工程力学-第十一章弯曲应力

合集下载

工程力学11-弯曲应力

16kN
+
x
160
B
20kN M 12kN· m
+ －
B截面上边受拉下边受压
x 8kN· m
s
B

M
y B 2 Iz

8 10 146 . 8
6
2 . 9 10
6
7
40 . 50 MPa
s
B

M
y B 1 Iz

8 10 53 . 2 2 . 9 10
7
14 . 67 MPa
A
z y
dA
Mz
M
y

s ( y ) zdA
A
s
x
Mz My
FN
M
z

s ( y ) ydA
A
y
工程力学
3、纯弯曲时正应力公式的推导—静力学关系
FN

s ( y )dA
A
s ( y) E
E
y
r
z y
dA
Mz

x FN
My
s ( y )dA
A
r

ydA
A
s
纯弯曲情况下有：
M
y
Mz
y
工程力学
组合公式：
IZ = IZ（1）+ IZ（2）+……+ IZ（n）
三、平行轴定理
任一截面面积为A，过形心取yc、zc轴，过任一点O取与yc 平行且相距为b的y1轴及取与zc轴平行且相距为a的
z1轴，则有： IZ1 = IZc+Aa2
Iy1 = Iyc+Ab2

工程力学第十一章弯曲应力课件

2.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。
3.推论平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。
纵向对称面中性层
纵向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压缩。
中性轴（横截面上只有正应力）
4、需要校核切应力的几种特殊情况：
梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核切应力。铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相
应比值时，要校核切应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。
q=3.6kN/m
A
Q
qL
2+
L=3m
M
qL2/8
+
例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截
P1=9kN
A
C
P2=4kN
B
D
1m 1m 1m
2.5kNm M
x -4kNm
A1
A3
y1 G
y2
A2
A4
4
例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，
铸铁的[sL]=30MPa，[sy]=60 MPa，
其截面形心位于G点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？
假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。
由胡克定律知：
sx
sx
sx
E x
Ey
...... (2)
3、静力学关系：
①
Nx
AsdA
A
Ey
dA
E
A
ydA

工程力学第17讲弯曲应力：正应力惯性矩(完整)

第 11 章弯曲应力
本章主要研究：

单辉祖:工程力学
对称弯曲正应力对称弯曲切应力梁的强度分析与设计非对称弯曲应力
1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
引言对称弯曲正应力惯性矩与平行轴定理对称弯曲切应力梁的强度条件梁的合理强度设计双对称截面梁的非对称弯曲
单辉祖:工程力学
Ai yCi AyC
yC

i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
21
A
A1 yC 1 A2 yCb 2 2
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d 3.0210 -6 m4 I z1 bd yC 12 2
d b3 b I z2 db d yC 5.8210 -6 m4 12 2
I z I z 1 I z 2 8.8410 6 m 4
2
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) s c,max B 64.5 MPa Iz
dA 0 (b) F x 0 , s A M z 0, A ysdA M (c)
10
物理方面:
s ( y ) E ( y )
单辉祖:工程力学
s E
y

(a)
sdA 0 A
(b)
A ysdA M
yC y dA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
2
§1 引言
弯曲应力与对称弯曲本章内容

工程力学弯曲应力和内力知识点总结

变形后，横截面仍为平面，且仍与纵线正交。
2. 单向受力假设
纵向纤维互不挤压，只受单向拉压。
计算方法
1. 正应力计算公式
适用于弹性变形范围内的长直梁，具体公式依据材料力学原理推导得出。
2. 切应力计算公式
复杂且因截面形状而异，需根据具体情况分析。
应用实例
1. 简支梁
一端固定铰支、另一端可动铰支的梁，是工程中常见的梁类型。
2. 悬臂梁
一端固定、另一端自由的梁，受力分析较为复杂。
3. 外伸梁
具有一个或两个外伸部分的简支梁，需考虑外伸部分的影响。
工程力学弯曲应力和内力知识点总结
知识点
描述
弯曲内力
1. 剪力
平行于横截面的内力合力，左上右下为正。
2. 与弯矩图
表示剪力、弯矩沿梁轴变化的图线，是分析梁的重要手段。
弯曲应力
1. 正应力
梁弯曲时，横截面上的正应力主要由弯矩引起。
- 纯弯曲
横截面上只有弯矩而无剪力的情况，正应力分布简单，中性层上无应力。
- 横力弯曲
横截面上既有弯矩又有剪力的情况，正应力分布复杂，需考虑切应力的影响。
2. 切应力
由剪力引起，横截面上的切应力分布规律因截面形状而异。
中性层与中性轴
1. 中性层
梁内一层纤维既不伸长也不缩短，此层纤维称为中性层。
2. 中性轴
中性层与横截面的交线，为应力分布分析的基准线。
应力假设
1. 平面假设

