正方形的性质与判定专题练习
正方形的性质与判定经典例题练习
正⽅形的性质与判定经典例题练习正⽅形正⽅形的性质1)边2）⾓3）对⾓线4）对称性正⽅形的判定⽅法：（1）（2）（3） 性质练习：1、已知：如图，正⽅形ABCD 中，CM =CD ，MN ⊥AC ，连结CN ，则∠DCN =_____=____∠B ，∠MND=_______=_______∠B.
2.在正⽅形ABCD 中，AB =12 cm ，对⾓线AC 、BD 相交于O ，则△ABO 的周长是（ ）A.12+122 B.12+62 C.12+2 D.24+623、下⾯的命题是真命题的有 。A 、有⼀组邻边相等的平⾏四边形是正⽅形。B 、有⼀组邻边相等且有⼀⾓为直⾓的四边形为正⽅形。C 、正⽅形是⼀组邻边相等的矩形。D 、正⽅形是有⼀个⾓为直⾓的菱形。4、（哈尔滨）若正⽅形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上⼀点，BE=3，M 为线段AE 上⼀点，射线BM 交正⽅形的⼀边于点F，且BF=AE ，则BM 的长为 。（第4题） （ 第6题）5.正⽅形的⾯积是31，则其对⾓线长是________. 6.E 为正⽅形ABCD 内⼀点，且△EBC 是等边三⾓形，求∠EAD 的度数.7、在正⽅形ABCD 的边BC 的延长线上取⼀点E ，使CE=CA,连接AE 交CD 于F ，求AFD 的度数。
变式：1、已知如下图，正⽅形ABCD 中，E 是CD 边上的⼀点，F 为BC 延长线上⼀点，CE =CF .(1)求证：△BEC ≌△DFC ；(2)若∠BEC =60°，求∠EFD 的度数.
判定练习： 1．不能判定四边形是正⽅形的是（ ）A ．对⾓线互相垂直且相等的四边形B ．对⾓线互相垂直的矩形C ．对⾓线相等的菱形D ．对⾓线互相垂直平分且相等的四边形2、（绵阳）四边形ABCD 的对⾓线相交于点O ，能判定它是正⽅形的条件是（ ）A ．AB=BC=CD=DAB ．AO=CO ，BO=DO ，AC⊥BDC ．AC=BD ，AC⊥BD 且AC 、BD 互相平分 D ．AB=BC ，CD=DA3、判断:（1）四条边都相等的四边形是正⽅形。（ ）（2）两条对⾓线相等且互相垂直的四边形是正⽅形。（ ）（3）两条对⾓线分别平分⼀组对⾓的四边形是正⽅形。（） （4）两条对⾓线互相垂直的矩形是正⽅形。（ ）4、四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，能判别这个四边形是正⽅形的条件是（ ）A.OA =OB =OC =OD ，AC ⊥BDB.AB ∥CD ，AC =BDC.AD ∥BC ，∠A =∠CD.OA =OC ，OB =OD ，AB =BC5、已知Rt ABC 中，90C ∠=?，CD 平分ACB ∠,交AB 于D ，DF//BC,DE//AC ，求证：四边形DECF 为正⽅形。
八年级数学正方形的性质与判定复习课练习
ACBCDBAEDB 6.3《正方形的性质与判定》复习课课堂练习基础回顾11.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A.对角线互相平分B.内角和为360°C.对角线相等D.对角线平分内角2.如图，已知正方形ABCD ，E 是AB 延长线上一点,且BE ＝BD ，则∠BDE 的度数是（ ）A ．22.5°B ．30°C ．45°D ．67.5°3.正方形的面积为4cm 2，则其对角线长是 。
基础回顾2已知□ABCD ，下列条件：①AB=BC ，②∠ABC=90°， ③AC=BD ，④AC ⊥BD 中，再选两个做为补充，使□ABCD 变为正方形．下面四种组合，错误的是（ ） A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 例题解析例1.在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、DC 上的点，且AE=DF,则AF 与BE 之间有怎样的关系?变式练习MCDBAPNECDBAEBCAD 1. (1)若把AE=DF ，改为AF=BE, 你能得到AE=DF, AF ⊥BE 吗？(2)若MN=PQ ，能得到MN ⊥PQ 吗？ (3)若MN ⊥PQ ，能得到MN=PQ 吗？2.如图,四边形ABCD 是正方形，△CBE 是等边三角形。
求:∠AEB 和∠AED 的度数。
例2：如图:△ABC 中, ∠ACB=90°,CD 平分∠ACB, DE ⊥BC,DF ⊥AC,垂足分别为E,F. 求证:四边形CFDE 是正方形. 巩固练习已知：如图点A' 、 B' 、 C'、D'分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA'=BB'=CC'=DD'。
求证：四边形A'B'C'D'是正方形 拓展提升如图正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF ＝45°,求证：EF=BE+FD 达标检测1.E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，则∠ACE= 。
1.3 正方形的 性质与判定 同步练习(课课练)附答案
1.3正方形的性质与判定1、四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（）A. OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BDB. AB∥CD，AC＝BDC. AD∥BC，∠A＝∠CD. OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC2、在正方形ABCD中，AB＝12cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（）A. 12+122B. 12+62C. 12+2D. 24+623、如图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使CE＝CA，连结AE交CD•于点F，•则∠AFC的度数是（）．（A）150°（B）125°（C）135°（D）112．5°4、已知正方形的面积为4，则正方形的边长为________，对角线长为________．5、如左下图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠AED＝______，∠AEB＝______．6、如右上图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，求∠AEB的度数.7、已知：如左下图，在正方形ABCD中，AE⊥BF，垂足为P，AE与CD交于点E，•BF与AD交于点F，求证：AE＝BF．8、如图，正方形ABCD，AB＝a，M为AB的中点，ED＝3AE，（1）求ME的长；（2）△EMC是直角三角形吗？为什么？9、如左下图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH.四边形EFGH是什么特殊的四边形，你是如何判断的？10、如右上图所示，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，EF ⊥BC ，EG ⊥CD ，垂足分别是F 、G ．试说明AE ＝FG ．11、以锐角△ABC 的边AC 、AB 为边向外作正方形ACDE 和正方形ABGF ，连结BE 、CF.（1）试探索BE 和CF 的关系？并说明理由。
（2）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角。
初二正方形性质及判定练习题
初二正方形性质及判定练习题
形状与性质
正方形是一种特殊的四边形，具有以下性质：
1. 四条边相等：正方形的四条边的长度相等。
2. 四个角相等：正方形的四个角的大小都是90度。
3. 对角线相等：正方形的对角线长度相等。
4. 正方形是菱形：正方形的对角线相互垂直，且长度相等，因此也是菱形的一种特殊情况。
判定练题
以下是一些判定练题，帮助你巩固对正方形性质的理解：
1. 判断下列图形是否为正方形：
A. 
B. 
C. 
D. 
答案：A是正方形，B是正方形，C不是正方形，D不是正方形。
2. 若两个正方形的边长分别为4cm和6cm，哪个正方形的面积更大？
答案：边长为6cm的正方形面积更大，因为面积与边长的平方成正比。
3. 若一个正方形的对角线长度为10cm，求其边长。
答案：根据正方形的性质，对角线长度等于边长乘以√2，所以边长等于10cm除以√2，约为7.07cm。
4. 若一个四边形的边长均为5cm，四个角的大小均为90度，是否一定是正方形？
答案：不一定，虽然满足了长宽相等和角度为90度的条件，但没有保证对角线相等，因此不一定是正方形。
5. 若一个四边形的对角线相等，四个角的大小均为90度，是否一定是正方形？
答案：是的，根据这些条件可以确定该四边形是正方形，因为这些是正方形的定义性质。
以上是关于初二正方形性质及判定练习题的内容。
希望能够帮助你更好地理解和应用正方形的性质。
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1-3正方形的性质与判定形》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定形》同步练习题（附答案）一．选择题1．下列说法不正确的是（）A．对角线互相垂直的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（）A．当平行四边形ABCD是矩形时，∠BAC＝90°B．当平行四边形ABCD是菱形时，AB⊥BCC．当平行四边形ABCD是正方形时，AC＝BDD．当平行四边形ABCD是菱形时，AB＝AC3．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，EF⊥AE于点E，交DC于点F，连接AF，已知BC＝4，DE＝3，则△AEF的面积为（）A．4B．5C．10D．54．如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF ＝20°，则∠AEF的度数（）A．35°B．40°C．45°D．50°5．如图，正方形ABCD的边长为7，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝4，则四边形EFGH的面积为（）A．20B．25C．30D．356．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，则线段GH的长为（）A．B．C．D．7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、点F分别是BC、AB上的点，连接DE、DF、EF，满足∠DEF＝∠DEC．若AF＝1，则EF的长为（）A．2.4B．3.4C．D．8．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连结AP，EF，则下列命题：①若AP＝5，则EF＝5；②若AP⊥BD，则EF∥BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③9．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（）A．B．C．2D．310．如图边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在F A上截取FH＝FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG＝3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为．12．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为3和2，点E、G分别为AD、CD 边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为．13．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC、CD上，连接AE，BF．若AB＝，BE＝DF，则AE+BF的最小值为．14．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是．15．如图，在正方形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN．则MN的长为．三．解答题16．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF ⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM．（1）求证：矩形DEFM是正方形；（2）求CE+CM的值．17．如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC 于G．（1）求证：四边形OGCF是正方形．（2）若∠BAC＝60°，AC＝4，求正方形OGCF的边长．18．如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，连接AF，且EA⊥AF．（1）求证：DE＝BF；（2）若AH平分∠F AE交线段BC上一点H，连接EH，请判断线段DE、BH、HE三者存在怎样的数量关系？并加以证明．19．如图，点G在正方形ABCD的边CD上，且四边形CEFG也是正方形，连接BG，DE，AF，取AF的中点M，连接CM．求证：（1）BG＝DE；（2）CM＝AF．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）21．如图，四边形ABCD是菱形，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是矩形．（2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求矩形OCED周长．（3）当∠ABC＝°时，四边形OCED是正方形．参考答案一．选择题1．解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项A不符合题意；B、对角线相等的菱形是正方形，故选项B不符合题意；C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项C不符合题意；D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项D符合题意．