2018届苏教版(理) 数学归纳法 单元测试

专题11.4 数学归纳法1. 已知n 是正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设n=k(k≥2且为偶数)时命题为真,则还需证明_______． 【答案】n=k+2时命题成立【解析】因n 是正偶数,故只需证等式对所有偶数都成立,因k 的下一个偶数是k+2 2. 用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋112n ->12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取_______． 【答案】8【解析】左边＝1＋12＋14＋…＋112n -＝112112n --＝2－112n -，代入验证可知n 的最小值是8. 3. 用数学归纳法证明“()()()()12212321n n n n n n +⋅+⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅- ”，从“k 到1k +”左边 需增乘的代数式_______． 【答案】()221k +4. 若*111()1()2331f n n n =++++∈-N ，则对于*k ∈N ，(1)()f k f k +=+ ． 【答案】13k + 131k + +132k +【解析】由题知()f k =*1111()2331k N k ++++∈- ，(1)f k +=11112331k ++++- +13k + 131k ++13(1)1k +-*()k N ∈=11112331k ++++- +13k + 131k + +132k +*()k N ∈，所以(1)f k +=()f k +13k + 131k + +132k +. 5. 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”的第二步是____． 【答案】假设n ＝2k －1(k∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋1(k∈N *)正确【解析】因为n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题先假设n ＝2k －1(k∈N *)正确，再推第k ＋1个正奇数，即n ＝2k ＋1(k∈N *)正确．6. 已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111111122341242n n n n ⎛⎫-+-++=+++ ⎪-++⎝⎭ 时，若已知假设()2n k k =≥为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证_______． 【答案】2n k =+时等式成立【解析】由于n 为正偶数，已知假设()2n k k =≥为偶数，则下一个偶数为2n k =+. 7. 若f (x )＝f 1(x )＝x1＋x，f n (x )＝f n －1[f (x )](n ≥2，n ∈N *)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝_______． 【答案】18. 已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f(2n )>112时，f(2k ＋1)－f(2k)等于________． 【答案】121k +＋122k +＋…＋112k +【解析】∵f(2k ＋1)＝1＋12＋13＋14＋…＋1k ＋11k +＋…＋12k ＋121k +＋122k +＋…＋112k +，f(2k)＝1＋12＋13＋14＋…＋1k ＋11k +＋…＋12k ，∴f(2k ＋1)－f(2k)＝121k +＋122k +＋…＋112k +.9. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】（本小题满分10分）设实数12n a a a ，，，满足120n a a a +++= ，且12||||||1n a a a +++ ≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)n n a b n n =∈N ．求证：1211||22n b b b n+++-≤(*)n ∈N ． 【答案】详见解析10. 【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】（本小题满分10分）在集合{1,2,3,4,,2}A n = 中，任取(,,*)m m n m n N ≤∈个元素构成集合m A . 若m A 的所有元素之和为偶数，则称m A 为A 的偶子集，其个数记为()f m ；m A 的所有元素之和为奇数，则称m A 为A 的奇子集，其个数记为()g m . 令()()()F m f m g m =-. （1）当2n =时，求(1),(2),(3)F F F 的值；（2）求()F m .【答案】（1）(1)0F =，(2)2F =-，(3)0F =，（2）22(1)C , ()0,m mn m F m m ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数， 为奇数．0112233110C C C C C C C C C C C C m m m m m m n n n n n n n nn n n n -----+-+-+ ； …………………8分 另一方面，2(1)(1)(1)n n n x x x +-=-，2(1)nx -中mx 的系数为22(1)C mm n-，故()F m =22(1)C m m n-．综上，22(1)C , ()0,m mn m F m m ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数， 为奇数．