《简单的三角恒等变换》课件2(19张PPT)(人教A版必修4)
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高中数学 3.2 简单的三角恒等变换课件 新人教A版必修4
证明：(1) sin sin cos cos sin ， sin sin cos cos sin .
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin sin =2 sin cos .
即sin
cos
1 2
sin
sin
.
例 5求 证 ： （ 1） sincos1 2sinsin;
2
2
cos 1 cos 2 ,
2
2
tan 1 co s 2 ,
2
1 cos 2
并称之为半角公式.符号由 所在象限决定.
2
思考：代数式变换与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换． 对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式 方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数 种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含 的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．
解法2：
原 式 1(1co2s)1 (co2s)1(1co2s)1 (co2s)
4
4
1co2sco2s
2
1(1 co 2 c so 2 )s1co 2 c so 2 s
2
2
1 2
和角公式的变形
例 5求 证 ： （ 1） sincos1 2sinsin;
（ 2） sinsin2sincos.
2
2
这两个式子的左右两边结构形式上有什么不同？
（ 2） sinsin2sincos.
2
2
（２）由(1)得：
s i n s i n 2 s i nc o s
设 ,
那么 ,
2
2
把 , 的 值代入上式中得
sin sin 2 sin c o s .
新人教A版数学必修四3.2简单的三角恒等变换ppt课件2
sin(x + 60o) - 3 cos(120o - x ) 的值.
-4 3
例4
已知
cos
4
x
3 5
, 17
12
x 7
4
求 sin 2x 2 sin2 x 值.
1 tan x
- 28 75
例5 已知 tanα＝2，且sinβ＝ sinαcos(α＋β)，求tan(α＋β)的值.
4
例6
已知
3.2 简单的三角恒等变换
第二课时 含未知角的求值问题（习题课）
例1 已知 sin cos 1 ,且 0,
5
求 sin(2 ) 值.
4
31 2 50
例2 已知 sin( ) sin 4 3 ，且
3
5
0
2
,求 cos 值. 3
3-4
10
例3 已知 sin(x - 60o) = 2 ，求 3
sin(
p 4
+
2a)
sin(p 4-ຫໍສະໝຸດ 2a)=1 4
，
4
,
2
，求
2 sin2
a
+
tan a
-
1 tan a
-1
的值.
53 2
作业： P146复习参考题A组：
1，2，3，6，7.
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数学必修Ⅳ人教新课标A版3-2简单的三角恒等变换课件(34张)
＝ 2Rsin(α＋π4)＋R. ∵0＜α＜π2，∴π4＜α＋π4＜34π. ∴l 的最大值为 2R＋R＝( 2＋1)R，此时，α＋π4＝π2，即 α＝π4， 即当 α＝π4时，△OAB 的周长最大.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在 半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面 的最大面积(如图所示).
α .
cos 2 cos 2·2sin 2
答案
1－cos α
sin α2＝ ±
2
，
1＋cos α
cosα2 ＝ ±
2
，
tan α2＝ ±
1－cos 1＋cos
αα＝1＋sincoαs
1－cos
＝ α
sin α
α
答案
知识点二 辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋θ)(其中 tan θ＝ba).
类型二 利用辅助角公式研究函数性质 例 2 已知函数 f(x)＝ 3sin2x－π6＋2sin2x－1π2 (x∈R). (1)求函数f(x)的最小正周期；
解 ∵f(x)＝ 3sin(2x－π6)＋2sin2x－1π2
＝ 3sin [2x－1π2]＋1－cos2x－1π2
＝2
3 2 sin
2x－1π2－12cos
3.若函数 f(x)＝sin2x－12(x∈R)，则 f(x)是( D )
A.最小正周期为π2的奇函数
B.最小正周期为 π 的奇函数
C.最小正周期为 2π 的偶函数
D.最小正周期为 π 的偶函数
解析
1－cos f(x)＝ 2
2x－12＝－cos2
∵54π＜2θ＜32π.∴cos θ2＝－
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在 半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面 的最大面积(如图所示).
α .
cos 2 cos 2·2sin 2
答案
1－cos α
sin α2＝ ±
2
，
1＋cos α
cosα2 ＝ ±
2
，
tan α2＝ ±
1－cos 1＋cos
αα＝1＋sincoαs
1－cos
＝ α
sin α
α
答案
知识点二 辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋θ)(其中 tan θ＝ba).