故选：D．2．解：A、当平行四边形ABCD是矩形时，∠BAC＝90°，不符合题意；B、当平行四边形ABCD是菱形时，AB＝BC，不符合题意；C、当平行四边形ABCD是正方形时，AC＝BD，符合题意；D、当平行四边形ABCD是菱形时，AB＝BC，不符合题意；故选：C．3．解：过E作GH∥AD交AB于G，交DC于H，如图：，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠BDC＝45°，AB＝CD＝BC＝4，∴△BGE、△DHE是等腰直角三角形，BD＝BC＝4，∴EH＝DE＝×3＝3，BE＝BD﹣DE＝4﹣3＝，∴BG＝GE＝BE＝1，∴AG＝AB﹣BG＝3＝EH，∴AE＝＝＝，∵AE⊥EF，∴∠AEG＝90°﹣∠FEH＝∠EFH，∴△AGE≌△EHF（AAS），∴AE＝EF＝，∴△AEF的面积为AE•EF＝××＝5，故选：B．4．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BC＝BA，∠ABE＝∠CBE＝45°，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴∠BAE＝∠BCE＝20°，∵∠ABC＝90°，∠BCF＝20°，∴∠BFC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCF，＝180°﹣90°﹣20°＝70°，∵∠BFC＝∠BAE+∠AEF，∴∠AEF＝∠BFC﹣∠BAE＝70°﹣20°＝50°，故选：D．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG．在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∴∠BEF+∠AEH＝90°，∴∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是正方形，∵AB＝BC＝CD＝DA＝7，AE＝BF＝CG＝DH＝4，∴AH＝BE＝DG＝CF＝3，∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝5，∴四边形EFGH的面积是：5×5＝25，故选：B．6．解：如图，延长BG交CH于点E，∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，∴AG2+BG2＝AB2，∴△ABG和△DCH是直角三角形，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，同理可得HE＝2，在Rt△GHE中，GH＝＝＝2，故选：A．7．解：如图，在EF上截取EG＝EC，连接DG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，在△DCE和△DGE中，，∴△DCE≌△DGE（SAS），∴∠DGE＝∠C＝90°，DG＝DC，∵∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，∴∠DGF＝∠A＝90°，DG＝DA，在Rt△DAF和Rt△DGF中，，∴Rt△DAF≌Rt△DGF（HL），∴AF＝GF＝1，∵EG＝EC，∴BE＝BC﹣EC＝4﹣EG，EF＝EG+FG＝EG+1，BF＝AB﹣AF＝4﹣1＝3，在Rt△BEF中，根据勾股定理，得BE2+BF2＝EF2，∴（4﹣EG）2+32＝（EG+1）2，解得EG＝2.4，∴EF＝EG+FG＝2.4+1＝3.4．∴EF的长为3.4．故选：B．8．解：延长EP交AD于Q，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°，AD∥BC，∠BDC＝45°，∵PF⊥CD，∴∠DPF＝45°，∴DF＝PF，∵PE⊥BC，∴PQ⊥AD，四边形CEPF为矩形，∴∠AQP＝90°，EC＝PF＝DF，∴∠AQP＝∠C，AQ＝FC，四边形PQDF为正方形，∴DF＝QP，∴CE＝QP，在△AQP和△FCE中，，∴△AQP≌△FCE（SAS），∴AP＝EF，若AP＝5，则EF＝5，故①正确；若AP⊥BD，则∠P AQ＝45°，∵△AQP≌△FCE，∴∠EFC＝∠P AQ＝45°，∵∠BDC＝45°，∴∠EFC＝∠BDC，∴EF∥BD，故②正确；当AP⊥BD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，∵AB＝AD＝4，∴BD＝，∴AP＝BD＝，∵EF＝AP，∴EF的最小值为，故③错误，故选：A．9．解：如图，连接BB'，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴BD＝AB＝2，BD平分∠ABC，∵E为AB边的中点，∴AE＝BE＝1，∵四边形BEB'F是正方形，∴BB'＝BE＝，BB'平分∠ABC，∴点B，点B'，点D三点共线，∴B'D＝BD﹣BB'＝，故选：A．10．解：将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，过点M作MO⊥ED与O，则MO是梯形FEDC的中位线，如图：∴EO＝OD＝4，MO＝（EF+CD）＝4，∵点N、M分别是AD、FC的中点，∴AN＝ND＝3，∴ON＝OD﹣ND＝4﹣3＝1．在Rt△MON中，MN2＝MO2+ON2，即MN＝＝＝．故选：C．二．填空题11．解：延长AF交BC于点K，∵正方形ABCD，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠ABF＝90°，∴AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠CBE＝∠BAF，又∠ABC＝∠BCE＝90°，∴△ABF≌△BEC，∴BF＝CG＝3（全等三角形对应高相等），∴BF＝FH＝3，作射线QH，过B作BQ⊥HQ于点Q，∴∠BFH＝∠QHF＝∠Q＝90°，且BF＝FH，∴四边形QBFH为正方形，且面积为32＝9，∴BQ＝BF＝CE＝3，∵∠PBQ+∠PBE＝90°，且∠PBE＝∠BEC，且∠BEC+∠GCE＝90°，∴∠BPQ＝∠ECG，∴△BPQ≌△CEG，∴S△CGE+S四边形BPHF＝S△BPQ+S四边形BPHF＝S正方形BQHF＝9．故答案为：912．解：延长GF交AB于P，过H作MN⊥CD于M，交AB于N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，BC⊥CD，∴MN⊥AB，∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥CD，∴FG∥HM∥BC，∵H是BF的中点，∴PN＝BN＝CM＝GM＝CG＝×（3﹣2）＝，∴HN是△BFP的中位线，∴HN＝FP＝，∴MH＝3﹣＝，Rt△GHM中，由勾股定理得：GH＝＝＝，故答案为：．13．解：如图，连接AF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，∴AE+BF＝AF+BF，作点A关于DC的对称点H，连接FH，BH，∴AF＝FH＝AE，∴AE+BF＝FH+BF，∴点F，点B，点H三点共线时，AE+BF的最小值为BH，∴BH＝＝＝5，故答案为：5．14．解：如图，作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，则∠ADO＝∠CEO＝90°，∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC＝∠DOE＝90°，OA＝OC，∴∠AOD＝∠COE＝90°﹣∠COD，在△AOD和△COE中，，△AOD≌△COE（AAS），∵C（3，2），∴OD＝OE＝3，AD＝CE＝2，∵点A在第二象限，∴A（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．15．解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∠C＝90°，∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，∵M为DE的中点，∴ME＝MD，在△AEM和GDM中，，∴△AEM≌△GDM（AAS），∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD，∴CG＝CD＝，∵点N为AF的中点，∴MN＝FG，∵F为BC的中点，∴CF＝BC＝，∴FG＝＝2，∴MN＝1，故答案为：1．三．解答题16．解：（1）如图，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠ACD．∵EG⊥CD，EH⊥BC，∴EG＝EH，∵∠EGC＝∠EHC＝∠BCD＝90°，∴四边形EGCH是矩形，∴∠GEH＝90°．∵四边形DEFM是矩形，∴∠DEF＝90°．∴∠DEG＝∠FEH．∵∠EGD＝∠EHF＝90°，∴△EGD≌△EHF（ASA），∴ED＝EF．∴矩形DEFM是正方形；（2）∵四边形DEFM是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DE＝DM，AD＝CD，∠ADC＝∠EDM＝90°．∴∠ADE＝∠CDM．∴△ADE≌△CDM（SAS），∴AE＝CM．∴CE+CM＝CE+AE＝AC＝＝＝6．17．（1）证明：过O作OH⊥AB于H点，∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，∴∠OGC＝∠OFC＝90°．∵∠C＝90°，∴四边形OGCF是矩形．∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，OF⊥AC，OG⊥BC，∴OG＝OH＝OF，又四边形OGCF是矩形，∴四边形OGCF是正方形；（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∴AC＝AB，∵AC＝4，∴AB＝2AC＝2×4＝8，∵AC2+BC2＝AB2，∴BC＝＝4，在Rt△AOH和Rt△AOF中，，∴Rt△AOH≌Rt△AOF（HL），∴AH＝AF，设正方形OGCF的边长为x，则AH＝AF＝4﹣x，BH＝BG＝4﹣x，∴4﹣x+4﹣x＝8，∴x＝2﹣2，即正方形OGCF的边长为2﹣2．18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，∵EA⊥AF，∴∠EAF＝90°，∴∠F AB+∠BAE＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠F AB＝∠DAE，在△BAF和△DAE中，，∴△BAF≌△DAE（ASA），∴DE＝BF；（2）解：DE+BH＝HE，理由如下：由（1）知△BAF≌△DAE，∴AF＝AE，∵AH平分∠F AE，∴∠F AH＝∠EAH，在△F AH与△EAH中，，∴△F AH≌△EAH（SAS），∴FH＝EH，∴DE+BH＝HE．19．（1）证明∵四边形ABCD，四边形CEFG都是正方形，∴BC＝CD，CG＝CE，在Rt△BGC和Rt△DEC中，∴Rt△BGC≌Rt△DEC（HL），∴BG＝DE，（2）连接AC，FC，∴∠ACD＝∠FCD＝45°，∠ACF＝90°，∴△ACF为直角三角形，又∵M是AF的中点，∴CM＝AF．20．（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形；（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，由（2）可知，四边形BECD是菱形，∴∠ABC＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝90°，∴四边形BECD是正方形．21．（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，即DE∥OC，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∴四边形OCED是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∠ABO＝ABC，∵∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°，∵AB＝2，∴AO＝AB＝1，OB＝AB＝，∵OD＝OB＝，OC＝OA＝1，∴矩形OCED周长＝2（OD+OC）＝2+2；（3）当∠ABC＝90°时，四边形OCED是正方形，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形，∴AC＝BD，∴OD＝OC，∵四边形OCED是矩形，∴四边形OCED是正方形，故答案为：90．。
专题43 根据正方形的性质与判定求面积(原卷版)
