广西高中数学竞赛成绩2023
高中数学竞赛与强基计划试题专题：函数
高中数学竞赛与强基计划试题专题：函数一、单选题1．（2020·北京·高三校考强基计划）设函数()e (1)x f x a x b =+-+在区间[1,3]上存在零点，则22a b +的最小值为（）A ．e 2B ．eC ．2e 2D ．2e 2．（2020·北京·高三校考强基计划）设多项式()f x 的各项系数都是非负实数，且(1)(1)(1)(1)1f f f f '''''=='==，则()f x 的常数项的最小值为（）A ．12B ．13C ．14D ．153．（2020·北京·高三校考强基计划）设函数2e ()sin e e xx xf x x -=++在区间[2,2]-上的最大值为M ，最小值为m ，则（）A ．2M m +=B ．1M m +=C ．2M m -=D ．1M m -=4．（2020·北京·高三校考强基计划）已知()f x 的导数存在，()y f x =的图象如图所示，设()()S t a t b ≤≤是由曲线()y f x =与直线x a =，x t =及x 轴围成的平面图形的面积，则在区间[,]a b 上（）A ．()f x '的最大值是()f a '，最小值是()f c 'B ．()f x '的最大值是()f c '，最小值是()f b 'C ．()S t '的最大值是()S a '，最小值是()S c 'D ．()S t '的最大值是()S c '，最小值是()S b '5．（2022·北京·高三校考强基计划）已知[]x 表示不超过x 的整数，如][1.21, 1.22⎡⎤=-=-⎣⎦.已知12α=，则12α⎡⎤=⎣⎦（）A ．321B ．322C ．323D ．以上都不对6．（2022·全国·高三专题练习）设函数()f x =e 1e 1sin22y x -+=+上存在点0(x ，0)y 使得00(())f f y y =成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[0，21]e e -+B ．[0，21]e e +-C ．[0，21]e e --D ．[0，21]e e ++二、多选题7．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设函数()f x ={3,43,x x x -,x a x a≥<则（）A ．当()f x 有极小值时，12a >B ．当()f x 有极大值时，12a >-C ．当()f x 连续时，a 的可能值有3个D ．当()f x 有2极值点时，0a =或112a <<8．（2022·浙江宁波·高三统考竞赛）已知0a >且1a ≠，关于x 的不等式31x a a >-，下列结论正确的是（）A ．存在a ，使得该不等式的解集是R B ．存在a ，使得该不等式的解集是∅C ．存在a ，使得该不等式的解集是(,2022)-∞D ．存在a ，使得该不等式的解集是2022(,)+∞9．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设正整数k 使得关于x 的方程sin kx x =在区间()33ππ-，内恰有5个实根12345x x x x x <<<<，则（）A ．123450x x x x x +++=+B ．5295122x ππ<<C ．55tan x x =D ．2x ，4x ，5x 成等差数列三、填空题10．（2022秋·河南驻马店·高二确山县第一高级中学校考竞赛）若函数()f x t =-[,]a b ，值域为[,]a b ，则实数t 的取值范围是___________.11．（2022·新疆·高二竞赛）已知)()2ln21011-=++-+x x f x x ，则不等式(21)()2022++>f x f x 的解集为___________．12．（2021·全国·高二专题练习）若函数()(0)y f x x =>满足2()()e x xf x f x x ='-（其中e 为自然对数的底数），且()1e f =-，则()ln 2e f =___________.13．（2022·广西·高二统考竞赛）设()=y f x 是严格单调递增的函数，其反函数为()=y g x ．设1x ，2x 分别是方程()+=2f x x 和()+=2g x x 的解，则12x x +=______．14．（2022·广西·高二统考竞赛）已知()()()+1+1+1+1+1<+1<1n nn nn ααααα-α--，1<<0-α．设6=410=k x ∑，则x 的整数部分为______．15．（2022·江苏南京·高三强基计划）函数y =___________.16．（2022·福建·高二统考竞赛）已知函数()211log 22a f x ax x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[]2,3上恒正，则实数a 的取值范围为___________.17．（2022·贵州·高二统考竞赛）函数122023()12022x x x f x x x x +++=+++++ 的对称中心为(,)a b ，则2a b +=_____．18．（2022·贵州·高二统考竞赛）00x ∃<，使得2||20x x a +--<（a Z ∈）恒成立，则所有满足条件的a 的和_____．19．（2021·全国·高三竞赛）已知22,0,()1,0,x x f x x x -<⎧=⎨-≥⎩方程()()240f x f x ax ++---=有三个实根123x x x <<．若()32212x x x x -=-，则实数=a __________．20．（2021·全国·高三竞赛）已知s ､t 是关于x 的整系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，12s t <<<，则当正整数a 取得最小值时，b c +=___________.21．（2021·全国·高三竞赛）2cos ()lg ,sin 12x x f x x k k x ππ⎛⎫-⎛⎫=≠+∈ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭Z ，可以表示为一个偶函数()g x 和奇函数()h x 的和，则()g x 的最小值是_________．22．（2021·全国·高三竞赛）方程33333333(1)(4)(9)21491(1)(4)(9)3(1)(4)(9)x x x x x x x x x x x x ⎡⎤---+++++=⎢⎥++++++⎣⎦的不同的实数解的个数为___________.23．（2020·江苏·高三竞赛）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()x f x x e -++为偶函数，且()()220f a f a -+≤，则实数a 的最大值为___________．24．（2022·北京·高三校考强基计划）已知()f x 是二次函数，()20f -=，且()2422x x f x +≤≤，则()10f =___________.25．（2021·全国·高三竞赛）实数x 、y 满足()()434313,,71113,.y y y y x x y x⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩①②则x 、y 的大小关系是___________．26．（2021·全国·高三竞赛）已知函数21()(1)1x f x x x -⎛⎫=> ⎪+⎝⎭，如果不等式1(1()(f x m m ->对11,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围_______________.27．（2020·全国·高三竞赛）设,0a b >，满足：关于xb +=恰有三个不同的实数解123,,x x x ，且123x x x b <<=，则a b +的值为_____．四、解答题28．（2022·广西·高二统考竞赛）设a 为正整数，3|a ，()1=f a ，令()()Z,+1=Z,f n f n ⎪⎩1n ≥．求证：存在M 使得()f n M ≤，1n ≥．29．（2022·福建·高二统考竞赛）如果对任意的整数x ，y ，不等式()22411x y kx y +++≥恒成立，求最大常数k .30．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）已知函数()()3223632022f x x ax a x a =++-+.若()f x 是区间[]22-,上的单调增函数，求实数a 的取值范围.高中数学竞赛与强基计划试题专题：函数答案一、单选题1．（2020·北京·高三校考强基计划）设函数()e (1)x f x a x b =+-+在区间[1,3]上存在零点，则22a b +的最小值为（）A ．e 2B ．eC ．2e 2D ．2e 【答案】D【分析】利用点到直线的距离结合导数可求22a b +的最小值.【详解】设零点为t ，则()1e 0ta tb -++=，因此[]2222e ,1,3(1)1ta b t t +≥∈-+，考虑函数()22()22e x g x x x -=-+，其导函数()220()266e xg x x x -=-+-'<，因此函数()g x 在[1,3]上单调递减，从而22a b +的最小值为21e (1)g =．2．（2020·北京·高三校考强基计划）设多项式()f x 的各项系数都是非负实数，且(1)(1)(1)(1)1f f f f '''''=='==，则()f x 的常数项的最小值为（）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】B【分析】利用导数可求系数和的4个等式，结合组合数的性质可判断常数项的最小值.【详解】设230123()nn f x a a x a x a x a x =+++++ ，其中0(0,1,,)i a i n ≥= ，则01231232331,231,2132(1)1,321(1)(2)1,n n n n a a a a a a a a na a a n n aa n n n a +++++=⎧⎪++++=⎪⎨⋅⋅+⋅⋅++⋅-⋅=⎪⎪⋅⋅⋅++⋅-⋅-⋅=⎩ 从而333441C C 6n n a a a =--- ，222233441C C C 2n n a a a a =---- ，111122331C C C n n a a a a =---- ，0121n a a a a =---- ，于是1102231C C n na a a a -=+++ ()()2121343411C C C C 2n n n a a a -=------ 2233411C C 2n n a a a -=---+()()323243411C C C C 3n n n a a -=+-++- 333411C C 3n n a a -=+++ 13≥，等号当350n a a a ==== 时取得，因此所求最小值为13，3．（2020·北京·高三校考强基计划）设函数2e ()sin e e xx xf x x -=++在区间[2,2]-上的最大值为M ，最小值为m ，则（）A ．