圆的基本性

A O

D

B

C

A

O

圆的基本性质讲义

1.圆的基本概念

定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个

端点A 所形成的图形叫做圆。固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；

圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离

等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）； 以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”

2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

3.直径：经过圆心的弦叫直径。 注：圆中有无数条直径 4圆的对称性及特性：

(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴; (2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.

(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性

5.圆弧：

(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”

以A,B 两点为端点的弧.记作AB ?

,读作“弧AB”.

(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。如弧AD.

(3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ?

(用两个字母).

(4)大于半圆的弧叫做优弧,如记作A C B ?

(用三个字母).

6.垂径定理及其推论:

（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；

（2）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 垂径定理归纳为：一条直线，如果具有：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦

所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。这五条中可以“知二推三”

7.垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 8.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角；

9.圆周角：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角； 10.弦心距：过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离. 11.弧﹑弦﹑圆心角之间的关系

（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

（2）在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,如果有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

12.圆周角定理及其推论

（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半；

（2）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。

例题讲解

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及其推论

例1：下列命题正确的是（ ）

A 、过弦的中点的直线平分弦所对的弧

B 、平分弦的直径垂直于弦

C 、弦所对的两条弧中点的连线必为圆的直径

D 、过圆心的直线必垂直平分弦 例2、已知，如图，在⊙O 中， AB O

E ⊥于E ，CD O

F ⊥于F ，OE=OF 。求证：D B C A =

点与圆的位置关系：

例1、过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于 cm ．

例2、平面上有一个点到⊙O 的圆周上的最小距离为6cm ，最大距离为8cm ，则⊙O 的半径为_______

例3、直线l 和⊙O 相交于A 和B ，点O 到直线l 的距离是2cm ，0

45=∠OAB 。若OM=

2

2cm,

cm ON 22= ，cm OP 32=，则点M 在⊙O ______；点N 在⊙O ______；点P

在⊙O ________

垂径定理：

例1、等腰ABC ?内接于半径为10cm 的圆内，其底边BC 的长为16cm ，则ABC S ?( )

A 、322cm

B 、1282cm

C 、322cm 或80 2cm

D 、322cm 或1282cm

例2、一条弦把一条直径分成2cm 和6cm 两部分，若此弦与直径相交成030角，则该弦的

弦心距为_____________

例3、已知⊙O 的半径是5cm ，点P 满足PO=3cm ，则过P 的最大弦长为_________ 最小弦长为_________

⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB=24cm ，CD=10cm ，求AB 和CD 的距离。

补充例题讲解

1、下列命题中正确的是( )

A ．平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

B ．弦所对的两条弧的中点的连线必垂直平分弦

C ．若两段弧的度数相等，则它们是等弧

D ．弦的垂线必平分弦 2、下面四个命题：①直径是弦；②经过三点一定可以做一个圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤等弧所对的圆周角相等；⑥等弦所对的圆周角相等。⑦等弦所对的弦心距相等；⑧等圆心角所对的弧相等。 不正确的有 。

3、如图，DE 是⊙O 直径，弦AB ⊥DE ，垂足为C ，若AB ＝6，CE ＝1，则CD ＝________，OC ＝_________．

4、如图，A B 是O 的直径，C D 是O 的弦，D A B ∠=48?,则A C D ∠= ?．

O F

E D

C

B

A

5、若⊙O中一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角的度

数为________________

6．如下图，

(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；

线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；_____ _是劣弧；__ ____是半圆．

(2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．

7．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．

(1)求证：∠AOC=∠BOD；

(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．

8．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，

求∠C及∠AOC的度数．

9、已知：如图，△ABC，试用直尺和圆规

画出过A，B，C三点的⊙O．

10、下列命题中正确的是( )

A ．平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

B ．弦所对的两条弧的中点的连线必垂直平分弦

C ．若两段弧的度数相等，则它们是等弧

D ．弦的垂线必平分弦 2、下面四个命题：①直径是弦；②经过三点一定可以做一个圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤等弧所对的圆周角相等；⑥等弦所对的圆周角相等。⑦等弦所对的弦心距相等；⑧等圆心角所对的弧相等。不正确的有 。

