应用分解刚度法分析金属点阵夹芯板屈曲问题

应用分解刚度法分析金属点阵夹芯板屈曲问题杨丽红;韩笑;吴林志【摘要】Based on Ressiner sandwich panel theory,buckling of truss-core panel with simply-supported boundary conditions was studied under in-plane compression using split rigidity method.For simplicity,truss-core was equivalent to a continuum and the flexural rigidity of the core and the shear stiffness of the face plate were ignored.The buckling critical loads factors were obtained based on the energy principle.The results obtained by using the split rigidity method were compared with those using Hu Haichang method.Buckling critical loads factors corresponding to three kinds of core materials (alloy steel,cast steel and aluminum alloy)were,respectively,determined.The effects of cell configuration of truss-core,the angle of the core rod and the thickness of the face plate on the buckling critical loads were discussed.%基于Ressiner夹层板理论,采用分解刚度法对四边简支点阵夹芯板承受面内压缩荷载时的屈曲问题进行了分析.将点阵夹芯均匀等效为连续体,假定夹芯只提供抗剪切刚度,面板只提供抗弯刚度,基于能量原理得到了屈曲临界载荷系数.将分解刚度法和胡海昌法得到的结果进行了对比.分别针对合金钢、铸钢和铝合金三种材料夹芯进行了临界载荷系数计算.讨论了点阵胞元构型、夹芯杆倾斜角度和面板厚度对屈曲临界载荷的影响规律.【期刊名称】《强度与环境》【年(卷),期】2017(044)003【总页数】7页(P18-24)【关键词】Ressiner夹层板理论;分解刚度法;点阵夹芯板;屈曲【作者】杨丽红;韩笑;吴林志【作者单位】哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院,哈尔滨150001;哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院,哈尔滨150001;哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院,哈尔滨150001;哈尔滨工业大学复合材料与结构研究所,哈尔滨150001【正文语种】中文【中图分类】O3432001年，以普林斯顿大学Evans教授、哈佛大学Hutchinson教授、剑桥大学Ashby教授等为首提出了点阵夹芯结构概念。

点阵夹芯结构由于具有千变万化的微结构和高孔隙率，可实现结构、热控、储能等多功能一体化。

此外，点阵夹芯结构还具有超轻、高比强度、高比刚度、高能量吸收率等优异的力学性能，因此，在航空航天、机械、铁路、汽车、建筑、能源等领域具有广阔的应用前景。

目前，已经提出多种拓扑构型点阵夹芯结构，如金字塔型、四面体型、三维Kagome型等[1]，如图1所示。

对于夹芯结构的整体屈曲问题，国内外学者已经进行了大量的研究。

但是对于由离散型点阵芯子构成的夹芯结构，准确地预测其屈曲临界载荷以指导工程实践，是需要我们重点关注的问题。

娄佳[2]基于最小势能原理，对碳纤维复合材料点阵夹芯梁在面内压缩载荷作用下发生整体屈曲时的临界载荷进行了理论预测。

袁武等[3]通过将点阵夹芯等效为均匀连续体，对均匀温度场下点阵夹层板的热屈曲温度进行了求解. Wu Yuan等[4]采用实验和仿真的方法对含局部缺陷的金字塔点阵夹芯板受面内载荷作用时的屈曲问题进行了研究。

M.G. Leea等[5]采用实验的方法研究了WBK夹芯结构在轴向受压时的屈曲问题，并利用理论和仿真的方法对破坏机理进行了分析。

当前分析线弹性夹层板的理论主要有Reissner型理论、Hoff型理论和прусаков-杜庆华理论。

其中，Reissner型理论忽略了面板的抗弯刚度，并认为夹芯只承受抗剪作用；Hoff型理论则考虑面板的抗弯刚度，夹芯仍认为只承受抗剪作用；прусаков-杜庆华理论在考虑了面板抗弯刚度的同时也考虑了夹芯的横向弹性变形的作用[6]。

对于点阵夹芯板而言，由于夹芯的相对密度一般较小，且面板很薄，因而通常采用Reissner型理论进行分析。

分解刚度法是一种分析复合夹层板的有效计算方法，由美国学者Bijlaard[7]提出。

这一方法工程概念直观，结果精确，受到工程设计人员的欢迎。

胡海昌[8]清楚地定义了分解刚度的含义。

李拓等[9]采用分解刚度法对点阵多孔金属夹芯板振动特性进行了分析。

本文基于Reissner夹层板理论，采用分解刚度法分析点阵夹芯板的屈曲问题。

应用Reissner夹层板理论对点阵夹芯板做基本假设1）芯层可等效为各向同性均匀连续介质；2）面板处于薄膜应力状态，对剪切变形没有贡献，只承受弯曲变形；3）芯层只承受横向剪切变形，对弯曲变形没有贡献；4）夹芯横向不可压缩，即σz=0。

夹芯结构芯层的相对密度是指芯层等效密度与材料密度的比值，图2为金字塔点阵夹芯结构芯层的单胞示意图，其相对密度可表示为[10]式中，Ac为夹芯杆横截面面积，hc为芯层高度，lc为夹芯杆长度，ω为夹芯杆与面板的夹角。

金字塔点阵夹芯的等效剪切模量为式（2）中，E为夹芯杆材料的杨氏模量。

于是芯层的等效剪切刚度为对于图3所示点阵夹芯板等效分析模型，基于一阶剪切变形理论，其位移模式为式（4）中，u、v、w分别为夹芯板在x、y、z方向上的位移，φx、φy分别为夹芯中面法线在xz和yz面内的转角，w0为板中面在z方向的位移。

