高中数学教案-命题的概念与真假判断

命题的概念与真假判断

课程目标

知识提要

命题的概念与真假判断

∙命题的概念

一般地，用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）．判断一个语句是不是命题，就要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．一个命题一般可以用一个小写英文字母来表示，如，，，．

∙真命题与假命题

判断为真的命题称为真命题（true proposition）；判断为假的命题称为假命题（false proposition）．

精选例题

命题的概念与真假判断

1. 已知方程有两个不相等的正实数根；方程

无实数根．若“ 或”为真，“ 且”为假．则下列结论：

①，都为真；

②，都为假；

③，一真一假；

④，至少有一个为真；

⑤，至多有一个为假．

其中正确结论的序号是．实数的取值范围是．

【答案】③；或

2. 给出下列四个命题：①梯形的对角线一定相等；②对任意实数，均有；③不存在实数，使；④有些三角形不是等腰三角形．其中所有正确命题的序号为．

【答案】②③④

3. 判断下列语句是否为命题，并把结果填在句末的横线上：

（1）空间内垂直于同一条直线的两条直线一定平行．（2）等边三角形难道不是等腰三角形吗？（3）．（4）若，则

【答案】（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）是

4. 有下列四个命题：

①“若，则，互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若，则有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．

其中真命题的序号为．

【答案】①③

5. 判断下列语句是否为命题，并把结果填在句末的横线上：

（1）难道不是正数？（2）当时，．

【答案】（1）不是；（2）是

6. 下列四种说法：

①函数的最小值为；

②等差数列中，，，成等比数列，则公比为；

③已知，，，则的最小值为；

④方程的两个实数根为，，且，则的取值范围是．

其中正确的命题为（填上所有正确命题的序号）．

【答案】①③④

【分析】当时，，

所以，故①正确；

等差数列中，，，成等比数列，

则，即，

解得：，或，

则公比为或，

故②错误；

，，，则；

故③正确；

令，若方程的两个实数根为，，且，

则，即，

表示的平面区域如图所示：

表示平面区域内一点（为包含边界）与点连接的斜率，

故的取值范围是，

故④正确．

7. 如果：

（1）是真命题，则；

（2）是假命题，则．

【答案】（1）；（2）

8. 给出下列说法：

①集合与集合是相等集合；

②若函数的定义域为，则函数的定义域为；

③定义在上的函数对任意两个不等实数，，总有成立，则在上是增函数；

④存在实数，使为奇函数．正确的有．

【答案】①③

9. 判断下列命题的真假，并把结果填在句末的横线上：

（1）．（2）是空集．（3），．（4），．

【答案】（1）真；（2）假；（3）真；（4）假

10. 下列命题：①，；②，；③，；④

，；⑤，；⑥，．其中所有真命题的序号是．

【答案】①③

11. 判断下列存在性命题的真假：（1），；（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）是无理数，是无理数．

