四川省遂宁市2019-2020学年高二数学上学期期末模拟试题理
学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)_2
学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）说明：1.书写整齐无大面积涂改且主观题基本完成的得5分2.书写有涂改或主观题未完成的，根据情况扣（1—5）分一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题有且只有一项是符合题目要求的.1.下列命题中为真命题的是( )A. 命题“若，则”的逆命题B. 命题“，则”的否命题C. 命题“若，则”的否命题D. 命题“若，则”的逆否命题【答案】A【解析】命题“若,则”的逆命题为“若,则”，所以为真命题；命题“若,则”的否命题为“若,则”，因为-2,但，所以为假命题；命题“若,则”的否命题为“若,则”，因为当时，所以为假命题；命题“若,则”为假命题，所以其逆否命题为假命题，因此选A2.若复数为纯虚数，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的除运算化简复数，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．【详解】复数纯虚数,则所以且所以故选：D【点睛】本题考查了复数代数形式的除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．3.已知命题；命题若，则，则下列为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以命题为真；命题为假，所以为真，选B.4.若抛物线：（）的焦点在直线上，则等于（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】根据题意，由抛物线的方程分析可得抛物线的焦点坐标为，将抛物线的焦点代入直线的方程，可得答案.【详解】由抛物线C的方程为（），其抛物线的焦点在轴的正半轴上，则焦点坐标为.又由抛物线的焦点在直线上，则有，解得.故选：C【点睛】本题考查抛物线的几何性质，注意分析抛物线的开口方向，进而确定抛物线的焦点坐标．属于基础题.5.若圆的半径为2，则点到原点的距离为（）A. 2B.C. 1D. 4【答案】A【解析】【分析】将圆的方程化为标准方程为：，结合条件和两点间的距离公式可得答案.【详解】由圆得,又圆的半径为2，则则点到原点的距离为：故选：A【点睛】本题考查圆的一般方程化为标准方程和两点间的距离，考查整体代换，属于基础题.6.“”是“直线与直线平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：两直线平行，则有，故为充分不必要条件.考点：两条直线的位置关系，充要条件.7.如图，已知双曲线E：，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E 上，若，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由的长求出，由通径公式以及的长得到，再由，联立方程求出，即可得到双曲线的离心率.【详解】因为，所以.因为，所以.又，所以，解得或 (舍去)故该双曲线的离心率故选：B【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于基础题.8.若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出导函数，由于函数在区间单调递增，可得在区间上恒成立．解出即可．【详解】由函数，则 .函数在区间单调递增.所以在区间上恒成立.即在区间上恒成立.又当时，所以，即故选：C【点睛】本题考查已知函数的单调性求参数范围的问题,转化为恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．9.若函数，最小值为0，则的最大值为( )A. 0B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出,得出函数的单调区间,从而得到函数的最大值,可求出的值，从而得到答案.【详解】由函数,得当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增.所以函数在上单调递减,在上单调递增.所以当时,函数有最小值,解得.又.则，根据函数的单调性可得，在的最大值为：故选: D【点睛】本题考查利用函数导数求的单调区间，从而求函数的最值,属于基础题.10.已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析】由的图象分析在各区间的正负，从而得的增减性，即可区分出函数的图象.【详解】由的图象可知，当时，，是增函数，当时，，是减函数，4个图象中只有C满足条件，故选：C【点睛】本题主要考查了通过函数的导数的正负可以确定函数的增减，属于中档题.11.由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为t∈(0,1)，所以由，所以阴影部分的面积为=．考点：定积分．点评：在平常做题中，很多同学认为面积就是定积分，定积分就是面积．从而导致此题出错．实际上，我们是用定积分来求面积，但并不等于定积分就是面积．12.定义在R上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件有，从而得出函数在上为减函数，并可得出，这样根据不等式可得到，从而根据和对数函数的单调性即可得出不等式的解集，即得出原不等式的解集．【详解】设，则由，则，所以在上为减函数.又，则.由可得到,即所以,即.故选: B【点睛】考查函数导数符号和函数单调性的关系，以及构造函数解决问题的方法，以及根据函数单调性解不等式的方法，对数函数的单调性．属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13._________.【答案】π【解析】【详解】设y＝，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知dx的值等于半径为2的圆的面积的.∴dx＝×4π＝π，故答案为.14.已知函数在点处的切线方程为，则函数在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】【分析】根据函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线为由y=2x﹣1，可确定函数g（x）=x2+f（x）的切点坐标与斜率，从而可求切线方程．【详解】由题意，f（2）=2×2﹣1=3，∴g（2）=4+3=7∵g′（x）=2x+f′（x），f′（2）=2，∴g′（2）=2×2+2=6∴函数g（x）=x2+f（x）在点（2，g（2））处的切线方程为y ﹣7=6（x﹣2）即6x﹣y﹣5=0故答案为6x﹣y﹣5=0【点睛】(1)本题考查导数的几何意义，考查切线方程，确定切点坐标与斜率是关键．（2）函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是15.设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为________．【答案】15.【解析】【分析】利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可.【详解】由椭圆方程可得：a=5,b=4,c=3.∴F1(−3,0),F2(3,0)，如图所示，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a=10，∴|PM|+|PF1|=|PM|+2a−|PF2|=10+(|PM|−|PF2|)⩽10+|MF2|= =15，则|PM|+|PF1|的最大值为15.故答案为15.【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.关于的方程在区间上有两个不等实根，则实数的取值范围是__．【答案】【解析】分析：首先将方程转化，分离参数，化为，将问题转化为函数图像与直线的交点个数来解决，之后构造函数，求导，利用导数研究函数单调性，从而得到函数图像的大致走向以及相应的最值，最后求得结果.详解：关于的方程，即：，令函数，若方程在区间上有两个不等实根，即函数与在区间上有两个不同的交点，，令可得，当时，，函数是减函数，当时，，函数是增函数，所以函数的最小值为，，所以函数的最大值为，所以关于的方程在区间上有两个不等实根，则实数的取值范围是.点睛：该题考查的是有关方程的解的个数对应的参数的范围问题，该题转化为函数与在区间上有两个不同的交点，结合函数图像的走向以及最值求得结果，还可以将方程转化为，即曲线和直线在相应区间上有两个交点，也可以求得结果.三、解答题：（共6小题；共65分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）17.求下列函数的导数.（1）y＝；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用和与积的导数运算法则结合常见函数的导数可求出答案.（2）将函数的解析式通分变形为，再利用商的导数的求导法则可求出答案.【详解】（1）（2），所以.【点睛】本题考查导数的运算，灵活应用导数的运算公式是解本题的关键，属于基础题．18.已知指数函数在R上单调递减，关于x方程的两个实根均大于0.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围.【答案】.【解析】【分析】求出，a＞2，由“p或q”为真命题，“p且q为假命题，得p真q假，或p假q真，由此能求出实数a的取值范围．【详解】若真，则在R上单调递减.所以，即若真，令，则应满足，解得因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，所以p真q假或者p 假q真.①若p真q假，则所以.②若p假q真，则，所以综上，实数a的取值范围为.【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的单调性、一元二次方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴,建立极坐标系. 已知曲线的极坐标方程为，直线的方程为（为参数）.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；（Ⅱ）若曲线的参数方程为（为参数），曲线上点的极坐标为，为曲线上的动点，求的中点到直线距离的最大值.【答案】（1）.（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的互化公式转化，直线过定点，斜率是，写出直线方程；（Ⅱ）点，得到中点坐标，代入点到直线的距离公式求最大值.试题解析：解: (1) 由.（2）直角坐标为，，，从而最大值为20.设，其中，曲线在点处的切线与y轴相交于点.（1）确定a的值；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）；（2）增区间是，减区间是.【解析】【分析】（1）先由所给函数的表达式，求导数，再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线在点处的切线与轴相交于点列出方程求的值即可；（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到函数的单调区间．【详解】(1)因为，所以令，得，所以曲线在点处的切线方程为，由点在切线上，可得，解得.(2)由(1)知，，.令，解得或.当或时，；当时，，故函数的单调递增区间是，单调递减区间是.【点睛】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．21.已知椭圆C：（）过点，短轴一个端点到右焦点的距离为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设过定点的直线1与椭圆交于不同的两点A，B，若坐标原点O在以线段AB为直径的圆上，求直线l的斜率k．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）通过短轴的一个端点到右焦点的距离为2可知，且椭圆过点，得到方程组，解得；（2）设直线方程为，通过以线段为直径的圆过坐标原点可知，通过联立直线与椭圆方程、利用韦达定理化简，进而计算可得结论；【详解】解：（1）由题意可得，解得：，，椭圆的方程为；（2）由题意知，直线的斜率存在，设过的直线方程为，联立，消去、整理得：，因为直线与椭圆有两个交点，解得或设，，，，则，以线段为直径的圆过坐标原点，，即，，即，解得：满足条件，故【点睛】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22.已知函数，.（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）若实数为整数，且对任意的时，都有恒成立，求实数的最小值.【答案】（Ⅰ）极大值为，无极小值；（Ⅱ）1.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号讨论原函数的单调性，从而可确定函数的极值；(Ⅱ)结合题意分离参数，然后构造新函数，研究构造的函数，结合零点存在定理找到隐零点的范围，最后利用函数值的范围即可确定整数m的最小值.【详解】(Ⅰ)设，∴，令，则；，则；∴在上单调递增，上单调递减，∴，无极小值.(Ⅱ)由，即在上恒成立，∴在上恒成立，设，则，显然，设，则，故在上单调递减由，，由零点定理得，使得，即且时，，则，时，. 则∴在上单调递增，在上单调递减∴，又由，，则∴由恒成立，且为整数，可得的最小值为1.【点睛】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，隐零点问题及其处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）说明：1.书写整齐无大面积涂改且主观题基本完成的得5分2.书写有涂改或主观题未完成的，根据情况扣（1—5）分一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题有且只有一项是符合题目要求的.1.下列命题中为真命题的是( )A. 命题“若，则”的逆命题B. 命题“，则”的否命题C. 命题“若，则”的否命题D. 命题“若，则”的逆否命题【答案】A【解析】命题“若,则”的逆命题为“若,则”，所以为真命题；命题“若,则”的否命题为“若,则”，因为-2,但，所以为假命题；命题“若,则”的否命题为“若,则”，因为当时，所以为假命题；命题“若,则”为假命题，所以其逆否命题为假命题，因此选A2.若复数为纯虚数，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的除运算化简复数，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．【详解】复数纯虚数,则所以且所以【点睛】本题考查了复数代数形式的除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．3.已知命题；命题若，则，则下列为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以命题为真；命题为假，所以为真，选B.4.若抛物线：（）的焦点在直线上，则等于（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】根据题意，由抛物线的方程分析可得抛物线的焦点坐标为，将抛物线的焦点代入直线的方程，可得答案.【详解】由抛物线C的方程为（），其抛物线的焦点在轴的正半轴上，则焦点坐标为.又由抛物线的焦点在直线上，则有，解得.故选：C【点睛】本题考查抛物线的几何性质，注意分析抛物线的开口方向，进而确定抛物线的焦点坐标．属于基础题.5.若圆的半径为2，则点到原点的距离为（）A. 2B.C. 1D. 4【答案】A【解析】将圆的方程化为标准方程为：，结合条件和两点间的距离公式可得答案.【详解】由圆得,又圆的半径为2，则则点到原点的距离为：故选：A【点睛】本题考查圆的一般方程化为标准方程和两点间的距离，考查整体代换，属于基础题.6.“”是“直线与直线平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：两直线平行，则有，故为充分不必要条件.考点：两条直线的位置关系，充要条件.7.如图，已知双曲线E：，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由的长求出，由通径公式以及的长得到，再由，联立方程求出，即可得到双曲线的离心率.【详解】因为，所以.因为，所以.又，所以，解得或 (舍去)故该双曲线的离心率故选：B【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于基础题.8.若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出导函数，由于函数在区间单调递增，可得在区间上恒成立．解出即可．【详解】由函数，则 .函数在区间单调递增.所以在区间上恒成立.即在区间上恒成立.又当时，所以，即故选：C【点睛】本题考查已知函数的单调性求参数范围的问题,转化为恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．9.若函数，最小值为0，则的最大值为( )A. 0B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出,得出函数的单调区间,从而得到函数的最大值,可求出的值，从而得到答案.