一种改进的M／D／1模型及其应用的研究
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排 队 系 统 、 向银 行 的 排 队 系 统 Ｊ 面 向 超 市 面 、
收 银 台 的排 队 系统 等等 。 传 统 的 排 队 模 型 往 往 对 排 队 过 程 进 行 假 设
博 会 之 前 ， 对 世 博 会 游 客 的一 种 预 测 和 方 案 性 是 的研 究 而 世 博 会 之 后 的 回顾 性 研 究 很 少 。 卜加 ，
ｐ ｏ ｅ ｓｉ ｒ ｃｉｅ： ｕ ｔ ｍｅ ｒｉ ａ ａｅ ｉ ｉ ｎ ｆｃ ｎ ｌ ｅａ ｅ ｏ ｔ ｅ ｔ ｅ ｐ ｏ ｅ ｌ ．Ｉ ｈ ｎ ｈａ ｏ ｌ ｒ ｃ ｓ ｎ ｐ ａ ｔｃ ｃ ｓｏ ｒ ａｒｖ ｌｒ ｔ ｓ ｓｇ ｉｉａ ｔ ｒ ｌｔｄ ｔ ｈ ｉ ｒ ｐ ｒｙ ｎ Ｓ ａ ｇ ｉＷ ｒｄ ｙ ｍ
游 客 无 法 忍 受 而放 弃 排 队 的情 况 出 现 。
成 一 个 时 间 区 间 ， 以 划 分 成 可
Ａｔ
个时 间区 问。
于是 假 设 每 个 区 间 内游 客 流 为 平 稳 的泊 松 流 ， 在 第 个 区 间 ， 客到 达 间隔 时 间 服从 参 数 为 Ａ 游 的 负指 数 分 布 。
常 见 的 排 队模 型 ， 生 活 的 很 多 领 域 都会 遇 到 。但 是 实 际生 活 中的 排 队过 程 常 常 不 是 平 稳 过 程 ， 客 到 达 率 往 往 跟 在 顾 时 间有 显 著 相 关 的 关系 。针 对 这 一 个 问 题 ， 上 海 世 博 会 的 排 队 系 统 为 例 ， 全 天 排 队 过 程 划 分 为 若 干 时 间 区 间 ， 以 将
Ａ ｓ ａ ｃ ｎ Ｉ ｒ ｖ ｄ Ｍ／Ｄ￣１ Ｍｏ ｅ ｎ ｔ ｐｉａ ｉ Ｒｅ ｅ ｒ ｈ ｏｎ ａ ｍｐ ｏ ｅ ｄ ｌａ ｄ Ｉ Ａｐ ｌ ｔ ｓ ｃ ｏｎ
Ｘ Ｕ Ｗｅｓ ｅ ｇ， Ｃ ｉｈ ｎ ＨＥＮ ａ ｒ Ｗ ｎｕ
（ ｃ ｏ ｌ ｆ ｌ ｔ ｎｃ ｎ ｎｏｍａ ｏ ｎ ｉｅ ｒ ｇ Ｔ ｎ ｉ ｎｖ ｒ ｔ ，Ｓ ａ ｇ ａ ２ １ ０ ，Ｃ ｉａ Ｓ ｈｏ ｅ ｒ ｉ ａ ｄ Ｉｆ ｏＥ ｃｏ ｓ ｒ ｔ ｎＥ ｇ ｅｉ ， ｏ ￣ ｉｅｓ ｙ ｈ ｎ ｈ ｉ ０ ８ ４ ｈｎ ） ｉ ｎ ｎ Ｕ ｉ
在研 究 世 博 会 排 队 系统 的 Ｍ／ ／ Ｄ １模 型 时 ， 发 现 游 客 到 达率 往 往 跟 某 些 外 部 条 件 ， 其 是 时 刻 尤 有 关 。因 此 ， 客 到 达 过 程 就 不 再 是 平 稳 过 程 ， 顾 也 就 没 有 办 法 直 接 适 用 某 个 模 型 来 解 决 。 目前
２１ ０ ２年 ４月
系 统 仿 真 技 术
Ｓ ｓｅ Ｓ ｍ ｕａ ｉｎ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ｙ ｔ ｍ ｉ ｌ ｔ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ｏ
Ａｐ ．， ０ｌ ｒ ２ ２ Ｖｏ ． Ｎｏ． １ ８． ２
第 ８ 第 ２期 卷
中 图分 类 号 ： Ｐ ２ ４ Ｔ ７
文献 标 识 码 ： Ａ
