高中数学教师备课必备(简易逻辑)：专题五 四种命题及真假判断 含解析
【基础回顾】
一．命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题．
二．四种命题及其关系
1．四种命题
命题表述形式
原命
题
若p，则q
逆命
题
若q，则p
否命
题
若p⌝,则q⌝
逆否命题若q⌝，则p
⌝
即：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题
叫做互为逆命题;
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定,那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题;
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。
2．四种命题间的逆否关系
3．四种命题的真假关系
(1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
【典型例题】
例1．已知p q、是两个命题，若“()p q
⌝∨”是假命题，则（)
A．p q、都是假命题B．p q、都是真命
题
C ．p 是假命题，q 是真命题
D ．p 是真命题，
q 是假命题
【答案】D
【解析】
例2．给出下列命题：其中正确命题的序号是( ) ①已知)2,3(),1,1(),2,1(-==--=c b a ,若b q a p c +=,则p =1， q =4
②不存在实数α,使1cos sin =αα
③ ⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,8π是函数)452sin(π+=x y 的一个对称轴中心 ④已知函数()f x ()中，
上为减函数，在锐角在ABC ∆1,0)(cos )(sin C f A f <有. A ．①② B ．②④ C ．①③
D ． ④
【答案】B
【解析】
试题分析：
高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第2课命题与简易逻辑文(含解析)
第2课 命题与简易逻辑 1．命题 （1）命题的定义：可以判断真假的陈述句叫做命题． （2）四种命题的形式： （3 ）四种命题的关系 （3）原命题与它的逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假；原命题与逆命题真假性无关 【例1】已知,,a b c R ∈，命题“若3a b c ++=，则2223a b c ++≥”的否命题是（ ） A ．若3a b c ++≠，则2223a b c ++< B ．若3a b c ++=，则2223a b c ++< C ．若3a b c ++≠，则2223a b c ++≥ D ．若2223a b c ++≥，则3a b c ++= 【答案】A 【解析】命题“若p ,则q ”的否命题是“若p ?,则q ?”,故选A ． 2．逻辑连接词 （1）命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑连接词． （2 【例2】（2013房山二模）若q p ∨?是假命题，则（ ） A ．q p ∧是假命题 B ．p q ∨是假命题 C ．p 是假命题 D ．q ?是假命题 【答案】A 【解析】∵“q p ∨?”是假命题，∴命题p 真，命题q 假， ∴q p ∧是假命题，故选A ． 【变式】(2014南海质检)下列说法中正确的有（ ） （1）命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”；
（2）“2x >”是 “2320x x -+>”的充分不必要条件；（3）若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题；（4）对于命题p ：x R ?∈，210x x ++<，则p ?：x R ?∈，210x x ++≥. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C 【解析】（1）（2）（4）正确． ()() ()1:,2,3.??3全称量词与存在量词 全称量词“ 所有的”、“任意一个”用“”表示．含有全称量词的命题叫全称命题．“存在一个”“至少一个”用“”表示．含有存在量词的命题叫特称命题．含有一个量词的的否定 （4 【例3】（2013重庆高考）命题“对任意x R ∈,都有2 0x ≥”的否定为（ ） A ．对任意x R ∈,使得20x < B ．不存在x R ∈,使得20x < C ．存在0x R ∈,都有2 00x ≥ D ．存在0x R ∈,都有2 00x < 【答案】A 【例4】（2013六校联考）已知函数2 ()2f x x x =-，()2(0)g x ax a =+>，对任意的 1[1,2]x ∈-，都存在0[1,2]x ∈-,使得10()()g x f x =，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】1 (0,]2 【解析】 ∵1[1,2]x ∈-时，1()[2,22]g x a a ∈-++， 0[1,2]x ∈-时，0()[1,3]f x ∈-，
典型例题：常用逻辑用语主要题型及解题指导
《常用逻辑用语》主要题型及解题指导 常用逻辑用语在各级考试中主要以考查基本概念、基本关系与其它知识相结合为主的客观题形式出现，难度低，重基础学习中只要夯实基础，把握逻辑联结词的含义、全称量词与特称量词的关系、充要条件的意义、四种命题及相互关系，针对不同试题，应用不同的求解策略，解题时才会得心应手 1、命题的真假判断 此类问题包括四种类型：1一般命题的真假判断，可根据定义直接判断；2四种命题的真假判断，可利用原命题及其逆否命题的等价关系求解；3命题p∨q”﹑“p∧q”﹑“p”的真假判断：首先要确定命题的构成形式，然后指出其中子命题p与q 的真假，最后利用真值表获得命题的真假性；4含有量词的命题的真假判断，注意反例的应用 例1命题p：若a、b、c∈R，则“y＝a2＋b＋c为二次函数”是“y＝a＋b为一次函数”充要条件．命题q：函数y＝的定义域是－∞，－1∪3，＋∞则 A．“p或q”为假B．“p且q”为真 C．p真q假D．p假q真 分析：根据一次函数与二次函数的解析式的结构特点就可判断命题p的真假，根据根式满足的条件，通过解绝对值不等式可确定命题q的真假．
