信号与系统公式总结
信号与系统-公式
r 2
C1k C0
k
j
Z域 尺度变换
z ak f k F , a z a a
k m f k z
f k k m
1,2 a jb
e j
k C cos k D sin k 或A k cos k , 其中Ae
z
1
km
Pm k Pm 1k
m r m
m 1
m 1
Pk P0 1
k Pm k Pm 1k
Pa
k
k
Pk P0 1
时域积分
f
1
t F 0
F j j
不等于特征根时 等于特征单根时
t
尺度变换
f at
1 a
F j
a
F j
1,2 j
C cos t D sin t 或A cos t , 其中Ae
j
C jD
时移特性
f t t0 e
jt0
r 重共轭复根
r 1 r 2 Ar 1t cos t r 1 Ar 2t cos t r 2
t A0t r 2 cos t 0 e
频移特性
f t e
j0 t
F j 0
微分方程 激励 f t
微分方程 特征根 单实根
不同特征根所对应的齐次解 齐次解
yh t
对称性
傅里叶变换的性质
时域f t F j 频域 F jt 2 f
信号与系统公式全集
x[n] real
x[n] real and even x[n] real and odd xe [n] = Ev{x[n]} [x[n] real] xo [n] = Od{x[n]} [x[n] real] Parseval’s Relation for Periodic Signals 1 |x[n]|2 = |ak |2 N
x(t) real
x(t) real and even x(t) real and odd xe (t) = Ev{x(t)} [x(t) real] xo (t) = Od{x(t)} [x(t) real]
1 1 ak = ak jk (2π/T ) jkω0 ∗ ak = a−k ℜe{ak } = ℜe{a−k } ℑm{ak } = −ℑm{a−k } |ak | = |a−k | < ) ak = −< ) a−k ak real and even ak purely imaginary and odd ℜe{ak } j ℑm{ak }
n= N k= N
(1 − e−jk(2π/N ) )ak 1 ak − (1 − e jk(2π/N ) ) ak = a∗ −k ℜe{ak } = ℜe{a−k } ℑm{ak } = −ℑm{a−k } |a | = |a−k | k < ) ak = −< ) a−k ak real and even ak purely imaginary and odd ℜe{ak } j ℑm{ak }
x[r ]y [n − r ] x[n]y [n] x[n] − x[n − 1]
n
Multiplication First Difference Running Sum
考研信号与系统公式分类与汇总(最实用版)
S域 微分 时域 积分 S域 积分
tf (t) (−t)n f (t) ↔ − F ′(s) d n F (s) ds n
∫t f (x)dx ↔ F (s) + f (−1) (0− )
−∞
s
s
∫ f (t) ↔
∞
F (η)dη
t
s
频移
尺度 变换 反转 时域 卷积
时域 差分
Z域 微分 部分 求和 Z域 积分
频域 卷积 时域 差分 频域 微分 时域 累加
∫ f1 (k )
f 2 (k )
↔
1 2π
2π F1(e jψ )F2 (e j(ψ −θ ) )dψ
f (k) − f (k −1) ↔ (1− e jθ )F (e jθ )
kf (k) ↔ j dF (e jθ ) dθ
∑ ∑ ∞ f (k)
k =−∞
af1 (k) + bf 2 (k) ↔ aF1 (z) + bF2 (z)
时移
f (t ± t0 ) ↔ e±st0 F (s)
时移
f (k ± m) ↔ z ±m F (z) （双边）
离散傅里叶变换
∞
∑ F (e jθ ) = f (k)e− jθk k =−∞
∫ f (k) = 1 F (e jθ )e jθkdθ