下 来 ； 间 越 晚 ， 客 到 达 速 度 越 小 ， 到排 队 系 时 游 直 统 关 闭 。 图 １为 通 用 汽 车 馆 某 日全 天排 队长 度 与
下 。 队长 的均 值 为
。
…
ａＡ
１一 ａ Ａ
一
Байду номын сангаас＋
口Ａ
＝
游 客 到 达 率 。 图 １ 以 发 现 ， 客 到 达 率 与 队 由 可 游
一
种 改进 的 Ｍ／ １模 型 及 其应 用 的研 究 Ｄ／
许 维 胜 ，陈婉 如
（ 同济 大 学 电 子 与 信 息工 程 学 院 ，上 海 ２ １０ ） ０ ８ ４
摘
要 ： Ｄ １ 型 （ 表 示 到 达 时 间 间 隔 为指 数 分 布 ， 表 示 服 务 时 间 间 隔 为 定 长 分 布 ， 示 单 服 务 台 ） 一 种 Ｍ／ ／ 模 Ｍ Ｄ １表 是
自从 ２ ０世 纪初 丹 麦 数 学 家 爱 尔 朗开 创 排 队
论 这 门学 科 以 来 ， 队论 取 得 了长 足 的发 展 。它 排
达 、 务 台 服 务 情 况 更 加 复 杂 。传 统 的 排 队 模 型 服 也 就 不能 满 足 需 要 ， 有 更 一 般 分 布 的排 队 论 越 具 来 越 受 到人 们 的关 注 。
Ａｂｓ ｒ ｔ ｔａｃ ：Ｍ ／ Ｄ／１ ｍ ｏ ｅ ｕ ｕ ｎ ｙ ｔ ｍ ｓｃ ｎ ｂ ｎ ｏ ｎ ｅ ｅ ｎ ｍ ａ ｙ ａｅ ｓｏ ｆ ｔ ｔ ｏ ｓａ ｉｎａｙ ｄ ｌｑ ｅ ｉ ｇ ｓ ｓｅ ａ ｅ ｅ ｃ ｕ ｔ ｒｄ ｉ ｎ ｒ ａ ｆｌ ｅｗｉｈ ｉｓｎ ｎ—ｔｔｏ ｒ ｉ
面 又保 证 总是 有 充 足 的游 客 处 在 排 队 队列 中 。
１ 一 ｅ 。 。） （ 一
（） ２
（ ）在 排 队起 初 ， ２ 队伍 越 短 ， 客 更 愿 意 去 排 游 队； 随着 时 间 推 移 、 队伍 增 长 ， 达 速 度 逐 渐 稳 定 到
于 是 ， 个 Ｍ／ ／ 一 Ｄ １排 队 系 统 的 各 项 指 标 如
许 维 胜 ， ： 种 改 进 的 Ｍ／ ／ 等 一 Ｄ １模 型 及 其 应 用 的 研 究
１３ ２
吴 恩 在 对 世 博 会 客 流 进 入 方 式 特 征 进 行 总 结 的
＝ 。
基础上 ， 运用 “ 达 一 散 曲线 法 ” 建 立 排 队 客 流 到 消 ， 到达 函数 模 型 及 排 队客 流 消 散 函数模 型 ¨ 。 本 文 改 进 了 Ｍ／ １模 型 使 其 为 世 博 会 通 用 Ｄ／ 汽 车馆 排 队 系 统 进 行 建 模 。 改 进 模 型 假 设 在 小 段 时 间 区 间 内 到 达 过 程 是 平 稳 过 程 ， 而 将 全 天 进 排 队 过 程 变 为 多个 Ｍ／ ／ Ｄ １模 型 的组 合 ， 出全 天 给 排 队 过 程 的递 推 公 式 ， 使 用 该 方 法 进 而 对 全 天 并
￡ ＝
者 ；
图 １ 通 用 汽 车 馆 某 日全 天 排 队长 度 与 游 客 到 达 率
Ｆｉ ． １－ ｙ ｏ ｉｔ ｕｅ ｅ ｔ ｎｄ ａｒ ｉ ａ ａ ｅ ｇ１ ｄａ ｔ ｕｒｓ ｓ ｑ ｕｅ ｌｎｇ ｈ ａ ｒ ｖ ｌｒ ｔ ｉ ＳＡＩ ． Ｍ ｎ Ｃ Ｇ Ｐａｖｌｏ ｉｉｎ
成 ， 制排队速度 ， 证排队秩序。 控 保 世 博 会 园 区 内 不 是 所 有 场 馆 都 处 在 高 负 荷 的 排 队 状 态 下 ， 分 冷 门 馆 几 乎 不 怎 么 需 要 排 部
