习题华师大版九年级上学期23.2与圆有关的位置关系(二)专题讲解及同步训练WORD
九年级数学上册第二章对称图形_圆第23讲直线与圆的位置关系课后练习新版苏科版
B．∵BC=2、∴OC=OB+CB=3、∵∠AOB= 60°、∴∠HCO=3 0°、∴HO= OC=1.5>1、
∴l与⊙O相离、故B错误；
C．∵BC=1 、∴OC=OB+CB=2、∵∠AOB=60°、∴∠HCO=30°、∴HO= OC=1、
∴l与⊙O相切、故C错误；
详解：过点A作AD⊥BC于D、
∵AB=AC=5cm、∴△ABC是等腰三角形、
根据等腰三角形的三线合一可得、AD为△ABC的中线、
∵BC=8cm、∴BD= BC=4cm、
∴AD= = =3、
∴点A到BC的距离d=3cm、
①当r=1cm、d>r、直线BC与⊙A相离、
②当r=3cm、d=r、直线BC与⊙A相切、
D．∵BC≠1、∴OC= OB+CB≠2、∵∠AOB=60°、∴∠ HC O=30°、∴HO= OC≠1、
∴l与⊙O不相切、故D正确；
故选：D．
题三：C.
详解：如图、过点C作CD⊥AB 于点D、
∵AC=3、BC=4、
∴Rt△ABC中、AB= = =5、
由三角形面积得： = 、
∴CD=2.4、即圆心C到A B的距离d=2.4、
A．当BC=0.5时、l与⊙O相离
B．当BC=2时、l与⊙O相切
C．当BC=1时、l与⊙O相交
D．当BC不为1时、l与⊙O不相切
题三：Rt△ABC中、∠C=90°、AC=3、BC=4、以C为圆心、r为半径作圆⊙C 、则正 确的是( )
A、当r=2时、直线AB与⊙C相交
B、当r=3时、直线AB与⊙C相离
当r=2时、d>r、直线AB与⊙C相离、所以选项A错误；
精品九年级直线与圆的位置关系ppt课件01精品ppt课件
d>r
注明:符号” “读作”等价于”.它表示从左 端可以推出右端,并且从右端也可以推出左端.
例1 如图24-43,Rt△ABC的斜边AB=10cm,∠A=30°. （l）以点C为圆心作圆，当半径为多少时，AB与 ⊙C相切？ （2）以点C为圆心、半径r分别为4cm和5cm作两个 圆，这两个圆与斜边AB分别有怎样的位置关系？
L
． 圆心O到直线L的距离d 半径r o
r (1)直线L和⊙O的相离,此时d与r大小关系为__d__>_____
LL
． 圆心O到直线L的距离d
半径r
o
r (2)直线L和⊙O相切,此时d与r大小关系为__d__=_____
L
． 圆心O到直线L的距离d 半径r
L
o
r (3)直线L和⊙O相交,此时d与r大小关系为__d__<_____
Rt△ABC,∠C=900,AC=3cm,BC=4cm,以C 为圆心,r为半径的圆与AB有怎样的位置关 系?为什么? (1)r=2 cm ; (2)r=2.4 cm ; (3) r=3 cm.
思考:
（1）当r在什么条件下，直线AB和圆 C相交
（2）以B为圆心，以BC为半径画圆， 此时⊙B与AC间的位置关系
思考:
(1)当d>r时,能否得出直线和圆的位置关系为相离. (2)当d=r时,能否得出直线和圆的位置关系为相切. (3)当d<r时,能否得出直线和圆的位置关系为相交. (d为圆心O到直线L的距离,r为圆O的半径)
直线和圆的lt;r
• 直线L和⊙o相切
d=r
• 直线L和⊙o相离
＊例4 如图24-47，点P为⊙O外一点，过点P作直 线与⊙O相切． 作法 1．连接OP. 2．以OP为直径作圆，设此圆交⊙O于点A,B. 3．连接PA，PB. 则直线PA，PB即为所作．
华师大版初中数学九年级下册《27.2.1 点与圆的位置关系》同步练习卷(含答案解析
华师大新版九年级下学期《27.2.1 点与圆的位置关系》同步练习卷一．选择题（共16小题）1．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定2．下列说法：①过三点可以作圆；②同弧所对的圆周角度数相等；③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．其中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则这个三角形的外接圆的半径是（）A．10B．5C．4D．34．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB=4，则∠C为（）A．60°B．30°C．45°D．90°5．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是（）A．3＜r＜4B．3＜r＜5C．3≤r≤5D．r＞46．如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC=12，点D为上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿运动到点C时，线段AE的最大值是（）A．2+2B．2﹣2C．6D．+27．如图，数轴上有A、B、C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在⊙O外，⊙O内，⊙O上，则原点O的位置应该在（）A．点A与点B之间靠近A点B．点A与点B之间靠近B点C．点B与点C之间靠近B点D．点B与点C之间靠近C点8．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AB=10，AC=BC，点E，F分别是边AC，BC的中点，点P是线段EF上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP 的周长的最小值为（）A．5B．5+5C．10D．159．如图，△ABC外接圆的半径长为3，若∠OAC=∠ABC，则AC的长为（）A．4B．2C．3D．310．如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P 经过点A、B、C，则点P的坐标为（）A．（6，8）B．（4，5）C．（4，）D．（4，）11．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（3，0），在y轴的正半轴上取一点C，使A、B、C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是（）A．（0，）B．（，0）C．（0，2）D．（2，0）12．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能13．下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（）A．①②③④B．②③④C．②④D．③④14．如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC边BC上的高，D为垂足．若BD=1，AD=3，BC=7，则⊙O的半径是（）A．B．C．D．15．如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC 的长为（）A．B．C．D．16．如图，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，AD是△ABC的高，若AB=8，AC=10，AD=8，则AE的值为（）A．10B．10C．12D．12二．填空题（共2小题）17．当点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件．18．如图，点O为△ABC的外接圆圆心，点E为圆上一点，BC、OE互相平分，CF⊥AE于F，连接DF．若OE=2，DF=1，则△ABC的周长为．三．解答题（共22小题）19．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=5，BC=8，CD=6，AD=5，试判断点A、B、C、D是否在同一个圆上，并证明你的结论．20．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段．（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．（3）如图2，△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB=3，BD=，求BC的长．21．如图①，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作正方形OABC，点D是x轴正半轴上一动点（OD＞1），连接BD，以BD 为边在第一象限内作正方形DBFE，设M为正方形DBFE的中心，直线MA交y轴于点N．如果定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形．（1）试找出图1中的一个损矩形；（2）试说明（1）中找出的损矩形的四个顶点一定在同一个圆上；（3）随着点D位置的变化，点N的位置是否会发生变化？若没有发生变化，求出点N的坐标；若发生变化，请说明理由；（4）在图②中，过点M作MG⊥y轴于点G，连接DN，若四边形DMGN为损矩形，求D点坐标．22．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．23．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．（1）如图，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段．（2）①在损矩形ABCD内是否存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一圆上？如果有，请指出点O的具体位置；②如图，直接写出符合损矩形ABCD的两个结论（不能再添加任何线段或点）．24．已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．25．如图，直线l1、l2相交于点A，点B、点C分别在直线l1、l2上，AB=k•AC，连接BC，点D是线段AC上任意一点（不与A、C重合），作∠BDE=∠BAC=α，与∠ECF的一边交于点E，且∠ECF=∠ABC．（1）如图1，若k=1，且∠α=90°时，猜想线段BD与DE的数量关系，并加以证明；（2）如图2，若k≠1，且∠α≠90°时，猜想线段BD与DE的数量关系，并加以证明．26．如图，△ABC内接于⊙O且AB=AC，延长BC至点D，使CD=CA，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE．（1）求证：△ABE≌△CDE；（2）填空：①当∠ABC的度数为时，四边形AOCE是菱形；②若AE=6，EF=4，DE的长为．27．如图，△ABC为⊙O的内接三角形．点D为劣弧上一点，连接AD、CD、CO、BO，延长CO交AB于点F，CD=BC．（1）求证：∠DAC=∠ACO+∠ABO；（2）点E在OC上，连接EB，若∠DAB=∠OBA+∠EBA，求证：EF=EB．28．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，BC=6，AC=8，OE⊥AE，垂足为E，交⊙O于点P，连结BP交AC于D．（1）求PE的长；（2）求△BOP的面积．29．如图，在钝角△ABC中，∠C=45°，AE⊥BC，垂足为E点，且AB与AC的长度为方程x2﹣9x+18=0的两个根，⊙O是△ABC的外接圆．求：（1）⊙O的半径；（2）BE的长．30．如图，已知锐角△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D．（1）求证：∠ACB+∠BAD=90°；（2）过点D作DE⊥AB于E，若∠ADC=2∠ACB．求证：AC=2DE．31．如图：△ABC是圆的内接三角形，∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E，延长AE交圆于点D，连接BD、DC，且∠BCA=60°．（1）求证：△BED为等边三角形；（2）若∠ADC=30°，⊙O的半径为，求BD长．32．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD、AE分别平分∠BAC和△BAC的外角∠BAF，且分别交圆于点D、F，连接DE，CD，DE与BC相交于点G．（1）求证：DE是△ABC的外接圆的直径；（2）设OG=3，CD=2，求⊙O的半径．33．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过O作OD∥BC交AB于点D．延长DO交⊙O于点E，作EF⊥AC于点F．连接DF并延长交直线BC于点G，连接EG．（1）求证：FC=GC；（2）求证：四边形EDBG是矩形．34．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC=60°，H为边AC，AB上的高BD，CE 的交点，在BD上取点M，使BM=CH．（1）求证：∠BOC=∠BHC；（2）求证：△BOM≌△COH；（3）求的值．35．如图，△ABC内接于半圆O，AB为⊙O直径，点D是的中点，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：AP=DP．（2）若⊙O的半径为5，AD=6，求DP的长．36．已知，△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，AE⊥BC，CF⊥AB．AE，CF相交于点H，点D为弧BC的中点，连接HD，AD．求证：△AHD为等腰三角形．37．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，CD⊥AB于点D，E为上一点，=，AE与CD相交于点F，与CB相交于点G．（1）求证：AE=2CD，（2）求证：点F是△ACG的外心．38．如图，已知锐角△ABC的外心为O，线段OA和BC的中点分别为点M、N，若∠OBN=2∠OMN，的度数为90°，求∠OMN的大小．39．如图．⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交⊙O于点D，连接BD，CD．求证：BD=CD=DI．40．如图，在⊙O中，两条弦AC，BD垂直相交于点E，等腰△CFG内接于⊙O，FH为⊙O直径，且AB=6，CD=8．（1）求⊙O的半径；（2）若CF=CG=9，求图中四边形CFGH的面积．华师大新版九年级下学期《27.2.1 点与圆的位置关系》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定【分析】先根据勾股定理求出OP的长，再与⊙O的半径为5相比较即可．【解答】解：∵圆心P的坐标为（﹣3，4），∴OP==5．∵⊙O的半径为5，∴点P在⊙O上．故选：B．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．2．下列说法：①过三点可以作圆；②同弧所对的圆周角度数相等；③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．其中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【分析】根据确定圆的条件，圆周角定理，菱形的判定，三角形外心的性质即可一一判断；【解答】解：①过三点可以作圆；错误，应该是过不在同一直线上的三点可以作圆；②同弧所对的圆周角度数相等；正确；③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；正确；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．正确；故选：C．【点评】本题考查圆、圆周角定理、菱形的判定、三角形的外接圆的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则这个三角形的外接圆的半径是（）A．10B．5C．4D．3【分析】首先根据勾股定理，得其斜边是10，再根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，得其半径是5．【解答】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴BA===10，∴其外接圆的半径为5．故选：B．【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，解题的关键是记住直角三角形的斜边就是外接圆的直径．4．