类型二 利用辅助角公式研究函数性质 例 2 已知函数 f(x)＝ 3sin2x－π6＋2sin2x－1π2 (x∈R). (1)求函数f(x)的最小正周期；
解 ∵f(x)＝ 3sin(2x－π6)＋2sin2x－1π2
＝ 3sin [2x－1π2]＋1－cos2x－1π2
＝2
3 2 sin
2x－1π2－12cos
3.若函数 f(x)＝sin2x－12(x∈R)，则 f(x)是( D )
A.最小正周期为π2的奇函数
B.最小正周期为 π 的奇函数
C.最小正周期为 2π 的偶函数
D.最小正周期为 π 的偶函数
解析
1－cos f(x)＝ 2
2x－12＝－cos2
∵54π＜2θ＜32π.∴cos θ2＝－
5.5.2简单的三角恒等变换课件(人教版)
的正弦 sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ S(α+β)
两角差
S(α-β)
的正弦 sin(α-β)= sinαcosβ-cosαsinβ
使用 条件
α,β∈R
5.5.2 简单的三角恒等变换 温故知新
知识点三 正弦函数、余弦函数的性质
名称
公式
两角和
的正切
tan α tan β
tan(α+β)= 1- tan α tan β
解析： y sin2 x 1 1 cos 2 x 1 3 cos 2 x
2
2
所以函数 y sin2 x 1 的最小正周期为 2 1
2
故答案为：1
5.5.2 简单的三角恒等变换 典型例题
例
4．函数
y
cos2
x
12
cos2
x
12
1
是（B
）
A．最大值是 3 的奇函数 2
B．最大值是 3 的偶函数 2
1．已知函数 f (x)
3
sin
2
x
6
cos
2
x
6
1
x
R
.
(1)求函数 f x 的最小正周期；
(2)求使函数 f x 取得最大值的 x 的集合.
解析：(1) f x
3
sin
2x
6
cos
2x
6
1
2
3 2
sin
2x
6
1 2
cos
2
x
6
1
2 sin
2x
6
6
1
2
sin
名称
两角和 的余弦 两角差 的余弦
两角差
S(α-β)
的正弦 sin(α-β)= sinαcosβ-cosαsinβ
使用 条件
α,β∈R
5.5.2 简单的三角恒等变换 温故知新
知识点三 正弦函数、余弦函数的性质
名称
公式
两角和
的正切
tan α tan β
tan(α+β)= 1- tan α tan β
解析： y sin2 x 1 1 cos 2 x 1 3 cos 2 x
2
2
所以函数 y sin2 x 1 的最小正周期为 2 1
2
故答案为：1
5.5.2 简单的三角恒等变换 典型例题
例
4．函数
y
cos2
x
12
cos2
x
12
1
是（B
）
A．最大值是 3 的奇函数 2
B．最大值是 3 的偶函数 2
1．已知函数 f (x)
3
sin
2
x
6
cos
2
x
6
1
x
R
.
(1)求函数 f x 的最小正周期；
(2)求使函数 f x 取得最大值的 x 的集合.
解析：(1) f x
3
sin
2x
6
cos
2x
6
1
2
3 2
sin
2x
6
1 2
cos
2
x
6
1
2 sin
2x
6
6
1
2
sin
名称
两角和 的余弦 两角差 的余弦
人教A版高中数学必修四3.2简单的三角恒等变换(2)课件
sin( ) sin( ) 2sin cos 即 sin cos 1 [sin( ) sin( )]
2
一、例题分析
例1、求证：
(1)sin cos 1 [sin( ) sin( )]
2
(2) sin
sin
2 sin
cos
2
2
证明：(2)由(1)可知
sin( ) sin( ) 2sin cos ①
5 3 sin 2x 5 (1 cos 2x) 1
2
2
3
1
7
5( sin 2x cos 2x)
2
2
2
5sin(2x ) 7
62
所以函数f ( x)的最小正周期是T
例2、已知a (5 3 cos x, cos x)，b (sin x, 2cos x)，
函数f
(x)
a
b
2
b
Q
设矩形ABCD的面积为S，则
D
C
S AB BC (cos 3 sin )sin
3
sin cos 3 sin2
O αA B P
3
1 sin 2 3 (1 cos 2 ) 1 sin 2 3 cos 2 3
2
6
2
6
61 (Βιβλιοθήκη 3 sin 2 1 cos 2 ) 3 1 sin(2 ) 3
f ( x) sin 2x cos 2x 2
2 sin(2x ) 2
4
结合三角函数的图像和性质可求得结果
变式 :已知a (sin x cos x, 2cos x), b (sin x cos x,cos x)
函数f (x) a b (1) 求f ( x)的递减区间 (2) 求f ( x)的最大值和最小值