2019年全国高考数学冲刺复习专题1.5 高考预测卷(一)理科数学及答案
2019年高考全国1卷理科数学试题和答案
．
7． B 【解析 】
【分析 】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度
、 夹角与垂直问题 ， 渗透了转化与化归 、
数学计算等数学素养 ． 先由 ( a b) b 得出向量 a, b 的数量积与其模的关系 ， 再利用向量
夹角公式即可计算出向量夹角 ．
【详解 】
因为 (a b) b ， 所以 ( a b) b a b b2 =0 ，所以 a b b2 ， 所以
2． C 【解析 】
【分析 】
本题考点为复数的运算 ， 为基础题目 ， 难度偏易 ． 此题可采用几何法 ， 根据点 （ x，y） 和
eord 完美格式
.
.
点(0 ， 1)之间的距离为 1， 可选正确答案 C． 【详解 】
z x yi , z i x ( y 1)i , z i x2 ( y 1)2 1, 则 x2 ( y 1)2 1． 故选 C．
【点睛 】 本题考查复数的几何意义和模的运算 ， 渗透了直观想象和数学运算素养 ． 采取公式法或几 何法 ， 利用方程思想解题 ． 3． B 【解析 】 【分析 】
运用中间量 0 比较 a , c ， 运用中间量 1比较 b , c
【详解 】
a log2 0.2 log 2 1 0, b 2 0.2 2 0 1, 0 0.20.3 0.20 1, 则 0 c 1,a c b ．故
│ AF│2 2│ F2B│，│ AB│ │ BF│1 ， 则 C 的方程为
x2
A．
y2
1
2
x2
B．
3
y2 1
2
x2
C．
4
y2 1
3
x2 D．
5
y2 1
2019年高考理科数学真题全国Ⅰ卷_真题(含答案与解析)-交互
2019年高考理科数学真题（全国Ⅰ卷）(总分160, 做题时间150分钟)单项选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1.已知集合M={x|-4＜x＜2}，N={x|x2-x-6＜0}，则M∩U=SSS_SINGLE_SELA{x|-4＜x＜3}B{x|-4＜x＜-2}C{x|-2＜x＜2}D{x|2＜x＜3}分值: 5答案:C2.设复数z满足|z-i|=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则SSS_SINGLE_SELA（x+1）2+y2=1B（x-1）2+y2=1Cx2+（y-1）2=1Dx2+（y+1）2=1分值: 5答案:C3.0.2，b=20.2,c=0.20.3,则已知a=log2SSS_SINGLE_SELAa＜b＜cBa＜c＜bCc＜a＜bDb＜c＜a分值: 5答案:B4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是,称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此。
此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是，若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是SSS_SINGLE_SELA165 cmB175 cmC185 cmD190 cm分值: 5答案:B5.函数的[-π，π]图像大致为SSS_SINGLE_SELABCD分值: 5答案:D6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的６个爻组成，爻分为阳爻“—”和阴爻“- -”，右图就是一重卦。
在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有３个阳爻的概率是SSS_SINGLE_SELABC分值: 5答案:A7.已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，且（a-b）⊥b，则a与b的夹角为SSS_SINGLE_SELABCD分值: 5答案:B8.右图是求的程序框图，图中空白框中应填入SSS_SINGLE_SELACD分值: 5答案:A9.记Sn 为等差数列{an}的前n项和，已知S4=0，a5=5，则SSS_SINGLE_SELAan=2n-5Ban=3n-10CSn=2n2-8nD分值: 5答案:A10.已知椭圆 C 的焦点为F1（-1,0）F2（1,0），过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点．若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则 C 的方程为SSS_SINGLE_SELABCD分值: 5答案:A11.关于函数 f（x）=sin|x|=|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间单调递增③f(x)在[-π , π]有 4 个零点④f(x)的最大值为 2其中所有正确结论的编号是SSS_SINGLE_SELA①②④B②④C①④D①③分值: 5答案:A12.已知三棱锥 P−ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为2 的正三角形，E，F分别是 PA，AB 的中点，∠CEF=90°，则球 O 的体积为SSS_SINGLE_SELABCD分值: 5答案:D填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。
(精校版)2019年全国卷Ⅰ理数高考真题文档版(含答案) (1)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年全国高考I卷理科数学试题及答案解析
