高考数学考点解析点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系(20200623070047)
点和圆、直线和圆的位置关系
学习笔记-点和圆、直线和圆的位置关系主要内容：点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、切线的判定及性质、圆和圆的位置关系。
（1）点和圆的位置关系：数量关系和位置关系的对应（2）圆的确定1、过一点可做无数个圆；2、过二点可做无数个圆；3、不在同一条直线上的三点确定（有且只有）一个圆；过在一条直线的三点不能做圆；4、不在同一条直线上的四点有可能作一个圆，也有可能做不出一个圆；（3）三角形的外接圆1、三角形外接圆、圆的内接三角形、外心（外接圆圆心，三角形三条边的中垂线交点）；2、“接”：三角形顶点与圆的关系，顶点在圆上；“外、内”：三角形和圆的位置关系；（4）反证法1、定义：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，有矛盾断定假设不正确，从而得出原命题成立；2、使用场景：用于解决不易直接证明或不能直接证明的命题，主要适用于：①结论是否定形式的命题②结论是无限形式的命题③结论是“至多”或“至少”形式的命题3、否定形式“大（小）于——不大（小）于”“或——且”“至多有n个——至少有n+1个”“都是——不都是”（5）“一箭穿心”模型（圆外一点到圆的最大距离和最小距离）先把圆心到点的距离d求出来，最大距离为d+r，最小距离为d-r（三角形三边关系可证明）；（1）直线和圆的位置关系：数量关系和位置关系的对应（2）直线与圆相离，直线到圆的最大距离和最小距离先把圆心到直线的距离d求出来，最大距离为d+r，最小距离为d-r（垂线段最短可证明）；（1）切线的定义➢与圆只有一个交点的直线➢圆心到直线的距离等于半径的直线（2）切线的判定➢定义法：与圆只有一个公共点➢数量关系：d=r（圆心到直线的距离等于半径）➢位置关系（切线判定定理）：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线证明切线的常用辅助线：◆有交点，连半径，证垂直◆无交点，作垂直，证半径（3）切线的性质➢切线与圆有且只有一个公共点➢圆心到切线的距离等于圆的半径➢（切线的性质定理）圆的切线垂直于过切点的半径以下是两个推论：⏹经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点⏹经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心有切线后的常用辅助线：切点的位置确定：连接圆心和切点，得垂直，即连切点得垂直切点位置不确定：过圆心作切线的垂线，垂足就是切点，即作垂直得切点（4）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角主要讲解下面这个图形：找出图中互相垂直的线段、直角三角形、等腰三角形、全等三角形注意：适当讲解弦切角定理（两角互余可证明），开阔学生做题的思路。
2020年高考数学专题复习直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.2.圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．( )(3)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )(4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√(教材习题改编)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1，3]C ．[－3，1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C.由题意可得，圆的圆心为(a ，0)，半径为2， 所以|a －0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1，故选C.圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0解析：选D.因点P 在圆上，且圆心Q 的坐标为(2，0)， 所以k PQ ＝－32－1＝－3，所以切线斜率k ＝33，所以切线方程为y －3＝33(x －1)， 即x －3y ＋2＝0.若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则实数m ＝________． 解析：圆C 1的圆心是原点(0，0)，半径r 1＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，圆心C 2(3，4)，半径r 2＝25－m ，由两圆外切，得|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝1＋25－m ＝5，所以m ＝9.答案：9直线x －2y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 解析：如图，取AB 中点C ，连接OC ，OA ，则OC ⊥AB ， |OA |＝22，|OC |＝|0－2×0＋5|12＋（－2）2＝5，所以|AC |＝8－5＝3，所以|AB |＝2|AC |＝2 3. 答案：2 3直线与圆的位置关系(1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外， 则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定(2)圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是________． 【解析】 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，从而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2＜1，所以直线与圆相交．(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k 2＋1)x 2＋4kx ＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k 2－12(k 2＋1)<0，解得k ∈(－3，3)．法二：圆心(0，0)到直线y ＝kx ＋2的距离d ＝2k 2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d >1，即2k 2＋1>1，解得k ∈(－3，3)．【答案】 (1)B (2)k ∈(－3，3)若将本例(1)的条件改为“点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1上”，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系如何？解：由点M 在圆上，得a 2＋b 2＝1，所以圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b 2＝1，则直线与圆O 相切．[提醒] 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．(2019·衢州模拟)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．圆的切线与弦长问题(高频考点)圆的切线与弦长问题，是近年来高考的一个热点，多以选择题、填空题的形式呈现，多为中、低档题目．主要命题角度有：(1)求圆的切线方程； (2)求弦长及切线长； (3)由弦长及切线问题求参数．角度一 求圆的切线方程过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0【解析】 因为过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条， 所以点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上， 因为圆心与切点连线的斜率k ＝1－03－1＝12，所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0.故选B. 【答案】 B角度二 求弦长及切线长(1)若a ，b ，c 是△ABC 三个内角的对边，且csin C ＝3asin A ＋3bsin B ，则直线l ：ax －by ＋c ＝0被圆O ：x 2＋y 2＝12所截得的弦长为( )A ．4 6B ．2 6C ．6D ．5(2)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝________．【解析】 (1)因为a sin A ＝b sin B ＝csin C，故由c sin C ＝3a sin A ＋3b sin B 可得c 2＝3(a 2＋b 2)．圆O ：x 2＋y 2＝12的圆心为O (0，0)，半径为r ＝23，圆心O 到直线l 的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝3，所以直线l 被圆O 所截得的弦长为2r 2－d 2＝2（23）2－（3）2＝6，故选C.(2)由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，所以圆心C (2，1)在直线x ＋ay －1＝0上，所以2＋a －1＝0，所以a ＝－1，所以A (－4，－1)．所以|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，所以|AB |2＝40－4＝36.所以|AB |＝6. 【答案】 (1)C (2)6角度三 由弦长及切线问题求参数已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．3B ．212C ．2 2D ．2【解析】 如图，把圆的方程化成标准形式得x 2＋(y －1)2＝1，所以圆心为(0，1)，半径为r ＝1，四边形PACB 的面积S ＝2S △PBC ，所以若四边形PACB 的最小面积是2， 则S △PBC 的最小值为1.而S △PBC ＝12r ·|PB |，即|PB |的最小值为2，此时|PC |最小，|PC |为圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的距离d ， 此时d ＝|5|k 2＋1＝12＋22＝5， 即k 2＝4，因为k >0，所以k ＝2. 【答案】 D(1)求直线被圆截得的弦长的常用方法①几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB |＝2r 2－d 2.②代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|.(2)圆的切线方程的求法①几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .②代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .1．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C ．[－3，3] D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 解析：选B.如图，设圆心C (2，3)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，若|MN |≥23，则d 2＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|MN |2≤4－3＝1， 即|2k |21＋k 2≤1，解得－33≤k ≤33.2．(2019·温州中学高三期末)若经过点P (－3，0)的直线l 与圆M ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋3＝0相切，则圆M 的圆心坐标是________；半径为________；切线在y 轴上的截距是________．解析：圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2，则圆心坐标为(－2，1)，半径R ＝2，设切线斜率为k ，过P 的切线方程为y ＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＝0，则圆心到直线的距离d ＝|－2k －1＋3k |1＋k 2＝|k －1|1＋k 2＝2，平方得k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2＝0，解得k ＝－1，此时切线方程为y ＝－x －3，即在y 轴上的截距为－3.答案：(－2，1)2 －33．(2019·杭州市学军中学高三模拟)已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线n ：x ＋m (m －1)y ＝2垂直，则m 的值为________，动直线l ：mx －y ＝1被圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0截得的最短弦长为________．解析：由题意得m －m (m －1)＝0⇒m ＝0或m ＝2；动直线l ：mx －y ＝1过定点(0，－1)，而动直线l ：mx －y ＝1被圆C ：(x －1)2＋y 2＝9截得的弦长最短时，弦中点恰为(0，－1)，此时弦长为29－（1＋1）＝27.答案：0或2 27圆与圆的位置关系(1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为( )A ．62B ．32C ．94D ．2 3【解析】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0，0)，(－a ，a )． 因为圆M 截直线所得线段长度为22，所以a 2＋（－a ）2＝2 2. 又a >0，所以a ＝2.所以圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0，2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1，1)，半径r 2＝1， 所以|MN |＝（0－1）2＋（2－1）2＝ 2. 因为r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3，1<|MN |<3， 所以两圆相交．(2)由圆C 1与圆C 2相外切，可得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝9，根据基本不等式可知9＝a 2＋2ab ＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4ab ，即ab ≤94，当且仅当a＝b 时，等号成立．故选C.【答案】 (1)B (2)C若本例(2)条件中“外切”变为“内切”，求ab 的最大值． 解：由C 1与C 2内切，得 （a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝1.即(a ＋b )2＝1, 又ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14， 当且仅当a ＝b 时等号成立，故ab 的最大值为14.(1)几何法判断圆与圆的位置关系的步骤 ①确定两圆的圆心坐标和半径；②利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，并求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； ③比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，然后写出结论． (2)两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．1．圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9与圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4外切，则m 的值为( ) A ．2 B ．－5 C ．2或－5D ．