分析：在求证条件不等式时，可根据题设条件作出对应的图形，然后运用图形的几何性质或者平面几何的定理、公理去建立不等式使结论获证。
证明：如图1:作边长为1的正方形ABCD ,在AB 上取点E ，使AE =a ；在AD 上取点G ，使AG =b ，过EF //AD 交CD 于F ；作GH //AB 交BC 于H .设EF 与GH 交于点O ，连接AO 、BO 、CO 、DO 、AC 、BD .
由题设及作图知AOG ?、BOE ?、COF ?、DOG ?
均为直角三角形，因此
22b a OA +=
22)1(b a OB +-=
22)1()1(b a OC -+-=
22)1(b a OD -+= 且2==BD AC
由于.,BD OD OB AC OC OA ≥+≥+ 所以：22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a 当且仅当2
1==b a 时，等号成立。 2、在解几何题时，借助有关性质，巧妙构造，可迅速找到解题途径，不仅能使问题化难为易，迎忍而解，而且有助于提高学生的数学思维能力和几何证题能力。
例6：如图2：Rt ABC ?中,直角∠C 的平分线CE 与斜边的中垂线线DE 交于E , 求证：DE CD =.
思考与分析：由已知条件和图形联想到AB 是Rt ABC ?的外接圆⊙D 的直径，只需作⊙D ，证明点E 在圆上即可。
证明：作Rt ABC ?的外接圆⊙D ，则AB 为直径，D 为圆心。
图1
F
图2
∵DE 垂直平分AB
∴DE 通过弧AB 的中点
∴CE 是∠ABC 的平分线
∴CE 也通过弧AB 的中点
∴DE 、CE 的交点必为弧AB 的中心
即E 点在⊙D 上，
∴DE CD =
4、构造特例、反例
在解题中，我们可以考虑问题中的特殊情形、极端情况、特例、反例，这也是我们解决问题的一种方法，特别对于一些假命题的证明，经常通过构造一个符合命题条件但结论不成立的例子来证明即可。
例7：a ，b ，c 都是实数，考虑如下命题：
（1）若02>++c ab a ，且1>c ，则20<
（2）若1>c ，且20<++c ab a ；
（3）若20<++c ab a ，则1>c ；
试判断哪些命题正确，哪些命题不正确。对你认为正确的命题给出证明；认为不正确的命题，用反例予以否定。
分析：命题（1）不正确，构造反例如下：
令4=b ，5=c ，此时()012542
22>++=++=++a a a c ab a 且1>c ，满足条件，但结论20<
命题（2）成立：
证明：()()()=+-++=++c b b a b a c ab a 22225.05.05.02()()b c b a 25.05.02
-++，因为
20<
.025.00<c ，025.0>-b c ，因此()()025.05.05.0222>-++=++=++b c a a a c ab a .即命题成立。
命题（3）不成立：
令1=b ，5.0=c ，此时20<
>++a 满足条件，但结论1>c 不成立。
例8：证明以下命题为假命题：
若两个三角形的三个内角和三条边六个元素中有五个元素分别相等，则这两个三角形全等。
思考与分析：只要构造的一个符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子即可。 证明：如图3，ABC ?和DEF ?中，使12==DE BC ，18==EF AC ，8=AB ，27=DF . ∴3
2===DF AC EF BC DE AB
图
3
ABC ?∽DEF ?∴∠A =∠D
∠B =∠E ∠C =∠F
即ABC ?和DEF ?满足五个元素分别相等，但它们不全等。
故该命题是假命题。
从以上各例不难看出，构造法解题有着你意想不到的功效，问题很快便可解决。构造法解题重在“构造”, 通过仔细地观察、分析、去发现问题的各个环节以及其中的联系，从而为寻求解法创造条件。因此，在解题时，若能启发学生从多角度，多渠道进行广泛的联想，就会得到许多构思巧妙，新颖独特，简捷有效的解题方法，而且还能加强学生对知识的理解。运用构造法解题能培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题的创新能力，也可从中欣赏数学之美，感受解题乐趣。
参考文献
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[2] 贺金华. 数学教学中如何培养学生的思维品质[J].数学教学通讯，2004年.38至40页.