【答案】（1）真；（2）真；（3）真

12. ①；②" 且 "是" "的充要条件；③函数

的最小值为

其中假命题的为（将你认为是假命题的序号都填上）

【答案】②，③

【分析】提示：

①，中，所以的图象都在轴上方，所以

；

②，当时，有可能，所以②错；

③，因为，所以利用均值定理时等号取不到．③错．

13. 有下列命题：

①的图象关于直线对称；

②的图象关于点对称；

③关于的方程有且仅有一个实根，则；

④满足条件，，的三角形有两个．

其中真命题的序号是．

【答案】①③

【分析】因为，所以

，所以函数的图象关于直线对称；函数，所以函数关于点对称；方程有且仅有一个实根时，满足，当

不成立，所以；由正弦定理得，解得，所以或

（舍）．

14. 下列说法中正确的有．

①平均数不受少数几个极端值的影响，中位数受样本中的每一个数据影响；

②抛掷两次硬币，出现"两枚都是正面朝上"、"两枚都是反面朝上"、"恰好一枚硬币正面朝上"的概率一样大；

③用样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确；

④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是古典概型．

【答案】③

15. 下列命题中，正确的是．

①在空间中，若四点不共面，则每三个点一定不共线；

②若，，点满足，则点的轨迹是双曲线；

③若点到直线：的距离为，则点的轨迹为抛物线；

④正方体的棱长为，是底面的中心，则到平面

的距离为．

【答案】①③④

16. 对于函数：①；②；③．判

断如下三个命题的真假：

命题甲：是偶函数；

命题乙：在上是减函数，在上是增函数；

命题丙：在是增函数．

则能使命题甲、乙、丙均为真的函数序号是．

【答案】②

17. 以下四个关于圆锥曲线的命题中

①设、为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线；

②过定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若则动点

的轨迹为椭圆；

③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线与椭圆有相同的焦点．

其中真命题的序号为．(写出所有真命题的序号)