不确定解析：选C.由C 1(m ，－2)，r 1＝3；C 2(－1，m )，r 2＝2；则两圆心之间的距离为|C 1C 2|＝（m ＋1）2＋（－2－m ）2＝2＋3＝5，解得m ＝2或－5.故选C.2．(2019·嘉兴模拟)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．解析：⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，所以O 1A ⊥OA .又因为|OA |＝5，|O 1A |＝25，所以|OO 1|＝5.又A ，B 关于OO 1所在直线对称， 所以AB 长为Rt △OAO 1斜边上的高的2倍． 所以|AB |＝2 ×5×255＝4. 答案：4解决有关弦长问题的两种方法(1)几何法：直线被圆截得的半弦长l2、弦心距d 和圆的半径r 构成直角三角形，且r2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋d 2； (2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x 的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2(k ≠0)．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意斜率不存在的情形．易错防范(1)求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条：过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．[基础达标]1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C.(直接法)集合A 表示圆，集合B 表示一条直线，又圆心(0，0)到直线x ＋y ＝1的距离d ＝12＝22<1＝r ，所以直线与圆相交． 2．直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[－22，22]C ．[－2－1，2－1]D ．[－22－1，22－1]解析：选D.圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m |2＝|m ＋1|2，若直线l 与圆C 恒有公共点，则|m ＋1|2≤2，解得－22－1≤m ≤22－1，故选D.3．若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a 的值为( ) A ．±2 B ．2 C ．－2D ．无解解析：选A.圆x 2＋y 2＝a 2的圆心为原点O ，半径r ＝|a |. 将x 2＋y 2＝a 2与x 2＋y 2＋ay －6＝0左右分别相减，可得a 2＋ay －6＝0，即得两圆的公共弦所在直线的方程为a 2＋ay －6＝0.原点O 到直线a 2＋ay －6＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a－a ，根据勾股定理可得a 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6a －a 2， 所以a 2＝4，所以a ＝±2.故选A.4．(2019·台州中学高三月考)若直线y ＝kx ＋4＋2k 与曲线y ＝4－x 2有两个交点，则k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－34C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1D ．(－∞，－1]解析：选B.曲线y ＝ 4－x 2即x 2＋y 2＝4(y ≥0)，表示一个以(0，0)为圆心，以2为半径的位于x 轴上方的半圆，如图所示．直线y ＝kx ＋4＋2k 即y ＝k (x ＋2)＋4，表示恒过点(－2，4)，斜率为k 的直线， 结合图形可得k AB ＝4－4＝－1，因为|4＋2k |1＋k2＝2，解得k ＝－34，即k AT ＝－34， 所以要使直线与半圆有两个不同的交点，k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－34.5．圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey －3＝0(D <0，E 为整数)的圆心C 到直线4x －3y ＋3＝0的距离为1，且圆C 被截x 轴所得的弦长|MN |＝4，则E 的值为( )A ．－4B ．4C ．－8D ．8解析：选C.圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2.由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＋342＋（－3）2＝1，即|4D －3E －6|＝10，①在圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey －3＝0中，令y ＝0得x 2＋Dx －3＝0. 设M (x 1，0)，N (x 2，0)，则x 1＋x 2＝－D ，x 1x 2＝－3. 由|MN |＝4得|x 1－x 2|＝4，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16， (－D )2－4×(－3)＝16. 因为D <0，所以D ＝－2.将D ＝－2代入①得|3E ＋14|＝10，所以E ＝－8或E ＝－43(舍去)．6．已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t ，0)，B (t ，0)，(t >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则当t 取得最大值时，点P 的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，322B ．⎝⎛⎭⎪⎫322，32 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫332，32 解析：选D.设P (a ，b )为圆上一点，由题意知，AP →·BP →＝0，即(a ＋t )(a －t )＋b 2＝0，a 2－t 2＋b 2＝0，所以t 2＝a 2＋b 2＝|OP |2，|OP |max ＝2＋1＝3，即t 的最大值为3，此时k OP ＝33，OP 所在直线的倾斜角为30°，所以点P 的纵坐标为32，横坐标为3×32＝332，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫332，32. 7．(2019·浙江高中学科基础测试)由直线3x －4y ＋5＝0上的一动点P 向圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0引切线，则切线长的最小值为________．解析：当直线上的点到圆心(2，－1)的距离最短时，切线长最小．此时，圆心到直线的距离d ＝|3×2－4×（－1）＋5|32＋（－4）2＝3，r ＝1，所以切线长为2 2. 答案：2 28．(2019·杭州七校联考)已知圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，直线l 过圆心且交圆C 于A ，B 两点，交y 轴于P 点，若2 PA →＝PB →，则直线l 的斜率k ＝________．解析：依题意得，点A 是线段PB 的中点，|PC |＝|PA |＋|AC |＝35，过圆心C (3，5)作y 轴的垂线，垂足为C 1，则|CC 1|＝3，|PC 1|＝（35）2－32＝6.记直线l 的倾斜角为θ，则有|tan θ|＝|PC 1||CC 1|＝2，即k ＝±2.答案：±29．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，若等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则|PC |的最大值为________．解析：已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心为C (1，2)，半径r ＝2，若等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则PC ⊥AB .在△PAC 中，∠APC ＝30°，由正弦定理得|AC |sin 30°＝|PC |sin ∠PAC，所以|PC |＝22sin ∠PAC ≤22，故|PC |的最大值为2 2.答案：2 210．(2019·绍兴柯桥区高三下学期考试)已知圆O 1和圆O 2都经过点(0，1)，若两圆与直线4x －3y ＋5＝0及y ＋1＝0均相切，则|O 1O 2|＝________．解析：如图，因为原点O 到直线4x －3y ＋5＝0的距离d ＝|5|42＋（－3）2＝1，到直线y ＝－1的距离为1，且到(0，1)的距离为1，所以圆O 1和圆O 2的一个圆心为原点O ，不妨看作是圆O 1， 设O 2(a ，b )，则由题意：⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝a 2＋（b －1）2b ＋1＝|4a －3b ＋5|42＋（－3）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1. 所以|O 1O 2|＝22＋12＝ 5. 答案： 511．(2019·浙江省名校协作体高三联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点．(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长．解：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1，0)，因为直线过点P ，C ，所以k PC ＝2－02－1＝2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0，圆心C 到直线l 的距离为12，又因为圆的半径为3，所以弦AB 的长为34. 12．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心坐标为(2，1)． (1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解：(1)因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以圆心O 1(0，－1)，半径r 1＝2.设圆O 2的半径为r 2，由两圆外切知|O 1O 2|＝r 1＋r 2. 又|O 1O 2|＝（2－0）2＋（1＋1）2＝22， 所以r 2＝|O 1O 2|－r 1＝22－2.所以圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2. (2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22， 又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，相减得AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0. 设线段AB 的中点为H ，因为r 1＝2，所以|O 1H |＝r 21－|AH |2＝ 2. 又|O 1H |＝|4×0＋4×（－1）＋r 22－8|42＋42＝|r 22－12|42， 所以|r 22－12|42＝2，解得r 22＝4或r 22＝20.所以圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20. [能力提升]1．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3C ．19D ．49解析：选A.由题意知两圆的标准方程为(x ＋a )2＋y 2＝4和x 2＋(y －2b )2＝1，圆心分别为(－a ，0)和(0，2b )，半径分别为2和1，因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，故有a 2＋4b 2＝3，即a 2＋4b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫9a 2＋9b 2＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4b 2a 2＋a 2b 2＋4≥19×(1＋4＋4)＝1.当且仅当4b 2a 2＝a2b2，即|a |＝2|b |时取等号，故选A.2．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125B ．[0，1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，125 D ．⎝⎛⎭⎪⎫0，125解析：选A.因为圆心在直线y ＝2x －4上， 所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2， 化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3.由a 2＋（2a －3）2≥1得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R ； 由a 2＋（2a －3）2≤3得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.故选A.3．(2019·浙江省镇海中学高三模拟)已知点P (a ，b )关于直线l 的对称点为P ′(b ＋1，a －1)，则圆C ：x 2＋y 2－6x －2y ＝0关于直线l 对称的圆C ′的方程为______________；圆C 与圆C ′的公共弦的长度为________．解析：由题设将圆C ：x 2＋y 2－6x －2y ＝0中的x ，y 换为y ＋1，x －1可得圆C ′的方程为(y ＋1)2＋(x －1)2－6(y ＋1)－2(x －1)＝0，即x 2＋y 2－4x －4y －2＝0，也即(x －2)2＋(y －2)2＝10；将两圆的方程两边相减可得公共弦的直线方程为x －y －1＝0，圆心C ′(2，2)到该直线的距离d ＝12，半径r ＝10，故弦长L ＝210－12＝38.答案：(x －2)2＋(y －2)2＝10 384．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2，0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． 解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4.又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝（y 1y 2）24＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M 上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )， 圆M 的半径r ＝（m 2＋2）2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3，1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.5．(2019·富阳市场口中学高三质检)已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是正整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．(1)求圆的方程；(2)设直线ax －y ＋5＝0(a ＞0)与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围； (3)在(2)的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点P (－2，4)，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心为M (m ，0)(m ∈N *)．由于圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且半径为5， 所以|4m －29|5＝5，即|4m －29|＝25.因为m 为正整数，故m ＝1. 故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝25. (2)把直线ax －y ＋5＝0，即y ＝ax ＋5 代入圆的方程，消去y ，整理得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0，由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点， 故Δ＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)＞0， 即12a 2－5a ＞0，由于a ＞0，解得a ＞512，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫512，＋∞.(3)设符合条件的实数a 存在， 则直线l 的斜率为－1a，l 的方程为y ＝－1a(x ＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0.由于l 垂直平分弦AB ，故圆心M (1，0)必在l 上， 所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝34.由于34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞，故存在实数a ＝34， 使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB .。