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB=4，则∠C为（）A．60°B．30°C．45°D．90°【分析】连接AO与BO，根据等边三角形的性质求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理求出∠C的度数．【解答】解：连接AO和BO，∵⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB=4，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠C=∠AOB=×60°=30°，故选：B．【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心的知识，解题的关键是正确作出辅助线，此题难度一般．5．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是（）A．3＜r＜4B．3＜r＜5C．3≤r≤5D．r＞4【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解答】解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，则BD==5．由图可知3＜r＜5．故选：B．【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．6．如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC=12，点D为上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿运动到点C时，线段AE的最大值是（）A．2+2B．2﹣2C．6D．+2【分析】E在以M为圆心，BM为半径的圆上，由△ABC是等边三角形可得AH=BH=6，BH=6，BO=MH=4，BM=2，根据勾股定理可得AM的长即可求AE的最大值．【解答】解：如图连接BO，取BO中点M，连接ME∵DE⊥BE，M是BO中点∴ME=BO∴E在以M为圆心，BM为半径的圆上∴当A，M，E共线且E在AM的延长线上时，AE的值最大延长BO交AC于H∵△ABC为⊙O的内接等边三角形∴HB⊥AC，且△ABC是等边三角形，BC=12∴CH=AH=6∴AH=6，AO=4，OM=2，MH=4∴AM==2∴AE的最大值为2+2故选：A．【点评】本题考查了三角形外接圆和外心，等边三角形的性质，关键是找到E 的运动轨迹．7．如图，数轴上有A、B、C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在⊙O外，⊙O内，⊙O上，则原点O的位置应该在（）A．点A与点B之间靠近A点B．点A与点B之间靠近B点C．点B与点C之间靠近B点D．点B与点C之间靠近C点【分析】画出图象，利用图象法即可解决问题；【解答】解：如图，观察图象可知，原点O的位置应该在点B与点C之间靠近B点，故选：C．【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．8．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AB=10，AC=BC，点E，F分别是边AC，BC的中点，点P是线段EF上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP 的周长的最小值为（）A．5B．5+5C．10D．15【分析】连接：OC，PC．先证明EF为OC的垂直平分线，从而可得到PC=OP，然后依据三角形的三边关系可知当点A、P、C在一条直线上时，AP+OP有最小值，然后由OA为定值可知当AP+OP最小时，△APO的周长最小．【解答】解：连接：OC，PC．∵AC=BC，AO=OB，OC=OC，∴△AOC≌△BOC，∴OC⊥AB．∵点E，F分别是边AC，BC的中点，∴EF∥AB．∴OC⊥EF，且CG=OG．∴GP为CO的垂直平分线，∴CP=OP．∴AP+OP=AP+CP．∴当点A、P、C在一条直线上时（点P与点E重合时），AP+OP有最小值．又∵OA为定值，∴当AP+OP最小时，△APO的周长有最小值．∴△APO的周长最小值=AO+AC=AO+OA=5+5．故选：B．【点评】本题主要考查的是三角形的外接圆与外心、找出△APO周长取得最小值的条件是解题的关键．9．如图，△ABC外接圆的半径长为3，若∠OAC=∠ABC，则AC的长为（）A．4B．2C．3D．3【分析】延长AO交圆于H，连接CH、OC，根据圆周角定理、结合题意得到∠OAC=∠CHO，得到∠OAC=45°，CO⊥AN，根据余弦的概念计算即可．【解答】解：延长AO交圆于H，连接CH、OC，由圆周角定理得，∠AHC=∠ABC，∠ACH=90°，∵∠OAC=∠ABC，∴∠OAC=∠CHO，∴CA=CH，又AO=OH，∴∠OAC=45°，CO⊥AN，故选：D．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、解直角三角形的知识是解题的关键．10．如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P 经过点A、B、C，则点P的坐标为（）A．（6，8）B．（4，5）C．（4，）D．（4，）【分析】根据题意可知点P的横坐标为4，设点P的坐标为（4，y），根据PA=PC 列出关于y的方程，解方程得到答案．【解答】解：∵⊙P经过点A、B、C，∴点P在线段AB的垂直平分线上，∴点P的横坐标为4，设点P的坐标为（4，y），作PE⊥OB于E，PF⊥OC与F，由题意得，=，解得，y=，故选：C．【点评】本题考查的是确定圆的条件，解题的关键是理解经过不在同一直线上的三点作圆，圆心是过任意两点的线段的垂直平分线的交点．11．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（3，0），在y轴的正半轴上取一点C，使A、B、C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是（）A．（0，）B．（，0）C．（0，2）D．（2，0）【分析】直接根据相交弦定理得出OC2=OA•OB，即可求出OC的长，即可得出C 点坐标．【解答】解：如图，连结AC，CB．依相交弦定理的推论可得：OC2=OA•OB，即OC2=1×3=3，解得：OC=或﹣（负数舍去），故C点的坐标为（0，）．故选：A．【点评】本题考查了确定圆的条件，坐标与图形性质，注意辅助线的作法．12．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．【点评】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．13．下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（）A．①②③④B．②③④C．②④D．③④【分析】根据四个点共圆的条件：对角互补，进行判断．【解答】解：平行四边形、菱形的对角不一定互补，不一定能够四个点共圆；矩形、正方形的对角互补，四点一定共圆．故选：C．【点评】掌握四点共圆的条件以及特殊四边形的性质．14．如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC边BC上的高，D为垂足．若BD=1，AD=3，BC=7，则⊙O的半径是（）A．B．C．D．【分析】过点A作直径AH，连接CH，根据勾股定理分别求出AB、AC，证明△ABD∽△AHC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：过点A作直径AH，连接CH，∵BD=1，BC=7，∴CD=6．∵AD⊥BC，∴AB==，AC==3，∵AH为⊙O的直径，∴∠ACH=90°，∴∠ADB=∠ACH，由圆周角定理得，∠B=∠H，∴△ABD∽△AHC，∴=，即=，解得，AH=5，∴⊙O的半径=，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握相似三角形的判定和性质、圆周角定理是解题的关键．15．如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC 的长为（）A．B．C．D．【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=R．【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴BC=R，故选：D．【点评】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30°角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键．16．如图，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，AD是△ABC的高，若AB=8，AC=10，AD=8，则AE的值为（）A．10B．10C．12D．12【分析】根据圆周角定理得到∠ABE=90°，证明△ABE∽△ADC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：∵AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∴∠ABE=∠ADC，又∠E=∠C，∴△ABE∽△ADC，∴=，∴AE==10，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．二．填空题（共2小题）17．当点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件5m+2n≠9．【分析】能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可．【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（1，2），B（3，﹣3），∴解得：k=﹣，b=，∴直线AB的解析式为y=﹣+，∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，∴点C不在直线AB上，∴5m+2n≠9，故答案为：5m+2n≠9．【点评】本题考查了确定圆的条件及坐标与图形的性质，能够了解确定一个圆时三点不共线是解答本题的关键．18．如图，点O为△ABC的外接圆圆心，点E为圆上一点，BC、OE互相平分，CF⊥AE于F，连接DF．若OE=2，DF=1，则△ABC的周长为6+2．【分析】由BC、OE互相平分可证明四边形BECO为平行四边形，由OC=OB可得BECO为菱形，可得∠BOD=60°，∠BAE=∠EAC=30°，CF⊥AE于F，可证△AGC 为等边三角形，F为中点，则由中位线性质可得BG=2DF．在Rt△BHC中利用勾股定理可求GH，进而得到AB、AC，得到△ABC的周长．【解答】解：延长CF交AB于点G，过C作CH⊥AB于H，连BO．∵BC、OE互相平分∴四边形BECO为平行四边形∵OB=OC∴四边形BECO为菱形∴=∵OE=2∴Rt△BOD中，tan∠BOD=∴∠BOD=60°∴∠BAE=∠EAC=30°∵CF⊥AE∴F为GC中点，△AGC为等边三角形∴BG=2DF=2在Rt△BCH中BH2+HC2=BC2∴（2+GH）2+（）2=62解得GH=（舍去）或GH=，∴AG=AC=﹣1+，∴△ABC的周长为6+2．故答案为：6+2．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关计算、菱形判定和性质、中位线性质以及勾股定理，解答关键是时数形结合．三．解答题（共22小题）19．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=5，BC=8，CD=6，AD=5，试判断点A、B、C、D是否在同一个圆上，并证明你的结论．【分析】连接BD，在△ABD中，利用勾股定理求得BD的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形即可证得．【解答】解：A、B、C、D在同一个圆上．证明：连接BD．在直角△ABD中，BD==10，在△BCD中，∵82+62=100，即BC2+CD2=BD2，∴△BCD是直角三角形．∴B、C、D在以BD为直径的圆上．又∵△ABD是直角三角形，则A、B、D在以BD为直径的圆上．∴点A、B、C、D在以BD为直径的圆上．【点评】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上．20．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段AC．（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．（3）如图2，△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB=3，BD=，求BC的长．【分析】（1）根据题中给出的定义，由于∠DAB和∠DCB不是直角，因此AC就是损矩形的直径．（2）根据直角三角形斜边上中线的特点可知：此点应是AC的中点，那么可作AC的垂直平分线与AC的交点就是四边形外接圆的圆心．（3）本题可用面积法来求解，具体思路是用四边形ABCD面积的不同表示方法来求解，四边形ABCD的面积=三角形ABD的面积+三角形BCD的面积=三角形ABC的面积+三角形ADC的面积；三角形ABD的面积已知了AB的长，那么可过D作AB边的高，那么这个高就应该是BD•sin45°，以此可得出三角形ABD 的面积；三角形BDC的面积也可用同样的方法求解，只不过AB的长，换成了BC；再看三角形ABC的面积，已知了AB的长，可用含BC的式子表示出ABC的面积；而三角形ACD的面积，可用正方形面积的四分之一来表示；而正方形的边长可在直角三角形ABC中，用勾股定理求出．因此可得出关于BC 的方程，求解即可得出BC的值．【解答】解：（1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．因此AC是该损矩形的直径；（2）作图如图：∵点P为AC中点，∴PA=PC=AC．∵∠ABC=∠ADC=90°，∴BP=DP=AC，∴PA=PB=PC=PD，∴点A、B、C、D在以P为圆心，AC为半径的同一个圆上；（3）∵菱形ACEF，∴∠ADC=90°，AE=2AD，CF=2CD，∴四边形ABCD为损矩形，∴由（2）可知，点A、B、C、D在同一个圆上．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=45°，∴，∴AD=CD，∴四边形ACEF为正方形．∵BD平分∠ABC，BD=，∴点D到AB、BC的距离h为4，=AB×h=2AB=6，∴S△ABDS△ABC=AB×BC=BC，S△BDC=BC×h=2BC，S△ACD=S正方形ACEF=AC2=（BC2+9），=S△ABC+S△ADC=S△ABD+S△BCD∵S四边形ABCD∴BC+（BC2+9）=6+2BC∴BC=5或BC=﹣3（舍去），∴BC=5．【点评】本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，圆的内接四边形等知识点．（3）中如果无法直接求出线段的长，可通过特殊的三角形用面积法来求解．21．如图①，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作正方形OABC，点D是x轴正半轴上一动点（OD＞1），连接BD，以BD 为边在第一象限内作正方形DBFE，设M为正方形DBFE的中心，直线MA交y轴于点N．如果定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形．（1）试找出图1中的一个损矩形；（2）试说明（1）中找出的损矩形的四个顶点一定在同一个圆上；（3）随着点D位置的变化，点N的位置是否会发生变化？若没有发生变化，求出点N的坐标；若发生变化，请说明理由；（4）在图②中，过点M作MG⊥y轴于点G，连接DN，若四边形DMGN为损矩形，求D点坐标．【分析】（1）根据题中给出的损矩形的定义，从图找出只有一组对角是直角的四边形即可；（2）证明四边形BADM四个顶点到BD的中点距离相等即可；（3）利用同弧所对的圆周角相等可得∠MAD=∠MBD，进而得到OA=ON，那么就求得了点N的坐标；（4）根据正方形的性质及损矩形含有的直角，利用勾股定理求解．