浙教版七年级下平行线折叠问题文档
特级教师工作室之变式题组： 七下第1章 平行线背景下的折叠问题
一、精题精练例：如图，有一条直的等宽纸带，按图折叠时形成一个30°的角，则重叠部分的∠α等于（）A．85°B．75°C．65°D．60°变式1：如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．70°B．65°C．50°D．25°变式2：把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点B、C分别落在G、H的位置上，GH与CD相交于点M，EG的延长线与CD相交于点N，若∠1=55°，求∠2、∠3的度数．变式3：学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A．①②B．②③C．③④D．①④二、问鼎巅峰如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c 中的∠CFE的度数是°．三、回味展望此专题主要考察翻折变换和平行线性质的灵活应用，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应角和对应边相等，再结合平行线的性质，使得题目迎刃而解.四、参考答案例：解：∵纸带的两边互相平行，∴∠2=30°，∵由翻折变换的性质可知，∠1=∠α，∴∠α===75°．故选：B．变式1：解：∵ AD∥BC，∴∠EFB=∠FED=65°，由折叠的性质知，∠DEF=∠FED′=65°，∵∠AED′=180°﹣2∠FED=50°，故∠AED′等于50°；故选：C．变式2：解：∵ABCD为长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠1=55°，又由折叠的性质可知∠GEH=∠DEF=55°，∴∠2=180°﹣∠GED=180°﹣2×55°=70°；又AD∥BC，∴∠3+∠2=180°，∴∠3=180°﹣∠2=180°﹣70°=110°．变式3：解：由作图过程可知，∠1=∠2，为内错角相等；∠1=∠4，为同位角相等；可知小敏画平行线的依据有：③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．故选：C．问鼎巅峰：解：∵AD∥BC，∠DEF=25°，∴∠BFE=∠DEF=25°，∴∠EFC=155°（图a），∴∠BFC=155°﹣25°=130°（图b），∴∠CFE=130°﹣25°=105°（图c）．故答案为：105．。
初中数学精品教案：平行线中的折叠问题
《0109平行线中的折叠问题》微设计学习目标:1.会用平行线的有关知识解决简单“折叠问题”；2.初步体会方程思想来求角度问题；3.体验用转化思想将特殊角度变成一般角度、将一般图形变成特殊图形来解决问题. 学习重点：利用方程思想和转化思想解决平行线中的折叠问题. 学习难点：用转化思想将一般图形变形成特殊图形. 教学过程： 一、探索发现在折纸游戏中，将一条两边互相平行的纸带如图折叠，小明在游戏中发现：不管折叠角度∠1是锐角、直角或钝角， ∠1和∠2始终是相等.你认为他的想法对吗？请说明理由. 分析：利用翻折的特征和平行线的性质，再结合等量代换列出∠1、∠2的数量关系. 解：小明的想法正确。
理由如下： ∵ ∠1和∠3是翻折前后的角， ∴ ∠1=∠3， ∵AB ∥CD ，∴ ∠2=∠3(两直线平行，内错角相等) ∴ ∠1=∠2.【折叠问题的解决方法】第一步：找到翻折前后的角度，利用翻折前后的角度是相等的，找出相等的角; 第二步：找到平行线中的内错角、同位角和同旁内角，找出相等或互补的角; 第三步：将上述两种有关联的角度结合起来列出等量关系.由上题可知： ∠1=∠2=∠3.在图中你还能说出哪些角度也是相等的? 请说明理由.分析：这个图形除了∠1=∠2=∠3，还可以继续利用翻折的特征和平行线的性质、对顶角找到其他的一些角度也是相等的.解： ∠4=∠5= ∠6 =∠7。
理由如下： ∵AB ∥CD ，∴ ∠4=∠5（两直线平行，同位角相等） ∵ ∠5和∠6是对顶角， ∴ ∠5=∠6， ∵EB′∥FD′，∴ ∠5=∠7（两直线平行，同位角相等）21GDBEFB'C A 3∴∠4=∠5= ∠6 =∠7.二、例题解析（一）完全折叠.例1 如图，有一条直的等宽纸带按图折叠时，当∠CGB′=40°时，求图中∠1的度数．分析：这个图形将翻折的部分完全覆盖过纸条，我们称之为完全折叠图形。
前面已经了解了这个图形中的一些相等的角度，再将这两种角度进行结合，先采用特殊角度进行计算，再将特殊角度一般化进行转化.解：由前面可得∠1=∠2，又由题可知∠3=40°，∵∠1+∠2+∠3 =180°，∴2 ∠1+40° =180°∴∠1=70°变式1：将∠CGB′=40°改为x°，用含有x x的代数式表示∠1.解：∵∠1+∠2+∠3 =180°，∴2 ∠1+x° =180°，∴180-1=2x︒︒∠变式2：将∠CGB′=x°改为∠CFD′ =x°，你会用含有x的代数式表示∠1吗？解∵∠CGB′=∠CFD′∴180-1=2x︒︒∠小结：本题采用的方法是用方程思想列出一些角度的数量关系，再解这个方程得到角度，再利用转化思想把特殊的角度一般化，可得到两种角度之间的数量关系．（二）不完全折叠.例 2 如图，有一张长方形纸片按图折叠时，你能模仿完全折叠的情形找到相等的角吗？分析：例2是在例1的翻折情况下的一种没有彻底翻到底的情形，我们称之为不完全翻折，但是我们可以利用例1的分析思路来分析例2，采用转化的思想来解决.