高考数学考点归纳之 直线与圆、圆与圆的位置关系
高考数学考点归纳之 直线与圆、圆与圆的位置关系一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12l 2. 考点一 直线与圆的位置关系考法(一) 直线与圆的位置关系的判断[典例] 直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定[解析] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5， 消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0， 因为Δ＝16m 2＋20>0， 所以直线l 与圆相交．法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交． 法三：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交．[答案] A[解题技法] 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． [提醒] 上述方法中最常用的是几何法． 考法(二) 直线与圆相切的问题[典例] (1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( ) A ．3x ＋4y －4＝0 B ．4x －3y ＋4＝0 C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0 D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0(2)(2019·成都摸底)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.[解析] (1)当斜率不存在时，x ＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，则|k －1＋4－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，则切线方程为4x －3y ＋4＝0，故切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.(2)圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心为C (1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m ＋1＝0，解得m ＝－1，所以|MC |2＝13，|MP |＝13－4＝3.[答案] (1)C (2)3 考法(三) 弦长问题[典例] (1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D.2(2)(2019·海口一中模拟)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( )A ．4πB ．2πC ．9πD ．22π[解析] (1)因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. (2)易知圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0的圆心为(0，a )，半径为a 2＋2.圆心(0，a )到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|a |2，由直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，|AB |＝23，可得a 22＋3＝a 2＋2，解得a 2＝2，故圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π，故选A.[答案] (1)D (2)A[题组训练]1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎝⎛⎭⎫22，22的切线方程是________． 解析：因为M ⎝⎛⎭⎫22，22是圆x 2＋y 2＝1上的点，所以圆的切线的斜率为－1，则设切线方程为x ＋y ＋a ＝0，所以22＋22＋a ＝0，得a ＝－2，故切线方程为x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝02．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题知，圆x 2＋y 2－2x －3＝0可写成(x －1)2＋y 2＝4，圆心(1,0)到直线kx －y ＋2＝0的距离d ＞2，即|k ＋2|k 2＋1＞2，解得0＜k ＜43.答案：⎝⎛⎭⎫0，43 3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.解析：因为点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，所以直线y ＝kx ＋1的斜率k ＝1，即y ＝x ＋1.又圆心⎝⎛⎭⎫－1，m2在直线l ：x ＋y ＝0上，所以m ＝2，则圆心的坐标为(－1,1)，半径r ＝2，所以圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝22，所以|AB |＝2r 2－d 2＝ 6. 答案：6考点二 圆与圆的位置关系[典例] (2016·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点为(0,0)，(－a ，a )． ∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋(－a )2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0， 即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2. ∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3， ∴两圆相交．法二：由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，两圆半径之和为3，故两圆相交．[答案] B [变透练清]1．(2019·太原模拟)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11解析：选C 圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m ＜25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C.2.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．解析：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，(x －1)2＋(y －1)2＝1，两式相减得，2x －2y －1＝0，因为N (1,1)，r ＝1，则点N 到直线2x －2y －1＝0的距离d ＝|－1|22＝24，故公共弦长为21－⎝⎛⎭⎫242＝142.答案：142[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．[课时跟踪检测]A 级1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3D ．±3解析：选B 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有|a |5＝5，即a ＝±5.故选B.2．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选A 两圆分别化为标准形式为C 1：(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，C 2：(x －7)2＋(y －1)2＝36，则两圆圆心距|C 1C 2|＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.3．(2019·南宁、梧州联考)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B ．－π3或π3C ．－π6或π6D.π6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22－(3)2＝1.即d ＝|2k |1＋k 2＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π6.故选A.4．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0解析：选B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r 2＝5，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x －1)·(3－1)＋y (1－0)＝5，即2x ＋y －7＝0.故选B.5．(2019·重庆一中模拟)若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( )A ．±1B ．±24 C ．± 2D ．±32解析：选B 由题知圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心(－1,3)到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，即|－1＋3a ＋1|1＋a 2＝1，解得a ＝±24. 6．(2018·嘉定二模)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14解析：选B 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.故选B.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：易知圆心(2，－1)，半径r ＝2，故圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|12＋22＝355，弦长为2r 2－d 2＝2555. 答案：25558．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 解析：因为圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为(1,0)，所以直线AB 的斜率等于－11－02－1＝－1，由点斜式得直线AB 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝09．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________． 解析：因为P (－3,1)关于x 轴的对称点的坐标为P ′(－3，－1)， 所以直线P ′Q 的方程为y ＝－1－3－a (x －a )，即x －(3＋a )y －a ＝0， 圆心(0,0)到直线的距离d ＝|－a |1＋(3＋a )2＝1，所以a ＝－53.答案：－5310．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．解析：把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得(x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4.圆C 1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3； 圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d ＝(4＋2)2＋(2＋1)2＝35＞5.故圆C 1与圆C 2相离， 所以|P Q |的最小值是35－5.答案：35－511．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 解：(1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11， 圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4， |r 1－r 2|＝4－11，∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，∴圆C 1和圆C 2相交． (2)圆C 1和圆C 2的方程相减，得4x ＋3y －23＝0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则(a －2)2＋(－2a ＋1)2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.∴C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝(1－2)2＋(－2＋1)2＝ 2. ∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ， 由题意得|k ＋2|1＋k 2＝1，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ，即3x ＋4y ＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.B 级1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A. 2B.3 C ．2D ．3解析：选C 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0＞0，y 0＞0，则有x 20＋y 20＝1，且切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1.分别令y ＝0，x ＝0得A ⎝⎛⎭⎫1x 0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1y 0，则|AB |＝⎝⎛⎭⎫1x 02＋⎝⎛⎭⎫1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2，当且仅当x 0＝y 0时，等号成立．2．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________．解析：因为AB ―→·CD ―→＝0，所以AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，所以∠BAD ＝π4，设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan θ＝2，k ＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－3.又B (5,0)，所以 直线AB 的方程为y ＝－3(x －5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立直线AB 与直线l 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－3(x －5)，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，所以点A 的横坐标为3. 答案：33．(2018·安顺摸底)已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)． (1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．解：(1)过点A 的切线存在，即点A 在圆外或圆上， ∴1＋a 2≥4，∴a ≥3或a ≤－ 3.(2)设MN 与AC 交于点D ，O 为坐标原点． ∵|MN |＝455，∴|DM |＝255.又|MC |＝2，∴|CD |＝4－2025＝45， ∴cos ∠MCA ＝452＝25，|AC |＝|MC |cos ∠MCA ＝225＝5，∴|OC|＝2，|AM|＝1，∴MN是以点A为圆心，1为半径的圆A与圆C的公共弦，圆A的方程为(x－1)2＋y2＝1，圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4或x2＋(y＋2)2＝4，∴MN所在直线的方程为(x－1)2＋y2－1－x2－(y－2)2＋4＝0，即x－2y＝0或(x－1)2＋y2－1－x2－(y＋2)2＋4＝0，即x＋2y＝0，因此MN所在直线的方程为x－2y＝0或x＋2y＝0.。