【解答】解：（1）从图中我们可以发现四边形ADMB就是一个损矩形．∵点M是正方形对角线的交点，∴∠BMD=90°，∵∠BAD=90°，∴四边形ADMB就是一个损矩形．（2）取BD中点H，连接MH，AH．∵四边形OABC，BDEF是正方形，∴△ABD，△BDM都是直角三角形，∴HA=BD，HM=BD，∴HA=HB=HM=HD=BD，∴损矩形ABMD一定有外接圆．（3）∵损矩形ABMD一定有外接圆⊙H，∴∠MAD=∠MBD，∵四边形BDEF是正方形，∴∠MBD=45°，∴∠MAD=45°，∴∠OAN=45°，∵OA=1，∴ON=1，∴N点的坐标为（0，﹣1）．（4）延长AB交MG于点P，过点M作MQ⊥x轴于点Q，设点MG=x，则四边形APMQ为正方形，∴PM=AQ=x﹣1，∴OG=MQ=x﹣1，∵△MBP≌△MDQ，∴DQ=BP=CG=x﹣2，∴MN2=2x2，ND2=（2x﹣2）2+12，MD2=（x﹣1）2+（x﹣2）2，∵四边形DMGN为损矩形，∴2x2=（2x﹣2）2+12+（x﹣1）2+（x﹣2）2，∴2x2﹣7x+5=0，∴x=2.5或x=1（舍去），∴OD=3，∴D点坐标为（3，0）．【点评】解决本题的关键是理解损矩形的只有一组对角是直角的性质，综合考查了四点共圆的判定及勾股定理的应用．22．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．【分析】（1）利用等弧对等弦即可证明．（2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD=∠CBD再等量代换得出∠DBE=∠DEB，从而证明DB=DE=DC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．【解答】（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴由垂径定理得：∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD．（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知：，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠4=∠5，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．由（1）知：BD=CD∴DB=DE=DC．∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．（7分）【点评】本题主要考查等弧对等弦，及确定一个圆的条件．23．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．（1）如图，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段AC．（2）①在损矩形ABCD内是否存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一圆上？如果有，请指出点O的具体位置；②如图，直接写出符合损矩形ABCD的两个结论（不能再添加任何线段或点）．【分析】△ADC和△ABC都是直角三角形，且有共同的斜边，直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上．因而ABCD四个顶点共圆．【解答】解：（1）线段AC；（2）①在损矩形ABCD内存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一个圆上，O是线段AC的中点．②ABCD是圆内接四边形；∠ADB=∠ACB．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，三个顶点在以斜边为直径的圆上．24．已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．【分析】要求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心，只要证明AE=BE=DE即可，可以根据等角对等边可以证得．【解答】证明：∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠1=∠2．（1分）又∵DE∥AC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．（2分）∴AE=DE．（3分）又∵BD⊥AD于点D，∴∠ADB=90°．（4分）∴∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90°．（5分）∴∠EBD=∠EDB．（6分）∴BE=DE．（7分）∴AE=BE=DE．（8分）∵过A，B，D三点确定一圆，又∠ADB=90°，∴AB是A，B，D所在的圆的直径．（9分）∴点E是A，B，D所在的圆的圆心．（10分）【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定方法，等角对等边．25．如图，直线l1、l2相交于点A，点B、点C分别在直线l1、l2上，AB=k•AC，连接BC，点D是线段AC上任意一点（不与A、C重合），作∠BDE=∠BAC=α，与∠ECF的一边交于点E，且∠ECF=∠ABC．（1）如图1，若k=1，且∠α=90°时，猜想线段BD与DE的数量关系，并加以证明；（2）如图2，若k≠1，且∠α≠90°时，猜想线段BD与DE的数量关系，并加以证明．【分析】（1）连接BE．若k=1，且∠α=90°时，要求线段BD与DE的数量关系，可以通过证明△BED∽△BCA得出；（2）连接BE．若k≠1，且∠α≠90°时，要求线段BD与DE的数量关系，可以通过证明△BED∽△BCA得出．【解答】证明：（1）连接BE．∵∠ECF=∠ABC，∠ECF+∠BCE+∠BCA=∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，∴∠BCE=∠BAC；∵∠BDE=∠BAC=α=90°，∴B、E、D、C四点共圆，。
华师大版初中数学九年级下册《27.2.2 直线与圆的位置关系》同步练习卷(含答案解析
华师大新版九年级下学期《27.2.2 直线与圆的位置关系》同步练习卷一．选择题（共10小题）1．已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O公共点的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，以C为圆心，以9cm长为直径的⊙C与直线AB的位置关系为（）A．相交B．相离C．相切D．相离或相交3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=3cm，AB=4cm，若以点C为圆心，以2cm 为半径作⊙C，则AB与⊙C的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相切或相交4．⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，下列位置关系正确的是（）A．B．C．D．5．已知圆的半径为4，一直线上有一点与此圆的圆心距离为5，则直线与圆的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．相离、相切、相交均有可能6．如图所示，△ABC是等腰三角形，以腰AB为直径作⊙O交底BC于点P，PQ ⊥AC于Q，则PQ与⊙O（）A．相切B．相交C．相离D．相切或相交7．已知在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，以B为圆心，BC为半径的⊙B 与AC边的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不确定8．下列说法不正确的是（）A．和圆有两个公共点的直线与圆心的距离小于圆的半径B．直线l上一点到圆心的距离等于半径，则l与圆有公共点C．圆的切线只有一条D．和圆有两个公共点的直线与圆相交9．⊙O的半径为6，⊙O的一条弦长4，以4为半径的同心圆与此弦的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．不确定10．直线L和⊙O相交，则（）A．d＜r B．d=r C．d＞r D．d≤r二．填空题（共15小题）11．若直线l与圆心O的距离大于⊙O的半径，则直线l与⊙O的交点个数为．12．⊙O的直径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是．13．已知⊙O的半径为r，点O到直线l的距离为d，且|d﹣3|+（6﹣2r）2=0，则直线l与⊙O的位置关系是．（填“相切、相交、相离”中的一种）14．如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是．15．已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m 的取值范围为．16．如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8，AC=4．以点C为圆心作圆，当⊙C与边AB只有一个交点时，则⊙C的半径的取值范围是．17．已知l1∥l2，l1、l2之间的距离是3cm，圆心O到直线l1的距离是1cm，如果圆O与直线l1、l2有三个公共点，那么圆O的半径为cm．18．已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是．19．⊙O的半径为4，圆心O到直线的距离为3，则直线与⊙O的位置关系是．20．已知⊙O的半径为5cm，O到直线L的距离为d，当d=4cm时，直线L与⊙O；当d=时，直线L与⊙O相切；当d=6cm时，直线L与⊙O．21．如图所示，△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A为圆心，3cm长为半径的圆与直线BC的关系是．22．直线与圆的位置关系（设⊙O半径为r，圆心到直线l距离为d）①l与⊙O相交⇔d r ②l与⊙O相切⇔d r ③l与⊙O相离⇔dr23．在直角坐标系内，以A（3，﹣2）为圆心，2为半径画圆，以⊙A与x轴的位置关系是，⊙A与y轴的位置关系是．24．如图，已知∠ABO=30°，以O为圆心2cm为半径作圆O，当OB=cm时，圆O与AB相切．25．已知，⊙O的直径为10cm，点O到直线a的距离为d：①若a与⊙O相切，则d=cm；②若d=4cm，则a与⊙O有个交点；③若d=6cm，则a与⊙O的位置关系是．三．解答题（共15小题）26．如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动．（1）当圆心O移动的距离为1cm时，则⊙O与直线PA的位置关系是什么？（2）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，则d的取值范围是什么？27．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan∠ACB=，BC=4，求⊙O的半径．28．如图，AB为⊙O直径，AC为⊙O的弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点P，且∠D=2∠A，作CH⊥AB于点H．（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若HB=2，cosD=，请求出AC的长．29．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O直径，D是的中点，过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sinE=，求AB：EF的值．30．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=6，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．31．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C=90°．（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；（2）若∠CDB=60°，AB=6，求的长．32．如图，AB为⊙O直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作CD⊥AE的延长线于D点，直线CD与射线AB交于P点．（1）判断直线DP与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若DC=4，⊙O的半径为5，求PB的长．33．如图，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP=∠AED，CP交DE的延长线于点P，以斜边AB为直径做⊙O．（1）判断PC与⊙O的位置关系并证明；（2）若AB=5，AC=4，AD=OA，求PC的长34．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．35．在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D，作AD 的中垂线交AB于O，以O为圆心，OA为半径画圆，则BC与⊙O的位置关系为证明你的猜想．36．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）判断CD与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠CBD=30°，求图中阴影部分的面积．37．如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．（Ⅰ）如图1，当∠ACD=45°时，请你判断DE与⊙O的位置关系并加以证明；（Ⅱ）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．38．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．39．如图，O是Rt△ABC的直角边BC上的点，以O为圆心，OC长为半径的圆的⊙O过斜边上点D，交BC于点F，DF∥AO．（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD=4，BC=8，求DF的长．40．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD=2，BF=2，求⊙O的半径．华师大新版九年级下学期《27.2.2 直线与圆的位置关系》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O公共点的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论．【解答】解：∵d=3＜半径=4∴直线与圆相交∴直线m与⊙O公共点的个数为2个故选：C．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r，③直线l和⊙O相离⇔d＞r．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，以C为圆心，以9cm长为直径的⊙C与直线AB的位置关系为（）A．相交B．相离C．相切D．相离或相交【分析】此题首先应求得圆心到直线的距离d，据直角三角形的面积公式即可求得；若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【解答】解：∵AC=8cm，AB=10cm，∴BC==6，S△ABC=AC×BC=×6×8=24，∴AB上的高为：24×2÷10=4.8，即圆心到直线的距离是4.8，∵r=4.5，∴4.8＞4.5∴⊙C与直线AB相离，故选：B．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据三角形的面积求出斜边上的高的长度是解答此题关键．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=3cm，AB=4cm，若以点C为圆心，以2cm 为半径作⊙C，则AB与⊙C的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相切或相交【分析】过点C作CD⊥AB于点D，由题意可求CD的长度，根据直线和圆的位置关系的判定方法可求解．