中考数学函数经典试题集锦(含答案)

2a , 4a ) ） )

得 ??-1 + b + c = 0

2 2

2 2 2 c = 5

解这个方程组，得 ? = = ? 2 ? (9 + 5) = 14 ， S = ? 5 ? 5 =

中考数学函数经典试题集锦

1、（2006 重庆）已知： m 、n 是方程 x 2 - 6 x + 5 = 0 的两个实数根，且 m < n ，抛物线 y = - x 2 + bx + c 的图像

经过点 A( m ,0 )、B( 0，n ).

(1) 求这个抛物线的解析式；

(2) 设（1）中抛物线与 x 轴的另一交点为 C,抛物线的顶点为 D ，试求出点 C 、D 的坐标和△BCD 的面积；（注：

抛 物 线 y = a 2 x +

b +x (a ≠

c 0 的 顶 点 坐 标 为

(- b 4ac - b 2

(3) P 是线段 OC 上的一点，过点 P 作 PH ⊥ x 轴，与抛物线交于 H 直线 BC 把△PCH 分成面积之比为 2：3 的两部分，请求出 P 点 标.

[解析] （1）解方程 x 2 - 6 x + 5 = 0, 得 x = 5, x = 1

1 2

由 m < n ，有 m = 1,n = 5

所以点 A 、B 的坐标分别为 A （1，0）,B （0，5）.

将 A （1，0）,B （0，5）的坐标分别代入 y = - x 2 + bx + c .

?b = -4 ? ?

c = 5

所以，抛物线的解析式为 y = - x 2 - 4 x + 5

（2）由 y = - x 2 - 4 x + 5 ，令 y = 0 ，得 - x 2 - 4 x + 5 = 0

解这个方程，得 x = -5, x = 1

1 2

所以 C 点的坐标为（-5，0）.由顶点坐标公式计算，得点 D （-2，9）. 过 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于 M.

则 S 1 ? 9 ? (5 - 2) = 27

?DMC S 1 1 25

梯形MDBO ?BOC 点，若 的 坐

所以， S

?BCD = S 梯形MDBO + S

?DMC - S ?BOC = 14 + 27 2 - 25

2 = 15 .

（3）设 P 点的坐标为（ a, 0 ）

因为线段 BC 过 B 、C 两点，所以 BC 所在的值线方程为 y = x + 5 .

那么，PH 与直线 BC 的交点坐标为 E (a, a + 5) ，

?b = 110

?

PH 与抛物线 y = - x 2 - 4 x + 5 的交点坐标为 H (a, -a 2 - 4a + 5) .

由题意，得① EH = 3 3

EP ，即 (-a 2 - 4a + 5) - (a + 5) = (a + 5)

2 2

3

解这个方程，得 a = - 或 a = -5 （舍去）

2

2 2

② EH = EP ，即 (-a 2 - 4a + 5) - (a + 5) = (a + 5)

3 3

2

解这个方程，得 a = - 或 a = -5 （舍去）

3

3 2

P 点的坐标为 (- ,0) 或 (- ,0) .

2 3

2、（2006 黑龙江鸡西）某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加工过程：

加工过程中，当油箱中油量为 10 升时，机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复．已 知机器需运行 185 分钟才能将这批工件加工完．下图是油箱中油量 y(升)与机器运行时间 x(分)之间的函数图 象．根据图象回答下列问题：

(1)求在第一个加工过程中，油箱中油量 y(升)与机器运行时间 x(分)之间的函数关系式(不必写出自变量 x

的取值范围)；

(2)机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止? (3)加工完这批工件，机器耗油多少升?

[解析] (1)设所求函数关系式为 y=kx+b ．

由图象可知过(10，100)，(30，80)两点，

得 ?10k + b = 100

?30k + b = 80

?k = -1

解得 ?