【答案】③④

【分析】对于①：根据双曲线的定义，必须时，动点的轨迹才是双曲线，则①错；

对于②：因为所以为弦的中点，从而，于是动点

的轨迹为以线段为直径的圆，故②错．

18. 命题“存在，”是真命题，则的取值范围为．

【答案】

设，由题意得函数在内有零点，

所以，

所以．

19. 判断下列命题的真假，并把结果填在句末的横线上：

（1）当时，；（2），．

【答案】（1）假；（2）真

20. 下面是关于四棱柱的四个命题：

①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱是直四棱柱；

②若四个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱是直四棱柱；

③若四个侧面两两全等，则该四棱柱是直四棱柱；

④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱是直四棱柱．

其中，真命题的编号为．

【答案】②④

【分析】①错，必须是两个相邻的侧面；

②正确；因两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，可得到侧棱垂直于底面；

③错，反例，可以是斜四棱柱；

④正确，对角线两两相等，则此两对角线所在的平行四边形为矩形．

21. 如果：关于的不等式对一切都成立，：关于的方程

无实数根，且与中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．

【解】当为真时，由，

可得．

因此当为假时有或．

当为真时有，

即．

因此当为假时有或．

综上可知，当与中有且只有一个为真命题时，有或．

22. 判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．

(1)一个自然数不是合数就是质数．

【解】是假命题，既不是合数，也不是质数．

(2)在三角形中，大角所对的边大于小角所对的边．

【解】是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中．

(3)若是有理数，则，也都是有理数．

【解】是假命题，如当，时，，都是无理数，但是有理数． (4)求证时方程无解．

【解】不是命题．

23. 设函数的定义域为，若命题与命题中，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围．

【解】由，得，

所以为真时，；

为假时，或．

又由，得，

所以为真时，；

为假时，或．

所以，有且只有一个为真时，有或．

24. 已知集合，，若命题“ ”是假命题，求实数的取值范围．

【解】因为“ ”是假命题，所以．

设全集，

则或．

假设方程的两根，均非负，

则有即解得．

又集合关于全集的补集是，

所以实数的取值范围是．

25. 已知命题函数是函数的反函数，实数满足不等式

；命题存在实数，使关于的方程有实数根．若命题，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围．

【解】令，则由，得，

所以．

又，

所以，

所以，

所以．

因为方程有实数根且，

所以，

所以．

因为命题，中有且只有一个为真命题，

所以存在两种情况：

①当为真命题，为假命题时，

有

所以．

②当为假命题，为真命题时，

有

所以．

所以的取值范围是．

26. 已知命题：函数的定义域为；：不等式

对一切正实数均成立．若和都是假命题，求实数的取值范围．

【解】当为真时，有，成立，

所以，且，

解得．

所以为假时，．

当为真时，对一切正实数均成立，

即．

又因为在上是减函数，

所以，

即，

因此只需．

所以为假时，有．

综上，，都假时，有．

27. 判断下列命题的真假．

①空间中两条不平行的直线一定相交；

②垂直于同一个平面的两个平面互相垂直；

③每一个周期函数都有最小正周期；

④两个无理数的乘积一定是无理数；

⑤若，则；

⑥若，则方程无实数根；

⑦已知、、，若或，则；

⑧已知、、，若，则或．

【解】①假命题，还可能是异面直线；

②假命题，这两个平面可以平行也可以相交，不一定垂直；

③假命题，常数函数是周期函数，但没有最小正周期；

④假命题，反例：．

⑤假命题，反例：，，满足，且；

⑥真命题，时，，则方程无实数根；

⑦假命题，如，，即为反例；

⑧真命题，“已知、、，若，则或”的逆否命题为：若且，则，为真命题，故原命题也为真命题．

28. 试判断命题“一次函数，若，，，则对

任意都有”是真命题还是假命题，并说明理由．

【解】真命题．因为一次函数是单调函数，，，，所以，．

29. 设命题；命题不等式对一切正实数均成立．

(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；

【解】当命题为真命题时，由得，

所以，

因为不等式对一切正实数均成立，

所以．

所以实数取值范围是

(2)命题“ ”为真命题，且“ ”为假命题，求实数的取值范围．

【解】由命题“ ”为真，且“ ”为假，得命题，一真一假．

①当真假时，无解．

②当假真时，

所以．

所以实数的取值范围是

30. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假：

(1)若，则方程有实根；

【解】逆命题：若方程有实根，则，为假命题，

否命题：若，则方程无实根，假命题，

逆否命题：若方程无实根，则，真命题；

(2)若，则或．

【解】逆命题：若或，则，真命题，

否命题：若，则且，真命题，

逆否命题：若且，则，真命题．

31. 判断下列语句是否是命题：