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——直线与圆、圆与圆的位置关系
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点d >rd ＝rd <r2.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ＞r )，两圆圆心间的距离为d ，则两圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 外离外切相交内切内含图形量的关系d ＞R ＋rd ＝R ＋rR －r ＜d ＜R ＋rd ＝R －rd ＜R －r公切线条数432101.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x ＋y0y＝r2.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出x M＋x N和x M·x N，则|MN|＝1＋k2·（x M＋x N）2－4x M·x N.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(4)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.2.(2021·绍兴一模)设m∈R，则“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：x2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝3－m ，圆心为(1，2)，半径r ＝3－m (m <3).若直线l 与圆C 有公共点，则圆心(1，2)到直线l 的距离d ＝|3－m |2≤3－m ，解得1≤m <3. 因为{m |1≤m ≤2}{m |1≤m <3}，所以“1≤m ≤2”是“直线l ：x ＋y －m ＝0和圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的充分不必要条件.3.(2022·全国百校联盟质检)已知直线l ：x －2y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，则CA →·CB →＝( ) A.165 B.－165 C.125 D.－125 答案 D解析 由圆的一般方程x 2＋y 2－4y ＝0得标准方程为x 2＋(y －2)2＝4，故可得圆心C (0，2)，半径r ＝2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋6＝0，x 2＋y 2－4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝185.不妨设A (－2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，185，则CA →＝(－2，0)，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85，所以CA →·CB →＝－2×65＋0×85＝－125.4.(2021·洛阳模拟)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析 两圆方程作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0，原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a .∵公共弦长为23， ∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.5.(易错题)若半径为r ，圆心为(0，1)的圆和定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切，则r 的值等于________. 答案2＋1或2－1解析 由题意，定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心为A (1，2)，半径R ＝1，半径为r 的圆的圆心为B (0，1)， 所以|AB |＝（1－0）2＋（2－1）2＝ 2.因为两圆相切，所以|AB |＝|R －r |或|AB |＝|R ＋r |， 即|1－r |＝2或 |1＋r |＝2， 解得r ＝1±2或r ＝－1±2. 因为r >0，所以r＝2＋1或r＝2－1.6.(易错题)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为________________.答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2.∵|OA|＝（3－1）2＋（5－2）2＝13>2，∴点A(3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0.当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝|3－2k|k2＋1＝2，即|3－2k|＝2k2＋1，∴k＝512，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.考点一直线与圆的位置关系1.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A.[－3，－1]B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.2.(2022·成都诊断)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离D.不确定答案 A解析 法一 (代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋（y －1）2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，因为Δ＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆相交.法二 (几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|－m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交.法三 易得直线l 过定点(1，1)， 把点(1，1)代入圆的方程有1＋0<5， ∴点(1，1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交.3.“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件.感悟提升判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.考点二圆的弦长问题例1 (1)(2022·河南名校联考)已知圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为()A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案(1)D(2)B解析(1)根据题意，圆C：(x－a)2＋y2＝4的半径r＝2.圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆心C到直线x－y＋22－2＝0的距离为2，即|a＋22－2|2＝2，解得a＝2或a＝2－42(舍去)，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心C(2，0)到直线x－y－4＝0的距离d＝|2－4|2＝2，所以圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为222－d2＝2 2.(2)圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝9，故圆心的坐标为C(3，0)，半径r＝3.如图，记点M(1，2)，则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC |＝22， 弦的长度l ＝2r 2－|MC |2＝29－8＝2.感悟提升 弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. (2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.训练1 (2022·南昌摸底测试)若直线x ＋ay －a －1＝0与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当|AB |最小时，劣弧AB 的长为( ) A.π2 B.πC.2πD.3π答案 B解析 圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2，0)，半径r ＝2.直线的方程可化为x －1＋a (y －1)＝0，可知直线恒过点D (1，1). 因为点D (1，1)的坐标满足(1－2)2＋12<4， 所以点D (1，1)恒在圆C 内，且|CD |＝2，易知，当CD ⊥AB 时，|AB |取得最小值，且最小值为2r 2－|CD |2＝2 2.此时，劣弧AB 对应的圆心角为π2，所以劣弧AB 对应的弧长为π2×2＝π. 考点三 圆的切线问题例2 (经典母题)过点P (2，4)引圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为________________.答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝|k －1＋4－2k |k 2＋（－1）2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0， 即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.迁移1 在例2中，若点P 坐标变为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1，其他条件不变，求切线方程.解 易知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上，则k PC ＝22＋1－122＋1－1＝1，∴所求切线方程的斜率为－1，则切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，即x ＋y －2－2＝0.迁移2 在例2中，已知条件不变，设两个切点为A ，B ，求切点弦AB 所在的直线方程.解 由题意得，点P ，A ，C ，B 在以PC 为直径的圆上，此圆的方程为(x －2)(x －1)＋(y －4)(y －1)＝0，整理得x 2＋y 2－3x －5y ＋6＝0.①圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1展开得x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，② 由②－①得x ＋3y －5＝0，即为直线AB 的方程.感悟提升 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.训练2 (1)过直线y ＝2x ＋3上的点作圆C ：x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0的切线，则切线长的最小值为( )A.19B.2 5C.21D.555(2)(2021·晋中模拟)过点P (2，3)作圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.答案 (1)A (2)32解析 (1)圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y ＝2x ＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y ＝2x ＋3的距离d ，d ＝|2×2＋3＋3|5＝25，故切线长的最小值为d 2－r 2＝19.(2)由x 2＋y 2－2x ＝0得(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心C (1，0)，半径为1，所以|PC |＝2，|P A |＝|PB |＝3，∠APB ＝60°， 所以P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos 60°＝32. 考点四 圆与圆的位置关系例3 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)当m ＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 因为两圆的标准方程分别为 (x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，61－m ，(1)当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m －11＝5，解得m＝25－1011.(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0，故两圆的公共弦的长为2（11）2－（|4×1＋3×3－23|42＋32）2＝27.感悟提升 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.训练3 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离(2)(2022·东北三省三校联考)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案(1)B(2)D解析(1)由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交.(2)x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3.因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.