数学分析 第八讲 微分积分中值定理和极值
第八讲 微分与积分中值定理和函数极值
§8.1 微分与积分中值定理
一、知识结构 1、微分中值定理
(1) 罗尔（Rolle ）中值定理 若函数)(x f 满足下列条件:
(i) )(x f 在闭区间[]b a ,上连续;(ii) )(x f 在开区间()b a ,内可导;(iii))()(b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得0=')(ξf .
(2)拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函数)(x f 满足下列条件:
(i) )(x f 在闭区间[]b a ,上连续;(ii) )(x f 在开区间()b a ,内可导,则在
()b a ,内至少存在一点ξ,使得
a
b a f b f f --=
')
()()(ξ.
(3)柯西中值(Cauchy)定理 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件:
(i) )(x f 和)(x g 在闭区间[]b a ,上连续; (ii) )(x f 和)(x g 在开区间
()b a ,内可导,
(iii))(x f '和)(x g '不同时为零; (iv))()(b g a g ≠,
则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得
)
()()()()
()(a g b g a f b f g f --=
''ξξ.
2、积分中值定理 (1)积分第一中值定理
若函数)(x f 在[]b a ,上连续,则至少存在一点[]b a ,∈ξ,使得
()⎰
-=b
a
a b f dx x f )()(ξ.
(2)推广的积分第一中值定理
若函数)(),(x g x f 在[]b a ,上连续,且)(x g 在[]b a ,上不变号，则至少存在一点[]b a ,∈ξ,使得⎰⎰=b
a
b
a
dx x g f dx x g x f )()()()(ξ.
3、积分第二中值定理 若函数)(x f 在[]b a ,上连续,
(i)若函数)(x g 在[]b a ,上单调递减, 且0≥)(x g , 则存在[]b a ,∈ξ,使得⎰⎰=b
a
a
dx x f a g dx x g x f ξ
)()()()(.
(ii)若函数)(x g 在[]b a ,上单调递增, 且0≥)(x g , 则存在[]b a ,∈η,使得⎰⎰=b
a b
dx x f b g dx x g x f η
)()()()(.
3、泰劳公式（微分中值定理的推广）麦克劳林公式 (1) 一元函数)(x f y =泰劳公式
泰劳公式产生的背景: 将函数)(x f ()(x f 在含有0x 的某个开区间
()b a ,内具有直到1+n 阶的导数) 近似的表示为关于)(0x x -的一个n 次多
项式,由于多项式的算法是好算法,我们可以用关于)(0x x -的一个n 次多项式来求函数)(x f 在某点(()b a x ,∈)的近似值.
定理1 如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶的导数,则当()b a x ,∈时, )(x f 可以表示为)(0x x -的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和:
(x)R )x (x n!
)
(x f
)x )(x (x f )f(x f(x)n n
(n)
+-+
+-'+=00000!11 ,
其中()
()
()()
1
01!
1)(++-
+=
n n n x x n f
x R ξ(拉格朗日型余项)，这里ξ是属于x 与0
x 之间的某个值.
或, 如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶的导数,则当()b a x ,∈时, )(x f 可以表示为)(0x x -的一个n 次多项式与一
个当0x x →时的n
)x (x 0-的高阶无穷小之和:
()
(
)n
n
(n)
x x o )x (x n!
)
(x f
)x )(x (x f )f(x f(x)000000!
11-+-+
+-'+
=
其中()n )x (x o 0-为当0x x →时n
)x (x 0-的高阶无穷小.
（2）麦克劳林公式
定理2 如果函数)(x f 在含有0的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶地导数,则当()b a x ,∈时, )(x f 可以表示为x 的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和:
(x)R x n!
)
(x f
x !
)(f )x (f )f(f(x)n n
(n)
++
+''+
'+=02
2000 ,
其中()
()()1
1!
1)(+++=
n n n x n x f
x R θ，(10<<θ
).
2、二元函数),(y x f z =的泰劳公式和麦克劳林公式 （1）泰劳公式
定理3 如果函数),(y x f 在含有()00,y x 的某一领域内连续且有直到
1+n 阶的连续偏导数,()k y h x ++00,为此邻域内任一点，则有
()2
000000001
00001,,,,2!11,,,
1n
n f(x h y k)f(x y )h k f(x y )h k f(x y )
x y x y h k f(x y )h k f(x h y k)n!x y n !x
y θθ+⎛⎫⎛⎫
∂∂∂∂++=++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫
∂∂∂∂+++++++ ⎪ ⎪
∂∂+∂∂⎝⎭⎝⎭ 其中10<<θ，记号
()()000000,,,y x kf y x hf )y f(x y k x
h y x +=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂， ()()()00200002002
,,2,,y x f k y x hkf y x f h )y f(x y k x h yy xy xx ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂+∂∂， ……
)y f(x y
x k
h C
)y f(x y k x h p
m p
m p
m p m
p p
m
m
000
00,,--=∂∂∂
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∑,
()k)y h f(x y k x h !n x R n n θθ++⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=+001
,11
)(, 10<<θ 称为拉
格朗日型余项.
（2）麦克劳林公式
定理4 如果函数),(y x f 在含有()0,0的某一领域内连续且有直到1+n 阶的连续偏导数,()k h ,为此邻域内任一点，则有
+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=)f y y x x )f(y y x x )f(y)f(x 0,0!210,00,0,2
()y)x f(y y x x !n )f(y y x x n!n n θθ,110,011
+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+，
其中10<<θ.
二、解证题方法 1、微分中值定理
例1 (山东师范大学2006年)设)(x P 为多项式函数,试证明:若方程
0=')(x P 没有实根,则0=)(x P 至多有一个实根.
证明 用反证法.
因为)(x P 为多项式函数, 所以)(x P 在()+∞∞-,上连续并且可导. 如果0=)(x P 至少有两个实根, 不妨设为21ξξ<,则021==)()(ξξP P .在闭区间上用罗尔定理得,存在()21ξξη,∈,使得0=')(ηP . 这与方程
0=')(x P 没有实根发生矛盾, 所以0=)(x P 至多有一个实根.
例2 (河北大学2005年)设)(x f 可导,λ为常数,则)(x f 的任意两个零点之间必有0='+)()(x f x f λ的根.
证明 不妨设)(x f 的任意两个零点为ηξ<. 令x
e
x f x F λ)()(=,则
0==)()(ηξF F . 因为)(x F 在[]ηξ,上连续, 在()ηξ,内可导,且0==)()(ηξF F , 所以, 由罗尔定理得:存在()ηξ,∈x ,使得0=')(x F ,
即0='+='x
x
e x
f e
x f x F λλλ)()()(,进而有0='+)()(x f x f λ, 所以
()ηξ,∈x 是0='+)()(x f x f λ的根.
例3(电子科技大学2002年))(x f 在[]10,上二次可导,
010==)()(f f ,试证明：存在()10,∈ξ，使得()()
)(ξξξf f '-=
''2
11
.
证明 因为)(x f 在[]10,上连续, )(x f 在()10,内可导, 且
010==)()(f f ,所以由罗尔定理得:存在()10,∈ξ,使得0=')(ξf .令
⎪⎩
⎪⎨⎧
=∈'=-1
01011
x x e
x f x g x ,),[,)()(. 因为)(x g 在[]10,上连续,在()10,内
可导, 且()()01==g g ξ, 所以由罗尔定理知, 存在()1,ξξ∈', 使得()0='ξg ,即()()
)(ξξξf f '-=
''2
11
.
例4(山东科技大学2005年)设()x f 在整个数轴上有二阶导数,且
00
=→x
x f x )(lim
,01=)(f ,试证明: 在()10,内至少存在一点β,使得
()0=''βf .
