第四节析因设计和方差分析
方差分析
二期矽肺 100.67 93.47 74.97 88.06 113.52 101.14 95.10 118.98
三期矽肺 97.58 83.58 103.81 107.10 108.42 82.58 89.01 77.11
方差分析的基本思想
总变异：从例中看出，32个观察值大小参差不 齐，这种个体值与总均数之间的差异称为总变 异。
多个样本均数间的多重比较
多个样本均数间的多重比较：也称为两两 比较，主要用于探索与证实多组均数中， 哪两个总体均数间有差别，哪两个均数间 没有差别。 如果多组均数的比较采用两样本均数比较 的t检验，会加大I型错误。
多个样本均数间的多重比较
LSD-t检验：最小显著差法
容易获得P<0.05，但是假阳性率较高；
完全随机设计资料的方差分析
方差分析结果表 变异来源 总 组间 组内 SS 86.740 45.091 41.649 ν 39 3 36 MS F P <0.05
15.030 12.990 1.157
3.确定P值和作出推断结论：以ν组间=3，ν组内=36， 查F界值表得P<0.05， 按α=0.05水准拒绝H0 ，接受 H1，故可以认为给予不同剂量的三菱莪术液，小鼠瘤 重间差别有统计学意义。
方差分析
主要内容
方差分析的基本思想 完全随机设计、随机区组设计、拉丁方设 计、交叉设计和析因设计资料方差分析的 基本过程
多个样本均数的比较
两个样本均数的比较：
1次t-test，α=0.05；
三个样本均数的比较：
3次t-test，α=1-（1-0.05）3=0.14；
四个样本均数的比较：
6次t-test，α=1-（1-0.05）6=0.26；
方差分析(二)(析因、正交、重复测量)
误差 总变异
SSe=SST -SSTR ΣX2-C
cr(n-1) crn-1或N-1
SSe/νe 19
五、析因设计资料方差分析的基本步骤
1.建立检验假设，确定检验水准：
（1） 对A药：
H0：用与不用血中红细胞增加数的总体均数相等。 H1：用与不用血中红细胞增加数的总体均数不相等。 （2） 对B药： H0：用与不用血中红细胞增加数的总体均数相等。 H1：用与不用血中红细胞增加数的总体均数不相等。 （3）对交互作用
H0：A药与B药无交互作用。 H1：A药与B药有交互作用。 2.求检验统计量： 3. 确定P，作出统计推断结论
20
六、两因素析因设计资料方差分析F值的计算
试验 因素
交互作用
模型
A 随机型 B 随机型
10
3. 主效应（main effect)：
指在某一因素各水平间的平均差别。与单独效应不同的是，它 综合了其它因素各水平与该因素每一水平所有组合的情况。每 个因子对观察指标的作用。有几个因子就应该有几个主效应。
11
3. 主效应（main effect)：
指在某一因素各水平间的平均差别。与单独效应不同的是，它 综合了其它因素各水平与该因素每一水平所有组合的情况。每 个因子对观察指标的作用。有几个因子就应该有几个主效应。 例：A因素的主效应：0.75。即A因素单独效应的平均值。
1.0
2.0
0.7
A药
B药
用
不用
白血病患儿的淋巴细胞转化率（％） A药 B药 红细胞增加数（1012/L） 用 用 2.1 2.2 2.0 用 不用 1.3 1.2 1.1 不用 用 0.9 1.1 1.0 不用 不用 0.8 0.9 0.7
研究生医学统计学-随机区组设计和析因设计资料的方差分析
Yi
∑Y
j
2 ij
32783.4
变异分解
总变异： (1) 总变异： 所有观察值之间的变异
处理间变异：处理因素＋ (2) 处理间变异：处理因素＋随机误差 区组间变异：区组因素＋ (3) 区组间变异：区组因素＋随机误差 (4) 误差变异： 误差变异： 随机误差
SS总 = SS处理 + SS区组 + SS误差
A2
A3
随机区组的两因素3 随机区组的两因素3×2析因设计
15
析因设计的特点
2个或以上（处理）因素（factor）(分类变量 个或以上（处理）因素（ 分类变量) 个或以上 ） 分类变量 本节只考虑两个因素） （本节只考虑两个因素） 每个因素有2个或以上水平 个或以上水平（ 每个因素有 个或以上水平（level） ） 每一组合涉及全部因素， 每一组合涉及全部因素，每一因素只有一个水平 参与 几个因素的组合中至少有 2个或以上的观察值 个或以上的观察值 观测值为定量数据（需满足随机、独立、正态、 观测值为定量数据（需满足随机、独立、正态、 等方差的ANOVA条件） 条件） 等方差的 条件
n
a
n
SS处理 = ∑
i=1
a
(∑Yij )
j =1
2
n
n