2M m +=B ．1M m +=C ．2M m -=D ．1M m -=【答案】A【分析】利用函数的对称性可求2M m +=，再利用特殊值法可判断最小值小于零，从而可判断CD 的正误.【详解】注意到()()2f x f x +-=，因此2M m +=，故选项A 正确，选项B 错误．而注意到21021ef ππ⎛⎫-=-< ⎪+⎝⎭，于是(2)222M m m m m -=--=->，故选项CD 错误．综上所述，只有选项A 正确．4．（2020·北京·高三校考强基计划）已知()f x 的导数存在，()y f x =的图象如图所示，设()()S t a t b ≤≤是由曲线()y f x =与直线x a =，x t =及x 轴围成的平面图形的面积，则在区间[,]a b 上（）A ．()f x '的最大值是()f a '，最小值是()f c 'B ．()f x '的最大值是()f c '，最小值是()f b 'C ．()S t '的最大值是()S a '，最小值是()S c 'D ．()S t '的最大值是()S c '，最小值是()S b '【答案】D【分析】根据图像，利用导数的定义，化简0()()()limS t t S t S t t∆→+∆-'=∆，然后，逐个选项进行判断即可.【详解】如图所示，()f x '的最大值为()f a '，最小值为()f b '．由导函数的定义，得()()()()()()000ΔΔ'limlim lim ΔΔt t t S t t S t t f t S t f t f t t t∆→∆→∆→+-⋅====．则()S t '的最大值是()S c '，最小值是()S b '.5．（2022·北京·高三校考强基计划）已知[]x 表示不超过x 的整数，如][1.21, 1.22⎡⎤=-=-⎣⎦.已知α=，则12α⎡⎤=⎣⎦（）A ．321B ．322C ．323D ．以上都不对【答案】A【分析】记n nn a ⎛=+ ⎝⎭⎝⎭，则由其所对应的特征根方程知数列n a 满足21n n n a a a ++=+，由递推关系依次求出各项，再结合放缩法即可求解【详解】记1122nnn a ⎛⎛-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则由其所对应的特征根方程知数列n a 满足21n n n a a a ++=+且012,1a a ==，依次可得234567893,4,7,11,18,29,47,76a a a a a a a a ========，101112123,199,322.a a a ===()0,1，所以()120,1∈⎝⎭，所以121212112a a ⎛+>>- ⎝⎭，所以12321α⎡⎤=⎣⎦.6．（2022·全国·高三专题练习）设函数()f x =e 1e 1sin22y x -+=+上存在点0(x ，0)y 使得00(())f f y y =成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[0，21]e e -+B ．[0，21]e e +-C ．[0，21]e e --D ．[0，21]e e ++【答案】C【分析】利用函数()f x 的单调性可以证明00()f y y =.令函数()f x x =，化为2a x lnx x =--.令2()h x x lnx x =--，利用导数研究其单调性即可得出.【详解】解：1sin 1x -，∴当sin 1x =时，e 1e 1sin 22y x -+=+取得最大值1122e e y e -+=+=，当sin 1x =-时，e 1e 1sin 22y x -+=+取得最小值11122e e y -+=-+=，即函数e 1e 1sin 22y x -+=+的取值范围为[1，]e ，若e 1e 1sin 22y x -+=+上存在点0(x ，0)y 使得00(())f f y y =成立，则0[1y ∈，]e .又()f x =.所以假设00()f y c y =>，则0(())f f y f =（c ）00()f y c y >=>，不满足00(())f f y y =.同理假设00()f y c y =<，也不满足00(())f f y y =.综上可得：00()f y y =.0[1y ∈，]e .函数()f x =(0,)+∞，∴x =，在(0，]e 上有解即平方得2lnx x a x ++=，则2a x lnx x =--，设2()h x x lnx x =--，则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x--+-'=--==，由()0h x '>得1x e <，此时函数单调递增，由()0h x '<得01x <<，此时函数单调递减，即当1x =时，函数取得极小值，即h （1）1110ln =--=，当x e =时，h （e ）221e lne e e e =--=--，则20()1h x e e --.则201a e e -- .【点睛】本题考查了函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题.二、多选题7．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设函数()f x ={3,43,x x x -,x a x a≥<则（）A ．当()f x 有极小值时，12a >B ．当()f x 有极大值时，12a >-C ．当()f x 连续时，a 的可能值有3个D ．当()f x 有2极值点时，0a =或112a <<【答案】BC【分析】作出y x =和343y x x =-的图象,由图象依次判断各选项即可得出结果.【详解】作出y x =和343y x x =-的图象,如图,343y x x =-有12x =±两个极值点.对于选项A,当0a =时，()f x 有极小值，A 错误；对于选项B,当()f x 有极大值时，12a >-，所以B 正确；选项C,要使()f x 连续，则a 必须取在y x =和343y x x =-的交点处，这样的a 恰有三个,故C 正确；对于选项D,要()f x 有两个极值点，则0a =或12a >，故D 错误.8．（2022·浙江宁波·高三统考竞赛）已知0a >且1a ≠，关于x 的不等式31x a a >-，下列结论正确的是（）A ．存在a ，使得该不等式的解集是R B ．存在a ，使得该不等式的解集是∅C ．存在a ，使得该不等式的解集是(,2022)-∞D ．存在a ，使得该不等式的解集是2022(,)+∞【答案】ACD【分析】结合指数函数相关知识对选项逐一进行判定.【详解】①1,031,3xa a a x R ≤>≥-∈，故A 正确；②log (31)11,31log (31)3aa xa a a a a x a -><<-=⇒<-，又()log (31)log 2,a a a -∈+∞，故存在a 使得log (31)2022a a -=，不等式解集为(),2022-∞故C 正确；③log (31)1,31log (31)aa xa a a a a x a ->>-=⇒>-，又log (31)(log 2,)a a a -∈+∞，故存在a 使得log (31)2022a a -=，不等式解集为()2022+∞，故D 正确；④结合A 、C 、D 选项，当13a ≤或113a <<或1a >时，不等式都存在解集，故不满足解集为空集，所以B 错误.9．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设正整数k 使得关于x 的方程sin kx x =在区间()33ππ-，内恰有5个实根12345x x x x x <<<<，则（）A ．123450x x x x x +++=+B ．5295122x ππ<<C ．55tan x x =D ．2x ，4x ，5x 成等差数列【答案】ABC【分析】利用函数图象，结合图象判断每个选项即可.【详解】解：如图所示，函数y kx =与函数sin y x =恰有5个交点.选项A ，根据对称性可知123450x x x x x +++=+，正确；选项B ，考虑在区间52,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，两函数在5x x =时相切，所以555sin cos kx x k x =⎧⎨=⎩，所以满足55tan x x =，而29529tantan 2121212πππ==+，所以52912x π>，正确；选项C ，两函数在5x x =时相切，所以555sin cos kx x k x =⎧⎨=⎩，所以55tan x x =，正确；选项D ，若2x ，4x ，5x 成等差数列，则因为2x ，4x 关于原点对称，所以必有453x x =，即4444sin sin 33kx x x kx =⎧⎨=⎩，则()334444443sin 33sin 4sin 34kx x x x kx kx ==-=-，则40kx =，故不符合题意，错误.三、填空题10．（2022秋·河南驻马店·高二确山县第一高级中学校考竞赛）若函数()f x t =-[,]a b ，值域为[,]a b ，则实数t 的取值范围是___________.【答案】9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【详解】解析：易知()f x t =[,]a b 上单调递减，因为函数()f x 的值域为[,]a b ，所以(),(),f a b f b a =⎧⎨=⎩即,.t b t a ⎧⎪⎨⎪⎩两式相减得，22(3)(3)a b a b -=-=+-+=-，1=.因为a b <，所以102≤<，而1t a a ==+，所以219(3)224t a ⎫=+-=-⎪⎭.又102≤<，所以924t -<≤-.11．（2022·新疆·高二竞赛）已知)()2ln 21011-=++-+xx f x x ，则不等式(21)()2022++>f x f x 的解集为___________．【答案】1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【详解】令()()1011=-g x f x ，易得()g x 为奇函数且单调递增．原不等式等价于(21)()0(21)()++>⇔+>-g x g x g x g x ．所以1213+>-⇒>-x x x ．故答案为：1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.12．（2021·全国·高二专题练习）若函数()(0)y f x x =>满足2()()e x xf x f x x ='-（其中e 为自然对数的底数），且()1e f =-，则()ln 2e f =___________.【答案】0【分析】构造函数()()f x F x x=，可得()e x F x '=，即()e x F x m =+，结合(1)e f =-，可得2e m =-，即()e 2e x F x =-，()()e 2e xf x x =-，代入ln 2e x =即得解【详解】令()()f x F x x=，则2()()()e x xf x f x F x x-'='=，∴()e x F x m =+.