018届高三上学期第一次(12月)教学质量检测数学(理)试题(附答案) (1)
高三数学上学期第一次教学质量检测试题理试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三第一次教学质量检测数学〔理科〕参考答案一、选择题:〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕 13.任意(0,)x ∈+∞，都有ln 1x x ≤-1 1三、解答题：〔一共70分〕 17.(1)当1n =时，11112S a +=，解得123a =. 当2n ≥时，由112n n S a +=，11112n n S a --+=，两式作差得：113n n a a -=〔2n ≥〕故数列{}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列， 其通项公式为1212()333n nn a -=⨯=………………6分(2)∵13log 2nn a b ==131log ()3n n =∴211111(2)22n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⨯++⎝⎭.…………9分 故11111111(1)()()()2324352nT n n ⎡⎤=-+-+-++-⎢⎥+⎣⎦1111323(1)221242(1)(2)n n n n n +=+--=-++++………………12分 18.解析：〔1〕由题意得(0.020.0320.018)101a +++⨯=，解得0.03a =，……………2分 50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=克；故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克；………6分〔2〕利用样本估计总体，该盒子中小球重量在[]5,15内的概率为0.2，那么1(3,)5X B ~，X的取值为0,1,2,3，033464(0)()5125P X C ===，1231448(1)()()55125P X C ===，2231412(2)()()55125P X C ===，33311(3)()5125P X C === X 的分布列为：6448121301231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=，〔或者者135EX =⨯〕…………12分 19.解:〔1〕证明：∵11AE A B ⊥，11//,A B AB AE AB ∴⊥又∵11,AA AB AA AE A ⊥=∴AB ⊥面11A ACC .又∵AC ⊂面11A ACC ，∴AB AC ⊥，以A 为原点建立如下列图的空间直角坐标系A xyz -，那么有()()()()()110,0,0,0,2,1,1,1,0,0,0,2,2,0,2A E F A B ，……………………4分设()111,,,Dx y z A D A B λ=且[]0,1λ∈，即(),,2(2,0,0)x y z λ-=,那么()(2,0,2),12,1,2D DF λλ∴=--，∵()0,2,1,110AE DF AE =∴⋅=-=，所以DF AE ⊥；……………………6分〔2〕存在一点D 且D 为11A B 的中点，使平面DEF 与平面ABC 夹角的余弦值为1414……………………7分理由如下：由题可知面ABC 的法向量()0,0,1n =设面DEF 的法向量为(),,n x y z =，那么0n FE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∵()()1,1,1,12,1,2FEDF λ=-=--，∴()01220x y z x y z λ-++=⎧⎨-+-=⎩，即()()3211221x z y zλλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩，令()21zλ=-，那么()()3,12,21n λλ=+-……………………10分∵平面DEF 与平面ABC 夹角的余弦值为1414， ∴14cos ,14m n m n m n⋅==()()()2221141491241λλλ-=+++-，解得12λ=或者74λ=〔舍〕，所以当D 为11A B 中点时满足要求．……………………12分 20.解：〔1〕由题知，11222=+b a 且22=a c 即2,422==b a ， ∴ 椭圆1C 的方程为12422=+y x ；……………………4分 〔2〕当直线AC 的斜率不存在时，必有)0,2(±P ，此时2||=AC ，2=∆AOC S……………………5分当直线AC 的斜率存在时，设其斜率为k 、点),(00y x P ，那么)(00x x k y y AC -=-：与椭圆1C 联立，得04)(2)(4)21(2000022=--+-++kx y x kx y k x k ，设),(),,(2211y x C y x A ，那么20021021)(22k kx y k x x x +--=+=即002ky x -=又222020=+y x 220211k y +=∴………………9分综上，无论P 怎样变化，AOC ∆的面积为常数2．………………12分21.解：〔I 〕易知'21ln ()xf x x-=， 当'0,()0x e f x <<>；当',()0x e f x ><；故函数)(x f 在()e ,0上单调递增，在()+∞,e 上单调递减，)(x f 的最大值为ee f 1)(=.………………4分 〔II 〕不妨设0m n <<， m nn m=,∴有n m m n ln ln =，即nnm m ln ln =，即)()(n f m f =.由〔I 〕知函数)(x f 在()e ,0上单调递增，在()+∞,e 上单调递减，所以要证0)2(<+'n m f ，只要证e nm >+2，即只要证e n m 2>+.……6分 0m n <<,那么易知n e m <<<1.∴只要证m e n ->2. e m <<1,e m e >-∴2,又e n >，)(x f 在()+∞,e 上单调递减， ∴只要证)2()(m e f n f -<，又)()(n f m f =， ∴只要证)2()(m e f m f -<即可.即只要证me m e m m --<2)2ln(ln , 只要证)2ln(ln )2(m e m m m e -<-,只要证0)2ln(ln )2(<---m e m m m e ,令)2ln(ln )2()(x e x x x e x g ---=，)1(e x <<，即只要证当e x <<1时0)(<x g 恒成立即可.又)2(ln 222)2ln(2ln )(x e x x e xx x e x e x x e x x e x x g ---+-=-+---+-='， ex <<1，∴222>-+-x e x x x e ，又22)22()2(e x e x x e x =-+<-，∴2)2(ln <-x e x ，∴0)(>'x g ，∴)(x g 在()e ,1上单调递增, ∴0)()(=<e g x g ,∴有0)(<x g 恒成立，此题得证.………………12分22.解：(1)∵AB ∥CD ，∴PAB AQC ∠=∠，又PQ 与圆O 相切于点A ，∴PAB ACB ∠=∠，∵AQ 为切线，∴QAC CBA ∠=∠， ∴△ACB ∽△CQA ，∴AC AB CQ AC=，即2AC CQ AB =.………5分(2)∵AB ∥CD ，2AQ AP =，∴13BP AP AB PC PQ QC ===， 由2,2AB BP ==，得32, 6.QC PC ==∵AP 为圆O 的切线，∴212AP PB PC ==，∴23AP =，∴43QA =又∵AQ 为圆O 的切线，∴2AQ QC QD=82QD =.…………10分23、解析：〔Ⅰ〕222,cos ,x y x ρρθ=+=sin ,y ρθ=2224cos 242x y x ρρθ-+=+-+∴圆的普通方程为22420x y x +-+=…………………5分〔Ⅱ〕由22420xy x +-+=⇒(x －2)2＋y 2＝2设22cos 2sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数) 所以x ＋y 的最大值4，最小值0…………………10分 24.解：〔1〕{}11≤≤-x x …………………5分〔2〕不等式)3(log )(22a a x f ->恒成立等价于)3(log )(22min a a x f ->，因为2)12(12|12||12|=--+≥-++x x x x ，所以2)(min =x f ，于是2)3(log 22<-a a ，即⎩⎨⎧<-->-0430322a a a a ，即01<<-a 或者43<<a …………………10分 〔解答题其他解法请酌情给分〕。
湖北省八校2018届高三上学期第一次联考(12月)数学(理)试题(解析版)
鄂南高中华师一附中黄冈中学黄石二中荆州中学孝感高中襄阳四中襄阳五中2018届高三第一次联考数学试题（理）一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得：，，则，故，故选C. 2.复数的共轭复数为（）A. －B.C.D.【答案】A【解析】复数，故复数的共轭复数为－，故选A.3.函数的图像向右平移个单位后得到的图像关于原点对称，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】将函数的图像向右平移个单位后得到,因为其图象关于原点对称，所以该函数为奇函数，故，解得，即，则正数的最小值为，故选B.4.已知函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】当时，，故其在内单调递增，又∵函数定义域为，，故其为偶函数，综上可得在内单调递减，在内单调递增且图象关于轴对称，即等价于且，即不等式的解集为，故选C.点睛：本题主要考查了函数的单调性与奇偶性在解抽象函数不等式中的应用，熟练掌握初等函数的形式是解题的关键；根据性质得到为定义域内的偶函数且在内单调递减，在内单调递增，故而可将不等式等价转化为在定义内解不等式即可.5.已知命题，且，命题，.下列命题是真命题的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】对于命题，当时，且成立，故命题为真命题；对于命题，∵，其最大值为，故，为真命题，由以上可得为真，故选A.6.将正方体（如图1）截去三个三棱锥后，得到（如图2）所示的几何体，侧视图的视线方向（如图2）所示，则该几何体的侧视图为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】点在左侧面的投影为正方形，在左侧面的投影为斜向下的正方形对角线，在左侧面的投影为斜向上的正方形对角线，为不可见轮廓线，综上可知故选D.7.下列说法错误的是（）A. “函数为奇函数”是“”的充分不必要条件B. 已知不共线，若则是△的重心C. 命题“，”的否定是：“，”D. 命题“若，则”的逆否命题是：“若，则”【答案】A【解析】当时，“函数为奇函数”但“”不成立；当时，“”但“函数为奇函数”不成立，故“函数的奇函数”是“”的既不充分也不必要条件，故A错误；故选A.8.已知等比数列的前项和为，已知，则（）A. －510B. 400C. 400或－510D. 30或40【答案】B【解析】∵等比数列的前项和为，∴也成等边数列，∴，解得：或，∵，∴（舍负），故，∴，故选B.9.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶，算法至今仍是多项式求值比较先进的算法.已知，下列程序框图设计的是求的值，在“”中应填的执行语句是A. B.C. D.【答案】C【解析】初始值该程序的计算方式：第一步：计算，空白处的结果应为；第二步：计算，空白处的结果应为；综合分析可得：空白处应填，故选C.10.已知，且，则（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】∵，∴，∴，，，∴，∴或，即或，∵，∴或，故选D.点睛：此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及绝对值的代数意义，熟练掌握公式是解本题的关键；根据α的范围求出的范围，确定出，，所求式子利用二倍角的余弦函数公式及绝对值的代数意义化简，再利用两角和与差的余弦函数，结合角的范围即可求出.11.已知△中，为角的对边，，则△的形状为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定【答案】B【解析】∵，∴，即，∵不共线，故有，即，∴可得△的形状为直角三角形，故选B.点睛：本题考查平面向量基本定理与余弦定理的综合应用，求得与的关系是解题的关键，也是难点，考查运算求解能力，属于中档题；由条件求得，根据不共线，求得，利用勾股定理即可判断三角形的形状.12.我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误．．