1 − C = (500.72 + 523.42 + 567.02 ) −1591.12 /24 = 283.83 8
(∑Yij )
i =1 a 2
SS区组 = ∑
j=1
a
1 − C = (197.82 +196.12 + 208.12 + 222.22 3
配伍组编号 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 日注射量A A1 注射次数B B1（少） B2（多） 33.6 33.0 37.1 30.5 34.1 33.3 34.6 34.4 33.0 28.5 29.5 31.8 29.2 29.9 30.7 28.3 31.4 30.7 28.3 28.2 28.9 28.4 28.6 30.6
第6讲_方差分析-析因分析.ppt课件
析因设计的方差分析
Factorial design ANOVA
;
两要素析因设计资料的方差分析
前面内容 回想
1.完全随机设计的ANOVA 2.随机区组设计的ANOVA
所关怀的问题：
一个处置要素不同 处置程度间的均数
有无差别？
在第2个设计中，设立单位组〔区组〕的目的 是控制混杂要素。使混杂要素在各处置程度间到达 平衡，提高检验效率。
;
析因设计的优点
可同时察看多个要素的效应，提 高了实验效率；
可以分析要素间的交互作用；
允许一个要素在其他各要素的几 个程度上来估计其效应，所得结 论在实验条件的范围内是有效的
;
13
析因设计的缺陷
当研讨要素较多，且每个要素的程 度数也较多时，析因设计要求的实验能 够太多，以致到了无法接受的地步。
37 50
时期 化疗间隙 56 36 46 47 63 56 54 39 53 58 66 51 57 64 45 45
完全随机的两要素; 2×2析因设计
实例3:小鼠种别A、体重B和性别C对皮内移植SRS
瘤细胞生长特征影响的结果(肿瘤体积cm3)问①
A,B,C各自的主效应如何?②三者间有无交互作用?
A*B:病种*年龄 356.97 6
误差
530.80 48
132.45 11.98 6.0E-05 59.49 5.38 2.6E-04
11.04
总计
2733.60 59
;
38
5.确 定 P 值 并 作 出 统 计 推 断 查 附 表 5 ： F0.012,48 5.08、 F0.013,48 4.22、 F0.016,48 3.20 计 算 所 得 F 值 均 大 于 临 界 F 值 ， 所 以 P 均 小 于 0.01。 (1)拒 绝 HO， 接 受 H1， 即 至 少 有 一 个 病 种 的 访 视 时间长度与其他病种的访视时间长度不同。
SAS析因设计方差分析contrast语句的使用
SAS析因设计⽅差分析contrast语句的使⽤SAS进⾏两两⽐较的语句有两种，⼀种是⽤means语句对主效应进⾏检验，当交互作⽤A*B有显著性，需要固定某因素的某⽔平对另⼀因素的各⽔平进⾏两两⽐较，这时最常⽤的是使⽤contrast语句，它可以完成means语句对主效应的检验，也可以对所有的单独效应或感兴趣的单独效应进⾏检验。
例如：某析因设计，a因素有3个⽔平，b因素有4个⽔平，主要研究兴趣为a因素各⽔平间的差异。
data dat;do a=1 to 3;do b=1 to 4;do r=1 to 3;input x@@;output;end;end;end;cards;15.13 15.32 15.2317.91 18.05 17.9821.24 21.54 21.2324.54 24.88 24.6415.24 15.38 15.4718.32 18.15 18.2921.35 21.58 21.4024.38 24.79 24.9726.48 26.25 26.3430.12 29.89 30.0835.21 34.68 34.9936.94 35.59 36.46;run;proc anova data=dat;class a b;model x= a b a*b;means a*b;run;模型有统计学差异，且交互作⽤a*b有统计学差异，此时不应再看主效应，⽽要分析单独效应proc glm data=dat;class b a;model x=b a b*a/ss3;contrast '(a1 vs a2)/b1' a 1 -1 0 b*a 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;contrast '(a1 vs a2)/b2' a 1 -1 0 b*a 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0;contrast '(a1 vs a2)/b3' a 1 -1 