解：当y＝a2＋b＋c为二次函数时，a≠0，则y＝a＋b为一次函数反过来，当y＝a＋b为一次函数时，a≠0，则y＝a2＋b ＋c为二次函数，故命题p真由|－1|－2≥0可得≤－1或≥3，即q为真命题，∴“p且q”为真，故选A． 点评：本题解答关键是要对一次函数与二次函数的定义理解透彻及掌握函数定义域的求法，同时把握住复合命题真假的判断规律． 2、命题的合成与分解 主要有两种题型：一是利用基本简易逻辑词将子命题合成为p∧q﹑p∨q﹑p的命题形式；二是将具有p∧q﹑p∨q﹑p形式的命题分解为子命题p与q，此类题型要注意有些命题中没有明显的逻辑联结词，解答时要首先对命题进行适当的改写例2命题p：直线a－2＋ay－1＝0与直线a＋2＋ay－1＝0垂直的充要条件是a＝；命题q：直线a－2＋ay－1＝0与直线a＋2＋ay－1＝0垂直的充要条件是a＝－，则命题p∨q为 _______________ 分析：根据p∨q定义复合原则直接合成即可 解：命题p∨q：直线a－2＋ay－1＝0与直线a＋2＋ay－1＝0垂直的充要条件是a＝或命题q：直线a－2＋ay－1＝0与直线a＋2＋ay－1＝0垂直的充要条件是a＝－ 点评：本题易错写为直线a－2＋ay－1＝0与直线a＋2＋ay
高中数学常用逻辑用语：命题及其关系
常用逻辑用语：命题 及其关系 要求层次 重难点 “若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题 A 理解四种命题的相互关系；掌握充要条件的 判定 四种命题的相互关系 B 充要条件 C （一） 知识内容 1．对于“如果p ，则q ”形式的命题，p 称为命题的条件，q 称为命题的结论． 定理：经过证明为真的命题． 当命题“如果p ，则q ”经过推理证明断定是真命题时，我们就说则p 可以推出q ，记作p q ，读作“p 推出q ”． 2．命题的四种形式： 命题“如果p ，则q ”是由条件p 和结论q 组成的，对p q ，进行“换位”和“换质（否定）”后，可以构成四种不同形式的命题． ⑴原命题：如果p ，则q ； ⑵原命题的逆命题：如果q ，则p ； ⑶原命题的否命题：如果非p ，则非q ； ⑷原命题的逆否命题：如果非q ，则非p ． 否 逆为互 逆 为互 否 互否 互逆互否互逆 如果非q ,则非p 如果非p ,则非q 如果 q,则 p 如果 p,则 q 3．命题“如果p ，则q ”的四种形式之间有如下关系： ⑴互为逆否命题的两个命题等价（同真或同假）．因此证明原命题，也可以改证它的逆否命题． 例题精讲 高考要求 常用逻辑用语：命题及其关系 板块一：命题的四种形式
⑵互逆或互否的两个命题不等价． <教师备案>注意命题的否定与否命题之间的区别，前者是命题的反面，且与命题的真假恰好相反；后 者是对条件与结论同时进行否定，它的真假与原命题的真假没有绝对的联系． （二）典例分析 【例1】 判断下列语句是否是命题： ⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷260x +>；⑸112+>； 【例2】 判断下列命题的真假． ⑴空间中两条不平行的直线一定相交； ⑵垂直于同一个平面的两个平面互相垂直； ⑶每一个周期函数都有最小正周期； ⑷两个无理数的乘积一定是无理数； ⑸若A B ，则A B B ≠； ⑹若1m >，则方程220x x m -+=无实数根． ⑺已知a b c d ∈R ，，，，若a c ≠或b d ≠，则a b c d +≠+； ⑻已知a b c d ∈R ，，，，a b c d +≠+，则a c ≠或b d ≠． 【例3】 设语句()p x ：πcos()sin 2x x +=-，写出π ()3 p ，并判断它是不是真命题； 【例4】 下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2； ③212x x +=的解可表示为{}11， ．其中真命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【例5】 如果两个三角形全等，那么它们的面积相等； ① 如果两个三角形的面积相等，那么它们全等； ② 如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等； ③ 如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等； ④ 命题②、③、④与命题①有何关系？ 【例6】 写出下列命题的否命题，并判断否命题的真假． ⑴命题p ：“若0,ac ≥则二次方程20ax bx c ++=没有实根”； ⑵命题q ：“若x a ≠且x b ≠，则2()0x a b x ab -++≠”； ⑶命题r ：“若(1)(2)0x x --=，则1x =或2x =”． ⑷命题l ：“ABC ∆中，若90C ︒∠=，则A ∠、B ∠都是锐角”； ⑸命题s ：“若0abc =，则a b c ，，中至少有一个为零” ．
高中数学命题的四种形式例题解析
1.3.2命题的四种形式 学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题． 知识点一四种命题的概念 命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，q进行“换位”和“换质”，一共可以构成四种不同形式的命题． (1)原命题：如果p，则q； (2)条件和结论“换位”：如果q，则p，这称为原命题的逆命题； (3)条件和结论“换质”(分别否定)：如果綈p，则綈q，这称为原命题的否命题． (4)条件和结论“换位”又“换质”：如果綈q，则綈p，这称为原命题的逆否命题． 知识点二四种命题间的相互关系 (1)四种命题间的关系 (2)四种命题间的真假关系 由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系： ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，即两命题等价； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，即两个命题不等价． 1．有的命题没有逆命题．(×)