解：延长ED′交BC于点G，则不完全折叠问题就转化为完全折叠问题.由前面可得：∠1= ∠2 =∠3又∵∠4=∠6， ∠6=∠5 ∴ ∠4= ∠5.练习：当∠4=50°时，求∠3的度数. ∵∠1= ∠2 =∠3又∵ ∠1+∠2+∠3 =180°， ∴50°+ 2 ∠3=180° ∴∠3=65°变式：将∠4=50°改为x°，用含有x 的代数式表示∠3.180-3=2x ︒︒∠ 小结：本题在例1的基础上将图形进行改变，但形变质不变，所以仍可采用例1的方法得到类似的结论. 巩固练习1.如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于（ ） （A ） 70° （B ） 65° （C ） 50° （D ） 25°2.如下图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若 ∠ 1= 50°，则∠AEF =( )A ．110°B ．115°C ．120°D ．130°目的：两题都属于不完全折叠图形，目的在于给出一个具体的角度，利用例2的结论计算其余的某个角度，起到强化巩固练习的作用.三、感悟提升。
浙教版数学七年级下册课件：1.1平行线
平行线的定义包含三层意思:
(1)“在同一平面内”是前提条件， (2)“不相交”就是说两条直线没有交点， (3)平行线指的是“两条直线”而不是两条 射线或两条线段.
平行线的表示：
我们通常用“//”表示平行。
A· B· C· D·
m∥n
n ∥m
AB ∥ CD CD ∥AB m
n
做一做
一个长方体如图，和AA＇平行的 棱有多少条？和AB平行的棱有多 少条？请用符号把它们表示出来。
a b a //b
经过直线外一点， 有且只有一条直线 与这条直线平行.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
通过本节课的学习，你印象最深的是什么？ 请谈一谈体会和收获。
本节课中你的收获：
(1)什么是平行线； (2)平行线的表示方法; (3)平行线的画法; （4）在同一平面内两条直线有几种 位置关系？
【作 业】
1、分层课课练
2、利用所学的平行 知识，设计一幅优 美的图案，并配上 恰当的说明词。
b
记作：a // b 1．判所断题以。平行线的定义中
（1）两在同个一条平件面“内在不同相一交的平两条线是平行线（。×）
面内”与“不相交” （2）是两条缺平一行不线可一定没有公共点。（√ ）
（3）没有公共点的两条直线叫平行线。（×）
（4）在同一平面内的两条线段，如果不相交，
那么它们一定是平行线。（×）
二、靠
（直尺）
三、推（三角尺）
四、画
能画几条直线和已知直线AB平行呢? 无数条
你会画平行线吗？
已知直线AB和直线外一点P，过点P画 一条直线和已知直线AB平行。
P
你能借助三角尺和直
尺画出平行线吗？
A
B
原七年级数学下册1.1平行线课件(新版)浙教版
8．如图，当风车的一片叶子AB所在(suǒzài)的直线旋转到与地面MN平行时， 叶 子 CD 所 在 (suǒzài) 的 直 线 与 地 面 MN__相__交__(_x_iān，gjiā理o) 由 是 经__过__(j_ī_ng_g_u_ò_)_直__线__外__一__点_，__有__且__只__有__一__条__直__线__与_这__条__直__线_．平行
C．a∥B D．a∥b
3．如图，将一张长方形纸对折三次，则产生的折痕(shé hén)与折痕(shé hén)间的
位置关系是( C ) A．平行 B．垂直
C．平行或垂直 D．无法确定
第四页，共17页。
4．在同一平面内，两条直线的位置关系是(
B )
A．平行或垂直(chuízhí) B．平行或相交
C．垂直(chuízhí)或相交 D．平行、垂直(chuízhí)或相交
第十二页，共17页。
14．如图，经过(jīngguò)直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的 直线至少B 有( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
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15．如图，在∠AOB内有一点P. (1)过点P画l1∥OA； (2)过点P画l2∥OB； (3)用量角器量一量l1与l2相交所成的角与∠O的大小(dàxiǎo)有怎样的关系？ 解：(1)(2)画图略 (3)l1与2相交所成的角与∠O相等或互补
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9．如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E三点是否共线？并说 明理由．
解：共线．理由：因为过直线AB外一点C有且只有(zhǐyǒu)一条直线与AB 平行，CD，CE都经过点C且与AB平行，所以C，D，E三点共线
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专题复习---平行线折叠问题大全教学文案
专题复习---平行线折叠问题大全教学文案
平行线【折叠问
题】第一步第二步
第三步第四步还原标出所有相等的角找内错角（相等）、同位角（相等）和同旁内角计算（互补） 2、将一条两边沿互相平行的纸带按如图所示折叠，已知/ (X = 3、如图, （2题图）有一条等宽纸带，按图折叠时，那么图中/ 4、如图, A 50 0 C 75° 有一条直的宽纸带，按图折叠，则/a 的度数等于B 60° D 85 0 O O 5、如下图,