【详解】由函数,得当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增.所以函数在上单调递减,在上单调递增.所以当时,函数有最小值,解得.又.则，根据函数的单调性可得，在的最大值为：故选: D【点睛】本题考查利用函数导数求的单调区间，从而求函数的最值,属于基础题.10.已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析】由的图象分析在各区间的正负，从而得的增减性，即可区分出函数的图象.【详解】由的图象可知，当时，，是增函数，当时，，是减函数，4个图象中只有C满足条件，故选：C【点睛】本题主要考查了通过函数的导数的正负可以确定函数的增减，属于中档题.11.由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为t∈(0,1)，所以由，所以阴影部分的面积为=．考点：定积分．点评：在平常做题中，很多同学认为面积就是定积分，定积分就是面积．从而导致此题出错．实际上，我们是用定积分来求面积，但并不等于定积分就是面积．12.定义在R上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件有，从而得出函数在上为减函数，并可得出，这样根据不等式可得到，从而根据和对数函数的单调性即可得出不等式的解集，即得出原不等式的解集．【详解】设，则由，则，所以在上为减函数.又，则.由可得到,即所以,即.故选: B【点睛】考查函数导数符号和函数单调性的关系，以及构造函数解决问题的方法，以及根据函数单调性解不等式的方法，对数函数的单调性．属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13._________.【答案】π【解析】【详解】设y＝，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知dx的值等于半径为2的圆的面积的.∴dx＝×4π＝π，故答案为.14.已知函数在点处的切线方程为，则函数在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】【分析】根据函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线为由y=2x﹣1，可确定函数g（x）=x2+f（x）的切点坐标与斜率，从而可求切线方程．【详解】由题意，f（2）=2×2﹣1=3，∴g（2）=4+3=7∵g′（x）=2x+f′（x），f′（2）=2，∴g′（2）=2×2+2=6∴函数g（x）=x2+f（x）在点（2，g（2））处的切线方程为y﹣7=6（x﹣2）即6x﹣y﹣5=0故答案为6x﹣y﹣5=0【点睛】(1)本题考查导数的几何意义，考查切线方程，确定切点坐标与斜率是关键．（2）函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是15.设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为________．【答案】15.【解析】【分析】利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可.【详解】由椭圆方程可得：a=5,b=4,c=3.∴F1(−3,0),F2(3,0)，如图所示，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a=10，∴|PM|+|PF1|=|PM|+2a−|PF2|=10+(|PM|−|PF2|)⩽10+|MF2|==15，则|PM|+|PF1|的最大值为15.故答案为15.【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.关于的方程在区间上有两个不等实根，则实数的取值范围是__．【答案】【解析】分析：首先将方程转化，分离参数，化为，将问题转化为函数图像与直线的交点个数来解决，之后构造函数，求导，利用导数研究函数单调性，从而得到函数图像的大致走向以及相应的最值，最后求得结果.详解：关于的方程，即：，令函数，若方程在区间上有两个不等实根，即函数与在区间上有两个不同的交点，，令可得，当时，，函数是减函数，当时，，函数是增函数，所以函数的最小值为，，所以函数的最大值为，所以关于的方程在区间上有两个不等实根，则实数的取值范围是.点睛：该题考查的是有关方程的解的个数对应的参数的范围问题，该题转化为函数与在区间上有两个不同的交点，结合函数图像的走向以及最值求得结果，还可以将方程转化为，即曲线和直线在相应区间上有两个交点，也可以求得结果.三、解答题：（共6小题；共65分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）17.求下列函数的导数.（1）y＝；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用和与积的导数运算法则结合常见函数的导数可求出答案.（2）将函数的解析式通分变形为，再利用商的导数的求导法则可求出答案.【详解】（1）（2），所以.【点睛】本题考查导数的运算，灵活应用导数的运算公式是解本题的关键，属于基础题．18.已知指数函数在R上单调递减，关于x方程的两个实根均大于0.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围.【答案】.【解析】【分析】求出，a＞2，由“p或q”为真命题，“p且q为假命题，得p真q假，或p假q 真，由此能求出实数a的取值范围．【详解】若真，则在R上单调递减.所以，即若真，令，则应满足，解得因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，所以p真q假或者p假q真.①若p真q假，则所以.②若p假q真，则，所以综上，实数a的取值范围为.【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的单调性、一元二次方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴,建立极坐标系. 已知曲线的极坐标方程为，直线的方程为（为参数）.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；（Ⅱ）若曲线的参数方程为（为参数），曲线上点的极坐标为，为曲线上的动点，求的中点到直线距离的最大值.【答案】（1）.（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的互化公式转化，直线过定点，斜率是，写出直线方程；（Ⅱ）点，得到中点坐标，代入点到直线的距离公式求最大值.试题解析：解: (1) 由.（2）直角坐标为，，，从而最大值为20.设，其中，曲线在点处的切线与y轴相交于点.（1）确定a的值；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）；（2）增区间是，减区间是.【解析】【分析】（1）先由所给函数的表达式，求导数，再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线在点处的切线与轴相交于点列出方程求的值即可；（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到函数的单调区间．【详解】(1)因为，所以令，得，所以曲线在点处的切线方程为，由点在切线上，可得，解得.(2)由(1)知，，.令，解得或.当或时，；当时，，故函数的单调递增区间是，单调递减区间是.【点睛】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．21.已知椭圆C：（）过点，短轴一个端点到右焦点的距离为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设过定点的直线1与椭圆交于不同的两点A，B，若坐标原点O在以线段AB为直径的圆上，求直线l的斜率k．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）通过短轴的一个端点到右焦点的距离为2可知，且椭圆过点，得到方程组，解得；（2）设直线方程为，通过以线段为直径的圆过坐标原点可知，通过联立直线与椭圆方程、利用韦达定理化简，进而计算可得结论；【详解】解：（1）由题意可得，解得：，，椭圆的方程为；（2）由题意知，直线的斜率存在，设过的直线方程为，联立，消去、整理得：，因为直线与椭圆有两个交点，解得或设，，，，则，以线段为直径的圆过坐标原点，，即，，即，解得：满足条件，故【点睛】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22.已知函数，.（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）若实数为整数，且对任意的时，都有恒成立，求实数的最小值.【答案】（Ⅰ）极大值为，无极小值；（Ⅱ）1.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号讨论原函数的单调性，从而可确定函数的极值；(Ⅱ)结合题意分离参数，然后构造新函数，研究构造的函数，结合零点存在定理找到隐零点的范围，最后利用函数值的范围即可确定整数m的最小值.。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_3
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据分式不等式的解法和函数的定义域，求得集合或，，再利用集合的运算，即可求解．【详解】由题意，集合或，，则，所以，故选B．【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中利用分式不等式的解法和函数的定义域求得集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2.复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得复数，即可得到复数的模，得到答案．【详解】由题意，复数，解得，所以，故选D．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.已知平面内一条直线及平面，则“”是“”的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理和性质定理，以及充分条件和必要条件的判定方法，即可求解．【详解】由题意，根据直线与平面垂直的判定定理，可得由“”可证得“”，即充分性是成立的；反之由“”不一定得到“”，即必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选B．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记线面垂直的判定与性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．4.公比不为的等比数列中，若，则不可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质，得到，且，即可求解，得到答案．【详解】由，根据等比数列的性质，可得，且，所以可能值为或或，所以不可能的是6，故选B．【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的应用，其中熟记等比数列的性质是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．5.已知一组样本数据点，用最小二乘法求得其线性回归方程为.若的平均数为，则（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设这组样本数据中心点为，代入线性回归方程中求得，再求的值.【详解】解：设样本数据点的样本中心点为，则，代入线性回归方程中，得，则.故选：B.【点睛】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题.6.在平面直角坐标系中，已知，动点满足，则动点的轨迹方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，然后表示出向量的坐标，代入已知条件，整理后得到动点的轨迹方程.【详解】设，，，因为所以整理得故选A项.【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，属于简单题.7.已知二元一次不等式组表示的平面区域为，命题：点在区域内；命题：点在区域内. 则下列命题中，真命题是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二元一次不等式组，判定出命题为假命题，为真命题，再根据复合命题真值表，即可得到判定，得到答案．【详解】由二元一次不等式组，可得点不适合不等式，所以点不在不等式组表示的平面区域内，所以命题为假命题，则为真命题，又由点适合不等式组每个不等式，所以点在不等式组表示的平面区域内，所命题为真命题，由复合命题真值表可得，命题为真命题，故选C．【点睛】本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域，以及复合命题的真假判定，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．．8.已知的垂心为，且是的中点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将转化为，然后得到，再将和，用来表示，得到答案.【详解】因为为的垂心，所以，而，所以因为是的中点，所以【点睛】本题考查向量的互相表示，向量的数量积，属于简单题.9.圆上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】双曲线的一条渐近线为，圆，圆心，半径，根据题意，圆心到的距离的范围为，从而得到关系式，利用得到关系，从而得到离心率.【详解】双曲线的一条渐近线为，圆，圆心，半径因为圆上有且仅有两点到的距离为1，所以圆心到的距离的范围为即，而所以，即故选C项.【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离，双曲线的渐近线，求双曲线的离心率，属于中档题.10.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒．遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒．借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的值为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先执行程序，依次求出每次的输出结果，当输出结果为0时，求出此时的值，因此输入框里的输入的值是此时的值，从中选出正确的答案.【详解】模拟程序的运行，可得当时，，满足条件，执行循环体；当时，，满足条件，执行循环体；当时，，不满足条件，退出循环体，输出，所以，.所以本题答案为B.【点睛】本题考查了通过输出结果写出输入框中输入的值，正确按程序框图写出每次循环后的结果，是解题的关键.11.在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出的外接圆的半径，然后取的外接圆的圆心，过作，且，由于平面，故点为三棱锥的外接球的球心，为外接球半径，求解即可.【详解】在中，，，可得，则的外接圆的半径，取的外接圆的圆心，过作，且，因为平面，所以点为三棱锥的外接球的球心，则，即外接球半径，则三棱锥外接球的表面积为.故选C.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.12.已知实数，满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，，得，变形为，令，，求导求最值得,结合取等条件求出x,y即可【详解】设，，则，令，(m)=m<1,(m)>0,m>1,(m)<0,则在单调递增单调递减，令，则单调递减，单调递增由题意，，，，,故x+y=2故选A【点睛】本题考查导数与函数的综合，导数与函数的最值问题，换元思想，将题目转化为两个函数的最值问题是关键，是难题二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.展开式中的常数项为_________.【答案】【解析】【分析】写出二项式的通项，直接由x的指数为0求得r的值，再代入通项求得答案.【详解】由得到：故，得到因此：展开式中的常数项为故答案为：【点睛】本题考查了二项式展开式的系数，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14.已知的半衰期为年（是指经过年后,的残余量占原始量的一半）.设的原始量为,经过年后的残余量为,残余量与原始量的关系如下:,其中表示经过的时间,为一个常数.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时的残余量约占原始量的.请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今________年.（已知）【答案】2292【解析】由题意可知，当时，，解得.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时的残余量约占原始量的.所以，得,.15.已知为抛物线上的两个动点，且，抛物线的焦点为，则面积的最小值为_________.【答案】12【解析】【分析】由于，设，由，得到t,m 关系，利用均值不等式求得最大值，继而得解.【详解】设，且或（舍去）由于异号，不妨设则当且仅当：，即时等号成立.因此面积的最小值为16，此时因此直线OA倾斜角为，斜率为1.故点A就是直线y=x与抛物线的除原点外的另一个交点：故A（4，4），B（4，-4）因此故答案为：12【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线和抛物线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归，求解运算的能力，属于较难题.16.中，角所对应的边分别为，若边上的高等于，当最大时，_________.【答案】【解析】【分析】利用边上的高等于及面积公式得到：，又由余弦定理得到，即得解最大值，利用求解b,c比例关系，即得解.【详解】在中，边上的高等于，因此:由余弦定理：故的最大值为，当时成立.由于令故又故答案为：【点睛】本题考查了解三角形综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知等比数列的首项，前项和为，设，且数列为等比数列.（1）求，的通项公式；（2）若数列的前项和为，求的值.【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，由数列为等比数列，成等比数列，求解，得到，的首项和公比，即得解.（2）,乘公比错位相减法求和，代入计算即得解.【详解】（1）不妨设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式和求和公式得到：且：由于数列为等比数列，故：（2）。