2．两个互逆命题的真假性相同．(×) 3．对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．(√) 4．一个命题的四种命题中，真命题的个数一定为偶数．(√) 题型一四种命题的结构形式 例1把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题． (1)正数的平方根不等于0； (2)当x＝2时，x2＋x－6＝0； (3)对顶角相等． 解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0. 逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数． 否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0. 逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数． (2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0. 逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2. 否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0. 逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2. (3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等． 逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角． 否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等． 逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角． 反思感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论． 跟踪训练1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题． (1)实数的平方是非负数； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形． 解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．
简易逻辑问题的类型与解法
简易逻辑问题的类型与解法 大家知道，简易逻辑问题是近几年高考的热点问题之一，基本上每卷都有一至二个五分小题，从题型上看，是选择题或填空题，难度属于中档或低档类题目。纵观近几年的高考试卷，归结起来简易逻辑问题主要包括：①判断命题的真假；②四种命题之间的关系；③充分条件，必要条件，充分必要条件的判断；④复合命题的结构及真假判断；⑤全称量词与特称量词问题；⑥求参数的值或潜在范围等几种类型。各种类型结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同，那么在实际解答简易逻辑问题时，到底如何抓住题型的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例1】解答下列问题： 1、下列判断正确的是（ ） A “x ＜-2”是“ln(x+3) ＜0”的充分不必要条件 B 函数f(x)= 29x ++29x +的最 小值为2 C 当α，β∈R 时，命题“若α=β，则sin α=sin β”的逆否命题为真命题 D 命题“∀x ＞0，2019x +2019＞0”的否命题是“∃0x ≤0，02019x +2019≤0” 【解析】 【知识点】①命题的定义与性质；②命题真假判断的基本方法；③充分条件，必要条件，充分必要条件判断的基本方法；④基本不等式及运用；⑤四种命题之间的关系；⑥全称命题，特称命题的定义与性质。 【解题思路】运用命题真假判断的基本方法，结合问题条件分别对各选项的命题真假进行判断，从而得出选项。 【详细解答】对A ， Q 当x=-4时，-4<-2但-4+3<0，∴ ln(x+3) 五意义，⇒A 错误；对B ，Q 29x +=29x +不能成立，基本不等式的条件不满足，∴命题为假命题，⇒B 错误； ③Q 由α=β，可以得到sin α=sin β，∴原命题正确，⇒逆否命题也正确，⇒C 正确，∴选C 。 2、数学中有许多形状完美，寓意美好的曲线，曲线C ：2x + 2 y =1+|x|y 就是其中之一（如图），给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横，纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于 3.其中，所有正确结论的序号是（ ） A ① B ② C ①② D ①②③ （2题图）
高中数学教师备课必备(简易逻辑)：专题五 四种命题及真假判断 含解析
【基础回顾】 一．命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题． 二．四种命题及其关系 1．四种命题 命题表述形式 原命 题 若p，则q 逆命 题 若q，则p 否命 题 若p⌝,则q⌝ 逆否命题若q⌝，则p ⌝ 即：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题
叫做互为逆命题; 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定,那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题; 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。 2．四种命题间的逆否关系 3．四种命题的真假关系 (1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 【典型例题】 例1．已知p q、是两个命题，若“()p q ⌝∨”是假命题，则（) A．p q、都是假命题B．p q、都是真命