专题43 根据正方形的性质与判定求面积一、单选题1．如图，三个边长均为4的正方形重叠在一起，1O ，2O 是其中两个正方形的对角线交点，则阴影部分面积是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．如图，在Rt△ABC 中，△B=90°，AB=BC ，AC=．四边形BDEF 是△ABC 的内接正方形（点D 、E 、F 在三角形的边上）．则此正方形的面积为( )A ．25．B ．．C ．5．D ．10．3．图中有三个正方形，若阴影部分面积为4个平方单位，则最大正方形的面积是（ ）平方单位.A ．48B ．12C ．24D ．364．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为( )cm 2△A ．6B ．8C ．16D ．不能确定5．如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，△ABC ＝△CDA ＝90°，BE△AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为36，则BE 的长是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．96．如图，等边ABC ∆与正方形DEFG 重叠，其中D ，E 两点分别在AB ，BC 上，且BD BE =，若6AB =，2DE =，则EFC ∆的面积为（ ）A ．1BC ．2D ．7．如图，正方形ABCD 和□AEFC ，点B 在EF 边上，若正方形ABCD 和□AEFC 的面积分别是S 1、S 2的大小关系是（ ）A ．S 1＞S 2B ．S 1=S 2C ．S 1＜S 2D ．无法确定8．如图，将边长为2cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△A ′B ′C ′，若两个三角形重叠部分的面积为0.5cm 2，则它移动的距离AA ′等于（ ）A ．12cmB cmC ．14cm 或34cmD cm 9．如图，正方形ABCD 内有两点E 、F 满足AE=FC= 4，EF =6，AE△EF ，CF△EF ，则正方形ABCD 的面积为 ( )A ．24B ．25C ．48D ．5010．正方形ABCD 的边长为1，其面积记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S 2，…按此规律继续下去，则S 2019的值为（ ）A ．201912⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．201812⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．20192⎛ ⎝⎭D ．20182⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭11．如图，等边ABC ∆与正方形DEFG 重叠，其中D 、E 两点分别在AB 、BC 上，且BD BE =．若6AB =，2DE =，则EFC ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．D ．412．如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上一点，且满足BE =AD ，连接CE 并延长交AD 于点F ，连接AE ，过点B 作BG AE ⊥于点G ，延长BG 交AD 于点H ．在下列结论中：△AH DF =；△45AEF ∠=︒；△DEF AGH EFHG S S S =+四边形 . 其中不正确．．．的结论有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个13．如图，点E 在正方形ABCD 的边AD 上，已知AE△7△CE△13，则阴影部分的面积是( )A ．114B ．124C ．134D ．14414．如图，O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心，将一块半径足够长、圆心为直角的扇形纸板的圆心放在O 点处，并将纸板的圆心绕O 旋转，则正方形ABCD 被纸板覆盖部分的面积为（ ）A ．13 a 2B ．14 a 2C ．12 a 2D ．14a 15．如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC=2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于点M 、N ．若正方形ABCD 的边长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为（ ）A ．23a 2B ．14a 2C ．59a 2D ．49a 2 16．如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点O 又是正方形A 1B 1C 1O 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形A 1B 1C 1O 绕点O 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的( )A ．12B ．13C ．14D ．1517．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，以ABC 的各边为边分别作正方形BAHI ，正方形BCFG 与正方形CADE ．延长BG ，FG 分别交AD ，DE 于点K ，J ，连结DH ，IJ ．图中两块阴影部分面积分别记为1S ，2S ，若12:1:4S S =，四边形18BAHE S =，则四边形MBNJ 的面积为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．918．如图，边长为a 的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形A B C D ''''，图中阴影部分的面积为（ ）A ．12a 2B ．3a 2C ．（1﹣4）a 2D ．（1﹣3）a 2 19．已知：如图，正方形ABCD 中，AB =2，AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别为边BC ，CD 上的动点（点E ，F 不与线段BC ，CD 的端点重合）且BE=CF ，连接OE ，OF ，EF ．在点E ，F 运动的过程中，有下列四个结论：△△OEF 是等腰直角三角形；△△OEF 面积的最小值是12；△至少存在一个△ECF ，使得△ECF 的周长是2△四边形OECF 的面积是1．所有正确结论的序号是（ ）A ．△△△B ．△△C ．△△△D ．△△△△20．如图，点E 是正方形ABCD 外一点，连接AE 、BE 和DE ，过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE＝AP ＝1，PB ＝3．下列结论：△△APD△△AEB ；△EB△ED ；△点B 到直线AE ；△S 正方形ABCD＝ ）A ．1B ．2C ．3D ．421．如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且2EC AE =，Rt FEG ∆的两直角边EF ，EG 分别交BC ，DC 于点M ，N ．若正方形ABCD 的边长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为（ ）A ．223aB ．214aC ．25a 9 D ．249a 22．如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，依此下去，第n 个正方形的面积为（ ）A ．△n ﹣1B ．2n ﹣1C ．nD ．2n23．ABCD 是边长为1的正方形，BPC 是等边三角形，则BPD 的面积为( )A ．14BC．1 8D．1 8第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题24．如图，菱形ABCD的面积为24cm2，正方形ABCF的面积为18cm2，则菱形的边长为_____．25．如图，在四边形ABCD中，△BAD=△BCD=90°，AB=AD，AC=5，四边形ABCD的面积是__________．26．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是______．27．在直角三角形ABC中，△ACB=90°，AC=12,BC=16,点M在三角形ABC边上，到点M到三角形另外两边的距离相等，求MC的长______28．如图，正方形EFGH的顶点均在正方形ABCD的边上，若正方形EFGH的面积比正方形ABCD的面积小32，则AF×BF＝______．29．两个边长为10cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分的面积为_____cm2．30．如图，正方形ABCD的边长为a，对角线AC和BD相交于点O，正方形A1B1C1O的边OA1交AB于点E，OC1交BC于点F，正方形A1B1C1O绕O点转动的过程中，与正方形ABCD重叠部分的面积为_____（用含a的代数式表示）31．如图，正方形ABCD的周长为20cm，顺次连结正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的面积等于________．32．在矩形ABCD 内放置正方形甲、正方形乙、等腰直角三角形丙，它们的摆放位置如图所示，已知:5:9AB BC =，图中阴影部分的面积之和为31，则矩形ABCD 的周长为___________．33．正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，点P 在线段AE 上，且到A 、B 、D 、、6，则四边形BCDP 的面积为_____．34．如图，点A 在线段BG 上，正方形ABCD 和正方形DEFG 的面积分别为3和7，则△CDE 的面积为_________．35．如图，在正方形ABCD 中，6AB =，点E ，F 分别在CD ，AD 上，CE DF =，BE ，CF 相交于点G ．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2△3，则（1）四边形DFGE 的面积为______________；（2）BCG ∆的周长为_____________．36．如图，已知四边形ABCD 是正方形，直线l 经过点D ，分别过点A 和点C 作AE △l 和CF △l ，垂足分别为E 和F ，若DE ＝1，则图中阴影部分的面积为_____．37．如图，四边形纸片ABCD 中，90A C ︒∠=∠=，BC DC =.若8cm AB AD +=，则该纸片的面积为________ 2cm .三、解答题38．如图，点E 在正方形ABCD 内，AE=3，BE=4，AE ⊥BE ，请求出阴影部分的面积S.39．作图题：如图是每一个小方格都是边长为1的正方形网格，（1）利用网格线作图：找一格点P ，使点P 到AB 和AC 的距离相等，并且PB PC =．（2）求四边形ABPC 的面积．40．如图，四边形ABCD 是正方形，//BE DF ，分别交对角线AC 于点E ，F ，连接ED ，BF △（1）求证：四边形BEDF 是菱形：（2）若2AE =，6CE =，求菱形BEDF 的周长和面积△41．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，两条对角线相交于点O ，以O 为顶点作正方形OEFG ，将正方形OEFG 绕点O 旋转．（1）旋转过程中，正方形OEFG 与正方形ABCD 重叠部分的面积为________（2）连接BG ，EC ，延长EC 交BG 于点H ，判断EC 与BG 的位置关系，并说明理由；（3）连接DE ，当以B 、D 、E 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，求点D 到OE 的距离42．如图，两个正方形,ABCD OEFG 的边长都是a ，其中O 是正方形ABCD 的中心，]（1）请你说出图2到图3是经过怎样的变化形成的？（2）求出图4中四边形OPCQ 的面积．43．如图，用两个边长为.（1）大正方形的边长长度是___________；（2）若沿次大正方形边的方向剪出一个长方形，使长方形的边与大正方形的边重合或平行，能否使剪出的长方形的长宽之比3:2，且面积400cm 2?说明理由.44．如图，以正方形的中心O 为顶点作一个直角，直角的两边分别交正方形的两边BC 、DC 于E 、F 点，问：（1）△BOE 与△COF 有什么关系？证明你的结论（提示：正方形的对角线把正方形分成全等的四个等腰直角三角形，即正方形的对角线垂直相等且相互平分）；（2）若正方形的边长为2，四边形EOFC 的面积为多少？45．如图，在等腰直角三角形ABC 中， 90,4ACB AC BC ∠=︒==，D 是AB 的中点，E ，F 分别是AC ，BC△上的点(点E 不与端点A ，C 重合)，且AE CF =连接EF 并取EF 的中点O ，连接DO 并延长至点G ，使GO OD =，连接DE ，DF ，GE ，GF(1)求证:四边形EDFG 是正方形;(2)直接写出当点E 在什么位置时，四边形EDFG 的面积最小?最小值是多少?46．阅读材料：求解一元一次方程，需要根据等式的基本性质，把方程转化为x ＝a 的形式；求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求解三元一次方程组，需要把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解，各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想﹣转化，即把未知转化为已知来求解．用“转化“的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，解一元三次方程x 3+x 2﹣2x ＝0，通过因式分解把它转化为x （x 2+x ﹣2）＝0，通过解方程x ＝0和x 2+x﹣2＝0，可得原方程x3+x2﹣2x＝0的解．再例如，x，通过两边同时平方把它转化为2x+3＝x2，解得：x1＝3，x2＝﹣1．因为2x+3≥0，且x≥0，所以x＝﹣1不是原方程的根，x＝3是原方程的解．（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝，x3＝．（2x﹣1的解；（3）应用：在一个边长为1的正方形中构造一个如图所示的正方形；在正方形ABCD边上依次截取AE＝BF＝CG＝DH＝1n，连接AG，BH，CE，DF，得到正方形MNPQ，若小正方形MNPQ（图中阴影部分）的，求n的值．47．已知：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且AE=BF=CG=DH．（1）四边形EFGH是正方形吗？为什么？（2）若正方形ABCD的边长为4cm，且BE=CF=DG=AH=1cm，请求出四边形EFGH的面积．48．如图，在正方形ABCD中，点P是AD边上的一个动点，连接PB，过点B作一条射线与边DC的延长线交于点Q，使得△QBE＝△PBC，其中E是边AB延长线上的点，连接PQ．(1)求证：△PBQ是等腰直角三角形；(2)若PQ2＝PB2+PD2+1，求△PAB的面积．49．已知矩形ABCD 中，E 是AD 边上的一个动点，点F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点． （1）求证：△BGF△△FHC ；（2）设AD=a ，当四边形EGFH 是正方形时，求矩形ABCD 的面积．50．正方形ABCD 与正方形CEFG 的位置如图所示，点G 在线段CD 或CD 的延长线上，分别连接BD 、BF 、FD ，得到BFD△（1）在图1、图2、图3中，若正方形CEFG 的边长分别为1、3、4，且正方形ABCD 的边长均为3，请通过计算填写下表：BFD 的面积（2）若正方形CEFG 的边长为a ，正方形ABCD 的边长为b ，猜想BPD S 的大小，并结合图3证明你的猜想.51．如图所示，在正方形上连接等腰直角三角形和正方形，无限重复同一过程，第一个正方形的边长为1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2，…，第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和为S n．（1）计算S1、S2、S3、S4．（2）总结出S n与S n-1的关系，并猜想出S1+S2+S3+S4+…+S n与n的关系．52．已知正方形ABCD的边长为4，E是CD上一个动点，以点E为直角顶点，在正方形外侧等腰直角三角形CEF，连结BF、BD、FD．（1）BD与CF的位置关系是__________．CE=（即点E与点D重合）时，BDF的面积为_________．（2）△如图1，当4CE=（即点E为CD的中点）时，BDF的面积为________．△如图2，当2CE=时，BDF的面积为_______．△如图3，当3（3）如图4，根据上述计算的结果，当E是CD上任意一点时，请提出你对BDF面积与正方形ABCD的面积之间关系的猜想，并证明你的猜想．53．如图，正方形ABCD的面积为4，对角线交于点O，点O是正方形A1B1C1O的一个顶点，如果这两个正方形全等，正方形A1B1C1O绕点O旋转．（1）求两个正方形重叠部分的面积；（2）若正方形A1B1C1O旋转到B1在DB的延长线时，求A与C1的距离．。
