计算方法与实习课程设计

数值计算方法是一种利用计算机解决数学问题的数值近似解方法，特别是无法用人工过计算器计算的数学问题。数值计算方法常用于矩阵高次代数方程矩阵特征值与特征向量的数值解法，插值法，线性方程组迭代法，函数逼近，数值积分与微分，常微分方程初值问题数值解等。

作为数学与计算机之间的一条通道，数值计算的应用范围已十分广泛，作为用计算机解决实际问题的纽带，数值算法在求解线性方程组，曲线拟合、数值积分、数值微分，迭代方法、插值法、拟合法、最小二乘法等应用广泛。

数值计算方法是和计算机紧密相连的，现代计算机的出现为大规模的数值计算创造了条件，集中而系统的研究适用于计算机的数值方法是十分必要的。数值计算方法是在数值计算实践和理论分析的基础上发展起来的。

通过数值计算方法与实验将有助于我们理解和掌握数值计算方法基本理论和相关软件的掌握，熟练求解一些数学模和运算。并提高我们的编程能力来解决实际问题。

随着计算机的迅速发展和广泛应用，在众多的领域内，人民越来越认识到科学计算是科学研究的第三中方法，当今理科学生更应具备这方面的知识与能力，计算方法作为科学计算的一门主干课程又市我们的必修课，我们要认真学习，数值计算方法不只注重理论分析还要求实验和实践，这样才能使我们更灵活地掌握数值计算方法。

本文是通过例题来反应数值分析的稳定性，运用MATLAB软件编程，从算法1和算法2的结论中我们知道对递推公式来说，当系数大于1时，数值会趋于不稳定，当系数小于1时，会逐渐趋于稳定。

关键字：稳定性；MATLAB；递推公式

目录

第1章实验目的 (3)

第2章实验内容 (4)

第3章算法设计 (4)

3.1 算法1 (4)

3.2 算法2 (4)

第4章 Matlab程序 (5)

4.1 程序1与运行结果 (5)

4.1.1 程序1 (5)

4.1.2 程序1的运行结果 (5)

4.2 程序2与程序结果 (5)

4.2.1 程序2 (5)

4.2.2 程序2的运行结果 (6)

第5章结果分析 (6)

第6章实验总结 (6)

参考文献 (6)

第1章 实验目的

通过上机编程，复习巩固以前所学课程设计语言及上机操作指令。通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性。在算法稳定性好、收敛速度快，误差控制好的前提下，尽量节省内存，减少计算步骤，节约机时。尽量使程序整齐，简单易读，数据输入输出方面。

第2章 实验内容

题目：给出一个有效的算法和一个无效的算法计算积分 1

041n

n x y dx x =-? 0,1,,10n =??? 第3章 算法设计 由1

1

1041n n x y dx x --=-? 得11

1110041441n n n n n x x y y dx x dx x n ---++===+?? 3.1 算法1

利用递推公式 114n n y y n

-=- 注意到 1010111100001111415115

x x x dx dx dx x <<<<+???? 我们取 10111()0.05454545211115

y =+=? 3.2 算法2 利用递推公式 11144n n y y n -=

- 1

0010.25ln50.402359541y dx x ==*=+?

第4章 Matlab程序

4.1 程序1与运行结果

4.1.1 程序1

y0=0.054545;

n=10;

fprintf('y[%d]=%f\n',n,y0);

while(1)

y1=1/n-4*y0;

fprintf('y[%d]=%f\n',n-1,y1);

if(n<=1)break;

end

y0=y1;

n=n-1;

end

4.1.2 程序1的运行结果

程序1的运行结果如下：

y[10]=0.054545

y[9]=-0.118180

y[8]=0.583831

y[7]=-2.210324

y[6]=8.984155

y[5]=-35.769953

y[4]=143.279812

y[3]=-572.869248

y[2]=2291.810326

y[1]=-9166.741305

y[0]=36667.965222

4.2 程序2与程序结果

4.2.1 程序2

y0=(1.0/4.0)*log(5.0);

fprintf('y[%d]=%f\n',0,y0)

n=1;

while(1)

y1=(1.0/4.0)/n-(1.0/4.0)*y0;

fprintf('y[%d]=%f\n',n,y1)

if(n>=10)break;

end

y0=y1;

n=n+1;

end

4.2.2 程序2的运行结果

y[0]=0.402359

y[1]=0.149410

y[2]=0.087647

y[3]=0.061421

y[4]=0.047145

y[5]=0.038214

y[6]=0.032113

y[7]=0.027686

y[8]=0.024329

y[9]=0.021696

y[10]=0.019576

第5章结果分析

由数据可以分析，两种算法经过同样的计算次数，算法一的计算结果

y[0]=36667.965222与算法二的初值y[0]=0.402359还相差很远，故算法二能给出更精确的结果。

从中我们可以看到舍入误差在计算方法中是一个很重要的概念。在实际计算中，如果选用了不同的算法，由于舍入误差的影响，将会得到截然不同的结果。因此，选取稳定的算法，在实际计算中是十分重要的。

总之，从计算结果可以看出，算法1是数值不稳定的，算法2是数值稳定的。

第6章实验总结

这次数值分析实验和Matlab课程设计，为我们提供了与众不同的学习方法和学习机会，让我们从传统的被动授学转变为主动求学；从死记硬背的模式中脱离出来，转变为在实践中学习，增强了领悟、创新和推断的能力。掌握自学的方法，形成工程理论整体模式，使工作、学习、生活都步入系统化流程；思考方式成熟，逻辑性规范、明确。这些方法的提高是终身受益的，我认为这难得的一周，让我真正懂得了生活和学习的基本规律。

在数值稳定性的程序进行编辑过程中，遇到了一些方法不知道用什么函数表达的问题，通过查找有关Matlab软件知识和数值分析课本得出本程序，在对程序调用时，不知道如何调用，通过查找方法知道了需要在Matlab中的文件中新建两个M文件，然后保存，然后到命令区直接调用就可以了。特别注意的是，在对M 文件保存时，要直接保存到默认的Matlab文件夹中，不可以随意更改保存路径。

通过这次实验学习，首先，递推原理推导有了深入的理解，通过对舍入误差的选取不同得到不同的结果，因此，选取稳定的算法，在实际计算中是十分重要的。

完成了课程设计的任务，但是从中发现的问题也是值得去深思的。我想经过这一个周的课程设计所发现的问题对我们会有很大的启示，在以后的学习中也会大有帮助。在以后的学习中我会不断的改进学习方法，在实践中学习，不断提高自我，完美自我，全面提高自己。

参考文献

[1] 孙志忠，袁慰平等.计算方法与实习.第4版.南京:东南大学出版2005

[2] 曹志浩，张玉德.矩阵计算与方程求根.北京：人民教育出版社，1979

[3] 袁慰平，张令敏，黄新芹，闻振初.数值分析.南京：东南大学出版社，1993

[4] 孙志忠，计算方法与实习学习指导与习题解析.南京：东南大学出版社，2005