几类三阶常微分方程的通解公式【文献综述】

毕业论文文献综述

数学与应用数学

几类三阶常微分方程的通解公式

一、前言部分

数学分析中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分。如函数未知，但知道变量与函数的代数关系式，便组成代数方程，通过求解代数方程解出未知函数。同样，如果知道自变量、未知函数及函数的导数组成的关系式，得到的便是微分方程。如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程。常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置。

塞蒙斯(Simmons)曾如此评价微分方程在数学中的地位：“300年来分析是数学里首要的分支，而微分方程又是分析的心脏．这是初等微积分的天然后继课，又是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它所产生的较深的问题中，它又是高等分析里大部分思想和理论的根源．”很多物理与技术问题可以化归为常微分方程的求解问题，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，而上述这些问题都可以化为求常微分方程的解，因此，学好微分方程的求解相当重要．微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。又因为许多力学，电学与生物化学的模型都可以归结为高阶微分方程的模型(见文献[1，2])，因此探求高阶微分方程的求解是一项既有实际意义又有理论意义的工作。

二、主题部分

有关三阶常微分方程的求解研究已经取得了较为丰富的结果，许多数学家早已经对这个课题展开过讨论，并做了很多相关的课题研究和论文。现将已有文献的研究结果综述如下：文献[2]中讲述线性微分方程的基本理论和常微分方程的解法，也简单介绍某些高阶微分的降阶方法。关于线性微分方程的解法，作者介绍了五种较常用的方法：（1）求常系数齐次线性微分方程的基本解组的特征根法（欧拉待定指数函数法）；（2）求常系数非齐次线性微分方程的特解的待定系数法和拉普拉斯变换法；（3）求一般非齐次线性微分方程特

解的常数变异法；（4）求一般二阶齐次线性微分方程的幂级数解法。

文献[3]针对自由项为几类常见类型的三阶常系数非齐次线性微分方程，得到了求此类微分方程的特解公式，使求三阶常系数非齐次线性微分方程的特解更加简易。其主要结果如下：

定理1 设有三阶常系数非齐次线性微分方程

()''''''x m y py qy dy P x e λ+++= (1)

对应的齐次方程的特征方程记为

320r pr qr d +++= (2)

若令()3

2

f r r pr qr d =+++，且()x

y H x e λ=为微分方程(1)的解, 其中()H x 为多项式

函数, 则()H x 需满足下列恒等式

()()()()()()()()''

''

'''''2

m f f H x f H x H x H x P x λλλ+++=

定理2 设有三阶常系数非齐次线性微分方程(1),则方程(1) 的特解形式可写为

()*k x m y x Q x e λ=,

其中()0

m

j

m j j Q x b x

==

∑且

(1)当λ不是特征根时, 则0k =且多项式()m Q x 的系数满足

()()()()()()()'''

1231

[1123]2j j j j j f b a j f b j j b j b f λλλ+++⎡⎤

=-+-++++⎢⎥⎣⎦

(2)当λ是单特征根时, 则1k =且多项式()m Q x 的系数满足

()()()

()()''2

3'1

22312j j j j a f b j b j j b f j λλ++⎡⎤=-+-++⎢⎥+⎣⎦

(3)当λ是二重特征根时, 则2k =且多项式()m Q x 的系数满足

()()()3''2

3(1)2j j j a b j b f j j λ+⎡⎤=-+⎢

⎥++⎣⎦

(4)当λ是三重特征根时, 则3k =且多项式()m Q x 的系数满足

()()

(1)23j

j a b j j j =

+++

其中,,1,1,0j m m =-L ；而1230m m m b b b +++===。

文献[4-5]通过将高阶微分方程转化为微分方程组，并结合二阶微分方程组的刘维尔公式，获得了三阶微分方程的通解公式，其主要结果如下：

对于有解()() , x x αβ的三阶变系数齐次线性微分方程

()()()0y p x y q x y r x y '''+"+'+=，

通过变量代换可以转化为微分方程组

'

1

12'''''''

212'''''

312''(1),,1(),z r z q z z r z q z z r z q z a αααα

αααα⎧=⋅++⎪⎪

⎪=⋅+⎨⎪

⎪=⋅+⋅⎪⎩

该方程组的前两项构成新的二元方程组，再由刘维尔公式及必要的积分运算,最终可得出方程的通解。

文献[6-10]在原有教材的基础上研究了一类三阶常系数非其次线性微分方程特解的简便公式，而且利用该公式可容易地在计算机上编程计算。其主要结果如下：

定理3 设有三阶常系数非齐次线性微分方程

()323210x y py qy ry A x A x A x A e α'''+"+'+=+++ (3)

及对应的齐次微分方程的特征方程

320p q r ρρρ+++=，

设3

2

()F p q r ρρρρ=+++，记3

2

()F F p q r αααα==+++，

2()32F F p q ααα'='=++， 1

()32

e F p αα=

"=+，则 (1) 当α不是特征方程的根时，令

331

a A F =，'232231F a A A F F =-+，'2'132132

6(())21F eF F a A A A F F F -=-+，'3'2'2'0321

04326(()2)2(())1

F eFF F F eF F a A A A A F F F F

-+--=+-+，

则方程(3) 有特解

()*323210x y a x a x a x a e α=+++； (4)