证明 因为()x f 在整个数轴上有二阶导数，所以()x f 在整个数轴上连
续. 进而0lim )(lim )(lim )(lim )0(000
0=⋅=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡==→→→→x x x f x x x f x f f x x x x . 又因为
01=)(f , 所以函数在()10,内满足罗尔定理的条件, 进而存在()10,∈α,使
得0=')(αf . 又因00
000
=-=-='→→x
x f x
f x f f x x )(l i m
)
()(l i m
)(, 并且
()x f '在[]α,0上连续, 在()α,0内可导, 所以()x f '在[]α,0上满足罗尔定
理的条件, 进而存在()αβ,0∈,使得()0=''βf .
例5(汕头大学2005年) 设()x f 在闭区间[]b a ,上有二阶导数,且
)()(b f a f 、均不是)(x f 在闭区间[]b a ,上最大值和最小值, 试证明: 存在
()b a ,∈ξ,使得0='')(ξf .
证明 由于)(x f 在[]b a ,上连续, 所以)(x f 在[]b a ,上取得最大值和最小值. 又因为)()(b f a f 、均不是)(x f 在闭区间[]b a ,上最大值和最小值, 所以存在()b a ,,∈21ξξ, 不妨设21ξξ<,使得()21ξξf f ),(是)(x f 在[]b a ,上的最大值和最小值. 进而()021='='ξξf f )(.由()x f 在闭区间[]21ξξ,上有二阶导数, 所以()x f '在闭区间[]21ξξ,上连续, 在开区间()21ξξ,内可导. 由罗尔定理知, 存在()21ξξξ,∈,使得0='')(ξf . 进而存在()b a ,∈ξ,使得0='')(ξf .
例6(北京工业大学2005年)设)(x f 在()+∞∞-,上可导, 试证明:
0=')(x f 当且仅当)(x f 为一常数.
证明 (1)充分性 因
为
)
(x f 为一
常
数C , 所以
()000
0==∆-=∆-∆+='→∆→∆→∆x x x x
C C x
x f x x f x f lim lim
)
(lim
)(.
(2)必要性
对任意的()+∞∞-∈,,21x x , 不妨设21x x <. 显然()x f 在闭区间
[]21x x ,上满足拉格朗日中值定理的条件, 所以存在()21x x ,∈ξ, 使得
()()()()2121x f x f x x f -=-'ξ.因为()0='ξf , 所以()()21x f x f =. 进
而)(x f 为一常数.
例7(南京大学2001年)设)(x f 在()10,内可导, 且1<')(x f , ()10,∈x .
令⎪⎭
⎫
⎝⎛=n f x n 1(2≥n ), 试证明n n x ∞
→lim 存在且有限.
分析 ()1111n m n m x x x x f f f n m n m εξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
'-<⇐-=-=-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()
11111n f n
m
n
m
nm
m
ξε'=-
<
-
<
=
<.
证明 对0>∀ε, 存在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=11,εN ,当N m n >>时, 有
ε<=<
-=-=
-m
nm
n nm
m n m
n x x m n 111, 所以
()()εξξ<=<-<-'=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-'=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-m nm n m n m n f m n f m f n f x x m n 1111111
11,进而由柯西收敛准则知, n n x ∞
→lim 存在且有限.
例8(华东师范大学2001年)证明: 若函数)(x f 在有限区域()b a ,内可导, 但无界,则其导函数)(x f '在()b a ,内必无界. 证明 用反证法 若函数)(x f '在
()
b a ,内有界, 则存在正数M ,使得
M x f ≤')(,()b a x ,∈. 由拉格朗日中值定理得:
⎪
⎭⎫
⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22)(22)()(b a f b a f x f b a f b a f x f x f ()()⎪⎭
⎫
⎝⎛+++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'=2222b a f b a M b a f b a x f ξ,
所以函数)(x f 在有限区域()b a ,内有界. 与已知矛盾.
例9(天津工业大学2005年)设R x n ∈, ()1arctan -=n n ky y (10< →lim 收敛. 证明 (1)令kx x f arctan )(=, ()+∞∞-∈,x ,则2 2 1x k k x f +=')(,于 是 k x f ≤')(,从而由拉格朗日中值定理得: ()()1111---+-≤-'=-=-n n n n n n n n y y k y y f y f y f y y ξ)()(, 其中ξ 介于1-n y ,n y 之间. (2)由(1)的递推关系知, 011y y k y y n n n -≤-+,又因为级数 ∑∞ =-1 01n n y y k 收敛,所以由比较判别法知, 级数()∑∞ =+-1 1n n n y y 绝对收敛, 所以n n S ∞ →lim 收敛, 其中()111 1 y y y y S k n k k k n -=-= +=+∑, 进而n n y ∞ →lim 收敛. 例10(湖南师范大学2004年)设)(x f 在),[+∞0上连续, 在()+∞,0内可导且00=)(f , )(x f '在()+∞,0内严格单调递增, 证明: x x f )(在 ()+∞,0内内严格单调递增. 分析 关键是证明02 >-'=' ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛x x f x f x x x f )()()(. 证明 因为 ()[]0 00>'-'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ---'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'=-'ξf x f x x f x f x f x x x f x f x x f x f x )()()()()()()()(, 其中()+∞∈,0x , ()x ,0∈ξ, 所以x x f )(在()+∞,0内内严格单调递增. 练习 [1](辽宁大学2005年)设)(x f 在],[b a 上可导，且b x f a <<)(，1)(≠'x f . 证明: 方程x x f =)(在()b a ,内存在惟一的实根. [2] (南京农业大学2004年) 设函数)(x f 在]1,0[上可微, 0)0(=f , 当 10< ) 1()1() ()(2ξξξξ--'= 'f f f f . [3] (陕西师范大学2002年,武汉大学2004年) 设)(x f ,)(x g 是[]b a ,上的可导函数, 且0)(≠'x g . 证明: 存在()b a c ,∈使得 ) ()() ()()()(c g c f b g c g c f a f ''=--. [4] (西南师范大学2005年)设函数)(x f 在()+∞∞-,内可 导,)(2 )(x f x x f -=', 0)0(=f .证明: 4 2 )(x e x f -=,()+∞∞-∈,x . [5] (北京工业大学2004年)设函数)(x f 在0x 的某邻域)(0x N 内连续, 除 0x 外可导，若l x f x x ='→)(lim 0 ，则)(x f 在0x 可导且l x f =')(0. [6] (辽宁大学2004年) 设函数)(x f 在()+∞∞-,内可导, 且0)0(>f , 1)(<≤'k x f ,证明: 方程x x f =)(有实根. [7] (厦门大学2004年) 设函数)(x f 在),[+∞a 上二阶可微, 且0)(>a f , 0)(<'a f , 当a x >时, 0)(<''x f . 证明: 方程0)(=x f 在),[+∞a 上有 惟一的实根. [8] (北京化工大学2004年) 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在()1,0内可导, 0)0(=f , 1)1(=f . 证明: 对于∀的正数a 和b , 存在()1,0,21∈ξξ, 使得 () () b a f b f a +='+ '21ξξ. [9] (中科院武汉物理与数学研究所2003年) 设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续, 在开区间()b a ,内可微, 并且)()(b f a f =. 证明: 若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上不等于一个常数, 则必有两点()b a ,,∈ηξ, 使得()0>'ξf , ()0<'ηf . [10] (中山大学2006年) 证明: 当0≥x 时, 存在()1,0)(∈x θ, 使得) (211x x x x θ+= - +, 并且)(lim 0 x x θ+ →和)(lim x x θ+∞ →（答案： 4 1)(lim 0 = +→x x θ，2 1)(lim = +∞ →x x θ ）. 