§2.4.2抛物线的简单几何性质(2)
（C） 3 x − 2 y + 6 = 0
（D） 3 x + 2 y + 4 = 0
9、探照灯的反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的 焦点处，已知灯口直径是 60cm，灯深 40cm，则光源到反光镜 顶点的距离是（ ） （A）11.25cm （B）5.625cm （C）20cm （D）10cm 10、已知点 F ( ,0) ，直线 l : x = −
江苏省华冲中学 高二数学备课组教学设计共同方案
课 抛物线的简单几何性质( 题 §2．4．2 抛物线的简单几何性质(２)
殷棣康 备课时间 2007.11.26 2007.11.26 审核人 11.
主备课人 教学目标 教学重点 教学难点
1．掌握抛物线的简单几何性质； 2．抛物线性质的进一步研究。 抛物线的几何性质。 抛物线几何性质的探讨。
2
(a > 0) 最近的点恰好是顶
点，则这个结论成立的充要条件是 0 < a ≤ 1 三、数学运用 1、抛物线 y=ax2（a≠0）的焦点坐标是__________. 2、一个动圆的圆心在抛物线 y 2 = 8 x 上，且动圆恒与直线 x + 2 = 0 相切，则此动圆必经过点 。 3、长度为 a 的线段 AB 的两个端点 A、B 都在抛物线
1 1 ，点 B 是 l 上的动点，若过 B 4 4 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线相交于点 M ，则
点 M 的轨迹是（ ） （A）双曲线 （B）椭圆
2 2
（C）圆
（D）抛物线
11、双曲线
x y − = 1(mn ≠ 0) 离心率为 2，有一个焦点与抛物线 m n
y 2 = 4 x 的焦点重合，则 mn 的值（ A ）
y 2 = 2 px( p > 0, a > 2 p ) 上滑动，则线段 AB 的中点 M 到 y 轴的最
短距离为
2
。
4、抛物线 x = 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4，则点 A 与抛物线焦点的 距离为( ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 6、设坐标原点为 O，抛物线 y 2 = 2 x 与过焦点的直线交于 A、B 两 点，则 OA⋅ OB 等于（ ） （A）
p2 , y1 y 2 = − p 2 4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
（1） 过抛物线的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点， A, B 在准线 上的射影分别为 A1 , B1 ，则 ∠A1 FB1 等于 90 0 （2）抛物线的焦点为 F，相准线是 l ，以过焦点 F 的一条弦为直径 的圆恰与直线 l 相切。 （3）过抛物线的顶点作两条互相垂直的直线 OM , ON 分别交抛物 线与 M , N 两点，则直线 MN 过定点 ( 2 p,0) 4、最小值问题 （1）A（3，2）为一定点，点 F 是抛物线 y2=2x 的焦点，P 点是抛 物线 y2=2x 上的动点，当|PA|+|PF|最小时，P 点的坐标是 （2，2） （2） 抛物线 x = 2 y 上距离点 A(a,0)
(A)
3 16
(B)
3 8
(C)
16 3
(D)
8 3
12 、 抛 物 线 x 2 = 4 y 的 焦 点 作 直 线 ， 交 这 条 抛 物 线 于
A(x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 两点，若 y1 + y 2 = 6 ，则 AB = （
）
A、10 B、8 C、6 D、4 13、如图，直线 l1 和 l2 相交于点 M，l1⊥l2，点 N∈l1.以 A、B 为端 点的曲线段 C 上的任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等.若△ AMN 为锐角三角形，|AM|=
A
/
2、焦点弦：
2p B/ B 2 sin α （其中 α 为直线 AB 与 x 轴所成的角） （2） 过焦点且与对称轴垂直的弦叫作通径， 抛物线的通径长为 2 p
（1） AB = x1 + x 2 + p = （3）若设 AF = m, BF = n ,则
1 1 2 + = m n p
（4） x1 x 2 = 3、垂直问题
教学过程 公共部分
一、复习引入 1、抛物线的定义 2、抛物线的性质：范围、顶点、对称性 二、建构数学 如 图 ， 已 知 抛 物 线 y 2 = 2 px ， AB 过 抛 物 线 焦 点 F ， 设
个人思路
A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )
A
p 1、焦半径： AF = x1 + 2
3 4
（B） −
3 4
（C） 3
（D）-3
7、抛物线 y = 4x 2 上一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是 (B ) （A）
17 15 7 （B） （C） （D）0 16 16 8 8、若抛物线的准线为 2 x + 3 y − 1 = 0 ，焦点坐标为 (−2,1) ，则抛物
线的对称轴方程是（ ） （A） 2 x + 3 y + 1 = 0 （B） 3x − 2 y + 8 = 0
17 ，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当
的坐标系，求曲线段 C 的方程. （如图建立坐标系中得曲线段 C 的方程为 y2＝8x （1≤x≤4， y ＞0） ．
四、布置作业 教材第 47 页 练习 3
习题
10
3
抛物线的简单几何性质(2)
时，它们没有交点.