阿波罗尼斯圆公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A ，B 为两定点，动点P 满足|P A |＝λ|PB |.则λ＝1时，动点P 的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.证明：设|AB |＝2m (m >0)，|P A |＝λ|PB |，以AB 的中点为原点，直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－m ，0)，B (m ，0).又设P (x ，y )，则由|P A |＝λ|PB |得（x ＋m ）2＋y 2＝λ（x －m ）2＋y 2， 两边平方并化简整理得(λ2－1)x 2－2m (λ2＋1)x ＋(λ2－1)y 2＝m 2(1－λ2).当λ＝1时，x ＝0，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当λ>0且λ≠1时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －λ2＋1λ2－1m 2＋y 2＝4λ2m 2（λ2－1）2，轨迹为以点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ2＋1λ2－1m ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2λm λ2－1为半径的圆. 例1 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x －4，得圆心为C (3，2). 由题意知切线的斜率存在，设切线方程为y ＝kx ＋3，圆心C 到切线的距离d ＝|3k ＋3－2|1＋k2＝r ＝1，得k ＝0或k ＝－34. 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |， 知x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋1)2＝4，即点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D .又因为点M 也在圆C 上，故圆C 与圆D 的关系为相交或相切，故1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2， 解得0≤a ≤125. 即圆心C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125. 例2 在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1，0)，B (3，0)，C (0，a )，D (0，a ＋2)，若存在点P ，使得|P A |＝2|PB |，|PC |＝|PD |，则实数a 的取值范围是________. 答案 [－22－1，22－1]解析设P(x，y)，则（x－1）2＋y2＝2·（x－3）2＋y2，整理得(x－5)2＋y2＝(22)2，即动点P在以(5，0)为圆心，22为半径的圆上运动. 另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝(22)2有交点.所以|a＋1|≤2 2.故实数a的取值范围是[－22－1，22－1].1.(2022·兰州质检)“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若直线l与圆相切，则有|2k|k2＋1＝1，解得k＝±33，所以“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的充分不必要条件.2.(2021·福州调研)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是()A.－2B.－4C.－6D.－8答案 B解析将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－1＋1＋2|2＝2，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.3.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C解析圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝|－1－2＋1|＝2，半径是22，结合图形(图略)可知有3个符合条件的点.24.(2021·南昌模拟)已知圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则下列选项所对应的图形中，与圆O相切的是()A.x2＋y2＝1B.(x－4)2＋(y－5)2＝16C.x＋y＝1D.x－y＝2答案 B解析圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(1，1)，半径r＝1.对于选项A，x2＋y2＝1表示的是圆心坐标为(0，0)，半径r1＝1的圆，此圆与圆O的圆心距为12＋12＝2<r＋r1＝2，所以两圆不相切，不符合题意.对于选项B，(x－4)2＋(y－5)2＝16表示的是圆心坐标为(4，5)，半径r2＝4的圆，此圆与圆O的圆心距为（4－1）2＋（5－1）2＝5＝r＋r2＝5，所以两圆相切.对于选项C，圆心(1，1)到直线x＋y＝1的距离为22<1，故直线x＋y＝1与圆O 相交.对于选项D，圆心(1，1)到直线x－y＝2的距离为2>1，故直线x－y＝2与圆O 相离.5.过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB 所在直线的方程为()A.y＝－34 B.y＝－12C.y＝－32 D.y＝－14答案 B解析由题意知，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，易求得这个圆为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，此圆的方程与圆C的方程作差可得AB所在直线的方程为y＝－12.6.(2022·宜宾诊断)已知直线l：y＝3x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B 两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为()A.3＋6或3－ 6B.3＋26或3－2 6C.9或－3D.8或－2答案 A解析由题意知圆心C(0，3)到直线l的距离d＝|0－3＋m|3＋1＝|m－3|2.因为∠ACB＝120°，所以|m－3|2×2＝6，解得m＝3±6.7.已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2 5解析根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，则|AB|＝（－2－0）2＋（－1－3）2＝25，|AC|＝（－2－0）2＋（－1－m）2＝4＋（m＋1）2，|BC |＝|m －3|.∵直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A ，∴∠BAC ＝90°，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2.即20＋4＋(m ＋1)2＝(m －3)2，解得m ＝－2.因此r ＝|AC |＝4＋（－2＋1）2＝ 5.8.(2021·长春模拟)已知点P (1，2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则实数k 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析 因为C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0为圆， 所以k 2＋4－4k 2>0，解得－233<k <233.又过点P 作圆C 的切线有两条，所以点P 在圆的外部，故1＋4＋k ＋4＋k 2>0，解得k ∈R ，综上可知－233<k <233.故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－233，233. 9.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为______.答案 10 2解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r ＝10，圆心(1，3)与E (0，1)距离（1－0）2＋（3－1）2＝5.由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.10.已知圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0，圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，且圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上.(1)求圆M 的方程；(2)证明圆M 和圆N 相交，并求两圆公共弦的长度l .(1)解 圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0的圆心为M (a ，－5a )，∵圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上，∴直线x ＋y ＋4＝0经过M ，则a －5a ＋4＝0，解得a ＝1.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0.(2)证明 ∵圆M 的圆心M (1，－5)，半径r 1＝52，圆N 的圆心N (－1，－1)，半径r 2＝10，∴|MN |＝（1＋1）2＋（－5＋1）2＝2 5.∵52－10<25<52＋10，∴圆M 和圆N 相交.由圆M ，圆N 的方程左右两边分别相减，得x －2y ＋4＝0，∴两圆公共弦的直线方程为x －2y ＋4＝0.∵M 到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1＋10＋4|5＝35， ∴公共弦长度l ＝2h 2－d 2＝2 5.11.已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.(1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程.解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)①AM →·AN →为定值，理由如下：过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ，易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos 0°＝|AT |2＝7.根据圆的弦切角定理及相似三角形，∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，即4k （1＋k ）1＋k 2＝4，解得k ＝1.又当k ＝1时，Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.12.(2022·宝鸡模拟)过点P (x ，y )作圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝1的切线，切点分别为A ，B ，若|P A |＝|PB |，则x 2＋y 2的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.8 答案 B解析 由(x 2＋y 2－1)－(x 2＋y 2－4x －4y ＋7)＝0得x ＋y －2＝0，则P 点在直线l ：x ＋y －2＝0上，原点到直线l 的距离d ＝2，所以(x 2＋y 2)min ＝d 2＝2.13.(2022·南阳联考)阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k (k >0，且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为4，动点P 满足|P A ||PB |＝3，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为________；P A →·PB →的最大值是________. 答案 12π 24＋16 3解析 以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系， 则A (－2，0)，B (2，0).设P (x ，y )，∵|P A ||PB |＝3，∴（x ＋2）2＋y 2（x －2）2＋y 2＝3，得x 2＋y 2－8x ＋4＝0，即(x －4)2＋y 2＝12，所以点P 的轨迹为圆，其面积为12π.P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝|OP |2－4，如图，当P 位于点D 时，|OP |2最大，|OP |2的最大值为(4＋23)2＝28＋163， 故P A →·PB →的最大值是24＋16 3.14.(2021·北京海淀区模拟)已知A (2，0)，直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，且P 为圆C 上任意一点.(1)求|P A |的最大值与最小值；(2)圆C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径. 解 (1)∵直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，∴圆心到直线的距离d ＝|－12＋3m ＋1|5＝（13）2－（23）2＝1.∵m <3，∴m ＝2，∴|AC |＝（－3－2）2＋（2－0）2＝29， ∴|P A |的最大值与最小值分别为29＋13，29－13.(2)由(1)可得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13，令x ＝0，得y ＝0或4； 令y ＝0，得x ＝0或－6，∴圆C 与坐标轴相交于三点M (0，4)，O (0，0)，N (－6，0)，∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝213，∴△MON内切圆的半径为4＋6－2132＝5－13.。
高三数学点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
三、小结 1.有关直线与圆的位置关系，一般要用圆心到 直线的距离与半径的大小来确定。 2.弦长计算问题要用直角三角形。 3．直线系，圆系的应用 四、【布置作业】 优化设计P115