2、积分中值定理 例1(上海大学2005年)已知)(),(x g x f 在[]b a ,上连续,0>)(x f ,)(x g 不变号,求⎰ ∞ →b a n n dx x g x f )()(lim . 解 因为)(),(x g x f 在[]b a ,上连续, )(x g 在[]b a ,上不变号,所以由积分第一中值定理得⎰⎰= b a n b a n dx x g f dx x g x f )()()()(ξ,其中[]b a ,∈ξ. 又 因 为 ()0 >ξf , 所以1=∞ →n n f )(l i m ξ,进而 ⎰ ⎰⎰ = ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡=∞→∞ →b a b a n n b a n n dx x g dx x g f dx x g x f )()()(lim )()(lim ξ. 例2(河北大学2005年)证明: dx x x dx x x ⎰ ⎰ +≤+2 2 2 2 11π π cos sin . 分析 01112 2 2 2 2 2 ≤+-⇐+≤+⎰ ⎰ ⎰ dx x x x dx x x dx x x π π π cos sin cos sin . 证明 当⎥⎦⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∈4, 0πx 时, 0≤-x x cos sin 在⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡4,0π上不变号,当 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx 时, 0≥-x x cos sin 在⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡2,4ππ上不变号. 由推广的积分第一 中值定理得： dx x x x dx x x x dx x x x ⎰ ⎰ ⎰ +-+ +-= +-2 4 2 4 2 2 2 1cos sin 1cos sin 1cos sin π π π π ()()dx x x dx x x ⎰⎰-++ -+= 24 2 40 2 cos sin 11cos sin 11 π ππ η ξ 011211211212 12 2 2 2 ≤+-- +-= +-+ +-= ξ η η ξ , 其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈40πξ,, ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡∈24ππη,, 进而dx x x dx x x ⎰ ⎰+≤+2 2 20211π πcos sin . 例3(电子科技大学2005年)设)(x f 在[]10,上可导,且 ⎰-=21 12 21dx e x f f x )()(,证明: 存在()10,∈ξ,使得())(ξξξf f 2='. 证明 令2 )()(x e x f x F -=, []10,∈x . 由积分中值定理知, 存在 ⎪ ⎭⎫ ⎝⎛∈210,η, 使得 ()⎰ --=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-2 1 112 2 021dx e x f e f x )(η η即 ()⎰--=21 112 2 )(2dx e x f e f x η η. 因为⎰ -=2 10 12 21dx e x f f x )()(, 所以 ()) (12 1f e f =-η η, 进 而 ()1 12 --=e f e f )(η η. 又因为 1 12 --==e f e f F )()()(η ηη, 1 11-=e f F )()(, 所以, 在区间[]1,η上由微 分中值定理(罗尔)得:()0='ξF , 其中()1,ηξ∈. 因为 2 2 2ξ ξ ξξξξ---'='e f e f F )()()(,所以())(ξξξf f 2='. 例4(山东科技大学2004年)设()x f 在[]π,0上连续, 在()π,0内可导, 且 ()⎰ -=π ππ π1 dx x f e f x )(,证明: 至少存在一点() πξ,0∈, 使得 ()()ξξf f ='. 证明: 令)()(x f e x F x -=,由 ()⎰ -=π ππ π1 )(dx x f e f x 和 )()(πππ f e F -=，得: ()()⎰ ⎰ ⎰ ====----π π π ππ π π π π ππ1 1 1 )()()(dx x F dx x f e dx x f e e f e F x x . 由积分中值定理: ()()1 1()0()F F x dx F F π ππ πηηπ⎛⎫ ==-= ⎪⎝⎭ ⎰ ,其中 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡∈π ξ10,.在()πη,内应用微分中值定理(罗尔)得: 0=')(ξF ,其中 ()πηξ,∈.由)()(x f e x F x -=得: )()()(ξξξξ ξf e f e F '+-='--,所以 ()()ξξf f ='. 例5(西安电子科技大学2003年)设()x f 在[]b a ,上二阶连续可导, 证明:存在()b a ,∈ξ使得()()()3 24 12a b f b a f a b dx x f b a -''+ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰ξ)(. 证明: 由分部积分公式得 ⎰ ⎰ ⎰ +++ = b a b a a b b a dx x f dx x f dx x f 2 2 )()()( ()() ⎰ ⎰ ++-+ -= 2 2 )()(b a a b b a b x d x f a x d x f ()[]()()[]()⎰⎰ ++++'-- -+'-- -=b b a b b a b a a b a a dx x f b x x f b x dx x f a x x f a x 2 2 2 2 )()()()( ()()()⎰ ⎰ ++-'- -'- ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+-=b b a b a a b x d x f a x d x f b a f a b 2 2 2 22 )(2 )(2 ()()()⎰ ++''-+⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡'--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2 2 22)(2 2)(2b a a b a a dx x f a x x f a x b a f a b ()()⎰ ++''-+⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡'--b b a b b a dx x f b x x f b x 2 2 2 2)(2 2)( ()()()⎰ ⎰ ++''-+ ''-+ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+-=b b a b a a dx x f b x dx x f a x b a f a b 2 2 2 2 )(2 )(2 2 ()()()) (2 )(2 )(2 2 2 22 2 1积分中值定理 ⎰⎰++-''+-''+⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+-=b b a b a a dx b x c f dx a x c f b a f a b ()()[]3 12()()()2 48b a a b b a f f c f c -+⎛⎫''''=-+ + ⎪⎝⎭介值性定理 ()() 3 ()2 24 b a a b b a f f c -+⎛⎫''=-+ ⎪⎝⎭ , 其中c 介于21c c ,之间. 即()b a c ,∈. 3、泰劳公式（微分中值定理的推广） 例1（西安电子科技大学2004年） 设)(x f 在[]1,0上有二阶导数，且满足条件a x f ≤)(，b x f ≤'')(，a 和b 为非负常数，证明不等式 2 2)(b a x f + ≤'， )1,0(∈x . 分析：要熟练运用Taylor 展开. 证明：在)1,0(∈x 处做Taylor 展开有 2 1) 1(2)()1)(()()1(x f x x f x f f -''+-'+=ξ， 2 22 )()()()0(x f x x f x f f ξ''+ '-= 上面两式相减有 2 22 12 )()1(2 )()0()1()(x f x f f f x f ξξ''+ -''--='，所 以[]2 2) 1(2 2)(2 2 b a x x b a x f +≤+-+ ≤'. 例2（陕西师范大学2003年，中国地质大学2004年）设函数f 在区间 []b a ,上有二阶导数且 ,0)()(='='-+b f a f 则必存在一点),(b a ∈ξ使得 )()() (4)(2 a f b f a b f --≥ ''ξ. 分析：关键是做Taylor 展开. 