【解答】解：如图：过点C作CD⊥AB于点D∵∠C=90°，CB=3cm，AB=4cm，∴AC===×AC×BC=×AB×CD∵S△ABC∴CD=∵＜2∴AB与⊙C相交故选：C．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练利用直线与圆的位置关系的判定方法是本题的关键．4．⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，下列位置关系正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．【解答】解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，∵5＞3，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故选：B．【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．5．已知圆的半径为4，一直线上有一点与此圆的圆心距离为5，则直线与圆的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．相离、相切、相交均有可能【分析】根据题意，可判断圆心到直线的距离可能大于4或等于4或小于4，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法得到直线与圆的位置关系．【解答】解：直线上有一点与此圆的圆心距离为5，则圆心到直线的距离可能大于4或等于4或小于4，所以直线与圆可能相离，可能相切，也可能相交．故选：D．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l 的距离为d，则直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．6．如图所示，△ABC是等腰三角形，以腰AB为直径作⊙O交底BC于点P，PQ ⊥AC于Q，则PQ与⊙O（）A．相切B．相交C．相离D．相切或相交【分析】根据已知条件AB为直径，连接AP和OP，所以AP⊥BC，可知P为BC 的中点，O为AB的中点，即OP∥AC；再结合已知条件，可证出OP⊥PQ，则PQ与⊙O相切．【解答】解：连接AP、OP，在⊙O中，AB为直径，AP⊥BC，又∵△ABC是等腰三角形，∴P点为BC的中点，又∵O点为AB的中点，∴OP∥AC，又PQ⊥AC，即OP⊥PQ，∴PQ与⊙O相切．故选：A．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及直线和圆的位置关系．7．已知在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，以B为圆心，BC为半径的⊙B 与AC边的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不确定【分析】先求出各个内角的度数确定直角后，可知AC、CB为直角边，所以可确定BC为半径的⊙B与AC边的位置关系是相切．【解答】解：∵在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，∴以B为圆心，BC为半径的⊙B与AC边的位置关系是相切．故选：B．【点评】直线和圆的位置关系的确定一般是利用圆心到直线的距离与半径比较来判断．若圆心到直线的距离是d，半径是r，则①d＞r，直线和圆相离，没有交点；②d=r，直线和圆相切，有一个交点；③d＜r，直线和圆相交，有两个交点．本题需要先确定直角后再判断位置关系．8．下列说法不正确的是（）A．和圆有两个公共点的直线与圆心的距离小于圆的半径B．直线l上一点到圆心的距离等于半径，则l与圆有公共点C．圆的切线只有一条D．和圆有两个公共点的直线与圆相交【分析】理解直线和圆的位置关系的概念：直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离．掌握直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【解答】解：A中，根据公共点的个数，知此直线和圆相交，再根据位置关系与数量之间的关系得圆心到直线的距离小于半径．正确；B中，根据数量关系，得直线和圆相切，则直线和圆有一个公共点．正确；C中，过圆上任意一点都能够作出圆的切线，错误；D中，根据公共点的个数，得直线和圆相交．正确．故选：C．【点评】考查了直线和圆的位置关系的定义；掌握直线和圆的位置关系与数量之间的等价关系．9．⊙O的半径为6，⊙O的一条弦长4，以4为半径的同心圆与此弦的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．不确定【分析】本题可由勾股定理解出圆心到弦的距离，再与半径4进行比较，比4大相离，比4小相交，等于4相切．【解答】解：如图，已知：AB=4，OB=6，∵M为AB中点，∴AM=BM=2，根据勾股定理可知：OM====4，∴以4为半径的同心圆与此弦的位置关系是：相切．故选：C．【点评】此题考查的是圆与直线的关系：圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，直线与圆相切．10．直线L和⊙O相交，则（）A．d＜r B．d=r C．d＞r D．d≤r【分析】直线与圆相交，所需要的条件就是圆心到直线的距离小于半径．【解答】解：直线L和⊙O相交，即圆心到直线的距离d小于半径，即d＜r．故选：A．【点评】本题主要简单考查了直线与圆的位置关系的判定，题目本身很简单，以后在学习的过程中，要求能够熟练运用此性质来判断直线与圆的位置关系．二．填空题（共15小题）11．若直线l与圆心O的距离大于⊙O的半径，则直线l与⊙O的交点个数为0．【分析】根据直线和圆的位置关系填空即可．【解答】解：∵直线l与圆心O的距离大于⊙O的半径，∴直线l与⊙O相离，∴直线l与⊙O无交点，故答案为0．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，当直线l与圆心O的距离大于⊙O的半径，直线l与⊙O相离，直线l与⊙O无交点；当直线l与圆心O的距离等于⊙O的半径，直线l与⊙O相切，直线l与⊙O有1个交点；当直线l与圆心O的距离小于⊙O的半径，直线l与⊙O相交，直线l与⊙O有2个交点．12．⊙O的直径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是相切．【分析】根据题意可得半径r=4，根据d=r，可判断直线l与⊙O的位置关系．【解答】解：∵⊙O的直径为8，∴半径=4，∵圆心O到直线l的距离为4，∴圆心O到直线l的距离=半径∴直线l与⊙O相切．故答案为：相切．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练运用切线的判定是本题的关键．13．已知⊙O的半径为r，点O到直线l的距离为d，且|d﹣3|+（6﹣2r）2=0，则直线l与⊙O的位置关系是相切．（填“相切、相交、相离”中的一种）【分析】利用非负数的性质求出d和r，即可判断；【解答】解：∵|d﹣3|+（6﹣2r）2=0，又∵|d﹣3|≥0，（6﹣2r）2≥0，∴d=3，r=3，∴d=r，∴直线l是⊙O的切线，故答案为：相切．【点评】本题考查直线与圆的位置关系、非负数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是相切．【分析】直接利用直线与圆位置关系的判定方法分析得出答案．【解答】解：∵∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，∴DC=3，∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是相切．故答案为：相切．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，正确把握直线与圆的位置关系判定方法是解题关键．15．已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m 的取值范围为0＜m＜．【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，﹣5=12k，∴k=﹣；由y=﹣x平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m（m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如下图所示）当x=0时，y=m；当y=0时，x=m，∴A（m，0），B（0，m），即OA=m，OB=m；在Rt△OAB中，AB=，过点O作OD⊥AB于D，=OD•AB=OA•OB，∵S△ABO∴OD•m=×m×m，∵m＞0，解得OD=m由直线与圆的位置关系可知＜6，解得0＜m＜．故答案为：0＜m＜．【点评】此题主要考查直线与圆的关系，关键是根据待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识解答．16．如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8，AC=4．以点C为圆心作圆，当⊙C与边AB只有一个交点时，则⊙C的半径的取值范围是r=2或4＜r≤4．【分析】作CD⊥AB于D，如图，利用勾股定理计算出BC=4，再利用面积法计算出CD=2，讨论：当⊙C与AB相切时得到r=2；当直线AB与⊙C相交，且边AB与⊙O只有一个交点时，CA＜r≤CB．【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ABC中，BC==4，∵CD•AB=AC•BC，∴CD==2，当⊙C与AB相切时，r=2；当直线AB与⊙C相交，且边AB与⊙O只有一个交点时，4＜r≤4，综上所述，当r=2或4＜r≤4，⊙C与边AB只有一个公共点．故答案为r=2或4＜r≤4．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l 的距离为d：直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O 相离⇔d＞r．17．已知l1∥l2，l1、l2之间的距离是3cm，圆心O到直线l1的距离是1cm，如果圆O与直线l1、l2有三个公共点，那么圆O的半径为2或4cm．【分析】根据题意可以画出相应的图形，从而可以解答本题．【解答】解：如下图所示，设圆的半径为r如图一所示，r﹣1=3，得r=4，如图二所示，r+1=3，得r=2，故答案为：2或4．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．18．已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是3≤r≤5．【分析】由于BD＞AB＞BC，根据点与圆的位置关系得到3≤r≤5．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=4，BC=3，∴BD=AC==5，AD=BC=3，CD=AB=4，∵以点B为圆心作圆，⊙B与边CD有唯一公共点，∴⊙B的半径r的取值范围是：3≤r≤5；故答案为：3≤r≤5【点评】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质．注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d ＜r时，点在圆内．19．⊙O的半径为4，圆心O到直线的距离为3，则直线与⊙O的位置关系是相交．【分析】由⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，利用直线和圆的位置关系：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离判断即可求得答案．【解答】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，又∵3＜4，∴直线l与⊙O的位置关系是：相交．故答案为：相交．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，注意解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．20．已知⊙O的半径为5cm，O到直线L的距离为d，当d=4cm时，直线L与⊙O相交；当d=5时，直线L与⊙O相切；当d=6cm时，直线L与⊙O 相离．【分析】若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【解答】解：根据圆心到直线的距离4小于圆的半径5，则直线和圆相交；根据圆心到直线的距离等于圆的半径，即d=5时，则直线和圆相切；根据圆心到直线的距离大于圆的半径，则直线和圆相离．【点评】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．21．如图所示，△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A为圆心，3cm长为半径的圆与直线BC的关系是相切．【分析】此题只需根据等腰三角形的三线合一和勾股定理，求得圆心到直线的距离，再根据数量关系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【解答】解：作AD⊥BC于D．根据等腰三角形的三线合一，得BD=4；再根据勾股定理得AD=3，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线和圆相切．【点评】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．能够综合运用等腰三角形的性质和勾股定理求解．22．直线与圆的位置关系（设⊙O半径为r，圆心到直线l距离为d）①l与⊙O相交⇔d＜r ②l与⊙O相切⇔d=r ③l与⊙O相离⇔d＞r 【分析】根据直线与圆相交、相切、相离的定义来解答．【解答】解：判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r，②直线l和⊙O相切⇔d=r，③直线l和⊙O相离⇔d＞r．故答案为：＜，=，＞【点评】本题考查直线与圆的位置关系．做好本题的关键是理清直线与圆相交、相切、相离的定义．23．在直角坐标系内，以A（3，﹣2）为圆心，2为半径画圆，以⊙A与x轴的位置关系是相切，⊙A与y轴的位置关系是相离．【分析】根据已知在直角坐标系内，以A（3，﹣2）为圆心，2为半径画圆做如上图欲求⊙A与x轴、y轴的位置关系，关键是求出点A到x轴的距离d，到y轴的距离，再与⊙A的半径2大小比较．【解答】解：在直角坐标系内，以A（3，﹣2）为圆心，2为半径画圆做如上图则点A到x轴的距离为d1=2，到y轴的距离为d2=3∵d1=2，到y轴的距离为d2＜3∴⊙A与x轴的相切，⊙A与y轴的相离故答案为相切，相离．【点评】本题考查直线与圆的位置关系．做好本题的关键是画出简图，明白圆心坐标到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值．24．如图，已知∠ABO=30°，以O为圆心2cm为半径作圆O，当OB=4cm时，圆O与AB相切．【分析】作OD⊥AB于D；要使圆O与AB相切，则圆心到直线的距离等于原的半径，即OD=2，再根据直角三角形的性质求得OB的长即可．【解答】解：作OD⊥AB于D；要使圆O与AB相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，即OD=2．在直角三角形OBD中，∠ABO=30°，∴OB=4cm．【点评】此题综合考查了直线和圆相切的位置关系与数量之间的联系和直角三角形的性质．25．已知，⊙O的直径为10cm，点O到直线a的距离为d：①若a与⊙O相切，则d=5cm；②若d=4cm，则a与⊙O有2个交点；③若d=6cm，则a 与⊙O的位置关系是相离．【分析】通过数量关系来判断直线和圆的位置关系，若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有：当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交．