A ? 110
C ? 120° 6、如图所示, 则/ AE
D '等于（
（A ）70° 7. 把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点D , ）（B ）65° （C ）50° (D) D B / 1= 50 °，则/ AEF = C 分别落在 D ', C '的位置?若/ EFB = 65°, 25 °
妁圉1是矩形纸帯，ZEIF=18"，将纸帯沿EF 折叠咸團N 再沿BT 折叠成图3,则圉3中&1ZCFE 的滾教是（医
1 囹
2 圉3。
(完整版)初中数学中的折叠问题
初中数学中的折叠问题一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC ，BD 为折痕，折叠后BG 和BH 在同一条直线上，∠CBD= 度．2．如图所示，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点A ′处，再过点A ′折叠使折痕DE ∥BC ，若AB=4，AC=3，则△ADE 的面积是 ．3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（ ）注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积．重合部分是以折痕为底边的等腰三角形321FEDCBAGA'C A B D6．将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状 三角形．对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF7．如图，将矩形纸片ABCD 按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF （如图①）；延CG 折叠，使点B 落在EF 上的点B ′处，（如图②）；展平，得折痕GC （如图③）；沿GH 折叠，使点C 落在DH 上的点C ′处，（如图④）；沿GC ′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC ′，GH （如图 ⑥）．（1）求图 ②中∠BCB ′的大小；（2）图⑥中的△GCC ′是正三角形吗？请说明理由．理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等9．如图，将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠，使点B 落在边AD 的中点G 处，求四边形BCFE 的面积注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等 10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在边AD 上 不与A 、D 重合．MN 为折痕，折叠后B ’C ’与DN 交于P ．(1)连接BB ’，那么BB ’与MN 的长度相等吗？为什么？ (2)设BM =y ，AB ’=x ，求y 与x 的函数关系式； (3)猜想当B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC ’B ’面积最小？并验证你的猜想．54132G D‘F C‘DB CA E二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（ ）题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB 是以折痕AB 为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm 的纸条，沿BC ，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm 的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQ14．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（ ）图c 图b图aCDGFEAC GDFEAFDBCAEB Ba 2130°B EF AC D本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b ∠GFC=140°，图c 中的∠CFE=∠GFC-∠EFG15．将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ，沿对称轴EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与CD 间的距离为60cm ，则原纸片的宽AB 是（ ）16．一根30cm 、宽3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长三、三角形中的折叠17．如图，把Rt △ABC （∠C=90°），使A ，B 两点重合，得到折痕ED ，再沿BE 折叠，C 点恰好与D 点重合，则CE ：AE=18．