队 ， 文 只讨 论 热 门场 馆 。在 热 门馆 前 排 队游 客 本
Ａ （）＝ＪｅＡ－ｔ （）＝ｅ －１）Ｇ （ｘｄ ¨ ’
排 队情 况 进行 预 测 。
３ 世 博会 排 队 系统 分 析
由上 文 的数 学 模 型 ， 合 笔 者 对 世 博 会 的体 结 验 以及 实 际 调 查 中 发 现 ， 博 会 园 区 内 各 展 馆 对 世 人 口控 制 策 略 普 遍 有 以下 特 点 ：
（ ）一 个 场 馆 一 个 入 口 （ ｉ １ ｖｐ通 道 、 色 通 绿 道 、 作 人 员 通 道 除 外 ） 世 博 会 场 馆 内部 参 观 工 。
将 每 个 时 间 区 间 内 的排 队过 程 视 为 平 稳 过 程 。并 对 其 全 天 到 达 率 做 线 性 假 设 ， 出 排 队 系 统 各 参 数 指 标 的递 推 公 给
式 。 进 而 对 全 天排 队情 况进 行 预 测 ， 测 结果 表 明该 方 法 行 之 有 效 。 预 关 键 词 ： 队论 ； Ｄ １ 世 博 会 排 Ｍ／ ／ ；
ｓａｉ ｎ ｒ ｒ ｃ ｓ ａ ｅ ｓ ｐ ｏ ｅ Ａｌｏ ｗｅ ｓ ｐ ｓ ｌ— ａ ｒｉ ａ ａｅ ｌ ｅ ， ｎ ｈ ｎ ｗｅ ｇ ｖ ｕ ｕ ｎ ｔｔｏ ａ ｙ ｐ ｏ ｅ ｓ ｃ ｎ ｂ ｕ ｐ ｓ ｄ． ｓ ｕ ｐｏ ｅ ａｌｄ ｙ ａｒｖ ｌｒｔ ｉ ａ ａ ｄ ｔ ｅ ｉｅ ｑ ｅ ｉ ｇ ｎ ｒ ｓ ｓｅ ｙ ｔｍ ｐ ａ ｅｅ ｓ ｆ ｈ ｒ ｃ ｒｉ ｅ ｏ ｍ ｕ ａ ｒ ａ ｍ ｔｒ ｏ ｔｅ ｅ ｕ ｓｖ ｆ ｒ ｌ ．Ａｎ １— ａ ｑ ｅ ｉ ｇ ｐ ｅ ｉｔｏ ｉ ｇ ｖ ｎ ｏ ｐ ｏ ｅ ｈ ｔ ｈｉ ａｌｄ ｙ ｕ ｕ ｎ ｒ ｄ ｃｉ ｎ ｓ ｉ ｅ ｔ ｒ ｖ ｔａ ｔ ｓ ｍ ｅｈ ｄ ｉ ｆｅ ｔｖ ． ｔ ｏ ｓｅ ｆ ｃｉ ｅ
定 长 分 布 ， 分 布 函数 ： 其
Ｇ ｆ ： （） ＜ 口 。 ＞０ （ （） １
必 须对 容 纳 游 客 数 量 进 行 限 制 。
（ ）场 馆 门 口设 置 排 队 缓 冲 区 。 由多 栅 栏 围 ３
【， １ ｔ≥ ａ ａ ＞０ （ ）
因为 』 ｄ （ ）＝ｅ ， 以 ０ｅ Ｇ ｔ 所
针 对 世博 会 排 队 相 关 问 题 的 研 究 大 都 集 中 在 世
不 仅 是 运筹 学 的 一 个 重 要 的 分 支 ， 是 当 今 研 究 也
领 域 的 热 点 。 排 队 论 中 的 每 种 模 型 在 实 际 中 的 各 个 领 域 都 有 着 广 泛 的 应 用 。 比如 面 向 医 院 的
又 因为 Ｅ（ Ｔ ）＝口 Ｄ（ ， Ｔ ）＝０ ／ ， ， ｘ＝ Ｐ＝ａ 故 系 Ａ， 统 中 队长 分 布 的母 函数 为
）： ：
主要 有 以下 特 点 ： （ ）世 博 会 园 区 内 游 客 量 非 常 大 ， １ 队伍 始 终 存 在 。一 方 面 对 排 队 系 统 造 成 很 大 压 力 ， 一 方 另
０ ０ ０
５ ０ ０ 吕
＼
４ ２
３ ５
２ １一ａ ’ （ Ａ）
０ ０ ０ ５ ０ ０
２ ８褂
２１
游 客 平 均 逗 留时 间 为
Ａ０
＝ ＝ 口 ＋
坦 ０ ０ ０
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一
ｌ ４婶
臻
２ １一ａ ’ （ Ａ）
Ｏ