【解答】解：∵⊙O的直径为10cm，∴⊙O的半径r=5cm．①∵直线和圆相切，∴d=r，则d=5cm；②∵d=4cm＜r=5cm，∴直线和圆相交，∴直线与圆有两个公共点；③∵d=6cm＞r=5cm，∴直线a和⊙O相离．【点评】判定直线与圆的位置关系：方法一，可以通过数量关系进行判断；方法二，可以通过交点个数进行判断．三．解答题（共15小题）26．如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动．（1）当圆心O移动的距离为1cm时，则⊙O与直线PA的位置关系是什么？（2）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，则d的取值范围是什么？【分析】（1）根据点O的位置和移动的距离求得OP的长，然后根据∠P的度数求得点O到PA的距离，从而利用半径与距离的大小关系作出位置关系的判断；（2）当点O继续向左移动时直线与圆相交，在BP的延长线上有相同的点C″，从而确定d的取值范围．【解答】解：（1）如图，当点O向左移动1cm时，PO′=PO﹣O′O=3﹣1=2cm，作O′C⊥PA于C，∵∠P=30度，∴O′C=PO′=1cm，∵圆的半径为1cm，∴⊙O与直线PA的位置关系是相切；（2）如图：当点O由O′向右继续移动时，PA与圆相交，当移动到C″时，相切，此时C″P=PO′=2，∵OP=3，∴OO'=1，OC''=OP+C''P=3+2=5∴点O移动的距离d的范围满足1cm＜d＜5cm时相交，故答案为：1cm＜d＜5cm．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是能够分情况讨论，难度不大．27．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan∠ACB=，BC=4，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OE，求出∠DCE=∠AEO=∠DAC，求出∠CEO=90°，根据切线的判定求出即可；（2）解直角三角形求出AB=2，根据勾股定理求出AC，同理求出DE、CE，根据勾股定理得出关于R的方程，求出方程的解即可．【解答】（1）直线CE与⊙O相切，证明：连接OE，∵OA=OE，∴∠DAC=∠AEO，∵∠ACB=∠DCE，∴∠AEO=∠ACB=∠DCE，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠ACB=∠DAC，∵∠ACB=∠DCE，∴∠DAC=∠DCE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，∴∠DCE+∠DEC=90°，∴∠AEO+∠DEC=90°，∴∠OEC=180°﹣90°=90°，即OE⊥EC，∵OE为半径，∴直线CE与⊙O相切；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，在Rt△ACB中，AB=BC×tan∠ACB=4×=2，由勾股定理得：AC==2，∵∠ACB=∠DCE，∴tan∠DCE=tan∠ACB=，在Rt△DCE中，CD=AB=2，DE=DC×tan∠DCE=2×=1，由勾股定理得：DE==，设⊙O的半径为R，在Rt△COE中，CO2=CE2+OE2，（2﹣R）2=R2+（）2，解得：R=，即⊙O的半径是．【点评】本题考查了矩形的性质、切线的判定、平行线的性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．28．如图，AB为⊙O直径，AC为⊙O的弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点P，且∠D=2∠A，作CH⊥AB于点H．（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若HB=2，cosD=，请求出AC的长．【分析】（1）连接OC，由题意可证∠POC=∠D，且∠P+∠D=90°，可得∠P+∠POC=90°，即可证CD与⊙O相切；（2）根据cos∠D=cos∠POC=，可求CH=4，AH=8，根据勾股定理可求AC的长．【解答】解：（1）直线DC与⊙O相切如图：连接OC∵OA=OC∴∠A=∠ACO∵∠POC=∠A+∠ACO ∴∠POC=2∠A∵∠D=2∠A∴∠D=∠POC∵DE⊥AB∴∠D+∠P=90°∴∠POC+∠P=90°∴∠OCP=90°即OC⊥CD ∵OC是半径，OC⊥CD ∴直线CD与⊙O相切（2）∵∠D=∠POC∴cos∠D=cos∠POC=∴=设OH=3a，OC=5a，则AO=BO=5a，CH=4a∵BH=OB﹣OH=2∴5a﹣3a=2∴a=1∴CH=4，AO=5，OH=3∴AH=8在Rt△ACH中，AC=4【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，锐角三角函数，熟练运用锐角三角函数求线段的长是本题的关键．29．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O直径，D是的中点，过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sinE=，求AB：EF的值．【分析】（1）先判断出∠CBA为直角，再判断出∠F为直角，进而得出AB与EF 平行，再由D为的中点，利用垂径定理的逆定理得到OD垂直于AB，即可得出结论；（2）根据角E的正弦值，设出OD=OC=OB=OA=5x，则得出CA=10x，CE=13x，进而得出CE=18x，最后判断出△ABC∽△ECF即可得出结论．【解答】解：（1）直线EF与圆O相切，理由为：连接OD，如图所示：∵AC为圆O的直径，∴∠CBA=90°，又∵∠F=90°，∴∠CBA=∠F=90°，∴AB∥EF，∴∠AMO=∠EDO，又∵D为的中点，∴=，∴OD⊥AB，∴∠AMO=90°，∴∠EDO=90°，∵EF过半径OD的外端，则EF为圆O的切线，（2）在Rt△ODE中，sinE==，设OD=OC=OA=5x，∴CA=10x，OE=13x，∴CE=18x，∵EF∥AB，∴△ABC∽△ECF，∴==【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．30．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=6，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）MN是⊙O切线，只要证明∠OCM=90°即可．（2）求出∠AOC以及BC，根据S阴=S扇形OAC﹣S△OAC计算即可．【解答】解：（1）MN是⊙O切线．理由：连接OC．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，∴∠BCM=∠BOC，∵∠B=90°，∴∠BOC+∠BCO=90°，∴∠BCM+∠BCO=90°，∴OC⊥MN，∴MN是⊙O切线．（2）由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，∴∠AOC=120°，在RT△BCO中，OC=OA=6，∠BCO=30°，∴BO=OC=3，BC=3，∴S阴=S扇形OAC﹣S△OAC=﹣•6=12π﹣9．。
华师大版九年级数学上册 23章 图形的相似 单元检测题(word版,含答案)
第23章检测题时间：100分钟 满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列四条线段为成比例线段的是（ ）A ．1 cm ，2 cm ，4 cm ，6 cmB ．2 cm ，3 cm ，4 cm ，6 cmC ．8 cm ，5 cm ，4 cm ，3 cmD ．3 cm ，6 cm ，9 cm ，12 cm 2．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若AB BC ＝12，则DEEF ＝（ ）A .13B .12C .23 D ．13．制作一块3 m ×2 m 长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）A ．360元B ．720元C ．1080元D ．2160元4．在平面直角坐标系中，△OAB 各顶点的坐标分别为：O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以O 为位似中心，△OA ′B ′与△OAB 位似，若B 点的对应点B′的坐标为(0，－6)，则A 点的对应点A′坐标为（ ）A ．(－2，－4)B ．(－4，－2)C ．(－1，－4)D ．(1，－4)5．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8,第5题图)6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺,第6题图)7．如图，点P是线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD ＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对,第7题图)8．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连结DE.下列结论：①OEOB＝ODOC；②DEBC＝12；③S△DOES△BOC＝12；④S △DOE S △DBE＝13.其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个,第8题图)9．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G ，若AE ＝3ED ，DF ＝CF ，则AGGF 的值是( )A .43B .54C .65D .76,第9题图)10．如图，在矩形ABCD 中，∠ADC 的平分线与AB 交于E ，点F 在DE 的延长线上，∠BFE ＝90°，连结AF ，CF ，CF 与AB 交于G.有以下结论：①AE ＝BC ；②AF ＝CF ；③BF 2＝FG·FC ；④EG·AE ＝BG·AB.其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4,第10题图)二、填空题(每小题3分，共24分) 11．已知：a b ＝23，则a －2b a ＋2b的值是 .12．如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连结AE，交CD于点F，连结BF.写出图中任意一对相似三角形：.,第12题图)13．若△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16，则△ABC与△DEF的周长之比为.14．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连结DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是.,第14题图)15．如图，已知正方形DEFG的顶点D，E在△ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是.,第15题图)16．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知△AOB与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3∶2，点A，B都在格点上，则点B1的坐标为．,第16题图)17．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．,第17题图)18．如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E.连结AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF∶BE＝2∶3；④S四边形AFOE∶S△COD＝2∶3.其中正确的结论有.(填写所有正确结论的序号),第18题图)三、解答题(共66分)19．(8分)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－2，－2)，B(－5，－4)，C(－1，－5)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标．20．(8分)如图，已知AB∥CD，AD，BC相交于点E，F为BC 上一点，且∠EAF＝∠C.求证：(1)∠EAF＝∠B；(2)AF2＝FE·FB.21．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．(1)求证：△BDE∽△BAC；(2)已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长度．22．(8分)某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺来测量这条河流的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B(点B 与河对岸边上的一棵树的底部点D 所确定的直线垂直于河岸)．(1)小明在B 点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D 处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB ＝1.7米；(2)小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外，其他姿态不变)，这时视线通过帽檐落在了DB 延长线上的点E 处，此时小亮测得BE ＝9.6米，小明的眼睛距离地面的距离CB ＝1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD 是多少米．23．(10分)如图，已知在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为边CB 延长线上一点，连结DE 交边AB 于点F ，连结AC 交DE 于点G ，且FG GD ＝AD CE .(1)求证：AB ∥CD ；(2)如果AD 2＝DG·DE ，求证：EG 2CE 2＝AGAC .24．(10分)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连结DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G.(1)猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；(2)过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．25．(14分)如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上一点，连结BO 交AD 于点F ，OE ⊥OB 交BC 边于点E.(1)求证：△ABF ∽△COE ；(2)当点O 为AC 的中点，AC AB ＝2时，如图②，求OFOE 的值； (3)当点O 为AC 的中点，AC AB ＝n 时，请直接写出OFOE 的值．答案：1. B2. B3. C4. A5. B6. B7. C8. B9. C10. C11. －1212. △ADF ∽△ECF13. 5∶414. 1815. 12716. (－2，－23)17. 601718. ①②④19. 解：(1)如图所示：△A 1B 1C 1即为所求 (2)如图所示：△A 2B 2C 2即为所求；B 2(10，8)20. 解：(1)∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C ，又∠C ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠B(2)∵∠EAF ＝∠B ，∠AFE ＝∠BFA ，∴△AFE ∽△BFA ，则AF BF ＝FE FA，∴AF 2＝FE·FB21. 解：(1)∵∠C ＝90°，△ACD 沿AD 折叠，∴∠C ＝∠AED ＝90°，∴∠DEB ＝∠C ＝90°，又∵∠B ＝∠B ，∴△BDE ∽△BAC(2)由勾股定理得AB ＝10，由折叠的性质知AE ＝AC ＝6，DE ＝CD ，∠AED ＝∠C ＝90°，∴BE ＝AB －AE ＝10－6＝4.