时，它们有两个交点.
(3)当k∈
时，它们有一个交点.
思考 1:(课本第 71 页例 6) 2 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定 点 P (2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物 线 y 2 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?
0 2
162k 2 k 1.
1 3 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或 k 时, 方程 ①没有实数解, 从而 2 方程组 没有解.这时, 直线 l 与抛物线没有公共点 .
0 2
思考 2: 2 若抛物线 y x 存在关于直线 l : y 1 k ( x 1) 对称的两点,求实数 k 的取值范围. 答案: 2 k 0
分 析： 假设 存在 关于 直线 l : y 1 k ( x 1) 对 称 的 两 点 A、B,看 k 应满足什么条 件. 显然 k 0 不合题意,∴ k 0 1 ∴直线 AB 的方程为 y x b k 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.
2
1 这时, 直线l 与抛物线只有一个公共 ,1 . 点 4
2 当k 0 时, 方程①的判别式为
1 1 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或k 时 , 方程 ①只有一个解, 从 2 而方程组只有一个解.这时, 直线 l 与抛物线只 有一个公共点 . 1 0 2 2 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 1 k . 2 1 于是,当 1 k 且k 0时, 方程 ①只有两个解, 2 从而方程组只有两个解.这时, 直线 l 与抛物线 有两个公共点 .
高二数学抛物线的简单几何性质2
| AB | 2 p
方程
图 形 范围
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y l
x
x2 = 2py （p＞0） y
F x
x2 = -2py （p＞0） y
x l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
抛物线的简单几何性质(2)
一、抛物线的几何性质：
性质
方程
设抛物线方程为： y 2 2 px, ( p 0)
l
y
d
M
图形
K
O
F
x
范围 对称性
顶点坐标
x 0, y R 关于 x轴对称 坐标原点(0,0)
e 1
p | MF | x0 , 2 M ( x0 , y0 )
离心率 焦半径 通径
从点A、B、P分别向抛物线的准线作 垂线，垂足分别为A1、B1、P 1，依据 抛物线的定义，|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1| 所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|, 又PP1是梯形AA1BB1的中位线， 所以|AA1|+|BB1|=2|PP|. 1 因此，我们容易得到
p1
2P 的 | AB | 2 sin
y
A
F1 O F2
y
l
x
F1 O
l
A
F2
d1 d2
B
B
x
y
y
F1
.