专题16 矩形、菱形、正方形的性质与判定压轴题十种模型全攻略(解析版)
专题16矩形、菱形、正方形的性质与判定压轴题十种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一利用矩形的性质求角度】 (1)【考点二利用矩形的性质求线段长】 (4)【考点三矩形的性质与判定综合问题】 (7)【考点四利用菱形的性质求角度】 (11)【考点五利用菱形的性质求线段长】 (12)【考点六菱形的性质与判定综合问题】 (15)【考点七利用正方形的性质求角度】 (19)【考点八利用正方形的性质求线段长】 (21)【考点九正方形的性质与判定综合问题】 (24)【考点十矩形、菱形、正方形中无刻度作图问题】 (31)【过关检测】 (35)【典型例题】【考点一利用矩形的性质求角度】【答案】56︒四边形ABCD是长方形，∴∥，AD BC∴∠=∠=︒，DAC ACB68由作图痕迹可知，AE平分【变式训练】【答案】35【分析】利用矩形的性质可得：∵30BOF ∠=︒，∴AOF AOB BOF ∠=∠-∠如图所示，当点F 在BC 上时，∵30BOF ∠=︒，∴7630106AOF AOB BOF ∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：46︒或106︒．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，分类讨论是解题的关键．【考点二利用矩形的性质求线段长】【答案】23【分析】由矩形的性质可得【变式训练】【答案】5【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，证题关键．⊥，则MN AD⊥，则MN BD(1)求EC的长；(2)求CDE∠的度数．【答案】(1)(843)cm-【考点三矩形的性质与判定综合问题】例题：（2023上·辽宁丹东·九年级统考期中）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BC 的延长线上，且CE BC =，AE AB =，AE ，DC 相交于点O ，连接DE ．(1)求证：四边形ACED 是矩形；(2)若120AOD ∠=︒，4AC =，求AE 的长．【答案】(1)证明详见解析(2)8【分析】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质，等边三角形的性质和判定的应用，能综合运【变式训练】1．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，ABCD Y 的对角线相交于点O ，且2COD OBC ∠=∠．(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)点E 在OD 上，连接AE ，若24,4AB AD OD OE ===，求ADE V 的面积．(1)求证：四边形ADCE 为矩形；(2)若65BD DF ==，，求AD 的长．【答案】(1)见解析(2)8【分析】（1）证明90ADC DAE AEC ∠=∠=∠=︒，根据矩形的判定即可得到结论；（2）根据矩形的性质和勾股定理即可求出AD 的长．此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，∴,AD BC BAD CAD ⊥∠=∠，∴90ADC ∠=︒，∵AN 是ABC 外角CAM ∠的平分线，∴MAN CAN ∠=∠．∴=90DAE ∠︒，∵CE AN ⊥，∴90AEC ∠=︒．∴90ADC DAE AEC ∠=∠=∠=︒，∴四边形ADCE 为矩形；（2）解：∵四边形ADCE 为矩形，∴AE CD AC DE ==，，∵BD CD =，∴6AE BD ==，∵510DF AC DE ===，，【考点四利用菱形的性质求角度】【答案】70︒/70度【分析】本题考查菱形性质，利用三角形内角和即可求得本题答案．【变式训练】【答案】20︒/20度【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，关键是熟练掌握直角三角形斜边∠中线性质．先根据菱形的性质得到CBD四边形ABCD是菱形，ABC∠=，∴∠=︒，OA OCBCD100∴∠=∠=︒，PA=50ACB ACD∴∠=∠=︒，PAC PCA20【考点五利用菱形的性质求线段长】【答案】513 13【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理；根据菱形的性质得出AO=得AE，在Rt ABE△中，勾股定理即可求解．【变式训练】【答案】2.5【分析】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出菱形的边长．【详解】解： 四边形ABCD【答案】6或63或6【分析】由题意知AP =90BP A ∠=︒，由勾股定理得，当16AP =时，16BP=；∵菱形ABCD 中，=60B ∠︒，∴ABC 是等边三角形，∵2162AP AC ==，【考点六菱形的性质与判定综合问题】(1)求证：四边形ABEF是菱形；AB=，求AE的长．(2)若8BF=，5【答案】(1)见解析(2)AE的长为6【变式训练】(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若5AB=，2BD=，求在（2）的条件下，1OD =∵2DM =，∴22OM DM OM =-=(1)求证：四边形AFCE 是菱形．(2)若8AC =，6EF =，求BF 【答案】(1)见解析(2)75BF =【考点七利用正方形的性质求角度】【答案】22.5︒/22【分析】本题考查了正方形的性质，根据四边形=，即可求出据BP OB【详解】解： 四边形90BOC ∴∠=︒，45OBC ∠=︒，BP OB = ，BOP BPO ∴∠=∠，(18045)267.5BOP BPO ∴∠=∠=︒-︒÷=︒，9067.522.5COP ∴∠=︒-︒=︒．故答案为：22.5︒．【变式训练】【答案】70【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质．证明ABE CBE △△≌，得到AEB BEC ∠=∠，利用三角形的内角和定理和平角的定义，进行求解即可．掌握正方形的性质，是解题关键．【详解】解：∵正方形ABCD ，∴45,ABE CBE AB BC ∠=∠=︒=，∵BE BE =，∴ABE CBE △△≌，∴AEB BEC ∠=∠，∵25BCF ∠=︒，∴1804525110AEB BEC ∠=∠=︒-︒-︒=︒，∴180********AEB AED ∠∠=︒--︒==︒︒，故答案为：70．【考点八利用正方形的性质求线段长】【答案】22【分析】本题主要考查正方形的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据正方形的性质得到2AB BC ==，再由勾股定理得到答案．【变式训练】【答案】352【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理求得12x =，进而表示出【详解】解：如图所示，连接∵AE 的垂直平分线分别交∴AG EG=设BG x =，则4CG =-∵E 是CD 的中点，则CE ∴(2224GE CG CE =+=∵2AP =，边长为6，即∴4PB =∵点Q 为BC 的中点，∴3CQ BQ ==，，过点P 作PE BC ⊥于E ，，∴6PE AB ==，BE AP =∵3BQ =，2AP =，∴1QE =，∴221637PQ =+=，【考点九正方形的性质与判定综合问题】例题：（2023上·山西吕梁·九年级统考期末）综合与实践【问题情境】如图1，正方形ABCD 中，点E 为其内一点，以点E 为直角顶点，以AB 为斜边构造直角三角形ABE ，使得90AEB ∠=︒，将Rt ABE △绕点B 按顺时针方向旋转90︒，得到△CBE '（点A 的对应点为C ），延长AE 交CE '于点F ，连接DE ．DA DE =，∴12AQ QE AE ==． 四边形ABCD 是正方形，∴90DAB ∠=︒，DA AB =，∴90BAE DAQ ︒∠+∠=．90ADQ DAQ ∠+∠=︒，∴BAE ADQ ∠=∠，90DQA AEB ︒∠=∠=，∴(AAS)ADQ BAE △≌△，∴AQ BE =，DQ AE =，∴22DQ AE AQ BE ===．将Rt ABE 绕点B 沿顺时针方向旋转【变式训练】1．（2024上·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末）如图1，正方形ABCD 的边长为5，点E 为正方形CD 边上一动点，过点B 作BP AE ⊥于点P ，将APB △绕点A 逆时针旋转90︒得AP D '△，延长BP 交P D '于点F ，连(1)判断四边形的AP FP '的形状，并说明理由；(2)若1DF =，求AP 的长度；(3)在（2）的条件下，求CPB APBS S ∆∆．【答案】(1)四边形AP FP '是正方形(2)3AP =∠=∠=∠=∵APB CGB ABC ∠+∠=∠∴ABP CBG BCG ∠=∠，∴ABP BCG中，在ABP和BCG(1)如图1，当点E 在线段AC 上时．①求证：矩形DEFG 是正方形；②求证：CG AC CE =-；(2)如图2，当点E 在线段AC 的延长线上时，正方形ABCD 【答案】(1)①证明见解析，②证明见解析；(2)34GE =．∵EF DE ⊥，45PEC ∠=︒∴90DEF ∠=︒，∴45PED FEC ∠∠+=︒，∵45QEF FEC ∠+∠=︒，∴QEF PED ∠=∠，∵EP EQ =，90EQF EPD ∠=∠=︒∴()ASA EQF EPD ≌，∴EF ED =，∵四边形DEFG 矩形，EF ED =，∴四边形DEFG 是正方形；②证明：∵四边形DEFG 是正方形，∴DE DG =，90EDG ∠=︒∵90ADE EDC ∠+∠=︒，90CDG EDC ∠+∠=︒，∴ADE CDG ∠=∠，∵AD DC =，DE DG=∴()SAS ADE CDG ≌，∴AE CG =，∵AE AC CE =-，∴CG AC CE =-；（2）同（1）理，四边形DEFG 是正方形，∴,90DE DG EDG =∠=︒，∵90ADE EDC ∠=︒+∠，90CDG EDC ∠=︒+∠，∴ADE CDG ∠=∠，∵,AD DC DE DG ==，∴()SAS ADE CDG ≌，）【考点十矩形、菱形、正方形中无刻度作图问题】例题：（2024上·江西吉安·九年级统考期末）如图，菱形ABCD 的边AB 上的一点E （不与A ，B 重合），请仅用无刻度的直尺画图．(1)使BF DE =（保留画图痕迹）；(2)在AD 上找到点G ，使BF BG DE ==，作出等腰BFG ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）如图1中，连接AC 交DE 交于点O ，连接EO ，延长EO 交AD 于点F ，此时BF DE =；（2）连接AC BD 、交于点O ，DE 与AC 相交于点M ，连接BM 交AD 于点G ，连接EO 交CD 于点F ，连接EF ，此时BF BG DE ==，BFG 是等腰三角形．【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：【变式训练】1．（2024上·江西吉安·九年级统考期末）请仅用无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹．(1)如图①，在菱形ABCD 中，点E 是BC 的中点，请过E 作出AB 的平行线．(2)如图②，在ABCD Y 中，点E ，是CD 的中点，请找出BC 的中点．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理：（1）如图所示，连接AC BD 、交于O ，连接EO 并延长，交AD 于F ，则直线EF 即为所求；（2）如图所示，连接AC BD 、交于O ，连接EO 并延长，交AB 于G ，连接CG BE ，交于H ，连接OH 并延长交BC 于F ，点F 即为所求．【详解】（1）解：如图所示，连接AC BD 、交于O ，连接EO 并延长，交AD 于F ，则直线EF 即为所求；由菱形的性质可得O 为AC 中点，得OE 是ABC 中位线，则OE ∥AB ；（2）解：如图所示，连接AC BD 、交于O ，连接EO 并延长，交AB 于G ，连接CG BE ，交于H ，连接OH 并由菱平行四边形的性质可得四边形，则H 为CG 中点，则BC 的中点．2．（23-24九年级上·江西九江·期末）如图，四边形ABCD 为矩形，且有AE DE =．请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．(1)在图1中求作BC 边的中点F ；(2)在图2中的边BC 上求作点H ，使BG CH =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质和判定：（1）连接,AC BD ，过,AC BD 的交点与点E 作直线，交BC 于点F ，即可；（2）方法一：连接AG ，并延长AG 交EF 于点P ，连接DP 交BC 于点H ，即可；方法二：连接AH ，交EF 于点Q ，连接DQ ，并延长DQ 交BC 于点H ，即可；【详解】（1）解：如图，点P 即为所求；（2）解：如图，点H 即为所求．3.（23-24九年级上·江西九江·期中）如图正方形ABCD ，正方形GCEF 如图，并排放置，G 不是CD 中点．