∴ y=-x+llO

(2)当 y=10 时，-x+110=10，x=100

机器运行 100 分钟时，第一个加工过程停止

(3)第一个加工过程停止后再加满油只需 9 分钟 加工完这批工件，机器耗油 166 升

3、（2006 北京海淀）已知抛物线 y = x 2 - 2 x + c 的部分图象如图 1 所示。

1

图1图2

（1）求c的取值范围；

（2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线y=x2-2x+c的解析式；

1

（3）若反比例函数y=

2

k

x的图象经过（2）中抛物线上点（1，a），试在图2所示直角坐标系中，画出该

反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较y与y的大小。

12

[解析]（1）根据图象可知c<0

且抛物线y=x2-2x+c与x轴有两个交点

1

所以一元二次方程x2-2x+c=0有两个不等的实数根。

所以?=

(-2)2-4c=4-4c>0，且c<0

所以c<1

（2）因为抛物线经过点（0，-1）

把x=0，y=-1代入y=x2-2x+c

11

得c=-1

故所求抛物线的解析式为y=x2-2x-1

1

（3）因为反比例函数y=

2

k

x的图象经过抛物线y=x2-2x-1上的点（1，a）

1

把x=1，y=a代入y=x2-2x-1，得a=-2

11

把x=1，a=-2代入y=

2

-2

所以y=x

2

k

x，得k=-2

1 2

所在抛物线的解析式为 y = - x + 8 ，BC 所在抛物线的解析式为 y = ( x - 8) 2 ，且已知 B(m , 4) ．

( x - 16) 2 ．试求索道的最大悬空高度．

画出 y = 2 -2 x

的图象如图所示。

观察图象， y 与y 除交点（1，-2）外，还有两个交点大致为 (-1，

2)和 (

2 ， - 1)

1

2

把 x = -1，y = 2 和 x = 2，y = -1分别代入 y = x 2 - 2 x - 1 和 y = 2 2 1 2 (-1， 2)和 (2 ， - 1)是 y 与y

2 的两个交点

1

根据图象可知：当 x < -1 或 0 < x < 1 或 x > 2 时， y > y

1

2

当 x = -1或x = 1或x = 2 时， y = y

1

2

当 -1 < x < 0或1 < x < 2 时， y > y

2

1

-2 x

可知，

4、（2006 浙江嘉兴）某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测，迎面山坡线ABC 由同一平面内的两 段抛物线组成，其中 AB 所在的抛物线以 A 为顶点、开口向下，BC 所在的抛物线以 C 为顶点、开口向上．以过山 脚（点 C ）的水平线为 x 轴、过山顶（点 A ）的铅垂线为 y 轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．已知AB

1

4 4

（1）设 P( x , y) 是山坡线 AB 上任意一点，用 y 表示 x ，并求点 B 的坐标；

（2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20 厘米，长度因坡度的大小而定，

但不得小于 20 厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）． ①分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米）； ②这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？

（3）在山坡上的 700 米高度（点 D ）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道的起点选择在山脚水平

线上的点 E 处， OE = 1600 （米）．假设索道 DE 可近似地看成一段以 E 为顶点、开口向上的抛物线，解析

式为 y =

1

28

．．

长度

y

A

高度

7

D

4

B

上山方向O m C E x

[解析]（1）∵P(x,y)是山坡线AB上任意一点，

∴y=-1

x2+8，x≥0，4

∴x2=4(8-y)，x=28-y

∵B(m,4)，∴m=28-4＝4，∴B(4,4)

（2）在山坡线AB上，x=28-y，A(0,8)

①令y=8，得x=0；令y=8-0.002=7.998，得x=20.002≈0.08944

0011

∴第一级台阶的长度为x-x=0.08944（百米）≈894（厘米）

10

同理，令y=8-2?0.002、y=8-3?0.002，可得x≈0.12649、x≈0.15492

2323

∴第二级台阶的长度为x-x=0.03705（百米）≈371（厘米）

21

第三级台阶的长度为x-x=0.02843（百米）≈284（厘米）

32

②取点B(4,4)，又取y=4+0.002，则x=2 3.998≈3.99900

∵4-3.99900=0.001<0.002

∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚

（注：事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到700米高度，共500级．从100米高度到700米高度都不能铺设这种台阶．解题时取点具有开放性）

②另解：连接任意一段台阶的两端点P、Q，如图

∵这种台阶的长度不小于它的高度

∴∠PQR≤45?

当其中有一级台阶的长大于它的高时，

∠PQR<45?