命题的个数是（）对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆；圆的一个太极函数为；圆的太极函数均是中心对称图形；奇函数都是太极函数；偶函数不可能是太极函数.A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】由定义可知过圆的任一直线都是圆的太极函数，故正确；当两圆的圆心在同一条直线上时，那么该直线表示的函数为太极函数，故错误；∵，∴的图象关于点成中心对称，又∵圆关于点成中心对称，故可以为圆的一个太极函数，故正确；太极函数的图象一定过圆心，但不一定是中心对称图形，例如：故错误；奇函数的图象关于原点对称，其图象可以将任意以原点为圆心的圆面积及周长进行平分，故奇函数可以为太极函数，故正确；如图所示偶函数可以是太极函数，故错误；则错误的命题有3个，故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知平面向量，且，则__________.【答案】或1【解析】∵，∴，，又∵，∴，解得或，故答案为或.14.曲线与直线所围成的封闭图形的面积为_______________.【答案】【解析】由，解得或，∴曲线及直线的交点为和因此，曲线及直线所围成的封闭图形的面积是，故答案为.点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．15.已知等差数列是递增数列，且，，则的取值范围为___________.【答案】【解析】∵等差数列是递增数列，且，∴，又∵，∴，，，，即的取值范围为，故答案为.点睛：本题考查了数列的通项公式与求和公式、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；数列是单调递增数列，根据满足，，可得，，即可得出.16.是上可导的奇函数，是的导函数.已知时不等式的解集为，则在上的零点的个数为___________.【答案】【解析】令，则，又∵时，，∴，在上单调递增，又∵，∴，不等式等价于，即，，解得，故，又∵，故在区间内的零点为，即2个零点，故答案为2.三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量.（1）求的最大值及取最大值时的取值集合；（2）在△中，是角的对边若且，求△的周长的取值范围.【答案】（1）,；（2）.【解析】试题分析：（1）利用平面向量数量积运算公式，通过降幂公式及辅助角公式可将化简为，利用三角函数的性质可得最值及集合；（2）由结合角的范围可得，利用余弦定理结合均值不等式可得，结合的值即可得周长的取值范围.试题解析：（1），，的最大值为，此时即（2），,由得又,故，即周长的范围为.18.已知数列满足.（1）求证是等比数列；（2）求的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由，得，数列是等比数列；（2）由（1）可得，等式两边同时除以可得：是首项为，公差为的等差数列，可求得，故而可求出的通项公式.试题解析：（1）由得，是等比数列.（2）由（1）可得，，是首项为，公差为的等差数列，.19.【2018湖北八校高三上学期第一次联考（12月）】四棱锥中，∥，，，为的中点．（I）求证：平面平面；（II）求与平面所成角的余弦值．【答案】（I）证明见解析；（II）．试题分析：（1）设为的中点，连接，首先证明，由此可得，再证明，可得，由线面垂直判定定理可得面，最后由面面垂直判定定理可得结果；（2）设为的中点,连接，先证得，通过证明面面求出与面改成角的大小，故而得出结论.试题解析：（1）设为的中点，连接为的中点，，则，又，，从而，面，面面，面面 .（2）设为的中点,连接,则平行且等于,∥，∥,不难得出面（）,面面,在面射影为，的大小为与面改成角的大小,设，则，,即与改成角的余弦值为.20.已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为元时，生产件产品的销售收入是（元），为每天生产件产品的平均利润（平均利润＝总利润/总产量）.销售商从工厂每件元进货后又以每件元销售，，其中为最高限价，为销售乐观系数，据市场调查，是由当是，的比例中项时来确定.（1）每天生产量为多少时，平均利润取得最大值？并求的最大值；（2）求乐观系数的值；（3）若，当厂家平均利润最大时，求与的值.【答案】（1）400,200；（2）；（3），.试题分析：（1）先求出总利润＝，依据（平均利润＝总利润/总产量）可得，利用均值不等式得最大利润；（2）由已知得，结合比例中项的概念可得，两边同时除以将等式化为的方程，解出方程即可；（3）利用平均成本平均利润，结合厂家平均利润最大时（由（1）的结果）可得的值，利用可得的值.试题解析：（1）依题意总利润＝，＝，,此时,,即，每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元.（2）由得，是的比例中项，，两边除以得，解得.（3）厂家平均利润最大，元，每件产品的毛利为，，元，（元），元.21.已知函数是的一个极值点.（1）若是的唯一极值点，求实数的取值范围；（2）讨论的单调性；（3）若存在正数，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）当时，在递减，在上递增，当时，在,上递增，在上递减,当时，在, 上递增，在递减，时，在上递增；（3）或.【解析】试题分析：（1）对函数求导，由是极值点得，由此可得，即，由函数有唯一极值点可得恒成立或恒成立，由恒成立得，后者不可能，故可得的取值范围；（2）对导函数的零点进行讨论，分为，，和四种情形可得导数与0的关系进而得其单调性；（3）依据（2）中结果，当时，当时，均满足题意；当时，根据单调性或成立即可，当时，满足题意.试题解析：（1），是极值点，故，，是唯一的极值点，恒成立或恒成立由恒成立得，又，由恒成立得，而不存在最小值，不可能恒成立.（2）由（1）知，当时，，；，.在递减，在上递增；当时，，，；，；，，在、上递增，在上递减，当时，在、上递增，在递减。
2018届高三数学理第一次教学质量检测试卷
2018届高三数学理第一次教学质量检测试卷安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测数学理试题第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，则（）A. 5 B . . D .2.已知等差数，若，则的前7项的和是（）A. 112 B . 51 . 28 D. 183.已知集合是函数的定义域，集合是函数的值域，则（）A. B ..且D .4.若双曲线的一条渐近线方程为，该双曲线的离心率是（）A .B . . D .5.执行如图程序框图，若输入的等于10,则输出的结果是（）6.已知某公司生产的一种产品的质量（单位：克）服从正态分布.现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在内的产品估计有（）（附：若服从，则，）A. 3413 件B . 4772 件.6826 件D . 8185 件7.将函数的图像先向右平移个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原的倍，得到的图像，则的可能取值为（）A. B . . D.8.已知数列的前项和为，若，则（）A. B . . D.9.如图，格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B . . D .10.已知直线与曲线相切（其中为自然对数的底数）, 则实数的值是（）A .B . 1 . 2 D .11.某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在两种设备上加工，生产一件甲产品需用设备2小时，设备6小时；生产一件乙产品需用设备3小时，设备1小时.两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（）A. 320千元B . 360千元.400千元D . 440千元12.已知函数（其中为自然对数的底数），若函数有4 个零点，贝U的取值范围为（）A. B . . D.第口卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若平面向量满足，则.14.已知是常数，，且，贝U .15.抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过抛物线上一点（第一象限内）作的垂线，垂足为.若四边形的周长为16,则点的坐标为.16.在四面体中，，二面角的大小为，则四面体外接球的半径为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知的内角的对边分别为，.（1）求角；（2）若，求的周长的最大值.18.2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分理科.每个考生，英语、语、数学三科为必考科目并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科目，政治、历史、地理为社会科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科目，两个科目属于自然科目.若该考生所选的社会科目考试的成绩获等的概率都是0.8，所选的自然科目考试的成绩获等的概率都是0.75,且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量表示他所选考的三个科目中考试成绩获等的科目数，求的分布列和数学期望.19.如图，在多面体中，是正方形，平面，平面，，点为棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成的角的正弦值.20.在平面直角坐标系中，圆交轴于点，交轴于点.以为顶点，分别为左、右焦点的椭圆，恰好经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设经过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.21.已知.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4 :坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线（为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（1）求曲线的普通方程；（2）若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求的最小值.23.选修4-5 :不等式选讲已知函数.（1）解关于的不等式；（2）若关于的不等式的解集不是空集，求的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: AB 6-10: DDAB 11 、12：BD二、填空题13. 14. 3 15. 16.三、解答题17.解：（1）根据正弦定理，由已知得：, 即,• •• • •• • ••••，从而.• • •• • •? ・（2）由（1）和余弦定理得，即，• •即（当且仅当时等号成立）. 所以，周长的最大值为.18.（ 1 ）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科目”为事件，则，所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科目的概率为.（2）随机变量的所有可能取值有0,1 ，2，3. 因为，?所以的分布列为所以.19.(1)证明：连结，交于点,•••为的中点，二.•••平面,平面,•••平面.•••都垂直底面,• •■• ••••为平行四边形，•••.•••平面,平面,•••平面.又•••，•••平面平面.(2)由已知，平面,是正方形.•••两两垂直，如图，建立空间直角坐标系.设，则，从而，• •设平面的一个法向量为，由得.令，则，从而.•••，设与平面所成的角为，则所以，直线与平面所成角的正弦值为.20.(1)由已知可得，椭圆的焦点在轴上. 设椭圆的标准方程为，焦距为，则,椭圆的标准方程为.又•••椭圆过点，•••，解得.椭圆的标准方程为.(2)由于点在椭圆夕卜，所以直线的斜率存在.设直线的斜率为，则直线，设.由消去得，.由得，从而，• •■•••点至U直线的距离，•••的面积为.令，则，• •当即时，有最大值，，此时.所以，当直线的斜率为时，可使的面积最大，其最大值.21. (I) 的定义域为，.• •■令，贝y(1)若，即当时，对任意，恒成立，即当时，恒成立(仅在孤立点处等号成立)•••在上单调递增.(2)若，即当或时，的对称轴为.①当时，，且.如图，任意,恒成立，即任意时，恒成立，•••在上单调递增.②当时，，且.如图，记的两根为•••当时，；当时，.•••当时，，当时，.•在和上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.(n) 恒成立等价于,恒成立.令，则恒成立等价于，. 要满足式，即在时取得最大值.• •■由解得.当时，，•••当时，；当时，.•••当时，在上单调递增，在上单调递减，从而符合题意. 所以，. 22.（1）由得：.因为，所以， 即曲线的普通方程为.（2）由（1）可知，圆的圆心为 设曲线上的动点， 由动点在圆上可得：. • • 当时，， • •■ 23. （ 1）， 或或 或，所以，原不等式的解集为. （2）由条件知，不等式有解，则 由于，当且仅当，即当时等号成立，故 所以，的取值范围是.，半径为1.即可.。