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了五十岁之后,各方面都开始衰退了,俺…是有心无力啊！" "是啊！" 夜白虎也跟着幽幽一叹说道："俺们三人二十年前就已经突破了圣人境,现在却还是修炼到二重,这成神之路,太难了.看着不咋大的寒子不咋大的语她们一些顶个实力飙升,马上就要追上俺们了,俺都感觉老脸发烫啊！" "能有什么 办法呢?这修炼道路越年轻境界越高,成神の几率就越高.但是年轻の时候能达到像不咋大的寒子の境界の大陆以前有吗?老祖宗当年突破圣人境好像也到了三十多岁吧?俺说你呀们两人别想太多,这种机缘可遇不可求.俺反正是看开了,该玩の玩过了,该享受の享受了,也没什么遗憾了.这最后一步能不 能迈出,就看天意了,至少俺们努力过了,入土之前也不会后悔,不是吗?"夜青牛性格大大咧咧の,说起话来也很无所顾忌,有些东西几多看得开. "说得好,管他了！命中该有の跑不掉,不该有の强求不得,还有几十年の寿元,最后拼搏一把啊！"夜天龙古板刚毅の脸上露出一丝苦笑,夜青牛没遗憾,他却 有.只是他一直不善表达出来而已.月惜水,一直是他心口永远不能抚平の伤. "咻！" 就在这时,远处传来一阵破空声.三人都同时停止了谈论,而后全部笑意盈盈の站了起来,朝门外走去. "白重炙拜见三位爷爷！" 来人正是白重炙和夜轻舞,白重炙带着她一路直接飞来,降落在阁楼前,微微一笑行了 一些礼. "拜见三位爷爷,哎呀！爷爷,你呀这么受伤了?严重吗?"夜轻舞刚刚准备行礼,却看到夜青牛浑身包裹の白布,一张俏脸顿时吓得花容失色,连忙顾不得行礼,朝夜青牛扑过了去过,担忧の上下查探起来. "丫头,大惊不咋大的怪什么.都嫁了人了,怎么还这么不稳重?身为练家子,受伤是常事,有 什么奇怪の?你呀爷爷是谁?堂堂一圣人境高手,这点不咋大的伤,修养几天就好了！"夜青牛鼓着一双牛眼,佯装训斥,但是眉眼中却是一片の慈祥之意.他显然不想,在夜天龙和夜白虎以及白重炙面前丢了脸面. "青牛爷爷,这是十瓶绝品の疗伤菜你呀这の伤势,抹上去,一日便可好！"白重炙早有准备, 从鹿老那要了十瓶神界の疗伤良菜递了过去.他知道夜轻舞如果看到夜青牛の伤势恐怕会担心の不得了,到时候怕是又要闹着停留几日了. "爷爷,快进去,俺给你呀抹上！"夜轻舞接过瓶子,想到马上就要离去,眼角都是泪水,扶着夜青牛往里边走去. 一番忙活,这疗伤菜果然神奇,一抹上,伤口便迅速 以肉眼可见の速度变好了.夜天龙和夜白虎在白重炙の坚持下也无奈之好也抹了一遍. 最后三老回归大厅,白重炙让夜轻舞陪着三人,也没有过多の解释.而是直接移形换位去了寒心阁将月倾城和夜轻语也带来了. "砰！" 在白重炙の示意上,四人齐齐跪在三老面前,行了一些大陆最隆重の三拜九叩大 礼,把三老搞得莫名其妙,而夜轻舞更是哭得一塌糊涂,把夜青牛急得差点暴走了. "三位爷爷,等会轻寒就会带着她们远离雾霭城,这一去…也不知什么时候才能回来给你呀们三人尽孝了.你呀们先不要着急着问,等俺把话说完…这是俺和老祖宗共同决定の事情,至于原因,老祖宗会告诉你呀们.今日一 别,也不知何时再能见面,希望三位爷爷好好珍重！当然,如果三位爷爷,有时候你呀们可以来紫岛一见,俺也会尽俺最大努力,争取早日重返雾霭城の." 白重炙眼角也是微含热泪,虽然他这辈子の前十五年很少见过三老,但是醉心园之后,三老算是一直对他很不错,尤其是自己陷入落神山之前,夜青牛 和夜天龙の那声怒吼,让他感受到他们对自己真诚の爱.当然这或许和自己实力暴涨有关系,但是至少那一刻开始,他开始接受了这三人. "这是一枚天神巅峰の神晶,你呀们三人可以选择一人炼化.这…算是临行前,俺送给你呀们の礼物！" 说完,白重炙掏出一些青色玉盒递给夜天龙,带着三人再次重 重の叩下.最后带着哭得稀里糊涂の夜轻舞,强忍住内心の悲伤,毅然转身离去.白重炙知道这时候只能快刀斩乱麻,否则恐怕好几天都走不了了. "这…族长,这是怎么回事?"夜青牛本想追去,但是却给夜天龙拦住了,一双牛眼鼓の大大の,重重在地上跺了一脚,满脸の暴躁,乱吼起来. "急什么青牛,你 呀没听到不咋大的寒子说俺们日后可以去紫岛见她们吗?俺已经传讯给老祖宗了,等他来了在问清楚吧.哎…发生了什么事情?竟然严重到要去紫岛避难の地步了?" 夜天龙狠狠瞪了夜青牛一眼,似乎在责怪他轻重不分.夜白虎此刻却还震撼在白重炙送给白家の天神巅峰神晶.两人被夜天龙一说都惊醒 过来,白重炙刚刚实力大进,为破仙府破解了一些大危机,现在却要匆匆离去.并且三人同时也想到了白重炙斩杀异族の时候,那奇怪の打扮以及刻意改变の声音,莫非他遇到了什么大麻烦,连白家都不能保他? "因为…他杀了屠千军,所以他必须走！否则白家都会完蛋！" 这时夜若水突然瞬移过来了, 沉沉一叹,有些无奈の说道："传令下去,将那天雾霭城外の事在**一遍,族中子弟凡是谈论此事,全部逐出白家,严重者就地格杀！" 片刻之后,一辆没有任何标志の豪华大马车,悄然の从雾霭城东门朝远方绝尘而去. 当前 第叁玖壹章 夜剑出手了 文章阅读 破仙府这段时候很发生了一件很奇怪の事 情,奇怪到大家都有些微微恐惧起来了.看书 前几日在雾霭城参加过那场大战,劫后余生の所有强者,都不约而同再次接到了一些来自破仙府最高级别の命令.同样の意思,就是严禁谈论传播那场大战の那张巨脸,以及那个黑袍人.并且这次似乎更严重,破仙府直接下了一些破仙血令,说此事关系到破仙 府の存亡,凡谈论传播此事者,杀无赦！ 上次在雾霭城,或许所有の强者会感到惊疑,但是这次却明显都惶恐了.这事情显然看起来非常严重,都严重到破仙府の存亡了,谁还敢在谈论?不少人已经偷偷和别人谈起过の,连忙开始擦屁股补救起来,而不少人则打算把这事烂在了肚子里. 很明显,夜若水の 两次禁言起了很大作用.大陆所有の神级强者虽然在那一日大战の时候,都有用神识过来偶尔查探.但是因为怕触怒金麒却没敢将神识散发在战场中央,而后来那张巨脸出现之后,更是连远远查探都不敢了. 直到战事完毕之后,那张巨脸和异族全部消失之后,他们才敢慢慢将神识辐散过来.却发现异族 已经全部消失了.但是那一刻很明显,他们都以为是因为噬大人出手了,把异族杀の杀,赶の赶,这才平息了这场灭世危机. 蛮神府隐岛,在庆幸暗喜同时,开始纷纷打探起事情の经过.而妖神府神城在暗骂の同时,也开始四处打探起那日发生の事情. 夜若水の第一条传音起了作用,当夜虽然有无数の神 识锁定了雾霭城广场の帝王境练家子.但是后面却无人在谈论.他们只是隐隐听到,似乎有个黑袍强者,拯救了破仙府? 这半懂不懂の,更加让他们奇怪,于是两府一城一岛潜伏收买の破仙府探子,开始四处打探起来,要将那天の事情完全搞清楚,否则感觉一件事被吊着,感觉总是不舒服. 只是在破仙府 第二道禁口令下,都没有查探出什么确切の情报.这下更是了不得了,几番势力本来还没太大注意,现在破仙府几次禁口令,将这事悟得那么紧,一点风声不透.这…里面没有隐藏什么天大の秘密,谁也不相信了.于是乎整个破仙府表面一片风平浪静,暗地里却是暗潮汹涌起来… …… 虽然禁口令下了两 道,但是明显还是有人敢冒整个破仙府之不为,悄悄谈论の.比如夜剑就有这个胆子. 夜剑一直是个势利心很重の人,年轻の时候他天赋一样,被夜刀压了几十年,但是他一直隐忍着.那次夜刀固执の去了落神山,他认为是个机会,于是他果断出手了,结果他赢了,夜刀死了. 大房在他の静心经营之下,在 白家,在破仙府北方一手遮天.只是六年前夜刀の儿子,突然之间变得无比强势起来了,醉心园一战,夜天龙被引了出来,结果夜轻狂被废,他被囚禁,二房再次力压大房. 他没有放弃,继续隐忍,在后山,因为没有俗事缠身,他
点、直线、圆与圆的位置关系—知识讲解(基础)
点、直线、圆与圆的位置关系—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解并掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练掌握以上内容解决一些实际问题；3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有2．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.要点四、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、点与圆的位置关系1.已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.【答案与解析】（1）当d=4 cm时，∵d＜r，∴点P在圆内；（2）当d=5 cm时，∵d=r，∴点P在圆上；（3）当d=6 cm时，∵d＞r，∴点P在圆外.【总结升华】利用点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与半径的大小比较.举一反三：【变式】点A在以O为圆心，3 为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是________.【答案】0≤d＜3.类型二、直线与圆的位置关系2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【答案与解析】过C点作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，得AB=5，，∴AB·CD=AC·BC，∴AC BC34CD===2.4AB5•⨯(cm)，（1）当r =2cm时 CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；(3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．【总结升华】欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．举一反三：【变式】如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P .求证：⊙P与OB 相切。
高中数学点、线、圆的位置关系知识点总结
高中数学必考知识：点、线、圆的位置关系课本基础提炼1．圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）．2．圆的标准方程：若圆的圆心为C(a,b)，半径为r，则该圆的标准方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2．3．圆的一般方程(1)任意一个圆的方程都可化为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，这个方程就叫做圆的一般方程．(2)对于方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0，①若D2+E2-4F＞0，则方程表示以为圆心，为半径的圆；②若D2+E2-4F=0，则方程只表示一个点；③若D2+E2-4F＜0，则方程不表示任何图形．4．点A(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系：(1)|AC|＜r⇔点A在圆内⇔(x0-a)2+(y0-b)2＜r2；(2)|AC|=r⇔点A在圆上⇔(x0-a)2+(y0-b)2=r2；(3)|AC|＞r⇔点A在圆外⇔⇔(x0-a)2+(y0-b)2＞r2．5．直线与圆的位置关系：设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离为d，方程组消元得一元二次方程px2+qx+s=0，其判别式为△，则有(1)d＜r⇔直线与圆相交⇔△＞0；(2)d=r⇔直线与圆相切⇔△=0；(3)d＞r⇔直线与圆相离⇔△＜0．6．圆与圆位置关系：设两圆的圆心分别为C1，C2，圆心距为d=|C1C2|，半径分别为R,r(R＞r)，把两圆方程联立得方程组，(1)两圆外离（有四条公切线）⇔无公共点⇔d＞R+r⇔方程组无实数解；(2)两圆外切（有三条公切线）⇔有一个公共点⇔d=R+r⇔方程组有一组解；(3)两圆相交（有两条公切线）⇔有两个公共点⇔R-r＜d＜R+r⇔方程组有两组不同的解；(4)两圆内切（有一条公切线）⇔有一公共点⇔d=R-r⇔方程组有一组解；(5)两圆内含（无公切线）⇔无公共点⇔0≤d＜R-r⇔方程组无实数解．特别地，d=0时，为两个同心圆．二级结论必备1．特殊圆的方程：(1)圆心为坐标原点的圆的方程为x2+y2=r2(r＞0)；(2)圆的直径式方程：以P1(x1,y1),P2(x2,y2)为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0；(3)与x轴相切的圆的方程为(x-a)2+(y±b)2=b2；(4)与y轴相切的圆的方程为(x±a)2+(y-b)2=a2；(5)与坐标轴都相切的圆的方程为(x+a)2+(y+a)2=a2或(x+a)2+(y-a)2=a2或(x-a)2+(y+a)2=a2或(x-a)2+(y-a)2=a2.2．一般二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是此时圆心为半径．当D2+E2-4AF=0时，方程表示点；当D2+E2-4AF ＜0时，不表示任何图形．3．已知圆x2+y2=r2(r＞0)，圆心为(0,0)，圆心到直线l的距离为d1，圆上点到直线的距离为d2．(1)当d1=r-d2时，圆上满足条件的点有3个；(2)当d1＜r-d2时，圆上满足条件的点有4个；(3)当r-d2＜d1＜r+d2时，圆上满足条件的点有2个；(4)当d1=r+d2时，圆上满足条件的点有1个．4．圆的切线方程常用结论：(1)过圆x2+y2=r2，(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0)上一点P(x0,y0)的切线方程分别为x0x+y0y=r2,(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2,；(2)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0)外一点M(x0,y0)引圆的切线有两条，可用待定系数法求切线方程．切点为T的切线长公式为（其中C为圆心，r为半径）；若圆的方程为标准式，则为．5．圆的弦长公式：设弦心距为d，圆半径为r，弦长为l，则．6．圆系方程：(1)共圆心的圆系：与(x-a)2+(y-b)2=r2共圆心的圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=d(d ＞0)；(2)过两定点的圆系：过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)+λ[(x-x1)(y1-y2)+(y-y1)(x1-x2)]=0⇔(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)+λ(ax+by+c)=0，其中ax+by+c=0是直线AB的方程，λ是待定系数；(3)过直线与圆交点的圆系：过圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l:Ax+By+C=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0，其中λ是待定系数；(4)过两圆交点的圆系：过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0，该方程包括圆C1，不包括圆C2．特别地，当λ=-1时，方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F=0，两圆相交时，为两圆公共弦所在的直线方程；两圆外切时为内公切线方程；两圆内切时为外公切线方程．。
2020年高考数学专题讲解：直线与圆、圆与圆的位置关系
2020年高考数学专题讲解：直线与圆、圆与圆的位置关系（一）高考目标考纲解读1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．考向预测1．直线与圆、圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点和热点问题．2．本部分在高考试题中多为选择题和填空题，有时在解答题中考查直线与圆位置关系的综合问题．（二）课前自主预习知识梳理1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.2.圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成计算．(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝＋k2x A＋x B2－4x A x B].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．4．P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2(r>0)上，则以P为切点的切线方程为.（三）基础自测1．(江西理)直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范是 （ ）A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪[0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0[答案] A[解析] 如图，取MN 中点为H ，连CH 、CN ，则△CHN 为Rt △，又HN ＝ 3.R ＝2，故CH ＝1.由HN ≥ 3 知圆心到直线的距离等于CH|3k ＋1|k 2＋1≤1. ∴－34≤k ≤0，故斜率范围是[－34，0]，选A.2．直线ax －y ＋2a ＝0 (a ≥0)与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定[答案] B[解析] 圆心O (0,0)到直线ax －y ＋2a ＝0的距离d ＝2aa 2＋1≤1<3.3．圆x 2＋y 2＋4y ＝0在点P (3，－1)处的切线方程为 ( )A.3x ＋y －2＝0B.3x ＋y －4＝0C.3x －y ＋4＝0D.3x －y ＋2＝0[答案] A[解析] 解法1：设切线y ＋1＝k (x －3)， 即kx －y －3k －1＝0.则圆心(0，－2)到切线距离等于圆的半径2， ∴|1－3k |1＋k2＝2，∴k ＝－3， ∴切线方程为3x ＋y －2＝0.