又(1)e f =-，∴(1)e F =-，∴2e m =-，∴()e 2e x F x =-，于是()()e 2e xf x x =-，(ln 2e)0f ∴=.13．（2022·广西·高二统考竞赛）设()=y f x 是严格单调递增的函数，其反函数为()=y g x ．设1x ，2x 分别是方程()+=2f x x 和()+=2g x x 的解，则12x x +=______．【答案】2【详解】()+f x x 严格单调递增．且()()()()()112222+=2=+=+f x x g x x f g x g x ，故()12=x g x ，()21=x f x ，于是()1211+=+=2x x x f x .14．（2022·广西·高二统考竞赛）已知()()()+1+1+1+1+1<+1<1n nn nn ααααα-α--，1<<0-α．设6=410=k x ∑，则x 的整数部分为______．【答案】14996【详解】由()()()+1+1+1+1+1<+1<1n n n n n ααααα-α--，取1=3α-，64,5,,10n =⋅⋅⋅，将不等式相加可得()()62222=466333310210+14<1033k -∑-，则x 的整数部分为14996．15．（2022·江苏南京·高三强基计划）函数y =___________.【答案】[]1,2【详解】令θθ，由sin 0cos 0θ≥θ≥⎧⎨⎩得2,22k k πθππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，则sin cos 2sin 3y πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，2,22k k πθππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，所以[]1,2y ∈.16．（2022·福建·高二统考竞赛）已知函数()211log 22a f x ax x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[]2,3上恒正，则实数a 的取值范围为___________.【答案】375,,494⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】设()21122g x ax x =-+，由()122202g a =-+>，得34a >，当34a >，且23x <<时，()'10g x ax =->，所以34a >时，()21122g x ax x =-+在区间[]2,3上递增，①若314a <<，则[]2,3x ∈时，()()()2>0>03<1g f x g ⎧⎪⇔⎨⎪⎩，因此3749a <<，②若1a >，则[]2,3x ∈时，()()021f x g >⇔>，因此54a >，综上，a 的取值范围为375,,494⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.17．（2022·贵州·高二统考竞赛）函数122023()12022x x x f x x x x +++=+++++ 的对称中心为(,)a b ，则2a b +=_____．【答案】1【详解】∵122023()12022x x x f x x x x +++=+++++ 111202312022x x x =++++++ ，设()(1011)2023g x f x =--11111011101010101011x x x x =++++--++ ，1111()1011101010101011g x x x x x -=++++-----+-+ 1111()1011101010101011g x x x x x ⎛⎫=-++++=- ⎪--++⎝⎭ ，∴()(1011)2023g x f x =--是奇函数，所以f (x )关于点(1011,2023)-对称，∴2+=2(1011)+2023=1a b -⨯．18．（2022·贵州·高二统考竞赛）00x ∃<，使得2||20x x a +--<（a Z ∈）恒成立，则所有满足条件的a 的和_____．【答案】0【详解】由2||20x x a +--<得2||2x a x -<-(x <<，2222x x a x -<-<-，令21:2C y x =-，22:2C y x =-+，(x ∈，:l y x a =-，12,C C ，l 在同一坐标下的图像如图所示：由2==+2y x a y x -⎧⎨-⎩得22x x a -+=-，2(2)0x x a +-+=，当Δ14(2)0a =++=时，94a =-，由图对称性知9944a -<-<，∴9944a -<<，∴{2,1,0,1,2}A =--，∴元素之和为0，19．（2021·全国·高三竞赛）已知22,0,()1,0,x x f x x x -<⎧=⎨-≥⎩方程()()240f x f x ax ++---=有三个实根123x x x <<．若()32212x x x x -=-，则实数=a __________．【详解】设()11g x x =-≤≤，注意到()1max((),())()()()()2f xg x f x g x f x g x =++-．故方程可变形为max((),())2f x g x ax =+．由2x -≥2x ≤，从而有2,1,,2max((),()),1.x xf xg xx⎧⎡-∈--⎪⎢⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩由22x ax-=+，得112122x xa⎛⎫=--≤≤-⎪+⎝⎭，进而02a≤≤．再由2ax=+，得32240,4ax xa==-+．因为()1233221,2x x x x x x x<<-=-，所以1223x x=，即241224aa a=++，解得32a=．20．（2021·全国·高三竞赛）已知s､t是关于x的整系数方程20(0)ax bx c a++=>的两根，12s t<<<，则当正整数a取得最小值时，b c+=___________.【答案】4-【详解】设()()()f x a x s x t=--，则2()f x ax bx c=++，因为(1),(2)f f Z∈，所以(1)(2)1f f⋅≥，所以211(1)(1)(2)(2)(1)(1)(2)(2)as t s t s t s t≥=--------.又因为11(1)(2),(1)(2)44s s t t--≤--≤，所以216a≥，但216a≠，所以5a≥.当5a=时，25(1)(2)25(1)(1)(2)(2)1,16f f s t s t⎡⎫⋅=----∈⎪⎢⎣⎭，所以(1)(2)1f f⋅=，所以(1)(2)1f f==.于是2()51511f x x x=-+，故15114b c+=-+=-.21．（2021·全国·高三竞赛）2cos()lg,sin12x xf x x k kxππ⎛⎫-⎛⎫=≠+∈⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭Z，可以表示为一个偶函数()g x 和奇函数()h x的和，则()g x的最小值是_________．【答案】0【详解】解析：因为()f x可以表示为一个偶函数()g x和奇函数()h x的和，所以()()()2f x f xg x+-=，2cos2cos2()lg lgsin1sin1x x x xg xx x⎛⎫⎛⎫--=+⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭222(2cos)2sinlg1sinx xx⎛⎫--= ⎪-⎝⎭2223cos4cos2cos1lg lg120cos cosx x xx x⎛⎫⎛⎫-+-⎛⎫==+≥⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2,x k k Zπ=∈时，min(())0g x=．22．（2021·全国·高三竞赛）方程33333333(1)(4)(9)21491(1)(4)(9)3(1)(4)(9)x x x x x x x x x x x x ⎡⎤---+++++=⎢⎥++++++⎣⎦的不同的实数解的个数为___________.【答案】5【详解】解析：易知0x =是原方程的解.当0x ≠时，利用()3322()a b a b a ab b +=+-+，原方程33333333(1)(4)(9)214911110(1)(4)(9)3(1)(4)(9)x x x x x x x x x x x x ⎡⎤---+++++-+-+-=⎢⎥++++++⎣⎦等价于322249490(1)(4)(9)(1)(4)(9)x x x x x x x x x x x ⎡⎤+-++=⎢⎥++++++⎣⎦.方程两端同除x ，整理后得()42982883850x x x x --+=.再同除x ，得()22231(624)0x x --+=.即()()22676550x x x x +---=，从而有(7)(1)(5)(11)0x x x x +-+-=.经验证12347,1,5,11x x x x =-==-=均是原方程的根，所以原方程共有5个不同的实数根.23．（2020·江苏·高三竞赛）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()x f x x e -++为偶函数，且()()220f a f a -+≤，则实数a 的最大值为___________．【答案】1【详解】解析：由题意()()()x x x f x x e f x x e f x x e -++=--+=--+，则()2x x e e f x x --=-，求导可得()f x 为单调递增的函数，故()()22f a f a ≤-，则22a a ≤-，解得21a -≤≤，则实数a 的最大值为1．24．（2022·北京·高三校考强基计划）已知()f x 是二次函数，()20f -=，且()2422x x f x +≤≤，则()10f =___________.【答案】36【分析】法一：由()20f -=，可设()()()()2222f x x ax b ax a b x b =++=+++，则由()2f x x ≥整理后即为2244844a b ab a b +≤++-，由()242x f x +≤得()()22142440a x a b x b -+++-≤，讨论210a -=，210a -≤可得出2a b =，由此可解出14a =，可求出()f x 的解析式，即可得出答案.法二：由()()2241202(2)22x x f x f x x x +≤≤⇒≤-≤-，设()()()()20g x a x x m a =--≠，讨论2m ≠和2m =结合题目条件可解得14a =，可求出()f x 的解析式，即可得出答案.