由(1)知△BDE ∽△BAC ，∴DE AC ＝BE BC ，∴DE ＝BE BC ·AC ＝48×6＝3，在Rt △ADE中，由勾股定理得AD 2＝AE 2＋ED 2，即AD 2＝62＋32，∴AD ＝3522. 解：易证△EBC ∽△DBA ，则有CB AB ＝BE BD ，∴1.21.7＝9.6BD ，∴BD＝13.6.答：河宽BD 是13.6米23. 解：(1)∵AD ∥BC ，∴△ADG ∽△CEG ，∴AD CE ＝AG CG ，∵FG GD ＝AD CE ，∴AG CG ＝FG GD ，∴AB ∥CD (2)AD ∥BC ，∴△ADG ∽△CEG ，∴DG EG ＝AD CE ，∴EG 2DG 2＝CE 2AD 2，∴EG 2CE 2＝DG 2AD 2.∵AD 2＝DG·DE ，∴EG 2CE 2＝DG DE ，∵AD ∥BC ，∴AG AC ＝DG DE ，∴EG 2CE 2＝AG AC24. 解：(1)结论：CF ＝2DG.理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝BC ＝CD ＝AB ，∠ADC ＝∠C ＝90°，∵DE ＝AE ，∴AD ＝CD ＝2DE ，∵EG ⊥DF ，∴∠DHG ＝90°，∴∠CDF ＋∠DGE ＝90°，∠DGE ＋∠DEG ＝90°，∴∠CDF ＝∠DEG ，∴△DEG ∽△CDF ，∴DG CF ＝DE DC ＝12，∴CF ＝2DG(2)如图，作点C 关于NM 的对称点K ，连结DK 交MN 于点P ，连结PC ，此时△PDC 的周长最短．周长的最小值＝CD ＋PD ＋PC ＝CD ＋PD ＋PK ＝CD ＋DK.由题意，得CD ＝AD ＝10，ED ＝AE ＝5，DG ＝52，EG ＝525，DH ＝DE·DG EG ＝5，∴EH ＝2DH ＝25，∴HM ＝DH·EH DE ＝2，∴DM ＝CN ＝NK ＝DH 2－HM 2＝1，在Rt △DCK 中，DK＝CD2＋CK2＝102＋22＝226，∴△PCD的周长的最小值为10＋22625. 解：(1)∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠C＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＋∠BAF＝90°，∴∠BAF＝∠C.∵OE⊥OB，∴∠BOA＋∠COE＝90°，∵∠BOA＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠COE，∴△ABF∽△COE(2)过点O作AC垂线交BC于点H，则OH∥AB，由(1)得∠ABF＝∠COE，∠BAF＝∠C，∴∠AFB＝∠OEC，∴∠AFO ＝∠HEO，而∠BAF＝∠C，∴∠FAO＝∠EHO，∴△OEH∽△OFA，∴OA∶OH＝OF∶OE，又∵O为AC的中点，OH∥AB，∴OH为△ABC的中位线，∴OH＝12AB，OA＝OC＝12AC，而ACAB＝2，∴OA∶OH＝2∶1，∴OF∶OE＝2∶1，即OFOE＝2(3)OFOE＝n。
【苏科版】九年级数学上册第二章对称图形_圆第23讲直线与圆的位置关系课后练习(含答案)
第23讲直线与圆的位置关系题一：已知圆的直径为13cm，圆心到直线的距离为4.5cm，6.5cm，8cm，直线与圆分别是什么位置关系？分别有几个公共点？题二：如图，已知A、B在半径为1的⊙O上，∠AOB=60°，延长OB至C，过点C作直线OA的垂线记为l，l与OA的交点为H，则下列说法正确的是( )A．当BC=0.5时，l与⊙O相离B．当BC=2时，l与⊙O相切C．当BC=1时，l与⊙O相交D．当BC不为1时，l与⊙O不相切题三：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径作圆⊙C，则正确的是( )A、当r=2时，直线AB与⊙C相交B、当r=3时，直线AB与⊙C相离C、当r=2.4时，直线AB与⊙C相切D、当r=4时，斜边AB与⊙C相切题四：如图所示，△ABC中，AB=AC=5cm ，BC=8cm ，当r为下列值时，以A为圆心，r为半径的圆与直线BC有何位置关系？为什么？①r=1cm②r=3cm③r=4cm④与边BC有两个公共点，求r的取值范围.第23讲 直线与圆的位置关系题一： 相交，2；相切，1；相离，0．详解：∵ 圆的直径为13cm ，∴圆的半径为r =6.5cm ，(1)当d =4.5厘米时，有d <r ，直线与圆相交， 直线和圆有2个公共点；(2)当d =6.5厘米时，有d =r ，直线与圆相切， 直线和圆有1个公共点；(3)当d =8厘米时，有d >r ，直线与圆相离， 直线和圆有0个公共点．题二： D ．详解：A ．∵BC =0.5，∴OC =OB +CB =1.5，∵∠AOB =60°，∴∠HCO =30°，∴HO =21OC =0.75<1，∴l 与⊙O 相交，故A 错误； B ．∵BC =2，∴OC =OB +CB =3，∵∠AOB =60°，∴∠HCO =30°，∴HO =21OC =1.5>1， ∴l 与⊙O 相离，故B 错误； C ．∵BC =1，∴OC =OB +CB =2，∵∠AOB =60°，∴∠HCO =30°，∴HO =21OC =1， ∴l 与⊙O 相切，故C 错误； D ．∵BC ≠1，∴OC =OB +CB ≠2，∵∠AOB =60°，∴∠HC O =30°，∴HO =21OC ≠1， ∴l 与⊙O 不相切，故D 正确；故选：D ．题三： C.详解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∵ AC =3， BC =4，∴Rt △ABC 中，AB =22BC AC +=2243+=5， 由三角形面积得：4321⨯⨯=CD ⨯⨯521， ∴CD =2.4，即圆心C 到AB 的距离d =2.4，当r =2时，d >r ，直线AB 与⊙C 相离，所以选项A 错误；当r =3时，d <r ，直线AB 与⊙C 相交，所以选项B 错误；当r =2.4时，d =r ，直线AB 与⊙C 相切，所以选项C 正确；当r =4时，虽然⊙C 与斜边AB 只有一个交点，但d <r ，直线AB 与⊙C 相交，所以选项D 错误，故选C ．题四： ①相离 ②相切 ③相交，原因见详解 ④3cm< r ≤5cm ．详解：过点A 作AD ⊥BC 于D ，∵AB =AC =5cm ，∴△ABC 是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一可得，AD 为△ABC 的中线，∵BC =8cm ，∴BD =21BC =4cm ，∴AD =22DC AC -=2245-=3，∴点A 到BC 的距离d =3cm ，①当r =1cm ，d >r ，直线BC 与⊙A 相离，②当r =3cm ，d =r ，直线BC 与⊙A 相切，③当r =4cm ，d <r ，直线BC 与⊙A 相交，④当r =3cm 时，d =r ，直线BC 与⊙A 相切，直线BC 与⊙A 有一个交点；当r >3cm 时，d <r ，直线BC 与⊙A 相交，直线BC 与⊙A 有两个交点，又因为AB =AC =5cm ，当r =5cm 时，边BC 与⊙A 有两个交点，当r >5cm 时，边BC 与⊙A 没有交点，所以符合条件的r 的取值范围：3cm< r ≤5cm ．。
九年级奥数培训圆和圆的位置关系-奥数精讲与测试
知识点、重点、难点两圆的位置关系可以是两圆相交、两圆相切（内切或外切）、两圆相离、两圆内含。
设两个圆为⊙1O 、⊙2O ,半径分别为1R 、2R ,且1R ≥2R ,1O 与2O 的距离为d ,那么,12d R R >+⇔两圆相离⇔4条公切线(2条外公切线,2条内公切线)； 12d R R =+⇔两圆外切⇔3条公切线(2条外公切线,1条内公切线)； 1212R R d R R -<<+⇔两圆相交⇔2条公切线(2条外公切线,无内公切线)；12d R R =-⇔两圆内切⇔条公切线(1条外公切线,无内公切线)； 1d R R <-⇔两圆内含⇔无公切线。
两圆的内（外）公切线的长为2212()l d R R =-+内；2212().l d R R =--外由圆的对称性知：若两圆相交,则两圆的连心线垂直平分公共弦。
若两圆有两条外（内）公切线,那么这两条外（内）公切线长相等。
若两条外（内）公切线相交,那么交点在连心线上,并且连心线平分两公切线所夹的角。
例题精讲例1：如图,过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线PN ,N 为切点。
令PN 的中点为M ,过PM 的圆与⊙O 交于A 、B ,BA 的延长线与PM 交于点Q ,求证： PM =3MQ ．解 因PN 为切线,由切割线定理知 NQ 2= QA ·QB = QM ·QP .设QM =x ,QN =y ,于是MP = MN =x ＋y (x ＞0,y ＞0),故QP ＝x ＋(x ＋y )= 2x ＋y ,所以2y =x (2x + y ),即222x xy y +-=0.由此得(x ＋y )(2x－y )=0,故2x = y 或x =－y (舍去）,MP=x ＋y = 3x = 3MQ .例2：如图,△ABC 的内切圆切BC 边于D ,求证△ABD 和△ACD 的内切圆相外切。
解 设E 、F 为△ABC 内切圆与AC 、AB 的切点,1T 、2T 分别为⊙1O 、 ⊙2O 与AD 的切点,于是BF = BD ,CE =CD .122AB BD AB AB BD AF BFDT +-+--==.2AD AF -=同理2.2AD AEDT -=又AE = AF ,所以12DT DT =,即1T 与2T 重合．所以⊙1O 与⊙2O 切于1T 点。
华师大版九年级数学上学期 第23章 23.2 相似图形
华师大版九年级数学上学期第23章23.2 相似图形一、单选题1.下列图形中，任意两个图形一定是相似图形的是（）A. 三角形B. 平行四边形C. 抛物线D. 圆2.如图，将图形用放大镜放大，所用的图形改变是( )A. 平移B. 轴对称C. 旋转D. 相似3.如图所示，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )A. 2 cm2B. 4 cm2C. 8 cm2D. 16 cm24.如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是( )A. 1：B. ：1C. 2：1D. 4：15.如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是( )A. 矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差B. 矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差C. 矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差D. 矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差6.如果两个相似多边形的面积之比为1：4，那么它们的周长之比是( ）A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：167.如图所示的两个四边形相似，则α的度数是()A. 60°B. 75°C. 87°D. 120°二、填空题8.一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它相似的四边形最小边长为6，则另一个四边形的最长边是________.9.在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2平方厘米的区域表示的实际面积为________平方米。
10.若两个相似多边形的相似比是2：3，则它们的面积比等于________．11.如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E，G分别为边AB，AD上的点，若矩形AEFG与矩形ABCD 相似，且相似比为，连接CF，则CF=________.三、综合题12.一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．答案一、单选题1. D2. D3. C4. B5. B6. A7. C二、填空题8. 12 9. 20000 10. 4：9 11. 5或.三、综合题12. （1）解：由已知得MN=AB=2，MD= AD= BC，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，= ，∴DM•BC=AB•MN，即BC2=4，∴BC=2 ，即它的另一边长为2（2）解：∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，∴= ，∵AB=CD=2，BC=4，∴DF= =1，∴矩形EFDC的面积=CD•DF=2×1=2。
九年级数学下册第28章圆28.2与圆有关的位置关系4圆与圆的位置关系课件华东师大版 (2)
1 86 2
24
cm2．
3.(2012·六盘水中考)已知两圆的半径分别为2和3，两圆的圆 心距为4，那么这两圆的位置关系是______. 【解析】∵3-2<4<3+2，∴两圆相交. 答案：相交
4.(2011·绍兴中考) 如图,相距2 cm的两个点A,B在直线l上,它 们分别以2 cm/s和1 cm/s的速度在l上同时向右平移,当点A,B分 别平移到点A1,B1的位置时,半径为1 cm的⊙A1与半径为BB1的 ⊙B相切,则点A平移到点A1所用的时间为______s.
6.如图,要在直径为50厘米的圆形木板上截出 四个大小相等的圆形凳面,问怎样截才能截出 直径最大的凳面,最大的凳面直径是多少厘米？
【解析】截法如图所示, 根据圆的对称性可知：O1,O3都在⊙O的直径AB上, 设所截出的凳面的最大直径为d厘米． 则O1O2=d,O2O3=d,O12Od3；= 又∵O1O3=AB-(O1A+O3B)=50-d, ∴ 2=d50-d, ( 2 1)d 50, ∴d=50( 2-1)(厘米)． ∴最大的直径是50( -21)厘米 .
【解析】连结OA，OC, ∵AB是小圆的切线,∴OC⊥AB. ∵OA=5 cm,OC=3 cm, ∴ AC OA2 OC2 52 32 4 cm. ∵AB是大圆的弦,OC过圆心,OC⊥AB, ∴AB=2AC=2×4=8 (cm). 答案：8
5.如图,两个等圆⊙O与⊙O′外切,过点 O作⊙O′的两条切线OA，OB, A，B是 切点,则∠AOB=_______. 【解析】连结OO′和O′A, 根据切线的性质,得O′A⊥OA, 根据题意得OO′=2O′A,则∠AOO′=30°, 再根据切线长定理得 ∠AOB=2∠AOO′=60°． 答案：60°
《23.4中位线》同步练习含试卷分析详解华师大数学九年级上