在题设图中，作BH⊥OA于H

则∠ABH=45?，又第一级台

阶的长大于它的高

∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺y

7

P

R Q

A

D

到山脚（3）4B

上山方向O4C E x

由图可知，只有当索道在BC上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值

．．1

索道在BC上方时，悬空高度y=

=1320

2时，y

max

=

800

．．

?0=a+b+3

D(2,7)、E(16,0)、B(4,4)、C(8,0)

．．

1

(x-16)2-(x-8)2

284

8

(-3x2+40x-96)=-(x-)+

141433

当x=208 33

∴索道的最大悬空高度为米．

3

5、如图14，抛物线E：y=x2+4x+3交x轴于A、B两点，

交y轴于M点。抛物线E关于y轴对称的抛物线F交x轴于

C、D两点。

⑴求F的解析式；

⑵在x轴上方的抛物线F或E上是否存在一点N，使以A、C

N、M为顶点的四边形是平行四边形。若存在，求点N坐标；

若不存在，请说明理由；

⑶若将抛物线E的解析式改为y=ax2+bx+c，试探索问题

⑵。

[解析]当y=0时，x2+4x+3=0，解得x1=－3，x2=－1，

∴A、B点坐标分别为（－3，0）、（－1，0）

当x＝0时，y＝3，∴M点坐标为（0，3），A、B、M三点关于y轴得对称点分别是D、C、M，∴D、C坐标为（3，0）、（1，0）

设F的解析式为y=ax2+bx+3

?0=9a+3b+3

?

∴a＝1，b＝－4

∴F的解析式为y=x2-4x+3

（2）存在。假设MN∥AC，∴N点的纵坐标为3。

若在抛物线F上，当y=3时，3=x2-4x+3，则x1=0，x2=4

∴N点坐标为(4，3)，∴MN=4，

由(1)可求AC=4，∴MN=AC，∴四边形ACNM为平行四边形。

根据抛物线F和E关于y轴对称，故N点坐标为(4，3)或(－4，3)

(3)存在。假设MN∥AC，∴N点的纵坐标为c。设y＝0，∴ax2+bx+c=0

-b±b2-4ac

∴x=，

2a

-b-b2-4ac-b+b2-4ac

∴A点坐标为(，0)，B点坐标为(，0)

2a2a

b-b2-4ac b

∴C点坐标为(，0)，∴AC=

2a a

在抛物线E上，当y=c时，c=ax2+bx+c，x1=0，x2=-b a

∴N点坐标为(-b a，0)

NM=0－(-b b

)=，∴NM=AC，∴四边形ACMN为平行四边形。

a a

b b

根据抛物线F和E关于y轴对称，故N点坐标为(-，c)或(，c)。

a a

6、（2006山东烟台）如图，已知抛物线L

1

:y=x2-4的图像与x有交于A、C两点

（1）若抛物线l

2与l

1

关于x轴对称，求l

2

的解析式；

（2）若点B是抛物线l

1

上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l

2

上；

（3）探索：当点B分别位于l

1

在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。

[解析]（1）设l

2

的解析式为y=a(x-h)2+k

∵l

2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l

1

与l

2

关于x轴对称，∴l

2

过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0，4）

∴y=ax2+4

∴0=4a+4得a=-1

∴l

2

的解析式为y=-x2+4

(2)设B(x

1

,y

1

)

∵点B在l

1

上

∴B(x

1

,x

1

2-4)

∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称

∴B、D关于O对称

∴D(-x

1

,-x

1

2+4).

将D(-x

1

,-x

1

2+4)的坐标代入l

2

：y=-x2+4

∴左边=右边

∴点D在l

2

上.

(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则

S=2*S

△ABC =AC*|y

1

|=4|y

1

|

a.当点B在x轴上方时，y

1

＞0

S t

?x = 4,

y = - x + 6,

? y = 4.

?

∴S=4y 1 ,它是关于 y 1 的正比例函数且 S 随 y 1 的增大而增大， ∴S 既无最大值也无最小值

b.当点 B 在 x 轴下方时，-4≤y 1＜0

∴S=-4y 1 ,它是关于 y 1 的正比例函数且 S 随 y 1 的增大而减小， ∴当 y 1 =-4 时，S 由最大值 16，但他没有最小值 此时 B(0,-4)在 y 轴上，它的对称点 D 也在 y 轴上. ∴AC ⊥BD

∴平行四边形 ABCD 是菱形 此时 S 最大=16.