0 b*a 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0;contrast '(a1 vs a2)/b4' a 1 -1 0 b*a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0;contrast '(a1 vs a3)/b1' a 1 0 -1 b*a 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0;contrast '(a1 vs a3)/b2' a 1 0 -1 b*a 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0;contrast '(a1 vs a3)/b3' a 1 0 -1 b*a 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0;contrast '(a1 vs a3)/b4' a 1 0 -1 b*a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1;run;上述程序是控制b因素各⽔平对a因素各⽔平之间进⾏⽐较，contrast语句中引号（''）内的语句为⽤户设定的语句，以区分控制因素和⽐较因素的不同⽔平，a有3个⽔平，所以后⾯有3个数值，要⽐较的⽔平按照顺序分别为1和-1其余为0，注意合计也要为0。
第四章析因实验设计
旋体计数有无差别 ▪ 2.比较兔血清与胎盘血清培养出的钩端螺旋体计
数有无差别 ▪ 3.两种浓度培养出的钩端螺旋体计数有无差别 ▪ 4.各因素之间有无交互作用。
▪ 结论：查F值表 P<0.01，认为两种血清中 的钩端螺旋体计数的总体均数不等，即各 基础液中有添加剂时，兔血清中的钩端螺 旋体计数高于胎盘血清中的计数。所有交 互作用均无统计学意义。
种类
例1 治疗缺铁性贫血病人12例，随机分为4组，给予不同 疗法治疗，一个月后观察红细胞增加数。
第一组：一般疗法； 第二组：一般疗法+甲药 第三组：一般疗法+乙药 第四药：一般疗法+甲药+乙药
甲药与乙药均有“用”和“不用”两个水平。这是一个2x 2的析 因实验设计。不仅可以分析甲、乙两药的作用，而且也可以分析 甲药与乙药有无“交互作用” 。
例2 甘蓝叶中核黄素含量的荧光测定．所用的甘 蓝叶有经过二氧化氢高锰酸盐处理的，也有 未经处理的，甘蓝叶的样本有0.25g与1g两种。
数理统计 第4章 方差分析、正交试验设计
ni
n 次 ， 获 得 试 验 值
1,2,,r , j 1,2,,ni ，即有
水 平 观 测 值
X 11 , X 12 , , X 1n1 X , X , , X
A1
（ i 1,2,,r ）， 共
X ij , i
i 1
ni
r
n 次 ， 获 得 试 验 值
1 r E( X ) ni i ； n i 1
水平
Ai 的均值： X i
1 ni
r
X
j 1
ni
ij
~ N ( i ,
2
ni
)；
( X ij X )2 ； 离差平方总和： QT
i 1 j 1
ni
2 QT ( X ij X ) ； 离差平方总和： i 1 j 1
分解定理定理411的线性组合的平方和即非负定二次型自由度为满足s个独立的线性关系约束条件且相互独立于是项平方和有r个独立约束条件且相互独立于是项平方和有r个独立约束条件一元方差分析检验统计量分别称为组间均方离差和组内均方离差
应用统计学
目录
CH1 CH2 CH3 CH4 CH5
抽样与抽样分布 参数估计 假设检验 方差分析、正交试验设计 回归分析
i 1 j 1 i 1 i 1 j 1
r
ni
r
r
ni
其中：
i n 2n( X ijrr nnii i )( X i X ) X 2 X 2 [( X X 1 2X ij X(iXijij X )( X X ) ( X X ))] X )( X X i X) 2[( X i 1 j) (2((X]ij X iii)( X iii X ))
第六章 析因实验
在初步试验中，检验尺度应放宽，则可取大一些，如0.1 等。 在严格分析、进一步确认时， 值可取小一些，如取 0 . 01 等。
第二节 单因素析因实验
单因素析因实验 —
在一项实验中，其它因素维持不变, 只改变一个因 素的水平, 考察这一个因素对实验结果影响是否显 著。
Excel 2003 加载宏 工具--数据分析--方差分析—单因素方差分析 Excel 2007 加载宏 数据-- 数据分析，点击数据分析