2019年全国高考I 卷理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则N M ⋂= A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<解：由062<--x x 可得320)2)(3(<<-⇒<+-x x x ，故}32|{<<-x x 综上可得}32|{<<-=⋂x x N M ，故选C 2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=解：由z 在复平面内对应的点为),(y x 可得yi x z +=，故1)1(|)1(|||22=-+=-+=-y x i y x i z化简得1)1(22=-+y x ，故选C3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<解： 001log 2.0log 22<⇒=<=a a ，112202.0>⇒=>=b b ，1012.02.003.0<<⇒=<=c c ，b c a <<∴，故选B4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是 A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm解：不妨设头顶、咽喉、肚脐、足底分别为点A 、B 、C 、D 故可得 ||215|||,|215||CD AC BC AB -=-=假设身高为x ，则x AB x AC x CD 2537||,253||,215||-=-=-=由题可知262537||,106215||<-=>-=x AB x CD 解得5375215212-<<-x 即171178<<x ，故选B5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．解：因为)()(x f x f -=-，所以)(x f 为奇函数又01)(2>-=πππf ，124412)2(22>+=+=πππππf ，故选D 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116解：一共有6426=种可能，其中满足恰有3个阳爻的有2036=C 种，概率为1656420=故选A 7．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：因为b b a ⊥-)(，所以0||cos ||||)(22=-=-⋅=⋅-b b a b b a b b a θ将||2||b a =代入可得21cos =θ，即夹角为3π，故选B8．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A + B ．A =12A + C ．A =112A + D ．A =112A+解：第一步：1,21==k A ，是；第二步2,2121=+=k A ，是；第三步：3,212121=++=k A ，否。
2019年理科数学高考真题试卷(全国I卷)及参考答案
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N I = A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是（ ）A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm 5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A +B ．A =12A +C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212xy += B ．22132x y += C ．22143x y+= D ．22154x y+= 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．6πB ．64πC ．6πD 6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年理科数学高考真题试卷(全国I卷)及参考答案
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N I = A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是（ ）A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm 5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A +B ．A =12A +C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212xy += B ．22132x y += C ．22143x y+= D ．22154x y+= 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．6πB ．64πC ．6πD 6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由，得C正确 点睛：考察集合间的关系，根据备选答案检验即可得出结论 2. 已知是的共轭复，且，则的虚部是（ ） A. B. C. 4 D. -4 【答案】C
点睛：考察复的分类和运算 3. 函的图象大致为（ ）
A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据奇偶性判定得为偶函，所以排除B、C，又当，故选A 点睛：考察函图像，首先根据奇偶性排除某些答案，然后根据某些特殊点再逐一进行排除即可.
4. 若满足约束条件，则的最小值为 （ ） A. -4 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】根据线性约束条件可得变量满足的区域，对于目标函z，在点（2,0）处取得最小值，所以最小值是2 点睛：要注意画图，切记不可直接求交点坐标往目标函代入求解 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当，，所以后不能推前，又，所以前推后成立， 6. 已知直线过点且与相切于点，以坐标轴为对称轴的双曲线过点，一条渐近线平行于，则的方程为（ ）
A. B. C. D. 【答案】D
点睛：考察直线与双曲线得综合问题，先利用直线于圆的相切关系求出直线斜率，然后根据渐近线方程求解双曲方程 7. 5名学生进行知识竞赛.笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”.根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种是（ ） A. 54 B. 72 C. 78 D. 96 【答案】C
点睛：考察排列组合，优先排受限制元素，然后根据元素分析法即可得出答案 8. 如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据三视图可得该几何体由一个圆柱和一个半球组成，故该几何体表面积为： 点睛：将三视图还原为立体图形便可很容易解决，要注意面积公式的准确性 9. 中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知”，原题为：今有物，不知其.三三之剩二；五五之剩三；七七之剩二.问物几何？后，南宋学家里秦九韶在其著作《书九章》中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为“大衍求一术”.下图程序框图的算法思路于“大衍求一术”，执行该程序框图，若输入的分别20，17，则输出的（ ） A. 1 B. 6 C. 7 D. 11 【答案】C