在△ABC 中，已知AB=2a ，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小△ACD 与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的14．（1）当中线CD 等于a 时，重叠部分的面积等于 ；GEFD AEF DBC A B C 60cm（2）有如下结论（不在“CD 等于a ”的限制条件下）：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于32a 2；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等．其中， 结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）．注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角和对应边19．在△ABC 中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE 沿DE 进行不同的折叠得△C ′DE ，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（1）把△CDE 沿DE 折叠在四边形ADEB 内，则求∠1+∠2的和； （2）如图（2）把△CDE 沿DE 折叠覆盖∠A ，则求∠1+∠2的和；（3）如图（3）把△CDE 沿DE 斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C 的关系．（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE ，∠2=180°-2∠CED ，再根据三角形内角和定理比可求出答案；（2）连接DG ，将∠ADG+∠AGD 作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；（3）将∠2看作180°-2∠CED ，∠1看作2∠CDE-180°，再根据三角形内角和定理来求．B'C DA B 231E B'CDB A 21图(1)C'ACBDE12C'ABCDE21GC'A BC DE由于等腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形时常常会出现等腰三角形20．观察与发现：将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．实践与运用：(1)将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。
部编数学七年级下册专题4平行线中的翻折求角度问题及角度之间的关系(解析版)含答案
专题4 平行线中的翻折问题解题技巧（解析版）第一部分专题典例分析+针对训练类型一翻折一次典例1（2022春•大渡口区期末）如图，长方形纸片ABCD中，AB，DC边上分别有点E，F，将长方形纸片ABCD沿EF翻折至同一平面后，点A，D分别落在点G，H处．若∠GEB＝28°，则∠DFE的度数是（ ）A．75°B．76°C．77°D．78°思路引领：延长AB，FH交于点P，根据矩形的性质可得AB∥CD，从而利用平行线的性质可得∠P＝∠PFC，然后根据题意可得GE∥FH，从而利用平行线的性质可得∠GEB＝∠P，进而可得∠PFC＝28°，最后利用折叠的性质进行计算即可解答．解：延长AB，FH交于点P，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠P＝∠PFC，由题意得：GE∥FH，∴∠GEB＝∠P，∴∠GEB＝∠PFC＝28°，∴∠DFH＝180°﹣∠PFC＝152°，由折叠得：∠DFE＝∠EFH=12∠DFH＝76°，故选：B．总结提升：本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．针对训练1．（2022春•渝北区月考）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点B，C分别落在点M，N的位置，且∠AFM=12∠EFM，则∠NED的度数为（ ）A．72°B．35°C．43°D．36°思路引领：由折叠的性质可得：∠MFE＝∠BFE，得2∠MFA＝∠MFE，可设∠MFA＝x°，然后根据平角的定义，即可得方程：x+2x+2x＝180，解此方程即可求得答案．解：折叠的性质可得：∠MFE＝∠BFE，∴2∠MFA＝∠MFE，设∠MFA＝x°，则∠MFE＝∠BFE＝2x°，∵x+2x+2x＝180，∴x＝36，∴∠MFE＝72°＝∠BFE，∵AB∥CD，∴∠DEF＝∠BFE＝72°，又∵NE∥MF，∴∠NED＝180°﹣72°﹣72°＝36°．故选：D．总结提升：此题考查了折叠的性质、平行线的性质，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．典例2（北仑区期末）如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（ ）A．72°或48°B．72°或36°C．36°或54°D．72°或54°思路引领：设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，分两种情况进行讨论：①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，分别根据∠BCD＝90°列式计算即可．