(2) 当α是特征方程的单根时，令

33

'1

4a A F =，232'2'1()3e a A A F F =-+，2'1321'3'2'3()1()()2e F e a A A A F F F -=-+，2'2'03210'4'3'2

6(2)2()1

()()()e e F e F e a A A A A F F F F

-+-=+-+， 则方程(3) 有特解

()*323210x y x a x a x a x a e α=+++ ； (5)

(3) 当α是特征方程的二重根时，令 33120a A e =

，232211412a A A e e =-+，132132111

36a A A A e e e =-+，032104323111

22a A A A A e e e e

=-+-+，

则方程(3) 有特解

()*2323210x y x a x a x a x a e α=+++； (6)

(4) 当α是特征方程的三重根时，令331120a A =，22160a A =，11124a A =，001

6

a A =，

则方程(3) 有特解

()*3323210x y x a x a x a x a e α=+++。 (7)

文献[11]给出了复常系数线性齐次徽分方程的通解公式，并利用变量替换的方法，给出了一类复变系数线性齐次微分方程的通解公式。

复系数三阶线性齐次微分方程

''''''0y y y y αβγ+++= （8）

这里,,C αβγ∈的特征方程为

320y y y αβγ+++= （*）

令3

y x α

=-

，则（*）化为3

()()0x a bi x c di ++++= （'

*）

其中2()3e a R αβ=+，2

()3m b I αβ=+，32()273

e c R ααβγ=-+，

32()273m d I ααβγ=-+则可求得（'*）的根123,,x x x ，从而得到方程（*）的根113

y x α=-，

223

y x α

=-

，333

y x α

=-

，再应用三阶齐次线性微分方程解的结构定理，文献[11]获得了

如下结果：

定理4 复系数三阶线性齐次微分方程

''''''0y y y y αβγ+++= （9）

其中,,C αβγ∈，2()3e a R αβ=-+，2

()3m b I αβ=-+，32()273e c R ααβ

γ=-+，32()273

m d I ααβ

γ=-+，则

1 当1∆为实数（0B =） 1）10∆=（0A =）

a ．且20∆=时，方程（9）的通解为2

3

123()x y c c x c x e α

-=++

b ．且20∆≠时，方程（9）的通解为00()(2)3

3

123()u x

u x

y c c x e c e αα

--=++

2）且()100A ∆f f 时，方程（9）的通解为112233()()()3

3

3

123u v x

u v x

u v x

y c e c e c e α

α

α

+-+-+-=++ 2）且()100A ∆p p 时，方程（9）的通解为445566()()()3

3

3

123u v x

u v x

u v x

y c e c e

c e

α

α

α

+-+-+-=++

2 当1∆为虚数(0)B ≠时，方程（9）的通解为

778899()()()3

3

3

123u v x

u v x

u v x

y c e

c e

c e

α

α

α

+-+-+-=++，123,,c c c 为任意复常数。

定理5 三阶复变系数线性齐次微分方程

322()'''(3)()''()()'0x y x y x x y y λμλαλμλλβλμγ+++++++++= （10）

其中,R λμ∈，,,C αβγ∈，且0λ≠则

1 当1∆为实数（0B =） 1）10∆=（0A =）

a ．且20∆=时，方程（10）的通解为

2

3123(ln ||(ln ||))()

y c c x c x x αλ

λμλμλμ-

=+++++

b ．且20∆≠时，方程（10）的通解为

0011

()(2)

3

3

123(ln ||()

()

u u y c c x x c x αα

λλ

λμλμλμ-+-=+++++

2）且()100A ∆f f 时，方程（10）的通解为

1122331

1

1

()

()

()

3

3

3

123()

()

()

u v u v u v y c x c x c x ααα

λ

λ

λ

λμλμλμ+-+-+-=+++++

2）且()100A ∆p p 时，方程（10）的通解为

445566111()()()3

3

3

123()

()

()

u v u v u v y c x c x c x α

α

α

λλλλμλμλμ+-+-+-=+++++

2 当1∆为虚数(0)B ≠时，方程（10）的通解为

77881

1

1()

()

3

3

12399()

()

()()3

u v u v x

x

y c x c x c x u v αα

λ

λ

λμλμλμ+-+-=++++++-，

其中2()3e u R αβ=-+，2

()3m b I αβ=-+，32()273e c R ααβ

γ=-+，32()273

m d I ααβ

γ=-+，123,,c c c 为任意复常数。

文献[12]论证三阶线性常微分方程

''''''123()()()0y p x y p x y p x y +++=

可积的两个充分必要条件。 众所周知，n 阶线性常微分方程;

()(1)1()()0n n n y p x y p x y -+++=L L （11）

在一般情况下是不可积的。 考虑三阶线性方程

''''''1230

y p y p y p y +++= （12）

其中112233(),(),()p p x p p x p p x ===。

方程''''''