连续傅里叶变换
∫ F ( jω) = ∞ f (t)e − jωt dt −∞
∫ f (t) = 1 ∞ F ( jω)e jωt dω 2π −∞
线性 时移
af1(t) + bf2 (t) ↔ aF1( jω) + bF2 ( jω) f (t ± t0 ) ↔ e± jωt0 F ( jω)
信号与系统7_梅森公式的证明及应用
梅森公式的推导
• 定理7 设Aij是行列式|A|中aij 余因式，则当 ij时，Aij= Pk△k 式中Pk是从节点i到j的第K条路的传输。△k 是不接触从i到j的第K条路的图行列式。他 是在图G中取掉Pk的所有节点和这些节点所 关联的支路后按（1-42）式算出的图行列 式。 表示所有可能的从节点i到j的路求和。
梅森公式注意事项
注意：
梅森公式只能求系统的总增益，即输出对输入的增益。而输出 对混合节点（中间变量）的增益就不能直接应用梅森公式。也 就是说对混合节点，不能简单地通过引出一条增益为一的支路， 而把非输入节点变成输入节点。对此问题有两种方法求其传递 函数：
一、把该混合节点的所有输入支路去掉，然后再用梅森公式。
•梅森公式的推导
定义下列矩阵
• 分支矩阵B
B是一个节点-支路关联矩阵。行对应于节点，列
对应于支路。
B=[bij]，bij={ 1，若支路j的起点是i }
0，
否则
因为每条支路只能有一个起点，故每列只能有一 个元素为1。
• 汇总矩阵S
S也是一个节点-支路关联矩阵。行对应于节点，
列对应于支路。
S=[sij]，sij={ 1，若支路j的起点是节点i }
二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递 函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的 传递函数。
mk e
于是传递函数为
(s) C(s) 2
bde f (1 m dl) bg
R(s) R 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
分析上式可以看到，传递函数的分子和分母取决于方 程组的系数行列式，而系数行列式又和信号流图的拓扑结 构有着密切的关系。从拓扑结构的观点，信号流图的主要 特点取决于回路的类型和数量。而信号流图所含回路的主 要类型有两种：单独的回路和互不接触回路。
信号与线性系统分析总结
•两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其 和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。
总结
➢ 能量信号与功率信号
将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为| f (t) |2， 在区间(–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为
-2 -1 0 1 2 3 ki
总结
例2 f1(k) ={0， 2 ， 1 ， 5，0} ↑k=1
f2(k) ={0， 3 ， 4，0，6，0} ↑k=0
解:
3 ， 4， 0， 6
×—————2 ，——1 ，—5 15 ，20， 0， 30
3 ， 4， 0， 6 6 ，8， 0， 12 + ———————————— 6 ，11，19，32，6，30
总结
第二章 连续系统的时域分析
➢系统的时域求解，冲激响应，阶跃响应。
➢时域卷积： f1 (t) * f2 (t) f1 ( ) f2 (t )d
图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积 值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关
f1(-τ)
键。
f 1( τt )
2
f1(2-τ)
f1(t)、 f2(t)如图所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求f(2) =？
*
d
n f 2 (t dtn