平 均 排 队等 待 队 长 为
Ｋｅｙ ｗｏｒ ｓ：ｑｕ ｕ ｎ ｈ ｏ ｙ；Ｍ／Ｄ／１；Ｗ ｏ ｌ ｐ ｄ ｅ ｉｇ ｔｅ ｒ ｒｄ Ｅｘ ｏ
使顾 客 到 达 率 符 合 某 种 特 定 的 分 布 。 而 在 实 际
中往 往 无 法 适 用 这 一 条 假 设 ， 因为 实 际 中顾 客 到
１ 引 言
游 客 排 队等 候 的 时 间 的 均值 为
１４ ２
系
统
仿
真
技
术
第 ８卷 第 ２期
伍 长 度没 有 特别 显 著 的关 系 ， 是 与 时 间 有 一 定 但 关 系 。随着 时 间 的推 移 ， 到达 率 一 直 在 降低 。 （ ）由于 等 待 时 间 普 遍 很 长 ， 往 会 有 部 分 ３ 往
２ Ｍ／ １排 队 系统 Ｄ／
对 于 一个 Ｍ／ １排 队 系 统 ， 务 时 间 Ｄ／ 服 是
线路一般是事先规划好的。 （ ）游 客 少 时 直 接 放 行 ， 客 多 时 分 批 次 放 ２ 游 行（ 比如 每 隔 １ ｉ 行 １ ０人 ） ０ ｍ ｎ放 ０ 。这 是 因为 场 馆 内部 空 间 是 固 定 的 ， 了 保 证 游 客 参 观 质 量 ， 为
Ｅｘ ｏ ｕ ｕ ｎ ｓ ｓｅ ｓ ｗｅ ｉ ｉ ｅ ｗｈ ｌ — ａ ｑ ｅ ｉ ｇ ｒ ｃ ｓ ｉ ｔ ｓ ｖ ｒ ｌ ｉ ｅ ｎ ｅ ｖ ｌ Ｓ ｔ ｔ ｐ ｑ ｅ ｉ ｇ ｙ ｔ ｍ ， ｄ ｖ ｄ ａ ｏ ｅ ｄ ｙ ｕ ｕ ｎ ｐ ｏ ｅ ｓ ｎ ｏ ｅ ｅ ａ ｔ ｍ ｉ ｔ ｒ ａ ｓ Ｏ ｈａ ａ
收 银 台 的排 队 系统 等等 。 传 统 的 排 队 模 型 往 往 对 排 队 过 程 进 行 假 设
博 会 之 前 ， 对 世 博 会 游 客 的一 种 预 测 和 方 案 性 是 的研 究 而 世 博 会 之 后 的 回顾 性 研 究 很 少 。 卜加 ，
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游 客 无 法 忍 受 而放 弃 排 队 的情 况 出 现 。
成 一 个 时 间 区 间 ， 以 划 分 成 可
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个时 间区 问。
于是 假 设 每 个 区 间 内游 客 流 为 平 稳 的泊 松 流 ， 在 第 个 区 间 ， 客到 达 间隔 时 间 服从 参 数 为 Ａ 游 的 负指 数 分 布 。
常 见 的 排 队模 型 ， 生 活 的 很 多 领 域 都会 遇 到 。但 是 实 际生 活 中的 排 队过 程 常 常 不 是 平 稳 过 程 ， 客 到 达 率 往 往 跟 在 顾 时 间有 显 著 相 关 的 关系 。针 对 这 一 个 问 题 ， 上 海 世 博 会 的 排 队 系 统 为 例 ， 全 天 排 队 过 程 划 分 为 若 干 时 间 区 间 ， 以 将
Ａ ｓ ａ ｃ ｎ Ｉ ｒ ｖ ｄ Ｍ／Ｄ￣１ Ｍｏ ｅ ｎ ｔ ｐｉａ ｉ Ｒｅ ｅ ｒ ｈ ｏｎ ａ ｍｐ ｏ ｅ ｄ ｌａ ｄ Ｉ Ａｐ ｌ ｔ ｓ ｃ ｏｎ
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在研 究 世 博 会 排 队 系统 的 Ｍ／ ／ Ｄ １模 型 时 ， 发 现 游 客 到 达率 往 往 跟 某 些 外 部 条 件 ， 其 是 时 刻 尤 有 关 。因 此 ， 客 到 达 过 程 就 不 再 是 平 稳 过 程 ， 顾 也 就 没 有 办 法 直 接 适 用 某 个 模 型 来 解 决 。 目前