请用无刻度直尺完成下列作图．(1)在图1中作平行四边形BDMC ；(2)在图2中边AD 上寻找点P ，使得PD CG ．【答案】(1)图见解析(2)图见解析【分析】本题考查无刻度直尺作图．（1）连接BD ，连接CF 并延长交AD 的延长线与点M ，则平行四边形BDMC 即为所求；（2）在（1）的基础上，连接BM ，交CD 与点H ，连接EH 并延长，交AD 于点P ，则点P 即为所求．熟练掌握正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键．【详解】（1）解：如图，平行四边形BDMC 即为所求；由图可知：,BD CM BC DM ∥∥，∴四边形BDMC 为平行四边形；（2）如图：点P 即为所求；由图可知：H 为平行四边形BDMC 的对角线的交点，∴DH CH =，又90,ECH PDH DHP CHE ∠=∠=︒∠=∠，∴PDH ECH ≌，∴PD CE CG ==．【过关检测】一、单选题1．（2023·江苏淮安·一模）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6和8，则这个菱形的面积是（）A ．48B ．40C ．24D ．20故选：C．2．（22-23九年级下·广东汕头·期中）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分BED∠，2AB=，∠︒，则DE的长为（）ABE=45A．2-B1C1D．Y中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．下3．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，在ABCD列说法错误的是（）A ．当2AB AD =时，四边形DEBF 是菱形B ．当90ADB ∠=︒时，四边形DEBF 是菱形C ．当AD BD =时，四边形DEBF 是矩形D ．当DE 平分ADB ∠时，四边形DEBF 是矩形【答案】A【分析】本题考查平行四边形的性质与菱形的判定，先根据平行四边形性质得到DF EB ∥，DF EB =，得到四边形DEBF 是平行四边形，再结合选项条件结合菱形的判定，逐个判定即可得到答案；【详解】解：∵在ABCD Y 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，∴DF EB ∥，1122DF DC AB EB ===，∴四边形DEBF 是平行四边形，∵DE 平分ADB ∠，∴DE AB ⊥，∴四边形DEBF 是矩形，故D 选项正确不符合题意，当2AB AD =时，得不到四边形DEBF 是菱形，故A 选项错误，符合题意，当90ADB ∠=︒时，DE BE =，∴四边形DEBF 是菱形，故B 选项正确不符合题意，当AD BD =时，∵E 为边AB 的中点，∴90DEB ∠=︒，∴四边形DEBF 是矩形，故C 选项正确不符合题意，故选：A ．4．（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数(0)ky x x=>的图象交矩形OABC 的边AB 于点D 交边BC 于点E ，且2BE EC =，若四边形ODBE 的面积为12，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．6D ．12【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的系数k 的几何意义．连接OB ，由矩形的性质和已知条件得出OBD 的面积OBE = 的面积12=四边形ODBE 的面积，再求出OCE △的面积，即可得出k 的值．【详解】解：连接OB ，如图所示：四边形OABC 是矩形，90OAD OCE DBE ∴∠=∠=∠=︒，OAB 的面积OBC = 的面积，D 、E 在反比例函数(0)k y x x=>的图象上，OAD ∴ 的面积OCE = 的面积，OBD ∴△的面积OBE = 的面积12=四边形ODBE 的面积6=，2BE EC = ，OCE ∴ 的面积12OBE = 的面积3=，6k ∴=．故选：C ．5．（2023·广西桂林·二模）如图①，在正方形ABCD 中，点P 从点A 出发，沿AB BC →的路径匀速运动，到点C 停止．过点P 作PQ BD ∥，PQ 与边AD （或边CD ）交于点Q ，PQ 的长度y （cm ）与点P 的运动时间x （秒）的函数图象如图②所示．则正方形ABCD 的边长是（）A ．2cmB ．4cmC ．42D ．无法确定【答案】B 【分析】本题考查动点的函数图象，正方形的性质，勾股定理．根据图象得到当2x =时，P 点移动到B 点，42PQ BD ==，进而求出正方形的边长．【详解】解：∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴45,90ABD A ∠=︒∠=︒，∵PQ BD ∥，∴45APQ ABD ∠=∠=︒，∴45AQP ∠=︒，∴AP AQ =，由图②可知：当2x =时，42y =，即当点P 运动到点B 时，点P 运动时间是2秒，42PQ BD cm ==，∵45ABD ∠=︒∴24242AB AD cm ==⨯=．∴正方形ABCD 的边长是4cm ．故选：B ．二、填空题6．（2023·甘肃平凉·三模）如图，在ABCD Y 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，请添加一个条件，使ABCD Y 成为菱形（写出符合题意的一个条件即可）【答案】AB AD =或AC BD ⊥（答案不唯一）【分析】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．【详解】解：添加AB AD =，四边形ABCD 是平行四边形，AB AD =，∴平行四边形ABCD 成为菱形；添加：AC BD ⊥，∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥，∴平四边形ABCD 是菱形；故答案为：AB AD =或AC BD ⊥（答案不唯一）．7．（2023·海南海口·二模）如图，在菱形ABCD 中，120A ∠=︒，2AB =，E 为边CD 的中点，连接BE ，则菱形ABCD 的面积等于，BE 的长等于．【答案】237【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，连接AC AE ，，证明ADC △是等边三角形，根据等边三角形的性质证明AE CD ⊥，1CE DE ==，然后可以求出菱形面积；再利用勾股定理求出BE ．【详解】解：如图，连接AC AE ，，∵四边形ABCD 是菱形，1202BAD AB ∠=︒=，，∴602D AD CD AB ∠=︒===，，8．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的对角线OB 在x 轴上，顶点A 在反比例函数(0)k y x x =<的图象上，若菱形OABC 的面积为12，则k 的值为．四边形OABC 是菱形，OB AC ∴⊥，ΔAOD S =，k<∴=-，k6-．故答案为：69．（2023·宁夏银川·三模）七巧板是中国民间流传的一种传统智力玩具，它是由等腰直角三角形，正方形和平行四边形组成的．如图，有一块边长为4的正方形厚纸板ABCD，做成如图①所示的一套七巧板（点O为∥），将图①示七巧板拼正方形纸板对角线的交点，点E、F分别为AD、CD的中点，GE BI∥，IH CD成如图②所示的“鱼形”，则“鱼尾”MN的长为．BC=，点E是线段AD上一点，且不与A、10．（2023·河南郑州·三模）如图，已知矩形ABCD，2AB=，4D重合，沿BE折叠使点C落在矩形某边所在直线上，则DE的长是．【答案】2或23【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、正方形的判定、勾股定理等知识，应注意分类讨论，以免丢解．设点C 、点D 的对应点分别为点C '、点D ¢，由矩形的性质得90BAD B C D ∠=∠=∠=∠=︒，2CD AB ==，4AD BC ==，由折叠得4BC BC '==，2C D CD ''==，90C C '∠=∠=︒，90D D '∠=∠=︒，再分两种情况讨论，一是点'C 在BA 的延长线上，可证明四边形AC D E ''是正方形，则2DE D E '==；二是点C '在DA 的延长线上，可证明C EB C BE ''∠=∠，则4EC BC ''==，所以2223DE D E EC C D ''''==-=，于是得到问题的答案．【详解】解：设点C 、点D 的对应点分别为点C '、点D ¢，四边形ABCD 是矩形，2AB =，4BC =，90BAD ABC C D ∴∠=∠=∠=∠=︒，2CD AB ==，4AD BC ==，由折叠得4BC BC '==，2C D CD ''==，90C C '∠=∠=︒，90D D '∠=∠=︒，当点'C 在BA 的延长线上，如图1，则18090EAC BAD '∠=︒-∠=︒，∴四边形AC D E ''是矩形，422AC BC AB ''=-=-= ，AC C D '''∴=，∴四边形AC D E ''是正方形，2D E AC ''∴==，2DE D E '∴==；当点C '在DA 的延长线上，如图2，AD BC ，C EB CBE '∴∠=∠，由折叠得C BE CBE '∠=∠，C EB C BE ''∴∠=∠，三、解答题11．（2023·新疆乌鲁木齐·三模）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，DE AC AE BD ∥∥，．(1)求证：四边形AODE 是矩形．(2)若菱形ABCD 的边长为10，面积为，求四边形AODE 的周长．12．（23-24九年级下·北京丰台·开学考试）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，BC ，EO 为矩形BECO 对角线，BC AD ∥，AD EO =．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)连接DE ，若2AC =，120BCD ∠=︒，求DE 的值．13．（2023·浙江金华·三模）已知点M ，N 在矩形的边上，利用直尺和圆规，按要求作图，保留作图痕迹．(1)如图1，在矩形边上找点E ，F ，使得MNEF 为平行四边形；(2)如图2，在矩形边上找P ，G ，H 三点，使得四边形MPGH 为菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】此题考查尺规作图和菱形的判定：（1）连接矩形的对角线交于点O ，连接,MO NO ，分别延长,MO NO 交矩形的对边于点E ，F ，即可求解；（2）连接矩形的对角线交于点O ，连接MO ，分别延长MO 交矩形的对边于点G ，再作GM 的垂直平分线，分别交矩形的两边于点P ，H ，即可求解；【详解】（1）解：如图，四边形MNEF 即为所求；（2）解：如图，四边形MPGH 即为所求．14．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期末）在ABC 中，AB AC ＝，点D 为射线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边作菱形ADEF ，使DAF BAC ∠∠＝，连接CF ．(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，直接写出线段BD 与CF 的数量关系；(2)如图2，当点D 在线段BC 的延长线上，且90＝BAC ∠︒时，求证：2CF CD -=．【答案】(1)BD CF＝(2)见详解【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，利用已知条件证明BAD CAF ≌是解题的关键．（1）由已知DAF BAC ∠∠＝得BAD CAF ∠∠＝，再根据菱形的性质得AD AE =，再由AB AC ＝，证明BAD ≌CAF V ；（2）同（1）可得BAD ≌CAF V ，得BD CF ＝，再由90＝BAC ∠︒，AB AC ＝证得2BC AC =，所以2BD CD BC AC -==．【详解】（1）证明： 四边形ADEF 是菱形，AD AF ∴＝，BAC DAF ∠∠＝ ，BAD CAF ∴∠∠＝，AB AC ＝ ，BAD ∴ ≌SAS CAF（） ，BD CF ∴＝．（2）证明： 四边形ADEF 是菱形，AD AF ∴＝，BAC DAF ∠∠＝ ，BAD CAF ∴∠∠＝，AB AC ＝ ，BAD ∴ ≌SAS CAF（） ，15．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）四边形ABCD 为矩形，G 是BC 上的任意一点，DE AG ⊥于点E ．(1)如图1，若AB BC =，BF DE ，且交AG 于点F ，求证：AF BFEF =－；(2)如图2，在（1）的条件下，若AG =，求GCEC ；(3)如图3，连EC ，若CG CD =，DE =2CE =，则GE =．（直接写出结果）∵5AG BG =，设在Rt ABG △中，∴G 为BC 的中点，在ABG 和△FCG BAG CFG ABG FCG BG CG ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝。
初中正方形的判定专项练习30题