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[4] 吴炯，林培榕.数学思想方法[M].厦门大学出版社，2001年.
最新浅谈构造法在中学数学解题中的应用上课讲义
浅谈构造法在中学数学解题中的应用 富源六中范文波 [摘要]：现代数学素质教育要求大力提高学生的数学素养，这不仅要使学生掌握数学知识，而且要使学生掌握渗透于数学知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法解决实际问题。构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，它是一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规思维。其本质特征是“构造”，用构造法解题，无一定之规，表现出思维的试探性、不规则性和创造性。本文主要通过大量的例题说明构造法是广泛存在于解题过程中的，而且对于解某些问题是非常有用的. [关键词]：构造法；创造性；构造；几何变换 1 前言 解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下,经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。构造法就是这样的手段之一. 构造的数学思想提炼于数学各分支的研究方法之中，它融直观性、简单性、统一性、抽象性、相似性于一体，显示出简化与精密、直观与抽象的高度统一. 什么是构造法又怎样去构造呢？构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考、分析，迁移联想，正确思维，巧妙地、合理地构造出某些元素、某种模式，使问题转化为新元素的问题，或转化为新元素之间的一种新的组织形式，从而使问题得以解决，这种方法称之为“构造法”. 构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法，其基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法.在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，我们可以根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养我们创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高我们的解题能力也有所帮助. 构造法包含的内容很多，在解题中的应用也千变万化，无一定规律可言,它需要更多的分析、类比、归纳、判断，同时能激发人们的直觉思维和发散思维.
初中数学常用几何模型及构造方法大全
初中数学常用几何模型及构造方法大全几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间… 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型 角分线模型 往角两边作垂线 往角两边截取等线段 过角分线某点作垂线 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形 遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等 遇中点旋180度，造中心对称 共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。
模型变换 说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
谈构造法在数学解题中的运用
谈构造法在数学解题中的运用 摘要：“构造法”作为一种重要的化归手段，在数学解题中有着重要的作用。本文从“构造函数”、“构造方程”等常见构造及“构造模型”、“构造情境”等特殊构造出发，例谈构造法在数学解题中的运用。 关键词：构造数学解题 历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题。数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。近几年来，构造法极其应用又逐渐为数学教育界所重视，在数学竞赛中有着一定的地位。 构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提，根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带，使解题另辟蹊径、水到渠成。 “构造法”作为一种重要的化归手段，在数学中有着极为重要的作用，现举例谈谈其在数学解题中的运用。 一、构造函数 理解和掌握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个认识上的飞跃。很多数学命题繁冗复杂，难寻入口，若巧妙运用函数思想，能使解答别具一格，耐人寻味。 [例1]（柯西不等式）设a i,b i(i=1,2,…,n)均为实数，证明：
? ? ????? ??≤??? ??∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 1212 12 证：构造二次函数f(x)=?? ? ??+??? ??+??? ??∑∑∑===n i i n i i i n i i b x b a x a 1212122,则 [例2]已知x,y,z ∈（0，1），求证： x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1 （第15届俄罗斯数学竞赛题） 分析：此题条件、结论均具有一定的对称性，然而难以直接证明，不妨用构造法一试。 证：构造函数 f(x)=(y+z-1)x+(yz-y-z+1) ∵y,z ∈(0,1), ∴f(0)=yz-y-z+1=(y-1)(z-1)＞0 f(1)=(y+z-1)+(yz-y-z+1)=yz ＞0 而f(x)是一次函数，其图象是直线， ∴由x ∈(0,1)恒有f(x) ＞0 即(y+z-1)x+(yz-y-z+1) ＞0 整理可得x(1-y)+y(1-z)+z(1-x) ＜1 二、构造方程 方程是解数学题的一个重要工具，许多数学问题，根据其数量关系，在已知和未知之间搭上桥梁，构造出方程，使解答简洁、合理。 [例3]已知a,b,c 为互不相等的实数，试证： bc (a-b)(a-c) +ac (b-a)(b-c) +ab (c-a)(c-b) =1 (1) 证：构造方程
中考数学构造法解题技巧
构造法在初中数学中的应用 所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。构造法是一种富有创造性的数学思想方法。运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。下面介绍几种数学中的构造法： 一、构造方程 构造方程是初中数学的基本方法之一。在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。 1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。 例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？ 解：原方程整理得（a-4）x=15-b ∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0 分别解得a=4，b=15 2、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。
3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。 例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4。 20，18，5x，-6y的平均数是1。求 的值。 分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。 二、构造几何图形 1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。 例4：已知，则x 的取值范围是（）
不等式数学归纳法
1. 设实数122018,,..,x x x 满足任意的12018i j ≤<≤，均有(1)i j i j x x ++≥-，求2018 1 i i ix =∑ 求2018 1i i ix =∑最小值. 2. 设正实数12,,..,n x x x 满足12..1n x x x =，求证：{}{}{}1221 ...2 n n x x x -+++≤ ，其中 {}x 表示x 的小数部分.