证明：应用Taylor 公式，将)2 ( b a f +分别在b a 、点展开，注意 0)()(='='-+b f a f ，故存在1ξ和2ξ，b b a a <<+<<212 ξξ，使得 2 12)(21)(2⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-''+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b f a f b a f ξ, 2 22)(21)(2⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-''+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b f b f b a f ξ. 两式相减得: []0)()()(8 1)()(2 21=-''- ''+ -a b f f a f b f ξξ, 故 [])()()(2 1)()() (421 2 ξξξf f f a f b f a b ''≤''+''≤ --. 其中 ⎩⎨⎧''<''''≥''=)()(,) ()(,212 211ξξξξξξξf f f f . 例3(北京交通大学2005年)设函数)(x f 在区间),0(+∞内有二阶函数， 0)(lim =+∞ →x f x ，并当),0(+∞∈x 时，有1)(≤''x f . 证明：0)(lim ='+∞ →x f x . 分析：关键是做Taylor 展开. 证明：要证明0)(lim ='+∞ →x f x ，即要证明对任意的0>ε，存在0>A ， 当A x >时有 ε<')(x f . 利用Taylor 公式，对任意的0>h ，有 2 )(2 1)()()(h f h x f x f h x f ξ''+ '+=+, ()h ,0∈ξ, 即[]h f x f h x f h x f )(2 1)()(1)(ξ''- -+= '. 从而 []h x f h x f h h f x f h x f h h f x f h x f h x f 21)()(1)(2 1)()(1)(2 1)()(1)(+ -+≤''+ -+≤ ''--+='ξξ, 取 ε i m =+∞ →x f x , 所以 021)()(1 lim )(lim 0=⎭ ⎬⎫ ⎩⎨⎧+ -+≤'≤+∞→+∞ →h x f h x f h x f x x , 其中 2 )()(ε<-+x f h x f . 即0)(lim ='+∞ →x f x . 例4（上海大学2005年、中国科学院2007年）设函数)(x f 在[]20，上有1)(≤x f ，1)(≤''x f . 证明：2)(≤'x f . 分析：关键是做Taylor 展开. 证明：在)2,0(∈x 处做Taylor 展开有 2 12 )()()()0(x f x x f x f f ξ''+ '-=, 2 2)2(2 )()2)(()()2(x f x x f x f f -''+ -'+=ξ， 将上面两式相减有 []2 12 24 )()2(4 )()0()2(2 1)(x f x f f f x f ξξ''+ -''- - = '，所以 [][][]. 21 ) 1(2 1 1) 2(4 11) (4 ) 2()(4)0()2(2 1)(2 2 2 2 22 12 ≤+-+≤+-+ ≤''-+ ''+ + ≤'x x x f x f x f f x f ξξ. 例5（江苏大学2004年）已知函数)(x f 在区间()1,1-内有二阶导数，且 0)0()0(='=f f , )()()(x f x f x f '+≤'', 证明：存在0>δ，使得在 ()δδ,-内 0)(≡x f . 分析：关键是做Taylor 展开. 证明：将)()()(x f x f x f '+≤''右端的)(x f ,)(x f '在0=x 处按Taylor 公式展开. 注意到0)0()0(='=f f ，有 2 2 2 )(2 )()0()0()(x f x f x f f x f ξξ''= ''+ '+=, x f f x f )()0()(η''+'=', 其中ηξ,是属于0与x 之间的某个值. 从而x f x f x f x f )(2 )()()(2 ηξ''+''= '+. 现令⎥⎦⎤⎢⎣ ⎡ - ∈41,41x ，则由)()(x f x f '+在⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡-41,41上连续知，存在⎥ ⎦ ⎤⎢⎣⎡-∈41,410x ，使得 {}M x f x f x f x f x x ='+='+≤ ≤-)()(m a x )()(14100. 下面只要证明0=M 即可. 事实上 ⎥⎦ ⎤⎢ ⎣⎡''+''≤ ''+''='+=)(2) (41)(2 )()()(00002 0000ηξηξf f x f x f x f x f M ()()()()[]0000 4 1ηηξξf f f f +'+ +'≤ （由()()x f x f x f x f ηξ''+''= '+2 2 )()(） 1124 2 M M ≤⋅=， 即M M 20≤≤, 所以0=M . 在⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣⎡ - 41,41上0)(≡x f . 例6（辽宁大学2005年）求⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞ →x x x x 1sin 1lim 2 . 分析：利用Taylor 展开式计算函数极限. 解： 将x 1sin 展开成带Peano 余项的二阶Taylor 公式 ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+-=33 16111s i n x o x x x ，则 ⎥ ⎥⎦⎤ ⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-- =⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞ →→∞→33221 6111lim 1sin 1lim x o x x x x x x x x x x ()61161lim 16111lim 322=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+-=∞→∞→o x o x x x x x . 例7（山东师范大学2006年）求4 2 2 cos lim x e x x x -→-. 分析：利用Taylor 展开式计算函数极限. 解 进行带Peano 余项的Taylor 展开 ()5 4 2 24 2 1cos x o x x x ++ - =, )(8 2 15 4 2 2 2 x o x x e x ++ - =- , 所以)(12 cos 5 4 2 2 x o x e x x +- =-- , 进而12 1cos lim 4 2 2 - =-- →x e x x x . 例8（浙江大学2005年、华南理工大学2005年）设)(x f 在),[+∞a 上有连续的二阶导数，且已知(){}+∞∈=,0)(sup 0x x f M 和(){}+∞∈''=,0)(sup 2x x f M 均为有限数. 证明： (1)20 2 2)(M t t M t f + ≤ ' ，对任意的0>t ，),0(+∞∈x 成立； (2){}),0()(sup 1+∞∈'=x x f M 也是有限数，且满足不等式2012M M M ≤ . 分析：Taylor 展开式. 证明(1)考虑)(t x f + 在 t 处的Taylor 展开式， ,2)()()()(2 >''+'+=+t t f t t t t f t t f ξ， 则 t f t t f t f t f 2 )() ()2()(ξ''- -= '，所以 + +≤ 't t f t f t f ) ()2()(2 )(ξf ''t ，有题设条件可得 t M t M t f 2 2)(2 + ≤' . (2)同理由Taylor 展开式知，t M t M t f 2 2)(2 + ≤ '成立，从而 t M t M M 2 22 1+ ≤ ，取2 02 M M t = 即得证. 例9（哈尔滨工业大学2006年）设)(x f 在[)+∞,0内二阶可微， 0)(lim =+∞ →x f x ，但)(lim x f x '+∞ →不存在.证明：存在00>x ，使1)(0>''x f . 分析 Taylor 展开式. 证明 反证法，设对任意的),0(+∞∈x ，均有1)(≤''x f .利用Taylor 展开式，对任意的0>h ，有2 )(2 1)()()(h f h x f x f h x f ξ''+ '+=+，因此有 2 )()(1)(h x f h x f h x f + -+≤ ' ，取ε=h ，由0)(lim =+∞ →x f x 知，存在 0>A ，当A x > 时，有4 )(2 ε ≤ 'x f ，于是ε<')(x f ，A x > ，即 0)(lim ='+∞ →x f x ，矛盾. 例10 （华中科技大学2007年）设 )(x f 在（0,1） 上二阶可导且满足1)(≤''x f ，10(≤≤x ，又设)(x f 在()1.0 内取到极值4 1 .证明： 1)1()0(≤+f f . 分析 极值点，Taylor 展开式. 证明 因为)(x f 在)1,0(上二阶可导，假设ξ在极值点，则4 1)(= ξf 、 0)(='ξf .对)(x f 关于0=x 、1=x 在ξ点Taylor 展开有2 1)(2 )())(()()0(ξηξξξ-''+ -'+=f f f f ，)1,(2ξη∈. 又有 2 ) 1(2 )()1)(()()1(ξηξξξ-''+ -'+=f f f f ， )1,(2ξη∈. 所 以有 2 22 1)1(2 )(0)(2)(0)()1()0(ξηξξ ηξ-''+ ++''+ +=+f f f f f f [] 2 22 1 )1()()(2 1)(2ξηξη ξ-''+''+≤f f f []2 2 ) 1(12 1ξξ -++≤ 12 12 1=+ ≤ . 