1230z q z q z q z +++=， （13）

式（13）中，112233(),(),()q q x q q x q q x ===。

记 ()12

3()1

T

P P x p p p ==, ()12

3()1T

Q Q x q q q ==。

文献[12]获得了如下结果：

定理6 方程（12）经过变换(),()0y u x z u x =≠, 化成方程（13）的充分必要条件是

4()E b P Q =。 （14）

式（14）中'1

()b b x u u -==，()u u x =。

考虑三阶线性方程

32123320d z d z dz

r r r z dt dt dt

+++=， （15） 式（15）中112233(),(),()r r t r r t r r t ===。

对方程（15）和变换t vdx =⎰

，()0v v x =≠记()1

2

3()1T

R t r r r =，

'1()a a x v v -==，

12310

00000000000v V v v ---⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥

⎢

⎥⎣⎦，2'1

0003100100001a A a a a ⎡⎤

⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥

+⎢⎥

⎣⎦

定理7 对于()0v v x =≠，方程（13）经过自变量()t v x dx =⎰

变换化成方程（15）的充分必要条件是

(())R v x dx VAQ =⎰

文献[13]论述了一类三阶变系数线性常微分方程

''''''()()()()y A x y B x y D x y E x +++=

当满足条件2

0D DB BD +'-'=和 0BD DA AD +'-'=时,可用初等积分法求其通解,并推出了求解公式。

为了叙述方便,记三阶线性常微分方程为:

[]''''''L y y Dy y A By E +++== (16)

其中()()()(),,,A A x B B x D D x E E x ====都在(),a b 内连续。

由文献[14]知,方程(16)的通解是存在的。 文献[13]获得了如下结果： 定理8 记() D AD

f x dx D -=

⎰，在三阶线性常微分方程（16）中,若A B D E 、、、都

在(),a b 可导, 0D ≠,且

2 0

D DB BD BD DA AD ⎧+'-'=⎨

+'-'=⎩,则可用初等积分法求此方程的通解。 推论 若D 和E 都在(),a b 可导, 0D ≠,则方程

()212y x mx n Dy x m Dy Dy E ⎛⎫

'''+++"-+'+= ⎪⎝⎭

的通解为:

()()231[]

2E g x mx n Dh x m D h x dx c y D

⎛⎫

--++++⎰+ ⎪⎝⎭=

其中22

22

11221[]D x mx n D D x mx n D dx

dx D

D

DE D E g e

e dx c D

⎛⎫⎛⎫'-++'-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-

'-'⎰

⎰

=+⎰

,

()()2 h x g x dx c =+⎰, ()()3 k x h x dx c =+⎰,(,)m n ∈-∞+∞、

文献[15]受文献[13]启发，探讨了一类可用初等积分法求解的n 阶变系数线性非齐次微分方程, 其解法可不需要考虑齐次方程通解的求解，直接去寻求相应方法的通解。其主要结果如下：

在讨论了一类四阶、五阶变系数线性常微分方程的可积性,进而给出了方程

()(1)(2)121()()()'()()

n n n n n y a x y a x y a x y a x y F x ---+++++=L (17)

在条件

''

211''

322''1212''

110000

n n n n n n n n n n n n

n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -----⎧+-=⎪+-=⎪⎪

⎨

⎪+-=⎪⎪+-=⎩L L L 下的初等积分法,并推出了其求解公式为

12121

n n n n n n

F g a g a g a g a g y a -------=

L

文献[16]中作者指出积分因子在常微分方程的重要地位，并指出如何快速的找出积分因子，以及如何用积分因子求解。积分因子法是一个非常有用的方法，它可以快速解答微分方程。

三、总结部分

常微分方程是伴随着微积分的产生和发展而成长起来的一门历史悠久的学科。从诞生之日起很快就显示出它在应用上的重要作用。时至今日，可以说常微分方程在所有自然科学领域和众多社会科学领域都有着广泛的应用，在数学学科内部的许多分支中，常微分方程是常用的重要工具之一，也是整个数学课程体系中的重要组成部分，常微分方程每一步进展都离不开其它数学分支的支援。这一古老的学科，由于应用领域的不断扩大和新理论生长点的不断涌现，它的发展至今仍充满生机和活力，当前许多数学前沿的研究热点都离不开常微分方程。

总之，微分方程是一门十分有用又十分有魅力的学科，拓扑学、函数论、泛函分析等学科的发展，为常微分方程理论和应用的研究提供了新的工具。常微分方程的理论和方法还为泛函微分方程和最优控制理论等的产生与发展提供了基础，从而大大拓宽了方程的类型和它的研究领域．由于计算机科学的发展，微分方程数值解、解析理论以及它们在信息科学、机械学、电子学、生物、经济等许多领域的广泛应用，使常微分方程的理论和应用的研究提高到一个更高的水平。随着社会技术的发展和需求，常微分方程会有更大的发展。

四、参考文献

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