解：如图，设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α+18°+2α+18°＝90°，解得α＝18°，∴∠CFD'＝90°﹣18°＝72°＝∠1；②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α﹣18°+2α﹣18°＝90°，解得α＝42°，∴∠CFD'＝90°﹣42°＝48°＝∠1；综上所述，图中∠1的度数为72°或48°，故选：A．总结提升：本题主要考查了折叠问题，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．针对训练1．（2021春•达州期末）如图，长方形ABCD中将其沿EF翻折后，D点恰落在B处，∠BFE＝65°，则∠AEB＝ ．思路引领：依据平行线的性质可求得∠DEF的度数，然后依据翻折的性质可求得∠BEF的度数，于是可求得∠AEB的度数．解：∵AD∥BC，∠BFE＝65°，∴∠BFE＝∠FED＝65°．由翻折的性质可知：∠BEF＝∠DEF＝65°．∴∠AEB＝180°﹣65°﹣65°＝50°．故答案为：50°．总结提升：本题主要考查的是翻折的性质以及平行线的性质，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．类型二翻折两次或多次典例3（2022春•潍坊期中）将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后，若边AD∥BC，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是（ ）A．∠1＝2∠2B．∠1+∠2＝90°C．∠1﹣∠2＝30°D．2∠1﹣3∠2＝30°思路引领：根据平行线的性质和补角的定义解答即可．解：如图所示：∵AD∥BC，∴∠DAE＝2∠2，即180°﹣2∠1＝2∠2，∴∠1+∠2＝90°，故选：B．总结提升：本题考查的是平行线的性质，掌握平行线的性质以及补角的定义是解答本题的关键．典例4（2021秋•临海市期末）如图1，将长方形纸片ABCD沿着MN翻折，使得点B，C分别落在点E，F 位置．如图2，在第一次翻折的基础上再次将纸片沿着MP翻折，使得点N恰好落在ME延长线上的点Q 处．（1）若∠BMN＝70°，求∠AME的度数．（2）若∠PMQ＝α，试用含α的式子表示∠AMQ，并说明理由．思路引领：（1）根据翻折变换的性质可得：∠EMN＝∠BMN＝70°，再运用平角的定义即可求得答案；（2）由翻折可得：∠PMN＝∠PMQ＝α，∠BMN＝∠NMQ＝2α，再运用平角的定义即可求得答案．解：（1）如图1，∵将长方形纸片ABCD沿着MN翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置，∴∠EMN＝∠BMN＝70°，∴∠AME＝180°﹣（∠EMN+∠BMN）＝180°﹣（70°+70°）＝40°；（2）∠AMQ＝180°﹣4α．理由如下：如图2，∵将△PMN沿着PM翻折，使得点N恰好落在ME延长线上的点Q处，∴∠PMN＝∠PMQ＝α，∴∠BMN＝∠NMQ＝2α，∴∠AMQ＝180°﹣（∠BMN+∠NMQ）＝180°﹣（2α+2α）＝180°﹣4α．总结提升：本题考查了几何变换﹣翻折的性质，平角定义的应用等，熟练掌握翻折变换的性质是解题关键．针对训练1．（2022•南京模拟）如图1，△ABC中，D是AC边上的点，先将ABD沿看BD翻折，使点A落在点A'处，且A′D∥BC，A′B交AC于点E（如图2），又将△BCE沿着A′B翻折，使点C落在点C′处，若点C′恰好落在BD上（如图3），且∠C′EB＝75°，则∠C＝ °思路引领：先由平行线性质得：∠A′＝∠CBE，再由折叠可得：∠A＝∠A'，∠ABD＝∠DBE＝∠CBE，∠BC'E＝∠C，则∠A＝∠ABD＝∠DBE＝∠CBE，由三角形内角和定理知∠BC'E+∠C'EB+∠DBE＝180°，而∠C'EB＝75°，可求得∠C+∠DBE＝105°，然后由∠A+∠C+∠ACB＝180°，则∠C+4∠DBE ＝180°，即可求出∠C度数．解：∵A′D∥BC，∴∠A′＝∠CBE，由折叠可得：∠A＝∠A'，∠ABD＝∠DBE＝∠CBE，∠BC'E＝∠C，∴∠A＝∠ABD＝∠DBE＝∠CBE，∵∠BC'E+∠C'EB+∠DBE＝180°，∠C'EB＝75°，∴∠BC'E+∠DBE＝105°，∴∠C+∠DBE＝105°，∵∠A+∠C+∠ACB＝180°，∴∠C+4∠DBE＝180°，∴∠C＝80°，故答案为：80°．总结提升：本题考查平行线的性质，折叠性质，三角形内角和定理，求出∠C+∠DBE＝105°和∠C+4∠DBE＝180°是解题的关键．2．（2022•市南区校级一模）如图，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝α，按图进行翻折，使MD∥NG∥BC，ME∥FG，则∠NFE的度数是 ．思路引领：利用平行线的性质以及翻折的性质求解即可．解：∵MD∥NG∥BC，∴∠M＝∠MEF，∠N＝∠NFE，∵ME∥FG，∴∠MEF＝∠GFC，由翻折可知，∠ABC＝∠M，∠GFC＝∠NFG，∠N＝∠C，∵∠NFE+∠GFC+∠NFG＝180°，∠ABC+∠ACB＝α，∴∠NFE＝2α﹣180°．故答案为：2α﹣180°．