(1)张三是四川人；

【解】是命题；

(2) 是个很大的数；

【解】不是命题；

(3) ；

【解】不是命题；

(4) ；

【解】不是命题；

(5) ；

【解】是命题．

32. 已知，设命题：函数在上单调递减；命题：不等式

的解集为．若和有且只有一个正确，求的取值范围．

【解】由函数在上单调递减知，所以．

不等式：的解集为，即在上恒大于．又因为

所以函数在上的最小值为．

故要使解集为，只需，所以，即．

若真假，则；若假真，则．

故的取值范围为或．

33. 将下列命题改写成“若，则”的形式，并判断其真假．

(1)末位数字是或的整数，能被整除；

【解】若一个整数的末位数字是或，则这个数能被整除．真命题．

(2)方程有两个实数根．

【解】若一个方程是，则它有两个实数根．假命题．

34. 命题＂若，则＂，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

【解】逆命题：若，则（假，如，）．

否命题：若，则（假，如，）．

逆否命题：若，则（真，）．

35. 已知命题：存在使得成立，命题：方程

表示焦点在轴上的椭圆．

(1)若是真命题，求实数的取值范围；

【分析】是真命题，则存在使得成立，所以只需即可，得到，所以．

【解】．

(2)若是假命题，求实数的取值范围．

【分析】若命题为真命题，则有得：或．

则为假命题时，或；为假命题时，．

所以是假命题，实数的取值范围．

【解】．

36. 设有两个命题：

①"关于的不等式的解集是 "；

② "函数是上的减函数"．

若命题①和②中至少有一个是真命题，求实数的取值范围．

【解】解设命题①为假，则．

再设命题②为假，则或或．

若①，②同时为假，则或．

从而①，②中至少有一个为真时，的取值范围是或或．

37. 已知命题，若对，是真命题，求实数的取值范围．

【解】由题意可得，，恒成立．

（i）当时，，显然不恒成立，不合题意．

（ii）当时，要使恒成立，则

解得．

综上可知，所求实数的取值范围是．

38. 已知点在曲线上，也在曲线上，求证：点在曲线

上（）．

【解】在曲线上，

．

同理，

，

即也在曲线上．

39. 已知命题："若，则 "，写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．

【解】逆命题："若，则 "，假命题；

否命题："若，则 "，假命题；

逆否命题："若，则 "，真命题．

40. 判断下列命题的真假：

(1)中国所有的江河都流入太平洋；

【解】真；

(2)有的四边形既是矩形，又是菱形；

【解】真；

(3)实系数方程都有实数解；

【解】假；

(4)有的数比它的倒数小．

【解】真．

课后练习

1. 给出下列四个命题：

①命题“ ，”的否定是“ ，”；

②函数的定义域为，其图象上任一点满足，则函数可能是奇函数；

③若，，则不等式成立的概率是；

④函数在上恒为正，则实数的取值范围是．

其中真命题的序号是．（请填上所有真命题的序号）

2. 有下列命题：

①双曲线与椭圆有相同焦点；

② “ ”是“ ”必要不充分条件；

③若，共线，则，所在的直线平行；

④若，，三向量两两共面，则，，三向量一定也共面；

⑤，．

其中是真命题的有：．（把你认为正确命题的序号都填上）

3. 下列命题中：

①“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆否命题；

②“圆内接四边形的对角互补”的否命题；

③“若，则”的逆命题；

④“若，则”的逆命题．

正确的命题是（请填入正确命题的序号）．

4. 在中，三内角，，的对边分别为，，．

命题若，则．

命题若，则．

给出下列四个结论：

①命题的逆命题、否命题、逆否命题都是真命题；

②命题“ ”是假命题；

③命题“ ”是假命题；

④命题“ ”是假命题．

其中所有正确结论的序号是．

5. 给出下列命题：

①是幂函数；

②函数的零点有个；

③的解集为；

④ " "是" "的充分不必要条件；

⑤函数在点处切线是轴．

其中真命题的序号是（写出所有正确命题的编号）

6. 有下列四个命题：

①在中，、分别是角、所对的边，若，则；

②若，则；

③在正项等比数列中，若，则；

④若关于的不等式恒成立，则的取值范围是．

其中所有正确命题的序号为．

7. 给出如下四个命题，其中不正确的命题的个数是．

①若" 且 "为假命题，则，均为假命题；

②命题"若且，则 "的否命题为"若且，则 "；

③四个实数，，，依次成等比数列的必要不充分条件是；

④在中，" "是" "的充分不必要条件．

8. ①是的半径；②；③直线切于点．请以其中两个语句为条件，一个语句为结论，写出一个真命题．

9. 下面给出的四个命题中：

①以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为；

②若，则直线与直线相互垂直；

③命题“ ，使得”的否定是“ ，都有”；

④将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．

其中是真命题的有（将你认为正确的序号都填上）．

10. 有下列命题：

①若为假命题，则、均为假命题；

② " "是" "的充分不必要条件；

③命题"若，则 "的逆否命题为："若，则 "；

④对于命题，使得，则，均有．

其中所有正确结论的序号是．

11. 下列说法中：

①命题："存在使得 "的否定是"对任意都有 "．

②若直线、在平面内的射影互相垂直，则

③已知一组数据为、、、、、，则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系是：众数中位数平均数．