四川省遂宁市第二中学2019-2020学年高二上学期期末考试试题 数学(文) 含答案
四川省遂宁市第二中学2019-2020学年高二上学期期末考试试题数学（文）第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．过点(1,1)且斜率不存在的直线方程为A ．1y =B ．1x =C ．y x =D ．1y x =+2．空间直角坐标系中A B 、两点坐标分别为(2,3,5)、(3,1,4)则A B 、两点间距离为 A ．2 B 56 D ．6 3．若方程2220x y a ++=表示圆，则实数a 的取值范围为 A ．0a < B ．0a = C ．0a ≤ D ．0a >4．直线1:30l ax y --=和直线2:(2)20l x a y +++=平行，则实数a 的值为 A ．3 B ．1- C ．2- D ．3或1-5．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1BD 所成的角为 A ．4π B ．3π C ．2π D ．6π6．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列四个命题为假命题的是 A ．若,//m n αα⊥，则m n ⊥；B ．若α⊥γ面，β⊥γ面，l αβ⋂=，则l ⊥γ面C ．若,//,//,//,//m n A m m n n αβαβ⋂=，则//αβ.D ．若α⊥β，a ⊂α，则a ⊥β7．若实数x y 、满足不等式组1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2Z x y =+的最小值为A ．0B ．1C 3．98．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被函数2sin8y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图)，其中阴影部分小圆的周长均为4π，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为A ．136B ．118C ．116 D ．189． 如图所示，1111ABCD A B C D -是长方体，O 是11B D 的中点，直线1A C 交平面11AB D 于点M ，则下列结论正确的是A ．,,A M O 三点共线B ．1,,,A M O A 不共面C ．,,,A M C O 不共面D ．1,,,B B O M 共面10．若直线1:1l y kx k =-+与直线2l 关于点(3,3)对称，则直线2l 一定过定点A ．(3,1)B ．2,1（）C ．5,5（）D ．(0,1) 11．已知长方形ABCD 的长AB 为8，宽AD 为6，沿对角线AC 折起，形成四面体D ABC -，则该四面体外接球的表面积为A ．25πB ．1256π C ．5003π D ．100π 12．坐标原点0,0O （）在动直线220mx ny m n +--=上的投影为点P ，若点Q （-1,-1)，那么PQ 的取值范围为A ．232⎡⎤⎣⎦， B ．22⎡⎤⎣⎦，2C ．2232⎡⎤⎣⎦， D ．2⎡⎤⎣⎦1，3第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020年高二上学期期末考试理科数学含答案.docx
2019-2020 年高二上学期期末考试理科数学含答案注意事项：1.答题前，请先将自己的姓名、考场、考号在卷首的相应位置填写清楚；2.选择题答案涂在答题卡上，非选择题用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接写在试卷上第Ⅰ卷（选择题共60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） .1．在ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别是 a,b, c ，且 a 3b sin A ，则 sin BA.3B. 6C.3D.63332．抛物线 yx 2 焦点坐标是A ． ( 1，0)B ． ( 1 ， 0)C ． (0,1 ) D ． (0, 1 )44443．“ x 1”是“ x 2x ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．椭圆x 2y 21与双曲线x 2y 2 1有相同的焦点，则 a 的值是4 aa21B ．1 或－ 2C ．1 或1 D ． 1A ．225．若 A (x,5x,2 x1) ， B (1,x 2, x) ，当 AB 取最小值时，x 的值为A ．6B ．3C ．2D ． 16．下列命题中为真命题的是①“若 x 2y 2 0 ，则 x, y 不全为零” 的否命题； ②“等腰三角形都相似” 的逆命题； ③“若m1，则不等式x 2 2x m 0 的解集为”的逆否命题。
RA ．①B ．①③C ．②③D ．①②③7. 设 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 成等比数列，其公比为2，则2a 1 a 2 的值为2a 3 a 4A ． 1B ．1112C ．D ．488．设 A 是△ ABC 中的最小角，且cos Aa 1 ，则实数 a 的取值范围是a 1A ． a ≥ 3B ． a ＞－ 1C ．－ 1＜ a ≤ 3D ． a ＞ 09．已知方程 ax 2by 2 ab 和ax by c 0(其中 ab0, a b, c 0) ，它们所表示的曲线可能是A ．B ．C ．D ．10. 在棱长为 1 的正方体 ABCD — A 1B 1C 1 D 1 中， M 和 N 分别为 A 1B 1 和 BB 1 的中点，那么直线AM 与 CN 所成角的余弦值是2 3 10 2 A ．B ．C ．D ．5510511. 正方体 ABCD - A 1 B 1C 1D 1 中， BB 1 与平面 ACD 1 所成角的余弦值为A ．23 2 63B ．C ．D ．33312. 椭圆 x2y 21上有两点 P 、Q ，O 为原点，若 OP 、 OQ 斜率之积为1 ，16 4422则 OPOQ为A . 4B. 20C. 64D. 不确定2011—2012 学年度上学期期末模块质量调研试题高二（理）数学2012. 1第II 卷综合题（共90 分）题号二17 18 19 202122总分得分二、填空题 ：（本大题共 4 小题，每小题13．已知命题 p : xR ， sin x 1 ，则4 分，共 16 分．把正确答案填在题中横线上）p ： ____________.x2y21的离心率为 3 ，则两条渐近线的方程为________________. 14．若双曲线2b2a15．等差数列{a n}的前 n 项和为 S n,且a4a2 8 ， a3 a526.记T n S n，如果存在正整2n，T n M 都成立.则M的最小值是n数 M，使得对一切正整数.x y 5 016．若不等式组y a表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是_______.0x2三、解答题：（本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12 分）在△ ABC 中，a,b, c分别为角 A，B， C所对的三边，a2(b c)2bc,（I）求角 A；（II）若b c 2，求 b 的值. sin B18．（本小题满分 12 分）设 { a} 是等差数列， {b } 是各项都为正数的等比数列，且a b 1 ， b1 b2a2，n n11b3是 a1与 a4的等差中项。
2020-2021学年四川省遂宁市高二(上)期末(理科)数学试卷 (解析版)
2020-2021学年四川省遂宁市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．经过点（0，3）且倾斜角为0°的直线方程为（）A．x＝3B．y＝3C．y＝x+3D．y＝2x+32．圆心为（﹣3，4），半径是2的圆标准方程为（）A．（x+3）2+（y﹣4）2＝4B．（x﹣3）2+（y+4）2＝4C．（x+3）2+（y﹣4）2＝2D．（x﹣3）2+（y+4）2＝23．若直线l1：ax+2y+6＝0与直线l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）＝0平行，则a的值为（）A．a＝1B．a＝2C．a＝﹣2D．a＝﹣14．下列茎叶图是两组学生五次作业得分情况，则下列说法正确的是（）A．甲组学生得分的平均数小于乙组选手的平均数B．甲组学生得分的中位数大于乙组选手的中位数C．甲组学生得分的中位数等于乙组选手的平均数D．甲组学生得分的方差大于乙组选手得分的方差5．设m，n是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题：①若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；②若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β；③若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ．其中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．③④D．①④6．某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈，决定从妈妈喜欢的白色、黄色和紫色中随机选择两种颜色的毛线编织，那么这条围巾是由白色、紫色两种颜色的毛线编织的概率是（）A．B．C．D．7．设x，y满足，则z＝x+y的最小值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．28．如图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（）A．B．C．12πD．9．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为126，则判断框内的条件可以为（）A．n≤5B．n≤6C．n≤7D．n≤810．已知直线的倾斜角为α，在长方ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AC1与平面BCC1B1所成的角为β，若α＝β，则该长方体的体积为（）A．B．2C．D．11．直线x+y﹣1＝0与直线x﹣2y﹣4＝0交于点P，则点P到直线kx﹣y+1+2k＝0（k∈R）的最大距离为（）A．B．2C．D．412．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1内切球的表面积为π，P是空间中任意一点：①若点P在线段AD1上运动，则始终有C1P⊥CB1；②若M是棱C1D1中点，则直线AM与CC1是相交直线；③若点P在线段AD1上运动，三棱锥D﹣BPC1体积为定值；④E为AD中点，过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为；⑤若点P在线段A1B上运动，则AP+PD1的最小值为．以上命题为真命题的个数为（）A．2B．3C．4D．5二、填空题（共4小题）.13．已知直线l1：x+y﹣2＝0，l2：2x+ay﹣3＝0，若l1⊥l2，则实数a＝．14．某班有学生50人，现将所有学生按1，2，3，…，50随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样），已知编号为4，a，24，b，44号学生在样本中，则a+b＝．15．在区间上任取一个数k，使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为．16．过圆M：（x+1）2+（y﹣1）2＝a2（a≠0）的圆心M作曲线N：x2+y2﹣2tx﹣2（t﹣2）y+2t2﹣4t+3＝0的切线，切点分别为P，Q，则|MP|•|MQ|的最小值为．三、解答题：共70分。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_42
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.命题“R，”的否定是（）A. R，B. R，C. R，D. R，【答案】A【解析】【分析】根据命题的否定规则进行判断【详解】命题“R，”的否定是R，。
故选：A.【点睛】此题是容易题，考查基本概念。
2.双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据双曲线的渐近线的定义求得。
【详解】双曲线的渐近线方程是，故选：B.【点睛】此题是容易题，考查双曲线的基本定义。
3.“M＜N”是“”（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用对数函数的定义域是单调性可判断。
【详解】若，则，故可以推出若，不能推出，比如不满足，故选：C.【点睛】此题为容易题，考查充分条件和必要条件的概念和对数函数的定义域和单调性。
4.已知向量(，6，2)，(﹣1，3，1)，满足∥，则实数的值是（）A. 2B. 6C. ﹣2D. ﹣6【答案】C【分析】根据向量平行的性质求解【详解】因为∥，所以，解得。
故选：C.【点睛】此题考查向量平行的性质，属于基础题5.已知点F1，F2是椭圆E：的左、右焦点，点P为椭圆E上异于左、右顶点的任意一点，则△PF1F2的周长是（）A. 10B. 11C. 12D. 14【答案】D【解析】【分析】先算出椭圆的长轴长和焦距，再结合椭圆定义算得周长。
【详解】根据椭圆定义，到和的距离之和为长轴长，而,故而三角形的周长为。
故选:D.【点睛】此题考查椭圆的定义，为基础题。
6.等差数列中，已知，，则的值是（）A. 23B. 30C. 32D. 34【答案】C【分析】根据已知可以先求出首项和公差d，再利用等差数列前n项和公式求出。
【详解】由题是等差数列，则有，，解得，，故.故选：C.【点睛】此题考查等差数列的性质，属于基础题。
四川省遂宁市2020-2021学年高二上学期期末考试数学理试题(1)
