二维正态分布.

第14讲 二维正态分布 中心极限定理

教学目的：了解二维正态分布，理解独立同分布的中心极限定理和棣莫佛—拉普拉斯

定理。

教学重点：独立同分布的中心极限定理。

教学难点：应用独立同分布的中心极限定理解决实际问题。 教学学时：2学时 教学过程:

第四章 正态分布

§4.4 二维正态分布

定义 若二维连续随机变量),(Y X 的联合概率密度为

]

)()

)((2)([

)

1(212

2

2

2

2

2121

),(y y y

x y x x x y y x r x r y x e

r y x f σμσσμμσμσπσ-+

---

----=

（ +∞<<∞-+∞<<∞-y x , ）

则称),(Y X 服从二维正态分布，记作 ),,,,(~),(2

22r N Y X x y x σσμμ。其中y x μμ,，

1|| ,0 ,0<>>r y x σσ都是分布的参数。

),(y x f 满足概率密度的两条基本性质：

（1）0),(≥y x f 。 （2）⎰

⎰

+∞∞-+∞

∞

-=1),(dxdy y x f 。

下面我们来讨论二维正态分布的边缘分布问题。 随机变量X 的边缘概率密度为

⎰⎰∞+∞--∞

+∞

--=

=

dy e

r

dy y x f x f y x u y x X )

,(2

121),()(σπσ

其中

])

())((2)([)1(21

),(22

222y

y y x y x x x y y x r x r y x u σμσσμμσμ-+-----=

222

2])

([

)

1(212)(x

x y

y

x x x r y r x σμσμσμ--

--+

-=

设

t x r y r

x

x y

y

=--

--])

([

1212

σμσμ，则有

⎰∞+∞--

--

=

dt e

e

x f t

x x

X x

x 2

2)(2

2

2

21

)(σμπσ2

22)(21x x x x

e

σμσπ--

=

由X 与Y 的对称性可求得Y 的边缘密度为

)(y f Y 2

22)(21y y y y

e

σμσπ--

=

由此可见，二维正态分布的两个边缘分布都是正态分布，并且可以知道

)(,)(),(),(Y D X D Y E X E y x y x ====σσμμ

下面我们可以看到参数r 为随机变量Y X ,的相关系数。

)

()()]}

()][({[)()(),cov(),(Y D X D Y E Y X E X E Y D X D Y X Y X R --=

=

⎰⎰+∞∞-+∞

∞---=

dxdy y x f y x y x y

x ),())((1

μμσσ r =（定积分计算略）

注 由第三章的内容可知，若随机变量X 与Y 相互独立，则相关系数0),(=Y X R ；但是，当0),(=Y X R 时，X 与Y 却不一定相互独立。然而，在正态分布的情形下，当相关系数0),(==r Y X R 时，二维正态分布的联合概率密度可化为

])

()[212

2

2221),(y y x x y x y

x e y x f σμσμσπσ-+--=

2

22)(21x x x x

e

σμσπ--

=

.

2

22)(21y y y y

e

σμσπ--

=.)()(y f x f Y X

所以，若随机变量),(Y X 服从二维正态分布，则随机变量X 与Y 相互独立的充要条件是0=r 。

例1 若随机变量X 与Y 相互独立，都服从标准正态分布)1,0(N ，求随机变量 函数22Y X Z +=的概率密度。

解 由于X 与Y 都服从标准正态分布)1,0(N ，概率密度分别为

2

221)(x X e

x f -=

π，2

221)(y Y e

x f -

=

π

又随机变量X 与Y 相互独立，联合概率密度为

2

2221),(y x e y x f +-

=

π

由此得随机变量22Y X Z +=的分布函数

)()()(22z Y X P z Z P z F Z ≤+=≤=

当0≤z 时，显然有0)(=z F Z ；当0>z 时，有 dxdy e

z F z

y x y x Z ⎰⎰≤++-

=

222

2221)(π

220

2

121

2z z

e

d e

d -

-

-==

⎰⎰

ρρθππ

ρ

所以z 的分布函数为

⎪⎩⎪

⎨⎧≤>-=-0

01)(2z z e

z F z Z 由此得z 的概率密度为