总结提升：本题考查平行线的性质、翻折的性质，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．3．（2022春•九龙坡区校级期中）如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝ 度．思路引领：利用角的和差关系及对折后对应角的特点，先用含∠DEF的代数式表示出∠A′EF，再用含∠A″EF、∠DEF表示出∠A′ED，最后根据∠A′EF＝∠AEF得关于∠DEF的方程，先求出∠DEF，再求出∠CFE．解：由四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，∴∠A′EF＝∠AEF．∵∠A′EF＝∠A′ED+∠DEF，∠AEF＝180°﹣∠DEF．∴∠A′ED+∠DEF＝180°﹣∠DEF．由四边形A′B′ME沿AD折叠得四边形A″B″ME，∴∠A′ED＝∠A″ED．∵∠A″ED＝∠A″EF+∠DEF＝105°+∠DEF，∴∠A′ED＝105°+∠DEF．∴105°+∠DEF+∠DEF＝180°﹣∠DEF．∴∠DEF＝25°．∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝25°．∴∠CFE＝180°﹣∠EFB＝180°﹣25°＝155°．故答案为：155．总结提升：本题考查了图形的折叠及平行线的性质，掌握“折叠后重合的两个图形全等”、“两直线平行，内错角相等”及角的和差关系是解决本题的关键．4．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带第一次沿EF 折叠成图（2），再第二次沿BF 折叠成图（3），继续第三次沿EF 折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住EFB Ð，整个过程共折叠了11次，问图（1）中DEF Ð的度数是( )A ．20°B ．19°C ．18°D ．15°答案：D类型三 因翻折的不确定性引发的分类讨论典例5（2021春•奉化区校级期末）如图，长方形ABCD 中，AD ＞AB ．E ，F 分别是AD ，BC 上不在中点的任意两点，连接EF ，将长方形ABCD 沿EF 翻折，当不重叠（阴影）部分均为长方形时，所有满足条件的∠BFE 的度数为 度．思路引领：如图分两种情形分别求解即可解决问题．解：有两种情形：如图1中，满足条件的∠BFE ＝135°图4图3图1如图2中，满足条件的∠BFE＝45°，综上所述，满足条件的∠BFE的值为135°或45°．故答案为135°或45°．总结提升：本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．针对训练1．（2021春•奉化区校级期末）如图，长方形ABCD中，沿折痕EF翻折四边形CDEF得四边形C′D′EF，已知∠EFC′被FB分成的两个角相差15°，则图中∠1的度数为 ．思路引领：分两种情况：①∠1﹣∠BFC′＝15°；②∠BFC′﹣∠1＝15°；进行讨论，由折叠的性质即可求解．解：①∠1﹣∠BFC′＝15°时，∠1+∠EFC＝180°，即∠1+∠1+∠BFC′＝180°，解得∠1＝65°；②∠BFC′﹣∠1＝15°时，∠1+∠EFC＝180°，即∠1+∠1+∠BFC′＝180°，解得∠1＝55°．综上所述，图中∠1的度数为65°或55°．故答案为：65°或55°．总结提升：本题主要考查了折叠问题，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．第二部分专题提优训练1．（2022秋•咸安区期中）如图所示，△ABC中∠C＝60°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC 沿BD翻折得△A'BD，此时A'D∥BC，则∠ABC＝ 度．思路引领：先由平行线的性质得到∠CBA′与∠A′的关系，再由折叠得到∠A与∠A′、ABD与∠A′BD的关系，最后利用三角形的内角和定理求出∠ABC．解：∵A'D∥BC∴∠CBA′＝∠A′．∵△ABD沿BD翻折得△A'BD，∴∠A＝∠A′，∠ABD＝∠A′BD．∵∠A＝∠ABD，∴∠CBA′＝∠A′BD＝∠ABD＝∠A．∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A+3∠A＝120°．∴∠A＝30°．∴∠ABC＝90°．故答案为：90．总结提升：本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，掌握“折叠前后的两个图形全等”、“两直线平行内错角相等”及“三角形的内角和是180°”等知识点是解决本题的关键．2．（2022春•满城区校级期末）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C，D分别落在点M，N 的位置．（1）若∠AEN＝20°，则∠AEF的度数为 ；（2）若∠BFM=12∠EFM，则∠DEF的度数为 ．思路引领：（1）由折叠的性质可得∠FEN＝∠FED，结合平角的定义可求得∠FEN的度数，再根据角的和差关系即可求解；（2）由折叠的性质可得∠CFE＝∠MFE，结合平角的定义可求得∠BFM的度数，从而可求∠CFE，再利用平行线的性质即可求∠DEF的度数．解：（1）由折叠得∠FEN＝∠FED，∵∠AEN＝20°，∴∠FEN+∠FED＝180°+20°＝200°，∴∠FEN＝100°，∴∠AEF＝∠FEN﹣∠AEN＝100°﹣20°＝80°．