华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.4中位线同步练习一、选择题1、如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（）A、8B、10C、12D、142、如图所示，A ，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE的长为10m，则A ，B间的距离为（）A、15mB、25mC、30mD、20m3、如图，△ABC中，AB=AC ，AD平分∠BAC ，DE∥AC交AB于E ，则S△EBD：S△ABC=（）A、1：2B、1：4C、1：3D、2：34、如果△ABC的两边长分别为3和5，那么连结△ABC三边中点D、E、F所得的△DEF的周长可能是（）A、3B、4C、5D、65、顺次连接四边形各边中点所得的四边形是（）A、平行四边形B、矩形C、菱形D、以上都不对6、平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O ，点E是BC的中点．若OE=3cm ，则AB的长为（）A、3cmB、6cmC、9cmD、12cm7、如图所示，在梯形ABCD中，AB∥DC ，EF是梯形的中位线，AC交EF于G ，BD交EF于H ，以下说法错误的是（）A、AB∥EFB、AB+DC=2EFC、四边形AEFB和四边形ABCD相似D、EG=FH8、如图四边形ABCD ，AD∥BC ，AB⊥BC ，AD=1，AB=2，BC=3，P为AB边上的一动点，以PD ，PC为边作平行四边形PCQD ，则对角线PQ的长的最小值是（）A、3B、4C、5D、69、如图，梯形ABCD中，AD∥BC ，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于G、H ，若AD=6，BC=10，则GH的长为（）A、5B、4C、3D、210、如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P ，若EF=2，则梯形ABCD的周长为（）A、12B、10C、8D、611、如图所示，在平行四边形ABCD中，BC=4cm ，E为AD的中点，F、G分别为BE、CD的中点，则FG=（）cm ．A、2B、3C、4D、512、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC ，E、F分别是AB、CD的中点，则下列结论：①EF∥AD；②S△ABO=S△DCO；③△OGH是等腰三角形；④BG=DG；⑤EG=HF ．其中正确的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个13、如图，梯形ABCD中，AD∥BC ，∠B=30°，∠C=60°，E、F、M、N分别为AB、CD、BC、DA的中点，若BC=7，MN=3，则EF为（）A、3B、4C、5D、614、已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC ，AB=CD=4，MN是梯形ABCD的中位线，且MN=6，则梯形ABCD的周长是（）A、22B、20C、18D、1415、梯形ABCD中AD∥BC ，E是AB的中点，过E作两底的平行线交DC于F ，则下面结论错误的是（）A、EF平分线段ACB、梯形上下底间任意两点的连线段被EF平分C、梯形EBCF与梯形AEFD周长之差的绝对值等于梯形两底之差的绝对值D、梯形EBCF的面积比梯形AEFD的面积大二、填空题16、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若BC=10，则DE=________ ．17、如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、DF ．若△ABC的周长为10，则△DEF 的周长为________ ．18、已知梯形的上底长为a ，中位线长为m ，那么这个梯形的下底长为________.19、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC ，中位线EF交BD于点O ，若FO-EO=6，则BC-AD为________.20、如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F ，AB=5，AC=2，则DF的长为________.三、综合题21、如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是△ABC角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F ，交AB于G ，连接EF ，求线段EF的长．22、如图，在△ABC中，若∠B=2∠C ，AD⊥BC ，E为BC边中点，求证：AB=2DE ．23、请回答下列问题：(1)叙述三角形中位线定理，并运用平行四边形的知识证明；(2)运用三角形中位线的知识解决如下问题：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC ，E、F分别是AB ，CD的中点，求证：EF= （AD+BC）24、如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB、OC ，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E ．求证：四边形DGFE是平行四边形．25、在梯形ABCD中，AD∥BC ，AB=CD ，∠AOD=60°，E为OA的中点，F为OB的中点，G为CD 的中点，试判断△EFG的形状并说明理由．答案解析部分一、选择题1、【答案】C【考点】三角形中位线定理【解析】解答：∵点D、E分别是边AB ，BC的中点，∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD ，BC=2BE ，∴DE∥BC且DE= AC ，又∵AB=2BD ，BC=2BE ，∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE），即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，∵△DBE的周长是6，∴△ABC的周长是：6×2=12 ．故选：C.分析：首先根据点D、E分别是边AB ，BC的中点，可得DE是三角形BC的中位线，然后根据三角形中位线定理，可得DE= AC ，最后根据三角形周长的含义，判断出△ABC的周长和△DBE的周长的关系，再结合△DBE的周长是6，即可求出△ABC的周长是多少．2、【答案】D【考点】三角形中位线定理【解析】【解答】∵D ，E分别是AC ，BC的中点，∴AB=2DE=20m ．故选D.【分析】利用三角形的中位线定理即可直接求解．3、【答案】B【考点】三角形中位线定理【解析】解答：如图，∵在△ABC中，AB=AC ，AD平分∠BAC ，∴点D是BC的中点．又∵DE∥AC ，∴ED是△ABC的中位线，且△EBD∽△ABC ，∴相似比是：ED：AC=1：2，∴S△EBD：S△ABC=1：4 ．故选：B.分析：易证ED是△ABC的中位线，相似三角形△EBD∽△ABC的相似比是1：2；然后由相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行答题．4、【答案】D【考点】三角形中位线定理【解析】【解答】设三角形的三边分别是a、b、c ，令a=3，b=5，则2＜c＜7，10＜三角形的周长＜15，故5＜中点三角形周长＜7.5 ．故选D.【分析】本题依据三角形三边关系，可求第三边大于2小于7，原三角形的周长大于10小于15，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于5而小于7.5，看哪个符合就可以了．5、【答案】A【考点】三角形中位线定理【解析】解答：如图四边形ABCD ，E、N、M、F分别是DA ，AB ，BC ，DC中点，连接AC ，DE ，根据三角形中位线定理可得：EF平行且等于AC的一半，MN平行且等于AC的一半，根据平行四边形的判定，可知四边形为平行四边形．故选：A.分析：利用三角形中位线定理可得新四边形的对边平行且等于原四边形一条对角线的一半，那么根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定所得的四边形一定是平行四边形．6、【答案】B【考点】三角形中位线定理【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC；又∵点E是BC的中点，∴BE=CE ，∴AB=2OE=2×3=6（cm）．故选B.【分析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC；又因为点E是BC的中点，所以OE是△ABC的中位线，由OE=3cm ，即可求得AB=6cm ．7、【答案】C【考点】梯形中位线定理【解析】解答：AB∥DC ，EF是梯形的中位线，∴AB∥EF ，AB+DC=2EF ，故A、B选项结论正确，∵EF是梯形的中位线，∴点G、H分别是AC、BD的中点，∴EG=FH= CD ，D选项结论正确，∵，，∴四边形AEFB和四边形ABCD一定不相似，故C选项错误．故选C.分析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC；又因为点E是BC的中点，所以OE是△ABC的中位线，由OE=3cm ，即可求得AB=6cm ．8、【答案】B【考点】梯形中位线定理【解析】解答：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点O ，则O是DC的中点，过点Q作QH⊥BC ，交BC的延长线于H ，∵AD∥BC ，∴∠ADC=∠DCH ，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH ，∵PD∥CQ ，∴∠PDC=∠DCQ ，∴∠ADP=∠QCH ，又∵PD=CQ ，在Rt△ADP与Rt△HCQ中，∠ADP＝∠QCH∠A＝∠QHCPD＝CQ∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS），∴AD=HC ，∵AD=1，BC=3，∴BH=4，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4 ．故选B.分析：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G ，可得G是DC的中点，过点Q作QH ⊥BC ，交BC的延长线于H ，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ ，即可求得BH=4，则可得当PQ⊥AB 时，PQ的长最小，即为4；9、【答案】D【考点】梯形中位线定理【解析】【解答】∵EF是梯形ABCD的中位线，∴E、GH、F分别为AB、BD、AC、DC的中点，又∵AD=6，BC=10，∴EF=（6+10）÷2=8，EG=HF=6÷2=3，∴GH=EF-EG-HF=8-3-3=2，故选D.【分析】根据梯形中位线的性质，计算出EF的长，再根据三角形中位线的性质，求出EG和HF的长，从而计算出GH的长．10、【答案】C【考点】梯形中位线定理【解析】【解答】∵EF是梯形ABCD的中位线，∴AD+BC=2EF ，EF∥BC ，∴∠PBC=∠BPE ，∵BP是∠ABC的平分线，∴∠PBE=PBC ，∴∠PBE=∠BPE ，∴PE=BE ，同理可得CF=PF ，∵EF分别是AB、CD的中点，∴AB=2BE ，CD=2CF ，∴AB+CD=2（BE+CF）=2（PE+PF）=2EF ，∴梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=4EF ，∵EF=2，∴梯形ABCD的周长=2×4=8 ．故答案为：C.【分析】根据梯形的中位线等于两底边长和的一半并且平行于底边可得AD+BC=2EF ，EF∥BC ，根据两直线平行，内错角相等可得∠PBC=∠BPE ，再根据角平分线的定义可得∠PBE=PBC ，然后求出∠PBE=∠BPE ，然后根据等角对等边的性质可得PE=BE ，同理求出CF=PF ，再根据中点定义求出AB+CD=2EF ，然后代入数据进行计算即可得解．11、【答案】B【考点】梯形中位线定理【解析】解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=4cm ，∵E为AD的中点，∴ED= AD=2（cm），∵F、G分别为BE、CD的中点，∴FG= （ED+BC）=3（cm）．故选B.分析：由在平行四边形ABCD中，BC=4cm ，E为AD的中点，可求得ED的长，又由F、G分别为BE、CD的中点，根据梯形中位线的性质，即可求得答案．12、【答案】D【考点】三角形中位线定理，梯形中位线定理【解析】解答：∵在梯形ABCD中，AD∥BC ，E、F分别是AB、CD的中点，∴EF∥AD∥BC ，∴①正确；∵在梯形ABCD中，设梯形ABCD的高是h ，则△ABD的面积是AD×h ，△ACD的面积是：AD×h ，∴S△ABD=S△ACD ，∴S△ABD-S△AOD=S△ACD-S△AOD ，即S△ABO=S△DCO ，∴②正确；∵EF∥BC ，∴∠OGH=∠OBC ，∠OHG=∠OCB ，已知四边形ABCD是梯形，不一定是等腰梯形，即∠OBC和∠OCB不一定相等，即∠OGH和∠OHG不一定相等，∠GOH和∠OGH或∠OHG也不能证出相等，∴说△OGH是等腰三角形不对，∴③错误；∵EF∥BC ，AE=BE（E为AB中点），∴BG=DG ，∴④正确；∵EF∥BC ，AE=BE（E为AB中点），∴AH=CH ，∵E、F分别为AB、CD的中点，∴EH= BC ，FG= BC ，∴EH=FG ，∴EG=FH ，∴EH-GH=FG-GH ，∴EG=HF ，∴⑤正确；∴正确的个数是4个，故选D.分析：根据梯形的中位线推出①，求出△ABD和△ACD的面积，都减去△AOD的面积，即可判断②；只有等腰梯形ABCD ，才能得出∠OBC=∠OCB ，再根据平行线性质即可判断③；根据平行线分线段定理即可得出G、H分别为BD和AC中点，即可判断④；根据三角形的中位线得出EH=FG ，即可得出EG=FH ，即可判断⑤．【解析】解答：过点M分别作G∥AB ，MH∥CD ，得平行四边形ABHM和平行四边形DCGM ，∴∠NGM+∠NHM=∠B+∠C=90°，GH=BC-AD ，MG=MH∴GH=2MN=6（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∴AD=7-6=1∴EF=4，故选B.分析：过点N分别作NG∥AB ，NH∥CD ，得平行四边形ABGN和平行四边形DCHN ，根据平行四边形的性质可得到△GNH为直角三角形，且MN为其斜边上的中线，由已知可求得AD的长，从而不难求中位线的长了．14、【答案】B【考点】梯形中位线定理【解析】【解答】∵MN是梯形ABCD的中位线，且MN=6，∴AD+BC=2MN=2×6=12 ．∴梯形ABCD的周长是AB+DC+AD+BD=4+4+12=20 ．故选B.【分析】此题只需根据“梯形的中位线等于两底和的一半”，求得梯形的两底和，再进一步计算其周长．15、【答案】D【考点】梯形中位线定理【解析】解答：根据题意可知EF是梯形ABCD的中位线，则A正确，因为EF是梯形ABCD的中位线，所以FG是△ACD的中位线，则EF平分线段AC.B正确，因为EF是梯形ABCD的中位线，再根据平行线分线段成比例，则梯形上下底间任意两点的连线段被EF平分．C正确，因为梯形EBCF的周长为EF+EB+BC+CF ，梯形AEFD周长为AE+AD+DF+EF ，又因为EF是梯形ABCD的中位线，所以梯形EBCF与梯形AEFD周长之差的绝对值等于梯形两底之差的绝对值．D错误，因为根据题意不能判断AD和BC谁是上底谁是下底，所以不能判断梯形EBCF的面积比梯形AEFD的面积大．故选D.分析：根据题意可先判断出EF是梯形ABCD的中位线，然后再根据梯形中位线的性质分别进行判断．二、填空题【解析】【解答】∵D、E分别是AB、AC的中点．∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE ，∵BC=10，∴DE=5 ．故答案为：5 ．【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有DE= BC ，从而求出DE 的长．17、【答案】5【考点】三角形中位线定理【解析】【解答】如上图所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE= AC ，同理有EF= AB ，DF= BC ，∴△DEF的周长= （AC+BC+AB）= ×10=5 ．故答案为5 ．【分析】由于D、E分别是AB、BC的中点，则DE是△ABC的中位线，那么DE= AC ，同理有EF= AB ，DF= BC ，于是易求△DEF的周长．18、【答案】2m-a【考点】梯形中位线定理【解析】【解答】根据题意得，下底=2中位线-上底，则下底=2m-a.【分析】根据“梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半”较易求解．19、【答案】12【考点】梯形中位线定理【解析】【解答】∵EF是梯形ABCD的中位线，∴AE=BE ，CF=DF ，EF∥AD∥BC ，∴DO=BO ，∴AD=2EO ，BC=2FO ，∵FO-EO=6，∴BC-AD=2×6=12，故答案为：12 ．【分析】根据梯形的中位线得出EF∥AD∥BC ，推出BO=DO ，根据三角形的中位线求出AD=2EO ，BC=2FO ，代入求出即可．20、【答案】【考点】三角形中位线定理【解析】【解答】延长CF交AB于点G ，∵AE平分∠BAC ，∴∠GAF=∠CAF ，∵AF垂直CG ，∴∠AFG=∠AFC ，在△AFG和△AFC中，∵∠GAF＝∠CAFAF＝AF∠AFG＝∠AFC∴△AFG≌△AFC（ASA），∴AC=AG ，GF=CF ，又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线，∴DF= BG= （AB-AG）= （AB-AC）= ．故答案为：．