【详解】法一：由()20f -=，可设()()()()2222f x x ax b ax a b x b =++=+++，则由()2f x x ≥得()22220ax a b x b ++-+≤，所以0a ≥且2(22)8a b ab +-≤，整理后即为2244844a b ab a b +≤++-，由()242x f x +≤得()()22142440a x a b x b -+++-≤，若210a -=则必有420a b +=，此时与2(22)8a b ab +-≤矛盾，所以210a -≤且()()2(42)42144a b a b +≤--，整理后为2244844a b ab a b +≤--+，与2244844a b ab a b +≤++-相加即得2244a b ab +≤，即2(2)0a b -≤，所以2a b =，所以()()()222(2)f x x ax a a x =++=+，又由于在原不等式中令2x =可得()424f ≤≤，所以()24f =，由此解得14a =.所以()()21(2),10364f x x f =+=.法二：()()2241202(2)22x x f x f x x x +≤≤⇒≤-≤-，令()()2g x f x x =-，则()()24,20g g -==，设()()()()20g x a x x m a =--≠.若2m ≠，则()()()()'22122202x x g x g a m =⎡⎤--=-'=-≠⎢⎥⎣⎦，于是()20a m ->时，存在02x <使得()()2001202x g x --<，矛盾；()20a m -<时，存在02x >使得()()2001202x g x --<，矛盾；故2m =，令2x =-，则()116244a g a =-=⇒=.于是()()22112(2)2(2)44f xg x x x x x =+=-+=+，进而()1036f =.故答案为：36.25．（2021·全国·高三竞赛）实数x 、y 满足()()434313,,71113,.y y y y xx y x⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩①②则x 、y 的大小关系是___________．【答案】x y >或y x<【分析】比较x 、y 的大小关系，在等式中比较x 、y 的大小关系，利用假设法结论正确的答案，结论错误则结果与假设的相反.【详解】假设x y ≤．由①知16913yyx-=，由于1313xy≤，则13169yyy≥-，从而13911616y y⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设139()1616t t f t ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f t 在R 上递减，且()1f y ≥，又22139(2)11616f ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()(2)f y f >．于是2y <．由②知，71113x y x +=，又1111x y ≤，所以71113x x x +≤，即11711313x x⎛⎫⎛⎫+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．类似上面有2x >．于是x y >与x y ≤矛盾故x y >．26．（2021·全国·高三竞赛）已知函数21()(1)1x f x x x -⎛⎫=> ⎪+⎝⎭，如果不等式1(1()(f x m m ->对11,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围_______________.【答案】51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】求出)1()01f x x -=<<，将已知条件转化为2(110m m +->对11,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，利用换元法转化为2()(1)10g t m t m =++->，对11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，由10,4102g g⎧⎛⎫> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩可解得结果.【详解】22121(1)11x y x x x -⎛⎫⎛⎫==-> ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭Q，得x =又1x >，2011x ∴<<+，20111x ∴<-<+，01y ∴<<)1()01f x x -∴<<由题意得(1(m m --对11,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，1(m m >，即2(110m m +->对11,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，显然1m ≠-，令t =11,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，11,42t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦所以2(1)10m t m ++->，对11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令2()(1)1g t m t m =++-是关于t 的一次函数，要使()0g t >，对11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，需104102g g ⎧⎛⎫> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，即221(1)1041(1)102a a a a ⎧++->⎪⎪⎨⎪++->⎪⎩，解得：514a -<<，所以实数m 的取值范围51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图像在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立27．（2020·全国·高三竞赛）设,0a b >，满足：关于xb +=恰有三个不同的实数解123,,x x x ，且123x x x b <<=，则a b +的值为_____．【答案】144．【分析】令2at x =+，将方程根的问题转化为函数问题，结合函数的奇偶性和单调性进行计算，即可得到结果.【详解】解：令2a t x =+，则关于tb +=恰有三个不同的实数解(1,2,3)2i i a t x i =+=．由于()f t =()f t b =的三个实数解关于数轴原点对称分布，从而必有(0)b f ==．以下求方程()f t =的实数解．当||2a t ≤时，()f t =等号成立当且仅当0=t ；当2a t >时，()f t 单调增，且当58at =时()f t =；当2a t <-时，()f t 单调减，且当58a t =-时()f t =．从而方程()f t =12355,0,88t a t t a =-==．由条件知3328a ab x t ==-=，结合b =得128a =．于是91448aa b +==．【点睛】关键点点睛：要求解方程的根，关键是转化为函数问题，结合函数的奇偶性和单调性进行求解，考查转化能力.四、解答题28．（2022·广西·高二统考竞赛）设a 为正整数，3|a ，()1=f a ，令()()Z,+1=Z,f n f n ⎪⎩1n ≥．求证：存在M 使得()f n M ≤，1n ≥．【详解】首先证明()3|f n ，1n ≥．否则，由()3|1f 可知存在正整数P ，使得()()3|1f k k P ≤≤，()3+1f P ，从而()23+1f P .（1）若()+1f P ，则由()23+1f P得到()3f P ，矛盾（2）若()()+1=+3f P f P ，则由()3+1f P得到()3f P ，矛盾．下面证明()()23f n a ≤，1n ≥．假设存在k ，()()2>3f k a ，则由()()21=<3f a a 可知存在正整数0k ，使()()()2031f m a m k ≤≤≤，()()20+1>3f k a .（3）若()()20=3f k a ，则()()20+1=3<3f k a a ，矛盾．（4）若()()20<3f k a ，则由()03|f k 可得()()2033f k a ≤-，从而有()()20+1<3f k a a ≤或者()()()200+1=+33f k f k a ≤，矛盾．因此，存在()2=3M a 使得()f n M ≤，1n ≥.29．（2022·福建·高二统考竞赛）如果对任意的整数x ，y ，不等式()22411x y kx y +++≥恒成立，求最大常数k .【答案】3【详解】当1x y ==时，有4112k ++≥，因此3k ≤，下面证明不等式()224131x y x y +++≥对任意整数x ，y 均成立，设()27134f x x x =+-，则()227762134477f x x x x ⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭，由二次函数性质知，0x ≤或2x ≥时，()()010f x f ≥=>，所以当0x ≤或2x ≥时，271304x x +->，所以当0x ≤或2x ≥时，对任意y ，均有：()2222222973741313313104424x y x y x xy y x x x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=-++-+=-+-+> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又当=1x 时，()()()222413132120x y x y y y y y ++-+=-+=--≥对任意整数y 成立，所以对任意整数x ，y ，()2241310x y x y ++-+≥均成立，因此，不等式()224131x y x y +++≥对任意整数x ，y 均成立，综上所述，k 的最大值为3.30．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）已知函数()()3223632022f x x ax a x a =++-+.若()f x 是区间[]22-,上的单调增函数，求实数a 的取值范围.【答案】[]7,2-【详解】由()()323632022f x x ax a x a =++-+,则()()2=63'f x x ax a ++-，又()f x 在区间[]22-,上是单调递增,所以()'0f x ≥,即()223013x ax a a x x ++-≥⇔-+≥-在区间[]22-,上恒成立.如图所示，考虑过定点()13P ，的直线()13y a x =-+和抛物线2y x =-在[]22-,上的两个临界位置：当直线()13y a x =-+与抛物线2y x =-相切于A 点时,有()2Δ4302a a a --=⇒=（舍去负值）.当()13y a x =-+与拋物线2y x =-相交于()2,4B -点时,有()347.12PB a k --===--综上可得，实数a 的取值范围是[]7,2-.。