【市级联考】四川省遂宁市2020-2021学年高二上学期期末考试数学理试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线30x y -+=的倾斜角为A ．4πB ．34πC ．3πD ．6π 2．圆心在x 轴上，半径为1且过点(2,1)的圆的方程为A ．22(2)1x y +-=B ．22(2)1x y -+=C ．22(2)1x y ++=D ．22(2)1x y ++=3．根据下图给出的2021年至2021年某企业关于某产品的生产销售（单位：万元）的柱形图，以下结论不正确的是（ ）A ．逐年比较，2021年是销售额最多的一年B ．这几年的利润不是逐年提高（利润为销售额减去总成本）C ．2021年至2021年是销售额增长最快的一年D ．2021年以来的销售额与年份正相关4．直线1:330l ax y ++=和直线2:(2)10l x a y +-+=平行，则实数a 的值为 A ．3 B ．1- C ．32 D ．3或1- 5．已知P 是ABC ∆的重心，现将一粒黄豆随机撒在ABC ∆内，则黄豆落在PBC ∆内的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．236．已知mn 、是不重合直线，αβγ、、是不重合平面，则下列命题 ①若αγβγ⊥⊥、，则α∥β②若m n m αα⊂⊂、、∥n β、∥β，则α∥β③若α∥β、γ∥β，则γ∥α④若m αββ⊥⊥、，则m ∥α⑤若m n αα⊥⊥、，则m ∥n为假命题的是A ．①②③B ．①②⑤C ．③④⑤D ．①②④7．若实数，满足10,0,2,x y x y -+≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩则()222z x y =-+的最小值为AB ．15 C．2 D ．928．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为A． B． CD． 9．运行下列程序，若输入的,p q 的值分别为65,36，则输出的p q -的值为A ．47B ．57C ．61D ．6710．已知ABC ∆的外接圆M 经过点()()0,10,3，，且圆心M 在直线y x =上.若ABC ∆的边长2BC =,则sin BAC ∠等于A B ．15 C D ．1211．已知三棱锥P ABC -中，PA =34AB AC ==，，AB AC ⊥,ABC PA ⊥面，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为A ．16B ．28C ．64D ．9612．设点P 是函数y =图象上任意一点，点Q 坐标为(2,3)()a a a R -∈，当||PQ 取得最小值时圆221:()(1)4C x m y a -+++=与圆222:()(2)9C x n y +++=相外切，则mn 的最大值为A ．5B ．52C ．254D ．1二、填空题13．在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于yoz 面对称的点的坐标为__________ 14．连续抛掷两枚骰子，向上的点数之和为6的概率为_________15．已知三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则直线AB 和MN 所成的角是_____．16．在平面直角坐标系xoy 中，点(1,0),(4,0)A B ，若在曲线222:24590C x ax y ay a -+-+-=上存在点P 使得||2||PB PA =，则实数a 的取值范围为__________三、解答题17．如图在三棱锥-P ABC 中， ,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.求证：（1）直线//PA 平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC .18．某城市理论预测2021年到2021年人口总数(单位：十万)与年份的关系如下表所示：(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的回归方程y bx a =+；(2)据此估计2022年该城市人口总数.附：1221n i ii n i i x y nx y b xnx ==-=-∑∑，a y bx =-.参考数据：051728311419132⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，222220123430++++=. 19．已知直线210x y --=与直线210x y -+=交于点P（1）求过点P 且平行于直线34150x y +-=的直线1l 的方程；（2）在（1）的条件下，若直线1l 与圆222x y +=交于A 、B 两点，求直线与圆截得的弦长||AB20．2021年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速()/km h 分成六段：[)60,65， [)65,70， [)70,75， [)75,80， [)80,85， []85,90后得到如图的频率分布直方图．（1）调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数、中位数及平均数的估计值；（3）若从车速在[)60,70的车辆中任抽取2辆，求车速在[)65,70的车辆至少有一辆的概率．21．如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，AC CD ⊥，60ABC ∠=︒，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明：AE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求二面角A PD C --的正弦值．22．已知线段AB 的端点B 的坐标为（3,0），端点A 在圆22(3)16x y ++=上运动；（1）求线段AB 中点M 的轨迹方程；（2）过点C （1,1）的直线m 与M 的轨迹交于G 、H 两点，当△GOH （O 为坐标原点）的面积最大时，求直线m 的方程并求出△GOH 面积的最大值.（3）若点C （1,1），且P 在M 轨迹上运动，求·BC BP 的取值范围.参考答案1．A【解析】【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求解．【详解】由直线x ﹣y +3＝0，得其斜率为k ＝1，设直线的倾斜角为θ（0≤θ＜π），由tan θ＝1，得θ4π=． 故选A ．【点睛】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．2．B【解析】【分析】设圆心为C （a ，0）=1，求得a 的值，可得要求的圆的方程．【详解】∵圆心在x 轴上，设圆心为C （a ，0），再根据半径为1，且过点（2，1），=1，求得a ＝2，故要求的圆的方程为 （x ﹣2）2+y 2＝1， 故选B ．【点睛】本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标的值，是解题的关键，属于基础题． 3．D【解析】逐年比较，2021年销售额为400，最大，所以是销售额最多的一年；这几年的利润不是逐年提高，如2021年利润为负；2021年至2021年销售额增长140，是增长最快的一年； 从柱形图上看，2014年以来销售额与年份负相关，D 错误． 选D ．4．B【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解．【详解】直线l 1：ax +3y +3＝0和直线l 2：x +（a ﹣2）y +1＝0平行，（1）当a=2时，直线l 1：2x +3y +3＝0，直线l 2：x +1＝0，显然不适合题意；（2）当a≠2时， 由33121a a =≠-，解得a ＝﹣1． ∴实数a 的值为﹣1．故选B ．【点睛】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查分类讨论思想与运算求解能力，是基础题．5．B【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形求出对应图形的面积比即可．【详解】如图所示，P 是△ABC 的重心，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是： P 13PBC ABC SS ==． 故选B ．【点睛】几何概型概率公式的应用：（1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.6．D【解析】【分析】由垂直于同一平面的两平面平行或相交，可判断①；由面面平行的判定定理可判断②；由平行平面的传递性可判断③；由线面垂直和面面垂直的性质可判断④；由垂直于同一平面的两直线平行可判断⑤．【详解】m、n是不重合直线，α、β、γ是不重合平面，对于①，若α⊥γ、β⊥γ，则α∥β或α，β相交，故①错误；对于②，若m⊂α、n⊂α、m∥β、n∥β，且m，n相交，则α∥β，故②错误；对于③，若α∥β、γ∥β，则γ∥α，故③正确；对于④，若α⊥β、m⊥β，则m∥α或m⊂α，故④错误；对于⑤，若m⊥α、n⊥α，则m∥n，故⑤正确．故选D．【点睛】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的判断和性质，考查推理能力，属于基础题．7．D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，再由z＝（x﹣2）2+y2的几何意义，即可行域中点（x，y）与定点D（2，0）的距离的平方求解．【详解】由题实数x，y满足102x yxy＞-+≤⎧⎪⎨⎪≤⎩可行域如图所示，z＝（x﹣2）2+y2的几何意义表示可行域中点（x，y）与定点D（2，0）的距离的平方，由图可得，DP=DP292的最小值为．故选：D．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8．A【解析】【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥P﹣ABC，底面三角形ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝2，侧面三角形PAB与PBC全等，侧面三角形PAC为等腰三角形，PA＝PC．然后由三角形面积公式求解．【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥P ﹣ABC ，底面三角形ABC 为等腰直角三角形，AB ＝BC ＝2，侧面三角形PAB 与PBC 全等，侧面三角形PAC 为等腰三角形，PA ＝PC ．则该三棱锥的表面积为S 1112222222=⨯⨯+⨯⨯⨯=10+2故选：A ．【点睛】本题考查由三视图求表面积，关键是由三视图还原原几何体，属于中档题．9．B【解析】分析：按照程序框图的流程逐一写出即可详解：第一步：p 65,36101q S ==⇒=第二步：p 67,3198q S ==⇒=第三步：p 69,2695q S ==⇒=第四步：p 71,2192q S ==⇒=最后：输出p 73,16q ==．57p q -=，故选B ．点睛：程序框图的题学生只需按照程序框图的意思列举前面有限步出来，观察规律，得出所求量与步数之间的关系式．10．A【解析】【分析】根据题意，设M 的坐标为（x ，y ），半径为R ，结合题意求出圆心的坐标，即可得R 的值，结合正弦定理可得BC sin BAC=∠2R ＝R 的值，即可得答案． 【详解】 根据题意，设M 的坐标为（x ，y ），半径为R ，若圆M 经过点（0，1），（0，3），则圆心在直线y ＝2上，又由圆心在直线y ＝x 上，则x ＝2，则圆心的坐标为（2，2），R =若△ABC 的边长BC ＝2，则有BC sin BAC=∠2R ＝，变形可得：sin ∠BAC =； 故选A ．【点睛】 本题考查圆的标准方程以及正弦定理的应用，关键是求出圆的方程，属于基础题． 11．C【解析】【分析】将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，也是外接球的内接正方体的体对角线长.【详解】由PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，也是外接球的内接正方体的体对角线长.∵PA =34AB AC ==，，=，∴三棱锥外接球的直径为∴外接球的内接正方体的体对角线长∴正方体的棱长为4，即正方体的体积为64故选：C ．【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解． 12．C【解析】【分析】根据题意，分析函数y =x ﹣1）2+y 2＝4，（y ≤0），分析可得其对应的曲线为圆心在C （1，0），半径为2的圆的下部分，由Q 的坐标可得Q 在直线x ﹣2y ﹣6＝0上，据此分析可得当|PQ |取得最小值时，PQ 与直线x ﹣2y ﹣6＝0垂直，此时有321a a -=--2，解可得a 的值，即可得圆C 1=3+2＝5，变形可得（m +n ）2＝25，由基本不等式的性质分析可得答案．【详解】根据题意，函数y =x ﹣1）2+y 2＝4，（y ≤0）， 对应的曲线为圆心在C （1，0），半径为2的圆的下半部分，又由点Q （2a ，a ﹣3），则Q 在直线x ﹣2y ﹣6＝0上，当|PQ |取得最小值时，PQ 与直线x ﹣2y ﹣6＝0垂直，此时有321a a -=--2，解可得a ＝1， 圆C 1：（x ﹣m ）2+（y +2）2＝4与圆C 2：（x +n ）2+（y +2）2＝9相外切，=3+2＝5，变形可得：（m +n ）2＝25， 则mn 2()2544m n +≤=， 故选：C ．【点睛】本题考查圆的方程的综合应用，涉及直线和圆的位置关系的应用，根据函数的表达式确定对应曲线是解决本题的关键．13．(-1，2，3)【分析】在空间直角坐标系中，点（x ，y ，z ）关于平面yoz 对称的点坐标是（-x ，y ，z ）．【详解】在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于平面xoy 对称的点坐标是（-1，2，3）．故答案为（-1，2，3）．【点睛】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用．14．536【解析】【分析】基本事件总数n ＝6×6＝36，再用列举法求出向上的点数之和为6包含的基本事件有5个，由此能求出向上的点数之和为6的概率．【详解】连续抛掷两枚骰子，基本事件总数n ＝6×6＝36， 向上的点数之和为6包含的基本事件有5个，分别为：（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），向上的点数之和为6的概率为p 536=． 故答案为536． 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 15．6π或3π 【分析】取BD 中点为O ，连接MN 、NO 、MO ．根据题中条件可知：NO ＝MO ，由此能推导出AB 和MN 所成的角的大小．【详解】取BD 中点为O ，连接MN 、NO 、MO ．∵AB ＝CD ，OM 12=CD ，ON 12=AB ，直线AB 与CD 成3π角， ∴NO ＝MO ， ∴∠MON ＝3π或∠MON ＝23π， 当∠MON ＝3π时，△MON 是等边三角形， ∴∠MNO ＝3π； 当∠MON ＝23π时， △MON 是等腰三角形，∠MNO ＝6π． 故答案为6π或3π．【点睛】本题考查异面直线所成的角的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．16．⎡⋃⎢⎣⎦⎣ 【解析】【分析】根据题意，设P （x ，y ），分析可得若|PB |＝2|P A |，则有（x ﹣4）2+y 2＝4（x ﹣1）2+4y 2，变形可得x 2+y 2＝4，进而可得P 的轨迹为以O 为圆心，半径为2的圆；将曲线C 的方程变形为（x ﹣a ）2+（y ﹣2a ）2＝9，可得以（a ，2a ）为圆心，半径为3的圆；据此分析可得若曲线C 上存在点P 使得|PB |＝2|P A |，则圆C 与圆x 2+y 2＝4有公共点，由圆与圆的位置关系可得3﹣2≤≤2+3，解可得a 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，设P （x ，y ），若|PB |＝2|P A |，即|PB |2＝4|P A |2，则有（x ﹣4）2+y 2＝4（x ﹣1）2+4y 2，变形可得：x 2+y 2＝4，即P 的轨迹为以O 为圆心，半径为2的圆，曲线Cx 2﹣2ax +y 2﹣4ay +5a 2﹣9＝0，即（x ﹣a ）2+（y ﹣2a ）2＝9，则曲线C 是以（a ，2a ）为圆心，半径为3的圆；若曲线C 上存在点P 使得|PB |＝2|P A |，则圆C 与圆x 2+y 2＝4有公共点，则有3﹣2≤≤2+3，即1≤a |≤5，解可得：a 5≤-或5≤a ≤即a 的取值范围为：[]∪；故答案为[]∪． 【点睛】 判断圆与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系．(2)切线法：根据公切线条数确定．17．(1)证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面DEF 内找到一条与PA 平行的直线，由于题中中点较多，容易看出//PA DE ，然后要交待PA 在平面DEF 外，DE 在平面DEF 内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得DE AC ⊥，因此考虑能否证明DE 与平面ABC 内的另一条与AC 相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明DE EF ⊥，因此要找的两条相交直线就是,AC EF ，由此可得线面垂直.【详解】（1）由于,D E 分别是,PC AC 的中点，则有//PA DE ，又PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以//PA 平面DEF ．（2）由（1）//PA DE ，又PA AC ⊥，所以DE AC ⊥，又F 是AB 中点，所以132DE PA ==，142EF BC ==，又5DF =，所以222DE EF DF +=，所以DE EF ⊥，,EF AC 是平面ABC 内两条相交直线，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ．【考点】线面平行与面面垂直．18．(1) 3.2 3.6y x =+.(2)196.【解析】【试题分析】（1）先依据数表的数据求出x ，y ，再算出5152215 3.25ˆi i i i i x y xy b x x==-==-∑∑，3ˆ6ˆ.a y bx =-=.进而求出回归方程为 3.2 3.6ˆy x ；=+（2）将5x =代入3.2 3.ˆˆ6yx y =+=中可求得 196(万)。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_5