解法2：∵切点A (3，－1)与圆心C (0，－2)的连线应与切线垂直． ∴切线斜率k ＝－1k AC＝－3，解法3：∵切点A (3，－1)在切线上， ∴排除B 、C 、D.4．(浙江宁波)若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则点(a ，b )与圆的位置关系( )A ．圆上B ．圆外C ．圆内D ．不确定 [答案] B[解析] 圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b2<1，∴a 2＋b 2>1，∴点(a ，b )在圆外．5．(天津文)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为__________．[答案] (x ＋1)2＋y 2＝2[解析] 本题考查了求解圆的方程．令y ＝0，x ＝－1，∴圆心坐标为(－1,0)， 由点到直线的距离公式得， 圆的半径R ＝|－1＋0＋3|2＝2，∴圆的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.6．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝____________. [答案] 1[解析] 依题意，画出两圆的位置如图，公共弦为AB ，交y 轴于点C ，连结OA ，则|OA |＝2. 两圆方程相减得，2ay ＝2，解得y ＝1a，∴|OC |＝1a.又公共弦长为23，∴|AC |＝ 3. 于是，由Rt △AOC 可得OC 2＝AO 2－AC 2， 即1a2＝22－(3)2，整理得a 2＝1，又a >0，∴a ＝1.7．直线l 经过点P (5,5)，且与圆x 2＋y 2＝25相交，截得弦长为45，求l 的方程．[解析] 若直线l 的斜率不存在，直线l ：x ＝5与圆相切，所以直线l 的斜率存在，设其斜率为k ，则l ：y －5＝k (x －5)．由圆心到直线的距离、弦的一半、半径构成直角三角形得：25＝(25)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|5k －5|1＋k 22，∴k ＝12或k ＝2.∴所求直线方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0.（四）典型例题1.命题方向：直线与圆的位置关系[例1] 已知圆x 2＋y 2－6mx －2(m －1)y ＋10m 2－2m －24＝0(m ∈R)． (1)求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上；(2)与l 平行的直线中，哪些与圆分别相交、相切、相离．[分析] (1)用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求圆心坐标，消去m .(2)比较圆心到直线的距离与圆半径的大小．[解析] (1)证明：配方得(x －3m )2＋[y －(m －1)]2＝25.设圆心为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m ，y ＝m －1，消去m ，得l ：x －3y －3＝0，则不论m 为何值，圆心恒在直线l ：x －3y －3＝0上． (2)设与l 平行的直线是l 1：x －3y ＋b ＝0， 则圆心到直线l 1的距离为d ＝|3m －m －＋b |10＝|3＋b |10.∵圆的半径为r ＝5，∴当d <r ，即－510－3<b <510－3时，直线与圆相交； 当d ＝r ，即b ＝±510－3时，直线与圆相切；当d <r ，即b <－510－3或b >510－3时，直线与圆相离． 跟踪练习1(启东调研)已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝6，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：无论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒交于两点； (2)求直线l 被圆C 截得的弦长最小时l 的方程．[解析] (1)证明：l ：mx －y ＋1－m ＝0的方程可化为y －1＝m (x －1)，其恒过定点P (1,1)．∵|PC |＝＋2＋－2＝5<r ＝6，∴点P 恒在圆C 内，∴直线l 与圆C 恒交于两点．(2)由(1)及平面几何知识知，当l 垂直于PC 时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，又k PC ＝2－1－1－1＝－12，∴k l ＝－1k PC＝2，∴所求直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. 2.命题方向：弦长问题[例2] 已知点P (0,5)及圆Cx 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．[分析] (1)根据弦长求法，求直线方程中的参数；(2)由垂直关系找等量关系．[解析] (1)方法1 如图所示，AB ＝43，D 是AB 的中点，CD ⊥AB ，AD ＝23，AC ＝4， 在Rt △ACD 中，可得CD ＝2.设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5＝kx ， 即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式： |－2k －6＋5|k 2＋－2＝2，得k ＝34.k ＝34时，直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. ∴所求直线的方程为3x －4y ＋20＝0或x ＝0.方法2 设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5＝kx ，即y ＝kx ＋5，联立直线与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5，x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0，消去y ，得(1＋k 2)x 2＋(4－2k )x －11＝0，① 设方程①的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k －41＋k2，x 1x 2＝－111＋k2，②＋2x 1＋22－将②式代入，解得k ＝34，此时直线方程为3x －4y ＋20＝0.又k 不存在时也满足题意，此时直线方程为x ＝0. ∴所求直线的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0. v(2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )， 则CD ⊥PD ，即CD →·PD →＝0，(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.[点评] 在研究弦长及弦中点问题时，可设弦AB 两端点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)若OA ⊥OB (O 为原点)，则可转化为x 1x 2＋y 1y 2＝0，再结合根与系数的关系等代数方法简化运算过程，这在解决垂直关系问题中是常用的；(2)若弦AB 的中点为(x 0，y 0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 12＋y 12＝r 2，x 22＋y 22＝r 2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2y 1＋y 2＝－x 0y 0.该法叫平方差法，常用来解决与弦的中点，直线的斜率有关的问题．跟踪练习2已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得弦AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由． [解析] 假设存在且令l 为y ＝x ＋m圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C (1，－2)则AB 中点N 是两直线x －y ＋m ＝0与y ＋2＝－(x －1)的交点即N (－m ＋12，m －12)以AB 为直径的圆过原点，∴|AN |＝|ON | 又CN ⊥AB ，|CN |＝|1＋2＋m |2∴|AN |＝CA 2－CN 2＝9－＋m 22又|ON |＝－m ＋122＋m －122由|AN |＝|ON |得m ＝1或m ＝－4∴存在直线l 方程为x －y ＋1＝0和x －y －4＝0.[点评] 设l ：y ＝x ＋m 与圆方程联立， 其根为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标，由条件OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，可求m ＝1或－4. 3.命题方向：圆与圆的位置关系[例3] 已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋(m 2－5)＝0与C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋(m 2－3)＝0，当m 为何值时： (1)两圆外离；(2)两圆外切；(3)两圆相交；(4)两圆内切；(5)两圆内含．[解析] 欲求m 的值，只要列出关于m 的一个等式或不等式就可以了. 因两圆的方程已给定，那么两圆的圆心和半径就可以求出，进而获得含m 的式子，问题变成了圆心距与两圆半径之和或差的关系.把圆C 1与圆C 2的方程变形(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，(x ＋1)2＋(y －m )2＝4. 故两圆的半径分别为3和2，圆心距为 |C 1C 2|＝m ＋2＋－2－m2＝2m 2＋6m ＋5.(1)若两圆外离，则|C 1C 2|>3＋2，即 2m 2＋6m ＋5>5.两边平方整理得m 2＋3m －10>0， 解之得 m >2或m <－5.∴当m >2或m <－5时，两圆外离. (2)若两圆外切，则|C 1C 2|＝3＋2，即m 2＋3m －10＝0.解之得 m ＝2或m ＝－5.∴当m ＝2或m ＝－5时，两圆外切. (3)若两圆相交，则3－2<|C 1C 2|<3＋2，即⎩⎨⎧2m 2＋6m ＋5<5，2m 2＋6m ＋5>1.解之得，当－5<m <－2或－1<m <2时，两圆相交.(4)若两圆内切，则|C 1C 2|＝3－2，即2m 2＋6m ＋5＝1. 解之得 m ＝－1或m ＝－2.∴当m ＝－1或m ＝－2时，两圆内切. (5)若两圆内含，则0<|C 1C 2|<3－2，即⎩⎨⎧2m 2＋6m ＋5<1，2m 2＋6m ＋5≥0，解之得 －2<m <－1.∴当－2<m <－1时，两圆内含．跟踪练习3已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，求动圆圆心的轨迹方程．[解析] 设动圆的圆心坐标为(a ，b )，当两圆外切时，由题意可得a －2＋b ＋2＝1＋4，即(a －5)2＋(b ＋7)2＝25； 当两圆内切时，由题意可得a －2＋b ＋2＝4－1，即(a －5)2＋(b ＋7)2＝9. 所以动圆圆心的轨迹方程为(a －5)2＋(b ＋7)2＝25或(a －5)2＋(b ＋7)2＝9. 4.命题方向：圆系方程的简单应用[例4] 已知两个圆C 1：x 2＋y 2＝4，C 2：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，直线l ：x ＋2y ＝0，求经过C 1和C 2的交点且和l 相切的圆的方程．[解析] 所求的圆经过C 1，C 2的交点，故可用圆系方程求解． 设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋4＋λ(x 2＋y 2－4)＝0 (λ≠－1)即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2－2x －4y ＋4(1－λ)＝0所以圆心为(11＋λ，21＋λ)，半径为：12－21＋λ2＋－41＋λ2－1－λ1＋λ依题意有|11＋λ＋41＋λ|5＝4＋16－－λ2＋λ22解之，得λ＝±1，舍去λ＝－1，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x －2y ＝0.[点评] 由于圆系方程中不包括圆x 2＋y 2－4＝0，故应检验圆x 2＋y 2－4＝0是否满足条件．而直线l ：x ＋2y ＝0显然通过该圆的圆心，故不满足条件． 跟踪练习4圆心在直线x ＋y ＝0上，且过圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的点的圆的方程为________． [答案] x 2＋y 2＋6x －6y ＋8＝0[解析] 设圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＋λ(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0，即x 2＋y 2＋λ－λ＋1x ＋＋λλ＋1y －λ＋λ＋1＝0(λ≠－1)，圆心⎝⎛⎭⎪⎫1－λλ＋1，－5＋λλ＋1，∴1－λλ＋1－5＋λλ＋1＝0，解得λ＝－2. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24－2(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0， 即x 2＋y 2＋6x －6y ＋8＝0.（五）思想方法点拨1．圆的切线方程的求法(1)求过圆上的一点(x 0，y 0)的切线方程先求切点与圆心连线的斜率k ，由垂直关系知切线斜率为－ 1k，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x ＝x 0.(2)求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程 ①几何方法当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．②代数方法设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆方程，得一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出．注意：过圆外一点作圆的切线有两条，若在解题过程中，只解出一个答案，说明另一条直线的斜率不存在． 2．几个结论：①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2； ③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.（六）课后强化作业一、选择题1．设A 为圆(x ＋1)2＋y 2＝4上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程为( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝25 B ．(x ＋1)2＋y 2＝5 C ．x 2＋(y ＋1)2＝25D ．(x －1)2＋y 2＝5[答案] B[解析] 圆心C (－1,0)，在Rt △ACP 中， CP ＝CA 2＋AP 2＝4＋1＝ 5.设P (x ，y )，则|CP |＝5，所以(x ＋1)2＋y 2＝5，选B.2．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|kx －y ≤2}，其中x ，y ∈R .若A ⊆B ，则实数k 的取值范围是( ) A ．[0，3] B ．[－3，0] C ．[－3，3] D ．[－3，＋∞)[答案] C[解析] 集合A 表示的点集是单位圆上的点，集合B 表示的是二元一次不等式kx －y ≤2所表示的平面区域，其边界直线是kx －y ＝2，该直线必过定点(0，－2)，所以要使A ⊆B ，则圆与直线必须相切或相离，故2k 2＋1≥1，解得－3≤k ≤3，故选C.3．(湖北理)若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( ) A ．[－1,1＋22] B ．