3. 设互不相等正整数12,,..,(2)n x x x n ≥，求证： (1)2221212231.......23n n x x x x x x x x x n +++≥++++-， (2) 222121221 ...(...)3 n n n x x x x x x ++++≥+++ 4.设[]2,(1),0,1i n i i n x ≥?≤≤∈，求证： 11 13n k l k k l n k n kx x kx ≤<≤=-≤∑∑，
5.设1233,...n n x x x x ≥<<<<，证明：111 (1) ()(1)2n n i j i j i j n i j n n x x n i x j x ≤<≤==->--∑∑∑ 6. 求证：12 n i π =
7.设函数211 ()1.....2!n n f x x x x n =++++，证明： (1) 当0x >,(),x n e f x n N +>∈； (2)当0x >，存在实数y,使得11 ()(1)! x n y n e f x x e n +=++，证明：0y x << ８.设()f n n =+，定义数列{}n a ，11,,()n n a m m N a f a ++=∈=，证明：对于每一个正整数m,数列{}n a 必有无穷多个完全平方数. ，
初中数学方法大全之构造法
初中数学方法大全之构造法 构造法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁难的数学问题时，用常规解法，或是无从下手，或是解题过程异常繁杂，这时，若能根据问题的特点，进行巧妙的换元，往往可以化繁为简，化难为易，收到事半功倍的功效。 一、以概念为框架构造 【例1】已知方程 20(0)ax bx c a ++=≠的两根之和为1S ,两根平方和为2S ，两根立方和为 2)x + 90 ,. ac bd B D Rt ABC Rt CDA AC CA Rt ABC Rt CDA a d b c =? ?∠=∠=???????=? ????==∽≌
三、从公式特征构造 【例3】已知x 、y 、z 、r 都为正数，且满足2222,x y z z x +==。 求证：xy=rz 。 【思路分析】此题中，题设222x y z +=与勾股定理的结论非常相似，故可以从构造勾股定理入手进行本题的研究。 证明：如图，构造Rt △ABC ，使AC =x ，BC =y ，斜边AB =z 。作CD ⊥AB 于D 。 由射影定理可知：2AC AD AB =?，则有： 性解决周长与面积的最大值，但这样一来，本题的计算量就很大，而且也较麻烦。换一个思路，以矩形的一组邻边所在的直线为坐标轴，利用函数思想来解决本题，会有意料之外的效果。 解：以AB 、AD 所在的直线为坐标轴，建立平面直 角坐标系xOy 。 根据题意有：(24,0),(0,12)P Q ，易得PQ 所在的直线解 析式为：1122 y x =-+。
设1(,12)(024)2M m m m - +≤≤，则136,602 MF m ME m =-=-。 ∴周长12()2(3660)1922 MF ME m m m =+=++-=-+ 面积211(36)(60)(6)217822MF ME m m m =?=+-=-++ ∴当m =0时，周长最大等于192m ； 当m =0时，面积最大等于2160m 2。 六、其它构造 【例6】在锐角三角形ABC 中，求作一个正方形DEFG ，使D 、E 都落在BC 边上，F 、G 分别落在AC 、AB 边上。 【思路分析】要想作出这样的正方形，确实有些困 难，我们可以把条件放宽：求作一个正方形，使其有三个 顶点落在两边上，这样的正方形就比较好作了，我们可以 马上作出一个这样的正方形1111D E FG 。 这个正方形可以成为本题的一个跳板吗？实际上，我们得到的这个正方形，可以利用位似去作出需要的正方形DEFG 。 解：（略） 在学习数学的过程中，我们会遇到很多这样的题：有些题目有着深厚的“几何背景”，这样的题我们可以恰当地构造出几何图形，以形助数；有些题目有着浓厚的“代数氛围”，我们可以适时地构造出代数模型，以数解形；有些题目有着深刻的“函数味道”，我们可以合理地以函数为框架进行构造。这样不但能够达到另辟蹊径，巧思妙解的目的，而且对培养创造性思维也有很大的帮助。
例谈构造法在中学数学解题中的应用
例谈构造法在中学数学解题中的应用 发表时间：2012-01-12T09:16:31.067Z 来源：《素质教育》2012年1月下供稿作者：高雁[导读] 方程，作为中学数学的重要内容之一，与数、式、函数等诸多知识密切相关。高雁江苏省吴江市松陵高级中学215200 摘要：构造法是一种重要的数学解题方法，在解题中被广泛应用。构造法是一种极其富有技巧性和创造性的解题方法，体现了数学中发现、类比、化归的思想，渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法。运用构造法解数学题可从中激发学生的发散思维，使学生的思维 和解题能力得到培养，对培养学生的多元化思维和创新精神大有裨益。关键词：构造法构造数学解题 “构造法”是指为解决某个数学问题时先构造一种数学形式（比如几何图形、代数式、方程等），寻求与问题的某种内在联系，使之简单明了，起到化简、转化和桥梁作用，从而找到解决问题的思路、方法。此法重在“构造”、深刻分析、正确思维和丰富联想，它体现了数学中发现、类比、化归等思想，渗透着猜想、试验、探索、概括等重要方法，是一种富有创造性的解决问题的方法。 下面举一些应用构造法的例题，介绍其在数学解题中的巧妙应用。 