题 C ．p 是假命题，q 是真命题 D ．p 是真命题， q 是假命题 【答案】D 【解析】 例2．给出下列命题：其中正确命题的序号是( ) ①已知)2,3(),1,1(),2,1(-==--=c b a ,若b q a p c +=,则p =1， q =4 ②不存在实数α,使1cos sin =αα ③ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛0,8π是函数)452sin(π+=x y 的一个对称轴中心 ④已知函数()f x ()中， 上为减函数，在锐角在ABC ∆1,0)(cos )(sin C f A f <有. A ．①② B ．②④ C ．①③ D ． ④ 【答案】B 【解析】 试题分析：
高一数学第一章(第17课时)四种命题(二)
课题：1.7 四种命题（2） 教学目的： 1．理解四种命题的关系，并能利用这个关系判断命题的真假 2．理解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；并能用反证法证明一些命题； 3．培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想 教学重点：理解四种命题的关系 教学难点：逆否命题的等价性 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解)．由此，这一大节首先讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法．然后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．这一大节的重点是充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的． （初中数学中有关反证法的内容，要求比较低，并且基本没有涉及代数命题到高中数学学习的需要，结合四种命题及其关系进行讲授学习反证法，一是要注意加强对有关代数命题的训练，二是教学要求要适当，对反证法的掌握，还有待于随着学习的深入，逐步提高教科书中反证法涉及代数命题的例、习题，是属于初中范围的，比较简单．因此，这些题目都可以用直接的方法进行证明，不一定用反证法，选取这些题，主要是为了让学生熟悉反证法）反证法在初中教科书中指出：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法 教学过程： 一、复习引入： 四种命题及其形式
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆 否互原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若?p 则?q ； 逆否命题：若?q 则?p. 二、讲解新课： 1．四种命题的相互关系 互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用右下图表示： 2．四种命题的真假关系 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下 三条关系： ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真 3．反证法： 要证明某一结论A 是正确的，但不直接证明，而是先去证明A 的反面（非 A ）是错误的，从而断定A 是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法 4．反证法的步骤： (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立 (2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾 (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 注意：可能出现矛盾四种情况： ①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论 三、范例 例1．判断以下四种命题的真假 原命题：若四边形ABCD 为平行四边形，则对角线互相平分 真 逆命题：若四边形ABCD 对角线互相平分，则它为平行四边形； 真 否命题：若四边形ABCD 不是为平行四边形，则对角线不平分； 真 逆否命题：若四边形ABCD 对角线不平分，则它不是平行四边形； 真 归纳小结：（学生回答，教师整理补充）
命题与简易逻辑知识总结 (1)
《命题与简易逻辑知识总结》 一、知识总结： 1．命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句． 真命题：判断为真的语句． 假命题：判断为假的语句． 2．“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论． 3．原命题：“若 p ，则q ”逆命题：“若q ，则p ” 否命题：“若p ?，则q ?”逆否命题：“若q ?，则p ?” 4．四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5．若 p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 利用集合间的包含关系：例如：若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件； 6．逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ?． 7．⑴全称量词—“所有的”、“任意一个”等，用“?”表示； 全称命题p ：)(,x p M x ∈?；全称命题p 的否定p ?：)(,x p M x ?∈?． ⑵存在量词—“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示； 特称命题p ：)(,x p M x ∈?；特称命题p 的否定p ?：)(,x p M x ?∈?； 二、专项训练 1．命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是（ ） A ．简单命题 B ．非p 形式的命题
