15讲三角函数、平面向量综合题六类型

1 第15讲三角函数与平面向量综合题 题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合 【例1】 已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量→p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)

与向量→q＝(cosA－sinA，1＋sinA)是共线向量. （Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋cosC－3B2的最大值. 【解】（Ⅰ）∵→p、→q共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)， 则sin2A＝34，又A为锐角，所以sinA＝32，则A＝3.

（Ⅱ）y＝2sin2B＋cosC－3B2＝2sin2B＋cos(π－3－B)－3B2 ＝2sin2B＋cos(3－2B)＝1－cos2B＋12cos2B＋32sin2B ＝32sin2B－12cos2B＋1＝sin(2B－6)＋1. ∵B∈(0，2)，∴2B－6∈(－6，56)，∴2B－6＝2，解得B＝3，ymax＝2. 【点评】 本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定B角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了. 题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.

【例2】 已知向量→a＝(3sinα,cosα)，→b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(32，2π)，且→a⊥→b．

（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋3)的值． 【分析】 第(Ⅰ)小题从向量垂直条件入手，建立关于α的三角方程，再利用同角三角函数的基本关系可求得tanα的值；第(Ⅱ)小题根据所求得的tanα的结果，利用二倍角公式

求得tanα2的值，再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果． 【解】 （Ⅰ）∵→a⊥→b，∴→a·→b＝0．而→a＝（3sinα，cosα），→b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)， 故→a·→b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．

由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－43，或tanα＝12．

∵α∈（32，2π），tanα＜0，故tanα＝12（舍去）．∴tanα＝－43． （Ⅱ）∵α∈（32，2π），∴α2∈（34，π）． 2

由tanα＝－43，求得tanα2＝－12，tanα2＝2（舍去）．∴sinα2＝55，cosα2＝－255， ∴cos(α2＋3)＝cosα2cos3－sinα2sin3＝－255×12－55×32＝－25＋1510 题型三. 三角函数与平面向量的模的综合 【例3】 已知向量→a＝(cosα,sinα)，→b＝(cosβ,sinβ)，|→a－→b|＝255.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；

(Ⅱ)若－2＜β＜0＜α＜2，且sinβ＝－513，求sinα的值. 【分析】 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题则可变角α＝(α－β)＋β，然后就须求sin(α－β)与cosβ即可.

【解】 (Ⅰ)∵|→a－→b|＝255，∴→a2－2→a·→b＋→b2＝45，

将向量→a＝(cosα,sinα)，→b＝(cosβ,sinβ)代入上式得 12－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋12＝45，∴cos(α－β)＝－35. (Ⅱ)∵－2＜β＜0＜α＜2，∴0＜α－β＜π， 由cos(α－β)＝－35，得sin(α－β)＝45， 又sinβ＝－513，∴cosβ＝1213， ∴sinα＝sin［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝3365. 点评：本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.本题解答中要注意两点：(1)化|→a－→b|为向量运算|→a－→b|2＝(→a－→b)2；(2)注意解α－β的范围.整个解答过程体现方程的思想及转化的思想. 题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解.

【例4】设函数f(x)＝→a·→b.其中向量→a＝(m，cosx)，→b＝(1＋sinx，1)，x∈R，且f(2)＝2.（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值. 分析：利用向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数

中的“数量关系”，从而，建立函数f(x)关系式，第（Ⅰ）小题直接利用条件f(2)＝2可以求得，而第(Ⅱ)小题利用三角函数函数的有界性就可以求解. 解：（Ⅰ）f(x)＝→a·→b＝m(1＋sinx)＋cosx， 由f(2)＝2，得m(1＋sin2)＋cos2＝2，解得m＝1. 3

(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx＋cosx＋1＝2sin(x＋4)＋1， 当sin(x＋4)＝－1时，f(x)的最小值为1－2. 点评：平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解． 题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算

【例5】（山东卷）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，tan37C．

（1）求cosC；（2）若52CBCA，且9ab，求c． 【解答】（1）tan37C，sin37cosCC, 又22sincos1CC，解得：1cos8C， tan0C，C是锐角，1cos8C．

（2）52CBCA，5cos2abC，20ab， 又9ab，22281aabb，2241ab， 2222cos36cababC

，6c．

【评析】 根据题中所给条件，初步判断三角形的形状，再结合向量以及正弦定理、余弦定理实现边角转化，列出等式求解。 题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算

【例6】（2007年高考陕西卷）()fxab，其中向量(,cos2)amx，(1sin2,1)bx，xR，且函数()yfx的图象经过点(,2)4．

（Ⅰ）求实数m的值； （Ⅱ）求函数()yfx的最小值及此时x值的集合。 【解答】（Ⅰ）()fxab(1sin2)cos2mxx 由已知()4f(1sin)cos222m，得1m． （Ⅱ）由（Ⅰ）得()1sin2cos212sin(2)4fxxxx ∴当sin(2)14x时，()yfx的最小值为12， 4

由sin(2)14x，得x值的集合为3|,8xxkkZ． 【评析】 涉及三角函数的最值与向量运算问题时，可先根据向量的数量积的运算法则求出相应的函数基本关系式，然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如

sin()yAxk，再借助三角函数的有界性使问题得以解决。

题型七：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题 【例7】设向量(sin,cos),(cos,cos),axxbxxxR，函数()()fxaab.

（Ⅰ）求函数()fx的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3()2fx成立的x的取值集. 【解答】（Ⅰ）∵()()fxaab222sincossincoscosaaabxxxxx 11321sin2(cos21)sin(2)22224xxx

∴()fx的最大值为3222，最小正周期是22 （Ⅱ）要使3()2fx成立，当且仅当323sin(2)2242x， 即sin(2)04x2224kxk3,88kxkkZ, 即3()2fx成立的x的取值集合是3|,88xkxkkZ． 【评析】 结合向量的坐标运算法则，求出函数()fx的三角函数关系式，再根据三角公式对函数()fx的三角恒等关系，然后借助基本三角函数的单调性，求简单三角不等式的解集。 【跟踪训练】 三角函数与平面向量训练反馈 1、已知向量a=（xxx3,52），b=（2，x），且ba，则由x的值构成的集合是（ ） A、｛0，2，3｝ B、｛0，2｝ C、｛2｝ D、｛0，-1，6｝ 2、设02x,且1sin2sincosxxx,则 （ ） A．0x B．744x C．544x D．322x 3、函数1cos4tan2sin)(xxxxf的值域是 。 4、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且coscos2BbCac. （1）求角B的大小； （2）若b＝13，a＋c＝4，求a的值.