积分形式的中值定理 积分形式的中值定理 引言： 积分形式的中值定理是微积分中的重要定理之一，它建立了积分和导数之间的联系，并在许多数学和科学领域中发挥着重要的作用。在本文中，我们将深入探讨积分形式的中值定理以及它的应用，帮助读者更好地理解这一概念。我们将按照从简到繁、由浅入深的方式介绍该定理，并结合实例进行说明。 一、中值定理的基本概念 1. 定义：积分形式的中值定理是指对于任意函数f(x)，存在某个 c∈[a,b]，使得∫[a,b]f(x)dx=f(c)(b-a)。 2. 中值定理与导数关系：中值定理的关键在于导数。通过导数的定义和积分的反函数关系，我们可以推导出中值定理的积分形式。 二、中值定理的几何意义 1. 几何解释：中值定理可以解释为在曲线上存在某个点，该点的斜率等于曲线上所有点的平均斜率。 2. 图像说明：通过绘制函数图像，我们可以很直观地理解中值定理的几何意义，并且可以通过观察图像来预测可能的c值。 三、中值定理的应用 1. 求积分：中值定理在求积分中有广泛应用。通过将积分形式的中值定理转化为导数形式的中值定理，我们可以更方便地计算各种积分。 2. 估计函数值：中值定理的一个重要应用是用于估计函数在某一区间内的取值。通过找到合适的区间和对应的c值，我们可以推断出函数在该区间内的性质。 四、个人观点和理解 中值定理在数学和科学研究中具有重要的作用。它不仅为我们提供了一种求积分和估计函数值的方法，还帮助我们更深入地理解函数的性质和变化规律。我个人认为，掌握中值定理可以使我们在解决实际问题时更加灵活和准确。 总结： 积分形式的中值定理是微积分中的重要定理，它建立了积分和导数之间的联系。通过中值定理，我们可以更好地理解函数的性质和变化规律，同时也为我们提供了一种求积分和估计函数值的方法。掌握中值定理可以使我们在数学和科学研究中更加灵活、准确地应用它的原理和方法。 致谢： 感谢您阅读本文，我希望您能通过本文对积分形式的中值定理有更深 第八讲 微分与积分中值定理和函数极值 §8.1 微分与积分中值定理 一、知识结构 1、微分中值定理 (1) 罗尔（Rolle ）中值定理 若函数)(x f 满足下列条件: (i) )(x f 在闭区间[]b a ,上连续;(ii) )(x f 在开区间()b a ,内可导;(iii))()(b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得0=')(ξf . (2)拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函数)(x f 满足下列条件: (i) )(x f 在闭区间[]b a ,上连续;(ii) )(x f 在开区间()b a ,内可导,则在 ()b a ,内至少存在一点ξ,使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ. (3)柯西中值(Cauchy)定理 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件: (i) )(x f 和)(x g 在闭区间[]b a ,上连续; (ii) )(x f 和)(x g 在开区间 ()b a ,内可导, (iii))(x f '和)(x g '不同时为零; (iv))()(b g a g ≠, 则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得 ) ()()()() ()(a g b g a f b f g f --= ''ξξ. 2、积分中值定理 (1)积分第一中值定理 若函数)(x f 在[]b a ,上连续,则至少存在一点[]b a ,∈ξ,使得 ()⎰ -=b a a b f dx x f )()(ξ. (2)推广的积分第一中值定理 若函数)(),(x g x f 在[]b a ,上连续,且)(x g 在[]b a ,上不变号，则至少存在一点[]b a ,∈ξ,使得⎰⎰=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ. 3、积分第二中值定理 若函数)(x f 在[]b a ,上连续, (i)若函数)(x g 在[]b a ,上单调递减, 且0≥)(x g , 则存在[]b a ,∈ξ,使得⎰⎰=b a a dx x f a g dx x g x f ξ )()()()(. (ii)若函数)(x g 在[]b a ,上单调递增, 且0≥)(x g , 则存在[]b a ,∈η,使得⎰⎰=b a b dx x f b g dx x g x f η )()()()(. 3、泰劳公式（微分中值定理的推广）麦克劳林公式 (1) 一元函数)(x f y =泰劳公式 泰劳公式产生的背景: 将函数)(x f ()(x f 在含有0x 的某个开区间 ()b a ,内具有直到1+n 阶的导数) 近似的表示为关于)(0x x -的一个n 次多 项式,由于多项式的算法是好算法,我们可以用关于)(0x x -的一个n 次多项式来求函数)(x f 在某点(()b a x ,∈)的近似值. 微积分中值定理及其应用 前言: 关于微分中值定理的证明问题是数学分析中的难点，本文将从微分中值定理的证明入手，对其进行证明，讨论了微分中值定理的内在联系及推广，并给出其在解题中的应用，如：微分中值定理在一些定理中的证明，利用几何意义思考解题，讨论导函数零点的存在性，研究函数性态，证明不等式和求极限等。 主题： 有关定理： 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 Cauchy 中值定理统一了微积分中值定理各种形式,从而建立了微分中值定理和积分中值定理之间的 内在联系. 以Rolle 中值定理为基础,借助不同形式辅助函数可对其它几个中值定理作出多种形式的统一证 明;利用Taylor 公式可以进一步导出微积分中值定理的推广形式. 作为微积分知识体系中十分重要的三个中值定理之一,拉格朗日中值定理中中值的存在性问题, 对理解和应用定理有着十分重要的意义。一般意义上说, 同数学中许多存在性问题一样, 只需关注是否存 在即可。但是, 认真分析拉格朗日中值定理的结构, 就会产生这样的问题其中值〔的存在是否具有函数属性, 在什么条件下能够具有函数的属性。 总结： 在解关于微分中值的题目时，大多数题是有一定技巧的。在习题解题答中可以看到这方面的应用，虽然有些实例，但却凌乱无序，不成系统，本文针对这个问题，通过总结归纳，以建立初具规模的体系框架。 微积分概念和基本定理已成为大众化的知识，但是由于种种原因，例如，对相关数学知识的研究不够透彻，使得微积分中值定理应用存在某些问题，通过对例题的分析和总结，对微积分的应用作了更为清晰和简便的解法，对提高微积分课程，尤其是微分中值定理的教学质量和效果发挥了良好的作用。 微分中值定理与导数的应用总结 一、微分中值定理 1.拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理是微分中值定理的最基本形式，它描述了导数在其中一区间上的平均变化等于该区间两端的导数之差。拉格朗日中值定理的数学表达为：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，那么存在一个c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=(b-a)f′(c)。 利用拉格朗日中值定理，可以证明函数在一些区间上的一些点必然具有特定的性质，例如存在极大值和极小值点等。 2.柯西中值定理 柯西中值定理是微分中值定理中的进一步推广，在拉格朗日中值定理的基础上增加了另一个函数的条件。柯西中值定理的数学表达为：若函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导且g(x)不为零，那么存在一个c∈(a,b)，使得[f(b)-f(a)]g′(c)=[g(b)-g(a)]f′(c)。 利用柯西中值定理，可以对两个函数的导数之间的关系进行研究，从而得到有关函数的性质，如凸性、单调性等。 3.罗尔中值定理 罗尔中值定理是微分中值定理中的特殊情况，它描述了一个连续函数在(a,b)内可导，并且在a处和b处的函数值相等，则在(a,b)内存在一个c∈(a,b)，使得f′(c)=0。 利用罗尔中值定理，可以证明函数在一些区间上的导数为零的点，进而得到函数的极值点、拐点等。 二、导数的应用 导数是微积分中最重要的概念之一，它具有丰富的应用，以下列举几个常见的应用： 1.极值问题 函数的极值问题是导数应用中的经典问题之一，通过求函数的导数并找到导数为零的点，可以确定函数的极值点和极值值。 2.函数的单调性 导数可以反映函数的增减情况，通过分析函数的导数的正负变化可以确定函数的单调性，即函数是递增还是递减的。 3.函数的凹凸性 函数的凹凸性可以通过分析函数的二阶导数来确定，二阶导数大于零时为凹函数，二阶导数小于零时为凸函数。 4.函数的拐点 函数的拐点是函数图像由凹变凸或由凸变凹的点，可以通过分析函数的二阶导数的变化情况来确定。 5.曲线的切线和法线 导数可以表示曲线在其中一点的斜率，根据斜率的定义可以得到曲线在该点的切线方程，进而得到法线方程。 总结起来，微分中值定理和导数的应用可以帮助我们通过函数的导数来研究函数在一些区间上的性质和特点，从而解决函数的极值问题、单调 微积分是数学中的一门重要分支，也是高等数学的基础课程之一。微积分的研 究对象涉及到函数的极限、连续性、导数、积分等内容。微积分中的微分概念 以及与之相关的微分中值定理是微积分理论的重要内容之一。 微分是微积分的基础概念之一，它指的是函数在某一点处的变化率。具体来说，若函数$y=f(x)$在$x_0$处可导，则函数在$x_0$处的导数$f'(x_0)$即为函数在该点的微分。