正方形的判定专项练习30题（有答案）1．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AEB=2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．2．已知：如图，CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，过点A作CE、CF的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？3．已知：如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，将△ADE绕点D旋转180°至△BDF．（1）小明发现四边形BCEF的形状是平行四边形，请你帮他把说理过程补齐．理由是：因为△BDF是由△ADE绕点D旋转180°得到的所以△ADE与△BDF全等且点A、D、B在同一条直线上点E、D、F也在同一条直线上．所以BF=AE，∠F=∠_________可得BF∥_________又因为E是AC的中点，所以EC=AE，所以BF= _________因此，四边形BCEF是平行四边形（根据_________ ）（2）小明还发现在原有的△ABC中添加一个条件后，就可以使四边形BFEC成为一种特殊的平行四边形．你也来试试．你认为添加条件_________ 后，四边形BFEC是_________ ．（友情提示：我们将根据你所提出问题的难易程度，给予不同的分值．）理由是：_________ ．4．如图，在矩形ABCD中，AF、BE、CE、DF分别是矩形的四个角的角平分线，E、M、F、N是其交点，求证：四边形EMFN是正方形．5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形，DE、AC相交于点F．求证：（1）点F为AC中点；（2）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；（3）若四边形ADCE为正方形，△ABC应添加什么条件？并证明你的结论．6．求证：对角线相等的菱形是正方形．已知：四边形ABCD是菱形，且AC=BD （又：AC，BD互相平分）求证：四边形ABCD是正方形．7．在△ACD中，∠D=90°，∠D的平分线交AC于点E，EF⊥AD交AD于点F，EG⊥DC交DC于点G，请你说明四边形EFDG是正方形．8．已知：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E、F．（Ⅰ）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件？试说明理由．（Ⅱ）在（Ⅰ）中当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？9．如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．（2）当∠A=90°时，求证：四边形AFDE是正方形．10．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG 与CD相交于点F．求证：四边形ABCD是正方形．11．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．（1）求证：DE=DF；（2）若再添加一个条件，即可证得四边形AEDF为正方形，这个条件是_________ ．12．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CFDE是正方形．13．已知：如图，在△ABC是，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为EF，求证：四边形CFDE 是正方形．14．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（2）若∠A=90°，判断四边形AEDF的形状，并说明理由．15．如图△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠GCA的平分线于点F．（1）说明 EO=FO．（2）当点O运动到何处，四边形AECF是矩形？说明你的结论．（3）当点O运动到何处，AC与BC具有怎样的关系时，四边形AECF是正方形？为什么？16．如图，在△ABC中，AB=AC，P是边BC的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E（1）求证：PD=PE；（2）DE与BC平行吗？请说明理由；（3）请添加一个条件，使四边形ADPE为正方形，并加以证明．17．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠CAB、∠CBA的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，（1）求∠ADB的度数；（2）试说明四边形CEDF是什么形状的特殊四边形．18.证明：对角线相等的菱形是正方形．19．已知：如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．①试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．②连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？③在②的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F．求证：四边形DEAF是正方形．21．如图所示，在Rt△ABC中，CF为直角的平分线，FD⊥CA于D，FE⊥BC于E，则四边形CDFE是怎样的四边形，为什么？22．如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB．求证：四边形BEDF是正方形．23．如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH．求证：四边形EFGH是正方形．24．已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．求证：四边形CEDF是正方形．25．如图所示，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的．求证：四边形EFGH是正方形．26．如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点，当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由．27．已知四边形ABCD中，AB=CD，AC=BD，试添加适当的条件使四边形ABCD成为特殊的平行四边形，并说明理由．28．如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．29．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且DE∥AC，DF∥AB．（1）如果∠BAC=90°那么四边形AEDF是_________ 形；（2）如果AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是_________ 形；（3）如果∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是_________ 形，证明你的结论（仅需证明第3）题结论）30．如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．请回答下列问题：（1）说明四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（5）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？（第（2）（3）（4）（5）题不必说明理由）矩形的判定30题参考答案：1.（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．∵△ACE是等边三角形，∴AE=CE．∴BE⊥AC．∴四边形ABCD是菱形．（2）从上易得：△AOE是直角三角形，∴∠AEB+∠EAO=90°∵△ACE是等边三角形，∴∠EAO=60°，∴∠AEB=30°∵∠AEB=2∠EAB，∴∠EAB=15°，∴∠BAO=∠EAO﹣∠EAB=60°﹣15°=45°．又∵四边形ABCD是菱形．∴∠BAD=2∠BAO=90°∴四边形ABCD是正方形．2．（1）证明：∵CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，∴∠ACE+∠ACF=×180°=90°，∵AE⊥CE，AF⊥CF，∴∠AEC=∠AFC=90°，∴四边形AECF是矩形．（2）答：当△ABC满足∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形，理由是：∵∠ACE=∠ACB=45°，∵∠AEC=90°，∴∠EAC=45°=∠ACE，∴AE=CE，∵四边形AECF是矩形，∴四边形AECF是正方形．3．（1）故答案为∠AED（1分）；BF∥AC（2分）；EC（3分）；一组对边平行且相等的四边形为平行四边形．（2）A层次：（提出问题（1分），说理1分）添加条件∠C=90°后四边形BFEC为矩形．（5分）理由：由（1）得四边形BFEC为平行四边形，又∠C=90°，即有一个角是直角的平行四边形是矩形．（6分）．B层次：（提出问题分，说理1分）添加条件AC=2BC后四边形BFEC为菱形．理由：由（1）得四边形BFEC为平行四边形又知AC=2CE，AC=2BC，所以EC=BC，即一组邻边相等的平行四边形是菱形．C层次：（提出问题（3分），说理3分）添加条件∠C=90°且AC=2BC时四边形BFEC为正方形．（7分）理由：由（1）得四边形BFEC为平行四边形，又∠C=90°，即有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以此时四边形BFEC为矩形，又因为AC=2CE，AC=2BC，所以EC=BC，一组邻边相等的矩形是正方形，所以此时四边形BFEC为正方形．4．∵四边形ABCD是矩形，∴四个内角均为90°，∵AF，BE，CE，DF分别是四个内角的平分线，∴∠EBC=∠ECB=45°，∴△EBC为等腰直角三角形，∴∠E=90°，同理∠F=∠EMF=∠ENF=90°，∴四边形MFNE为矩形，∵AD=BC，∠E=∠F=90°，∠DAF=∠EBC=45°，∴△DAF≌△CBE（AAS）∴AF=BE，∵AM=BM，∴AF﹣AM=BE﹣BM，即FM=EM，∴四边形MFNE是正方形．5．（1）∵四边形DBEC是平行四边形，∴DE∥BC，∵D为AB中点，∴DF为△ABC的中位线，即点F为AC的中点；（2）∵平行四边形BDEC，∴CE平行等于BD．∵D为AB中点，∴AD=BD，∴CE平行且等于AD，∴四边形ADCE为平行四边形，又∵AD=CD=BD，∴四边形ADCE为菱形；（3）应添加条件AC=BC．证明：∵AC=BC，D为AB中点，∴CD⊥AB（三线合一的性质），即∠ADC=90°．∵四边形BCED为平行四边形，四边形ADCE为平行四边形，∴DE=BC=AC，∠AFD=∠ACB=90°．∴四边形ADCE为正方形．（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形）6．∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD也是平行四边形，又∵AC=BD（且AC，BD互相平分），∴四边形ABCD也为矩形，又∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形．7．∵DE平分∠ADE，EF⊥AD，EF⊥AD，∴EF=EG，∵DE=DE，∴△DEF≌△DGE（HL），∴∠DEF=∠EDG，∠DEG=∠EDF，∴FE∥DG，GE∥DF，∴四边形EFDG是平行四边形，∵∠EFD=90°，∴四边形EFDG是矩形，∵EF=EG，∴四边形EFDG是正方形．8．Ⅰ）法1：答：当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=DC，又∵AM=DM，∴△AMB≌△DMC（SAS）∴∠AMB=∠DMC∵四边形PEMF为矩形，∴∠BMC=90°，∴∠AMB=∠DMC=45°∴AM=DM=DC，即AD=2DC．∴当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍；法2：∵四边形PEMF为矩形，∴∠M为直角，∴B、C、M三点共圆，BC为直径，又∵M为AD的中点，∴BC=2CD，∴当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍．（Ⅱ）答：当点P运动到BC中点时，四边形PEMF变为正方形．∵△AMB≌△DMC，∴MB=MC．∵四边形PEMF为矩形，∴PE∥MB，PF∥MC又∵点P是BC中点，∴PE=PF=MC∴四边形PEMF为正方形．9．（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°，在Rt△BDF和Rt△CDE 中，，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）；（2）答：四边形AFDE是正方形．证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四边形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF=DE，∴四边形AFDE是正方形10．∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE，∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，∴∠CBE=∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD，∴∠CBE=∠ABE=45°，∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形，∴AB=AD=BC=CD，∴四边形ABCD是正方形．11．（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，又∵D是BC中点，AB=AC，∴BD=CD，在△BFD与△CED中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．（2）解：当△ABC为等腰直角三角形时，则有AE=DE=DF=AF，四边形AEDF为菱形，又∵∠A=90°，∴菱形AEDF为正方形12．过点D作DG⊥AB，垂足为G，∵∠CFD=∠CED=∠C=90°，∴四边形CEDF是矩形．∵AD，BD分别是∠CAB，∠CBA的平分线，∴DF=DG，DG=DE．∴DF=DE．∴四边形CFDE是正方形．13．∵∠ACB=90°，DE⊥BC，DF⊥AC，∴四边形CFDE是矩形．.又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE=DF．∴四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．14．（1）∵在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C．∵D为BC边的中点，∴BD=CD．在△BED与△CFD中，∵，∴△BED≌△CFD（AAS）；（2）四边形AEDF是正方形．理由如下：∵∠DEB=90°，∠A=90°，∴∠DEB=∠A，∴AF∥ED．同理，AE∥FD，∴四边形AEDF是矩形．