高中数学选修2-1第二章第12课时同步练习§2.4.2 抛物线的简单几何性质(2)
§2.4.2 抛物线的简单几何性质（2）1、00(,)P x y 是抛物线22y px =上任一点，则P 到焦点的距离为（ ）A 、0||2p x -B 、0||2p x + C 、0||x p - D 、0||x p +2、设等腰三角形AOB 内接于抛物线22(0)y px p =>，OA OB ⊥，则AOB ∆的面积是（ ）A 、2pB 、22pC 、24pD 、28p3、探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60cm ，灯深40cm ，则光源到反射镜顶点的距离为（ ）A 、11.25cmB 、5.625cmC 、20cmD 、10cm4、设O 为坐标原点，抛物线22y x =与过焦点的直线l 交于A 、B 两点，则OA OB ⋅=（ ）A 、34B 、34- C 、3 D 、2- 5、已知(2,1)A -，24y x =-的焦点是F ，P 是24y x =-上的点，为使||||PA PF +取得最小，P 点坐标是（ ）A 、1(,1)4-B 、(-C 、1(,1)4-- D 、(2,-- 6、圆心在抛物线22y x =上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程为（ ）A 、221204x y x y +--+= B 、22210x y x y ++-+= C 、22210x y x y +--+= D 、221204x y x y +---= 7、抛物线22(0)y px p =>中，p 的几何意义是 ；26y x =的焦点到准线的距离为 ．8、直线y x b =+交抛物线212y x =于A 、B 两点，O 为抛物线顶点，OA OB ⊥，则b = ．9、如果过两点(,0)A a ，(0,)B a 的直线与抛物线223y x x =--没有交点，则a 的取值范围是 ．10、已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F 且与抛物线交于A 、B 两点，若A （8，8），则线段AB 的中点到准线的距离为 ．11、抛物线24y x =的焦点弦被焦点分成长是m 和n 的两部分，则m 与n 的关系是 ．12、已知抛物线22y x =，过点Q （2，1）作一条直线交抛物线于A 、B 两点，试求AB 的中点M 的轨迹方程。
课件4：2.4.2 抛物线的简单几何性质
解:如图记焦点 F ,准线 l ,分别过点 A、B 作 l 的垂线,垂足分别为 M、NM.
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB
过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 E. K Q
E
N
在△ AFE 中 EF AF cos .
记 x 轴与准线 l 的交点为 K ,则 KF p
∴ FA = MA KE p FA cos ∴ FA p 1 cos
焦点,与抛物线相交于 A、B ,求线段 AB 的长.
解:设
准线
A(
l:
x1, y1 ) ,
x p
B( x2 , y2 ) ,焦点 F
,分别过点 A、B
(p 2
作
,
l
0) M
的垂
2
( x1 , y1 )
线,垂足分别为 M、N.
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB N
( x2 , y2 )
∴ AB
思考(课本第 69 页例 4)
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F ,且与 抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般); 法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算 弦长.
坐标法是一种非常好的证明,你还有 没有其他好方法呢?
本题几何法也是一个极佳的思维!
学习小结: 刚才发现的结论,坐标法起着重要作用. 设而不求,联立方程组,韦达定理这是研究直
线和圆锥曲线的位置关系问题的重要方法.
总结：
判断直线与抛物线位置关系的操作程序： 把直线方程代入抛物线方程
课件14：2.4.2 抛物线的简单几何性质
(2)如图把点 B 的横坐标代入 y2＝4x 中，得 y＝± 12， 因为 12>2，所以 B 在抛物线内部， 自 B 作 BQ 垂直准线于 Q，交抛物线于 P1. 此时，由抛物线定义知：|P1Q|＝|P1F|. 那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4. 即最小值为 4.
∴|AB|＝4p，∴S△ABO＝12·4p·2p＝4p2.
命题方向2 ⇨抛物线焦点弦的性质 典例2 斜率为2的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛 物线相交于两点A、B，求线段AB的长. [解] 如图，由抛物线的标准方程可知， 焦点F(1,0)，准线方程x＝－1. 由题设，直线AB的方程为：y＝2x－2. 代入抛物线方程y2＝4x，整理得：x2－3x＋1＝0.
1．抛物线 y＝－3x2 的准线方程是 ( C )
A．y＝34
B．y＝－34
பைடு நூலகம்
C．y＝112
D．y＝－112
[解析] 由抛物线 y＝－3x2 得 x2＝－13y，∴2p＝112.