)
t
t
t
[
f1
(
)
*
f 2 ( )]d
[
f1 ( ) d ] *
f 2 (t)
f1 (t) *[
信号与系统总结
信号与系统总结：1. 何为信号与系统，两者的关系基本信号：非奇异和奇异信号欧拉公式()t δ、()t u 、()t r 三者的相互关系以及对应离散域的相互关系四性判断（根据定义）：连续系统和离散系统2. 连续系统和离散系统分析研究对象：线性时不变系统系统特性描述：常微分方程 常系数差分方程单位冲激响应()t h 单位采样响应()n h系统函数()ωj H系统函数()ωj e H 系统函数()s H 系统函数()z H 幅频-相频特性零极点分布图信号框图/流图系统全响应=零输入响应+零状态响应=自有响应+强迫响应=暂态响应+稳态响应两类特殊的零状态响应：()t h 和()t s 之间的相互关系以及对应S 域的相互关系 离散系统上的类似关系三大变换的定义式，常见变换对，基本性质，正逆变换：F 变换，S 变换，Z 变换频域分析：理解全响应=零输入响应+零状态响应分别在时域和变换域上的数学解析式并加以利用求解。
常见滤波器类型，相关的时域和变换域表达式，幅频-相频特性曲线时域采样和频域采样的本质及相关数学表达式，无失真传输的条件（奈奎斯特采样定理）系统稳定性的等价条件及判定（连续系统：劳斯判据，离散系统：朱利判据） 卷积（连续系统：积分，离散系统：加和），会利用常见的性质计算简单的卷积。
电路S 域模型（串联-并联模型）激励为正弦函数时系统的稳态响应信号框图流图（系统函数-信号框图：只要求直接型，信号框图-系统函数：所有四种：直接，串联，并联，串并联）了解串联，并联，反馈这三种基本的网络，熟悉反馈的网络函数注：红色字体为重中之重，课本才是王道...。
信号与系统知识点总结
ejnt
n
系数 Fn 称为复傅里叶系数
Fn
1 T
T
2T f ( t ) e j n t d t
2
欧拉公式
cosx=(ejx + e–jx)/2 sinx=(ejx - e–jx)/2j
傅里叶系数之间关系
F n F n e jn
1A 2
n
e jn
1( 2
a
n
j
bn
)
Fn
1 2
a
2 n
b
2 n
而任意信号作用下的零状态响应yzs(t)
yzs(t) = h(t)*f(t) 用于系统分析的独立变量是频率，故称为频域分析。 学习 3 种变换域：频域、复频域、z 变换
⑴ 频域：傅里叶表变换，t→ω；对象连续信号
⑵ 复频域：拉普拉斯变换，t→s；对象连续信号
⑶ z 域：z 变换，k→z；对象离散序列
(t) ←→
def
F(s)
0
f (t )e std t
1
s s0 > -Re[s0] 2、指数函数e-s0t ε(t)←→
es0t(t) e e s0t st dt e(ss0)t dt 1
0
0
s s0
1
s s0 > Re[s0] 3、指数函数es0t ←→
4、(t)或 1 ←→1/s ，> 0
j2 j 2 2
sgn(t)
lim0 F
(j)lim02j22
2
j
7. 阶跃函数
e (t)
1
(t) 1 1 sgn(t) () 1
22
j
0t
1,
sgn(t)
信号与系统带通采样公式
信号与系统带通采样公式
带通采样公式是用于将连续时间信号限制在一定频率范围内进行抽样，以便得到离散时间信号的公式。
具体公式如下：
设连续时间信号为x(t)，带通信号的频率范围为f1到f2，在
带通频率范围内进行抽样，采样频率为fs，抽样后得到的离散时间信号为x[n]。
带通采样公式为：
x[n] = x(n*T)
其中，T为采样周期，T = 1/fs。
带通抽样定理表述为：如果一个连续时间信号的带宽有限，且最高频率分量为fmax，那么为了能够完全恢复原始信号，需
要满足采样频率fs >= 2*fmax。
带通采样的原理是通过在一定频率范围内进行抽样，将连续时间信号离散化，然后通过还原滤波器对离散时间信号进行滤波，以恢复原始信号。
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信号与系统公式总结
信号与系统是电子信息类专业中非常重要的一门课程，它是基于数学和工程学原理的理论与实践的结合。