【分析】延长CF交AB于点G ，证明△AFG≌△AFC ，从而可得△ACG是等腰三角形，GF=FC ，点F是CG中点，判断出DF是△CBG的中位线，继而可得出答案．三、综合题21、【答案】解答：在△AGF和△ACF中，∠GAF＝∠CAFAF＝AF∠AFG＝∠AFC∴△AGF≌△ACF ，∴AG=AC=3，GF=CF ，则BG=AB-AG=4-3=1 ．∴EF是△BCG的中位线，∴EF= BG= ．【考点】三角形中位线定理【解析】【分析】首先证明△AGF≌△ACF ，则AG=AC=3，GF=CF ，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．22、【答案】证明：取AC中点F ，连接EF ，DF ，则EF为中位线，且EF‖AB、∠FEC=∠B=2∠C ，在直角三角形ACD中，F是斜边AC的中点，∴DF=CF ，∴∠DEF=∠C ，即有2∠FDC=∠FEC ，∴∠EFC=∠FDC+∠DFE ，∴2∠DFE=∠FEC=2∠FDC ，∴DE=EF ，∴AB=2DE ．【考点】三角形中位线定理【解析】取AC中点F ，连接EF、DF ，则EF为△ABC的中位线，结合条件可得到∠FEC=2∠C ，结合直角三角形的性质可得到∠EDF=∠EFD ，得到DE=EF ，可得出结论．23、【答案】（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．已知：△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，求证：EF∥BC且EF= BC ，证明：如图，延长EF到D ，使FD=EF ，∵点F是AC的中点，∴AF=CF ，在△AEF和△CDF中，AF＝FC∠AFE＝∠CFDEF＝FD∴△AEF≌△CDF（SAS），∴AE=CD ，∠D=∠AEF ，∵点E是AB的中点，∴AE=BE ，∴BE=CD ，∴BE CD ，∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE∥BC ，DE=BC ，∴DE∥BC且EF= BC.（2）证明：连接AF并延长，交BC延长线于点M ，∵AD∥BC ，∴∠D=∠FCM ，∵F是CD中点，∴DF=CF ，在△ADF和△MCF中，∠D＝∠FCMDF＝CF∠AFD＝∠MFC∴△ADF≌△MCF（ASA），∴AF=FM ，AD=CM ，∴EF是△ABM的中位线，∴EF∥BC∥AD ，EF=BM= （AD+BC）．【考点】三角形中位线定理，梯形中位线定理【解析】（1）作出图形，然后写出已知、求证，延长EF到D ，使FD=EF ，利用“边角边”证明△AEF和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CD ，全等三角形对应角相等可得∠D=∠AEF ，再求出CE=CD ，根据内错角相等，两直线平行判断出AB∥CD ，然后判断出四边形BCDE 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DE∥BC ，DE=BC.（2）连接AF并延长，交BC延长线于点M ，根据ASA证明△ADF≌△MCF ，判断EF是△ABM的中位线，根据三角形中位线定理即可得出结论．24、【答案】证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC ，且DE= BC ，同理，GF∥BC ，且GF= BC ，∴DE∥GF且DE=GF ，四边形DGFE是平行四边形．【考点】三角形中位线定理【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE= BC ，GF∥BC且GF= BC ，从而得到DE∥GF ，DE=GF ，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可25、【答案】解：△EFG为等边三角形；证明如下：如图，连接DE、CF；∵AD∥BC ，AB=CD ，∴四边形ABCD为等腰梯形，∴AC=BD；在△ABD与△DCA中，AB＝DCAD＝DABD＝AC∴△ABD≌△DCA（SSS），∴∠OAD=∠ODA ，AO=DO；而∠AOD=60°，∴△AOD为等边三角形，AD=OD；∵AE=OE ，∴DE⊥AO ，△CDE为直角三角形，∵DG=CG ，∴EG= CD；同理可求：FG= CD；∵E为OA的中点，F为OB的中点，∴EF为△OAB的中位线，∴EF= AB；而AB=CD ，∴EG=FG=EF ，∴△EFG为等边三角形．【考点】三角形中位线定理【解析】如图，作辅助线；首先证明∠OAD=∠ODA ，得到AO=DO ，结合∠AOD=60°，判断出△AOD为等边三角形，此为解题的关键性结论；其次证明DE⊥AC ，运用直角三角形的性质证明EG=FG=CD；运用三角形的中位线定理证明EF= AB ，结合AB=CD ，得到EG=FG=EF ，即可解决问题．。
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§23.2与圆有关的位置关系 (二) 教学目的： 1、了解圆和圆的五种位置关系的定义；并掌握每种位置关系中圆心距d和两圆半径R和r的数量关系,会用d与R、r之间的数量关系，判断两圆的位置关系；
2、掌握相切两圆和相交两圆的性质．通过综合运用圆与圆的位置关系的有关性质解题，进一步提高对前段所学与圆有关知识的应用能力、加深对圆的有关重要性质的理解。 3、逐步培养学生观察、比较、分析、概括问题的能力及推理论证的能力；
4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美； 5、渗透数形结合的数学思想，进一步培养学生良好的学习习惯和不断创新的精神． 6、掌握相交两圆的性质定理；并掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法；掌握在解题时适当添置辅助线(连心线、公共弦、连结两交点与圆的线段等)的基本技能。
7、通过例题的分析，培养学生分析问题、解决问题的能力； 【知识重点与学习难点】 重点：1。两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质．它们是本节的主要内容，是圆的重要概念性知识，也是今后研究圆与圆问题的基础知识．
2。相交两圆的性质及应用． 难点 1。两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用．由于两圆位置关系有5种类型，特别是相离有外离和内含，相切有外切和内切，学生容易遗漏；而在相交圆的性质应用中，学生容易把“相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．”看成是真命题．
2。应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线． 【方法指导与教材延伸】 1、知识结构
(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离．(图(1))
(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(2)) 第 2 页 共 14 页 http://www.12999.com给全国数学老师提供一个交换教学资源的平台
(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．(图(3)) (4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(4))
(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5))．两圆同心是两圆内含的一个特例． (图(6))
2、归纳： (1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点． (2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一 (3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含)；相交；相切(外切和内切)．
并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交．除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点?
结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系． 3、分析、研究 1、相切两圆的性质． 让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质： 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上． 这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明 2、两圆位置关系的数量特征． 设两圆半径分别为R和r．圆心距为d，则两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系．
两圆外切 d＝R+r； 两圆内切 d＝R-r (R＞r); 两圆外离 d＞R+r； 两圆内含 d＜R-r(R＞r); 两圆相交 R-r＜d＜R+r． 说明：注重“数形结合” 的思想． 第 3 页 共 14 页 http://www.12999.com给全国数学老师提供一个交换教学资源的平台
（一） 图形的对称美
相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形．相交两圆具有什么性质呢? （二）观察、猜想、证明 1、观察：同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形． 2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”． 3、证明： 已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B． 求证：Q1O2是AB的垂直平分线． 分析：要证明O1O2是AB的垂直平分线，只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B．
证明：连结O1A、O1B、 O2A、O2B，∵O1A=O1B， ∴O1点在AB的垂直平分线上． 又∵O2A＝O2B，∴点O2在AB的垂直平分线上． 因此O1O2是AB的垂直平分线． 也可考虑利用圆的轴对称性加以证明： ∵⊙Ol和⊙O2，是轴对称图形，∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的对称轴． ∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上． ∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点， ∴连心线O1O2是AB的垂直平分线． 定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦． 注意：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．
【例题选讲】 例1、 已知：⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、5，且两两相切，
求AB、BC、CA的长
解：分类讨论： 第 4 页 共 14 页 http://www.12999.com给全国数学老师提供一个交换教学资源的平台
（1）当⊙A与⊙B外切时，分4种情况： ①如图1，AB=5，BC=8，CA=7； ②如图2，AB=5，BC=2，CA=3； ③如图3，AB=5，BC=8，CA=3； ④如图4，AB=5，BC=2，CA=7； （2）当⊙A与⊙B内切时，分2种情况： ①如图5，AB=1，BC=2，CA=3； ②如图6，AB=1，BC=8，CA=7． 说明：此题需要两次分类，但关键是以什么为标准进行分类，才能不重不漏． 例2、已知两个等圆⊙Ol和⊙O2相交于A，B两点，⊙Ol经O2。求∠OlAB的度数． 分析：由所学定理可知，O1O2是AB的垂直平分线，又⊙O1与⊙O2是两个等圆，因此连结O1O2和AO2，AO1，△O1AO2构成等边三角形，同时可以推证⊙O l和⊙O2构成的图形不仅是以O1O2
为对称轴的轴对称图形，同时还是以AB为对称轴的轴对称图形．从而可由∠OlAO2＝60°，
推得∠OlAB＝30°．
解：⊙O1经过O2，⊙O1与⊙O2是两个等圆 ∴OlA= O1O2= AO2 ∴∠O1A O2=60°， 又AB⊥O1O2 ∴∠OlAB =30°． 例3、已知R1、R2为两圆半径，圆心距d＝5，且R1，R2，R1－R2是方程x3－6x2＋11x－6＝0的三个根，试判断以R1，R2为半径的两圆的位置关系。 分析：通过解方程，把R1，R2，R1－R2都求出来以后，根据两圆位置关系的判定方法，即可作出结论。 解：将方程x3－6x2＋11x－6＝0变形得： (x－1)(x－2)(x－3)＝0 解得：x1＝1，x2＝2，x3＝3 ∵R1，R2，R1－R2是方程的根 ∴(1)当R1＝3，R2＝2，R1－R2＝1时，两圆外切。 (2)当R1＝3，R2＝1，R1－R2＝2时，两圆外离。 故由(1)(2)可得：两圆的位置关系是外切或外离。 例4、已知：如图，⊙O1和⊙O2外切于P，直线APC交⊙O1于点A，交⊙O2于C，AB切⊙O2
于B，设⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2。求证：21221rrACABr
分析：因为AB为⊙O2的切线，故AB2＝AP·AC，欲证21221rrACABr，只须证121
rrACAPr，连结O1O2，可知点P在O1O2上，通过 △O1AP∽△O2CP即可获证。
证明：连结AO1，O2C，O1O2 ∵⊙O1与⊙O2外切于点P，∴P点在连心线O1O2上。 ∵O1A＝O1P ，O2C＝O2P 第 5 页 共 14 页 http://www.12999.com给全国数学老师提供一个交换教学资源的平台
∴∠O1AP＝∠O1PA，∠O2CP＝∠O2PC 又∠O1PA＝∠O2PC ∴∠O1AP＝∠O2CP ∴△O1AP∽△O2CP
∴＝＝ ∵AB切⊙O2于B点，∴AB2＝AP·AC
∴＝＝＝1＋＝1＋ ∴21221rrACABr
例5、如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PT切⊙O1于A，交⊙O1于P，PB的延长线交⊙O1于C，CA的延长线交⊙O2于D，E是⊙O1上一点，且AE＝AC，EB的延长线交⊙O2于F，连结AF、DF、FD。 求证：(1) △PAD为等腰三角形；(2) DF∥PA；(3) AF2＝PB·EF 分析：(1) 要证△PAD为等腰三角形，可连结AB，利用公共弦将两圆中的角有机地联系起来，不难得到∠DAP＝∠TAC＝∠ABC＝∠PDA (2) 要证DF∥PA，可设法证明∠FDP＝∠DPA，易知∠EDP＝∠EBP＝∠EBC＝∠EAC，连结EC，证明△ADP∽△EAC即可。 (3) 由切割线定理可得PA2＝PB·PC，可设法证明AF＝AP，EF＝PC，即可获证。 证明：连结AB、EC (1) ∵AT切⊙O1于A， ∴∠TAC＝∠ABC(弦切角定理) 又∠ABC＝∠PDA(圆内接四边形的性质定理) ∴∠TAC＝∠PDA ∵∠TAC＝∠PAD(对顶角) ∴∠PDA＝∠PAD ∴PD＝PA ∴△PDA为等腰三角形。 (2) ∵AE＝AC ∴△AEC为等腰三角形 又△PDA为等腰三角形，且∠AEC＝∠ABC，∠ABC＝∠PDA ∴∠AEC＝∠PDA ∴△AEC∽△PDA(相似三角形判定定理1) ∴∠EAC＝∠DPA 又∠EAC＝∠EBC＝∠FBP＝∠FDP ∠EFP＝∠DPA DF∥PA (3) ∵AE＝AC ∠AEF＝∠ACP ∠APC＝∠AFE ∴△APC∽△AFE ∴AF＝AP，EF＝PC 又PA2＝PB·PC(切割线定理) ∴AF2＝PB·EF
例6、如图⊙O1和⊙O2相交于A、B，过A作直线交⊙O1于C，交⊙O2于D，M是CD中点，直线BM交⊙O1于E，交⊙O2于F。求证：ME＝MF。 分析：要证ME＝MF，结合已知MC＝MD，若连结CE、DF，只需证△CME∽△DMF，连结公共弦AB，以两圆的公共圆周角∠ABE为“桥梁”，可证得∠C＝∠D。 证法一：连结CE、DF、AB， ∵∠C＝∠ABE，∠D＝∠ABE，