Excel在分析工具中直接给出了“方差分析宏来 实现单因素、多因素（有交互作用、无交互作用） 方差分析。 具体操作步骤为： [数据分析]，选择[方差分析：单因素方差分析]
这里介绍原理
1、总变差的平方和分解
如果各组观测值数目均为n，分解为
i=I,2…,p。表示i因素不同水平平均 值相对于总平均值的波动。波动越大， 平方和越大，说明该因素水平变化时 引起的结果变化大，即对结果影响大。 组内变差 xit 组间变差
用F 检验判断是否显著。 F 分布表，见附录 V - 1 ，p202
F(n1,n2)> Fα(n1,n2) n1 = fa n2 = fe
置信水平与显著性水平的关系
置信水平和置信度是一样的，变量落在置信区间 的可能性，“置信水平”就是相信变量在设定的 置信区间的程度，是个0~1的数，用1-α表示。 显著性水平α：变量落在置信区间以外的可能性， “显著”就是与设想的置信区间不一样，用α表 示。 显著性水平与置信水平的和为1。
置信度越高，显著性水平越低，代表假设的可靠 性越高，越好。
二、 总结F 检验步骤 1 ．由观测值 计算各种方差： 按（ 6 - 9 ）式算出观测值的 F 值。
单因素方差分析计算 Q 值可采用简化公 式表 6 - 3 。
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第四节 析因设计与方差分析 1. 基本概念 完全随机设计 ( 单因素 ) 随机区组设计 ( 两因素 , 无重复 )
拉丁方设计 ( 三因素 , 无重复 )
析因设计 ( 两因素以上 , 至少重复 2 次以上 )
析因设计的意义 在评价药物疗效时， 除需知道 A 药和 B 药各剂量的疗效外 （主效应），还需知道两种药同时使用的协同疗效。 析因设计及相应的方差分析能分析药物的单独效应、主效应和交互效应。例： A 因素 食物中蛋白含量 ; B 因素 食物中脂肪含量 A 因素 缺乏 (a1) 正常 (a2)
B 因素 缺乏 (b1) a1b1 a2b1 正常 (b2) a1b2 a2b2
B A 平均 a2-a1 a1 a2 b1 30 32 31 2 b2 36 44 40 8 平均 33 38 35.5 5
b2-b1 6 12 9
(1) 单独效应 : 在每个 B 水平 , A 的效应。或在每个 A 水平， B 的效应。 (2) 主效应：某因素各水平的平均差别。 (3) 交互效应：某因素各水平的单独效应随另一因素水平变化而 变化，则称两因素间存在交互效应。如果 ( ab 0 ) ( a 0 ) ( b 0 ) ，存在交互效应。
如果 如果 (
( ab 0 )
(
ab 0 ) (
a 0 ) ( b 0 ) ，协同作用。
a 0 ) ( b 0 )
，拮抗作用。
45 45
43 b1 43 b1 b2
b2
41 41
39 39 37 37
35 35
33 33
31 31 29 29
27 27
25 25 a1 a2 a1 a2 如果不存在交互效应，则只需考虑各因素的主效应。 在方差分析中， 如果存在交互效应， 解释结果时， 要逐一分析各因素的单独效应，找出最优搭配。 在两因素析因设计时，只需考虑一阶交互效应。三因素以上时， 除一阶交互效应外， 还需考虑二阶、 三阶等高阶交互效应， 解释将更复杂。
析因设计的优点： 用相对较小样本，获取更多的信息， 特别是交互效应分析。 析因设计的缺点： 当因素增加时， 实验组数呈几何倍数增加。 实际工作中部分交互效应， 特别是高阶交互效应可以根据临床知识排除，这时可选用正交设计。
2. 析因设计与结果的方差分析 (1) 实验设计 设有 k 个因素，每个因素有 L1, L 2, ⋯, L k 个水平，那么共有 G= L1× L2×⋯× Lk 个处理组。
例如有三个因素，分别是 A，B，C。A 因素有两水平， B 因素有 3 水平和 C 因素有 2 水平，则共有 G=2×3× 2=12 个处理组。大家可以自己回去将这 12 种组合排列出来。
确定了处理组数后， 将实验对象分配到各组的方法可以采用完全随机设计、随机区组设计或拉丁方设计。 注意：析因设计的基本要求，各组例数相等，每组例数必须 2 例以上。 (2) 析因设计资料的方差分析 第一步：与一般的方差分析一样， 将总变异分离成组间变异和组内变异。如果是随机区组设计还需从组内变异分离出单位组间变异和误差变异。 方差来源 DF SS MS
总变异 (T) N-1
X
2
C
组间变异 (B) G-1 1 / r Tk2 C SSB/(G-1)
组内变异 (E) N-G SST-SSB SSE/(N-G)
k ⋯,G) 为各处理组观察值小计， r 为各处理组例数， T (k=1,2,
C=(Σ X)2/N
