综述圆方程的寻求穕
三点求圆方程简单解法
三点求圆方程简单解法
三点求圆方程的一般步骤如下:
1. 已知三个点 A、B、C，要求圆心 O 与点 A、B、C 都在同一
条直线上的圆方程。
2. 圆的方程可以用以下两种方法表示:
(1) 圆心到任意一点的距离等于半径的圆方程：
x - x_0 = d y - y_0 = d
其中，(x_0, y_0) 是圆心 O 的坐标，d 是圆心到任意一点的距离。
(2) 通过三个点确定的圆方程：
x^2 + y^2 = r^2
其中，r 是圆的半径，(x_0, y_0) 是圆心 O 的坐标。
3. 对于情况 1，可以利用已知三个点中的任意两个点，用上述
圆方程求解圆心 O 的坐标，进而求出圆的方程。
4. 对于情况 2，可以通过已知三个点中任意两个点，用上述圆
方程求解圆心 O 的坐标，然后利用第三个点确定圆的位置。
5. 如果已知三个点中有两个点在同一条直线上，可以利用该直
线上的任意一点和已知的第三个点确定圆的位置，进而求出圆的方程。
推导圆的常见方程式
推导圆的常见方程式圆是几何中非常基础的图形之一，在许多应用领域都有广泛的应用，因此圆的常见方程式是一个非常基础和重要的数学问题。
在本文中，我们将探讨如何推导出圆的常见方程式。
圆的定义是一个平面上所有周围距离相等的点的集合。
其中心是一个特定的点，距离是半径。
我们可以通过手动绘制圆来推导出圆的常见方程式。
假设我们有一个圆心为$（a，b）$，半径为$ r$的圆。
我们可以用坐标系来绘制圆。
以坐标系的原点为圆心，半径为$r$的圆，它的数学表达式为：$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$这就是圆的常见方程式。
感谢勾股定理，我们可以发现圆的方程式基本上就是勾股定理的平方和形式，x的坐标与$（a，b）$的距离可表示为$ (x-a) $ ,y的坐标与$（a，b）$的距离可表示为$（y-b）$。
我们可以平方两边得到上述方程式。
现在，假设我们已经知道了圆的半径r和圆心坐标$（a，b）$，我们想要在坐标系中绘制它。
我们可以通过绘制一系列点来完成。
为了简化问题，我们可以将圆上的点分为$x$和$y$坐标的正值和负值。
假设我们希望在坐标系中绘制一个半径为$3$，圆心为$（1，2）$的圆。
我们可以将圆的方程式$（x-1）^2+（y-2）^2=9$转换为以下形式：$$（x-1）^2=9-（y-2）^2$$这可以简化我们的工作，因为我们可以按照以下步骤绘制圆：1. 令$y=5$。
这显示了圆上的所有点，其中$x$坐标大于$1$。
从$y=5$的点开始绘制，然后在向下移动坐标系时重复此操作。
在这种情况下，$y$的值应从$5$开始向下减小到$-1$。
2. 对于$y$的每个值，找到$x$的值。
从$(x-1)^2$的形式中，我们可以得到$x-1=\pm \sqrt{9-(y-2)^2}$。
由此我们可以求解$x=\pm \sqrt{9-(y-2)^2}+1$。
对于每个$y$值，我们将绘制坐标为$(x，y)$和$(2a-x，y)$的点。
这些点两两对称地分布在圆的两侧。
圆周的一般方程
圆周的一般方程圆是几何中的一种基本图形，它可以用许多不同的方式来描述，其中一种最基本的方式是使用圆的一般方程。
在本文中，我们将详细介绍如何使用该方程来描述一个圆。
第一步：了解圆的一般方程圆的一般方程通常写成这样：(x - a)² + (y - b)² = r²其中，a和b表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
该方程的意义是，对于所有在圆上的点，它们到圆心距离的平方再加起来，应该等于圆的半径的平方。
第二步：了解圆心和半径的概念圆心是圆的中心点，它到圆上的所有点的距离都应该相等。
半径是圆心到圆上任何点的距离。
圆的半径通常是一个固定的值，例如在(x - 2)² + (y + 3)² = 5² 中，r = 5。
第三步：使用圆心和半径来得出方程如果已知圆的半径和圆心坐标，那么可以很容易地使用圆的一般方程来表示该圆。