工程力学课件 11弯曲应力共87页文档

解：先求Iy
z y dA
dAdydz
Iy
z2dA z2dzdy A
A
h
b
2bdy 2
h
2 h
2
z2dzbz332h
bh3 12
2
同理：
Iz
1 12
b3h
z
o
y
b
b
h
IyzAyzdA b 2b 2ydyh 2h 2zdzy22 2bz22 2h0
2
2
例11-2 已知：如图，求：Iy、Iz、 Iyz、 IP
ρ y
I Iz Iy
3、惯性积 z
乘积 yzdA 为微面积 dA 对于一对正交轴
y、z 两轴的惯性积。
I yz yzdA A
单位：m4
y dA z
ρ
y
特点：
1）同一图形对不同的正交轴的惯性积不同； 2）在一对正交轴中只要有一个坐标轴是图形的对称轴，则
Iyz = 0
例11-1 已知：如图，求：Iy、Iz 和 Iyz
y
A
(
y
2 C
2byC
b 2 )d A
I zC 2b S zC b 2 A
SzC AyC 0 Iy IyC a2A
Iz IzC b2A
Iy IyC a2A Iyz IyCzCabA
注意: C点必须为形心
IIC(ab)2A
§11-2 平面弯曲时梁横截面上的正应力
一、纯弯曲(Pure Bending):
1 D4
64
例11-2 已知：如图，求：Iy、Iz、 IP、Iyz
z
解：对圆形图形，取扇形微
面积，用极坐标表示
dArddr zrsin yrcos

工程力学弯曲应力PPT资料94页

ycmax yt max
M
z
σ tm ax y
σtmax Mytmax Iz
σcmax Mycmax Iz
3.横力弯曲时梁横截面上的正应力
平面假设不再成立
当：L 5
h
纯弯曲的正应力计算公式计算横力弯曲梁横截面上的正应力
误差不超过1%。
My
IZ
Mxy
IZ
总结
假设平面假设，单向受力假设
空心圆截面
z
z
y
y
WIz πd4/64 πd3 d/2 d/2 32
WIz b3 h/12b2 h h/2 h/2 6
WπD3(14)
32
αd D
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面
Wz
Iz ymax
分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
ycmax 和 ytmax 直接代入公式
σcmax
σ My Iz
一些易混淆的概念
对称弯曲与纯弯曲对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外力时的受力与变形形式纯弯曲－梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常数的受力状态
中性轴与形心轴
中性轴－横截面受拉与受压区的分界线形心轴－通过横截面形心的纵向坐标轴
截面弯曲刚度与抗弯截面系数
弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度
中性层受拉区
受压区中性轴
纵向纤维既不伸长也不缩短的层—中性层中性层与横截面的交线—中性轴
中性轴⊥截面纵向对称轴 ❖横截面间绕中性轴相对转动
拉压、扭转时横截面上应力分析过程
变形
平面假定
应变分布
物理关系

工程力学第11章(弯曲应力)

y

A
A
dA z 0
Eபைடு நூலகம்

E
A

ydA z
E

yzdA

I yz 0
I yz 0
y、z轴为截面的形心主惯性轴.
(3)
M (F ) 0 :
z

E
A
dA y M
2

E
A

ydA y

1
A
y dA
E

Iz M
M EI z
· 横力弯曲
Fs 0, M M ( x)
梁横截面上既有正应力又有切应力。
· 纯弯曲
Fs 0, M 常数
梁横截面上只有正应力无切应力。
§11-2
截面对z轴的静矩
截面（平面图形）的几何性质
一、截面的静矩与形心
S z ydA yC A
A
截面对y轴的静矩
S y zdA zC A
例：宽度b = 6mm、厚度δ= 2mm的钢带环绕在直径D = 1400mm的带轮上，已知钢带的弹性模量为E = 200GPa。试求钢带内的最大弯曲正应力与钢带承受的弯矩。
解：钢带的变形状态同弯曲，其轴线的曲率半径 D 1.4 2 103 0.701m 2 2 2 2 横截面离中性轴最远距离 2 103 ymax 1.0 103 m 2 2 3 ymax 1 10 max E 200 109 285MPa 0.701 1 M EI z EI z 200 109 6 23 1012 M 1.414N m 12 0.701