信号与系统公式总结作为这门课程的核心内容，在学习和应用中起着重要的作用。
下面将对信号与系统中的常用公式进行总结，以供参考。
一、信号及其表示公式
1. 常数信号: x(t) = A (常数值 A)
2. 常函数信号: x(t) = A, t∈[t1, t2]，否则 x(t)=0，其中 t1<t<t2
3. 正弦信号: x(t) = A*sin(ωt+θ)，其中A为振幅，ω为角频率，θ为初相位
4. 余弦信号: x(t) = A*cos(ωt+θ)，其中A为振幅，ω为角频率，θ为初相位
5. 单位阶跃信号: u(t) = 1，t≥0，否则 u(t) = 0
6. 单位冲激信号: δ(t) = 0，t≠0，否则δ(t) = ∞
二、信号运算公式
1. 平移公式: y(t) = x(t-T) (平移单位为 T，右移 T 为正，左移 T 为负)
2. 缩放公式: y(t) = A*x(a*t) (缩放比例为 a，若 a>1，信号变化
幅度增大；若0<a<1，信号变化幅度减小)
3. 均值公式: RMS = sqrt((1/T)*∫(x(t)^2)dt) (T为时间区间，x(t)
为信号函数)
4. 线性运算公式: y(t) = a*x(t) + b*y(t) (y(t)表示输出信号，x(t)
表示输入信号，a和b为常数)
5. 卷积公式: y(t) = ∫[x(τ)*h(t-τ)]dτ (卷积公式是时间域中输入信
号和系统响应的乘积积分，表示系统的输出)
三、系统性质与稳定性公式
1. 线性性质: L(a*x1(t)+b*x2(t)) = a*L(x1(t)) + b*L(x2(t)) (x1(t)
和x2(t)为输入信号，a和b为常数，L()表示对信号进行线性
处理)
2. 时不变性质: 若输入信号延时 T 后输出信号也延时 T，即 y(t) = L{x(t)}，则 y(t-T) = L{x(t-T)}
3. 稳定性性质: 若输入信号 x(t) 有界，输出信号 y(t) 也有界，
则系统是稳定的。
四、常用变换公式
1. 傅里叶级数展开公式: x(t) = ∑[Cn*e^(jnω0t)] (Cn为复数系数，ω0为角频率，n为谐波次数)
2. 傅里叶变换公式: X(ω) = ∫[x(t)*e^(-jωt)]dt (X(ω)表示输出信
号的频域表示，x(t)为时域表示)
3. 反傅里叶变换公式: x(t) = ∫[X(ω)*e^(jωt)]dω (x(t)为时域信号，X(ω)为频域信号)
4. 拉普拉斯变换公式: X(s) = ∫[x(t)*e^(-st)]dt (X(s)表示拉普拉斯变换后的频域表示，x(t)为时域表示)
5. 反拉普拉斯变换公式: x(t) = (1/2πj)∫[X(s)*e^(st)]ds (x(t)为时
域信号，X(s)为频域信号)
五、系统传递函数及频域公式
1. 系统传递函数: H(s) = (Y(s)/X(s)) (H(s)表示系统的传递函数，Y(s)和X(s)分别为输出信号和输入信号的拉普拉斯变换)
2. 傅里叶变换求频域响应: Y(ω) = H(jω)*X(ω) (Y(ω)为输出信
号的频域表示，H(jω)为系统的复频域响应，X(ω)为输入信号
的频域表示)
3. 拉普拉斯变换求频域响应: Y(ω) = H(jω)*X(ω) (Y(ω)为输出
信号的频域表示，H(jω)为系统的复频域响应，X(ω)为输入信
号的频域表示)
六、离散时间信号及其变换公式
1. 离散时间序列: x(n) = [x(t)](t=nT) (x(n)表示离散时间信号，
x(t)为连续时间信号，T为采样周期)
2. Z变换公式: X(z) = ∑[x(n)*z^(-n)] (X(z)表示离散时间信号的
Z变换，x(n)为时域表示，z^n为复变量)
3. 反Z变换公式: x(n) = (1/2πj)∮[X(z)*z^(n-1)]dz (x(n)为时域
信号，X(z)为频域信号，∮表示逆变换路径积分)
以上是信号与系统中的一些常用公式总结，涉及了信号的表示、运算、系统性质、稳定性、变换以及频域响应等方面的内容。
对于信号与系统的学习和应用具有很大的帮助，希望对您有所帮助。