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.若复数，则______.【答案】【解析】【分析】先化简求解，然后再求解模长.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查复数的运算及模长，求解复数模长时一般是先把复数进行化简，然后结合模长的公式求解，侧重考查数学运算的核心素养.2.抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】抛物线的准线方程为；故填.3.椭圆的焦距是______.【答案】4【解析】【分析】先把椭圆方程化为标准形式，结合的关系可求焦距.【详解】可化为，所以，因为，所以，焦距.故答案为：4.【点睛】本题主要考查利用椭圆方程求解焦距，从给定的方程中求解是关键，侧重考查数学运算的核心素养.4.已知复数，满足集合，则______.【答案】1【解析】【分析】根据集合相等的含义，分别求解复数，然后可求.【详解】因为，，所以，即有，解得或，所以.故答案为：1.【点睛】本题主要考查复数的运算，复数方程的根可以借助求根公式来进行，侧重考查数学运算的核心素养.5.计算：______.【答案】【解析】【分析】先求解，然后再根据复数的加法规则进行求解.【详解】因为，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查复数的运算，明确是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.6.已知抛物线：，过焦点作直线与抛物线交于、两点，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】设出直线方程，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得，然后把用表示出来，结合表达式的特点求解范围.【详解】由题意可得焦点，设，直线，联立得，，；因为，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，联立方程，结合韦达定理，表示出目标式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.7.已知为双曲线右支上的一个动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】把所求问题转化为求点到直线的最小距离，结合平行线间的距离公式可求.【详解】双曲线的渐近线方程为，而直线与平行，平行线间的距离.由题意可知点到直线的距离大于；所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，双曲线上的点到直线的距离转化为平行直线间的距离，是这类问题的主要求解方向，侧重考查数学运算的核心素养.8.平面上一台机器人在运行中始终保持到点的距离比到点的距离大2，若机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】先求解机器人的运动轨迹，结合直线和曲线的位置关系可求.【详解】由题意可得机器人的运动轨迹是双曲线的一支，由可得，所以机器人的运动轨迹方程为；直线，即，联立得，当时，若，则此时直线恰好是双曲线的渐近线，符合题意；若，显然不符合题意.当时，由得，解得；综上可得的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系一般转化为方程解的情况，通过判别式及韦达定理进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.9.已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的离心率为______．【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义与几何性质判断为正三角形，且轴，设，可得，从而可得结果.详解】因为关于的对称点在椭圆上，则，，为正三角形，，又，所以轴，设，则，即，故答案为.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．10.已知一族双曲线（，且），设直线与在第一象限内的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为，.记的面积为，则__________.【答案】【解析】【分析】设点坐标，表示出面积，得到的通项，然后对其求前2019项的和.【详解】设，双曲线的渐近线为，互相垂直.点在两条渐近线上的射影为，则易知为直角三角形，即为等差数列，其前2019项的和为【点睛】本题利用三角形面积将双曲线相关内容与数列相结合，综合性较强的题目，属于难题.11.已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】分析:先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B 的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.详解：设，由得因为A,B在椭圆上,所以，与对应相减得，当且仅当时取最大值.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.12.已知椭圆：左、右焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，点在椭圆上，且满足，当变化时，给出下列四个命题：①点的轨迹关于轴对称；②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是______.【答案】①③【解析】【分析】利用椭圆的定义先求解的轨迹，即可判定①正确，②不正确；结合轨迹方程进行验证，可得③正确，④不正确.【详解】由题意，点在椭圆：上，所以，所以点也在以为焦点的椭圆上，所以点为椭圆：与椭圆的交点，共4个，故①正确，②错误；点靠近坐标轴时（或），越大，点远离坐标轴时，越小，易得时，取得最小值，此时：，，两方程相加得，即的最小值为2，③正确；椭圆上的点到中心的距离小于等于，由于点不在坐标轴上，所以，④错误.故答案为：①③.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及性质，椭圆有关的最值问题常常借助其几何性质进行求解，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.二、选择题13.“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分又非必要【答案】B【解析】【分析】先化简条件“方程表示焦点在轴上的椭圆”，结合的范围进行判定.【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得；因为，反之不成立，所以“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的必要非充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，把复杂的已知条件进行化简，结合推出关系可以进行判定，侧重考查逻辑推理的核心素养.14.双曲线的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的一条渐近线与直线垂直可求，进而可求双曲线的离心率.【详解】由题意可知，因为双曲线的渐近线为，且一条渐近线与直线垂直，所以，即；此时双曲线为，,离心率为.故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的性质，双曲线的离心率求解主要是明确的关系式，或者的值，侧重考查数学运算的核心素养.15.给出下列四个命题：①若复数，满足，则；②若复数，满足，则；③若复数满足，则是纯虚数；④若复数满足，则是实数，其中真命题的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】设出复数的代数形式进行验证，或者利用反例进行排除可得.【详解】对于①：设，均为实数，由可得，所以，即，故①正确；对于②：当，时，满足，但是，故②不正确；对于③：当时，满足，但是不是纯虚数，故③不正确；对于④：设，由可得，所以，故④正确.故选：B.【点睛】本题主要考查复数的性质及运算，待定系数法是解决复数问题的有效方法，侧重考查数学运算的核心素养.16.已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为.三、解答题17.已知复数满足，求.【答案】或.【解析】【分析】设出复数，代入已知条件，利用复数相等的含义可求.【详解】设，，因为，所以，且，解得，或，所以或.【点睛】本题主要考查复数的相关概念及运算，待定系数法是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.18.已知复数（其中是虚数单位，）.（1）若复数是纯虚数，求的值；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先对复数进行化简，然后结合是纯虚数可求的值；（2）结合复数的模长公式，表示出，利用二次函数的知识求解.【详解】（1），若复数是纯虚数，则，所以.（2）由（1）得，，，因为是开口向上的抛物线，有最小值；所以.【点睛】本题主要考查复数的分类及运算，纯虚数需要满足两个条件，即实部为零，虚部不为零，模长范围问题一般是先求解模长的表达式，结合表达式的特点求解最值，侧重考查数学运算的核心素养.19.假定一个弹珠（设为质点，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径）的中心为右焦点的椭圆，已知椭圆的右端点到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点到小球表面最近的距离是5..（1）求如图给定的坐标系下椭圆的标准方程；（2）弹珠由点开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心的距离是时，弹珠由于外力作用发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率为“变轨系数”，求的取值范围，使弹珠和小球不会发生碰撞.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意可得，从而可求椭圆的标准方程；（2）根据与轨道中心的距离是可以求出点的坐标，进而设出直线方程，利用直线与圆相离可求的取值范围.【详解】（1）由题意，：；（2）设，联立与，可求出，设直线方程为，即，弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心到直线的距离大于圆半径1，所以，解得.【点睛】本题主要考查椭圆的方程及直线与圆的位置关系，椭圆的方程的求解的关键是构建关于的等量关系式，直线与圆的位置关系一般通过圆心到直线的距离与半径的关系求解.20.已知曲线的参数方程是（参数）.（1）曲线的普通方程；（2）过点的直线与该曲线交于，两点，求线段中点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先把变形为，然后两式平方相减可得曲线的普通方程；（2）设出点的坐标，代入方程，作差，结合中点公式和斜率公式可求.【详解】（1）因为，整理得，所以有，两式相减可得，即.（2）设，则，两式相减得，即.因为为的中点，所以，因为均在直线上，所以，整理可得，经检验知符合题意，即线段中点的轨迹方程.【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程及轨迹方程的求解，参数方程化为普通的关键是消去参数，点差法是求解有关弦中点问题的首选方法，侧重考查数学运算的核心素养.21.由半圆和部分抛物线合成的曲线称为“羽毛球形线”，且曲线经过点.（1）求的值；（2）设，，过且斜率为的直线与“羽毛球形线”相交于，，三点，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）;（2）存在实数，使.【解析】【分析】（1）通过点在曲线上可求的值；（2）根据题意得出，结合斜率公式即可求出的值.【详解】（1）由题意易知，点在曲线上，所以，即.（2）假设存在，由题意可知，，所以，所以.设，其中，，所以，因为所以，所以.故存在实数实数，使.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，角度关系一般转化为斜率问题进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.22.已知椭圆：经过点，，直线：与椭圆相交于，两点，与圆相切与点.（1）求椭圆的方程；（2）以线段，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，且满足（是坐标原点），求实数的取值范围；（3）是否为定值，如果是，求的值；如果不是，求的取值范围.【答案】（1）;（2）;（3）是定值，.【解析】【分析】（1）把两点，代入方程可得椭圆方程；（2）先根据直线和圆相切，求出，然后联立方程，结合韦达定理求出，结合平行四边形性质和在椭圆上可得实数的取值范围；（3）根据直线和圆相切可以表示出切点坐标，把转化为，结合向量运算及韦达定理可求.【详解】（1）因为椭圆：经过点，，所以，解得，所以椭圆的方程为.（2）因为直线：与圆相切，所以，即①.由得.设，则，.由向量加法的平行四边形法则，得，因为所以.由题意易知，设，则，，即.因为在椭圆上，所以，整理得②由可得，所以，，即或.由①②可得，令，则，因为所以，解得或，综上可得.（3）由（2）知，设，则，由为切点可知,所以，解得..所以是定值且定值为.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的定值问题，范围问题，范围问题一般是根据条件及曲线的几何性质构建参数满足的不等关系，通过求解不等式求得参数范围，侧重考查数学运算的核心素养.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.若复数，则______.【答案】【解析】【分析】先化简求解，然后再求解模长.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查复数的运算及模长，求解复数模长时一般是先把复数进行化简，然后结合模长的公式求解，侧重考查数学运算的核心素养.2.抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】抛物线的准线方程为；故填.3.椭圆的焦距是______.【答案】4【解析】【分析】先把椭圆方程化为标准形式，结合的关系可求焦距.【详解】可化为，所以，因为，所以，焦距.故答案为：4.【点睛】本题主要考查利用椭圆方程求解焦距，从给定的方程中求解是关键，侧重考查数学运算的核心素养.4.已知复数，满足集合，则______.【答案】1【解析】【分析】根据集合相等的含义，分别求解复数，然后可求.【详解】因为，，所以，即有，解得或，所以.故答案为：1.【点睛】本题主要考查复数的运算，复数方程的根可以借助求根公式来进行，侧重考查数学运算的核心素养.5.计算：______.【答案】【解析】【分析】先求解，然后再根据复数的加法规则进行求解.【详解】因为，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查复数的运算，明确是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.6.已知抛物线：，过焦点作直线与抛物线交于、两点，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】设出直线方程，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得，然后把用表示出来，结合表达式的特点求解范围.【详解】由题意可得焦点，设，直线，联立得，，；因为，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，联立方程，结合韦达定理，表示出目标式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.7.已知为双曲线右支上的一个动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】把所求问题转化为求点到直线的最小距离，结合平行线间的距离公式可求.【详解】双曲线的渐近线方程为，而直线与平行，平行线间的距离.由题意可知点到直线的距离大于；所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，双曲线上的点到直线的距离转化为平行直线间的距离，是这类问题的主要求解方向，侧重考查数学运算的核心素养.8.平面上一台机器人在运行中始终保持到点的距离比到点的距离大2，若机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】先求解机器人的运动轨迹，结合直线和曲线的位置关系可求.【详解】由题意可得机器人的运动轨迹是双曲线的一支，由可得，所以机器人的运动轨迹方程为；直线，即，联立得，当时，若，则此时直线恰好是双曲线的渐近线，符合题意；若，显然不符合题意.当时，由得，解得；综上可得的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系一般转化为方程解的情况，通过判别式及韦达定理进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.9.已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的离心率为______．【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义与几何性质判断为正三角形，且轴，设，可得，从而可得结果.详解】因为关于的对称点在椭圆上，则，，为正三角形，，又，所以轴，设，则，即，故答案为.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．10.已知一族双曲线（，且），设直线与在第一象限内的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为，.记的面积为，则__________.【答案】【解析】【分析】设点坐标，表示出面积，得到的通项，然后对其求前2019项的和.【详解】设，双曲线的渐近线为，互相垂直.点在两条渐近线上的射影为，则易知为直角三角形，即为等差数列，其前2019项的和为【点睛】本题利用三角形面积将双曲线相关内容与数列相结合，综合性较强的题目，属于难题.11.已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】分析:先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.