点睛：考察程序框图，细心逐步去计算即可 10. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，点与在的两侧，且，是抛物线上的一点，垂直于点且，分别交，于点，则与的外接圆半径之比为（ ）
A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】由题得如图，，
，，有正弦定可得，得外接圆半径之比为,故选B 点睛：考察正弦定和外接圆，做此类型得题多草图分析解题意 11. 已知函，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B
12. 已知列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 只有有限个正整使得 B. 只有有限个正整使得 C. 列是递增列 D. 列是递减列 【答案】D
点睛：考察列的创新题，本题困难，根据列的性质一一分析答案即可 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 13. 设向量，且的夹角为，则实__________． 【答案】-1 【解析】由题得：得 点睛：考察向量的量公式，熟记公式即可 14. 用一根长为12的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架，则该三棱柱的侧面积的最大值是__________． 【答案】6 【解析】设正三棱柱的底边长为，高为y,则，由基本不等式可得故三棱柱的侧面积最大值为6 点睛：对于小题的最值问题首先要想到基本不等式，然后写出表达式求解即可 15. 已知定义在上的函满足，且当时，，则曲线在处的切线方程是__________． 【答案】 【解析】因为，所以函关于点（1,1）对称，时，取点，关于（1,1）对称点是代入时，，可得
，，，令所以切线方程为
点睛：考察导的几何意义切线方程的应用 16. 在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，二面角的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】
点睛：画出草图分析几何关系即可得出结论 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知列的前项和.是公差不为0的等差列，其前三项和为3，且是的等比中项. （1）求； （2）若，求实的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）因为，① 所以当时，，解得， 当时，，② -②，得，即，所以， 由列的前三项和为3，得，所以， 设列的公差为，则， 又因为，所以， 解得或（舍去），所以； （2）由（1），可知，，从而， 令， 即，③ ×2，得，④ -④，得
， 即， 故题设不等式可为，（*） 点睛：考察列求通项的方及等差列的性质，要多总结列的求通项的题型，同时列求和在考试中主要以裂项相消和错位相减两种方法为主，要熟练掌握 18. 如图，有一码头和三个岛屿，，，. （1）求两个岛屿间的距离； （2）某游船拟载游客从码头前往这三个岛屿游玩，然后返回码头.问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程.
【答案】（1）（2） 【解析】（1）在中，，
由正弦定得，，即，
解得， 又因为在中，，所以， 所以，从而， 即两个岛屿间的距离为； 点睛：考察正余弦定的实际运用 19. 如图，三棱柱中，，，分别为棱的中点. （1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明. （2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2） 【解析】（1）如图，在平面内，过点作交于点，连结，在中，作交于点，连结并延长交于点，则为所求作直线.
∵为的中点，∴点的坐标为， ∴. ∵，∴，∴， 设平面的法向量为， 由得， 令，得，所以平面的一个法向量为.
点睛：考察立体几何的线面角，要注意线面角一定是锐角，同时在用向量解决问题时一定要注意点的坐标的准确性. 20. 已知，内切于点是两圆公切线上异于的一点，直线切于点，切于点，且均不与重合，直线相交于点. （1）求的轨迹的方程； （2）若直线与轴不垂直，它与的另一个交点为，是点关于轴的对称点，求证：直线过定点.
【答案】（1）（2） 【解析】（1）
因为内切于于，所以，解得， 所以的方程为：， 因为直线分别切于， 所以， 连结， 在与中， ， 所以， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆（除去长轴端点），
所以的轨迹的方程为. 点睛：考察椭圆得定义，求轨迹方程先要熟悉三大曲线的定义，根据定义去研究几何关系从而确定轨迹写出轨迹方程，在直线与椭圆得综合题型中要注意一般解法：联立韦达定先写出 21. 已知函. （1）若不存在极值点，求的取值范围； （2）若，证明：. 【答案】（1）（2）详见解析 【解析】（1）的定义域为，且，
设，则. ①当，即时，，所以在上单调递增； 又，，即， 所以在上恰有一个零点， 且当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，不合题意. （2）因为，，所以， 要证明，只需证明， 当时，因为， 所以成立； 当时，设， 则， 设，则， 因为，所以， 点睛：考察导的综合运用，注意分类讨论思想和不等式证明的分离参法和转为恒成立问题求最值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参方程 在极坐标系中，曲线，曲线.以极点为坐标原点，
极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参方程为（为参）. （1）求的直角坐标方程； （2）与交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，求的值. 【答案】（1），（2） 【解析】（1）因为， 由得， 所以曲线的直角坐标方程为， 由得， 所以曲线的直角坐标方程为：. （2） 不妨设四个交点自下而上依次为，它们对应的参分别为. 把代入，
得，即， 则，， 把，代入， 得，即， 则，， 所以. 点睛：考察极坐标参方程普通方程，对于直线要特别注意直线参方程中t的几何意义，借助t的意义表示线段长会很方便. 23. 选修4-5：不等式选讲 已知函. （1）当时，解不等式； （2）求证：.