7、（2006 吉林长春）某厂生产一种零件，每个成本为 40 元，销售单价为 60 元。该厂为了鼓励客户购买，决定 当一次购买零件超过 100 个时，多购买一个，全部零件的销售单价均降低 0.02 元，但不能低于 51 元。 （1）当一次购买多少个零件时，销售单价恰为 51 元？

（2）设一次购买零件 x 个时，销售单价为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式。

（3）当客户一次购买 500 个零件时，该厂获得的利润是多少？当客户一次购买 1000 个零碎件时，利润又是多少？ （利润 = 售价－成本） [解析]

（1）设当一次购买 x 个零件时，销售单价为 51 元，则

（x －100）×0.02 = 60－51， 解得 x = 550。

答：当一次购买 550 个零件时，销售单价为 51 元。

（2）当 0＜x ≤100 时， y = 60；

当 100＜x ≤550 时， y = 62－0.02x ； 当 x ＞550 时， y = 51。

（3）当 x = 500 时，利润为

（62－0.02×500）×500－40×500 = 6000（元）。

当 x = 1000 时，利润为 1000×（51－40）= 11000（元）。

答：当一次购买 500 个零件时，该厂获得利润为 6000 元；当一次购买 1000 个零件时，该厂获得利润 11000

元。

8、（2006 吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，两个函数 y = x, y = - 1

x + 6 的图象交于点 A 。动点 P 从点

2

O 开始沿 OA 方向以每秒 1 个单位的速度运动，作 PQ ∥x 轴交直线 BC 于点 Q ，以 PQ 为一边向下作正方形 PQMN ， 设它与△OAB 重叠部分的面积为 S 。 （1）求点 A 的坐标。

（2）试求出点 P 在线段 OA 上运动时， 与运动时间 （秒） 的关系式。 （3）在（2）的条件下，S 是否有最大值？若有，求出 t 为何值时，S 有最 大值，并求出最大值；若没有，请说明理由。

（4）若点 P 经过点 A 后继续按原方向、原速度运动，当 OAB 重叠部分面积最大时，运动时间 t 满足的条件是 [解析]

? y = x, ?

（1）由 ? 1 可得 ?

? 2

∴A （4，4）。

正方形 PQMN 与△ ____________。

则点P坐标为(

2

t=-

当12-

32

S=2

（2）点P在y=x上，OP=t，

2

t,t).

22

点Q的纵坐标为21

t，并且点Q在y=-x+6上。22

∴21

x+6,x=12-2t，22

即点Q坐标为(12-2t,2

2 t)。

PQ=12-32

t。

2

2

t=t时，t=32。

22

当0＜t≤32时，

323

t(12-t)=-t2+62t.

222

当点P到达A点时，t=42，

当32＜t＜42时，

S=(12-32

2

t)2

=9

2

t2-362t+144。

（3）有最大值，最大值应在0＜t≤32中，

333

S=-t2+62t=-(t2-42t+8)+12=-(t-22)2+12,

222

当t=22时，S的最大值为12。

（4）t≥122。

9、（2006临安）如图，△OAB是边长为2+3的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF.

（1）当A′E//x轴时，求点A′和E的坐标；

B

，0

，

??

1=-

y=-x2+3

x+1

?b=

3，函数关系式为

6

6

6

x2+

-

o

o

o,o，O

A o o

1

（2）当A′E//x轴，且抛物线y=-x2+bx+c经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；

6

（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由.

[解析]（1）由已知可得∠A，OE=60o,A，E=AE

由A′E//x轴△得OA，E是直角三角形，

设A，的坐标为（，b）

AE=A，E=3b,OE=2b

3b+2b=2+3

所以b=1，A、E的坐标分别是（，1）与（3，1）

（2）因为A、E在抛物线上，所以

?1=c

?

?1

6

(3)2+3b+c

?c=1

?1

所以?6

?

由-13

6

x+1=0得x

1

=-3,x

2

=23

与x轴的两个交点坐标分别是（3，0）与（23，0）

（3）不可能使A′EF成为直角三角形。

∵∠FA，E=∠FAE=60,若△A′EF成为直角三角形,只能是∠A，

FE=90

若∠A，EF=90,利用对称性则∠AEF=90,A、E、A三点共线，与A重合，与已知矛盾；

同理若∠，FE=90也不可能

所以不能使△A′EF成为直角三角形。

EF=90或∠A，