详解：设，由得因为A,B在椭圆上,所以，与对应相减得，当且仅当时取最大值.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.12.已知椭圆：左、右焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，点在椭圆上，且满足，当变化时，给出下列四个命题：①点的轨迹关于轴对称；②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是______.【答案】①③【解析】【分析】利用椭圆的定义先求解的轨迹，即可判定①正确，②不正确；结合轨迹方程进行验证，可得③正确，④不正确.【详解】由题意，点在椭圆：上，所以，所以点也在以为焦点的椭圆上，所以点为椭圆：与椭圆的交点，共4个，故①正确，②错误；点靠近坐标轴时（或），越大，点远离坐标轴时，越小，易得时，取得最小值，此时：，，两方程相加得，即的最小值为2，③正确；椭圆上的点到中心的距离小于等于，由于点不在坐标轴上，所以，④错误.故答案为：①③.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及性质，椭圆有关的最值问题常常借助其几何性质进行求解，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.二、选择题13.“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分又非必要【答案】B【解析】【分析】先化简条件“方程表示焦点在轴上的椭圆”，结合的范围进行判定.【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得；因为，反之不成立，所以“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的必要非充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，把复杂的已知条件进行化简，结合推出关系可以进行判定，侧重考查逻辑推理的核心素养.14.双曲线的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的一条渐近线与直线垂直可求，进而可求双曲线的离心率.【详解】由题意可知，因为双曲线的渐近线为，且一条渐近线与直线垂直，所以，即；此时双曲线为，,离心率为.故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的性质，双曲线的离心率求解主要是明确的关系式，或者的值，侧重考查数学运算的核心素养.15.给出下列四个命题：①若复数，满足，则；②若复数，满足，则；③若复数满足，则是纯虚数；④若复数满足，则是实数，其中真命题的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】设出复数的代数形式进行验证，或者利用反例进行排除可得.【详解】对于①：设，均为实数，由可得，所以，即，故①正确；对于②：当，时，满足，但是，故②不正确；对于③：当时，满足，但是不是纯虚数，故③不正确；对于④：设，由可得，所以，故④正确.故选：B.【点睛】本题主要考查复数的性质及运算，待定系数法是解决复数问题的有效方法，侧重考查数学运算的核心素养.16.已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为.三、解答题17.已知复数满足，求.【答案】或.【解析】【分析】设出复数，代入已知条件，利用复数相等的含义可求.【详解】设，，因为，所以，且，解得，或，所以或.【点睛】本题主要考查复数的相关概念及运算，待定系数法是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.18.已知复数（其中是虚数单位，）.（1）若复数是纯虚数，求的值；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先对复数进行化简，然后结合是纯虚数可求的值；（2）结合复数的模长公式，表示出，利用二次函数的知识求解.【详解】（1），若复数是纯虚数，则，所以.（2）由（1）得，，，因为是开口向上的抛物线，有最小值；所以.【点睛】本题主要考查复数的分类及运算，纯虚数需要满足两个条件，即实部为零，虚部不为零，模长范围问题一般是先求解模长的表达式，结合表达式的特点求解最值，侧重考查数学运算的核心素养.19.假定一个弹珠（设为质点，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径）的中心为右焦点的椭圆，已知椭圆的右端点到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点到小球表面最近的距离是5..（1）求如图给定的坐标系下椭圆的标准方程；（2）弹珠由点开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心的距离是时，弹珠由于外力作用发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率为“变轨系数”，求的取值范围，使弹珠和小球不会发生碰撞.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意可得，从而可求椭圆的标准方程；（2）根据与轨道中心的距离是可以求出点的坐标，进而设出直线方程，利用直线与圆相离可求的取值范围.【详解】（1）由题意，：；（2）设，联立与，可求出，设直线方程为，即，弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心到直线的距离大于圆半径1，所以，解得.【点睛】本题主要考查椭圆的方程及直线与圆的位置关系，椭圆的方程的求解的关键是构建关于的等量关系式，直线与圆的位置关系一般通过圆心到直线的距离与半径的关系求解.20.已知曲线的参数方程是（参数）.。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)_4
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知i是虚数单位，复数（）A. i﹣2B. i+2C. ﹣2D. 2【答案】B【解析】分析】直接利用复数代数形式的运算法则化简求值．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，属于基础题．2.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据包含关系，直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为“”不能推出“”；“”能推出“”，所以，“”是“”的必要不充分条件，故选B.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3.抛物线的准线方程为（）A. y＝B. y＝C. y＝D. y＝【答案】D【解析】【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再直接代入即可求出其准线方程．【详解】解：∵抛物线的标准方程为，∴其焦点在y轴上且，∴，∴抛物线的准线方程为，故选：D．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，属于基础题．4.已知命题是无理数;命题,则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先对命题p和命题q的真假性做出判断，然后根据真值表判断复合命题的真假，即可得到本题答案.【详解】是无理数，故命题p是真命题，是假命题；，故命题q是假命题，是真命题，所以是真命题.故选：C【点睛】本题主要考查复合命题真假性判断，属于基础题.5.已知椭圆，分别为其左、右焦点，椭圆上一点到的距离是2，是的中点，则的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根据三角形中位线性质以及椭圆定义可得结果.【详解】由椭圆定义得，因为，所以因为是的中点，所以=4，选D.【点睛】本题考查椭圆定义，考查基本求解能力. 属于基础题.6.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】，故，即，故渐近线方程为.【考点】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.【此处有视频，请去附件查看】7.已知数列是等比数列，为其前n项和，若，a4＋a5＋a6＝6，则S12等于( )A. 45B. 60C. 35D. 50【答案】A【解析】【分析】由等比数列的性质，可知，，，也构成等比数列，再由等比数列求和公式计算．【详解】解：∵数列是等比数列，∴，，，也构成等比数列，又，，∴该数列的公比，且项数为4，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查等比数列的性质与求和，熟记等比数列的有关性质可简化计算，属于基础题．8.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么A. 6B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的性质直接求解，即焦点弦长为．【详解】抛物线中，，∴，故选B．【点睛】是抛物线的焦点弦，，，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为．9.在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点,则异面直线AC和MN所成的角为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】将平移到一起，根据等边三角形的性质判断出两条异面直线所成角的大小.【详解】连接如下图所示，由于分别是棱和棱的中点，故，根据正方体的性质可知，所以是异面直线所成的角，而三角形为等边三角形，故.故选C.【点睛】本小题主要考查空间异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力，属于基础题.10.若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为 ( )A. B. 84 C. 3 D. 21【答案】D【解析】【分析】根据题意作出图像，分别利用椭圆及双曲线定义列方程，解方程组即可求解．【详解】依据题意作出椭圆与双曲线的图像如下：由椭圆方程可得：，由椭圆定义可得：…（1），由双曲线方程可得：，，由双曲线定义可得： (2)联立方程（1）（2），解得：，所以故选D.【点睛】本题主要考查了椭圆及双曲线的定义，还考查了椭圆及双曲线的简单性质，考查计算能力，属于中档题．11.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A. 121B. 123C. 231D. 211【答案】B【解析】【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．【详解】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项；继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即，故答案为：123．【点睛】本题主要考查数列中的规律问题，要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理．12.对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例[2]=2；[2.1]=2；[-2.2]=-3, 这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)_12
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解.【详解】因为命题“，”是全称命题，所以其否定是特称命题，即“，”.故选：C【点睛】本题主要考查命题的否定，要注意结论的否定和量词的转化，属于基础题.2.已知i是虚数单位，则复数的模为（）A. B. 2 C. 2 D. 4【答案】C【解析】分析】先利用复数的除法，化简，再求模即可.【详解】由于，故故选：C【点睛】本题考查了复数的四则运算，以及复数的模，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.3.若实数满足不等式组，则的最大值是( )A. ﹣1B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，由，得，平移直线，利用目标函数的几何意义，即可求解．【详解】作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由，得，平移直线，由图象可知当直线过点C时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，即，代入目标函数，得，即目标函数的最大值为2．故选D.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键．4.已知各项为正数的等比数列{an}中，a2＝1，a3a7＝64，则公比q＝（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】利用等比中项，得到，求得，再结合即得解.【详解】在各项为正数的等比数列{an}中，又故选：A【点睛】本题考查了等比数列的通项及性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.5.已知，不等式，，，…，可推广为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意归纳推理得到a的值即可.【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为；当分母的指数为2时，分子为；当分母的指数为3时，分子为；据此归纳可得：中，的值为.本题选择B选项.【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．6.“”是“椭圆的焦距为8”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】对椭圆的焦点所在轴进行分类，当时，焦点在轴上，根据椭圆的性质，可得m=3，当时，焦点在轴上，根据椭圆的性质，可得，再根据充分必要条件原理即可判断结果．【详解】由当时，焦点在轴上，焦距，则，由，则，当时，焦点在轴上，由焦距，则，由，则，故或，所以“”是“椭圆的焦距为8”的充分不必要条件.【点睛】充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法：①充分不必要条件：如果，且，则说p是q的充分不必要条件；②必要不充分条件：如果，且，则说p是q的必要不充分条件；③既不充分也不必要条件：如果，且，则说p是q的既不充分也不必要条件.7.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得其渐近线方程为y=±x，结合题意可得=，即b=a，由双曲线的几何性质可得c= a，进而由离心率公式计算可得答案．【详解】解：根据题意，双曲线的标准方程为，则其焦点在x轴上，那么其渐近线方程为y=±x，又由该双曲线的一条渐近线方程为y=x，则有=，即b=a，则c=,其离心率e=；故选B．【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，解决问题的关键是由双曲线的标准方程分析出其焦点的位置．8.如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E是CC'的中点，，，，x y z，则（）A. x＝1，y＝2，z＝3B. x，y＝1，z＝1C. x＝1，y＝2，z＝2D. x，y＝1，z【答案】A【解析】【分析】结合图形，利用向量的加法先用表示，再转化为.【详解】故选：A【点睛】本题考查了空间向量基本定理的应用，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.9.如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间距离已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为，山顶C的仰角为，，则两山顶A，C之间的距离为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用直角三角形的边角关系，求得AE和CE的长，再利用余弦定理求得AC的长．【详解】，，，，，，；中，由余弦定理得，；即两山顶A，C之间的距离为．故选A．【点睛】本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．10.已知直三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空间坐标系，分别求得直线的方向向量，进而得到线线角.【详解】立空间坐标系如图，设边长为2，得到A（2，0，0），（1，，2），B（1，，0），（0，0，2）向量设异面直线夹角为，则故答案为C【点睛】这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.11.在1和17之间插入n﹣2个数，使这n个数成等差数列，若这n﹣2个数中第一个为a，第n﹣2个为b，则的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由题意，得到，构造，利用均值不等式，即得解.