C ．p 或q 形式的命题 D ．p 且q 的命题 答案：D 解析：“垂直平分”的含义是“垂直且平分”．所以是D ． 2．如果命题p 是假命题，命题q 是真命题，则下列错误的是（ ） A ．“p 且q ”是假命题 B ．“p 或q ”是真命题 C ．“非p ”是真命题 D ．“非q ”是真命题 答案：D 解析：“p 且q ”型命题的真假是一假必假，“p 或q ”型命题的真假是一真必真，“非p ”型命题和命题p 的真假相反．所以答案是D ． 3．已知命题p 、q ，如果p ?是q ?的充分而不必要条件，那么q 是p 的（ ） A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要 答案：B 解析：因为互为逆否命题的命题真假相同，所以q 是p 充分不必要条件，答案是B ． 4．命题“若090=∠C ，则ABC ?是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四 个命题中，真命题的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 答案：C 解析：原命题是真，则逆否命题为真，逆命题为假，所以否命题为假，即有两个真命题，答案是C ． 5．下列命题中为全称命题的是（ ） A 有些圆内接三角形是等腰三角形 ； B 存在一个实数与它的相反数的和不为0； C 所有矩形都有外接圆 ； D 过直线外一点有一条直线和已知直线平行． 答案：C 解析：“所有的”、“任意一个”等属于全称量词，“存在一个”、“至少有一个”等属于存在量词，因此全称命题是C ，答案为C ． 6．下列全称命题中真命题的个数是（ ） ①末位是0的整数，可以被3整除； ②对12,2+∈?x Z x 为奇数． ③角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；
(教师)常用逻辑命题
知识要点梳理 知识点一：命题 1. 定义： 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题. （1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等. （2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题 （3）命题“”的真假判定方式： ①若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。如：一定推出. ②若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可. 注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题. 2. 逻辑联结词： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词. （1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题. （2）复合命题的构成形式： ①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）. （3）复合命题的真假判断（利用真值表）： 非 真真假真真 真假假真假 假真真真假 假假真假假 ①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”； ②当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。 ③“非p”与p的真假相反. 注意： （1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。可以类比于集合中“或”. （2）“或”、“且”联结的命题的否定形式： “p或q”的否定是“p且q”；“p且q”的否定是“p或q”. （3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。
高中数学选修课高考题型及解析
高中数学选修课高考题型解析 选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何 2-1-1常用逻辑用语 一、题型一：命题、真命题、假命题的判断 1．例1：下列语句是命题的是( ) A ．梯形是四边形 B ．作直线AB C ．x 是整数 D ．今天会下雪吗 解：A 2、例2．下列说法正确的是( ) A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B ．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题 C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D ．语句“当a ＞4时，方程x 2 －4x ＋a ＝0有实根”是假命题 解析：对于A ，改写成“若p ，则q ”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B 所给语句是命题； C 的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D. 变式练习：下列命题是真命题的是( ) A ．{?}是空集 B.{}x ∈N||x －1|<3是无限集 C ．π是有理数 D ．x 2 －5x ＝0的根是自然数 解析：选D. x 2 －5x ＝0的根为x 1＝0，x 2＝5，均为自然数． 二、题型二：复合命题的结构 例3将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假： (1)6是12和18的公约数； (2)当a >－1时，方程ax 2 ＋2x －1＝0有两个不等实根； (3)已知x 、y 为非零自然数，当y －x ＝2时，y ＝4，x ＝2. 解析：(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题． (2)若a >－1，则方程ax 2 ＋2x －1＝0有两个不等实根，是假命题． 