江苏省海安县2018届高三数学上学期第一次学业质量测试试题(含解析)
=
3BD，所以BD
=
1 4
×
2
=
12⇒h
=
32，所以ΔABC的面积为S
=
1 2
×
2
×
3 2
=
3，应填答案3。
2
2
点睛：解答本题的关键是依据题设条件构建方程12absinC = abcosC⇒sinC = 2cosC，即tanC = 2
，进而借助三角形的三内角之和为π得到tanA = 1,tanB = 3，从而算得ΔABC的AB边上的高h =
3 a
4
+ +
b b
= =
0 ，解之得 0
a b
= =
−127⇒a
+
b
=
5，应填答案5。
10. 已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列，其前n项和为Sn，若a1 + a4 + a7 = 0，则Sa56的值为
3
_________.
【答案】−3
【解析】由题意3a1
+
9d
=
0⇒a1
=
−3d，则SS65
所以椭圆C的方程是x52 + y2 = 1.
(2)由(1)知，圆O的方程为x2 + y2 = 5，
因为AQ = 2，设∠OAQ = θ，则cosθ = 55，所以tanθ = 2，从而直线AQ的斜率为 - 2.
则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
. 其次要熟悉复数相关基本概
念，如复数
的实部为 、虚部为 、模为
、对应点为 、共轭
为
3. 已知一个边长为 2 的正方形及其外接圆.现随机地向圆内丢一粒豆子，则豆子落入正方形
届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案
届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷及答案高考数学知识覆盖面广，我们可以通过多做数学模拟试卷来扩展知识面!以下是店铺为你整理的2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷，希望能帮到你。
2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷题目一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U=R，A={x|x2﹣2x<0}，B={x|x≥1}，则A∪(∁UB)=( )A.(0，+∞)B.(﹣∞，1)C.(﹣∞，2)D.(0，1)2.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1，3}D.{1，4}3.在△ABC中，“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法错误的是( )A.命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C.若p且q为假命题，则p、q均为假命题D.命题p：“∃x∈R使得x2+x+1<0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”5.已知0A.a2>2a>log2aB.2a>a2>log2aC.log2a>a2>2aD.2a>log2a>a26.函数y=loga(x+2)﹣1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，则 + 的最小值为( )A.3+2B.3+2C.7D.117.已知f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，+∞)上是增函数，若a=f(sin )，b=f(cos )，c=f(tan )，则( )A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a8.若函数y=f(x)对x∈R满足f(x+2)=f(x)，且x∈[-1 ，1]时，f(x)=1﹣x2，g(x)= ，则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间x∈[-5 ，11]内零点的个数为( ) A.8 B.10 C.12 D.149设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f(x)•f(y)=f(x+y)，若a1= ，an=f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n 项和Sn的取值范围是( )A.[ ，2)B.[ ，2]C.[ ，1)D.[ ，1]10.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的图象大致为( )A . B.C. D.11.设函数f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b，a，b∈R，则下列叙述中，正确的序号是( )①对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上是单调函数;②对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上都不是单调函数;③对任意实数a，b，函数y=f(x)的图象都是中心对称图象;④存在实数a，b，使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图象.A.①③B.②③C.①④D.③④12.已知函数，如在区间(1，+∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得比值= =…= 成立，则n的取值集合是( )A.{2，3，4，5}B.{2，3}C.{2，3，5}D.{2，3，4}第II卷(非选择题)二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)13.命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1<0”的否定是 .14.定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)= .15.设有两个命题，p：x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0};q：函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是 .16.在下列命题中①函数f(x)= 在定义域内为单调递减函数;②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2﹣x)=f(2+x)，则f(x)一定为偶函数;③若f(x)为奇函数，则 f(x)dx=2 f(x)dx(a>0);④已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则a+b+c=0是f(x)有极值的充分不必要条件;⑤已知函数f(x)=x﹣sinx，若a+b>0，则f(a)+f(b)>0.其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).三、解答题(本题共7道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分,共70分)17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，函数y=ln(x2﹣4)的定义域为B.(Ⅰ)求A∩B;(Ⅱ)若C={x|x≤a﹣1}，且A∪(∁RB)⊆C，求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.(1)求实数a，b的值;(2)解关于x的不等式： >0(c为常数).19.已知函数f(x)= 是定义在(﹣1，1)上的奇函数，且f( )= .(1)确定函数f(x)的解析式;(2)证明f(x)在(﹣1，1)上是增函数;(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.20.已知关于x的不等式x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).(Ⅰ)解该不等式;(Ⅱ)定义区间(m，n)的长度为d=n﹣m，若a∈R，求该不等式解集表示的区间长度的最大值.21.设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β)，函数(1)证明f(x)在区间(α，β)上是增函数;(2)当a为何值时，f(x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小.选做第22或23题，若两题均选做，只计第22题的分。
荆州市2018届高三年级第一次质量检查理科数学(含答案)
荆州市2018届高三年级第一次质量检查理科数学(含答案)荆州市2018届高三年级第一次质量检查数学（理工农医类）参考答案一、选择题：BDCADACDCBC二、填空题：13.e^(-1/4.5+26) = 15..[2,+∞)三、解答题：17.解：f(x) = 2/3sinx*cosx + 2/3*sin^2x = 2/3*sin(2x-π/6)+11) 由f(x) = 2/3*sinx*cosx + 2/3*sin^2x = 2/3*sin(2x-π/6)+1，即2/3*sin(2x-π/6)+1 = 0，故sin(2x-π/6) = -1/2.又因为x∈(-π,π)，所以x = -5π/12或x = -π/12.2) 由题知g(x) = 2/3*cosx+1，所以h(x) = g(π/2-x) =2/3*sinx+1.因为x∈[0,π/2]，所以sinx∈[0,1]，故h(x)的值域为[1,3]。
18.解：1) 当n=1时，an+1=2an，所以a1+1=2a1=2，因此a1=1.设Sn+n=2an，n∈N*，则n≥2时，Sn-1+n-1=2an-1，两式相减得an+1=2an-2an-1，即an=2an-1+1.所以，数列{an+1}为以2为首项，2为公比的等比数列，所以an+1=2n，所以an=2n-1，n∈N*。
2) bn=n(an+n)=n(n+1)2n-1，所以Tn=1×2+2×2^2+3×2^3+…+n×2^n=n(n+1)2n+1.由于n≥2，所以(n-1)/n×2>n/(n+1)×2，所以Tn-2>1009，Tn-1≤1009.所以，Tn-2>2018，Tn-1≤2018，所以n≥11.因此，满足不等式Tn-2>2018的n的最小值为11.19.解：1) OA=OB,CA=CB，所以O、C两点在线段AB的垂直平分线上，因此∠BCO=∠ACO=1/2∠BCA=30°。
高三数学第一次教学质量监测12月试题理含解析试题
2021届高三数学第一次教学质量监测〔12月〕试题 理〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12小题．每一小题有且只有一项是哪一项符合题目要求的．122x A x ⎧=≤<⎨⎩，{}ln 0B x x =≤，那么A B =〔 〕A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. [)1,0-C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. []1,1-【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合A 、B ，再根据交集的定义运算.【详解】解：122x A x ⎧=≤<⎨⎩，112A x x ⎧⎫∴=-≤<⎨⎬⎩⎭{}ln 0B x x =≤，{}01B x x ∴=<≤ 11|00,22A B x x ⎧⎫⎛⎫∴=<<=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭应选：A【点睛】此题考察指数不等式、对数不等式以及交集的运算，属于根底题.11az i=--为纯虚数，那么实数a =〔 〕． A. 2- B. 1-C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算法那么化简11az i=--，纯虚数，即实部为零，虚部不为零. 【详解】由题：(1)11111(1)(1)222a a i a ai a a z i i i i ++=-=-=-=-+--+为纯虚数， 那么10202aa ⎧-=⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩解得：2a =.故答案为：D【点睛】此题考察复数的根本运算和概念辨析，需要注意纯熟掌握运算法那么，弄清相关概念，纯虚数必须实部为零且虚部不为零. 3.以下结论中正确的个数是〔 〕．