由线弹性物理方程，面板内应力可表述为式（5）中，E为面板材料的杨氏模量，ν为面板材料泊松比。

u+、v+、u-、v-，分别为上下面板内各点在x方向和y方向上的位移，“+”代表上面板，“-”代表下面板。

芯层内应力为由假设式（2）-式（3），点阵夹芯板的内力可表述为式（7）中，为夹芯板的抗弯刚度，其中t为面板厚度。

矩形点阵夹芯板受面内压缩荷载p作用，夹芯板的总势能为式中，A为夹芯板中面面积。

利用分解刚度法，设C→∞、D不变时板的挠度为wb；D→∞、C不变时板的挠度为ws，此时有考虑式（7），可以将夹芯板总势能分解为式（10）中对于四边简支矩形板，假设屈曲模态为式（12）中， Ab、As为任意常数，m、n为整数，a、b为矩形板边长。

将式（12）代入式（11），根据最小势能原理得式（14）中，为板的边长比。

当n=1时，得屈曲临界载荷式（15）中，k为临界载荷系数，其计算式为式（16）中，。

分析金字塔点阵夹芯板，其结构参数如表1。

面板和夹芯材料均为合金钢，材料参数如表2。

下文如无特殊说明，所研究的点阵夹芯板结构参数均如表1所示。

由分解刚度法和胡海昌法[8]得到的临界载荷系数随边长比的变化曲线如图4所示。

由图4可以看出，在相同条件下，采用分解刚度法得到的临界载荷系数比经典的胡海昌法得到的结果偏高；当边长比较小，取m=1时，两者偏差相对较大；随着边长比的增加，两者的偏差逐渐减小，当m取3时，两者结果基本相同。

分解刚度法概念直观，便于应用能量法进行夹层结构力学问题分析，计算结果精度高，因此采用分解刚度法分析点阵夹芯结构屈曲问题有重要意义。

Guoqi Zhang[11]通过实验和仿真的方法分析金字塔点阵夹芯结构，发现夹芯选用铝合金材料时其吸能效果比选用复合材料更好。

但由于铝合金材料刚度较低，因此含铝合金夹芯的点阵结构更容易出现屈曲问题。

本文针对夹芯材料为合金钢、铸钢和铝合金三种情况的金字塔点阵夹芯结构进行分析，面板仍选用合金钢材料，各种材料的材料参数如表2所示。

由式（16）得各种材料对应的临界载荷系数随边长比的变化曲线如图5所示。

由图5可以看出，材料对屈曲临界载荷系数影响较大。

此外，对于铝合金夹芯结构，不同边长比对应的临界载荷系数变化不大。

点阵夹芯结构具有可设计性，当胞元构型、芯杆倾斜角度、面板厚度t等结构参数发生变化时，夹芯板的力学性能均会随着发生变化，因此有必要进一步分析结构参数对点阵夹芯结构屈曲问题的影响。

4.1 胞元构型的影响本文在芯层相对密度相等的情况下，分别讨论金字塔点阵夹芯、四面体点阵夹芯和3D-Kagome点阵夹芯三种常用胞元构型的夹芯板屈曲问题。

四面体夹芯代表性胞元如图6所示，3D- Kagome夹芯代表性胞元如图7所示。

四面体点阵夹芯的相对密度和等效剪切刚度分别为3D- Kagome夹芯的相对密度和等效剪切刚度分别为令各种胞元构型夹芯板的芯层高度相等，取金字塔点阵夹芯的夹芯杆倾斜角度ω=45°，在相对密度相等的情况下，四面体点阵夹芯的芯杆倾角ω=55°，3D-Kagome点阵夹芯的芯杆倾角ω=60°，胞元尺寸B=1.1068·hc。

取各种胞元构型夹芯板结构参数为：面板厚度t=1mm，芯杆直径d=2mm，芯层高度hc=15mm，，板边长b=300mm，代入式（18）和式（20），得各胞元构型的等效刚度，于是由式（16）可以计算临界载荷系数。

各种胞元构型夹芯板对应的临界载荷系数随边长比的变化曲线如图8所示。

由图8可以看出，在相同的相对密度下，金字塔构型的临界载荷系数高于其他两种构型，随边长比的增加三种胞元构型对应的临界载荷系数差距趋于稳定。

4.2 夹芯杆倾斜角度的影响对于点阵夹芯板，夹芯杆倾斜角度ω直接影响芯层的相对密度和等效剪切刚度C，从而间接影响夹芯板的屈曲性能。

通常情况下，ω增大，芯层的相对密度和等效剪切刚度C也随之增加，进而导致板的屈曲临界载荷增大。

对于金字塔点阵夹芯方板，α=1，m=1，临界载荷系数随ω的变化情况如图9所示。

由图9可以看出，临界载荷系数随夹芯杆的倾斜角度近似按线性规律增加，且各种材料的变化率基本相同。

4.3 面板厚度的影响由于点阵夹芯板的夹芯很软，剪切刚度很小，因此如果增大面板厚度会增大结构的稳定性。

取正方形金字塔点阵夹芯板边长为500mm，芯杆直径d=2mm，芯层厚度t=15mm，α=1，m=1，临界载荷随面板厚度的变化情况如图10所示。