因为当a ＝0时，方程变为2x －1＝0，此时只有一个实根x ＝1 2 . (3)已知x 、y 为非零自然数，若y －x ＝2，则y ＝4，x ＝2，是假命题． 变式练习：指出下列命题的条件p 与结论q ，并判断命题的真假： (1)若整数a 是偶数，则a 能被2整除； (2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形； (3)相等的两个角的正切值相等． 解析：(1)条件p ：整数a 是偶数，结论q ：a 能被2整除，真命题． (2)命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”， 即“若一个四边形的对角线相等且互相平分，则该四边形是矩形”． 条件p ：一个四边形的对角线相等且互相平分 结论q ：该四边形是矩形，真命题． (3)命题“相等的两个角的正切值相等”，即“若两个角相等，则这两个角的正切值相等”．条件p ：两个角相等，结论q ：这两个角的正切值相等，假命题． 三、题型三：命题真假判断中求参数范围 例4、已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：方程4x 2 ＋4(m －2)x ＋1＝0(m ∈R)无实根，求使p 为真命题且q 也为真命题的m 的取值范围．
高中数学苏教版选修1-1学案：第一章 常用逻辑用语 1.1.1 四种命题 Word版含答案
1.1.1四种命题 [学习目标]1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义.2.会分析四种命题的相互关系. 知识点一命题的定义 (1)定义：能够判断真假的语句叫做命题. (2)真假命题：命题中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题. (3)命题的一般形式：命题的一般形式为“若p则q”.通常，命题中的p是命题的条件，q是命题的结论. 知识点二四种命题的概念 (1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. (2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题. (3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题. 知识点三四种命题的真假性的判断 原命题为真，它的逆命题不一定为真；它的否命题也不一定为真.原命题为真，它的逆否命题一定为真.
题型一命题及其真假的判定 例1判断下列语句是不是命题，若是，判断真假，并说明理由. (1)求证3是无理数. (2)若x∈R，则x2＋2x＋1≥0. (3)你是高二学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢苹果. (5)一个正整数不是质数就是合数. (6)x＋3>0. 解(1)祈使句，不是命题. (2)是真命题，因为x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0. 对于x∈R，不等式恒成立. (3)是疑问句，不能判断真假，不是命题. (4)是真命题. (5)是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数. (6)不是命题.不能判断真假. 反思与感悟要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 跟踪训练1判断下列语句是不是命题，若是，判断其真假，并说明理由. (1)函数y＝sin2x－cos2x的最小正周期是π. (2)若x＝4，则2x＋1<0. (3)垂直于同一条直线的两直线平行吗？ (4)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列. (5)求证：x∈R时，方程x2－x＋1＝0无实数根. 解(1)(2)(4)是命题.(3)(5)不是命题. 命题(1)中，y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，显然其最小正周期为π，是真命题. 命题(2)中，当x＝4,2x＋1>0，是假命题. (3)是一个疑问句，不是命题.
1.1四中命题及其相互关系
授课主题四中命题及其相互关系 教学目标 1．了解命题的概念，能判断命题的真假． 2．了解四种命题的结构形式，会写出一个命题的逆命题、否命题与逆否命题． 3．掌握四种命题之间的关系以及真假性之间的关系. 4．会利用命题的等价性解决简单问题． 教学内容 1.命题的定义 我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫假命题． 并不是任何语句都是命题，只有能判断真假的语句才是命题．一般来说，疑问句，祈使句，感叹句都不是命题，但是反义疑问句是命题． 如：a．“这是一棵大树”；b．“2 x<”；c．“三角函数是周期函数吗？”，“但愿每一个三次方程都有三个根”，“指数函数的图像真漂亮！”d．125 > “”，“6=2”，“π”是无理数；e．“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和”（歌德巴赫猜想）；“在2010年前，将有人登上火星” 2.命题的结构 数学中，具有“若p，则q”这种形式的命题是常见的，我们把这种命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论．3.命题的四种形式 一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p⌝和q⌝来表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：如果p⌝，则q⌝；逆否命题：如果q⌝，则p⌝． 关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以如下表述： （1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题． 如：同位角相等，两直线平行．它的逆命题就是：两条直线平行，同位角相等． （2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题 如上例的否命题是：同位角不相等，两直线补平行． （3）交换原命题的条件个结论，并同时否定，所得的命题是逆否命题．