11、如图，DE 是⊙O 直径，弦AB ⊥DE ，垂足为C ，若AB ＝6，

CE ＝1，则CD ＝________，OC ＝_________．

12、如图，A B 是O 的直径，C D 是O 的弦，D A B ∠=48?,则A C D ∠= ?．

13、若⊙O 中一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角的度数为_________________ 14、已知两圆的直径分别为m+n 和m-n ，如果他们的圆心距为n 则，两圆的位置关系是____________

15、半径是6cm 和4cm 的两圆，如果圆心距是20cm ，则两圆外公切线长是________cm 。 16、已知圆O 经过圆A 的圆心A 点，并且与⊙A 相切于B 点，若圆O 的面积是16cm 2.则圆A 的面积是_______________

17、相交两个圆的半径分别是41cm 和15cm ，若两圆的公共弦长等于18cm ，则两圆的圆心 18、如图，三个半径是12cm 的等圆两两相切，求阴影部分的面积和周长，（结果保留π）

19、如图，半径是3和5的⊙1O 和⊙2O 内切于P 点，12PO O 的延长线交⊙2O 于A 点，交

y

x

?

O

P A ⊙1O 于B 点，弦CD 是⊙1O 的切线，切点是B ，求1O

A 和弦CD 的长。

练习：

课外作业

一、填空题：

1．如图，A B 是⊙O 的直径，弦C D A B ⊥于E ，如果10A B =，8CD =，那么A E 的长为 ．

2、在半径为5的圆中，?30的圆心角所对弧的弧长为 （结果保留π）

3、已知⊙1O 和⊙2O 的半径分别为3cm 和5cm ，且它们相切，则圆心距=21O O cm ．

4、如图，AB 是圆O 的直径，2=AB ，弦3=AC ，若D 为圆上一点，且1=AD ，则=

∠D

A C

度．

5．如图，⊙O 的半径是10cm ，弦AB 的长是12cm ，OC 是⊙O 的半径且O C A B ⊥，垂足

为D ，CD =__________cm.

（4）

（5） （7）

C

B

E

·

O A

D

C

A O

B

6．相交两圆的公共弦长为16cm ，若两圆的半径长分别为10cm 和17cm ，则这两圆的圆心距为 ．

7. 如图，在平面直角坐标系中点()3,4P ，以P 为圆心，PO 长为半径作⊙P ，则⊙P 截x 轴所得弦OA 的长是_______.

8．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°,AB = 8，如果以点C 为圆心的圆与边AB 相切，那

么⊙C 的半径长等于_________．

9．两个圆的半径分别是8cm 和x cm ，圆心距为5cm ，如果两圆内切，则x 的值是 cm ． 10．⊙O 的直径为10，⊙O 的两条平行弦8=AB ，6=CD ，那么这两条平行弦之间的距离是________________． 11．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =5，BC =8，如果以点C 为圆心作圆，使点A 在圆C 内，

点B 在圆C 外，那么圆C 半径r 的取值范围为 .

12．已知圆1O 与圆2O 相切，圆1O 的半径长为3cm ，21O O =7cm ，那么圆2O 的半径长是

cm .

13.已知圆O 的半径为1，点P 到圆心O 的距离为2，过点P 引圆O 的切线，那么切线长是______.

14.在中国的园林建筑中，很多建筑图形具有对称性。图2是一个破损花窗的图形，请把它

补画成中心对称图形。

15．在圆O 中，弦A B 的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径O A = ． 二、选择题

1.在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条 直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”。由此说明：（ ） （Ａ）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；

（Ｂ）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；

（Ｃ）圆的直径互相平分； （Ｄ）垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧

2．如图一，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为……（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

3．如图二，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm 2

，则该半圆的半径为………（ ）．

A ．(45)+

cm B ．9 cm

A

O B

M

（图一

（图

B

C D

A

C ．45cm

D ．62cm

4. 如图，在梯形ABCD 中，3,4,2,1====DA CD BC AB CD AB ，∥，则分别以AD 、BC 为直径的⊙P 与⊙Q 的位置关系是（ ）

A. 外离

B. 外切

C. 相交

D. 内切