又由（1）知，△BED≌△CFD，∴ED=FD，∴矩形AEDF是正方形15．（1）∵MN∥BC，∴∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∵CE，CF分别为∠BCA，∠GCA的角平分线，∴∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，∴∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，∴OC=OE，OC=OF，∴OE=OF，（2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，理由：∵O点为AC的中点，∴OA=OC，∵OE=OF，OC=OE=OF，∴OA=OC=OE=OF，∴AC=EF，∴四边形AECF是矩形，（3）当O点运动到AC的中点时，AC⊥BC时，四边形AECF是正方形，理由：∵O点为AC的中点，∴OA=OC，∵OE=OF，OC=OE=OF，∴OA=OC=OE=OF，∴AC=EF，∵AC⊥BC，MN∥BC，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．16．1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠PDB=∠PEC=90°，∵P是BC的中点，∴BP=PC，即∠BDP=∠PEC=90°，∠B=∠C，PB=PC，∴△PDB≌△PEC，∴PD=PE．（2）答：DE∥BC，理由是：∵△PDB≌△PEC，∴BD=CE，∵AB=AC，∴=，∴DE∥BC．（3）答：当∠A=90°时，使四边形ADPE为正方形，证明：∵∠A=∠ADP=∠AEP=90°，∴四边形ADPE是矩形，∵AB=AC，BD=CE，∴AD=AE，∴矩形ADPE是正方形，即当∠A=90°时，使四边形ADPE为正方形．17．（1）∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∴∠DAB+∠DBA=（∠CAB+∠CBA）=×90°=45°，∴∠ADB=180°﹣45°=135°；（2）四边形CEDF是正方形．过D作DG⊥AB于G，∵AD、BD是∠CAB、∠CBA的平分线，∴DF=DG，DE=DG，∴DF=DE，∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，DE⊥BC于E，DF⊥AC 于F，∴四边形CEDF是正方形．18．连接AC、BD相交于O∵菱形ABCD∴OA=OC=AC，OB=OD=BD∵AC=BD∴OA=OB∵OA⊥OB（菱形的对角线互相垂直）∴∠OAB=∠OBA=45°同理∠OBC=∠OCB=45°..∴∠OBA+∠OBC=90° ∴∠ABC=90°∴ABCD 是正方形．19．①∵DE ∥AC ，DF ∥AB ， ∴四边形AEDF 为平行四边形； ②∵四边形AEDF 为菱形， ∴AD 平分∠BAC ，则AD 平分∠BAC 时，四边形AEDF 为菱形； ③由四边形AEDF 为正方形，∴∠BAC=90°， ∴△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形即可 20．∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴∠AED=90°，∠AFD=90° ∵∠BAC=90° ∴∠EDF=90° ∴□AEDF 是矩形 在△BDE 和△CDF 中 ∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴∠DEB=∠DFC 又∵D 是BC 的中点 ∴BD=DC∴△BDE ≌△CDF ∴DE=DF∴□AEDF 是正方形21．四边形CDFE 是正方形 理由如下：∵FD ⊥AC ，FE ⊥BC ，AC ⊥BC ∴四边形CDFE 是矩形 ∵CF 平分∠ACB ∴∠FCD=45° ∴CD=DF∴四边形CDFE 是正方形22．∵∠ABC=90°，DE ⊥BC ，DF ⊥AB ， ∴∠BFD=∠BED=∠ABC=90°． ∴四边形BEDF 为矩形．又∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，DF ⊥AB ， ∴DF=DE ．∴矩形BEDF 为正方形．23．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=DA ，∠EBF=∠HAE=∠GDH=∠FCG ， 又∵BE=CF=DG=AH ， ∴CG=DH=AE=BF∴△AEH ≌△CGF ≌△DHG ，∴EF=FG=GH=HE ，∠EFB=∠HEA ， ∴四边形EFGH 为菱形，∵∠EFB+∠FEB=90°，∠EFB=∠HEA ， ∴∠FEB+∠HEA=90°，∴四边形EFGH 是正方形．24．∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ， ∴DE=DF ，∠DFC=90°，∠DEC=90°， 又∵∠ACB=90°，∴四边形DECF 是矩形， ∵DE=DF ，∴矩形DECF 是正方形．25．∵矩形的ABCD 的外角都是直角，HE ，EF 都是外角平分线，∴∠BAE=∠ABE=45°． ∴∠E=90°．同理，∠F=∠G=90°． ∴四边形EFGH 为矩形．∵AD=BC ，∠HAD=∠HDA=∠FBC=∠FCB=45°， ∴△ADH ≌△BCF （AAS ）． ∴AH=BF ．又∵∠EAB=∠EBA ， ∴AE=BE ．∴AE+AH=EB+BF ，即EH=EF ． ∴矩形EFGH 是正方形．26．四边形ABCD 满足AC=BD ，AC ⊥BD 时，四边形EFGH 为正方形． 理由如下：∵E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、AD 的中点，∴EF ∥AC ，且EF=AC ， EH ∥BD ，且EH=BD ，∵四边形EFGH 是正方形， ∴EF=EH ，EF ⊥EH ， ∴AC=BD ，AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 满足对角线互相垂直且相等时，四边形EFGH 是正方形．..即四边形ABCD 满足AC=BD ，AC ⊥BD 时，四边形EFGH 为正方形．27．本题答案不唯一，以下是其中两种解法： （1）添加条件AB ∥DC ，可得出该四边形是矩形； 理由：∵AB ∥DC ，AB=DC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形． （2）添加条件AC 垂直平分BD ，那么该四边形是正方形． 理由：∵AC 垂直平分BD ， ∴AB=AD ，BC=CD ． ∵AB=DC ，∴AB=AD=BC=DC ．∴四边形ABCD 是菱形． ∵AC 垂直BD ，∴四边形ABCD 是正方形．28．（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO=CO=AC ，∵EA=EC ， ∴EO ⊥AC ， 即BD ⊥AC ，∴平行四边形ABCD 是菱形；（2）∵∠1=∠EAD+∠AED ，∠DAC=∠EAD+∠AED ， ∴∠1=∠DAC ， ∴AO=DO ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC=2AO ，DB=2DO ， ∴AC=BD ，∴四边形ABCD 是正方形．29．（1）∵DE ∥AC ，DF ∥AB ， ∴四边形AEDF 是平行四边形， 又∵∠BAC=90°，∴四边形AEDF 是矩形； （2）∵DE ∥AC ，DF ∥AB ，∴∠ADE=∠DAF ，四边形AEDF 是平行四边形， 又∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠DAE=∠DAF ， ∴∠ADE=∠DAE ， ∴AE=DE ，∴▱AEDF 是菱形；（3）由（1）知四边形AEDF 是矩形，由（2）知四边形AEDF 是菱形，所以四边形AEDF 是正方形． 30．（1）四边形ADEF 是平行四边形． ∵等边三角形BCE 和等边三角形ABD ， ∴BE=BC ，BD=BA ．又∵∠DBE=60°﹣∠ABE ，∠ABC=60°﹣∠ABE ， ∴∠DBE=∠ABC ． 在△BDE 和△BCA 中，∴△BDE ≌△BCA ．（2分） ∴DE=AC ．∵在等边三角形ACF 中，AC=AF ， ∴DE=AF ． 同理DA=EF ．∴四边形ADEF 是平行四边形．（2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF 是矩形．（5分） 理由：∵∠DAF=360°﹣∠DAB ﹣∠BAC ﹣∠CAF=90°， ∴▱ADEF 是矩形．（3）当AB=AC ，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF 是菱形．（6分） 理由：∵AB=AC ， ∴AD=AF ，∴▱ADEF 是菱形．（4）当∠BAC=150°且AB=AC ，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF 是正方形．（7分）（5）当∠BAC=60°时，以A ，D ，E ，F 为顶点的四边形不存在．（8分）。
正方形的性质与判定经典例题练习复习过程
正方形1、已知：如图，正方形ABCD中，CM=CD，MN⊥AC，连结CN，则∠DCN=_____=____∠B，MND=_______=_______∠B.2.在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（）A.12+122B.12+62C.12+2D.24+623、下面的命题是真命题的有。
A、有一组邻边相等的平行四边形是正方形。
B、有一组邻边相等且有一角为直角的四边形为正方形。
C、正方形是一组邻边相等的矩形。
D、正方形是有一个角为直角的菱形。
精讲精练例1、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=CA,连接AE交CD于F，求AFD 的度数。
变式：1、已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.(1)求证：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.例2、（海南省）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（三、用中学习1、如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，CE与DB相交于点F，则AFD= 。
2、（哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为。
APDE3.正方形的面积是31，则其对角线长是________. 4.E 为正方形ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角形，求∠EAD 的度数.5、如图，正方形ABCD 与正方形OMNP 的边长均为10，点O 是正方形ABCD 的中心，正方形OMNP 绕O 点旋转，证明：无论正方形OMNP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．6、（2012义乌）如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．7、（大连）（1）如图，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG>BC），B、C、G在同一直线上，M为线段AE的中点。
正方形的性质和判定(5)练习
正方形的性质和判定（5）练习目标导航1. 正方形的定义：一组邻边相等的矩形.2. 正方形的性质： 具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 基础过关1.若正方形的边长是4，则它的对角线长是_________，面积是_________.2.正方形的对角线与边长之比是_____________.3．如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上的一点，且CE=AC ，若AE 交CD 于点F ，则∠E= °； ∠AFC= °4.如图，E 是正方形ABCD 对角线AC 上任意一点，四边形EFBG 是矩形，若正方形ABCD 的周长a ，则矩形EFBG 的周长是__________.5.已知四边形ABCD 是菱形，当满足________________时，它成为正方形（填上你认为正确的一个条件即可）.6. 已知四边形ABCD 是矩形，当满足_______________时，它成为正方形（填上你认为正确的一个条件即可）.能力提高7.如图，以数轴的单位长线段为边作一正方形，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴正半轴与点A ，则点A 表示的数是______________.8．如图，E 为正方形ABCD 内一点，若△ABE 是等边三角形，则∠DCE= °.9.如图，正方形ABCD 的边长为4，MN BC ∥分别交AB 、CD 于点M N ，，在MN 上任取两点P 、Q ，那么图中阴影部分的面积是 .10.如图，正方形ABCD 边长为８，M 在DC 上，且DM ＝２，N 是在AC 上的一动点，则DN ＋MN的最小值为___________.（11题图）（12题图）OEDBAC F(10题图)BD ACNM（第14题图）(9题图)DN(3题图)FEBD AC(4题图)FG BDA C EA O 1 (7题图)11. 如图，正方形ABCD 的对角线AC 是菱形AEFC 的一边，则∠FAB 等于( )A.135°B.45°C.22.5°D.30°12.如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE=DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列结论（1）AE=BF ；（2）AE ⊥BF ；（3）AO=OE ；（4）S △AOB =S 四边形DEOF 中，错误的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 13．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是 （ ）14．如图，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ） Ａ．