【详解】根据题意，设这n个数组成的数列为，则有，当且仅当：，即时等号成立.故选：B【点睛】本题考查了数列和不等式综合，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.12.设f'（x）是函数f（x）的导函数，且f'（x）＞f（x）（x∈R），f（2）＝e2（e为自然对数的底数），则不等式f （x）＜ex的解集为（）A. （e，+∞）B. （2，+∞）C. （﹣∞，2）D. （﹣∞，e）【答案】C【解析】【分析】构造，利用导数判断函数在R上单调递增，又由f （2）＝e2，f（x）＜ex得到，，根据单调性即得解.【详解】构造由于f'（x）＞f（x），故，即在R上单调递增.又f（2）＝e2，故，f（x）＜ex，即即：x<2故选：C【点睛】本题考查了函数导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠A＝60°，b＝4，△ABC的面积为3，则c＝_____．【答案】3【解析】【分析】利用面积公式即得解.【详解】由三角形的面积公式：故答案为：3【点睛】本题考查了面积公式的应用，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14.已知命题p：x2﹣6x+8＜0，命题q：0＜x＜3．若“p∧q”为真命题则实数x的取值范围是_____．【答案】{x|2＜x＜3}【解析】【分析】先求出命题p为真对应的x的范围，求出两个范围的交集即可.【详解】命题p：x2﹣6x+8＜0若“p∧q”为真命题，即实数x即满足，又满足0＜x＜3故实数x的取值范围是：2＜x＜3故答案为：{x|2＜x＜3}【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词与不等式综合，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.15.将等差数列1，4，7，…按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵，根据这个排列规则，数阵中第10行最后一个数是_____．【答案】163【解析】【分析】设各行的首项为，用叠加法得到通项公式，再由各行为公差为3的等差数列，即得解.【详解】设各行的首项为，故叠加法得到：故：136又每一行是以3为公差的等差数列数阵中第10行最后一个数是：故答案为：163【点睛】本题考查了数阵以及等差数列综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.16.已知a，b∈R+，直线y＝x﹣a与曲线y＝1n（x+b）相切，则的最小值为_____．【答案】不存在【解析】【分析】对曲线y＝1n（x+b）求导，由直线y＝x﹣a与曲线y＝1n（x+b）相切，可得切线斜率为1，切点为（1﹣b，0），可得a ＝1﹣b，转化，研究单调性，得到取值范围即得解.【详解】y＝ln（x+b）的导数为y′，由切线的方程y＝x﹣a可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1﹣b，切点为（1﹣b，0），代入y＝x﹣a，得a+b＝1，则a＝1﹣b，∵a，b∈R+，∴0＜b＜1，则，由2在（0，1）上单调递减，可得2∈（1，+∞）．∴的最小值不存在．故答案为：不存在【点睛】本题考查了导数在切线，最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣1．（1）求抛物线C的方程；（2）过抛物线C的焦点作直线l，交抛物线C于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为6，求|AB|．【答案】（1）y2＝4x；（2）14【解析】【分析】（1）运用抛物线的准线方程，得到p=2,进而得到抛物线的方程；（2）设直线l为：x＝my+1，与抛物线联立，得到韦达定理，结合中点坐标，即得解m，再利用|AB|＝x+x'+p，即得解弦长.【详解】（1）由抛物线的准线得：1，∴p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x；（2）由（1）得焦点F（1，0），又由题意得，显然直线的斜率不为零，设直线l为：x＝my+1，A（x，y），B（x'，y'），联立直线l与抛物线的方程得：y2﹣4my﹣4＝0，y+y'＝4m，x+x'＝m（y+y'）+2＝4m2+2，由题意得：4m2+2＝2•6＝12，∴|AB|＝x+x'+p＝12+2＝14，所以弦长|AB|为14．【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.18.已知等差数列的公差为1，前n项和为，且．求数列通项公式；求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】首项利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式．利用的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【详解】设等差数列的公差为，首项为，前n项和为，且．则：，解得：．所以：．，，则：．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B；（2）若，，求，．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B的大小．（2）利用正弦定理余弦定理，转化求解即可．【详解】（1）在中，由正弦定理，得．又因为在中．所以．法一：因为，所以，因而．所以，所以．法二：即，所以，因为，所以．（2）由正弦定理得，而，所以，①由余弦定理，得，即，②把①代入②得.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.20.如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，E是SA的中点．（1）求证：平面BED平面SAB；（2）求平面BED与平面SBC所成二面角（锐角）的大小．【答案】（1）详见解析（2）.【解析】解：（Ⅰ）∵SD⊥平面ABCD，∴平面SAD⊥平面ABCD，∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，∴DE⊥AB．∵SD＝AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面SAB∴平面BED⊥平面SAB．…4分（Ⅱ）建立如图所示的坐标系D—xyz，不妨设AD＝2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，，0)，C(0，，0)，S(0，0，2)，E(1，0，1)．＝(2，，0)，＝(1，0，1)，＝(2，0，0)，＝(0，－，2)．设m＝(x1，y1，z1)是面BED的一个法向量，则因此可取m＝(－1，，1)．…8分设n＝(x2，y2，z2)是面SBC的一个法向量，则因此可取n＝(0，，1)．…10分故平面BED与平面SBC所成锐二面角的大小为30°．…12分21.在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（2，0），P为不在x轴上的动点，直线PA，PB的斜率满足kPAkPB．（1）求动点P轨迹Γ的方程；（2）若M，N是轨迹Γ上两点，kMN＝1，求△OMN面积的最大值．【答案】（1）（y≠0）；（2）【解析】【分析】（1）设P（x，y）为轨迹Γ上任意一点，根据kPAkPB，得到，化简即得解；（2）设MN：y＝x+b，联立得到韦达定理，利用弦长公式表示弦长|MN|，O到直线MN的距离，继而表示△OMN的面积，利用导数研究单调性，求最值即可.【详解】（1）设P（x，y）为轨迹Γ上任意一点，则根据kPAkPB．即，整理得动点P的轨迹Γ的方程为：（y≠0）；（2）设MN：y＝x+b，联立，整理得5x2+8bx+4b2﹣4＝0，△＝5﹣b2＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2b，x1x2（b2﹣1），|MN||x1﹣x2|，O到直线MN的距离d，所以△OMN面积S，设f（b）＝5b2﹣b4，则f′（b）＝10b﹣4b3＝0，解得b＝0或b＝±，又因为5﹣b2＞0，故b＝0或b＝±且S（0）＝0，S（±），故△OMN的面积S最大值为．【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.22.已知函数f（x）＝a1nx﹣ax+1（a∈R且a≠0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求证：（n≥2，n∈N*）．【答案】（1）当a＞0时, f（x）的单调递增区间（0，1），单调递减区间（1，+∞）；当a＜0时, f（x）的单调递减区间（0，1），单调递增区间（1，+∞）；（2）证明，见解析【解析】【分析】（1）对f(x)求导，分a＞0，a＜0两种情况讨论，分析函数单调性即可；（2）令a＝1，由（1）可证得lnx＜x﹣1，即，叠乘可得证.【详解】（1）∵f（x）＝a1nx﹣ax+1，∴f′（x）a，①当a＞0时，若0＜x＜1，则f′（x）＞0，若x＞1，f′（x）＜0，∴f（x）的单调递增区间（0，1），单调递减区间（1，+∞）；②当a＜0时，若0＜x＜1，则f′（x）＜0，若x＞1，f′（x）＞0，∴f（x）的单调递减区间（0，1），单调递增区间（1，+∞）；（2）令a＝1，则f（x）＝lnx﹣x+1，所以f（1）＝0，由（1）可知f（x）在[1，+∞）单调递减，故f（x）≤f（1），（当x＝1时取等号），所以lnx﹣x+1＜0，即lnx＜x﹣1，从而有0＜lnn＜n﹣1，（n≥2，n∈N*），即（n≥2，n∈N*），∴（n≥2，n∈N*）．【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解.【详解】因为命题“，”是全称命题，所以其否定是特称命题，即“，”.故选：C【点睛】本题主要考查命题的否定，要注意结论的否定和量词的转化，属于基础题.2.已知i是虚数单位，则复数的模为（）A. B. 2 C. 2 D. 4【答案】C【解析】分析】先利用复数的除法，化简，再求模即可.【详解】由于，故故选：C【点睛】本题考查了复数的四则运算，以及复数的模，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.3.若实数满足不等式组，则的最大值是( )A. ﹣1B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，由，得，平移直线，利用目标函数的几何意义，即可求解．【详解】作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由，得，平移直线，由图象可知当直线过点C时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，即，代入目标函数，得，即目标函数的最大值为2．故选D.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键．4.已知各项为正数的等比数列{an}中，a2＝1，a3a7＝64，则公比q＝（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】利用等比中项，得到，求得，再结合即得解.【详解】在各项为正数的等比数列{an}中，又故选：A【点睛】本题考查了等比数列的通项及性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.5.已知，不等式，，，…，可推广为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意归纳推理得到a的值即可.【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为；当分母的指数为2时，分子为；当分母的指数为3时，分子为；据此归纳可得：中，的值为.本题选择B选项.【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．6.“”是“椭圆的焦距为8”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】对椭圆的焦点所在轴进行分类，当时，焦点在轴上，根据椭圆的性质，可得m=3，当时，焦点在轴上，根据椭圆的性质，可得，再根据充分必要条件原理即可判断结果．【详解】由当时，焦点在轴上，焦距，则，由，则，当时，焦点在轴上，由焦距，则，由，则，故或，所以“”是“椭圆的焦距为8”的充分不必要条件.【点睛】充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法：①充分不必要条件：如果，且，则说p是q的充分不必要条件；②必要不充分条件：如果，且，则说p是q的必要不充分条件；③既不充分也不必要条件：如果，且，则说p是q的既不充分也不必要条件.7.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得其渐近线方程为y=±x，结合题意可得=，即b= a，由双曲线的几何性质可得c=a，进而由离心率公式计算可得答案．【详解】解：根据题意，双曲线的标准方程为，则其焦点在x轴上，那么其渐近线方程为y=±x，又由该双曲线的一条渐近线方程为y=x，则有=，即b=a，则c= ,其离心率e=；故选B．【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，解决问题的关键是由双曲线的标准方程分析出其焦点的位置．8.如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E是CC'的中点，，，，x y z，则（）A. x＝1，y＝2，z＝3B. x，y＝1，z＝1C. x＝1，y＝2，z＝2D. x，y＝1，z【答案】A【解析】【分析】结合图形，利用向量的加法先用表示，再转化为.【详解】故选：A【点睛】本题考查了空间向量基本定理的应用，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.9.如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间距离已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为，山顶C的仰角为，，则两山顶A，C之间的距离为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用直角三角形的边角关系，求得AE和CE的长，再利用余弦定理求得AC的长．【详解】，，，，，，；中，由余弦定理得，；即两山顶A，C之间的距离为．故选A．【点睛】本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．10.已知直三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空间坐标系，分别求得直线的方向向量，进而得到线线角.【详解】立空间坐标系如图，设边长为2，得到A（2，0，0），（1，，2），B（1，，0），（0，0，2）向量设异面直线夹角为，则故答案为C【点睛】这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.11.在1和17之间插入n﹣2个数，使这n个数成等差数列，若这n﹣2个数中第一个为a，第n﹣2个为b，则的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由题意，得到，构造，利用均值不等式，即得解.【详解】根据题意，设这n个数组成的数列为，则有，当且仅当：，即时等号成立.故选：B【点睛】本题考查了数列和不等式综合，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.12.设f'（x）是函数f（x）的导函数，且f'（x）＞f（x）（x∈R），f（2）＝e2（e为自然对数的底数），则不等式f（x）＜ex的解集为（）A. （e，+∞）B. （2，+∞）C. （﹣∞，2）D. （﹣∞，e）【答案】C【解析】【分析】构造，利用导数判断函数在R上单调递增，又由f（2）＝e2，f（x）＜ex得到，，根据单调性即得解.【详解】构造由于f'（x）＞f（x），故，即在R上单调递增.又f（2）＝e2，故，f（x）＜ex，即即：x<2故选：C【点睛】本题考查了函数导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠A＝60°，b＝4，△ABC的面积为3，则c＝_____．【答案】3【解析】【分析】利用面积公式即得解.【详解】由三角形的面积公式：故答案为：3【点睛】本题考查了面积公式的应用，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14.已知命题p：x2﹣6x+8＜0，命题q：0＜x＜3．若“p∧q”为真命题则实数x的取值范围是_____．【答案】{x|2＜x＜3}【解析】【分析】先求出命题p为真对应的x的范围，求出两个范围的交集即可.【详解】命题p：x2﹣6x+8＜0若“p∧q”为真命题，即实数x即满足，又满足0＜x＜3故实数x的取值范围是：2＜x＜3故答案为：{x|2＜x＜3}【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词与不等式综合，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.15.将等差数列1，4，7，…按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵，根据这个排列规则，数阵中第10行最后一个数是_____．