④已知回归方程，则可估计与的增长速度之比约为．

⑤若，，三点共线，则的值为．

所有正确说法的序号是．

12. 已知下列命题：

①；

②函数的图象向左平移个单位后得到的函数图象解析式为；

③函数的图象与函数的图象关于轴对称；

④满足条件，，的有两个．

其中正确命题的序号是．

13. 命题①：关于的不等式对恒成立；命题②：

是减函数．若命题①、②至少有一个为真命题，则实数的取值范围是．

14. 给出下列命题：

①“若，则关于的方程有实根”的逆命题为；

②“若，则”的否命题为；

③“若，则”的逆否命题为；

④命题：“ ，若，则，全为”的非命题为．

你写出的命题是真命题的序号是．

15. 给出下列命题：

①函数的图象关于点对称；

②若向量，，满足且，则；

③把函数的图象向右平移得到的图象；

④若数列既是等差数列又是等比数列，则．

其中不正确命题的序号为．

16. 给出如下命题：

①命题“在中，若，则”的逆命题为真命题；

②若动点到两定点，的距离之和为，则动点的轨迹为线段；

③若为假命题，则，都是假命题；

④设，则“ ”是“ ”的必要不充分条件．

⑤若实数，，成等比数列，则圆锥曲线的离心率为；

其中所有正确命题的序号是．

17. 举一个反例，说明命题“若，是无理数，则是无理数”是假命题：．

18. 对于任意实数，，，下列命题：

①若，，则；②若，则；

③若，则；④若，则

中，真命题为．

19. 给出下列四个命题：

①函数的图象关于点对称；

②函数是最小正周期为的周期函数；

③设为第二象限的角，则，且；

④函数的最小值为，

其中正确的命题是．

20. 设有两个命题：①关于的不等式的解集是；②函数是减函数．如果这两个命题有且只有一个真命题，则实数的取值范围是．

21. 判断下列命题的真假：

(1)；

(2)；

(3)．

22. 设命题函数的定义域为；命题不等式

对一切正实数均成立．如果命题或为真命题，命题且为假命题，求实数的取值范围．

23. 判断下列语句哪些是命题？如果是命题，是真命题还是假命题？

(1)末位数字是的整数能被整除；

(2)平行四边形的对角线相等且互相平分；

(3)两直线平行则斜率相等；

(4)在中，若，则；

(5)余弦函数是周期函数吗？

24. 写出命题"一组对边平行且相等的四边形是平行四边形"的逆命题，否命题，逆否命题，并且判断其真假．

25. 写出命题"若，则 "的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假，说明理由．

26. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．

(1)"负数的平方是正数"；

(2)"若和都是偶数，则是偶数"；

(3)"当时，若，则 "；

(4)"若，则且 "．

27. 判断下列命题的真假：

(1)已知，，，，若，或，则；

(2) ，；

(3)若，则方程无实数根；

(4)存在一个三角形没有外接圆．

28. 把下列命题改写成‘‘若则”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假：

(1)对顶角相等；

(2)四条边相等的四边形是正方形．

29. 已知命题“若，则二次方程没有实根”：

(1)写出命题的否命题；

(2)判断命题的否命题的真假，并证明你的结论．

30. 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假：

(1)若，则；

(2)矩形的对角线相等．

31. 设命题方程表示双曲线；命题，．

(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；

(2)若命题为真命题，求实数的取值范围；

(3)求使“ ”为假命题的实数的取值范围．

32. 判断下列命题的真假：

(1)；

(2)；

(3)．

33. 判断下列命题的真假．

(1)作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量；

(2)数轴是向量；

(3)温度是向量．

34. 判断下列说法是否正确：

(1)一个命题的否命题为真，它的逆命题也一定为真；

(2)一个命题的逆否命题为真，它的逆命题不一定为真．

35. 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假：

(1)若，则；

(2)若，则．

36. 已知：函数的定义域为；：不等式对一切正实数均成立．如果" 或 "为真命题，" 且 "为假命题，求实数的取值范围．

命题的概念与真假判断-出门考

姓名成绩

1. 给定下列命题：

①若，则方程有实数根；

②若，则；

③对角线相等的四边形是矩形；

④若，则，中至少有一个为．

其中真命题的序号是．

2. 有下面四个判断：①命题"设，若，则或 "是一个假命题；

②若 " 或 "为真命题，则，均为真命题；③在中，" "是" "的充分不必要条件；④设向量，，则" "是" "成立

的必要不充分条件．其中所有错误的判断有．（填序号）

3. 下列说法中：

①若正数满足，则的最小值为；

②在平面上，到定点的距离与到直线距离相等的点的轨迹是抛物线；

③双曲线的渐近线的夹角正切是；

④以球心为原点建立的空间直角坐标系中，若、为球面上两点，则过、的大球劣弧长（即、的球面距离）为．

其中正确命题的序号是．

4. 给出下列命题：

①对数函数在是增函数，则实数的取值范围是；

②若不等式的解集为，则实数的取值范围是；

③若方程在内恰有一解，则实数的取值范围是；

④在中，若，则角的取值范围是，其中真命题的编号

是（写出所有真命题的编号）．

5. 给出下列命题：

①是幂函数；

②函数的零点有个；