高中数学必修2点线面常用定理汇总

高中数学必修2 点、线、面知识小结
第一部分 课本相关概念
一、关于异面直线：
1.定义：不同在任一平面的两条直线；
既不平行也不相交的两条直线
2.异面直线夹角：对于异面直线l 和m ，在空间任取一点
P ，过P 分别作l 和m 的平行线1l 和1m ，我们把1l 和1
m 所成的角叫做异面直线l 和m 所成的角α 其中，⎥⎦
⎤
⎝⎛∈20πα，
3.异面直线的公垂线与两异面直线都垂直且相交的直线 两异面直线的公垂线段有且仅有一条 说明：两直线所成角θ的范围：⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈20πθ， 二、关于线面角 1.直线与平面斜交：当直线与平面相交且不垂直时，称直线与平面斜交，直线叫做平面的斜线 2.斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角α ，⎥⎦
⎤
⎝
⎛∈20πα，
当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为︒90 3.直线与平面所成角：记作“θ”，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈20πθ，
三、关于二面角
1.半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，
其中每一个部分都叫做一个半平面
2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 这条直线称为二面角的棱；两个半平面称为二面角的面
3.二面角的平面角：以二面角棱上任意一点为端点，在两个面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角 二面角的大小用它的平面角的大小来表示 平面角是直角的二面角称为直二面角
4.二面角的范围：记作“θ”，[]πθ，0∈
四、空间中的距离问题：
1.点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段长
2.点到平面的距离：平面外一点到平面的垂线段长
3.两异面直线间的距离：两异面直线间公垂线段的长
4.平行直线到平面的距离：直线上任一点到平面的距离
5.两平行平面间的距离：
其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离 五、空间中的位置关系： 1.点与直线的位置关系：点在直线上；点不在直线上； 2.点与平面的位置关系：点在平面内；点不在平面内；
3.两直线的位置关系：相交，平行，异面；
空间中垂直有两种：相交垂直和异面垂直 4.直线与平面间的位置关系：直线与平面平行α//l ；直线与平面相交P l =α ；直线在平面内α⊆l 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种；
直线与平面平行和直线与平面相交统称为直线不在平面内
5.平面与平面的位置关系：
相交l =βα ；平行βα//；重合βα=；
第二部分 课本公理定理
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 αα∈∈∈∈B A l B l A ,,,且 ⇒ α⊆l
用途：常用来判断点在平面内；或者直线在平面内 公理2 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面 推论 ①过直线与直线外一点，有且仅有一个平面
②过两条相交直线，有且仅有一个平面 ③过两条平行直线，有且仅有一个平面 用途：常用来确定平面 公理3 若两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．
βα∈∈P P 且 ⇒ l P l ∈=且,βα
用途：证明两平面相交；或三点共线；或三线共点
公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 b a //，c b // ⇒ c a //
空间等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补
若方向相同，则两角相等；若方向相反，则两角互补 异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线 l B B A l ∉∈∉⊆,,,ααα⇒AB 和l 是异面直线 线面平行判定定理 若不在平面内的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 m l m l //,,αα⊆⊄ ⇒ α//l
面面平行判定定理 若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行
第三部分 立体几何中的唯一性定理辨析
1、经过平面外一点，有无数条直线和已知平面平行 经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行
2、经过平面外一点，有且只有一条直线和已知平面垂直 经过平面外一点，有无数个平面和已知平面垂直
3、经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行 经过直线外一点，有无数个平面和已知直线平行
4、经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线垂直 经过直线外一点，有无数个平面和已知直线垂直
第四部分 关于平行的判定方法
一、线线平行的判定 1.定义法：在同一平面内,没有公共点的两条直线 ∅≠⊆⊆l m l m ;,αα ⇒ l m //
2.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行 b a //，c b // ⇒ c a //
3.线面平行性质定理 若一条直线与一个平面平行，过这条直线的任意平面与此平面相交，则交线与该直线平行
l m m =⊆βαβα ,,// ⇒ l m //
4.面面平行性质定理 若两个平行平面同时和第三个平
面相交，则它们的交线平行
一、线线垂直的判定 1.定义法：两直线所成角为o
90；
两直线所成角，是两直线相交所得较小的角；也可以是异面直线平移后相交所得较小的角
2.线面垂直性质：若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的所有直线
αα⊆⊥n l , ⇒ n l ⊥
3.三垂线定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直
AB l l PB A PA ⊥⊆⊥=,,,ααα ⇒ PA l ⊥
4.三垂线定理的逆定理：在平面内的一直线，若和这个平 交线的直线与另一个平面垂直 n l n l ⊥=⊆⊥,,,βααβα ⇒ β⊥l
二、线面垂直的判定
1.定义法：若直线和平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直
2.线面垂直判定定理 若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面
n l m l P n m n m ⊥⊥=⊆⊆,;,, αα⇒α⊥l
3.线面垂直性质 若一条直线垂直于垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面 βαα//,⊥l ⇒ β
⊥l 面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线的射影垂直
PA l l PB A PA ⊥⊆⊥=,,,ααα ⇒ AB l ⊥
5.线面垂直性质 若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 α⊥l n l ,// ⇒ α⊥n
6.面面垂直性质 若两个平面垂直，则一个平面内垂直于
三、面面垂直的判定
1.定义法：两个平面相交，若它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.
2.面面垂直判定定理 若一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 βα⊆⊥l l , ⇒ βα⊥。