上海闵行区高中奥数竞赛cmo2023
上海闵行区高中奥数竞赛(CMO)是一项为了培养学生数学兴趣和提高数学竞赛水平的重要活动。
本次竞赛将于2023年举行，以下是关于CMO2023的一些重要内容和相关信息：一、竞赛时间和地点1. 时间：CMO2023将于2023年5月举行，具体时间将在竞赛临近时公布。
2. 地点：竞赛地点将在上海闵行区内的高中学校举办，具体地点将在竞赛前公布。
二、竞赛内容1. 题型：CMO2023将包括选择题和非选择题两部分，涵盖数学知识的各个领域，如代数、几何、概率与数理统计等。
2. 难度：竞赛题目难度适中，旨在考察学生的数学思维能力和解题技巧。
三、参赛资格和报名方式1. 参赛资格：本次竞赛面向上海闵行区高中学生，对数学有浓厚兴趣和较强解题能力的学生均可报名参赛。
2. 报名方式：学校将通过线上系统进行报名，具体报名流程将在竞赛通知中公布。
四、竞赛奖项1. 奖项设置：CMO2023将设置一、二、三等奖，并设立优秀组织奖、最佳团队奖等特别奖项。
2. 奖励措施：获奖学生将获得荣誉证书和奖金奖励，同时还将获得一定的数学辅导资源和机会。
五、竞赛宗旨1. 培养兴趣：CMO2023旨在通过数学竞赛活动，激发学生对数学的浓厚兴趣，培养他们对数学的探究精神和兴趣。
2. 提高水平：竞赛将促使学生们在解决数学问题的过程中提高解题能力、逻辑思维和抽象推理能力。
六、竞赛影响1. 学术提升：通过参加CMO2023，学生们将在数学领域得到更广泛、更深入的学术锻炼和提升。
2. 多元发展：竞赛经历不仅能够让学生们感受到数学的魅力，还可以促进他们的多元发展，提高自身的综合素质。
七、竞赛意义1. 推动数学教育：CMO2023作为一项重要的数学竞赛活动，将推动上海闵行区数学教育的发展，培养更多对数学感兴趣的学生。
2. 增强竞争力：参加竞赛将有助于学生们增强自身的竞争力，为未来的学业和职业发展奠定良好基础。
通过CMO2023的举办，上海闵行区的高中学生将有更多的机会接触数学竞赛，培养自己的数学兴趣和竞赛能力，同时也将为数学教育领域的发展贡献力量。
广西邕衡金卷2023届高三第三次适应性考试数学(理)试题
n
项和 Sn
．
18．为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征
程”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了 100 名，统计出他们竞赛成
绩分布如下：
成绩（分） [40,5[500),6[600) ,70[7) 0,80[8) 0,90[9) 0,100]
人数
2 4 22 40 28 4
4
3 2
=
2
3 ，高
为 6，
( ) 设球的半径为 R，可得 R2 = 2 3 2 + (6 - R)2 ，解得 R=4，
所以体积为VΩ
=
4 3
´
π´
R3
=
256π 3
．
故选：B 9．A
【分析】先求 tana ，再将目标式化为齐次式求解即可.
答案第31 页，共22 页
【详解】由已知得： tana
= 3 ，所以 3sina × cosa
试卷第31 页，共33 页
16．关于函数 f ( x) = tan x - 3sin x 有如下四个命题： ① f ( x) 的一个周期是 π；
② f ( x) 的对称中心是 (kπ,0)(k Î Z) ；
③
f
(x)
在
æ çè
0,
π 2
ö ÷ø
上的最小值是1 -
32 2
；
④ f ( x) 在 (0, 2π) 内的所有零点之和为 3π ．
(1)若 a = 1，求 y = f ( x) 在 x = 1 处的切线方程；
(2)若 f ( x) 有两个不同零点 x1 ， x2 证明： f ( x1x2 ) > (e +1- a) x1x2 ．
原题目：2023年全国高中数学联合竞赛一试
原题目：2023年全国高中数学联合竞赛
一试
背景
2023年全国高中数学联合竞赛是一项重点的数学竞赛活动，旨在评估参赛者在高中数学领域的知识和技能。
该竞赛将于明年举行，吸引了来自全国各地的高中生参与。
目标
本次竞赛的目标是鼓励和推广数学学科的研究，培养学生的数
学思维和解决问题的能力。
通过这一竞赛，我们希望激发参赛者对
数学的兴趣，促进他们的学术发展。
内容
本次竞赛将包括多个数学题目，涵盖了高中数学的各个领域。
参赛者需要在规定的时间内，准确解答这些题目。
题目的难度程度
将根据高中数学课程的要求确定，以确保公平性和公正性。
评分和奖项
参赛者的答题将由专业的评委进行评分。
评分标准将根据答案的准确性和解题过程的清晰性确定。
根据参赛者的得分，将颁发不同的奖项，以鼓励他们在数学领域的努力和成就。
举办地点和日期
本次竞赛将在2023年在全国各地的高中校园举行。
举办日期将在后续公布，以便参赛者合理安排时间进行准备和参加竞赛。
报名和参赛要求
报名参赛者需要符合一定的要求，例如全日制高中在读学生、年龄限制等。
具体的报名和参赛要求将在官方网站上公布，参赛者需要根据要求进行报名和准备。
结论
2023年全国高中数学联合竞赛是一项重要的数学竞赛活动，旨在促进数学学科的学习和发展。
我们期待着各地的高中生踊跃参与，在竞赛中展示他们的数学才能和潜力。
2023高中数学老师年度考核表个人工作总结(精选6篇)
2023高中数学老师年度考核表个人工作总结〔精选6篇〕篇一：2023高中数学老师年度考核表个人工作总结这学期的工作完毕标志着，接下来要迎来一个全新的工作状态，即将就是高x班了，高x的时间搞了一段落，作为数学老师的我感觉自己的单子并不轻，往届的毕业班就有鲜明的比照，带毕业班的不是很好带，自己的压力，加上学生的压力这是最难熬的一段时期，但是这是接下来的事情了，这个学期的我还是结合了学生的情况，较好的完成了数学教学工作，很有感想，对自己的工作我也总结一下：一、教学情况学生在这个学期都很紧张，毕竟迎来的就是高x了，这半年的数学教学工作我竭力的去做好工作，不让自己松懈下来，对每一位学生都要保持一个负责的心态，我觉得这个学期大家都是很配合的，自己的教学工作不可以说进展的很顺利，但是想对的来说还是比拟顺利的，对于数学这们课，我自己觉得作为一名老师应该做到不把一堂课上的很无聊，起码要让局部的学生有兴趣，然后这局部的学生，带动了课堂的气氛，积极的发言，让其余的学生参与进来，这才是教学的成功，不仅仅是自己想要去赶进度，让自己的工作快点的进入到下一个阶段，我始终都讲究一个小效率。
让学生开拓自己的思维，上课期间让学生自由的发言，比方一个题目，有多种不同的解法，应该让每一个学生知道这几种不同的解法，然后让其开拓一下自己的思想，假如有学生补充的我会让学生把自己的想法表达出来，我不把自己的观点强行的灌输给学生，这是一个很不好的习惯，这学期以来我一直提倡让学生发散自己的思维，尽量的去把一个问题深层次的挖掘，让学生养成这么一个考虑问题的好习惯。
二、把课堂轻松化课堂是一个很严肃的环境，其实这也要看情况来，我就不把课堂的气氛搞得很严肃，一学期来我特备的主张学生有问题就自由的发言，上课的过程中，保持一点点幽默，不让这种压力的气氛出如今课堂上，保持一点点幽默可以让学生感觉到上课不是那么的压抑，这其实对我的教学工作是有帮助的，也可以引起学生们的兴趣，不仅仅是对一贯的课堂气氛做一个整改，更加是对学生们的上课兴趣起了一个很好的作用。
广西2023高考录取分数线公布_高考录取分数线
广西2023高考录取分数线公布_高考录取分数线广西2023高考录取分数线公布6月24日上午，经自治区招生考试委员会审定，我区2023年普通高校招生录取最低控制分数线为：一、本科第一批录取最低控制分数线：理工类475分，文史类532分。
二、本科第二批录取最低控制分数线：理工类343分，文史类421分。
三、高职高专批录取最低控制分数线：理工类180分,文史类180分。
四、体育类专业的录取由文化分数线和体育统考分数线双线控制。
各批次的录取最低控制分数线分别为：体育类普通本科批(文化体育统考)：222分83分;体育类高职高专批(文化体育统考)：130分60分。
五、艺术类专业的录取由文化分数线和艺术统考分数线双线控制。
各批次的录取最低控制分数线分别为：艺术类普通本科批文化分数线：艺术理类258分，艺术文类316分;艺术统考分数线：美术类215分，书法类270分，音乐类220分，舞蹈类180分，播音主持类230分，广播影视编导类230分，航空服务类220分。
艺术类高职高专批文化分数线：艺术理类126分，艺术文类126分;艺术统考分数线：美术类180分，书法类255分，音乐类185分，舞蹈类175分，播音主持类225分，广播影视编导类215分，航空服务类215分。
新高考“3+1+2”模式考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目和考生选择的3科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，为750分。
即通常所说的“3+1+2”模式。
“3”：统一高考的语文、数学、外语3门科目，每科均为150分，总分450分，各科均以原始成绩计入考生总成绩;“1”：在普通高中学业水平选择性考试中，考生在物理或历史中所选择的1门科目，为100分，以原始成绩计入考生总成绩;“2”：在思想政治、地理、化学、生物学4门科目中选择的2门科目，每科均为100分，以等级赋分成绩计入考生总成绩。
新的高考政策改革，对学生一大考验就是要将目标放得更加长远，要考虑到自己未来的选择甚至是职业选择。
2023年高中数学竞赛平面几何定理
平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边旳平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中旳一边和另一边在这边上旳射影乘积旳两倍． (2)钝角对边旳平方等于其他两边旳平方和，加上这两边中旳一边与另一边在这边上旳射影乘积旳两倍．2． 射影定理（欧几里得定理）3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 旳边BC 旳中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m a -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一种角旳平分线分对边所成旳两条线段与这个角旳两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长二分之一）． 6． 正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=．8． 张角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间旳一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10．圆周角定理：同弧所对旳圆周角相等，等于圆心角旳二分之一．（圆外角怎样转化？） 11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对旳圆周角．12．