可得准线方程为 y＝112.故选 C．
2．若抛物线 y2＝x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的
距离，则点 P 的坐标为 ( B )
典例3 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线 焦点. (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距 离之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
[解] (1)如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程是 x＝－1，由抛物线的定义知：点 P 到直线 x＝－1 的距离等 于点 P 到焦点 F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求 一点 P，使点 P 到点 A(－1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离 之和最小．显然，连 AF 交抛物线于 P 点，故最小值为
§2.4.2 抛物线的几何性质
2.4.2抛物线的简单几何性质学案（第二课时） 谷建荣【知识要点】直线与抛物线的位置关系【学习要求】1、能用坐标法解决一些与抛物线有关的简单几何问题；2、进一步体会数形结合思想在解题中的应用，并能应用几何性质解决有关问题。
【课前热身】1、 过点（0，-1）与双曲线14922=-yx只有一个公共点的直线有________条。
2、 抛物线y x 42=上一点A 纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为_________。
【新知学习】例1、（课本P71，例题6）已知抛物线的方程为x y 42=，直线l 过点)1,2(-P ，斜率为k 。
k 为何值时，直线l 与抛物线x y 42=归纳总结：判断直线l 与抛物线C 的位置关系的交点个数时，可以将直线方程代入抛物线方程C ，消去y ，得到一个关于x （或y ）的一元方程02=++c bx ax (或02=++c by ay)：（1）、当0≠a 时，满足_______条件，直线l 与抛物线C 有两个交点。
满足_______条件，直线l 与抛物线C 只有一个交点。
满足_______条件，直线l 与抛物线C 没有交点。
（2）、当0=a 时，得到一次方程0=+c bx （或02=++c by ay），此时直线l 与抛物线C 有______交点且此时直线l 与x 轴（或y 轴）__________。
x【小组探索】1、 直线1-=kx y 与抛物线x y 42=只有一个公共点，则k =________。
2、 上题直线改为：过点（0，--1）与抛物线x y 42=只有一个公共点的直线有_____条。
3、 过点（1，2）与抛物线x y 42=只有一个公共点的直线有_____条。
4、 过点（2，2）与抛物线x y 42=只有一个公共点的直线有_____条。
【能力提升】例题2、（课本P70，例题5）过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，通过点Ａ和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点Ｄ，求证：轴x BD焦点弦性质再探：抛物线)0(22>=p px y ，过焦点F 的动直线l 交抛物线于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点，O 为坐标原点，求证：（1）、4221px x =， （2）、221p y y -= （3）、OB OA ∙ 为定值。
2.4.2抛物线的简单几何性质(第2课时)【直线与抛物线的位置关系、弦长问题】
抛物线的简单几何性质
第二课时
方程
图 形 范围
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y l
x
x2 = 2py （p＞0） y
F x
x2 = -2py （p＞0） y
x l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
y 2 px( p 0)
2
组成方程组后消掉y,得到一个关于x的方程：
k x (2km 2 p) x m 0
2 2
y
1 若k 0,
即 2 px m 0
2
o
x
上述方程有唯一解，即 直线与抛物线相交于一点。
2 若k 0,
△ > 0 △ = 0
顶点
焦半径
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p y0 2
（0,0）
p y0 2
离心率 通径
1 2p
1 2p
1 2p
1 2p
直线与抛物线位置关系
1、直线与抛物线位置关系 1、相离； 2、相切； 3、相交于一点 4、相交于两点
y
O
x
与双曲线的 情况一样
（1）当直线的斜率存在时， 若直线方程为y=kx+m，抛物线方程为
△ < 0
直线与抛物线相交于两点 直线与抛物线相切 直线与抛物线相离
（2）若k不存在,则直线x=n与抛物线可能相交于两 点，或相切于一点，或相离。
§2.4.2抛物线的几何性质(2)
【练习3】过抛物线 的顶点做互相垂直的二弦 .
（1）求 中点的轨迹方程;（2）证明: 与 轴的交点为定点.
【练习4】求抛物线 上的点到到直线 的距离的最小值,并求取得最小值时抛物线上点的坐标.
【练习5】经过抛物线 的焦点且和抛物线的对称轴成 的直线交 两点,求 的值.
二次总结栏
五.本节内容个人掌握情况反思,疑问
编号:X2-1010
§2.4.2抛物线的几何性质（2）
一.滚动复习
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在三棱柱 中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点 是侧面 的中心,则 与平面 所成角的大小是.
2.若正四棱柱 的底面边长为 , 与底面 成 角,则 到底面 的距离为.
二.今日作业
3.设斜率为 的直线 过抛物线 的焦点 ,且和 轴交于点 ,若 为坐标原点)的面积为 ,求抛物线方程.
编号:X2-1010
§2.4.2抛物线的几何性质（2）
学习
目标
(1)掌握抛物线的简单几何性质,
(2)能运用性质解决与抛物线有关的问题,进一步体会数形结合的思想.