微分可以看作是函数在某一点的局部线性近似，通过微分可以描 述函数在某点的斜率以及近似的变化情况。微分的概念是微积分中的关键，它 是导数概念的先导。 微分中值定理是微分学中的重要定理之一，它是基于连续性与导数的基本性质 而得出的。微分中值定理的核心思想是通过函数的导数找到函数在某一区间内 某一点的切线斜率与函数在此区间内任意两点连线斜率相等的点。根据微分中 值定理，若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在区间$(a,b)$内可导，那 么在区间$(a,b)$内一定存在一点$c(a 两个函数积分中值定理 积分中值定理是微积分中的一种重要定理，是用来研究函数积分的方法之一。积分中 值定理包括了第一中值定理和第二中值定理两种情况。在本文中，我们将详细介绍这两种 中值定理的含义、应用和证明。 一、第一中值定理 第一中值定理是一个基本原理，它表明对于一个连续函数 f(x) ，在闭区间 [a,b] 上进行积分，那么一定存在一个点c ∈ (a,b) 使得 f(c) 等于积分值 I 的平均值。 具体表述为： 设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，则存在一个点c∈(a,b)，使得： ∫a^b f(x)dx = f(c)·(b-a) 证明： 我们考虑构造一个新的函数 g(x)，如下所示： 可以证明 g(x) 在 [a,b] 上是连续的。因为，f(x) 在 [a,b] 上连续，所以 (1/(b-a)) ∫a^b f(t)dt 是一个常数。g(x) 是两个连续函数之差，也就是连续函数。 根据积分的定义，可以得到∫a^b g(x)dx = 0。这是因为： ∫a^b g(x)dx = ∫a^b (f(x) - (1/(b-a)) ∫a^b f(t)dt)dx = ∫a^b f(x)dx - ∫a^b ((1/(b-a)) ∫a^b f(t)dt)dx = ∫a^b f(x)dx - (1/(b-a)) ∫a^b f(t)dt·(b-a) = ∫a^b f(x)dx - ∫a^b f(x)dx = 0 g(c) = f(c) - (1/(b-a)) ∫a^b f(t)dt = 0 f(c) = (1/(b-a)) ∫a^b f(t)dt 我们先证明一个引理：如果一个函数连续且非负，那么它必须在闭区间 [a,b] 上存 在一点，使得它的函数值等于他的最小值。 证明：因为 f(x) 连续，所以在 [a,b] 上存在一个最小值，设为 m。那么，如果 f(x) 的函数值在闭区间 [a,b] 上没有任何一点等于 m，那么 m 就不是 f(x) 的函数值， 积分中值定理开区间和闭区间 积分中值定理开区间和闭区间 积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它描述了函数在某个区间 上的平均值与积分值之间的关系。而对于开区间和闭区间，积分中值 定理也有着不同的表现和应用。在本文中，我们将深入探讨积分中值 定理在开区间和闭区间上的应用，以及对这一概念的个人理解和观点。 一、积分中值定理的概念 积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它描述了函数在某个区间 上的平均值与积分值之间的关系。它可以形式化地表述为：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么在这个区间上一定存在一个点c，使得f(c) 等于函数f(x)在区间[a, b]上的平均值。积分中值定理指出了在连续函 数的情况下，必然存在一个点，使得该点的函数值等于函数在整个区 间上的平均值。 二、积分中值定理在开区间上的应用 对于开区间(a, b)，积分中值定理也是成立的。在开区间上，积分中值定理告诉我们，对于连续函数f(x)，一定存在一个点c，使得f(c)等于 函数f(x)在开区间(a, b)上的平均值。这个结论在实际问题中有着重要 的应用，比如在物理学和工程学中，我们常常需要求解一些变化率或 平均速度等问题，而积分中值定理为我们提供了一个有力的工具。 三、积分中值定理在闭区间上的应用 在闭区间[a, b]上，积分中值定理同样适用。对于连续函数f(x)，在闭 区间上一定存在一个点c，使得f(c)等于函数f(x)在闭区间[a, b]上的平均值。这个结论在数学分析和实际问题中都具有重要的应用价值，比 如在统计学和经济学中，我们常常需要计算一些总量或平均数值，而 积分中值定理为我们提供了一个非常方便的工具。 四、个人观点和理解 从我的个人观点来看，积分中值定理是微积分中一个非常有用的定理，它不仅能够帮助我们理解函数在某个区间上的平均值，还能够提供我 们一个快速求解的方法。在实际应用中，积分中值定理为我们提供了 一个非常方便和强大的工具，它不仅可以用来分析函数的性质，还可 以用来解决一些实际问题。我认为对于积分中值定理的理解和应用是 非常重要的，它能够帮助我们更好地理解函数的性质，并且为我们提 供了一个非常有用的工具。 总结 在本文中，我们深入探讨了积分中值定理在开区间和闭区间上的应用，以及个人观点和理解。积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它 描述了函数在某个区间上的平均值与积分值之间的关系。对于开区间 和闭区间，积分中值定理都有着重要的应用，它为我们提供了一个有 考研积分中值定理 教研的积分中值定理：数学分析的重要工具 积分中值定理是数学分析中的一个基本定理，它在数学研究和实际应用中都有着广泛的应用。本文将介绍积分中值定理的定义、证明和几个重要的应用。 一、积分中值定理的定义 积分中值定理可以分为积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理表述为：如果一个函数f在闭区间[a, b]上连续，那么在这个区间上至少存在一点ξ，使得f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)。积分第二中值定理表述为：如果一个函数f在闭区间[a, b]上连续，那么存在一个实数η，使得f(b) - f(a) = ∫(b - a) f(x) / (x - a) dx = η。 二、积分中值定理的证明 积分中值定理的证明方法有多种，其中一种常用的证明方法是利用微分中值定理。首先，我们可以通过构造一个新的函数F(x) = ∫f(t) dt，其中x ∈[a, b]，使得F(x)在[a, b]上可导。然后，我们利用微分中值定理，可以找到一个实数ξ∈(a, b)，使得F'(ξ) = 0。由此可以推出f(b) - f(a) = ∫f'(t) dt = ∫f(t) / (x - a) dx = η。 三、积分中值定理的应用 积分中值定理在数学分析和实际应用中都有着广泛的应用。例如，它可以用来求解某些定积分、证明某些不等式、研究函数的单调性等等。此外，积分中值定理在经济学、工程学和物理学等领域也有着广泛的应用。例如，在经济学中，积分中值定理可以用来研究收入分布的均衡问题；在工程学中，积分中值定理可以用来研究材料的强度和刚度等问题；在物理学中，积分中值定理可以用来研究波动和热传导等问题。 总之，积分中值定理是数学分析中的重要工具，它在数学研究和实际应用中都有着广泛的应用。通过深入学习和理解积分中值定理，我们可以更好地掌握数学分析的基本思想和基本方法，为未来的学习和工作打下坚实的基础。 Rudin数学分析中的积分中值定理积分中值定理是数学分析中的重要定理之一，广泛应用于实际问题 的解决和理论推导中。Rudin数学分析中的积分中值定理是由Walter Rudin于1964年提出的，被广泛认可和应用。 积分中值定理的基本思想是：对于具有连续性的函数f(x)来说，如 果在[a, b]的闭区间上积分结果等于零，那么一定存在c∈(a, b)，使得 f(c)=0。这一定理有时也被称为零点定理。 首先，我们来介绍积分中值定理的一般形式。设f(x)是闭区间[a, b] 上的连续函数，而g(x)是[a, b]上的任意一个不恒为零的非负连续函数。如果f(x)在[a, b]上满足f(x)g(x)在[a, b]上可积，并且积分结果为零，即 ∫[a, b]f(x)g(x)dx=0。那么存在c∈(a, b)，使得f(c)=0。 接下来，我们来证明Rudin数学分析中的积分中值定理。首先，我 们定义函数F(x)=∫[a, x]f(t)g(t)dt。根据积分的基本性质，F(x)是连续函数，并且在[a, b]上可导。根据导数的定义，我们有F'(x)=f(x)g(x)。由 于F(x)在闭区间[a, b]上的积分结果为零，根据微积分基本定理，我们 知道F(b) - F(a) = 0。因此，F(b) = F(a)。 根据罗尔定理，我们知道存在c∈(a, b)，使得F'(c) = 0。由于F'(c) = f(c)g(c)，我们得到f(c)g(c) = 0。由于g(c)不恒为零，我们可以得出 f(c) = 0。因此，Rudin数学分析中的积分中值定理得到证明。 Rudin数学分析中的积分中值定理在实际问题的解决中具有重要的 应用。它可以用于证明其他数学定理，如微分中值定理和拉格朗日中 微分中值定理的应用小结 微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它在数学和物理学中有着广泛的应用。本文将对微分中值定理的应用进行小结和介绍。 微分中值定理主要包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理两部分。它们是微积分的基础定理，在实际应用中具有重要的作用。首先来介绍一下拉格朗日中值定理。 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，它主要描述了在一定条件下，函数在某个区间上的平均变化率等于某一点处的瞬时变化率。