①在ABC 中，假设sin 2sin 2A B =，那么ABC 是等腰三角形； ②在ABC 中，假设 sin sin A B >，那么A B >③两个向量a ，b 一共线的充要条件是存在实数λ，使b a λ= ④等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数． A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】对每个命题逐一检验其正确性:①：假设sin 2sin 2A B =，那么22A B =或者22A B π+=；②:转化为证明其逆否命题：在ABC 中，假设A B ≤，那么sin sin A B ≤，结合正弦函数单调性可证；③：假设0,0a b =≠，不合命题的充要性，命题为假；④：常数列不合题意.【详解】对于①：假设sin 2sin 2A B =，那么22A B =或者22A B π+=，即A B =或者2A B π+=即ABC 是等腰三角形或者直角三角形，所以该命题不正确；对于②：证明其等价命题即其逆否命题：在ABC 中，假设A B ≤，那么sin sin A B ≤ 当02A B π<≤≤时，由正弦函数sin ,[0,]2y x x π=∈单调递增可得sin sin A B ≤；当2B ππ<<时，0,02A C A A C π<+<<<+，sin sin()sin A A C B <+=所以原命题成立，所以该命题正确；对于③：假设0,0a b =≠，满足向量a ，b 一共线，但不存在实数λ，使b a λ=，所以该命题不正确；对于④：常数列{}n a ，通项公式1n a =，其前n 项和公式n S n =不是二次函数，所以该选项不正确，综上：只有一个正确. 应选：B【点睛】此题考察对命题真假性的判断，涉及解三角形，向量，数列相关知识，此类问题涉及面广，考察全面，对综合才能要求较高.()2,3a =，()3,b m =，且a b ⊥，那么向量a 在a b +方向上的投影为〔 〕A. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据a b ⊥得到0a b =即可求出m ，再根据()cos a a b a a bθ+=+求出a 在ab +方向上的投影. 【详解】解：()2,3a =，()3,b m =，且a b ⊥2330a b m ∴=⨯+=解得2m =-()3,2b ∴=-()5,1a b ∴+=251a b ∴+=+=()253113a a b ∴+=⨯+⨯= a ∴在a b+方向上的投影()13cos 26a ab a a bθ+===+应选：C【点睛】此题考察向量的数量积的坐标运算以及向量的数量积的几何意义，属于根底题. 5.某校高一〔10〕班到研学旅行，决定对甲、乙、丙、丁这四个景馆进展研学体验，但由于是顶峰期，景馆为高一〔10〕班调整了道路，规定不能最先去甲景馆研学，不能最后去乙景馆和丁景馆研学，假如你是该班同学，你能为这次愉快的研学旅行设计多少条道路〔 〕 A. 24 B. 18C. 16D. 10【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①最后去甲景馆研学，②最后去丙景馆研学，分别计算结果，再根据分类加法计数原理相加可得.【详解】解：规定不能最先去甲景馆研学，不能最后去乙景馆和丁景馆研学；故分两种情况讨论：①最后去甲景馆研学，那么336A =种；②最后去丙景馆研学，那么12224A A =种；根据分类加法计数原理可得一一共有6410+=种方案.应选：D【点睛】此题考察简单的排列组合问题，属于根底题.cos y x x =+的大致图象是〔 〕A. B.C. D.【答案】B 【解析】由于()()cos ,cos f x x x f x x x =+∴-=-+，()()f x f x ∴-≠，且()()f x f x -≠-， 故此函数是非奇非偶函数，排除,A C ；又当2x π=时，满足cos x x x +=，即()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为2π，排除D ， 应选B ． 【方法点晴】此题通过对多个图象的选择考察函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考察知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除7.我国古代的天文学和数学著作?周髀算经?中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷〔gui 〕长损益一样〔晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长〕．二十四个节气及晷长变化如下图，相邻两个晷长的变化量一样，周而复始．假设冬至晷长一丈四尺五寸，夏至晷长二尺五寸〔一丈等于十尺，一尺等于十寸〕，那么夏至之后的第三个节气〔立秋〕晷长是〔 〕A. 五寸B. 二尺五寸C. 五尺五寸D. 四尺五寸 【答案】C 【解析】 【分析】设晷影长为等差数列{}n a ，公差为d ，1145a =，1325a =，利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】解：设晷影长为等差数列{}n a ，公差为d ，1145a =，1325a =， 那么1451225d +=，解得10d =-． 1014510955a ∴=-⨯=∴夏至之后的第三个节气〔立秋〕晷长是五尺五寸．应选：C ．【点睛】此题考察了等差数列的通项公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．8.x ，y 满足约束条件3442x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，假设Z ax y =+〔0a >〕的最大值是16，那么a 的值是〔 〕 A. 2 B.12C. 4D.14【答案】A 【解析】 【分析】画出满足约束条件3442x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，的平面区域，求出A ，B 的坐标，由Z ax y =+得：y ax Z =-+，结合函数的图象显然直线y ax Z =-+过A 时，Z 最大，求出a 的值即可．【详解】解：画出满足约束条件3442x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩的平面区域，如图示：由2040x y y --=⎧⎨-=⎩，解得：(6,4)A ， 由Z ax y =+得：y ax Z =-+，当直线y ax Z =-+过(6,4)A 时，Z 最大， 此时，6416a += 解得：2a = 应选：A ．【点睛】此题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，属于中档题．2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，圆221x y +=上的点到直线360x -=的间隔 最小值为m ，假设双曲线上一点P ，使2112sin sin PF F m PF F ∠=∠，那么221F P F F ⋅的值是〔 〕 A. 3 B. 2C. 3-D. 2-【答案】B 【解析】 【分析】根据圆上的点到直线的间隔 的最小值为圆心到直线的间隔 减去半径，即可求出m ，再根据正弦定理可得122PF PF =，结合双曲线的定义可求1PF ，2PF 的值，在三角形12PF F 中由余弦定理可得21cos PF F ∠，最后由向量的数量积的定义计算可得. 【详解】解：圆221x y +=上的点到直线360x -=的间隔 最小值为1312m =-=-=，2112sin 2sin PF F PF F ∠∴=∠在12PF F ∆正弦定理211221sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，可得122PF PF =即122PF PF = 2213y x -=，1a ，2c =122PF PF -=14PF ∴=，22PF =在三角形12PF F 中由余弦定理可得2222222121212124241cos 22424F F PF PF PF F F F PF +-+-∠===⋅⨯⨯ 221221211cos 4224F P F F F P F F PF F ∴⋅=⋅∠=⨯⨯=应选：B【点睛】此题考察双曲线的定义与性质，考察正弦定理、余弦定理的运用，考察学生分析解决问题的才能，属于中档题．10.丹麦数学家琴生〔Jensen 〕是19世纪对数学分析做出卓越奉献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多珍贵的成果．设函数()f x 在(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(),a b 上的导函数为()f x ''，假设在(),a b 上()0f x ''<恒成立，那么称函数()f x 在(),a b 上为“凸函数〞．()2ln 2xm f x e x x x =--在()1,4上为“凸函数〞，那么实数m 的取值范围是〔 〕 A. (],21e -∞-B. [)1,e -+∞C. 41,4e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.(),e +∞【答案】C 【解析】 【分析】求函数导数，结合导数不等式进展求解，构造函数，利用函数的单调性研究函数的最值即可． 【详解】解：()2ln 2x m f x e x x x =--()ln 1x f x e x mx '∴=---()1x f x e m x''∴=--()2ln 2x mf x e x x x =--在()1,4上为“凸函数〞()10x f x e m x ''∴=--<在()1,4上恒成立即1xm e x >-在()1,4上恒成立令()1xg x e x =-，()1,4x ∈()210x g x e x '∴=+>()1x g x e x∴=-，在()1,4上单调递增()()4max 144g x g e ∴==-()4max 14m g x e ∴≥=-即41,4m e ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭应选：C【点睛】此题主要考察导数的综合应用，求函数的导数，构造函数，利用导数研究函数的极值和最值是解决此题的关键．()sin f x x x =+，假设正实数a ，b 满足1210f f a b ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么3412a b a b +--的最小值为〔 〕A . 7B. 7+C. 5+D. 7+【答案】B【解析】【分析】通过求导数，根据导数符号可判断出()f x 是R 上的增函数，且()f x 是奇函数，从而根据1210f f a b ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得出121a b =-，从而得出21a b a =-，从而得出3412a b a b +--()37411a a =++--，且a ，b 都为正数，从而根据根本不等式即可求出最小值．【详解】解：()sin f x x x =+()1cos 0f x x ∴'=+，()()()sin f x x x f x -=-+-=-()f x ∴是增函数，且()f x 是奇函数，∴由1210f f a b ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得，121f f a b ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 121a b ∴=-， 即21a b a =- a ，b 都为正数，1a ∴>()()31342834371212281a b a b a b a b a b -+-+∴+=+=++------ 2837211a a a =++---()37411a a =++--77≥+=+当且仅当()3411a a =--时取等号， ∴3412a b a b +--的最小值为7+． 应选：B ．【点睛】此题考察了根据导数符号判断函数单调性的方法，根本初等函数的求导公式，奇函数的定义，根本不等式求最值的方法，考察了计算和推理才能，属于中档题．ABCD 中，60BAD ∠=，沿对角边BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD ，那么四面体ABCD 外接球外表积为〔 〕A. 34πB. 32πC. 17πD. 28π 【答案】D【解析】【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的外表积．【详解】解：如下图，120AFC ∠=︒，60AFE ∠=︒，3AF ==，AE ∴，32EF = 设OO x '=，那么2O B '=，1O F '=，∴由勾股定理可得222234(1))2R x x =+=++-， 27R ∴=，∴四面体的外接球的外表积为2428R ππ=，应选：D ．【点睛】此题考察四面体的外接球的外表积，考察学生的计算才能，正确求出四面体的外接球的半径是关键．