一、构造方程 方程，作为中学数学的重要内容之一，与数、式、函数等诸多知识密切相关。根据问题条件中的数量关系和结构特征，构造出一个新的方程，然后依据方程的理论，往往能使问题在新的关系下得以转化而获解。构造方程是初等代数的基本方法之一。 二、构造几何图形（体） 如果问题条件中的数量关系有明显的或隐含的几何意义与背景，或能以某种方式与几何图形建立起联系，则可考虑通过构造几何图形将题设中的数量关系直接在图形中得以实现，然后，借助于图形的性质在所构造的图形中寻求问题的结论。构造的图形，最好是简单而又熟悉其性质的，这些几何图形包括平面几何图形、立体几何图形及通过建立坐标系得到的解析几何图形。 三、构造函数 所谓“构造函数”是指:由题设条件为对象，构想、组合出一种新的函数关系、方程、多项式等具体形式，使问题在新的观点下实现转化而获解。构造函数证（解）问题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性。在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要证、要解的目标。
高中数学解题方法之构造法(含答案)
十、构造法 解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维 方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下,经常要求我们改变思维方 向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。 历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构 造法”成功地解决过数学上的难题。数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、 巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。近几年来， 构造法极其应用又逐渐为数学教育界所重视，在数学竞赛中有着一定的地位。 构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提， 根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带， 使解题另辟蹊径、水到渠成。 用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、 数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这 些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以尝试从中总结 规律：在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特 点，以便依据特点确定方案，实现构造。 再现性题组 1、求证： 3 10910 22≥++=x x y （构造函数） 2、若x > 0, y > 0, x + y = 1，则4 2511≥???? ??+??? ??+ y y x x （构造函数） 3、已知01a <<，01b <<，求证： 22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a （构造图形、复数） 4、求证：9)9(272≤-+x x ，并指出等号成立的条件。（构造向量） 5、已知：a>0、b>0、c>0 ,求证：222222c ac a c bc b b ab a ++≥+-++-当且仅当 c a b 111+=时取等号。（构造图形） 6 、求函数y = 再现性题组简解： 1、解：设)3(92 ≥+=t x t 则t t y t f 1)(2+==，用定义法可证：f (t )在),3[+∞上单调递增，令：3≤12t t < 则0)1)((11)()(2 1212122212121>--=+-+=-t t t t t t t t t t t f t f ∴310313)3(9 10322=+=≥++= f x x y
数学人教版九年级上册旋转法构造全等三角形
典型例题： 已知:AC 是正方形ABCD 的对角线，∠EMF 的顶点在线段AC 上运动，∠EMF 绕点M 旋转，角的两边与CD 、BC 交于点F 、E.(点F 不与C 、D 重合）. (1)当∠EMF=90°时，试探究ME 与MF 的数量关系并说明理由.探究CE 、CM 、CF 之间的数量关系，并说明理由. 变式1： (2)当点M 在直线AC 上运动，∠EMF 绕点M 旋转，当角的两边交CD 、CB 的延长线于点F 、E,其余条件不变，结论是否成立？ 探究CE 、CM 、CF 之间的数量关系，并说明理由.. A A A 变式3： (4)当点M 在直线AC 上，当∠FME=∠ABC,其他条件不变，结论是否成立？并说明理由. 旋转法构造全等 学习目标： 题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形. 活动一： 变式2： (3)将正方形ABCD 改为∠ABC=120°的菱形，当∠FME=120°结论是否成立？并说明理由.