工程力学_第11章_弯曲应力-1

(
y)
FS
16 I z
b(h02 h2 ) 2 (h2 4 y2 )
max (0)
min
(
h) 2
7
3.弯曲正应力与弯曲切应力比较
max
4l
h
max
若是分布载荷q作用下，则：
max
2l
h
max
当 l >> h 时，max >> max
8
1.实心与非薄壁截面梁
a与c 点处－单向应力
b 点处－纯剪切
9
2.薄壁截面梁
d
a 点处－纯剪切 c 与d 点处－单向应力
b 点处－与联合作用
10
1.梁的强度条件
弯曲正应力强度条件： max [ ] 材料单向应力许用应力
弯曲切应力强度条件： max [ ] 材料纯剪切许用应力
2. 强度条件的应用
细长非薄壁梁 ( max max ) max [ ]
1
（1）中性轴位置：中性轴过截面形心
（2）中性层曲率：
1 M
EI z
（Iz －惯性矩）（EI z －截面弯曲刚度）
（3）正应力公式： ( y) My
Iz
max
M Wz
（Wz －抗弯截面系数）
2
（1）矩形截面惯性矩： IZ bh3 1264
WZ bh2 6
2、注重弯曲强度，兼顾腹板的剪切强度与稳定性
避免剪切破坏与局部失稳
12
M ( x) [ ]－弯曲等强条件
W(x)
h( x) 6Fx
b[ ]
3FS( x) [ ] －剪切等强条件 h(x) 3F
2bh( x)
2b[ ]

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

9
6-2
§11-2 正应力公式的推广强度条件
横力弯曲正应力公式弹性力学精确分析表明，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力 My 弯曲近似成立。

IZ
梁中弯曲最大正应力
等截面时
max (
M ) max WZ
max
bh
3
M C 90 1 60 1 0.5 60kN m
K
M
C
yK
3
IZ
M C yK IZ
6
IZ
60 10 (

0.12 0.18 12
3
3
5.832 10 m
5
4
12
30 ) 10
180
K

2 5 5.832 10
（压应力）
材料的许用应力 60 MPa .
强度条件
max (
M WZ
) max σ

15
§11-2 正应力公式的推广强度条件
max (
M ) max WZ
解：（1）计算简图（2）绘弯矩图（3）强度校核中间段：

max

MB W z1

Fa
d1
32
6
3

62 . 5 267 32
16
§11-2 正应力公式的推广强度条件
某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重 F1 6 . 7 kN, 起重量 F 2 50 kN , 跨度 l 9 . 5 m, 材料的许用应力 140 MPa, 试选择工字钢的型号。
分析
（1）确定危险位置（2） max M max
Wz
（3）计算 M （4）计算
Wz
max
，选择工
字钢型号
17
§11-2 正应力公式的推广强度条件
解：（1）计算简图（2）绘弯矩图
M
（3）根据
M
max
max
Wz
计算
3
( 6 . 7 50 ) 10 9 . 5 Wz

max

6 3
4 6 140 10 m 962 cm
[ ]
2. 增大 WZ
合理设计截面合理放置截面
30
6-7
§11-4 提高梁强度的主要措施
合理设计截面
31
§11-4 提高梁强度的主要措施
合理放置截面
WZ 左
bh 6 hb 6
2
2
WZ 右
32
§11-4 提高梁强度的主要措施
3、等强度梁
h x
b
33
§11-4 提高梁强度的主要措施
12
61.7 10 Pa 61.7 MPa
§11-2 正应力公式的推广强度条件
q=60kN/m
180
120
2. C 截面最大正应力
30
A
1m
FAY
B C
l = 3m
C 截面弯矩
M C 60kN m
x
K
z y
FBY
C 截面惯性矩
I Z 5.832 10 m
5 4
Cmax
t , max t
c , max c
11
§11-2 正应力公式的推广强度条件
q=60kN/m
180
120
1.C 截面上K点正应力
30
A
1m
FAY
B C
l = 3m
x
K
2.C 截面上最大正应力
3.全梁上最大正应力
FBy 90kN
z
FBY
y 解：1. 求支反力 FAy 90kN
6
3.按切应力强度条件计算许可载荷 max 3FS / 2 A 3F / 2bh
6
/ 3 10000 N 10kN
24
§11-3 梁的弯曲切应力
F
50 z50 50 100
4.按胶合面强度条件计算许可载荷
l
FS