具体来说，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么在(a,b)内一定存在一点ξ，使得 f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。 这个定理的应用非常广泛，特别是在计算机领域中。在计算机图形学中，我们经常需要对曲线进行插值或者逼近，而通过拉格朗日中值定理可以得到曲线上任意两点之间的某一点，从而实现曲线的绘制和模拟。在数据处理和信号处理领域中，我们也可以利用这个定理对采样数据进行分析和处理。 除了上述两个具体的定理之外，微分中值定理还具有许多其他的应用。例如在数学分析中，微分中值定理常常被用来证明其他数学定理和性质。在经济学和金融学中，我们可以通过微分中值定理来研究利率和汇率的变化，从而进行风险评估和投资决策。在生物学和医学领域中，微分中值定理也可以帮助我们分析和模拟生物学过程和疾病的发展。 微分中值定理在数学和物理学中有着广泛的应用，它不仅是微积分的基础定理，还可以帮助我们解决实际问题，推动科学技术的进步。通过学习和掌握微分中值定理的应用，我们可以更好地理解和利用微积分的知识，为自己的学习和工作打下坚实的基础。希望本文所介绍的内容对大家有所帮助，也希望大家能够继续深入学习和探索微分中值定理的更多应用。 微分中值定理 微分中值定理是微分学中的重要定理,它揭示了函数在区间上的宏观的、整体的性质与函数在某一点上（中值点ξ）的微观的局部的性质之间的关系,是联系函数及其导数的桥梁和纽带。其中罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理通常联系的是函数与其一阶导数的关系,泰勒中值定理通常联系的是函数与其高阶导数的关系。 一、微分中值定理的历史演变 古希腊数学家在几何研究中,得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这是拉格朗日中值定理的特殊情况。希腊著名数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论,求出抛物线弓形的面积。意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri,1598-1647）在《不可分量几何学》（1635年）的卷一中给出了处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理。 1.费马定理 法国数学家费马（Fermat,1601-1665）在《求最大值和最小值的方法》（1637年）中给出了费马定理。费马在研究极大和极小问题的解法时,得到统一的解法“虚拟等式法”,从而得到原始形式的费马定理,费马定理在现行教科书中,一般作为微分中值定理的引理。当应当注意的是,在当时微积分还处于初创阶段,没有 明确导数、极限连续的概念,所以我们现在的看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的。 2.罗尔定理（引理） 法国数学家罗尔（Michel Rolle,1652-1719）在任意次方程的一个解法的证明》（1691年）中,给出多项式形式的罗尔定理：“在多项式a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+an=0 的两个相邻根之间,方程na0xn−1+(n−1)a1xn−2+⋯+an−1=0 至少有 一个实根”。这与现代罗尔定理不仅内容上有所不同,而且证明也大相径庭。现代形式的罗尔定理,是后人根据微积分理论重新证明的,并把它推广到一般函数（可微函数）,“罗尔定理”这一名称是由德国数学家德罗比什 （Drobisch,1802-1896）在1834年给出的,并由意大利数学家贝拉维蒂斯（Bellavitis）在1846年发表的论文中正式使用,是此定理成为微分学的一个基本定理。 3.拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理是微分中值定理中最重要的定理,法国数学家、物理学家及天文学家拉格朗日（Lagrange,1736-1813）在《解析函数论》（1797年）一书中提出拉格朗日中值定理,他最初的形式为：“函 数f(x) 在[a,b] 上x0 和x 之间连续, f′(x) 的最大值为A, 最小值为B,则f(x)−f(x0)x−x0 必取A,B之间的一个值。"需要注意的是我们现在只需要函数f(x) 在(a,b) 上可导<并且拉格朗日的正面很大程度基于直观的基础上,不够严格。19世纪初,以可惜为代表的微积分严格化运动中,人 微分中值定理及其应用 一 罗尔定理与拉格朗日定理 数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质，而研究函数性质的最重要工具之一就是微分中值定理，微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。 1、罗尔中值定理：若函数 满足如下条件： （i ） 在闭区间[a ，b]上连续； （ii ）在开区间（a ，b ）内可导； （iii ）()()f a f b =， 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'= （分析）由条件（i ）知在[a ，b]上 有最大值和最小值，再由条件（ii ）及（iii ），应用费马定理便可得到结论。 证明：因为f 在［a,b ］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况讨论： (i)若M = m , 则 f 在［a,b ］上必为常数，从而结论显然成立。 (ii)若m ＜ M ，则因f (a)= f (b)，使得最大值M 与最小值m 至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点，由条件(ii) f 在点ξ处可导，故由费马定理推知 ()0f ξ'= 注1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。 注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立，见下图： 例 2,1()0,211,12x x F x x x ⎧<⎪=-≤≤-⎨⎪≤≤⎩ 易见，F 在x=-1不连续，在x=±1不可导，F(-2)≠F（2）, 即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在（-2，2）内存在点ξ,满足()0f ξ'= 注3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能有一个、几个甚至无限多个，例如： 显然f 在[-1，1]上满足罗尔定理的条件， 在（-1，1）内存在无限多个 ξ=1,1,2,k k π = 使得 ()0f ξ'=。 2、拉格朗日（Lagrange ）中值定理：若函数 f 满足如下条件： （i ）f 在闭区间[a,b]上连续； （ii ）f 在开区间(a,b)内可导； 则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得 ()()()f b f a f b a ξ-'=- 微分中值定理在考研中的应用 微分中值定理是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。在考研中，微分中值定理不仅是一个重要的考点，而且也是解决一些复杂问题的关键工具。本文将简单介绍微分中值定理的背景和意义，以及在考研中的应用。 微分中值定理也称为：费尔哈斯-林德勒夫定理或：克塞定理，它是由匈牙利数学家费尔哈斯和瑞典数学家林德勒夫于1906年证明的。微分中值定理是现代分析学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。在几何上，微分中值定理对应着曲线在某点处的曲率。因此，微分中值定理在几何、物理、工程等领域都有着广泛的应用。 微分中值定理的现代形式如下：如果函数f(x)在闭区间上[a,b]上可导，那么在开区间(a,b)上至少存在一点ξ使得 f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。定理的现代形式首先由哈斯和林德勒夫在1906年证明。 例如，利用微分中值定理可以证明以下不等式：如果f(x)在[a,b]上可导，且f'(x)在(a,b)上严格递增，那么对于任意的c∈(a,b)，都 有f'(c)>(f(b)-f(a))/(b-a)。该不等式可以用微分中值定理来证明，因为f'(x)在(a,b)上严格递增，所以存在ξ∈(a,b)使得 f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)，而c∈(a,b)，因此f'(c)>f'(ξ)，即f'(c)>(f(b)-f(a))/(b-a)。 例如，利用微分中值定理可以证明以下积分不等式：如果f(x)在[a,b]上可导，且f'(x)在(a,b)上非负（不恒为零），那么对于任意的c ∈(a,b)，都有∫xaf'(x)dx>=(f(b)-f(a))/(b-a)。该不等式可以用微分中值定理来证明，因为f'(x)在(a,b)上非负（不恒为零），所以存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)，而c∈(a,b)，因此∫xaf'(x)dx≥∫ξaf'(x)dx=(f(ξ)-f(a))/(ξ -a)>=(f(b)-f(a))/(b-a)。 例如，可以利用微分中值定理来证明一些几何、物理中的结论。例如，在平面几何中，可以证明三角形内角平分线定理；在物理学中，可以证明最小作用量原理等。这些结论的证明都涉及到微分中值定理的应用。 