二、填空题：本大题一一共4小题．把答案填写上在答题卡相应位置上． 13.61x x ⎛ ⎝展开式中的常数项为______． 【答案】15【解析】【分析】 根据题意，写出61x x ⎛- ⎝的展开式的通项，即可分析其常数项. 【详解】解：61x x ⎛ ⎝展开式的通项为 (()()6366221666111k k k k k k k k k k k C T x C C x x x x ---+⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭ 当4k =时()34644256115T C x ⨯-=-= 即61x x ⎛ ⎝展开式中的常数项为15 故答案为：15【点睛】此题考察二项式定理的应用，关键分析常数项出现的情况，属于根底题． {}n a 满足13a =，424S =，11n n n b a a +=，那么数列{}n b 的前n 项和为______．【答案】()323n n + 【解析】【分析】 根据等差数列13a =，424S =求出其通项公式21n a n =+，即可得到n b 的通项，再利用裂项相消法求出数列{}n b 的前n 项和.【详解】解：等差数列{}n a 满足13a =，424S =，()1134414242a a d =⎧⎪∴⎨⨯-+=⎪⎩解得132a d =⎧∴⎨=⎩()1121n a a n d n =+-=+∴11n n n b a a +=()()12123n b n n ∴=++设数列{}n b 的前n 项和为n S那么()()11135572123n S n n =+++⨯⨯++11111111123523522123n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111235352123n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭1112323n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭()323nn =+故答案为：()323n n +【点睛】此题考察等差数列通项公式的计算，以及裂项相消法求和，属于中档题.15.如图，B 是AC 上一点，以AB ，BC ，AC 为直径作半圆．过B 作BD AC ⊥，与半圆相交于D ，8AC =，15BD =，在整个图形中随机取一点，那么此点取自图中阴影局部的概率是______．【答案】1532【解析】【分析】设AB x =，根据勾股定理求出x 的值，即可求出阴影局部的面积，根据概率公式计算即可【详解】解：连接AD ，CD ，可知ACD ∆是直角三角形，又BD AC ⊥，所以2BD AB BC =，设(08)AB x x =<<，那么有()2158x x =-，得3x =或者5x =，由图可知3AB =，5BC =，由此可得图中阴影局部的面积等于22235415222224ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭ ⎪-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 故概率2215442153P ππ==⨯， 故答案为：1532．【点睛】此题主要考察几何概型的概率的计算，着重考察了面积公式、组合图形的面积计算和几何概型计算公式等知识，根据条件求出阴影局部的面积是解决此题的关键．l ：210kx y k --+=与椭圆1C ：22221x y a b+=〔0a b >>〕交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22211x y -+-=交于C 、D 两点．假设存在3,12k ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，使得AC DB =，那么椭圆1C 的离心率的取值范围是______． 【答案】122⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】求得直线恒过定点(2,1)，即为圆心，CD 为直径，由AC DB =，可得AB 的中点为(2,1)，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，运用点差法和直线的斜率公式、中点坐标公式，即可得到所求离心率的范围．【详解】解：直线:210l kx y k --+=，即为(2)10k x y -+-=，可得直线恒过定点(2,1)，圆222:(2)(1)1C x y -+-=的圆心为(2,1)，半径为1，且C ，D 为直径的端点，由AC DB =，可得AB 的中点为(2,1)，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，那么2211221x y a b +=，2222221x y a b+=， 两式相减可得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=， 由124x x +=．122y y +=， 可得2122122y y b k x x a-==--， 由312k --， 即有224123b a ，那么椭圆的离心率122c e a ⎡==⎢⎣⎦．故答案为：1,22⎡⎢⎣⎦． 【点睛】此题考察了椭圆的HY 方程及其离心率的范围，注意运用直线恒过圆心，以及点差法求直线的斜率，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．三、解答题：解容许写出文字说明，演算步骤或者证明过程．17题-21题为必考题．22题、23题为选考题．ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且向量()2,cos n a c C =-与向量(),cos m b B =一共线．〔1〕求角B 的大小； 〔2〕假设2BD DC =，且1CD =，AD =ABC 的面积．【答案】〔1〕π3B =；〔2〕ABC S =△ 【解析】【分析】〔1〕根据向量一共线的坐标表示，即可列出等式结合正弦定理，求解未知数；〔2〕根据向量关系求出线段长度，由余弦定理求出三角形边长，即可计算面积.【详解】〔1〕∵向量()2,cos n a c C =-与向量一共线(),cos m b B =一共线，∴()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理可得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=， ∴()2sin cos sin sin A B B C A =+=．∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =． 又∵0πB <<，∴π3B =． 〔2〕∵2BD DC =，且1CD =，7AD =，∴2BD =，3BC =，在ABD △中，由余弦定理有222cos AD BD AB BD B =-⋅，即2742AB AB =+-，解得3AB =，或者1AB =-〔舍去〕，故11393sin 332224ABC S AB BC B =⋅⋅=⨯⨯⨯=△． 【点睛】此题考察解三角形，结合向量一共线的坐标表示，建立等量关系结合正弦定理求角，根据余弦定理求边，计算面积.18.如图，在五棱锥P ABCDE -中，PA ⊥平面ABCDE ，AB CD ∥，AC ED ，AE BC ∥，45ABC ∠=，22AB =，24BC AE ==，PAB ∆是等腰三角形．〔1〕求证：CD ⊥平面PAC ；〔2〕求由平面PAC 与平面PED 构成的锐二面角的余弦值．【答案】〔1〕证明见解析；〔225 【解析】【分析】 〔1〕由余弦定理可28AC =即可证明AB AC ⊥，由//AB CD ，得到CD AC ⊥，又由线面垂直，得到PA CD ⊥，即可得证.〔2〕建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.【详解】解：〔1〕在三角形ABC 中，45ABC ∠=，AB =4BC =， 2222cos 458AC AB BC AB BC ∴=+-⋅⋅︒=222BC AB AC ∴=+90BAC ∴∠=︒AB AC ∴⊥由//AB CDCD AC ∴⊥PA ⊥平面ABCDE ，CD ⊂平面ABCDE ，故PA CD ⊥又PA AC A = CD平面PAC 〔2〕以为A 坐标原点，分别以AB 、AC 、AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系..四边形ACDE为直角梯形，易知()D，()E，(P(PD ∴=--，(PE =--设(),,m x y z =是平面PDE 的一个法向量 ·0·0PD m PE m ⎧=∴⎨=⎩，00⎧+-=⎪∴⎨-=⎪⎩令2x =-，那么0y =，1z = ()2,0,1m ∴=-易知平面PAC 的一个法向量为()22,0,0n AB ==设所求二面角为θ，那么25cos 5m nm n θ==【点睛】此题考察线面垂直的断定以及二面角的计算，属于中档题.19.某超方案按月订购一种饮料，每天进货量一样，进货本钱每瓶6元，售价每瓶8元，未售出的饮料降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完．根据往年销售经历，每天需求量与当天最高气温〔单位：℃〕有关．假如最高气温不低于25，需求量为500瓶；假如最高气温位于区间[)20,25，需求量为300瓶；假如最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购方案，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温[10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天数2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．〔1〕求六月份这种饮料一天的需求量X 〔单位：瓶〕的分布列；〔2〕设六月份一天销售这种饮料的利润为Y 〔单位：元〕，当六月份这种饮料一天的进货量n 〔单位：瓶〕为多少时，Y 的数学期望到达最大值？【答案】〔2〕详见解析；〔2〕300n =时，Y 的数学期望到达最大值，最大值为500元．【解析】 【分析】〔1〕由题意知X 的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．〔2〕由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑200500n ，根据300500n 和200300n 分类讨论，能得到当300n =时，EY 最大值为520元． 【详解】解：〔1〕由题意知X 的可能取值为200，300，500， 216(200)0.290P X +===， 36(300)0.490P X ===， 2574(500)0.490P X ++===， X ∴的分布列为：〔2〕由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，∴只需考虑200500n ，当300500n 时，假设最高气温不低于25，那么642Y n n n =-=；假设最高气温位于区间[20，25)，那么83003(300)615003Y n n n =⨯+--=-； 假设最高气温低于20，那么82003(200)610003Y n n n =⨯+--=-， 20.4(15003)0.4(10003)0.2800EY n n n n ∴=⨯+-⨯+-⨯=-，当200300n 时，假设最高气温不低于20，那么642Y n n n =-=，假设最高气温低于20，那么82003(200)610003Y n n n =⨯+--=-， 2(0.40.4)(10003)0.2200EY n n n ∴=⨯++-⨯=+．300n ∴=时，Y 的数学期望到达最大值，最大值为500元．【点睛】此题考察离散型随机变量的分布列的求法，考察数学期望的最大值的求法，考察函数、离散型随机变量分布列、数学期望等根底知识，考察推理论证才能、运算求解才能，考察分类与整合思想、化归与转化思想，属于中档题．1,2M ⎛ ⎝⎭在椭圆上E ：22221x y a b +=〔0a b >>〕，点),2N b 为平面上一点，O 为坐标原点．〔1〕当ON 取最小值时，求椭圆E 的方程；〔2〕对〔1〕中的椭圆E ，P 为其上一点，假设过点()2,0Q 的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点S 和T ，且满足OS OT tOP +=〔0t ≠〕，务实数t 的取值范围．【答案】〔1〕2212x y +=；〔2〕()()2,00,2t ∈-【解析】 【分析】〔1〕根据点点M 在椭圆上，那么221112a b+=，又ON =得当222a b =时获得最小值，即可求得椭圆方程；〔2〕设直线l 的方程为()2y k x =-，设点P 的坐标为()00,x y ，联立方程消元得()2222128820k xk x k +-+-=，利用根的判别式求出2k 的取值范围，再利用韦达定理求得12x x +，12x x ，由OS OT tOP +=得()201220121228124412k tx x x kk ty y y k x x k ⎧=+=⎪⎪+⎨-⎪=+=+-=⎪+⎩整理得到00,x y的式子，代入椭圆方程，即可求出参数t的取值范围.