[1－22，1＋22] C. [1－22，3] D ．[1－2，3][答案] C[解析] 由y ＝3－4x －x 2可知其图像为圆(x －2)2＋(y －3)2＝4的下半圆，当直线y ＝x ＋b 过点(0,3)时b ＝3，当直线与圆相切时|2－3＋b |2＝2，解得b ＝1－22或b ＝1＋22(舍去)，故当1－22≤b ≤3时直线和半圆有交点．4．对任意实数λ，直线l 1：x ＋λy －m －λn ＝0与圆C ：x 2＋y 2＝r 2总相交于两不同点，则直线l 2：mx ＋ny ＝r 2与圆C 的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定[答案] A[解析] 直线l 1：(x －m )＋λ(y －n )＝0过定点A (m ，n )，因为直线l 1与圆C 恒相交于两不同点， ∴A 在⊙C 内，∴m 2＋n 2<r 2，又圆心C (0,0)到l 2的距离d ＝r 2m 2＋n 2>r ，故l 2与⊙C 相离．5．如下图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上情况都有可能[答案] B[解析] 设右焦点为F 2，取PF 1的中点M ，连接MO 和PF 2，则两圆半径分别为12|PF 1|和a ，两圆圆心距为|MO |，且|MO |＝12|PF 2|.当P 点在双曲线右支上时，|PF 1|＝|PF 2|＋2a ，∴|MO |＝12|PF 1|－a ，此时两圆内切；当P 点在双曲线左支上时，|PF 2|＝|PF 1|＋2a ，∴|MO |＝12|PF 1|＋a ，此时两圆外切．选B.6．已知M ，N 分别是圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －4)2＝1上的两动点，则|MN |的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 两圆心分别为C 1(－3,0)和C 2(0,4)，半径分别为2和1，圆心距|C 1C 2|＝5.故两圆相离，|MN |的最小值为|C 1C 1|－2－1＝2.7．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0的公切线有且仅有( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[答案] B[解析] 两圆化成标准方程是(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，(x －2)2＋(y ＋1)2＝4， 圆心距d ＝(2＋1)2＋(－1＋1)2＝9<2＋2，所以两圆相交．公切线只有2条．8．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为三个内角A 、B 、C 所对的边，设向量m ＝(b －c ，c －a )，n ＝(b ，c ＋a )，且m ⊥n .若直线y ＝bx ＋c 过圆Cx 2＋y 2－2x －2y ＝1的圆心，则△ABC 面积的最大值为( )A.36B.316C ．2 3D. 3[答案] B[解析] 本题考查了向量、基本不等式及三角形的有关知识．求解的关键是对条件的破译．利用m ⊥n 和余弦定理可以得到角A 的大小，利用直线y ＝bx ＋c 过圆心可以得出关于b 、c 的关系式．由m ⊥n 得b 2＋c 2－a 2＝bc ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12⇒A ＝π3，sin A ＝32.由于圆Cx 2＋y 2－2x －2y ＝1的圆心为(1,1)，由1＝b ＋c ，所以bc ≤(b ＋c 2)2＝14，当且仅当b ＝c ＝12时取等号，从而S △ABC ＝12bc ·sin A ≤316.选B.二、填空题9．(广东理)已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．[答案] (x ＋2)2＋y 2＝2[解析] 设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝2(a <0)，由条件得2＝|a |2，∴|a |＝2，又a <0，∴a ＝－2. 10．(全国Ⅱ)已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．[答案] 254[解析] 本题考查直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式以及运算能力．由题意知切线的斜率存在，设为k ，切线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， 由点到直线的距离公式，得|2－k |k 2＋1＝5， 解得k ＝－12， ∴切线方程为－12x －y ＋52＝0， 令x ＝0，y ＝52，令y ＝0，x ＝5， ∴三角形面积为S ＝12×52×5＝254. 11．(山东文)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线ly ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为________．[答案] (x －3)2＋y 2＝4[解析] 本题考查了圆的标准方程及圆的弦长问题，圆的弦长问题合理应用特殊直角三角形是关键，设圆心为(a,0)，由已知a >0作CD ⊥AB ，则由|AB |＝22⇒AD ＝2，|CD |＝|a －1|2.|CA |＝|a －1|， 由勾股定理得：(2)2＋(|a －1|2)2＝(|a －1|)2， 解得a ＝3或a ＝－1，又a >0，∴a ＝3，∴r ＝3－1＝2，∴(x －3)2＋y 2＝4为所求．三、解答题12．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)从圆C 外一点P (x ，y )向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求点P 的轨迹方程．[解析] (1)由圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零．设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，∵直线l 与圆C 相切，∴|－1＋2－a |2＝2， ∴a ＝－1或a ＝3.∴所求直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.(2)∵切线PM 与半径CM 垂直，设P (x ，y )，又∵|PM |2＝|PC |2－|CM |2，|PM |＝|PO |，∴(x ＋1)2＋(y －2)2－2＝x 2＋y 2，∴2x －4y ＋3＝0，∴所求点P 的轨迹方程为2x －4y ＋3＝0.13．m 为何值时，直线l ：2x －y ＋m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝5.(1)无公共点；(2)截得的弦长为2；(3)交点处两条半径互相垂直．[解析] (1)由题知，圆心O (0,0)，半径r ＝5，直线l ：2x －y ＋m ＝0与圆无公共点，设O 到l 的距离为d ，则d ＝|m |5. 由题意可知d >r ，即|m |5> 5. ∴m >5或m <－5.(2)由题意可知r 2＝d 2＋1，∴5＝m 25＋1，∴m ＝±2 5. (3)设l 与圆交于A 、B 两点，∵OA ⊥OB ，OA ＝OB ，∴△AOB 为等腰直角三角形．则d ＝22r ，即|m |5＝22×5， ∴m ＝±522. 14．设O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P 、Q ，满足关于直线x ＋my ＋4＝0对称，又满足OP →·OQ →＝0.(1)求m 的值；(2)求直线PQ 的方程．[解析] (1)曲线方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9表示圆心为(－1,3)，半径为3的圆．∵点P 、Q 在圆上且关于直线x ＋my ＋4＝0对称，∴圆心(－1,3)在直线上，代入得m ＝－1.(2)∵直线PQ 与直线y ＝x ＋4垂直，∴设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，PQ 方程y ＝－x ＋b将直线y ＝－x ＋b 代入圆方程，得2x 2＋2(4－b )x ＋b 2－6b ＋1＝0Δ＝4(4－b )2－4×2×(b 2－6b ＋1)＞0，得2－32＜b ＜2＋3 2.由韦达定理得x 1＋x 2＝b －4①， x 1x 2＝b 2－6b ＋12② OP →·OQ →＝0即2x 1x 2－b (x 1＋x 2)＋b 2＝0将①②代入得：b 2－6b ＋1－b 2＋4b ＋b 2＝0解得b ＝1，经验证知符合题意∴PQ 方程为y ＝－x ＋1.15．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|P A |、|PO |、|PB |成等比数列，求P A →·PB →的取值范围．[分析] 对于(1)关键求半径．对于(2)用向量坐标运算表示P A →·PB →转化为函数．[解析] (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，且x 1<x 2，由x 2＝4，得A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，由|P A |、|PO |、|PB |成等比数列，得(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2.所以P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4，x 2－y 2＝2. 由此得0≤y 2<1，所以P A →·PB →的取值范围为[－2,0)．[点评] P A →·PB →用x 或y 表示后，还要求出变量x 或y 的范围，才可求值域．。
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C、 x+3y-5=0
D 、 x-3y+1=0
例 2、 (优化设计 P114 例 1)已知圆 C： ( x 1) 2 ( y 2) 2 25, 直线
l : (2m 1) x (m 1) y 7m 4 0(m R) .
（1） 证明不论 m取什么实数，直线与圆恒交于两点； （2） 求直线被圆 C 截得的弦最小时的方程 .
y0 y, x 0 x , y0 y 改写圆方程中的 x 2， y2,x,y
2
2
（4）切线长
过圆外一点 P( x0 , y0 ) 引圆： x2+y2+Dx+Ey+F=0(D 2+E2-4F>0) 或 (x-a)2+(y-b) 2=r2(r>0) 的切线
则切线长： d
x
2 0
y02
Dx 0
Ey 0
F
4、圆与圆的位置关系
由 k AC= -
1 2
,
所以 l 的方程为
2x-y-5=0.
【思维点拨】 用直线系方程求点。 若证明一条直线恒过定点或求一条直线必过定点，通常采用有分离系数法： 即将原方程改变成： f(x, y)+mg(x,y)=0 的形式，此式的成立与
m的取值无关，故从而解出定点。
练习 2：把直线 x 2 y
0 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位后，所得直线正好
0 相交
（1） 代数法（判别式法）
0 相切
0 相离
（2） 几何法，圆心到直线的距离
dr dr dr
相交 相切 相离
一般宜用几何法。 3、弦长与切线方程，切线长的求法
（1）弦长求法一般采用几何法：弦心距
（3） 改写圆方程写出圆的切线方程：
d，圆半径 r，弦长 l ，则 d 2
2
l
r2
2
(x 0,y0)为切点的圆的切线方程，分别以 x0 x,
O1O2 r1 r2 相离
2
x0 a
y0
2
b
r2
O1O2 r1 r2 外切
r1 r2 O1O2 r1 r2 相交
O1O2 r1 r2 内切
O1O2 r1 r 2 内含
5、圆系方程 （1）以 (a,b)为圆心的圆系方程：
x a2
y b 2 r2 r 0 。
（ 2）过两圆 C1 : x 2 y2 D1 x E1 y F1 0 和 C2 : x2 y 2 D2x E2 y F2 0的交
④
将③④代入①知： m=3.
代入方程②检验 ＞０成立． ∴ m=3 圆心坐标为 ( 1 ,3) ，半径为 r 5
2
2
解法 二将
3=x+2y 代 入圆的 方程知：
x2+y
2+
1 3
(x+2y)(x-6y)+
m 9
(x+2y) 2=0,
整理得 ：
(12+m)x 2+4(m-3)x
y+(4m-27)y 2=0 由于 x≠ 0 可得 (4m-27)(
点的圆系方程： x2 y 2 D1x E1 y F1
x 2 y2 D2 x E2 y F2 0 但不含 C2
1时， l : D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0 为两圆公共弦所在直线方程
其中当两圆相切时， L 为过两圆公共切点所在直线的方程。
二、题型剖析 例 1、 (优化设计 P114 例 1) 已知圆 x 2+y 2+x-6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 相交于 P,Q 两点， O
与圆 x2+y 2+2x-4y=0 相切，则实数
A 、 3 或 13
B、 -3 或 13
的值为（ A） C、 3 或-13
D、 -3 或 -13
解：平移后直线 x 2 y
3 0 ，由题意
1 22 5
3 5 ，所以
3 或 13
例 3、过圆 x 2+y2=r 2(r>0) 外一点 P(x 0,y0)作圆的两条切线，切点分别为 A 、B ，证明直线 AB 的方程是 x 0x+y 0y=r 2 证法一 设 A 、B 的坐标分别为 (x1,y1),(x 2,y2). A 、B 在已知圆 x2+y2=r2 上，过 A 、B 的切线 方程分别是 x 1x+y 1y=r 2 , x 2x+y 2y=r 2 又 P 是两切线公共点 , 即有 x 1x 0+y1 y0 =r2 , x2x0+y 2y 0=r 2
的 实数解，
即 x1,x2 是 5x2+10x+4m-27=0
4m-27
② 的两个实数根，∴ x 1+x 2=-2,x 1x 2=
③
5
又 P,Q 在直线
x+2y-3=0
上，∴
1 y1y2=4
(3-x 1)(3-x 2)=
1 4
[9-3(x 1+x 2)+x 1x 2]
将③代入得
m+12 y 1y 2= 5
为原点，且 OP OQ，求该圆的圆心坐标及半径。
解法一设 P(x 1,y1),
y1 y2 Q(x 2,y2)，由 OP OQ, 得 : k OPkOQ= -1 即 x1 x2 = -1 即 x 1x 2+y 1y2=0
①
另一方面 (x 1,y1),(x 2,y2)是方程组
x+2y-3=0
22
x +y +x-6y+m=0
解 （１）l 的方程为（ x+y-4 ）+m(2x+y-7)=0 ∵ m R ∴ x+y-4=0, 且 2x+y-7=0, 得 x=3, y=1 即 l 恒过定点Ａ（３， １） ．∵圆心Ｃ（１， ２），｜ＡＣ｜＝ ５ ＜５ ∴点Ａ在圆Ｃ内， 从而直线 l 恒与圆Ｃ相交于两点．
（２）弦长最小值时，
l ＡＣ
2010 年高考数学考点解析： 点与圆、 直线与圆、 圆与圆的位
置关系
一、基础知识 1、 若圆 (x-a) 2+(y-b) 2=r2，那么点 (x 0,y0)在
圆上 圆内 圆外
x0 a 2 x0 a 2 x0 a 2
y0 b 2 r 2 y0 b 2 r 2 y0 b 2 r 2
2、直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交。有两种判断方法：
y x
)2+4(m-3)
y x +12+m=0 ，∴ kOP,
kOQ 是上方程的两根
, 由 k OPk OQ= -1 知 :
m+12 4m-27
=-1,
解得 :m=3.
检验知 m=3 满足 .
＞０
∴ 圆心坐标为 ( 1 ,3) ，半径为 r 5
2
2ห้องสมุดไป่ตู้
【思维点拨】这是用韦达定理解题的典型题，在以后的圆锥曲线中也有同类型题，注意
＞
０的检验 练习 1：若直线 ax+by=1 与圆 x 2+y2=1 相交，则点 P(a,b)的位置是（ B ）
A 、在圆上
B 、在圆外
C 、在圆内
D、都有可能
变式 2、过点（ 2，1）的直线中， 被 x2+y 2-2x+4y=0 截得的最长弦所在的直线方程是 （ A ）
A 、 3x-y-5=0
B、 3x+y-7=0