２１ ０ ２年 ４月
系 统 仿 真 技 术
Ｓ ｓｅ Ｓ ｍ ｕａ ｉｎ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ｙ ｔ ｍ ｉ ｌ ｔ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ｏ
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第 ８ 第 ２期 卷
中 图分 类 号 ： Ｐ ２ ４ Ｔ ７
文献 标 识 码 ： Ａ
下 来 ； 间 越 晚 ， 客 到 达 速 度 越 小 ， 到排 队 系 时 游 直 统 关 闭 。 图 １为 通 用 汽 车 馆 某 日全 天排 队长 度 与
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游 客 到 达 率 。 图 １ 以 发 现 ， 客 到 达 率 与 队 由 可 游
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许 维 胜 ，陈婉 如
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要 ： Ｄ １ 型 （ 表 示 到 达 时 间 间 隔 为指 数 分 布 ， 表 示 服 务 时 间 间 隔 为 定 长 分 布 ， 示 单 服 务 台 ） 一 种 Ｍ／ ／ 模 Ｍ Ｄ １表 是
自从 ２ ０世 纪初 丹 麦 数 学 家 爱 尔 朗开 创 排 队
论 这 门学 科 以 来 ， 队论 取 得 了长 足 的发 展 。它 排
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Ａｂｓ ｒ ｔ ｔａｃ ：Ｍ ／ Ｄ／１ ｍ ｏ ｅ ｕ ｕ ｎ ｙ ｔ ｍ ｓｃ ｎ ｂ ｎ ｏ ｎ ｅ ｅ ｎ ｍ ａ ｙ ａｅ ｓｏ ｆ ｔ ｔ ｏ ｓａ ｉｎａｙ ｄ ｌｑ ｅ ｉ ｇ ｓ ｓｅ ａ ｅ ｅ ｃ ｕ ｔ ｒｄ ｉ ｎ ｒ ａ ｆｌ ｅｗｉｈ ｉｓｎ ｎ—ｔｔｏ ｒ ｉ
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基础上 ， 运用 “ 达 一 散 曲线 法 ” 建 立 排 队 客 流 到 消 ， 到达 函数 模 型 及 排 队客 流 消 散 函数模 型 ¨ 。 本 文 改 进 了 Ｍ／ １模 型 使 其 为 世 博 会 通 用 Ｄ／ 汽 车馆 排 队 系 统 进 行 建 模 。 改 进 模 型 假 设 在 小 段 时 间 区 间 内 到 达 过 程 是 平 稳 过 程 ， 而 将 全 天 进 排 队 过 程 变 为 多个 Ｍ／ ／ Ｄ １模 型 的组 合 ， 出全 天 给 排 队 过 程 的递 推 公 式 ， 使 用 该 方 法 进 而 对 全 天 并
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图 １ 通 用 汽 车 馆 某 日全 天 排 队长 度 与 游 客 到 达 率