例如，如果圆的半径为5，圆心坐标为(2，-3)，则该圆的方程将是：(x - 2)² + (y + 3)² = 25通过该方程，我们可以求出圆上任意一点的坐标。
例如，如果要找到该圆上与x轴相交的点，则可以将y设为0，解出x的值。
同样地，如果要找到该圆上与y轴相交的点，则可以将x设为0，解出y的值。
第四步：实际应用圆的一般方程在实际应用中有许多用途。
例如，它可以用于计算圆的面积和周长，以及描述圆的形状和大小。
此外，在几何和物理学中，圆的一般方程还可以用来描述光学、声学和电学等领域中的现象。
总结圆的一般方程是描述圆形的一种基本方式，它通过圆心坐标和半径来定义一个圆。
使用该方程，我们可以计算圆的面积和周长，以及描述圆的形状和大小。
在实际应用中，圆的一般方程在许多领域中都有广泛的应用。
掌握这个基本概念将有助于加深对几何学和物理学的理解。
探究过两点的圆的方程的求法
探究过两点的圆的方程的求法
根据定义，由两点构成的圆可以由它们之间的直线连接起来，该直线与圆的圆
心相切。
因此，解决两点构成的圆的方程就是先求出圆心，然后再求出半径。
求两点构成的圆的圆心：
用(x1，y1)和(x2，y2)表示两个方程，圆心坐标就可以表示为(xc，yc)，则有：xc= (x1 + x2)/2；
yc= (y1 + y2)/2；
即，两个点的中点坐标就是所求的圆心坐标。
求两点构成的圆的半径：
用p1=(x1，y1)和p2=(x2，y2)表示两点，则半径：
r = √[(x1−x2)²+(y1−y2)²] ；
最终，得出两点构成的圆的方程：
(x-xc)²+(y-yc)²= r²;
可见，求两点构成的圆的方程，首先要求出圆心，然后再求出和两点之间的距离，就可以得到该圆的方程了。
圆的特殊方程推导
圆的特殊方程推导
圆的特殊方程是一种重要的数学概念，它可以用来描述圆形的几何特征。
圆的
特殊方程是一种二次方程，它可以用来描述圆形的几何特征，如圆心、半径等。
圆的特殊方程可以用一般形式表示为：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中a、b为圆心
的坐标，r为圆的半径。
圆的特殊方程可以用来求解圆的半径，只需要知道圆心的坐标和圆上任意一点
的坐标，就可以求出圆的半径。
求解圆的半径的具体步骤如下：
1. 用圆的特殊方程求出圆心的坐标a、b；
2. 用圆的特殊方程求出圆上任意一点的坐标x、y；
3. 将圆心的坐标a、b和圆上任意一点的坐标x、y代入圆的特殊方程，求出
圆的半径r；
4. 将求出的圆的半径r代入圆的特殊方程，验证求出的圆的半径r是否正确。
以上就是求解圆的特殊方程的具体步骤，只要按照上述步骤操作，就可以求出
圆的半径。
圆的特殊方程是一种重要的数学概念，它可以用来描述圆形的几何特征，也可
以用来求解圆的半径。
它的推导过程简单易懂，只要按照上述步骤操作，就可以求出圆的半径。
圆方程的推导过程
圆方程的推导过程
嘿，咱今儿就来讲讲圆方程的推导过程哈！你想想看，圆，那可是
个多么完美的图形啊！就像咱生活中那些美好的事物一样。
咱先从圆的定义说起吧。
圆不就是平面内到一个定点的距离等于定
长的点的集合嘛。
那这个定点呢，咱就叫它圆心，定长呢，就是半径啦！那咱咋把这个圆给用数学式子表示出来呢？
咱就设圆上任意一个点的坐标是(x,y)，圆心的坐标是(a,b)，半径是r。
那根据两点之间的距离公式，这个点到圆心的距离不就可以算出来嘛。
这个距离就得等于半径呀，这不就有了(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
你看，这圆方程不就出来啦！
这就好比是盖房子，圆心就是那根基，半径就是房子的大小，而这
个方程呢，就是把这房子给具体描述出来了。
你再想想，要是没有这个方程，咱咋能准确地知道一个圆的各种信
息呢？就像你不知道一个人的具体特征，那咋能找到这个人呀！这方
程就像是圆的身份证一样，独一无二地标识着它。
而且啊，这个圆方程用处可大了去了。
在数学里，那是解决各种问
题的得力助手。