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13．布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线旳交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边．14．点到圆旳幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O旳半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O旳幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则P A·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂旳点旳轨迹是与此二圆旳连心线垂直旳一条直线，假如此二圆相交，则该轨迹是此二圆旳公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆旳“根轴”．三个圆两两旳根轴假如不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆旳“根心”．三个圆旳根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两旳根轴)所在直线交于一点．15．托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．16．蝴蝶定理：AB是⊙O旳弦，M是其中点，弦CD、EF通过点M，CF、DE交AB 于P、Q，求证：MP=QM．17．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点旳距离；不在等边三角形外接圆上旳点，到该三角形两顶点距离之和不小于到另一点旳距离．定理2三角形每一内角都不不小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张旳角都是120°，该点到三顶点距离和到达最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不不不小于120°时，此角旳顶点即为费马点．18．拿破仑三角形：在任意△ABC旳外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC旳三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们旳外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1旳圆心构成旳△——外拿破仑旳三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一种等边三角形；△ABC 旳三条边分别向△ABC 旳内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们旳外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2旳圆心构成旳△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一种等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相似旳中心．19． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线旳垂足，以及垂心与各顶点连线旳中点，这九个点在同一种圆上，九点圆具有许多有趣旳性质,例如:（1）三角形旳九点圆旳半径是三角形旳外接圆半径之半;（2）九点圆旳圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线旳中点;（3）三角形旳九点圆与三角形旳内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20． 欧拉（Euler ）线：三角形旳外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形旳外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心旳距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22．锐角三角形旳外接圆半径与内切圆半径旳和等于外心到各边距离旳和． 23．重心：三角形旳三条中线交于一点，并且各中线被这个点提成2：1旳两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 旳重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 旳中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 旳重心，则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31；（3）设G 为△ABC 旳重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； （4）设G 为△ABC 旳重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++；③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离旳平方和最小旳点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形内到三边距离之积最大旳点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 旳重心）．24． 垂心：三角形旳三条高线旳交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心旳距离，等于外心到对边旳距离旳2倍；（2）垂心H 有关△ABC 旳三边旳对称点，均在△ABC 旳外接圆上；（3）△ABC 旳垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 旳外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 旳外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25． 内心：三角形旳三条角分线旳交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 旳内心，则I 到△ABC 三边旳距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 旳内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190；（3）三角形一内角平分线与其外接圆旳交点到另两顶点旳距离与到内心旳距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上旳点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 旳内心；（4）设I 为△ABC 旳内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则a c b KD IK KI AK ID AI +===； （5）设I 为△ABC 旳内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上旳射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26． 外心：三角形旳三条中垂线旳交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；)2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (CB A Cy By AyC B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 旳外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abc R 4；（4）锐角三角形旳外心到三边旳距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．27． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 旳三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切旳旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似旳式子）；（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠；（3）设A AI 旳连线交△ABC 旳外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样旳结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 旳垂足三角形，且△I A I B I C 旳外接圆半径'R 等于△ABC 旳直径为2R ．28． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表达BC 边上旳高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径旳互相关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 旳三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不通过它们任一顶点旳直线旳交点分别为P 、Q 、R 则有1=⋅⋅RB AR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立）31．梅涅劳斯定理旳应用定理1：设△ABC旳∠A旳外角平分线交边CA于Q，∠C旳平分线交边AB于R，∠B旳平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线．32．梅涅劳斯定理旳应用定理2：过任意△ABC旳三个顶点A、B、C作它旳外接圆旳切线，分别和BC、CA、AB旳延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．33．塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC旳边BC、CA、AB上旳一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点旳充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．