故答案为：80°；（2）由折叠得∠CFE＝∠MFE，∵∠BFM=12∠EFM，∴∠EFM＝2∠BFM，∵∠BFM+∠EFM+∠CFE＝180°，∴∠BFM+2∠BFM+2∠BFM＝180°，解得：∠BFM＝36°，∴∠CFE＝72°，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠CFE+∠DEF＝180°，∴∠DEF＝108°．故答案为：108°．总结提升：本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．3．（2022春•海州区期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠B的度数为 °．思路引领：首先利用平行线的性质得出∠BMF＝100°，∠FNB＝70°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN ＝∠BMN＝50°，∠FNM＝∠MNB＝35°，进而求出∠B的度数以及得出∠D的度数．解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A＝100°，∠C＝70°，∴∠BMF＝∠A＝100°，∠FNB＝∠C＝70°，∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，∴∠FMN＝∠BMN＝50°，∠FNM＝∠MNB＝35°，∴∠F＝∠B＝180°﹣50°﹣35°＝95°，故答案为：95．总结提升：此题主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出∠FMN＝∠BMN，∠FNM＝∠MNB是解题关键．4．（2021春•汝阳县期末）如图，△ABC中，DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在平面内的A′处，若∠B＝40°，则∠BDA′的度数是 ．思路引领：根据平行线的性质，可得∠ADE与∠B的关系，根据折叠的性质，可得△ADE与△A′DE的关系，根据角的和差，可得答案．解：DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝40°．△ADE沿DE翻折，使得点A落在平面内的A′处，∴∠A′DE＝∠ADE＝40°．由角的和差，得∠BDA′＝180°﹣∠A′DE﹣∠ADE＝180°﹣40°﹣40°＝100°．故答案为：100°．总结提升：本题考查了平行线的性质，折叠问题，折叠得到的图形与原图形全等是解题关键．5．（2018春•江岸区期中）如图，纸片ABCD，AD∥BC，点M、N分别在AD、BC上，沿MN折叠纸片，点C′、D′分别与点C、D对应．如果在翻折之后测量得∠C′NC＝140°，则∠AMN＝ ．思路引领：根据折叠的性质得出∠MNC＝∠MNC'，利用平行线的性质解答即可．解：由折叠可得：∠MNC＝∠MNC'，∵∠C′NC＝140°，∴∠MNC=12×(360°−140°)=110°，∵AD∥BC，∴∠AMN＝∠MNC＝110°，当向上翻折时，∠AMN＝70°，故答案为：110°或70°总结提升：此题考查平行线的性质，关键是根据折叠的性质得出∠MNC＝∠MNC'．6．（2018•东西湖区模拟）如图，矩形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点．G为AD上一点，将△ABG 沿BG翻折，使A点的对应点恰好落在EF上，则∠ABG＝ ．思路引领：连接AN，根据轴对称的性质，即可得到△ABN是等边三角形，根据轴对称的性质，即可得到∠ABG=12∠ABN＝30°．解：如图，连接AN，由折叠可得，EF垂直平分AB，∴NA＝NB，由折叠可得，AB＝NB，∠ABG＝∠NBG，∴AB＝BN＝AN，∴△ABN是等边三角形，∴∠ABN＝60°，∴∠ABG=12∠ABN＝30°，故答案为：30°．总结提升：本题主要考查了轴对称的性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．7．（2016春•黄陂区期中）如图，将长方形纸片ABCD沿AC翻折，点B落在点E处，连接BD，若∠ADB＝∠ACB，AE∥BD，则∠EAC的度数为 °．思路引领：直接利用翻折变换的性质，结合矩形的性质得出∠CBN＝∠2＝∠3，进而得出∠BOC＝90°，求出答案即可．解：∵将长方形纸片ABCD沿AC翻折，点B落在点E处，∴∠2＝∠3，∠ABC＝∠E＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴BN＝NC，∴∠3＝∠CBN，∴∠CBN＝∠2＝∠3，∵AE∥BD，∴∠BOC＝90°，∴∠CBN＝∠2＝∠3＝30°，∴∠EAC的度数为60°．故答案为：60．总结提升：此题主要考查了平行线的性质以及矩形的性质和翻折变换，根据题意得出∠CBN＝∠2＝∠3是解题关键．8．（2021春•高新区校级期中）已知，直线PQ∥MN，点C是直线PQ和MN之间的一点．（1）如图1，点D，E分别在PQ，MN上，∠1和∠2为锐角，求证：∠C＝∠1+∠2；（2）把一块三角板ABC（其中∠A＝30°，∠C＝90°）按图2放置，点D，E分别是三角板的两直角边分别与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDQ的度数；（3）如图3，将（2）中的三角板进行适当的转动，把射线EM沿直线AC翻折，交BC于点G，试判断∠BDQ和∠GEN有何数量关系？