第二步：将组间变异分解出主效应项和交互效应项， 以两因素析因设计为例， i 和 j 分别是因素 A 和因素 B 的水平数， Ai 和 Bj 分别是各水平观察值的小计。 方差来源 DF SS MS F 主效应 A i-1
B j-1 1
2
C
SS(A) /df
rj Ai
1 B2j C SS(B) /df ri
a MS(A) /MSE b MS(B) /MSE 交互效应 (i-1)(j-1) SS-SS -SS SS /df MS /MS AB
ab B(A) (B) (AB) (AB) E 两个因素以上的析因设计，计算原理类似，但手工计算较繁琐。
当有计算机后和统计软件的帮助后， 已完全没必要手工计算。 但是掌握变异来源分解的基本思想很重要， 应该将哪项变异作为误差项，如何解释结果都与此有关。 下面用实例介绍计算过程： A(缝合方法) 外膜缝合(a 1) 束膜缝合 (a 2) 总计
B(缝合时间) 1 月 (b 1) 2 月(b 2) 1 月 (b 1) 2 月(b 2) 1 10 30 10 50 2 10 30 20 50 3 40 70 30 70 4 50 60 50 60 5 10 30 30 30 740 T 120 220 140 260
k Σx2 4400 11200 4800 14400 34800
C=(740) 2/20=27380 方差分析表 SS DF MS F P T 7420 19 B 2620 3 873.3 2.911 >0.05 E 4800 16 300 A1=120+220=340, A2=400, B1=260, B2=480 A 180 1 180 0.60 >0.05 B 2420 1 2420 8.07 <0.05 AB 20 1 20 0.07 >0.05 结论：缝合时间（ B）的主效应有统计学意义，即
x B1 (120 140 ) / 10 26 x B 2 ( 220 260 ) / 10 48 B 的主效应 =48-26=22。
第五节 裂区设计与结果的方差分析 (1) 基本概念 裂区设计与一般析因设计的区别在于每种处理因素分别作用于 不同级别的实验单位。 如眼科实验中， 兔子为一级实验单位， 每只兔子的两只眼睛为二级实验单位。 当处理因素分别作用于一级实验单位和二级实验单位时，称裂区设计。
如果将作用于二级实验单位的处理因素称为二级处理， 作用于一级实验单位的处理因素称为一级处理。 显然前者为区组设计， 后者为完全随机设计， 两种处理的设计精度不同。 因此又称这类设计为不完整析因设计。
一般在设计时，常选最感兴趣的主要研究因素为二级处理因素或出于区组的限制，选水平数少的研究因素为二级处理因素 (2) 实验设计方法 设一级处理因素有 i 个水平，二级处理因素有 j 个水平。一级实验单位的分配方式可采用完全随机设计或随机区组设计形式， 一般是前者。设各一级处理组有观察单位数 r 。 然后按随机区组设计的方法将二级处理的各水平随机分配给二级单位。 10 只家兔随机分两组 (i=2) ，一组给抗毒素，另一组给生理盐水 (A) 。每只家兔取甲、乙两部位 (j=2) ，甲部位给低浓度毒素，乙部位给高浓度毒素 (B) 。结果见下表： 表 12.27 家兔皮肤损伤直径 (mm) 药物 A 编号 毒素浓度 B 小计 Uk
低浓度 (b1) 高浓度 (b2)
抗毒素 1 15.75 19.00 34.75
(a1) 4 15.50 20.75 36.25 6 15.50 80.25 18.50 98.75 34.00 179.0 7 17.00 (T 1) 20.50 (T 2) 37.50 (A 1) 10 16.50 20.00 36.50 生理盐水 2 18.25 22.25 40.50
(a2) 3 18.50 21.50 40.00 5 19.75 98.75 23.50 115.75 43.25 214.5 8 21.50 (T 3) 24.75 (T 4) 46.25 (A 2) 9 20.75 1 23.75 44.50
合 计 179.00(B1) 214.50(B2) 393.50
(3) 裂区设计结果的方差分析基本思想 处理组间 (A) 一级单位 总变异 (T 1) 区组间
ΣU2-C 误差 (E1)
总变异 (T) Σ X2-C 处理组间 (B)
二级单位 总变异 (T 2) 交互效应 (AB)
SST-SST1 误差 (E2)
与析因设计方差分析相似， 裂区设计方差分析的过程可分成两步
第一步：一级处理因素的方差分析 完全随机设计的方差分析表 方差来源 DF 总(T 1) ri-1
一级处理 (A) i-1
SS MS F 1 U k2 C j
1 A i2 C SSA/(i-1) MSA/MSE1
rj