【详解】解：〔1〕点M ⎛⎝⎭在椭圆上，那么221112a b+=ON∴===≥当且仅当222a b=时取等号由222211122a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得2212ba⎧=⎨=⎩所以椭圆的方程为2212xy+=〔2〕由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为()2y k x=-，设点P的坐标为()00,x y，将直线方程代入椭圆方程得：()2222128820k x k x k+-+-=()()422264412821680k k k k∆=-+-=-+>得212k<设()11,S x y，()22,T x y，那么2122812kx xk+=+，21228212kx xk-=+由OS OT tOP+=得()201220121228124412ktx x xkkty y y k x xk⎧=+=⎪⎪+⎨-⎪=+=+-=⎪+⎩t≠2020218121412kxt kkyt k⎧=⋅⎪⎪+∴⎨-⎪=⋅⎪+⎩代入椭圆方程得()()42222222321611212k kt k t k+=++整理得2221612ktk=+由212k<知204t<<()()2,00,2t∴∈-【点睛】此题考察根本不等式求条件式的最小值，椭圆的HY方程，以及直线与椭圆的综合应用问题，属于中档题.()ln x f x x x ae =-，()212x mx x φ=+，其中a R ∈，e 是自然对数的底数．〔1〕假设()f x 在()0,∞+上存在两个极值点，求a 的取值范围；〔2〕当10f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，设()()()F x f x x φ=-，m R ∈，假设()F x 在()0,∞+上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证： 212x x e >．【答案】〔1〕1(0,)e；〔2〕证明见解析. 【解析】 【分析】〔1〕()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点，那么()0f x '=有两根，再别离参数，借助导数研究即可；〔2〕要证212x x e >即证12ln ln 2x x +>，()F x 在()0,∞+上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，即()ln F x x mx '=-有两个零点1x ，2x ，可得()()12121212ln ln ln ln x x x x x x x x -++=-，设21x t x =，那么()121ln ln ln 1t t x x t ++=-，1t >，即证()1ln 21t tt +>-，1t >，即当1t >时，()21ln 1t t t ->+，设函数()()21ln 1t h t t t-=-+，1t >，利用导数求其单调性及函数的最值，即可得证.【详解】解：〔1〕()1x f x lnx ae '=+-，由题意可知，10x lnx ae +-=在(0,)+∞上有两个不同的实数根， 即1xlnx a e +=，只需函数1()xlnx g x e +=和y a=图象有两个交点， 211(1)1()()x x x x e lnx e lnx x x g x e e-+--'==，易知1()1h x lnx x =--在(0,)+∞上为减函数，且()10h =，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数；所以1()(1)max g x g e ==，所以1a e<，又当0x →，()g x →-∞，x →+∞，()0>g x ，要使()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点，那么10a e<<． 故a 的取值范围为1(0,)e． 〔2〕10f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭易得0a =，()()()21ln 2F x f x x x x mx x φ=-=--()F x 在()0,∞+上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <()ln F x x mx '∴=-有两个零点1x ，2x ，那么1122ln 0ln 0x mx x mx -=⎧⎨-=⎩，解得12121212ln ln ln ln x x x x m x x x x +-==+-于是()()221212111221211lnln ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭+==--又120x x <<，设21x t x =那么1t >，因此()121ln ln ln 1t t x x t ++=-，1t > 要证12ln ln 2x x +>，即证()1ln 21t tt +>-，1t >即当1t >时，()21ln 1t t t ->+，设函数()()21ln 1t h t t t-=-+，1t >，那么 ()()()()()()222212111011t t t h t t t t t +---'=-=>++ 所以，()h t 为()1,+∞上的增函数，又()10h =，因此()()10h t h >= 于是，当1t >时，有()21ln 1t t t->+， 所以，有12ln ln 2x x +>成立，即212x x e >，得证【点睛】此题考察导数及其应用、不等式、函数等根底知识，考察考察推理论证才能、运算求解才能、抽象概括才能，考察化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想，属于难题．请考生在第22、23题中任选一题答题，假如多做，那么按所做第一题计分．xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩〔θ为参数，且[]0,πθ∈〕，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πsin 26ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．〔1〕求曲线C 的普通方程与直线的直角坐标方程；〔2〕设点M 在曲线C 上，求点M 到直线l 间隔 的最小值与最大值．【答案】〔1〕曲线C ：()()221101x y y -+=≤≤，直线l ：40x +-=；〔2〕最小值为12，最大值为2 【解析】 【分析】〔1〕通过参数方程与普通方程的转化方法和直角坐标方程与极坐标方程之间的转化方法化简即可；〔2〕用点M 的参数方程表示坐标，利用点到直线的间隔 公式表示出间隔 ，再利用函数关系求最值.【详解】〔1〕由[]0,πθ∈，01y ≤≤曲线C 的普通方程：()()221101x y y -+=≤≤ 由πsin 26ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得ππsin cos cos sin 266ρθρθ+=，1222y x +=，直线l 的直角坐标方程40x -=． 〔2〕设点()1cos ,sin M θθ+到直线l 的间隔 为π32sin62dθ⎛⎫-+⎪⎝⎭===．∵[]0,πθ∈，ππ7π,666θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，π1sin,162θ⎛⎫⎡⎤+∈-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，1,22d⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴点M到直线l间隔的最小值为12，最大值为2．【点睛】此题考察参数方程与普通方程，直角坐标方程与极坐标方程之间的转化，通过参数方程求点到直线间隔的最值问题，注意考虑参数的取值范围限制条件，防止范围取错. ()212f x x=-+，()21g x x a x=--+．〔1〕求不等式()4f x x>+的解集；〔2〕假设对任意的12,x x R∈，使得()()12f xg x>，务实数a的取值范围．【答案】〔1〕1{3x x<-或者3}x>；〔2〕3122a-<<【解析】【分析】〔1〕利用零点分段讨论的方法求解不等式即可；〔2〕对任意的12,x x R∈，使得()()12f xg x>，只需()()min maxf xg x>即可，结合绝对值不等式性质求出两个函数的最值，解不等式即可.【详解】〔1〕将2124x x-+>+化为：122124xx x⎧≥⎪⎨⎪-+>+⎩，或者1421224xx x⎧-<<⎪⎨⎪-+>+⎩，或者41224xx x≤-⎧⎨-+>--⎩，解得3x>，或者143x-<<-，或者4x≤-．解集为1{3x x<-或者3}x>．〔2〕∵()2f x≥，()212121g x x a x x a x a=--+≤---=+，由题意得，只需()()min maxf xg x>即可，∴221a >+得2212a -<+<， ∴3122a -<<． 【点睛】此题考察利用零点分段法解绝对值不等式，根据不等式性质求绝对值最值间的大小关系，考察绝对值三角不等式，以及不等式恒成立求参数范围.。
高三上学期教学质量监测(一)数学(理)试题 Word版含答案
高三教学质量监测（一）数学（理）试卷说明： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。
在每小题给出的四个选项中，有且仅有一个正确的）1、已知复数121,1z i z i =-=+，则12z z i等于 .A 2i .B 2i - .C 2i + .D 2i -+2、设P 和Q 是两个集合，定义集合Q P -={}Q x P x x ∉∈且,|，如果{}1log 2<=x x P ，{}12<-=x x Q ,那么Q P -等于{}{}{}{}32211010<≤<≤<<≤<x x D.x x C.x x B.x x A. 3、下列命题是真命题的是.A 若sin cos x y =，则2x y π+=.B 1,20x x R -∀∈> .C 若向量,//+=0a b a b a b 满足，则 .D 若x y <,则 22x y <4、 已知向量为单位向量，且21-=⋅b a ，向量与+的最小值为...A B C D 131245、若函数)12(+=x f y 是偶函数，则函数)(x f y =的图象的对称轴方程是2211-==-== D. x C. x B. xA. x 6、设等比数列{}n a 的公比为q ，则“10<<q ”是“{}n a 是递减数列”的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件7、已知函数x x g x x f lg )(,)(2==，若有)()(b g a f =，则b 的取值范围是.A [0，＋∞） .B （0，＋∞） .C [1，＋∞） .D （1，＋∞）8、如图，在扇形OAB 中，︒=∠60AOB ，C 为弧．AB 上且与B A ,不重合．．．的一个动点，且y x +=，若(0)u x y λλ=+>存在最大值，则λ的取值范围为.A )3,1( .B )3,31( .C )1,21( .D )2,21(9、定义行列式运算1234a a a a =3241a a a a -．将函数sin 2()cos 2x f x x=象向左平移6π个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是 .A ,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ .B ,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭ .C ,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ .D ,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭10、已知数列{}n a 满足：*)(2,111N n a a a a n n n ∈+==+,若,),11)((11λλ-=+-=+b a n b nn 且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是3232<<>>λλλλ D. C. B. A.11、已知函数()cos x f x x πλ=，存在()f x 的零点)0(,00≠x x ，满足[]222200'()()f x x πλ<-，则λ的取值范围是 A．((0,3) B．3((0,)33-C.(,(3,)-∞+∞ D ．3(,(,)-∞+∞ 12、已知定义在]8,1[上的函数348||,122()1(),2822x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩则下列结论中,错误．．