牢记适用条件：首先需要清晰地了解微分中值定理的适用条件，对于不满足这些条件的函数或者区间，是不能应用微分中值定理的。 合理运用几何意义：微分中值定理的几何意义可以帮助我们形象地理 积分中值定理的推广和应用 ———积分中值定理的推广定理和应用情形 The IntｅgralＭeanＶalue TheｏremｆoｒＩｔs Sprｅa ｄing and Ａpｐlicａtｉon ——Exteｎsiｏn tｈeｏrem of integraｌmean value theｏ rem ａｎｄits appliｃatｉoｎ 论文作者: 专业： 指导老师: 完成时间: 摘要 积分中值定理和微分中值定理在微积分学中有着重要的地位，微分中值定理是研究函数的有力工具，反映了导数的局部性和与函数的整体性之间的关系，而积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用。它是数学分析课程中定积分部分的一个基本定理之一。积分中值定理包括积分第一中值定理和积分第二中值定理,在之前的数学分析课程中我们已经学习了这两个定理的证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及。在这里，我讨论了积分第一中值定理和积分第二中值定并给出了这些定理的详细证明过程,并且给出了集中推广形式。 在积分中值定理的应用方面，我给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限,确定积分号等，并且通过列举例题，加以归纳总结,并且充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用。 The iｎtｅgraｌmeａn value theoremａｎdｔhe ｄifｆereｎtial mｅa ｎｖalue theorem pｌaｙan importanｔrｏｌe iｎthe caｌｃulｕs．Dｉff ｅｒentｉal meａｎvalｕｅｔheorｅm ｉｓ a poｗerful tｏol to studｙtｈe funｃｔion. It reflects thｅｒelation between tｈｅlocａl property oｆthｅｄｅrｉvatiｖｅａnd tｈｅintegral of ｔhｅfｕｎction. Anｄthe iｎtegral m ｅaｎvalue ｔｈeorem playｓ a veryｉmｐｏｒｔａｎt rｏle ｉｎｔｈe ｐｒoｏf of the ｍean ｖalue pｒobleｍ. It is one oｆｔｈe bａsicｔｈｅorems of tｈｅdeｆinｉte inｔeｇral ｐａrｔｉｎｔhｅcｏuｒse of matｈematｉｃaｌaｎａlｙsiｓ. The inteｇralｍean value tｈeoｒeｍinclｕde ｓtｈe first mｅan valｕe tｈeｏｒem of integｒals anｄｔｈe secｏnｄmean ｖalｕe tｈeｏremｏf intｅｇｒalｓ，we havｅlearnｅｄthｅprｏof of thｅｔwo thｅorｅｍｓIn thｅcourｓe oｆmａthemａtical anaｌysis. B ｕｔtｈe eｘtensｉｏn aｎd apｐlication oｆtｈese twoｔheorｅｍs have nｏt beｅｎmentｉｏnｅｄyｅｔ. Here,Iｄiｓcuss the first mｅａｎvａlｕe t ｈeoreｍｏｆinteｇrals aｎd tｈe sｅcｏｎｄｍｅan vaｌｕe of the integ ｒals ａnｄgiｖｅ a detailed proof oｆthｅsｅthｅoｒems and Ｉｇi ｖe the foｒm ｏf centraliｚｅd gｅneralizaｔioｎs here. In tｈe ａpplicatｉoｎｏｆtｈe iｎｔegｒａｌmean vａｌuｅtheorem, I give soｍe siｍｐle ｓiｔuaｔioｎs such as ｔhe estｉmａtioｎoｆｔhe intｅｇraｌvaluｅ, ａnｄtｈe ｌimit of the defiｎite iｎteｇral, tｈｅｉntegral numｂｅｒand ｓｏon．Ａnd by citing examｐles，Ｉsｕmｍaｒized and fully rｅｆlect tｈe iｎtegralｍeａn vａlue theoreｍｉｎthｅa ｐplicａｔion of learnｉｎg pｒoblem soｌvｉnｇｅｘｅrciseｓ. 关键词：积分中值定理; 推广；应用 ---文档均为word文档，下载后可直接编辑使用亦可打印--- 摘要 微分中值定理在数学分析中占有重要地位,为我们研究函数提供了有力工具.本文首先介绍了微分中值定理的历史发展和应用前景,其次详细阐述了微分中值定理的具体内容并给出了各定理的证明方法,然后总结归纳了中值定理之间的联系,最后通过分类举例来体现微分中值定理在解决不同函数问题时的应用,进一步加深了对微分中值定理的认识和学习. 【关键词】微分中值定理中值问题联系单调性不等式 Differential mean value theorem and its application Abstract Differential mean value theorem plays an important role in mathematical analysis and provides a powerful tool for us to study functions.This paper first introduces the historical development and application prospect of the differential mean value theore m.Secondly,it elaborates the specific contents of the differential mean value theorem and gives the proving methods of each theorem.And then it summarizes the connect ion between the mean value theorem.Finally,the application of differential mean valu e theorem in solving different function problems is illustrated by classification exampl es,which further deepens the understanding and learning of differential mean value t heorem. 【Key Words】Differential mean value theorem The median problem Relation Monotonicity Inequation 微分中值8定理与积分3定理及函数的9性质的综合证明题型与技巧 -)中值八定理以下的连纟卖函数在闭区间xwg. b］的基本定理(只与函数有矢)共同条件：闭连纟卖 ①I有界定理或最大值与最小值左理|x E", b］ => m < f(x) < M o注意xep/,可是闭区间。 ②|介值泄理 • 是介于f (ci)与/(/?) "(a)工打(")，工/ (b)］任一值，则必 3 e(a, h)=> /()=。注意已仏/?)是开区间。 •其推论是：当加S < M»则必日e［«, b］=> /( )= 。b］。注意e［«, b］是闭区间。 ③|根值(零值)建理| /(«)■ /W<0,则3 w(ab)n/( ) = 0。注意xe(t/, b)是开区间。以下的闭区间连纟卖函数有矢导数定理共同条件：闭连续开可导。共同结论：存在的量属于开区间。 ④|费马定理| xe(x0-，儿+ ), /(x)n/a))或今(兀),如果广(旺)存在，则广(忑)=0。 ⑤|洛尔定理| f(a)=f(b\则3 e(«,/^)=> f( ) = 0 ⑥|拉格朗日中值泄理| 3 = )(b-“) ⑦|柯西中值定理| m mu ./"”—/(⑷二LL2 g(b)— g@)s\) ⑧泰勒中值上理 为拉格朗日余项，介于入和X=X^h之间，但不等于它们，*圧(“")，.Y €(“』), 令G(0, l)n =“+ («x•-儿)=.“+ h = .v0+ ( .v ) /)：只婆求在开区间(ab )有直到川+1阶导数:它不o及其”阶导数在］上连续，而且不要求的连续性。 (“)如果增加条件f( x)在［“,0 ］连续n." e仏h ), x 6 ［“, b］； (b)如果条件増强为在有直到川+1阶导数xe［a.b］: 拉氏余项可用于区间［«可上，例如用于证明不等式和等式。 它的“短消息”形式为/(A)=/(A0)+/'()(—儿)就是拉賂朗日中值定理。/•(J)=/(0)+./(0)+o(x) • R = o(h K) 为佩亚若余项.它W( v)在(“”)有直到川阶导数.在(“")上连续。 它有一个隐含条件：.YTD，故佩亚若余项仅能用于心点的邻域.例如讨论极值 及求.YT% 的极限。它的“短消息”形式为门x)*(心)+厂(曲)(—心)+0(—心)°积分形式的中值定理
数学分析 第八讲 微分积分中值定理和极值
微积分中值定理及其应用
微分中值定理与导数的应用总结
微积分中的微分与微分中值定理
两个函数积分中值定理
积分中值定理开区间和闭区间
考研 积分中值定理
Rudin数学分析中的积分中值定理
微分中值定理的应用小结
微分中值定理
微分中值定理
微分中值定理在考研中的应用
)积分中值定理的推广和应用情形
微分中值定理及其应用-毕业论文
微分中值定理的全部基础理论和常见优秀题型解法技巧