分层练习： （A 层） 1. 把含15°角的三角板ABC ，绕点B 逆时针旋转90°到三角板DBE 位置（如图所示），则sin ∠ADE=_______。 （第1题） （第2题） （第3题） 2. 点p 是等边△ABC 内一点，若PA=13，PB=5，PC=12，∠BPA=_________. 3. 如图所示，把正方形ABCD 绕点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与 BC 交于点 H.(1)线段HG 与线段HB 相等吗？证明你的猜想.(2)若旋转角为30，HG 的长. （B 层） 1.如图，若把△ABC 绕点A 旋转一定角度得到△ADE ，那么对应边AB=___,BC=___,对应角∠CAB=____,∠B=____. （第1题） （第2题） （第3题） 2.已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 上，将△DCE 绕点D 按顺时针方向旋转，与△DAF 重合，那么旋转角等于____度. 3. 在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，如果将该三角形绕点A 按顺时针方向旋转到△ A ’ B ’ C ’的位置，点B ’恰好落在边BC 的中点处，则旋转角_____度.
例谈高中数学解题中的“法宝”
例谈高中数学解题中的“法宝” 高中数学教学课程标准中明确规定了学习数学不仅包括数学内容、数学语言，更重要的是数学思想、方法。在数学解题过程中，某些数学问题用常规方法是难以解决的，这时可以根据题目的条件和结论的特征，从新的角度，用新的观点去观察分析，用已知的数学关系为“支架”构造出满足条件或结论的数学对象，使原问题中隐晦不清的关系在新构造的数学对象中清楚地表现出来，从而借助该数学对象解决数学问题。这种解决数学问题的方法就是构造法。 一、构造法解题的思路 构造法解题的基本思想方法是“转化”思想。用构造法解题的巧妙之处在于不是直接去解决所给的问题，而是把它转化成一个与原问题有关的辅助新问题，然后通过新问题的解决帮助解决原问题。 二、构造法的思维方式 构造法是一种简捷、快速，灵活变通的解题方法，这些特点，特别是简捷的特点会大大提高学生的求知欲，他们会有一种跃跃欲试的渴望，但却无从知道什么样的问题适合用构造法去解，如何构造？ 应用构造法解题的关键一是要明确的解题方向，即要明确为了解决什么样的问题面建立一个相应的构造；二是要
弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑整合。构造法的思维方式是多样的，主要有类比构造，即所研究问题对象之间或这些对象与已学过的知识间存在着形式上、本质上的相同或相似性的可考虑类比构造；联想构造、转换构造、归纳构造、直觉构造、逆向构造，即按逆向思维方式，向原有数学形式的相反方向去思考，通过构造对立的数学形式来解决问题。 三、构造法在中学数学解题中的应用 1. 构造函数 函数在整个中学数学是占有相当的内容，学生对于函数的性质也比较熟悉。选择烂熟于胸的内容来解决棘手问题，会大大提高学生解决问题的能力。 2. 构造一元二次方程 方程作为中学数学的重要内容之一，它与代数式、函数、不等式等知识密切不可分。依据方程理论，能使许多的问题得以转化从而得到解决，这对学生的数学思想的培养具有重要意义。 有些数学题，经过观察可以构造一个方程，从而得到巧妙简捷的解答。 例2 若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0 ，求证：x，y，z成等差数列。 分析：拿到题目感到无从下手，思路受阻。但我们细
构造法在中学数学中的应用研究98943465
构造法在中学数学中的应用研究98943465
本科毕业设计（论文）题目构造法在中学数学解题中的应用研究
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构造法在中学数学解题中的应用研究 摘要 构造法是一种重要的划归手段，学生通过观察、分析、抓住特征、联想熟知的数学模型，然后变换命题，恰当的构造新的数学模型来达到解题的目的，在中学数学解题中具有重要的作用，主要涉及函数，图形，方程，数列等内容。构造法是一种富有创造性的方法，属于非常规思维，运用构造法解题有利于培养学生的创造性思维，提高学生观察、分析、解决问题的能力。 关键词：构造法，观察，分析，创造性，解题
初中数学不等式知识点
初中数学不等式知识点 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
不等式 性质 ①如果x>y，那么yy；（） ②如果x>y，y>z，那么x>z；（） ③如果x>y，而z为任意实数或，那么x+z>y+z；（，或叫同向不等式可加性） ④如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xzy，m>n，那么x+m>y+n；() ⑥如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn； ⑦如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)，x的n 次幂不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。（移项要变号） 不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。 不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。（×÷负数要变号） 解集 确定： ①比两个值都大，就比大的还大(同大取大）； ②比两个值都小，就比小的还小(同小取小）； ③比大的大，比小的小，无解（大大小小取不了）； ④比小的大，比大的小，有解在中间（小大大小取中间）。 三个或三个以上成的不等式组，可以类推。 数轴法 把每个不等式的解集在上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。注意实点与空点的区别。 在确定一元二次不等式时，a>0，Δ=b2-4ac>0时，不等式解集可用"大于取两边，小于取中间"求出。 证明方法 比较法 1.作差比较法：根据a-b>0a>b，欲证a>b，只需证a-b>0；