的是 A ．1)6(=f B ．函数)(x f 的值域为]4,0[C ．将函数)(x f 的极值由大到小排列得到数列*},{N n a n ∈，则}{n a 为等比数列D ．对任意的]8,1[∈x ，不等式6)(≤x xf 恒成立卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13、 已知向量b 为单位向量，向量(1,1)a =，且|2|6a b -=，则向量,a b 的夹角为 .14、若函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 .15、已知函数23)(nx mx x f +=的图象在点)2,1(-处的切线恰好与直线03=+y x 平行，若)(x f 在区间]1,[+t t 上单调递减，则实数t 的取值范围是________．16、已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)()()222,0,1,22,1,0,x x f x f x f x x x ⎧+∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩且， ()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为 . 三．解答题（共6小题，计70分）第14题图17、（本题12分）已知B A ,是直线0y =与函数2()2cos cos()1(0)23xf x x ωπωω=++->图像的两个相邻交点，且.2||π=AB（Ⅰ）求ω的值；(Ⅱ)在锐角ABC ∆中，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边，若ABC c A f ∆=-=,3,23)( 的面积为33， 求a 的值.18、（本题12分）已知数列}{},{n n b a 分别是等差数列与等比数列，满足11=a ，公差0>d ，且22b a =，36b a =，422b a =.(Ⅰ)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；(Ⅱ)设数列}{n c 对任意正整数n 均有12211+=+⋅⋅⋅++n nn a b c b cb c 成立，设}{n c 的前n 项和为n S ，求证：20172017e S ≥（e 是自然对数的底）.19、（本题12分） 如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的的菱形，60BAD ∠=，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，3BF =，G 和H 分别是CE 和CF 的中点. （Ⅰ）求证：平面//BDGH 平面AEF ； （Ⅱ）求二面角H BD C --的大小.20、（本题12分）如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程； (Ⅱ)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．21、（本题12分）已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.ABCDEF G H请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分.22、（本题10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线),0(cos 2sin :2>=a a C θθρ过点)4,2(--P 的直线l 的参数方程为：)( 224222为参数t t y tx ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=，直线l 与曲线C 分别交于N M 、两点． （Ⅰ）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若PN MN PM 、、成等比数列，求a 的值． 23、（本题10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数3212)(-++=x x x f . （Ⅰ）求不等式6)(≤x f 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式1)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围．河北省“名校联盟”2018届高三教学质量监测（一）数学（理）试卷答案BABDA DCDBC DC 7-16. ]1,2.[15 231.14 3213.---π 17.解：（1）1()1cos cos 1)23f x wx wx wx wx π=++--=-…3分由函数的图象及2AB π=，得到函数的周期222T w ππ==⨯，解得2w = ………5分（2）3()),sin(2)3232f A A A ππ=-=-∴-=又ABC 是锐角三角形222333333A A ππππππ-<-<∴-=，，即A=，…………8分由13sin 22ABC b S bc A ===b=4 ……………………10分由余弦定理得2222212cos 43243132a b c bc A a =+-=+-⨯⨯⨯==，即……… 12分18、（1）解：由题意可知)211)(1()51(2d d d ++=+，结合0>d ，解得3=d ，所以23-=n a n . 14-=n n b ……… 5分（2）证明：因为12211+=+⋅⋅⋅++n n n a b c b c b c ， 所以)2(112211≥=+⋅⋅⋅++--n a b c b cb c n n n ，两式作差可得，31=-=+n n nn a a b c，所以)2(4331≥⋅==-n b c n n n ………8分当1=n 时，4211==a b c ，所以⎩⎨⎧≥⋅==-)2(43)1(41n n c n n ………10分于是2016220174343434⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=S.441)41(434)444(34201720172016201621e ≥=--⨯+=+⋅⋅⋅+++=…………12分19、（Ⅰ）证明：在CEF ∆中，因为,G H 分别是,CE CF 的中点， 所以//GH EF ， 又因为GH ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以//GH 平面AEF .设ACBD O =，连接OH ，因为ABCD 为菱形，所以O 为AC 中点 在ACF ∆中，因为OA OC =，CH HF =， 所以//OH AF ，又因为OH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ， 所以//OH 平面AEF . ……………… 4分 又因为OHGH H =，,OH GH ⊂平面BDGH ，所以平面//BDGH 平面AEF . ………………5分 （Ⅱ）解：取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BD EF 的中点，所以//ON ED ，因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，所以ED ⊥平面ABCD ， 所以ON ⊥平面ABCD ， 因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直. 所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 如图建立空间直角坐标系.因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，3BF =， 所以(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3)E -，(1,0,3)F ，C ，13()22H . ………………………………………………7分 A所以13(,,)222BH =-，(2,0,0)DB =. 设平面BDH 的法向量为(,,)n x y z =r ，⎩⎨⎧==++-⎪⎩⎪⎨⎧⇒=⋅=⋅0203300x z y x DB n 令1z =，得(0,3,1)n =-. ……………9分由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)DE =，则00(0131cos ,232n DE n DE n DE⋅⨯+⨯+⨯<>===⨯ .……………11分所以二面角H BD C --的大小为60︒. ………………12分20、 (1) 如图，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形， 又|AB 1|＝|AB 2|， 故∠B 1AB 2为直角， 因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.………3分在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c 2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：x 220＋y 24＝1.………5分(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根， 因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5，………8分 又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16m 2＋1m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5， 由PB 2⊥QB 2，得B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.………10分所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0. ……………12分21、2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >. ---------2分 （Ⅰ）(1)(3)f f ''=，解得23a =. ---------3分（Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >. ---------4分①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ---------5分②当102a <<时，12a >，在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a+∞，单调递减区间是1(2,)a. --------6分③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ---------7分④当12a >时，102a <<，在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a. ---------8分（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <.---------9分由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知，①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤. ---------10分②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减，故max 11()()22ln 2f x f a a a==---. 由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， ---------11分 综上所述，ln 21a >-. ---------12分.2,2)Ⅰ(.222-==x y ax y ……………5分).(224222)Ⅱ(为参数的参数方程为直线t t y tx l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-= ),4(8),4(22,0)4(8)4(222212122a t t a t t a t a t ax y +=⋅+=+=+++-=则有，得到代入,2PN PM MN ⋅= ,4)()(2121221221t t t t t t t t =⋅-+=-∴).(41.0432舍去或解得即-===-+a a a a ……………10分23、解：(Ⅰ)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x>32，（2x ＋1）＋（2x －3）≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤32，（2x ＋1）－（2x －3）≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x<－12，－（2x ＋1）－（2x －3）≤6， 解得32<x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x<－12.故不等式的解集为{x|－1≤x ≤2}． ……………5分(Ⅱ)∵f(x)＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，∴|a －1|>4，解此不等式得a<－3或a>5. ……………10分。
