a b a B A +++= 证明:),(B A 是V 的一个内积; 4、求V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。 三、(15分)设{} 23210[](),0,1,2i F t f t a t a t a a R i ==++∈=为所有次数小于3的实系数 多项式所成的线性空间,对于任意的22103()[]f t a t a t a F t =++∈,定义: 习题二 1.化下列矩阵为Smith 标准型: (1)222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; (2)2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; (3)2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解:(1)对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? , 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ; (2)矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为 2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??; (3)对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中,可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子: (1) 21 0021002λλλ--????--????-??; (2)100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ; 2017—2018学年第一学期《矩阵论》试卷 (17级专业硕士) 专业 学号 姓名 得分 一.判断题(每小题3分,共15分) 1.线性空间V 上的线性变换A 是可逆的当且仅当零的原像是零, 即ker A =0。( ) 2.实数域上的全体n 阶可逆矩阵按通常的加法与数乘构成一个 线性空间。( ) 3.设A 是n 阶方阵,则k A ),2,1( =k 当∞→k 时收敛的充分 必要条件是A 的谱半径1)( 4. 设1][-n x P 是数域K 上次数不超过1-n 的多项式空间,求导算子D 在基12,,,,1-n x x x 以及基12)! 1(1,,!21, ,1--n x n x x 下的矩阵分别为 , 。 5.设A 是复数域上的正规矩阵,则A 满足: ,并 写出常用的三类正规矩阵 。 三.计算题(每小题12分,共48分) 1.在3R 中,试用镜像变换(Householder 变换)将向量T )2,2,1(-=α 变为与T e )1,0,0(3=同方向的向量,写出变换矩阵。 。 习题三 1.证明下列问题: (1)若矩阵序列{}m A 收敛于A ,则{}T m A 收敛于T A ,{} m A 收敛于A ; (2)若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛,则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明:(1)设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1 =m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(,,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ,即对任意的n j i ,,2,1, =,有 ij m ij m a a =∞ →) (lim , 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ,ij m ij m a a =∞ →)(lim ,n j i ,,2,1, =, 故{} T m A 收敛于T A ,{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ,,,,21m S S S , 其中m m m A c A c c S +++= 10. 若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛,设其和为S ,即 S A c m m m =∑∞ =0 ,或S S m m =∞ →lim , 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ,故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛,且其和为T S , 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ,且{} 1-m A ,1 -A 都存在,证明: (1)A A m m =∞ →lim ;(2){}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明:设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ,即对任意的n j i ,,2,1, =,有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ,有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1 =, 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1) ()1(lim τ = ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1(τ , 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121) ()(2)(1)()1(τ,硕士研究生课程考试试题矩阵论答案
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