F
g
4F 3bh g
6

6
2 . 5 10 88 10
3
3
Iz
7 . 64 10
6
28 . 8 10 Pa 28 . 8 M Pa t
21
§11-3 梁的弯曲切应力
1, 矩形截面

F S S Zmax I zb
*
3 FS 2 A
22
目录
§11-3 梁的弯曲切应力
3，弯曲切应力强度条件整个梁中
max
WZ
My max IZ IZ ymax
抗弯截面系数
截面 max
M ) max WZ
M WZ
整个梁中
max (
等截面时 max
M max WZ
7
§11-1 纯弯曲时梁的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
I Z y dA
2 A
WZ
IZ y max
圆截面空心圆截面 I Z 矩形截面空心矩形截面
3
962 10
（4）选择工字钢型号 36c工字钢（5）讨论
W z 962 cm
3
q 67 . 6 kg/m
18
§11-2 正应力公式的推广强度条件
T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。 30 MPa , 60 MPa,
t c
试校核梁的强度。
I z 7 . 64 10
6
m
4
z1 52 z
分析：
（1）要同时满足 t , max
t , c , max cy
（2）作弯矩图，寻找需要校核的截面
19
§11-2 正应力公式的推广强度条件
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 . 5 kN.m
t ,max
M By 1 Iz

4 10 52 10
M max WZ
[ ]
1. 降低 Mmax
合理安排支座合理布置载荷
26
6-7
§11-4 提高梁强度的主要措施
合理布置支座
F
F
F
27
§11-4 提高梁强度的主要措施
合理布置支座
28
§11-4 提高梁强度的主要措施
合理布置载荷
F
29
§11-4 提高梁强度的主要措施
max
M max WZ
第十一章弯曲应力
1
回顾与比较内力应力

F A

M
T IP
FAy
FS
? ?
2
§11-1 纯弯曲时梁的正应力
纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
3
§11-1 纯弯曲时梁的正应力
4
§11-1 纯弯曲时梁的正应力
平面假设：横截面变形后保持为平面，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。
5
§11-1 纯弯曲时梁的正应力
凹入一侧纤维缩短突出一侧纤维伸长中间一层纤维长度不变－－中性层
中性层与横截面的交线
－－中性轴
6
§11-1 纯弯曲时梁的正应力
正应力分布

My IZ
I Z y dA
2 A
截面对中性轴的惯性矩
3
3
7 . 64 10
6
6
27 . 2 10 Pa 27 . 2 MPa t
4 kN.m
3
y1 y2
c ,max
M By 2 Iz

4 10 88 10
3
7 . 64 10
6
6
46 . 1 10 Pa 46 . 1 MPa c
*
τ max (
F S S Zmax I zb
) ma x τ
等截面时
τ max
F Smax S Zmax I zb
*
τ
23
§11-3 梁的弯曲切应力
F
50 z50 50 100
l
悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的〔σ〕= 10 MPa， [τ]=1MPa，求许可载荷。
M C ymax IZ
3
60 10
180
10
3
2 5 5.832 10
6
92.55 10 Pa 92.55MPa
13
§11-2 正应力公式的推广强度条件
q=60kN/m
180 120
பைடு நூலகம்
3. 全梁最大正应力
30
A
1m
FAY
B C
l = 3m
最大弯矩
M max 67.5kN m
M max WZ
1.弯矩最大的截面上 2.离中性轴最远处
10
§11-2 正应力公式的推广强度条件
弯曲正应力强度条件 1，塑性材料
梁中弯曲最大正应力
σ
max
σ

等截面时
max (
M WZ
) max σ
max
M max WZ
σ

3.脆性材料，抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