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汉中市2018届高三年级教学质量第一次检测考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共五页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号等项在密封线内填写清楚。
2.选择题，请按题号用2B 铅笔填涂方框，非选择题，除作图可使用2B 铅笔外，其余各题请按题号用0.5毫米黑色签字笔书写，否则作答无效。
3.按照题号在对应的答题区域内作答，超出各题答题区域的答案无效，在草稿纸、试题上答题无效。
4.保持字体工整，笔迹清晰，卷面清洁，不折叠。
第I 卷（共60分）一． 选择题：（本题共12个小题，每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.已知集合{}0,2,4,|,,,0b M N x x a M b M a a ⎧⎫===∈∈≠⎨⎬⎩⎭且，则集合M N ＝( )A．2.设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－4＋i B ．5 C ． －5 D ．－4－i3.下列三个命题： ①2>x 是211<x 的充分不必要条件；②33,6,,≠≠≠+∈b a b a R b a 或则若设； ③命题p ：存在R x p x x R x ∈⌝<++∈：任意则使得,01,0200都有012≥++x x其中真命题是（ ） A. ①② B.②③ C. ①③ D. ①②③4．按照此程序运行，则输出k 的值是 ( ) A ．4 B ．5第4题C ．2D ．35.某空间几何体的三视图如图，且已知该几何体的体积为6，则其表面积为（ ）A. 32π+32πC. 34π+34π+6.若1cos(),(0,),432ππαα+=∈则sin α的值为（ ）7.已知直线a 和平面,αβ满足,,,l a a αβαβ=⊄⊄且a 在,αβ内的射影分别为直线b和c ，则直线b 和c 的位置关系是( )A ．相交或平行B ．相交或异面C ．平行或异面D ．相交、平行或异面 8．已知函数()2sin(2)6f x x π=+，若将它的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴方程为（ ）A ．12x π=B ．4x π=C ． 3x π=D ．23x π=9.若实数,x y 满足条件202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，则231x y z x +-=-的最大值（ ）A．10．已知P内部随机取点M ，则点M内的概率为（ ）A ．23 B ． 13 C ．12 D ．1622221(0)x ya ba b+=>>的左右焦点，A是椭圆上的点,212F A F A c∙=（c为椭圆的半焦距），则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0 B． C． D．1）12.设实数,,,a b c d满足2ln10,1,11a a cb db d--≠≠-==+且，22)()a cb d-+-则(的最小值是（）A． 2 B．1 C．12D．14第II卷（非选择题，共90分）二．填空题：（本题共4个小题，每小题5分共20分）13.若||25nnx dx-=⎰(其中0n>),则()21nx-的展开式中2x的系数为．log(2)2ay x m n=--+恒过定点（3,2），其中01,,a a m n>≠且均为正数，则1112m n++的最小值是．15．已知数列{}n a中，11a=，{}n a的前n项和为n S，当2n≥时，有221nn n naa S S=-成立，则2017S=．16.设F是双曲线C:221169x y-=的右焦点，P是C左支上的点，已知A（周长的最小值是．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第17-21题为必考题。
第22,23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（本小题满分12分）ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2b Cc a+=.（Ⅰ）求角B的大小；（II ）若4,a =BC 边上的中线求ABC ∆的面积．18．（本小题满分12分）某学校依次进行A 、B 两科考试，当A 科合格时，才可考B 科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过.甲同学参加考试，已知他每次考A 科合格的概率均为23，每次考B 科合格的概率均为12.假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响．（Ⅰ）求甲恰好3次考试通过的概率；（II ）记甲参加考试的次数为X ，求X 的分布列和均值.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ， AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AP ＝AB ＝AD ＝1,直线PB 与CD所成角的大小为π3.（Ⅰ）若Q 是BC 的中点，求三棱锥D-PQC 的体积; （II ）求二面角B －PD －A 的余弦值．20．(本小题满分12分) 已知函数2()(1)x f x xe x =-+（Ⅰ）当[1,2]x ∈-时，求()f x 的最大值与最小值；（Ⅱ）如果函数()()1g x f x ax =-+有三个不同零点，求实数a 的取值范围. 21．(本小题满分12分)是抛物线C ：24y x =x 轴上,(其中i=1,2,3,…C 象 .（Ⅰ）证明：数列（II 证明… .CDPBAQ请考生在22,23题中任选一题作答。
如果多做，那么按所做的第一题记分。
（10分）已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数，0απ<<)，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（II ）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，求AB 的最小值.（10分）已知()1f x ax =-，不等式()3f x ≤的解集是}{21|≤≤-x x . （Ⅰ）求（II ）若()()||3f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围.汉中市2018届高三年级教学质量第一次检测考试数学（理科）参考答案一、 选择题：二、 填空题： 13. -40 14.43 15. 1100916.38 三、 解答题： 17．【解析】 (1)2222ABC BD +AB -AD 2ABD cosB=2AB AD4+c -71=c=34c 211S =acsin B=4322∆∆⋅∴⨯⨯（）在中，由余弦定理得：即：解得………………..6分………………..12分18.…………12分19．解：（1）以{→AB ，→AD ，→AP }为单位正交基底，建立如图所示的空 间直角坐标系A －xyz ． 因为AP ＝AB ＝AD ＝1，所以A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1)．设C (1，y ，0)， 则→PB ＝(1，0，－1)，→CD ＝(－1，1－y ，0)． 因为直线PB 与CD 所成角大小为π3，所以|cos ＜→PB ，→CD ＞|＝|→PB →CD ∣→PB →CD ∣|＝12，即12×1＋(1－y )2＝12，解得y ＝2或y ＝0（舍），………………..6分所以C (1，2，0)， 所以BC 的长为2．D-PQC P-DQC 111V =V =111=326⨯⨯⨯⨯. (2)设平面PBD 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )． 因为→PB ＝(1，0，－1)，→PD ＝(0，1，－1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧→PB n 1＝0，→PD n 1＝0，即⎩⎨⎧x －z ＝0，y －z ＝0．令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以n 1＝(1，1，1)． 因为平面P AD 的一个法向量为n 2＝(1，0，0)， 所以cos ＜n 1，n 2＞＝n 1n 2∣n 1|n 2∣＝33， 所以，由图可知二面角B －PD －A 的余弦值为33 ……………12分 20. （Ⅰ）因为，所以，令得，的变化如下表：在上的最小值是， 因为，所以在上的最大值是. ……………………6分（Ⅱ），所以或， 设，则，时，，时，………………..6分，所以在上是增函数，在上是减函数，，且，（ⅰ）当时，即时，没有实根，方程有1个实根； （ⅱ）当时，即时，有1个实根为零，方程有1个实根； （ⅲ）当时，即时，有2不等于零的实根，方程有3个实根.综上可得，时，方程有3个实根. …………………12分()121.11,0tan(1)1)3y x x F π=-=-11解：（）由题意知，是所以P F 的方程代入抛物线可得3x 2-10x+3=0 则)0,(),0,(5105)32,3(),(31,311212121F x F x x x F P x x n n n n --==∴∴==又设），（即舍代入抛物线得是等边三角形，)2)(3,2(111P x x x x F F P n n n nn n n n -+∴∆+++ 两式相减得)(2143),(21431212)()(x x x x x x x x n n n n n n nn -++=-∴+=+-- 所以且,0),(2))(2(4311111111≠--=-+--+-+-+-+x x x x x x x x x n n n n n n n n n 所以,38)()(,3821111=---∴=+--+-+x x x x x x x n n n n n n n 38,4121公差是项为｝是等差数列，其中首数列｛=--+x x x x n n184(21)4(1)331n n n n x x ++-=+-=(2).由（）,93491643)12()12(22++=⨯=∴n n S n ……..6分)121121(833)12)(12(143314331)12(2+--⨯=-+⨯<⨯=∴+n n n n n Sn)]121121(...)5131()311[(8331.....1121+--++-+-<+++n n S S S n所以，833)1211(833<+-=n22. 解：（1）由2sin 4cos ρθθ=，得()2sin 4cos ρθρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为24y x = ............4分（2）将直线l 的参数方程代入24y x =，得22sin 4cos 40t t αα--=.设A B 、两点对应的参数分别为12t t 、，则1212224cos 4,sin sin t t t t ααα+==-，………6分 ∴1224sin AB t t α=-= 当2πα=时，AB 的最小值为4. ……………………………..10分23. 解：（Ⅰ）由13ax -≤, 得313ax -≤-≤，即24ax -≤≤. 当0a >时，24x a a-≤≤. ………2分 因为不等式()3f x ≤的解集是}{|12x x -≤≤ 所以21,42,aa ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得 2.a =当0a <时，42x a a≤≤-. …………4分 因为不等式()3f x ≤的解集是}{|12x x -≤≤ 所以22,41,aa ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩无解. 所以………………..12分2.a=………5分（II）因为()()()()212121212.3333x xx xf x f x--+-+++-=≥=所以要使()()3f x f xk+-<存在实数解，只需23k>. ……8分解得23k>或23k<-.所以实数k的取值范围是22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ……10分。