在生活中呢，也有好多地方能看到它的影子。
比如说，设计个圆形的东西，那不得先知道它的方程嘛。
咱再回过头来看看这个推导过程，是不是挺神奇的呀？就这么简简
单单的几步，就把圆给完美地描述出来了。
这就是数学的魅力呀，看
似复杂的东西，用几个式子就能搞定。
总之，圆方程的推导过程虽然不复杂，但它的意义可是非常重大的。
咱可得好好记住它，说不定啥时候就能派上用场呢！这就是咱今天要
讲的圆方程的推导过程，你懂了不？。
三点坐标求圆的方程
三点坐标求圆的方程三点坐标求圆的方程是一道常见的数学问题，解决这个问题需要掌握一些基本的数学知识和技巧。
下面我将详细介绍如何通过三点坐标求圆的方程。
首先，我们需要了解圆的一般方程和圆的标准方程。
圆的一般方程是x²+y²+ax+by+c=0，其中a、b、c为常数，x、y为变量。
圆的标准方程是(x-h)²+(y-k)²=r²，其中(h,k)为圆心坐标，r为半径。
接下来，我们可以通过三点坐标求解圆的方程。
假设已知三个点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，我们可以通过以下步骤求解圆的方程：1. 求出两个中垂线的方程。
中垂线是连接两个点并且垂直于它们之间的线段。
我们可以通过求出两个点的中点和斜率来得到中垂线的方程。
假设点A(x1,y1)和点B(x2,y2)之间的中垂线方程为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
中点的坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)。
因此，我们可以通过以下公式求出斜率和截距：k = -(x2-x1)/(y2-y1)b = (y2+y1)/2 - k*(x2+x1)/2同样的，我们可以求出点B(x2,y2)和点C(x3,y3)之间的中垂线方程。
2. 求出两个中垂线的交点。
两个中垂线的交点就是圆心的坐标。
我们可以通过解方程组来求出交点的坐标。
假设两个中垂线的方程分别为y=k1x+b1和y=k2x+b2，它们的交点坐标为(x0,y0)。
我们可以通过以下公式求解：x0 = (b2-b1)/(k1-k2)y0 = k1*x0+b13. 求出圆的半径。
圆的半径可以通过任意一个点到圆心的距离来求解。
假设我们选择点A(x1,y1)作为圆上的一个点，圆心的坐标为(x0,y0)，则圆的半径r可以通过以下公式求解：r = sqrt((x1-x0)²+(y1-y0)²)4. 求出圆的方程。
我们已经知道了圆心的坐标和半径，因此可以通过圆的标准方程来求解圆的方程。
圆的方程的求法例析
例#! 已知 2(') 的三个顶点所对应的坐标为
()"&!"*!')"!!*!))!!"!*!则 2(') 的外接圆的
方程为
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复习
!"!!年!月 上半月!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!解法探究
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根据题目条件 中 圆 心 在 已 知 直 线 上可 设
出所求的圆的标准方程将已知圆上两点的坐标代入
圆的标准 方 程圆 心 代 入 已 知 的 直 线 方 程联 立 方 程
组进而确定对应的参数值得以求解圆的方程!
解析设所求圆的方程为)&"7*!*)%"H*!$N!! /)+"7*! * )""H*! $N!!
说条件更为广泛运算更为简单处理起来更加方便
快捷!圆 的 系 数 方 程 法 可 选 择 的 两 种 方 程都 可 以 达 到破解问题的目的!
$ 平面几何法
应用平面几何法求解圆的方程时!常用到圆的几
个性质%)#*直径所对的圆周角为直角&)!*圆心在任
意一弦的垂直平分线上&),*圆心在过切点且垂直于
")=! *>! "&4 &"*!通过待定系数法求出常数 =! >!4 的值!从而得以求解圆的方程!