初中几何反证法专题(编辑)
初中几何反证法专题 学习要求 了解反证法的意义，懂得什么是反证法。 理解反证法的基本思路，并掌握反证法的一般证题步骤。 知识讲解 对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。 1．反证法的概念： 不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 2．反证法的基本思路： 首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。 3．反证法的一般步骤： (1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正 确 简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。 例题： 例1．已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互相平分。证明： 假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径，可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。 ∵OA＝OB，M是AB中点 （1） ∴OM⊥AB （等腰三角形底边上的中线垂直于底边） 同理可得： OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM 这与已知的定理相矛盾。 故AB与CD不能互相平分。 例2．已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的 中点，且MN＝（AD＋BC）。 求证：AD∥BC
浙教版八年级数学下册反证法作业练习
4.6 反证法 ◆基础练习 1．“ab C．a=b D．a=b或a>b 2．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（） A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a⊥b D．a与b相交 3．用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等” 时，应假设___________． 4．用反证法证明“若│a│<2，则a<4”时，应假设__________． 5．请说出下列结论的反面:（1）d是正数; （2）a≥0; （3）a<5． 6．如下左图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点． 证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点_______”矛盾，所以假设不成立，则________． 7．完成下列证明． 如上右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角． 证明：假设结论不成立，则∠B是______或______． 当∠B是____时，则_________，这与________矛盾； 当∠B是____时，则_________，这与________矛盾． 综上所述，假设不成立． ∴∠B一定是锐角．
8．如图，已知AB∥CD，求证：∠B+∠D+∠E=360°． 9．请举一个在日常生活中应用反证法的实际例子． ◆综合提高 10．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，?应先假设这个三角形中（ ） A ．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60° C ．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60° 11．若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 °”时，应假设______________． 12．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补． 132是一个无理数．（说明：任何一个有理数均可表示成 b a 的形式，且a ，b 互质） 14、试写出下列命题的反面： （1）a 大于2 _____________;（2）a⊥b _______________. 15、用反证法证明“若22a b ≠，则a b ≠”的第一步是______________. 16、填空：在△ABC 中，若∠C 是直角，那么∠B 一定是锐角. 证明：假设结论不成立的，则∠B 是__________或_________. ①当∠B 是_______时，则__________,这与____________________矛盾； ②当∠B 是_______时，则__________,这与____________________矛盾.