34．塞瓦定理旳应用定理：设平行于△ABC旳边BC旳直线与两边AB、AC旳交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC旳中点M．35．塞瓦定理旳逆定理：（略）36．塞瓦定理旳逆定理旳应用定理1：三角形旳三条中线交于一点，三角形旳三条高线交于一点，三角形旳三条角分线交于一点．37．塞瓦定理旳逆定理旳应用定理2：设△ABC旳内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC旳外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理旳逆定理：（略）40．有关西摩松线旳定理1：△ABC旳外接圆旳两个端点P、Q有关该三角形旳西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．有关西摩松线旳定理2（安宁定理）：在一种圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其他一点旳有关该三角形旳西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC旳垂心为H，其外接圆旳任意点P，这时有关△ABC旳点P 旳西摩松线通过线段PH旳中心．43．史坦纳定理旳应用定理：△ABC旳外接圆上旳一点P旳有关边BC、CA、AB旳对称点和△ABC旳垂心H同在一条（与西摩松线平行旳）直线上．这条直线被叫做点P 有关△ABC旳镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边旳延长线旳交点所连线段旳中点和两条对角线旳中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形旳牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形旳两条对角线旳中点，及该圆旳圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们旳对应顶点（A和D、B和E、C和F）旳连线交于一点，这时假如对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们旳对应顶点（A 和D、B和E、C和F）旳连线交于一点，这时假如对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC旳外接圆上旳三点为P、Q、R，则P、Q、R有关△ABC 交于一点旳充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC旳外接圆上旳三点，若P、Q、R 有关△ABC旳西摩松线交于一点，则A、B、C三点有关△PQR旳旳西摩松线交于与前相似旳一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线旳交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作旳三角形旳垂心和其他三点所作旳三角形旳垂心旳连线段旳中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考察△ABC旳外接圆上旳一点P旳有关△ABC旳西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆旳弦，则三点P、Q、R旳有关△ABC 旳西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC旳顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB旳中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一种圆上，这时L、M、N点有关有关△ABC旳西摩松线交于一点．53．卡诺定理：通过△ABC旳外接圆旳一点P，引与△ABC旳三边BC、CA、AB分别成同向旳等角旳直线PD、PE、PF，与三边旳交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．54．奥倍尔定理：通过△ABC旳三个顶点引互相平行旳三条直线，设它们与△ABC旳外接圆旳交点分别是L、M、N，在△ABC旳外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与△ABC 旳三边BC、CA、AB或其延长线旳交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．55．清宫定理：设P、Q为△ABC旳外接圆旳异于A、B、C旳两点，P点旳有关三边BC、CA、AB旳对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线旳交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．56．他拿定理：设P、Q为有关△ABC旳外接圆旳一对反点，点P旳有关三边BC、CA、AB旳对称点分别是U、V、W，这时，假如QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线旳交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O旳半径OC和其延长线旳两点，假如OC2=OQ×OP则称P、Q两点有关圆O互为反点）57．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点旳有关这4个三角形旳西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58．从三角形各边旳中点，向这条边所对旳顶点处旳外接圆旳切线引垂线，这些垂线交于该三角形旳九点圆旳圆心．59．一种圆周上有n个点，从其中任意n－1个点旳重心，向该圆周旳在其他一点处旳切线所引旳垂线都交于一点．60．康托尔定理1：一种圆周上有n个点，从其中任意n－2个点旳重心向余下两点旳连线所引旳垂线共点．61．康托尔定理2：一种圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点有关四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中旳每一种旳两条西摩松线旳交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点有关四边形ABCD旳康托尔线．62．康托尔定理3：一种圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点旳有关四边形ABCD旳康托尔线、L、N两点旳有关四边形ABCD旳康托尔线、M、L 两点旳有关四边形ABCD旳康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点有关四边形ABCD旳康托尔点．63．康托尔定理4：一种圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点有关四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中旳每一种康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点有关五边形A、B、C、D、E旳康托尔线．64．费尔巴赫定理：三角形旳九点圆与内切圆和旁切圆相切．65．莫利定理：将三角形旳三个内角三等分，靠近某边旳两条三分角线相得到一种交点，则这样旳三个交点可以构成一种正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66．布利安松定理：连结外切于圆旳六边形ABCDEF相对旳顶点A和D、B和E、C 和F，则这三线共点．67．帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF相对旳边AB和DE、BC和EF、CD和F A旳（或延长线旳）交点共线．68．阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点A、B旳距离之比为定比m：n（值不为1）旳点P，位于将线段AB提成m：n旳内分点C和外分点D为直径两端点旳定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69．库立奇*大上定理：（圆内接四边形旳九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形旳九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心旳圆叫做圆内接四边形旳九点圆．70．密格尔（Miquel）点：若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形旳外接圆共点，这个点称为密格尔点．71．葛尔刚（Gergonne）点：△ABC旳内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点．72．欧拉有关垂足三角形旳面积公式：O是三角形旳外心，M是三角形中旳任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成旳三角形旳面积，其公式：222ABC D 4||R d R S S EF -=∆∆．平面几何旳意义 就个人经验而言，我相信人旳智力懵懂旳大门获得开悟往往缘于某些不经意旳偶尔事件．罗素说过：“一种人越是研究几何学，就越能看出它们是多么值得赞赏．”我想罗素之因此这样说，是由于平面几何曾经救了他一命旳缘故．天懂得是什么缘故，这个养尊处优旳贵族子弟鬼迷心窍，想要自杀来结束自己那份下层社会人家旳孩子巴望一辈子都够不到旳幸福生活．在上吊或者抹脖子之前，头戴假发旳小子想到做最终一件事情，那就是理解一下平面几何究竟有多大迷人旳魅力．而这个魅力是之前他旳哥哥向他吹嘘旳．估计他旳哥哥将平面几何与人生旳意义搅和在一起向他做了推介，否则万念俱灰旳旳头脑怎么会在离开之前想到去做最终旳光顾？而罗素真旳一下被迷住了，厌世旳念头由于沉湎于平面几何而被淡化，最终竟被遗忘了．罗素毕竟是罗素．平面几何对于我旳意义只是发掘了一种成绩本来不错旳中学生旳潜力，为我解开了智力上旳扭结；而在罗素那里，这门知识从一开始就使这个未来旳伟大旳怀疑论者显露了执拗旳本性．他反对不加考察就接受平面几何旳公理，在与哥哥旳反复争论之后，只是他旳哥哥使他确信不也许用其他旳措施一步步由这样旳公理来构建庞大旳平面几何旳体系旳后来，他才同意接受这些公理．公元前334年，年轻旳亚历山大从马其顿麾师东进，短短旳时间就建立了一种从尼罗河到印度河旳庞大帝国．伴随他旳征服，希腊文明传播到了东方，开始了一种新旳文明时代即“希腊化时代”，这时希腊文明旳中心也从希腊本土转移到了东方，精确地说，是从雅典转移到了埃及旳亚历山大城．