例"!)!"#-年高考数学天津卷文科第#!题*在
平面直角坐 标 系 中!经 过 三 点 )"!"*!)#!#*!)!!"*的
解析几何：圆的方程
解析几何：圆的方程在解析几何中，我们经常遇到圆形。
圆是一个在平面上具有特定性质的图形，它由与圆心等距的点组成。
在数学中，我们可以通过方程来描述圆。
圆的一般方程形式为：(x - a)² + (y - b)² = r²其中，(a, b)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
根据圆的一般方程，我们可以推导出其他形式的圆的方程，包括标准方程、截距方程以及圆的参数方程。
一、标准方程标准方程是描述圆形最简洁的形式，形式如下：x² + y² + Dx + Ey + F = 0其中，D、E、F为实数，且D² + E² > 4F。
该方程描述的圆心坐标为(-D/2, -E/2)，半径为√(D² + E² - 4F)。
二、截距方程截距方程是描述圆形的另一种形式，形式如下：(x/a)² + (y/b)² = 1其中，a、b分别表示圆心到横轴和纵轴的截距，描述的是一个以坐标原点为圆心的圆。
三、参数方程参数方程是通过参数化描述圆形的方程，形式如下：x = a + r*cosθy = b + r*sinθ其中，(a, b)表示圆心坐标，r为半径，θ为参数角度。
四、圆的性质除了方程形式的描述，圆还具有一系列独特的性质。
1. 圆上任意两点与圆心的距离相等；2. 圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，直径长度为半径的两倍；3. 圆的内切圆与外接圆分别与圆相切于一个点；4. 圆的周长为2πr，面积为πr²。
五、实例分析以标准方程为例，假设有一个圆的方程为x² + y² - 6x - 4y + 9 = 0，我们可以通过比较方程与一般方程的系数来找出圆的相关信息。
将方程与一般方程形式对应，我们可以得到D = -6，E = -4，F = 9。
进一步计算得到圆心坐标为(3, 2)，半径为√(D² + E² - 4F) = √(36 + 16 - 36) = √16 = 4。
求圆的方程的常用方法
求圆的方程的常用方法石楼中学刘五儿1、直接法求经过两点，且圆心在直线上的圆的方程。
求经过点且和直线相切，并且圆心在直线上的圆的方程。
2待定系数法3、一个圆经过点P且和直线相切，并且圆心在直线上，求它的方程。
4、求经过点且和直线相切于点的圆的方程。
用求曲线的方法5、已知两个定点，动点P到O点的距离与它到A点的距离的比是，求动点P的轨迹。
圆系法6、已知两个圆，直线，求经过的交点且和l相切的圆的方程。
点圆法7、求与直线相切于点且半径为5的圆的方程。
近几年与圆有关的高考题1、（2004全国）由动点P向圆引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，，则动点P的轨迹方程为。
2、（2004上海）圆心在直线上的圆C与y轴交于两点，则圆C的方程为。
3、（2004天津）若为圆的弦的中点，则直线的方程是（）4、（2004浙江）点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为（）5、（2003全国）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P 处，并以20km/h的速度向西偏北45o 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？6、（2003上海）在以O为原点的直角坐标系中，点为?OAB 的直角顶点。
已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零。
求向量的坐标；求圆关于直线OB对称的圆的方程。
7、（2002全国/上海）已知圆和圆外一点，过P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是。
8、（2002全国）圆的圆心到直线的距离是。
9、（2001全国）过点且圆心在直线上的圆的方程是（）10、（1997全国）设圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分为两段圆弧，其弧长的比为3：1。
在满足（1）和（2）的所有圆中，求圆心到直线距离最小的圆的方程。
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综述圆方程的寻求方法
河北史彩玉
一、“标准方程”法
利用圆的圆心和半径这些几何特征，采用标准方程为：
222
()()xaybr
，进行求解圆方程的方法。
例1（2001年全国高考题）过点A（1，－1），B（－1，1），且圆心在直线x+y－2=0上的圆的方程是（）
A、22(3)(1)4xyB、
22
(3)(1)4xy
C、22(1)(1)4xyD、