二次总结栏
一.课前复习
1.提问:回顾一下抛物线的定义,抛物线的标准方程,抛物线的几何性质?
2.抛物线 上与焦点的距离等于 的点的坐标.
二.知识点总结
7.已知直线 与抛物线 相交与 两点,若 ( 为坐标原点),且 ,求抛物线的方程.
8.设抛物线 的焦点为 ,过点 的直线与抛物线相交于 两点,与抛物线的准线相交于 ,求 与 的面积之比.
纠错、总结栏
直线与抛物线的位置关系
三.典型例题
【例1】斜率为 的直线 经过抛物线 的焦点,且与抛物线相交于 两点,求 的长.
2.4.2抛物线的简单几何性质(2) - 学生版
课题：§2.4.2 抛物线的简单几何性质应用（二）1．进一步掌握应用抛物线的几何性质解决有关问题；2．掌握直线与抛物线的位置关系，能综合应用有关知识解决抛物线的综合问题。
※复习：类比椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，填表。
思考：当焦点在y轴时，又怎样处理？题型三：定值问题例1:过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。
变式练习：22,,过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦求证:直线y x O A O B AB与轴的交点为定点。
x题型四：直线与抛物线的位置问题1． 直线与抛物线相切：直线与抛物线有且只有一个公共点，但不平行于抛物线的对称轴。
即把x ＝my ＋n 代入y 2＝2px （p ＞0）消去x 得：y 2－2pmy －2pn ＝0①，当方程①的判别式△＝0⇔直线与抛物线相切；2． 直线与抛物线相交：（1）直线与抛物线只有一个交点：直线与抛物线的对称轴平行； （2）直线与抛物线有两个不同的交点⇔方程①的判别式△＞0； 3. 直线与抛物线相离⇔方程①的判别式△＜0。
例2：已知抛物线的方程24y x =，直线l 过定点()2,1P -，斜率为k 。
k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？探究：1.画出上述几种位置关系，从图中你发现直线与抛物线只有一个公共点时是什么情况？2.方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？变式练习：求过点(0,1)M 且和抛物线C:24y x =仅有一个公共点的直线的方程。
1．（2010年高考陕西卷理科8）已知抛物线()022>=p px y 的准线与圆07622=--+x y x 相切，则p 的值为 （ ）()21A ()1B ()2C ()4D2． 已知F 为抛物线22y x =的焦点，定点Q （2，1）点P 在抛物线上，要使||PQ PF +的值最小，点P 的坐标为（ ）A. (0，0)B. 112⎛⎫⎪⎝⎭， C.D. (2，2)3. （2012高考安徽理9）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则A O B ∆的面积为（ ）()A 2()B ()C 2()D4.已知抛物线22(0)y px p =>，过点()20p ，作直线交抛物线于11()A x y ，、22()B x y ，两点，给出下列结论：①O A O B ⊥；②AOB ∆的面积的最小值为24p ；③2124x x p =-，其中正确的结论是__________________.5.（ 2010年高考全国卷I 理科21）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；。
高中数学 第二章2.4.2 抛物线的简单几何性质讲解与例
2.4.2 抛物线的简单几何性质问题导学一、抛物线几何性质的应用活动与探究1已知抛物线的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上．若抛物线上一动点P 到A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，F 两点距离之和的最小值为4，且A 为抛物线内一点，求抛物线方程．迁移与应用1．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 的纵坐标为－42，该点到准线的距离为6，则抛物线方程为________________．2．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝__________．注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．二、抛物线的焦点弦活动与探究2已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．迁移与应用1．过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( )．A ．45°B ．90° C．60° D．120°2．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，求1|AF |＋1|BF |的值．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 称为焦点弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有下列性质：|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)，y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24等．三、直线与抛物线的位置关系活动与探究3已知抛物线y 2＝6x 的弦AB 经过点P (4,2)，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求弦AB 的长．迁移与应用1．直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值为( )．A ．－1B ．2C ．2或－1D ．42．过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若AB 恰被Q 平分，求AB 所在的直线方程．1．直线与抛物线位置关系的判定：直线方程与抛物线方程联立得方程ax 2＋bx ＋c ＝0，当a ＝0时，直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，且只有一个交点；当a ≠0时，两者位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可，即①相交：两个不同交点⇔a ≠0且Δ＞0；②相切⇔a ≠0且Δ＝0；③相离⇔a ≠0且Δ＜0．