……………………………………………10分11. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】（本小题满分10分）记2222*234()(32))(2,)n f n n C C C C n n N =+++++≥∈ （.（1）求(2),(3),(4)f f f 的值；（2）当*2,n n N ≥∈时，试猜想所有()f n 的最大公约数，并证明. 【答案】（1）(2)8,(3)44,(4)140f f f ===（2）4.12. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】设数列{}n a （n N ∈）为正实数数列，且满足20nin i n i ni C a aa -==∑. （1）若24a =，写出10,a a ；（2）判断{}n a 是否为等比数列？若是，请证明；若不是，请说明理由.【答案】（1）2,110==a a （2）是等比数列【解析】（1）当1n =时，0121011011102C a a C a a a a a +=⇒=13. 各项均为正数的数列{}n x 对一切*n ∈N 均满足112n n x x ++<．证明： （1）1n n x x +<； （2）111n x n-<<． 【解析】（1）因为0n x >，112n n x x ++<，与题设112k k x x ++<矛盾，所以，1n x ≤．若1k x =，则11k k x x +>=，根据上述证明可知存在矛盾．所以1102n n x x +<<-， 所以112n n x x +>-，且20n x ->．因为2221(1)1222n n n n n n nx x x x x x x -+--==---≥0．所以12n n x x -≥，所以12n n nx x x +<-≤1，即1n n x x +<． （注：用反证法证明参照给分） （2）下面用数学归纳法证明：11n x n>-． ① 当1n =时，由题设10x >可知结论成立； ② 假设n k =时，11k x k>-，当1n k =+时，由（1）得，11111121121k kk x x k k k +>>==--++⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 由①，②可得，11n x n>-． 下面先证明1n x ≤． 假设存在自然数k ，使得1k x >，则一定存在自然数m ，使得11k x m>+．14. 已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145. (1)求数列{b n }的通项公式b n ； (2)设数列{a n }的通项a n ＝log a 11nb ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋(其中a ＞0且a≠1)．记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与13log a b n ＋1的大小，并证明你的结论.【解析】(1)设数列{b n }的公差为d ，由题意得11110101101452b b d ⎧⎪⎨⎪⎩＝，（－）＋＝ Þ113b d ⎧⎨⎩＝，＝，∴b n ＝3n －2. (2)由b n ＝3n －2，知S n ＝log a (1＋1)＋log a 114⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋…＋log a 1132n ⎛⎫⎪-⎝⎭＋＝log a 111111432n ⎛⎫⎛⎫⋯ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（＋）＋＋ 而13log a b n ＋1＝logS n 与13log a b n ＋1的大小 比较 (1＋1)1111432n ⎛⎫⎛⎫⋯ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭＋＋的大小. 取n ＝1，有1＋1取n ＝2，有(1＋1)114⎛⎫ ⎪⎝⎭＋（Ⅰ）若函数()f x 在其定义域上为单调函数,求a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 的图像在1x =处的切线的斜率为0，211()11n n a f n a n +'=-+-+，已知14,a =求证：22n a n ≥+（Ⅲ）在（2）的条件下，试比较12311111111n a a a a ++++++++ 与25的大小，并说明理由.【解析】 (Ⅰ) ∵f(1)=a-b=0 ∴a=b ∴()2ln af x ax x x=-- ∴22222()a ax x af x a x x x -+'=+-=要使函数()f x 在其定义域上为单调函数，则在定义域（0，+∞）内()f x '恒大于等于0或恒小于等于0， 当a=0时，2()0f x x'=-<在（0，+∞）内恒成立；当n=k+1时，1(2)1(22)21452(1)2k k k a a a k k k k +=-+≥+⨯+=+>++ 所以当n=k+1时不等式成立，综上得对所有n N *∈时，都有22n a n ≥+ 10分（Ⅲ）由（2）得211112(1)1(22)1n n n n n a a n a a a n ----=--+=-++ []112(1)222121n n a n n a --≥-+-++=+于是112(1)(2)n a a n +≥+≥所以2112(1),a a +≥+3212(1),a a +≥+ ，112(1),n n a a -+≥+ 累称得：1112(1),n n a a -+≥+则11111(2)121n n n a a -≤⋅≥++ 所以211211111111(1)1111222n n a a a a -++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+++++ 212(1)525n =-<.。