(完整版)人教版初中数学知识结构
【人教版初中数学知识结构图】 1、有理数（正数与负数） 2、数轴 6、有理数的概念3、相反数 4、绝对值 5、有理数从大到小的比较 7、有理数的加法、加法运算律 17、有理数8、有理数的减法 9、有理数的加减混合运算 10、有理数的乘法、乘法运算律 16、有理数的运算11、有理数的除法、倒数 12、有理数的乘方 13、有理数的混合运算 21、代数式14、科学记数法、近似数与有效数字 22、列代数式15、用计算器进行简单的数的运算 23、代数式的值18、单项式 27、整式的加减20、整式的概念19、多项式 24、合并同类项 25、去括号与添括号 26、整式的加减法 28、等式及其基本性质 29、方程和方程的解、解方程 198 32、一元一次方程30、一元一次方程及其解法 初31、一元一次方程的应用33、代入（消元）法 中35、二元一次方程组的解法34、加减（消元）法 数193 36、相关概念及性质 学数39、二元一次方程组37、三元一次方程组及其解法举例 与38、一元方程组的应用40、一元一次不等式及其解法 代45、一元一次不等式43、一元一次不等式41、不等式的解集 数和一元一次不等式组44、一元一次不等式组42、不等式和它的基本性质 46、同底数幂的乘法、单项式的乘法 47、幂的乘方、积的乘方 51、整式的乘法48、单项式与多项式相乘 49、多项式的乘法 56、整式的乘除50、平方差与完全平方公式 52、多项式除以单项式 55、整式的除法53、单项式除以单项式 54、同底数幂的除法 57、提取公因式法 61、方法58、运用公式法 63、因式分解59、分组分解法 62、意义60、其他分解法66、含字母系数的一元 65、分式的乘除法——64、分式的乘除运算一次方程 72、分式69、可化为一元一次方程的分式方程及其应用67、分式方程解法、 70、分式的意义和性质增根 71、分式的加减法68、分式方程的应用 75、数的开方73、平方根与立方根 74、实数 86、二次根式的意义76、最简二次根式 79、二次根式的乘除法77、二次根式的除法
构造法解题一例
构造法解题一例 构造法解题是数学中常用的一种解题思路，是深入分析、正确思维以及丰富联想的产物，请看下面的这道例题： 例：正数a 、b 、c 、A 、B 、C 满足条件a+A=b+B=c+C=k 求证：aB+bC+cAk(aB+bC+cA) 得证。
证明五：还可联想函数式，构造以c（或a或b）为变量字母的一次函数式： f(c)=(k-a-b)c+k(a+b)-ab-k2 (0构造法及构造法在中学数学解题中的应用
摘要：构造法就是根据题设条件和结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助它来认识与解决原问题的一种思想方法。构造法是运用数学的适当的数学思想与原理，针对一些数学的问题的特点而采用相应的解决办法，合理地运用构造法一方面可以提高解题效率；同时也能够发展学生的思维能力和创新意识。本文在分析构造法的内涵和研究价值的基础上，对构造法在中学数学中一些典型问题解决中的运用进行了探索和尝试。 关键字：中学数学，解题，构造法
Abstract:According to the problem of construction method is the particularity of the set conditions and conclusion is constructed, some new form of mathematics, and with it to recognize and solution of the original problem a thought method. By using the mathematical method of construction is the proper mathematical idea and principle, in view of some mathematical characteristics and the corresponding solution, reasonable construction method on the one hand may improve by solving efficiency; Also can develop the students' thinking ability and innovative consciousness. Based on the analysis of the connotation and construction method, on the basis of research value of tectonic method in the middle school mathematics in the application of some typical problems probes and try. Keywords:middle school mathematics,problem-solving,method of construction
(六)数学归纳法
（六）数学归纳法 一、知识要点 1.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数0n 的所有正整数n 都成立时，可以用数学归纳法。 2.数学归纳法的证明步骤： （1）证明0n n =时命题成立； （2）假设),(0n k N k k n ≥∈=+时命题成立，证明1+=k n 时命题也成立。 由（1）、（2）两步可得，所证命题成立。 二、例题解析 例1.用数学归纳法证明： ))(12()2()12(4321222222+∈+-=--++-+-N n n n n n . 例2.如果x 是实数，且n x x ,0,1≠->为大于1的自然数，证明：nx x n +>+1)1(.