高考数学复习简易逻辑
高考数学复习简易逻辑 知识归纳总结： 1.逻辑联结词 （1）命题：可以判断真假的语句叫做命题. （2）逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词. （3）简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题；由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题. （4）真值表：表示命题真假的表叫真值表. 2.四种命题 （1）四种命题 原命题：如果p，那么q（或若p则q）；逆命题：若q则p； 否命题：若⌝p则⌝q；逆否命题：若⌝q则⌝p. （2）四种命题之间的相互关系 3、充分条件与必要条件 （1）.充分条件：如果p⇒q，则p叫q的充分条件，原命题（或逆否命题）成立，命题中的条件是充分的，也可称q是p的必要条件. （2）.必要条件：如果q⇒p，则p叫q的必要条件，逆命题（或否命题）成立，命题中的条件为必要的，也可称q是p的充分条件. （3）.充要条件：如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p叫做q的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题（或逆否命题和否命题）都成立，命题中的条件是充要的. 4.反证法：当直接证明有困难时，常用反证法. “若p，则q”感到困难时，改证它的等价命题“若q ⌝则p ⌝”成立， 步骤：1、假设结论反面成立； 2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾； 3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾； 2、导出与假设相矛盾的命题； 3、导出一个恒假命题。 例题精析 一、选择题 ★1.由“p:8+7=16，q:π＞3”构成的复合命题，下列判断正确的是 A.p或q为真，p且q为假，非p为真 B.p或q为假，p且q为假，非p为真 C.p或q为真，p且q为假，非p为假 D.p或q为假，p且q为真，非p为真 解析：因为p假，q真，由复合命题的真值表可以判断，p或q为真，p且q为假，非p为真. ★2．给出命题“已知a、b、c、d是实数，若a=b，c=d，则a+c=b+d”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题有
人教版高中数学简易逻辑”教材分析与教学建议
“简易逻辑”教材分析与教学建议 简易逻辑知识与其它内容有着紧密联系，它们是学习掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的起点，且是新教材新增加的一部分,下面就我在这一章的教学中谈些体会一、地位： （1）简易逻辑知识则是新增加的内容,也是高中数学的入门知识，学习掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的起点。 （2）简易逻辑知识是认识问题、研究问题不可缺少的工具。它和集合知识一样都是学习、掌握和使用数学语言的基础。 （3）逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科.学习数学,需要全面地理解概念,正确地进行表述,推理和判断,这就离不开对逻辑知识的掌握和运用.更广泛地说,在日常生活,学习,工作中,基本的逻辑知识也是认识问题,研究问题不可缺少的工具,是人们文化素质的组成部分. 二、考纲解读： 1、考试内容：逻辑联结词、四种命题、充分条件和必要条件。 2、考试要求：理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义、理解四种命题及其相互关系，掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义。 三、重点难点分析： 重点：对“或”“且”“非”等逻辑联结词的理解、四种命题之间的关系及利用真值表判断复合命题的真假。 难点：对反证法的理解及运用。 四、本部分的教材分析 （一）、初中与高中的衔接在集合这部分： "简易逻辑".学生在初中数学中,学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识,掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解).由此,这一大节首先给出含有"或","且","非"的复合命题的意义,介绍了判断含有"或","且","非"的复合命题的真假的方法.接下来,讲述四种命题及其相互关系,并且在初中的基础上,结合四种命题的知识,进一步讲解反证法.然后,通过若干实例,讲述了充分条件,必要条件和充要条件的有关知识.这一大节的重点是逻辑联结词"或","且","非"与充要条件.学习简易逻辑知识,主要是为了培养学生进行简单推理的技能,发展学生的思维能力,在这方面,逻辑联结词"或","且","非"与充要条件的有关内容是十分必要的.这一大节的难点是对一些代数命题真假的判断.初中阶段,学生只是对简单的推理方法有一定程度的熟悉,并且,相关的技能和能力,主要还是通过几何课的学习获得的,初中代数侧重的是运算的技能和能力,因此,像对代数命题的证明,学生还需要有一个逐步熟悉的过程.根据《全日制普通高级中学数学教学大纲(试验修订版)》的规定,本章的教学要求是:理解逻辑联结词"或","且","非"的含义;理解四种命题及其相互关系; （二）、内容与要求: 在逻辑这部分,有关命题的内容,突出的是对逻辑联结词"或","且","非"的理解和
高中数学复习学(教)案(第3讲)简易逻辑