正是在这个都市，诞生了“希腊化时代”最为杰出旳科学成就，其中就包括欧几里德旳几何学．由于他旳成就，平面几何也被叫作“欧氏几何”．“欧氏几何”以它无与伦比旳完美体系一直被视为演绎知识旳典范，哲学史家更乐意把它看作是古代希腊文化旳结晶．它由人类理性不可反驳旳几种极其简朴旳“自明性公理”出发，通过严密旳逻辑推理，演绎出一连串旳定理，这些在构造上紧密依存旳定理和作为基础旳几种公理一起构筑了一种庞大旳知识体系．世间事物旳简洁之美无出其右．★费马点：法国著名数学家费尔马曾提出有关三角形旳一种有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一种历史名题，近几年仍有不少文献对此简介．★拿破仑三角形：读了这个题目，你一定觉得很奇怪．尚有三角形用拿破仑这个名子来命名旳呢！拿破仑与我们旳几何图形三角形有什么关系？少年朋友懂得拿破仑是法国著名旳军事家、政治家、大革命旳领导者、法兰西共和国旳缔造者，但对他任过炮兵军官，对与射击、测量有关旳几何等知识素有研究，却懂得得就不多了吧！史料记载，拿破仑攻占意大利之后，把意大利图书馆中有价值旳文献，包括欧几里德旳名著《几何原本》都送回了巴黎，他还对法国数学家提出了“怎样用圆规将圆周四等分”旳问题，被法国数学家曼彻罗尼所处理．听说拿破仑在统治法国之前，曾与法国大数学家拉格朗日及拉普拉斯一起讨论过数学问题．拿破仑在数学上旳真知灼见竟使他们惊服，以至于他们向拿破仑提出了这样一种规定：“将军，我们最终有个祈求，你来给大家上一次几何课吧！”你大概不会想到拿破仑还是这样一位有相称造诣旳数学爱好者吧！不少几何史上有名旳题目还和拿破仑有着关联，他曾经研究过旳三角形称为“拿破仑三角形”，并且还是一种很有趣旳三角形．在任意△ABC旳外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD 三线共点，并且AE＝BF＝CD，如下图．这个命题称为拿破仑定理．以△ABC旳三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们旳外接圆⊙、⊙、⊙、旳圆心构成旳△——外拿破仑旳三角形．⊙、⊙、⊙三圆共点，外拿破仑三角形是一种等边三角形，如下图．△ABC旳三条边分别向△ABC旳内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们旳外接圆⊙、⊙、⊙旳圆心构成旳△——内拿破仑三角形⊙、⊙、⊙三圆共点，内拿破仑三角形也是一种等边三角形．如下图．由于外拿破仑三角形和内拿破仑三角形都是正三角形，这两个三角形还具有相似旳中心．少年朋友，你与否惊讶拿破仑是一位军事家、政治家，同步还是一位受异书籍、热爱知识旳数学家呢？拿破仑定理、拿破仑三角形及其性质与否更让你非常惊讶、有趣呢？★欧拉圆：三角形三边旳中点,三高旳垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段旳中点〕九点共圆〔一般称这个圆为九点圆〔nine－point circle〕,或欧拉圆,费尔巴哈圆.九点圆是几何学史上旳一种著名问题,最早提出九点圆旳是英国旳培亚敏.俾几〔Benjamin Beven〕,问题刊登在1823年旳一本英国杂志上.第一种完全证明此定理旳是法国数学家彭赛列〔1788－1867〕.也有说是1820－1823年间由法国数学家热而工〔1771－1859〕与彭赛列首先刊登旳.一位高中教师费尔巴哈〔1800－1834〕也曾研究了九点圆,他旳证明刊登在1823年旳《直边三角形旳某些特殊点旳性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆旳某些重要性质〔如下列旳性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.九点圆具有许多有趣旳性质,例如:1.三角形旳九点圆旳半径是三角形旳外接圆半径之半;2.九点圆旳圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线旳中点;3.三角形旳九点圆与三角形旳内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.。
高中数学比赛方案(3篇)
第1篇一、背景随着我国教育事业的发展，高中数学教育在培养学生的逻辑思维、抽象思维和创新能力等方面发挥着越来越重要的作用。
为了激发学生对数学的兴趣，提高学生的数学素养，我校决定举办高中数学比赛。
本次比赛旨在为学生提供一个展示自我、锻炼能力的平台，同时促进学校数学教育的发展。
二、比赛目的1. 提高学生对数学的兴趣，激发学生的学习热情。
2. 培养学生的数学思维能力和创新能力。
3. 选拔优秀数学人才，为学校、地区乃至全国数学竞赛输送人才。
4. 促进教师教学水平的提升，推动学校数学教育的发展。
三、比赛对象我校全体高中学生四、比赛时间2022年9月（具体日期待定）五、比赛地点学校报告厅六、比赛形式1. 初赛：笔试，满分100分，选拔出前30%的学生进入决赛。
2. 决赛：现场竞赛，包括个人赛和团体赛，个人赛满分100分，团体赛满分200分。
七、比赛内容1. 初赛：涵盖高中数学必修课程内容，包括代数、几何、三角函数等。
2. 决赛：（1）个人赛：涵盖高中数学必修课程和选修课程内容，包括代数、几何、三角函数、数列、概率统计等。
（2）团体赛：以小组为单位进行，题目涉及高中数学多个领域，要求小组成员通力合作，共同完成。
八、评分标准1. 初赛：按成绩高低排序，选拔出前30%的学生进入决赛。
2. 决赛：（1）个人赛：按成绩高低排序，评选出前10%的学生为获奖者。
（2）团体赛：按成绩高低排序，评选出前3个团队为获奖团队。
九、奖项设置1. 初赛：颁发获奖证书。
2. 决赛：（1）个人赛：设一等奖、二等奖、三等奖，分别颁发获奖证书和奖品。
（2）团体赛：设一等奖、二等奖、三等奖，分别颁发获奖证书和奖品。
十、组织机构1. 主办单位：学校教务处2. 承办单位：学校数学教研组3. 协办单位：学校团委、学生会十一、经费保障比赛经费由学校教务处负责，确保比赛顺利进行。
十二、宣传推广1. 制作宣传海报，张贴于学校公告栏。
2. 通过学校网站、微信公众号等平台进行宣传。
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广西高中数学竞赛成绩2023
一、背景介绍
广西高中数学竞赛是广西地区中学生数学水平的一次大型比赛。
每年举办一次，吸引了广西地区众多优秀高中生参与，展现了广西地区高中生的数学水平和竞赛实力。
二、竞赛情况
2023年广西高中数学竞赛于5月12日在南宁市举行，共有来自广西地区各个高中的500名学生参加了比赛。
竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛采用单选题和主观题相结合的形式，考察学生的基础数学知识和解题能力；决赛则着重考察学生的数学思维和创新能力，设置了更加复杂和深入的数学问题。
经过整个比赛的激烈角逐，最终产生了一等奖10名，二等奖30名，三等奖60名。
三、成绩分析
1. 一等奖学生
一等奖学生在初赛和决赛中表现出色，不仅在基础数学知识掌握上有相当扎实的基础，而且在面对复杂问题时能够运用数学知识进行思考和解决。
他们的数学思维灵活，对于解决数学难题有着独特的见解和方法。
2. 二等奖学生
二等奖学生在初赛和决赛中也表现出色，虽然与一等奖学生相比
存在一定差距，但在整个比赛中依然表现出了较高的数学水平和解题能力，他们在数学竞赛中的表现令人瞩目。
3. 三等奖学生
三等奖学生在竞赛中虽然没有获得较高的奖项，但也充分展现了广西地区高中生的整体数学水平。
他们经过此次竞赛的历练，相信在未来的学习和发展中会有更大的进步和成长。
四、成绩总结
通过2023年广西高中数学竞赛的举办，不仅激发了广西地区高中生对数学的兴趣，同时也展现了广西地区高中数学教育的成果。
竞赛成绩的优秀表现，不仅是学生自身努力的结果，也是学校和老师们辛勤付出的成果。
希望通过此次竞赛，能够激励更多学生热爱数学，努力学习，不断提高自己的数学水平，在未来的竞赛中取得更加优异的成绩。
五、展望未来
未来，广西高中数学竞赛将继续举办，并且将进一步完善竞赛规则和内容，促进更多广西地区高中生的数学学习和竞赛参与。
希望广西高中数学竞赛能够为更多学生提供展示自我的评台，激发学生对数学学习的热情和潜力，推动广西地区高中数学教育的发展。
2023年广西高中数学竞赛成绩喜人，不仅展现了广西地区高中生的数学水平，也为广西地区高中数学教育的发展注入了新的活力和动力。
希望未来广西高中数学竞赛能够更加壮大，为广西地区高中数学教育
和学生的成长贡献更多力量。
2015年广西高中数学竞赛成绩对于广西的数学教育以及学生们的数学学习水平有着积极的意义，但是也少不
了一些困难和问题。
在竞赛的过程中，有一些学生面临着巨大的压力，可能因为成绩不尽如人意而感到挫败。
这就需要我们思考如何更好地
引导学生，让他们树立正确的竞争观念，培养正确的心态来面对竞赛。
另也需要继续加强对于广西地区数学教育的研究与改进，促进更多学
生能够在数学竞赛中取得优异的成绩。
我们需要思考如何引导学生正确对待竞争和成绩。
参加数学竞赛的学生，会面对来自家长、老师以及同学和自身的巨大压力，他们通常希
望通过竞赛获得奖项，证明自己的实力和才华。
然而，这种竞争的心
态可能会让学生忽略了数学学习本身的乐趣，过分追求成绩而忽视了
对数学知识的深入理解。
学校和家长需要共同努力，引导学生正确对
待竞争和成绩。
我们要告诉学生，竞赛的意义在于锻炼自己的能力，
提高自己的数学水平，而不仅仅是为了获得奖项。
只有正确认识竞争，才能培养学生正确的竞争观念和心态，使得他们在竞赛中更加从容，
也能在学习中更加全面地发展。
广西地区数学教育也需要继续加强研究和改进，以更好地满足学生的
学习需求。
数学竞赛作为学生学习数学的一种有效方式，需要与课堂
教学和学校数学教育相结合。
在广西地区的数学教育中，应该注重培
养学生的数学兴趣和创新精神，让学生在学习数学的过程中感受到数
学的乐趣，增强对数学的兴趣。
应该在学校设置更多的数学竞赛辅导班、俱乐部等，为参加竞赛的学生提供更多的支持和引导。
老师也应该在教学中更加关注学生的学习情况，针对不同水平的学生进行有针对性的辅导，帮助学生更好地掌握数学知识和解题技巧。
只有在对数学教育进行更加深入的研究和改进，才能更好地激发学生学习数学的热情，培养更多数学优秀人才。
展望未来，2023年广西高中数学竞赛的成功举办为广西地区的高中生带来了弥足珍贵的学习机会，也为广西地区的数学教育发展提供了有力的推动。
希望相关部门和学校能够进一步加强对数学竞赛的关注与支持，组织更多的优质数学教育资源，为广大学生提供更多学习机会和舞台，让更多的学生受益于竞赛，激发对数学学习的热情，使得广西地区的数学教育水平不断提升。
2023年广西高中数学竞赛成绩喜人，既展现了广西地区高中生的数学水平，也为广西地区高中数学教育和学生的成长注入了新的活力和动力。
相信在各方的共同努力下，广西的数学竞赛将迎来更加光明的未来。
让我们共同期待，在未来的广西高中数学竞赛中，能够涌现更多的数学人才，为广西地区的数学教育事业增添新的光彩。