例3.平面上有n 条直线，其中任意两条都相交，任意三条不共点，这些直线把平面分成多少 个区域？证明你的结论。 例4.证明：当)1(3221+++?+?=n n a n （n 是正整数）时，不等式 2 )1(2)1(2 +<<+n a n n n . 【点评】 利用数学归纳法证明不等式的关键是由k n =到1+=k n 的变形，为了达到目标，往往要采用“放缩”等手段。 知识检测
1.用数学归纳法证明不等式),2)((1 2131211+∈≥<-++++N n n n f n 的过程中，由k n =到1+=k n 时，左边增加了（ ） A.1 项 B.k 项 C.12+k 项 D.k 2 项 2.某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时，命题也成立。现已知当5=n 时命题不成立，那么可推得（ ） A.当6=n 时该命题不成立 B.当6=n 时该命题成立 C.当4=n 时该命题不成立 D.当4=n 时该命题成立 3.证明不等式θθsin sin n n ≤（+∈N n ） 4.证明：1131211)321(2-+≥??? ??++++ ++++n n n n （2,>∈n N n ）. 5.证明： n n n 113121222-<+++ （1,>∈n N n ）.
中考数学解题方法反证法专题
中考数学解题方法反证法专题 在初中数学题目的求解过程中，当直接证明一个命题比较复杂麻烦，甚至不能证明时，我们可以采用反证法.反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬 反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不只一种）. 用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论.反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大于/不大于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（n-1）个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个. 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知
条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾. 至于什么问题宜用反证法？这是很难确切回答的问题.下面我们就结合实例归纳几种常使用反证法的 情况. 一、基本定理或初始命题的证明 在数学中，许多基本定理是使用反证法来证明的，例如“过直线外一点只有该直线的一条平行线”，“过平面外一点只有平面的一条垂线”.因为在证明这种基本定理时，由于除已经学过的公理及其推论外，在此之前所导出的定理不多或者与此命题相关的定理不多. 例1在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直.求证：a与b平行. 证明假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”. 不妨设直线a，b的交点为M，a，b与c的交点分别为P，Q，如图1所示，则∠PMQ>0°. 这样，△MPQ的内角和=∠PMQ+∠MPQ+∠PQM=∠PMQ+90°+90°>180°. 这与定理“三角形的内角和等于180°”相矛盾.说明假设不成立.
初中数学知识点及结构图
七年级数学（上）知识点 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章 有理数 一． 知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正 分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ? ????? ????负分数负整数负有理数零正分数正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；
(2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0) 0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远 比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是 a 1 ；若ab=1? a 、b 互为倒数；若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零； （3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac . 12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数， 无意义即0 a . 13．有理数乘方的法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n . 14．乘方的定义： （1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法. 16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似