题目第一章集合与简易逻辑简易逻辑 高考要求 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义 知识点归纳 命题可以判断真假的语句； 逻辑联结词或、且、非； 简单命题不含逻辑联结词的命题； 复合命题由简单命题与逻辑联结词构成的命题 三种形式p或q、p且q、非p 真假判断p或q，同假为假，否则为真； p且q，同真为真, 否则为假； 非p，真假相反 原命题若p则q；逆命题若q则p；否命题若⌝p则⌝q；逆否命题若⌝q则⌝p；互为逆否的两个命题是等价的 反证法步骤假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立 充要条件条件p成立⇒结论q成立，则称条件p是结论q的充分条件，结论q成立⇒条件p成立，则称条件p是结论q的必要条件， 条件p成立⇔结论q成立，则称条件p是结论q的充要条件，题型讲解 例1 分别写出由下列命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形成的复合命题： （1）p：π是无理数q：π是实数 （2）p：5是15的约数q：5是20的约数 解：（1）p或q：π是无理数或实数 p且q：π是无理数且为实数 非p：π不是无理数 （2）p或q：5是15或20的约数 p且q：5是15且也是20的约数 非p：5不是15的约数 例2指出下列复合命题的形式及其构成 （1）若α是一个三角形的最小内角，则α不大于60°； （2）一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰直角三角形； （3）有一个内角为60°的三角形是正三角形或直角三角形 解：（1）是非p形式的复合命题，其中p:若α是一个三角形的最小内角，则α＞60° （2）是p且q形式的复合命题，其中p:一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰三角形，q:一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是直角三角形
《常用逻辑用语》集体备课
课题常用逻辑用语复习课 教学目标 知识与技能 1.了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的 形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假；2.正确理解 并会判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条 件；3.掌握逻辑联结词“或、且、非”的含义，正确应用逻辑联结词“或、且、 非”解决问题，掌握真值表并会应用真值表解决问题；4.理解全称量词与存在量 词的含义，了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能判断其命题的真假 性，正确地对含有一个量词的命题进行否定。 过程与方法 1.多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分 析问题、有创造性地解决问题的能力；2.通过对充分条件、必要条件的概念的理 解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力；3.使学生体会从具体到 一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力． 情感、态度、 价值观 1.通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以 及培养他们分析问题和解决问题的能力；2.通过学生的举例，培养他们的良好思 维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育。 重点 1.会写四种命题并会判断命题的真假，四种命题之间的相互关系； 2.充分条件、 必要条件的概念；3.“P∧q”“P∨q”“￢P”真值表；4.理解全称量词与存在量词 的意义，会正确地对含有一个量词的命题进行否定． 难点 1.命题的否定与否命题的区别；2.正确理解命题“P∧q”“P∨q”“￢P”真假的规定和判定. 教学过程学法指导 课标要求 1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题． 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系． 3.通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． 4.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义． 5.能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 考纲分析 2011年山东省高考数学考试大纲（文史类） 考试范围是《普通高中数学课程标准(实验)》中的必修课程内容和选修系列1的内容，内容如下： 数学1：集合、函数概念与基本初等函数I(指数函数、对数函数、幂函数). 数学2：立体几何初步、平面解析几何初步. 数学3 ：算法初步、统计、概率. 数学4：基本初等函数Ⅱ(三角函数)、平面上的向量、三角恒等变换. 数学5：解三角形、数列、不等式. 选修1－1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用.吃透考纲， 做到心中有 数，有的放 矢，提高学 生分析问 题、解决问 题的能力。 选修1－2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图. 选修系列4的内容 附：山东省2010年高考真题知识点分布及分值分布特点： 备注：红色标注的地方为历年高考真题中以大题形式考查的内容、题号及分值分布. 学法指导 明确各部分 在高考中所 占的比重. 第1页，共6页
高三数学命题及其关系试题答案及解析
高三数学命题及其关系试题答案及解析 1.下列命题中是真命题的是（） A．，均有 B．若为奇函数，则 C．命题“”为真命题，命题“”为假命题，则命题“”为假命题 D．是函数的极值点 【答案】C 【解析】当=0时，则=1-，对不成立，故A错； 对B，为奇函数，则=，，故B不成立. 对C，因为“”为真命题，则是假命题，又因为“”为假命题，则命题“”为假命题，故C 成立. 考点: 2.已知命题p：∀x∈(1，＋∞)，log 2x