2．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点问题，要注意“点差法”的运用，体现“设而不求”的优越性．答案：课前·预习导学 【预习导引】1．⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 x ＝－p 2 y ＝p2 x ≤0y ≤0 x 轴 y 轴 (0,0)预习交流1 提示：抛物线与双曲线的一支不相同．双曲线的一支有渐近线，离心率e ＞1；抛物线没有渐近线，它的离心率是唯一的，e ＝1．2．x 0＋p2x 1＋x 2＋p 2p预习交流2 提示：抛物线方程化为y 2＝13x ，2p ＝13，故其通径长为13．预习交流3 提示：不正确，若直线与抛物线相切，则它们只有一个公共点，但当直线与抛物线只有一个公共点时，直线不一定与抛物线相切，还可能是相交，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合．这一点与圆、椭圆是不同的，要注意区别．课堂·合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：先根据题目条件设出抛物线方程，再结合图形，探讨抛物线上的动点P 满足到A ，F 两点距离之和取最小值时的条件，进而列出等量关系．解：设所求的抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，其焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线l ：x ＝－p2．如图所示，若A 点在“抛物线所包含的区域之内”， 过点P 作准线的垂线，垂足为H ，由抛物线定义可知|PF |＝|PH |． 当H ，P ，A 在同一条直线上时， |PA |＋|PF |取最小值|AH |＝2＋2p ＝4，解得p ＝4，故所求的抛物线方程为y 2＝8x ． 迁移与应用 1．y 2＝16x 或y 2＝8x 解析：由于抛物线的准线方程是x ＝－p2，而点M 到准线的距离为6，所以M 点的横坐标是6－p2，于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－p2，－42，代入方程得32＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－p2，解得p ＝8或p ＝4，故方程为y 2＝16x 或y 2＝8x ．2．2 解析：圆x 2＋y 2－6x －7＝0的圆心为(3,0)，半径为4，抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋p 2＝4，得p ＝2或－14(舍)．活动与探究2 思路分析：(1)由倾斜角可知斜率，从而得到l 的方程，与抛物线方程联立，结合抛物线定义可求得|AB |的值；(2)由|AB |＝9求得弦AB 中点的横坐标即可求得M 到准线的距离．解：(1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3．又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3．又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92．迁移与应用 1．B 解析：如图，由抛物线定义知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，所以∠AA 1F ＝∠AFA 1．又∠AA 1F ＝∠A 1FO ， 所以∠AFA 1＝∠A 1FO ． 同理∠BFB 1＝∠B 1FO ．于是∠AFA 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1． 故∠A 1FB 1＝90°．2．解：已知抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 对于直线AB ，分两种情况考虑： (1)若直线AB 的倾斜角为90°， 则有|AF |＝|BF |＝p ，所以112||||AF BF p+=； (2)若直线AB 的倾斜角不等于90°， 设直线AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 与抛物线方程联立并消去y ，整理得k 2x 2－(k 2＋2)px ＋224k p ＝0，由韦达定理得，x 1＋x 2＝22(2)k p k +，x 1x 2＝24p ．另一方面，由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2p ，|BF |＝x 2＋2p． 于是121111||||22p p AF BF x x +=+++ ＝()122121224x x pp p x x x x +++++＝()()22222222=2424k p pk p k p p p pk ++++⋅+． 活动与探究3 思路分析：要求弦AB 的长，只需求出A ，B 两点的坐标．为此，设出A ，B 两点的坐标，利用OA ⊥OB 以及A ，B ，P 三点共线的条件求解．解：∵A ，B 两点在抛物线y 2＝6x 上，可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 216，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 226，y 2． ∵OA ⊥OB ，∴OA u u u r ·OB uuu r＝0．由OA u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 216，y 1，OB uuu r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 226，y 2， 得y 21y 2236＋y 1y 2＝0．∵y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－36．①∵点A ，B 与点P (4,2)在一条直线上，∴y 1－2y 216－4＝y 1－y 2y 216－y 226，化简得y 1－2y 21－24＝1y 1＋y 2， 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝－24． 将①代入，得y 1＋y 2＝－6．②由①和②，得y 1＝－3－35，y 2＝－3＋35，从而点A 的坐标为(9＋35，－3－35)，点B 的坐标为(9－35，－3＋35)．