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Ａ （）＝ＪｅＡ－ｔ （）＝ｅ －１）Ｇ （ｘｄ ¨ ’
排 队情 况 进行 预 测 。
３ 世 博会 排 队 系统 分 析
由上 文 的数 学 模 型 ， 合 笔 者 对 世 博 会 的体 结 验 以及 实 际 调 查 中 发 现 ， 博 会 园 区 内 各 展 馆 对 世 人 口控 制 策 略 普 遍 有 以下 特 点 ：
（ ）一 个 场 馆 一 个 入 口 （ ｉ １ ｖｐ通 道 、 色 通 绿 道 、 作 人 员 通 道 除 外 ） 世 博 会 场 馆 内部 参 观 工 。
将 每 个 时 间 区 间 内 的排 队过 程 视 为 平 稳 过 程 。并 对 其 全 天 到 达 率 做 线 性 假 设 ， 出 排 队 系 统 各 参 数 指 标 的递 推 公 给
式 。 进 而 对 全 天排 队情 况进 行 预 测 ， 测 结果 表 明该 方 法 行 之 有 效 。 预 关 键 词 ： 队论 ； Ｄ １ 世 博 会 排 Ｍ／ ／ ；
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因为 』 ｄ （ ）＝ｅ ， 以 ０ｅ Ｇ ｔ 所
针 对 世博 会 排 队 相 关 问 题 的 研 究 大 都 集 中 在 世
不 仅 是 运筹 学 的 一 个 重 要 的 分 支 ， 是 当 今 研 究 也
领 域 的 热 点 。 排 队 论 中 的 每 种 模 型 在 实 际 中 的 各 个 领 域 都 有 着 广 泛 的 应 用 。 比如 面 向 医 院 的
又 因为 Ｅ（ Ｔ ）＝口 Ｄ（ ， Ｔ ）＝０ ／ ， ， ｘ＝ Ｐ＝ａ 故 系 Ａ， 统 中 队长 分 布 的母 函数 为
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主要 有 以下 特 点 ： （ ）世 博 会 园 区 内 游 客 量 非 常 大 ， １ 队伍 始 终 存 在 。一 方 面 对 排 队 系 统 造 成 很 大 压 力 ， 一 方 另
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中往 往 无 法 适 用 这 一 条 假 设 ， 因为 实 际 中顾 客 到
１ 引 言
游 客 排 队等 候 的 时 间 的 均值 为
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第 ８卷 第 ２期
伍 长 度没 有 特别 显 著 的关 系 ， 是 与 时 间 有 一 定 但 关 系 。随着 时 间 的推 移 ， 到达 率 一 直 在 降低 。 （ ）由于 等 待 时 间 普 遍 很 长 ， 往 会 有 部 分 ３ 往
２ Ｍ／ １排 队 系统 Ｄ／
对 于 一个 Ｍ／ １排 队 系 统 ， 务 时 间 Ｄ／ 服 是
线路一般是事先规划好的。 （ ）游 客 少 时 直 接 放 行 ， 客 多 时 分 批 次 放 ２ 游 行（ 比如 每 隔 １ ｉ 行 １ ０人 ） ０ ｍ ｎ放 ０ 。这 是 因为 场 馆 内部 空 间 是 固 定 的 ， 了 保 证 游 客 参 观 质 量 ， 为
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