写出你的结论并说明理由．思路引领：（1）过C作CH∥PQ，依据平行线的性质，即可得出∠DCE＝∠1+∠2；（2）根据（1）中的结论可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，再根据对顶角相等即可得出结论；（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，得到∠GEN＝180°﹣2x，再根据（1）中的结论可得∠CDP＝90°﹣∠CEM ＝90°﹣x，再根据对顶角相等即可得出∠BDF＝90°﹣x，据此可得结论．解：（1）∠DCE＝∠1+∠2．理由：如图，过C作CH∥PQ，∵PQ∥MN，∴PQ∥CH∥MN，∴∠1＝∠DCH，∠2＝∠ECH，∴∠DCE＝∠DCH+∠ECH＝∠1+∠2；（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，∴∠MEC＝30°，由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，∴∠BDQ＝∠PDC＝60°；（3）∠GEN＝2∠BDQ，理由如下：设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，∴∠BDQ＝90°﹣x，∴∠GEN∠BDQ=180°−2x90°−x=2．即∠GEN＝2∠BDQ．总结提升：本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解．9．（2021春•溧阳市期中）折叠（折）问题是几何变换问题中的常见问题，它体现了平面几何图形变换中基本数量关系和几何关系，是考查几何知识的常见类型．（1）操作与探究：如图1，我们将一张上下平行的纸片，沿MN折叠得到如图所示图形．①如图2，若∠1＝90°，则∠2＝ ．②如图3，请你探案∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由；（2）拓展与延伸：若以点M为公共点，分别沿MN、MP翻折该纸片，翻折后如图4所示，当∠1＝90°时，请直接写出∠2与∠3的数量关系．思路引领：（1）①根据折叠的性质即可求解；②如图3：延长FN交ME于H，根据折叠的性质以及平行线的性质、三角形外角的性质即可求解；（2）如图4，延长AP交CM于C，延长BN交CM于D，根据折叠的性质以及平行线的性质、平角的定义即可求解．解：（1）①如图2，∵∠1＝90°，由折叠得：∠2＝∠3，∴∠2＝∠3＝45°，故答案为：45°；②∠2＝2∠1，理由如下：如图3：延长FN交ME于H，由折叠得：∠1＝∠GMN，∵MG∥FN，ND∥ME，∴∠GMN＝∠MNH，∠2＝∠NHE，∴∠1＝∠MNH，∴∠2＝∠NHE＝∠1+∠MNH＝2∠1；（2）∠2+∠3＝90°，理由如下：如图4，延长AP交CM于C，延长BN交CM于D，∵PN∥CD，∴∠2＝∠6，∠3＝∠7，∵∠1＝90°，∴∠4+∠PMC+∠5+∠NMD＝90°，∵纸片的上下平行，∴∠4+∠PMC＝∠6，∠5+∠NMD＝∠7，∴∠6+∠7＝90°，总结提升：本题考查了平行线的性质和判定，折叠的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键。
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图3
1．如图1，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则1∠______________．
图1 图 2
2、如图2，把长方形纸片沿EF折叠，
使D，C分别落在D，C的位置，若
65EFBo∠
，则AED∠等于（ ）
Ａ．50o Ｂ．55o Ｃ．60o Ｄ．65o
3.如图3，把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落
在B′M或B′M的延长线上，则∠EMF = 度.
4.如图4，长方形ABCD沿AE折叠，使D落在边BC上的F点处，如果∠BAF=60°，则∠DAE
= 度.
5．如图5，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=500，则∠AEF= 度.
6.如图6，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点DC、分别落在11 DC、的位置．若
65EFB°
，则1AED=_______度．
7.如图7，将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点11,CD处.若
1
50CBA
o
，则ABE= 度.
8 将长方形纸片ABCD沿过A点的直线折叠，折痕为线段AE，得到图8所示的图形，已知
∠CED′=50o，则∠AED = 度.
9.如图9，一张纸条宽度相同且上下两边平行，折叠后，若120ABC，
则1的度数为 度.
10.如图10（1），一张纸条宽度相同且上下两边平行，将其折叠成图10（2）所示的图形时，
纸带重叠部分中的∠＝_____
A
E
D
C
F
B
D
1
C
1
图6
A
B
C D E F
1
图5
图10（1）
图10（2）
图
E
D
A
B
C
F
图4
图7
A
B
C
D
D′
E
图8