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝610．迁移与应用 1．B 解析：∵直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于两点，∴k ≠0．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y ，得k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝4k ＋8k2．而AB 中点的横坐标为2， ∴4k ＋8k2＝4，解得k ＝－1或k ＝2．而当k ＝－1时，方程k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0只有一个解，即A ，B 两点重合，∴k ≠－1． 2．解：方法1：显然AB 不垂直于x 轴，故可设弦AB 所在的直线方程为y －1＝k (x －4)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －4)，y 2＝8x ，消去x ，整理得ky 2－8y －32k ＋8＝0．此方程的两根是弦AB 的端点A ，B 的纵坐标，由韦达定理得y 1＋y 2＝8k．又Q 点是弦AB 的中点，∴y 1＋y 2＝2．∴k ＝4． 故弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)， 即4x －y －15＝0．方法2：设弦AB 的端点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 则有2118y x ＝，2228y x ＝，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)． 由于Q 点是弦AB 的中点，∴y 1＋y 2＝2，于是y 1－y 2x 1－x 2＝4，即直线AB 的斜率k ＝4，故弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0． 当堂检测1．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为3-，那么|PF |＝( )．A ．43B ．8C ．83D ．16答案：B 解析：如图，直线AF 的方程为3(2)y x =--，与准线方程x ＝－2联立得A (－2，43)．设P (x 0，43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6． ∴|PF |＝x 0＋2＝8．2．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则k 的值为( )． A ．1 B ．1或3 C ．0 D ．0或1答案：D 解析：联立22,8y kx y x=+⎧⎨=⎩得(kx ＋2)2－8x ＝0．整理得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0．当k ＝0时，方程变为－8x ＋4＝0，只有一解，这时直线与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，由Δ＝0得(4k －8)2－16k 2＝0，解得k ＝1． 综上，k ＝0或1．3．过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在x 轴上的正射影分别为D ，C ．若梯形ABCD 的面积为122p ＝__________．答案：2 解析：如图，抛物线焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB ：y －2p ＝x ，即y ＝x ＋2p ． 联立x 2＝2py ，得2,22,p y x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 得x 2－2px －p 2＝0，∴x 1＝(1＋2)p ，x 2＝(1－2)p ．∴|AD |＋|BC |＝y 1＋y 2＝x 1＋2p ＋x 2＋2p＝2p ＋p ＝3p ，|CD |＝|x 1－x 2|＝22p ． 由S 梯形ABCD ＝12(|AD |＋|BC |)·|CD |＝13221222p p ⋅⋅=，解得p 2＝4，∴p ＝±2．∵p ＞0，∴p ＝2．4．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．答案：－4 解析：由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)，∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴212242(2)2y y ⎧=⎨-=⎩,①,② ∴128,2,y y =⎧⎨=⎩∴P (4,8)，Q (－2,2)． 又∵抛物线可化为212y x =， ∴y ′＝x ，∴过点P 的切线斜率为4'4x y ==． ∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8． 又∵过点Q 的切线斜率为2'2x y =-=-，∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)， 即y ＝－2x －2．联立48,22,y x y x =-⎧⎨=--⎩得x ＝1，y ＝－4，∴点A 的纵坐标为－4．5．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；答案：解：将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，∴p ＝2．故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1．(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 5l 的方程；若不存在，说明理由． 答案：假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ．由22,4y x t y x=-+⎧⎨=⎩得y 2＋2y －2t ＝0．∵直线l与抛物线C有公共点，∴Δ＝4＋8t≥0，解得12t≥-．另一方面，由直线OA与l的距离55d=，可得55=，解得t＝±1．∵11,2⎡⎫-∉-+∞⎪⎢⎣⎭，11,2⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，∴符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．。