4 Ｂ．6 Ｃ．16 Ｄ．5515.四边形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ） A.OA=OB=OC=OD ，AC ⊥BD B.AB ∥CD ，AC=BD C.AD ∥BC ，∠A=∠C D.OA=OC ，OB=OD ，AB=BC16.用两块完全相同的直角三角形一定能拼下列图形：（1）平行四边形（2）矩形（3）菱形（4）正方形（5）等腰三角形（6）等边三角形，一定能拼成的图形是（ ） A.（1）（4）（5） B.（2）（5）（6） C.(1)(2)(3) D.(1)(2)(5) 17.如下图，ABCD 和AEFG 都是正方形.求证：BE=DG18.把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．A ．B ．C ．D ． GE AC B DF D C ABGHF19. 如图，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE ⊥AG 于E ，BF ∥DE ，交AG 于F ，求证：AF —BF=EF ．证明：∵四边形ABCD 是正方形，20.如图，正方形ABCD 的边长是1，G 是CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连结DE 交BG 的延长线于H. （1）求证：△BCG ≌△DCE ；（2）BH ⊥DE ；（3）试问当点G 运动到什么位置时，BH 垂直平分DE ？21．如图l ，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连结EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 交BD 于点F ． ⑴求证：OE ＝OF ；⑵如图2，若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE ＝OF ”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．HE GB DACFGFEDCBAAB DCO E F MADCOM22.如图，Q 是正方形ABCD 的CD 边的中点，P 为CD 上一点，且AP=PC+CB.求证：∠BAP=2∠ QAD.聚沙成塔 1.如图，△ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于F. （1）求证：EO=FO ；（2）当O 运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？说明你的理由.2.如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点.（1）求证：四边形MENF 是菱形； （2）若四边形MENF 是正方形，请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系并说明你的结论.FEBCAD OM N BCQ DAP图1B 图2FEFE NBMC DA。
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正方形专题训练（含答案） 一．选择题（共11小题） 1．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（ ）
2．）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ） A． a2 B． a2 C． a2 D． a2
3．如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF的度数是（ ）
A． 45° B． 50° C． 60° D． 不确定 4．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ） A． 对角线互相平分 B． 对角线互相垂直 C． 对角线相等 D． 对角线互相垂直且相等 5．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（）6．（2014•福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（ ） A． 45° B． 55° C． 60° D． 75° 7．顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（ ） A． 等腰梯形 B． 矩形 C． 菱形 D． 正方形 8．下列说法中，正确的是（ ）
A． 相等的角一定是对顶角 B． 四个角都相等的四边形一定是正方形 C． 平行四边形的对角线互相平分 D． 矩形的对角线一定垂直 9．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ） A． 选①② B． 选②③ C． 选①③ D． 选②④ 10．如图，在正方形ABCD中，CE=MN，∠MCE=35°，那么∠ANM等于（ ）
A． 45° B． 50° C． 55° D． 60° 11．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=5，则以AC为边长的正方形ACEF的面积为（ ） A． 9 B． 16 C． 20 D． 25 二．填空题（共5小题） 12．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB= _________ 度．
13．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是 _________ 度． 14．如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形．AC为正方形ABCD的对角线，则∠EAC= _________ 度．
A． 8 B． 4 C． 8 D． 16 15．已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 _________ ． 16．如图所示，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于 _________ cm，四边形EFGH的面积等于 _________ cm． 三．解答题（共6小题） 17．如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．求证：AE=BF． 18．如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP、DP，延长BC到E，使PB=PE．求证：∠PDC=∠PEC． 19．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小． 20．在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证：（1）BH=DE． （2）BH⊥DE．
21．已知：如图，▱ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．（1）求证：△AOD≌△EOC；（2）连接AC，DE，当∠B=∠AEB= _________ °时，四边形ACED是正方形？请说明理由．
22．（2014•随州）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM； （2）填空：当AB：AD= _________ 时，四边形MENF是正方形． 一．选择题（共11小题） 1．（2014•南充）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（ ）
A． （﹣，1） B． （﹣1，） C． （，1） D． （﹣，﹣1） 考点： 全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质． 专题： 几何图形问题． 分析： 过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可． 解答： 解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E， ∵四边形OABC是正方形， ∴OA=OC，∠AOC=90°， ∴∠COE+∠AOD=90°， 又∵∠OAD+∠AOD=90°， ∴∠OAD=∠COE， 在△AOD和△OCE中， ， ∴△AOD≌△OCE（AAS）， ∴OE=AD=，CE=OD=1， ∵点C在第二象限， ∴点C的坐标为（﹣，1）． 故选：A． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
2．（2014•山西）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）
A． a2 B． a2 C． a2 D． a2
考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 专题： 几何图形问题． 分析： 作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形MCQE的面积求解． 解答： 解：作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°， 又∵∠EPM=∠EQN=90°， ∴∠PEQ=90°， ∴∠PEM+∠MEQ=90°， ∵三角形FEG是直角三角形， ∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°， ∴∠PEM=∠NEQ， ∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°， ∴EP=EN，四边形MCQE是正方形， 在△EPM和△EQN中，
， ∴△EPM≌△EQN（ASA） ∴S△EQN=S△EPM，
∴四边形EMCN的面积等于正方形MCQE的面积， ∵正方形ABCD的边长为a， ∴AC=a， ∵EC=2AE， ∴EC=a， ∴EP=PC=a， ∴正方形MCQE的面积=a×a=a2，
∴四边形EMCN的面积=a2，
故选：D． 点评： 本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出
△EPM≌△EQN． 3．（2014•台州）如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF的度数是（ ）
A． 45° B． 50° C． 60° D． 不确定 考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 专题： 几何图形问题． 分析： 过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，证明Rt△BHE≌Rt△EIF，可得∠IEF+∠HEB=90°，再根据BE=EF即可解题． 解答： 解：如图所示，过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，则∠BHE=∠EIF=90°，
∵E是BF的垂直平分线EM上的点， ∴EF=EB， ∵E是∠BCD角平分线上一点， ∴E到BC和CD的距离相等，即BH=EI， Rt△BHE和Rt△EIF中， ， ∴Rt△BHE≌Rt△EIF（HL）， ∴∠HBE=∠IEF， ∵∠HBE+∠HEB=90°， ∴∠IEF+∠HEB=90°， ∴∠BEF=90°， ∵BE=EF， ∴∠EBF=∠EFB=45°． 故选：A． 点评： 本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质，考查了直角三角形全等的判定，全等三角形对应角相等的性质． 4．（2014•郴州）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ） A． 对角线互相平分 B． 对角线互相垂直 C． 对角线相等 D． 对角线互相垂直且相等 考点： 正方形的性质；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质． 专题： 证明题． 分析： 本题主要依据平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线相互平分的性质来判断． 解答： 解：A、对角线相等是平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质； B、对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质； C、对角线相等是矩形和正方形具有的性质； D、对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质． 故选：A． 点评： 本题主要考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理． 5．（2014•来宾）正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（ ） A． 8 B． 4 C． 8 D． 16 考点： 正方形的性质． 分析： 根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 解答： 解：∵正方形的一条对角线长为4， ∴这个正方形的面积=×4×4=8．
故选：A． 点评： 本题考查了正方形的性质，熟记利用对角线求面积的方法是解题的关键．
6．（2014•福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A． 45° B． 55° C． 60° D． 75° 考点： 正方形的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质． 分析： 根据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC． 解答： 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD
又∵△ADE是等边三角形， ∴AE=AD=DE，∠DAE=60° ∴AD=AE ∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150° ∴∠ABE=（180°﹣150°）÷2=15° 又∵∠BAC=45° ∴∠BFC=45°+15°=60°