【答案】163【解析】【分析】设各行的首项为，用叠加法得到通项公式，再由各行为公差为3的等差数列，即得解.【详解】设各行的首项为，故叠加法得到：故：136又每一行是以3为公差的等差数列数阵中第10行最后一个数是：故答案为：163【点睛】本题考查了数阵以及等差数列综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.16.已知a，b∈R+，直线y＝x﹣a与曲线y＝1n（x+b）相切，则的最小值为_____．【答案】不存在【解析】【分析】对曲线y＝1n（x+b）求导，由直线y＝x﹣a与曲线y＝1n（x+b）相切，可得切线斜率为1，切点为（1﹣b，0），可得a＝1﹣b，转化，研究单调性，得到取值范围即得解.【详解】y＝ln（x+b）的导数为y′，由切线的方程y＝x﹣a可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1﹣b，切点为（1﹣b，0），代入y＝x﹣a，得a+b＝1，则a＝1﹣b，∵a，b∈R+，∴0＜b＜1，则，由2在（0，1）上单调递减，可得2∈（1，+∞）．∴的最小值不存在．故答案为：不存在【点睛】本题考查了导数在切线，最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣1．（1）求抛物线C的方程；（2）过抛物线C的焦点作直线l，交抛物线C于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为6，求|AB|．【答案】（1）y2＝4x；（2）14【解析】【分析】（1）运用抛物线的准线方程，得到p=2,进而得到抛物线的方程；（2）设直线l为：x＝my+1，与抛物线联立，得到韦达定理，结合中点坐标，即得解m，再利用|AB|＝x+x'+p，即得解弦长.【详解】（1）由抛物线的准线得：1，∴p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x；（2）由（1）得焦点F（1，0），又由题意得，显然直线的斜率不为零，设直线l为：x＝my+1，A（x，y），B（x'，y'），联立直线l与抛物线的方程得：y2﹣4my﹣4＝0，y+y'＝4m，x+x'＝m（y+y'）+2＝4m2+2，由题意得：4m2+2＝2•6＝12，∴|AB|＝x+x'+p＝12+2＝14，所以弦长|AB|为14．【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.18.已知等差数列的公差为1，前n项和为，且．求数列通项公式；求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】首项利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式．利用的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【详解】设等差数列的公差为，首项为，前n项和为，且．则：，解得：．所以：．，，则：．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B；（2）若，，求，．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B的大小．（2）利用正弦定理余弦定理，转化求解即可．【详解】（1）在中，由正弦定理，得．又因为在中．所以．法一：因为，所以，因而．所以，所以．法二：即，所以，因为，所以．（2）由正弦定理得，而，所以，①由余弦定理，得，即，②把①代入②得.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.20.如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，E是SA的中点．（1）求证：平面BED平面SAB；（2）求平面BED与平面SBC所成二面角（锐角）的大小．【答案】（1）详见解析（2）.【解析】解：（Ⅰ）∵SD⊥平面ABCD，∴平面SAD⊥平面ABCD，∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，∴DE⊥AB．∵SD＝AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面SAB∴平面BED⊥平面SAB．…4分（Ⅱ）建立如图所示的坐标系D—xyz，不妨设AD＝2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，，0)，C(0，，0)，S(0，0，2)，E(1，0，1)．＝(2，，0)，＝(1，0，1)，＝(2，0，0)，＝(0，－，2)．设m＝(x1，y1，z1)是面BED的一个法向量，则因此可取m＝(－1，，1)．…8分设n＝(x2，y2，z2)是面SBC的一个法向量，则因此可取n ＝(0，，1)．…10分故平面BED与平面SBC所成锐二面角的大小为30°．…12分21.在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（2，0），P为不在x轴上的动点，直线PA，PB的斜率满足kPAkPB．（1）求动点P轨迹Γ的方程；（2）若M，N是轨迹Γ上两点，kMN＝1，求△OMN面积的最大值．【答案】（1）（y≠0）；（2）【解析】【分析】（1）设P（x，y）为轨迹Γ上任意一点，根据kPAkPB，得到，化简即得解；（2）设MN：y＝x+b，联立得到韦达定理，利用弦长公式表示弦长|MN|，O到直线MN的距离，继而表示△OMN的面积，利用导数研究单调性，求最值即可.【详解】（1）设P（x，y）为轨迹Γ上任意一点，则根据kPAkPB．即，整理得动点P的轨迹Γ的方程为：（y≠0）；（2）设MN：y＝x+b，联立，整理得5x2+8bx+4b2﹣4＝0，△＝5﹣b2＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2b，x1x2（b2﹣1），|MN||x1﹣x2|，O到直线MN的距离d，所以△OMN面积S，设f（b）＝5b2﹣b4，则f′（b）＝10b﹣4b3＝0，解得b＝0或b＝±，又因为5﹣b2＞0，故b＝0或b＝±且S（0）＝0，S（±），故△OMN的面积S最大值为．【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.22.已知函数f（x）＝a1nx﹣ax+1（a∈R且a≠0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求证：（n≥2，n∈N*）．【答案】（1）当a＞0时, f（x）的单调递增区间（0，1），单调递减区间（1，+∞）；当a＜0时, f（x）的单调递减区间（0，1），单调递增区间（1，+∞）；（2）证明，见解析【解析】【分析】（1）对f(x)求导，分a＞0，a＜0两种情况讨论，分析函数单调性即可；（2）令a＝1，由（1）可证得lnx＜x﹣1，即，叠乘可得证.。
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四川省遂宁市2019-2020学年高二数学上学期期末模拟试题 理 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.椭圆13422yx的焦距为 A．1 B．2 C．3 D．4
2.已知实数yx,满足0002yxyx，则yxz2的最大值为 A．4 B．3 C. 0 D．2 3．有50件产品，编号从1到50，现在从中抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的第一个样本编号为7，则第三个样本编号是 A．37 B．27 C．17 D．12 4．椭圆x2m+y236=1的焦距是2，则m的值是： A．35或37 B．35 C．37 D．16 5.若圆222)5()3(ryx上的点到直线0234yx的最近距离等于1,则半径r值是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 6.过点A(1，2)且与原点距离最大的直线方程是 A. x+2y-5=0 B. 2x+y-4=0 C. x+3y-7=0 D. x+3y-5=0 7.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是
A．8 cm3 B．12 cm3 C.323 cm3 D.403 cm3
8.不等式ax２＋bx+2＞０的解集是3121xx，则a－b等于 A.－4 B.14 C.－10 D.10 9.已知a、b是关于x的方程2320xpxpp (P为常数)的两个不相等的实根,则 过两点M(a，3a)、N(b，b2)的直线与圆222()(1)1xpy的位置关系为 A.相交 B,相切 C相离 D.相切或相离 10.已知双曲线C: 2212xy上任意一点为G，则G到双曲线C的两条渐近线距离之积为 A. 13 B. 23 C. 1 D. 43 11.已知抛物线220ypxp，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程是 A.1x B. 1x C. 2x D.2x
12.已知椭圆22143xy，若此椭圆上存在不同的两点A,B关于直线4yxm对称，则实数m的取值范围是 A. 21322,1313 B. 213213,1313 C. 2213,1313 D. 2323,1313 第II卷（非选择题，满分90分） 二、填空题．（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡对应的题中横线上） 13．若圆的方程是0222xyx，则该圆的半径是 14．圆22(2)4xy截直线4yx所得的弦长为 . 15．直三棱柱111ABCABC中，若1,90AAACABBAC，则异面直线1BA与1AC所成的角等于 .
16．已知双曲线22221(0,0)xyabab的左右焦点为1F，2F.过2F作直线byxa的垂线l，垂足为Q，l交双曲线的左支于点P，若222FPFQ，则双曲线的离心率e . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分） 某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在)1500,1000[. （1）求居民收入在)3500,3000[的频率； （2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数； （3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，按收入从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则应在月收入为)3000,2500[的人中抽取多少人？ 18. (本题满分12分) 当a ≥ 0时，解关于x的不等式2(22)40axax．
19.(本题12分) 已知点A(0,4)，B(0，－2)，动点P(x，y)满足PA→·PB→－y2＋8＝0. (1)求动点P的轨迹方程； (2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C，D两点，求证：OC⊥OD(O为原点)．
20.（本小题满分12分） 某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据. 单价x（万元） 8 2.8 4.8 8.8 6.8 9 销量y（件） 90 84 83 75 80 68
（1）①求线性回归方程axby；②谈谈商品定价对市场的影响； （2）估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，若该产品的成本为5.4元/件，为使科研所 FBDC
PE
A
获利最大，该产品定价应为多少？ （附：80,5.8,,)())((121yxxbyaxxyyxxbniiniii）
21．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且60DAB．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F． （1） 求证：AB∥EF； （2）若PAPDAD，且平面PAD平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．
22.（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点,Pxy与定点F(－1，0)的距离和它 到定直线2x的距离之比是. （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,直线OM与曲线C交于,PQ两点,求四边形APBQ面积的最小值. 数学（理）试题答案 一．选择题 1.B 2.A 3.B 4.A 5.C 6.A 7.C 8.C 9.A 10.B 11.B 12.B 二．填空题 13．1 14．22 15．3 16．5 三．解答题 17.（1）居民收入在)3500,3000[的频率为%155000003.0. （2）中位数为2400545002000， 平均数为2400%53750%153250%252750%252250%201750%101250，
其众数2750,2250. （3）在月收入为)3000,2500[的人中抽取25人. 18.解：原不等式可化为(x – 2)(ax – 2) > 0， (1)当a = 0时，原不等式即为042x，解得x < 2； (2)当a > 0时，0)2)(2(axx， ①若22a，即a > 1时，解得x 2；②若22a，即0a2； ③若22a，即a =1时，解得x ≠2； 综上所述，原不等式的解集为：当a = 0时，2|xx；当0时， 2|xRxx且；当a > 1时，22|xaxx或．
19． (1)由题意可知，PA→＝(－x,4－y)，PB→＝(－x，－2－y)， ∴x2＋(4－y)(－2－y)－y2＋8＝0， ∴x2＝2y为所求动点P的轨迹方程． zyx
GA
EPCDB
F
(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)．由 y＝x＋2，x2＝2y，整理得x2－2x－4＝0， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝－4， ∵kOC·kOD＝y1x1·y2x2＝x1＋2x2＋2x1x2＝x1x2＋2x1＋x2＋4x1x2＝－4＋4＋4－4＝－1，∴OC⊥OD.
20.（1）①依题意：2505.82080,20)())((61261xbyaxxyyxxbiiiii， ∴回归直线的方程为25020xy. ②由于020b，则yx,负相关，故随定价的增加，销量不断降低. （2）设科研所所得利润为w，设定价为x，∴112534020)25020)(5.4(2xxxxw， ∴当5.840340x时，320maxw.故当定价为5.8元时，w取得最大值. 21．（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD． 又因为AB面PCD， CD面PCD，所以AB∥面PCD．又因为,,,ABEF四点共面，且平面ABEFI平面PCDEF， 所以AB∥EF． ………………5分 （Ⅱ）取AD中点G，连接,PGGB． 因为PAPD，所以PGAD． 又因为平面PAD平面ABCD， 且平面PADI平面ABCDAD， 所以PG平面ABCD． 所以PGGB． 在菱形ABCD中，因为ABAD， 60DAB，G是AD中点， 所以ADGB． 如图，建立空间直角坐标系Gxyz．设2PAPDADa，
则(0,0,0),(,0,0)GAa，(0,3,0),(2,3,0),(,0,0),(0,0,3)BaCaaDaPa．
又因为AB∥EF，点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．所以33(,,)22aaEa， 3(,0,)22aaF．所以33(,0,)22aaAFuuur，3(,,0)22aaEF
uuur
．
设平面AFE的法向量为(,,)xyzn，则有0,0.AFEFnnuuuruuur所以3,3.3zxyx 令3x，则平面AFE的一个法向量为(3,3,33)n． 因为BG平面PAD，所以(0,3,0)GBauuur是平面PAF的一个法向量． 因为313cos,13393GBaaGBnnnuuuruuuruuur，
所以平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为1313 22、解：（1）由已知，得221222xyx． 两边平方，化简得x22＋y2＝1．故轨迹C的方程是．…（3分） （2）因AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由x＝my－1，x22＋y2＝1得(m2＋2)y2－2my－1＝0. y1＋y2＝2mm2＋2，y1y2＝－1m2＋2. x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝－4m2＋2，于是AB的中点为M
－2
m2＋2，mm2＋2
，
故直线PQ的斜率为－m2，PQ的方程为y＝－m2x，即mx＋2y＝0，
22
2
12myxxy
整理得：x2=，|PQ|22224=222mxym
方法一：设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|m2＋4
.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是
|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝（m2＋2）|y1－y2|m2＋4.又因为|y1－y2|＝（y1＋y2）2－4y1y2＝22·1＋m2m2＋2，所以2d＝22·1＋m2m2＋4.…....10分