22
(1)(1)4xy
【解】由于圆心在直线x+y－2=0上，故可设圆心坐标为：（a，2－a），半径为：r，圆方程为：
222()(2)xayar，根据圆过点A（1，－1），B（－1，1）得：222222(1)(21)(1)(21)raaraa，解得a=1，2
4r
。
故所求圆的方程为：
22
(1)(1)4xy
，选C。
例2求经过点A（－2，4），且与直线l：x+3y－26=0相切于点B（8，6）的圆的方程。
【解】设圆的方程为：
222()()xaybr，由|CA|=|CB|，CB⊥l，得112a，32b，1252r。圆方
程为：
22
113125
()()
222
xy
。
例3已知圆满足：①截y轴所得得弦长为2，②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1,在满足①②的所
有圆中,求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程。
【解】法1：设圆的方程为：
222
()()xaybr
，圆心P（a，b）到x、y轴的距离分别是|b||、|a|。
由题设知圆P截x轴所得的劣弧所对圆心角为90°，故圆P截x轴所得的弦长为2r，所以
22
2rb
，圆
P
截y轴所得的弦长为2，所以221ra，从而，2221ba；又因为P（a，b）到直线l：x－2y=0的距离为|2|5abd，
所以
2222222222
5|2|4442()21dabababababba
，当且仅当a=b时等号成立，此时
min
5
5
d
，
这时有221121ababba或11ab，由
22
2rb
得：22r，故所求圆的方程为：22(1)(1)2xy或
22
(1)(1)2xy
。
【点评】利用圆的几何性质找出a、b、r的关系是关键，求距离的最小值要选择适当的方法
二、“一般方程”法
利用圆的一般方程，将所求圆设成一般形式方程：
22
0xyDxEyF
，根据题中的已知条件进行求解
圆方程的方法。
例4（同例2题目）
【解】设所求圆的方程为：
22
0xyDxEyF
，则CB⊥l，A（－2，4），B（8，6）在圆上，所以
的方程组：222286860612()1382(2)(4)(2)(4)0DEFEDDEF，
整理得：242066100336DEFDEFDE，解得D=－11；E=3；F=－30。
故所求圆的方程为：
22
113300xyxy
。
【点评】分析方程中各个字母的含义，是应用好防城的关键。
三、“圆系”法
利用过两圆交点的圆方程，采用巧设方程，不求坐标的方法，简化运算。过两圆交点的圆系方程为：
2222
111222
()()0xyDxEyFxyDxEyF
。
例5已知两圆的方程
1C：224xy；2C：222440xyxy。直线l：x+2y=0，求经过圆1C、2
C
的
交点且和直线l相切的圆的方程。
【解】设所求圆的方程为：
2224xyxy22
(4)0xy
（k≠－1），整理得：
22
244(1)0111kxyxykkk，圆心为12
(,)
11kk
，圆心到直线的距离d等于半径得：
22
12
|12|
1244(1)
11
()()4
2111
5
k
kk
kkk
，解得：k=1，故所求圆的方程为：
22
20xyxy
。
例6求过直线2x+y+4=0和圆
22
2410xyxy
的交点，且面积最小的圆的方程。
【解】设过直线2x+y+4=0和圆
22
2410xyxy
交点的圆方程为：
22
241(24)0xyxyxy
，则
222
45
(1)()44
24
xy
。
要使圆的面积最小，必须半径r最小，
22
51816
445()
4255
r
r
11625
255
，当且仅当85时r最小。
所求圆的方程为：
22
1364
()()
555
xy
。
四、“对称”法
根据两圆成中心对称或成轴对称的特征求圆的方程。
例7已知圆C：
22
412390xyxy
和直线l：3x－4y+5=0，求圆C关于直线l对称的圆的方程。
【解】因为圆C的圆心为（－2，6），半径为1，易求得点（－2，6）关于直线l：3x－4y+5=0，的对称点
为：（4，－2），而对称圆的半径相同，故所求圆的方程为：
22
(4)(2)1xy
。
五、“直径”法
若
A
11(,)xy，B22(,)xy，直径为AB的圆方程是1212
()()()()0xxxxyyyy
，通常利用此方程进行求解时
通常称为“直径”法。
例8（同例6）求过直线2x+y+4=0和圆
22
2410xyxy
的交点，且面积最小的圆的方程。
【解】因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是依此二定点为直径端点的圆，于是解方程组
22
240
2410
xy
xyxy
，得交点坐标
112(,)55A、(3,2)B，利用圆的直径式方程112
()(3)()(2)0
55
xxyy
。
化简整理得：
22
1364
()()
555
xy
。