§2.4.2抛物线的简单几何性质(2)
抛物线的简单几何性质(2)
时，它们没有交点.
时，它们有两个交点.
(3)当k∈
时，它们有一个交点.
思考 1:(课本第 71 页例 6) 2 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定 点 P (2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物 线 y 2 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?
0 2
162k 2 k 1.
1 3 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或 k 时, 方程 ①没有实数解, 从而 2 方程组 没有解.这时, 直线 l 与抛物线没有公共点 .
0 2
思考 2: 2 若抛物线 y x 存在关于直线 l : y 1 k ( x 1) 对称的两点,求实数 k 的取值范围. 答案: 2 k 0
分 析： 假设 存在 关于 直线 l : y 1 k ( x 1) 对 称 的 两 点 A、B,看 k 应满足什么条 件. 显然 k 0 不合题意,∴ k 0 1 ∴直线 AB 的方程为 y x b k 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.
2
1 这时, 直线l 与抛物线只有一个公共 ,1 . 点 4
2 当k 0 时, 方程①的判别式为
1 1 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或k 时 , 方程 ①只有一个解, 从 2 而方程组只有一个解.这时, 直线 l 与抛物线只 有一个公共点 . 1 0 2 2 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 1 k . 2 1 于是,当 1 k 且k 0时, 方程 ①只有两个解, 2 从而方程组只有两个解.这时, 直线 l 与抛物线 有两个公共点 .
高二数学抛物线的简单几何性质2
| AB | 2 p
方程
图 形 范围
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y l
x
x2 = 2py （p＞0） y
F x
x2 = -2py （p＞0） y
x l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
抛物线的简单几何性质(2)
一、抛物线的几何性质：
性质
方程
设抛物线方程为： y 2 2 px, ( p 0)
l
y
d
M
图形
K
O
F
x
范围 对称性
顶点坐标
x 0, y R 关于 x轴对称 坐标原点(0,0)
e 1
p | MF | x0 , 2 M ( x0 , y0 )
离心率 焦半径 通径
从点A、B、P分别向抛物线的准线作 垂线，垂足分别为A1、B1、P 1，依据 抛物线的定义，|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1| 所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|, 又PP1是梯形AA1BB1的中位线， 所以|AA1|+|BB1|=2|PP|. 1 因此，我们容易得到
p1
2P 的 | AB | 2 sin
y
A
F1 O F2
y
l
x
F1 O
l
A
F2
d1 d2
B
B
x
y
y
F1
.
高中数学选修2-1第二章第12课时同步练习§2.4.2 抛物线的简单几何性质(2)
§2.4.2 抛物线的简单几何性质（2）1、00(,)P x y 是抛物线22y px =上任一点，则P 到焦点的距离为（ ）A 、0||2p x -B 、0||2p x + C 、0||x p - D 、0||x p +2、设等腰三角形AOB 内接于抛物线22(0)y px p =>，OA OB ⊥，则AOB ∆的面积是（ ）A 、2pB 、22pC 、24pD 、28p3、探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60cm ，灯深40cm ，则光源到反射镜顶点的距离为（ ）A 、11.25cmB 、5.625cmC 、20cmD 、10cm4、设O 为坐标原点，抛物线22y x =与过焦点的直线l 交于A 、B 两点，则OA OB ⋅=（ ）A 、34B 、34- C 、3 D 、2- 5、已知(2,1)A -，24y x =-的焦点是F ，P 是24y x =-上的点，为使||||PA PF +取得最小，P 点坐标是（ ）A 、1(,1)4-B 、(-C 、1(,1)4-- D 、(2,-- 6、圆心在抛物线22y x =上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程为（ ）A 、221204x y x y +--+= B 、22210x y x y ++-+= C 、22210x y x y +--+= D 、221204x y x y +---= 7、抛物线22(0)y px p =>中，p 的几何意义是 ；26y x =的焦点到准线的距离为 ．8、直线y x b =+交抛物线212y x =于A 、B 两点，O 为抛物线顶点，OA OB ⊥，则b = ．9、如果过两点(,0)A a ，(0,)B a 的直线与抛物线223y x x =--没有交点，则a 的取值范围是 ．10、已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F 且与抛物线交于A 、B 两点，若A （8，8），则线段AB 的中点到准线的距离为 ．11、抛物线24y x =的焦点弦被焦点分成长是m 和n 的两部分，则m 与n 的关系是 ．12、已知抛物线22y x =，过点Q （2，1）作一条直线交抛物线于A 、B 两点，试求AB 的中点M 的轨迹方程。
课件4：2.4.2 抛物线的简单几何性质
解:如图记焦点 F ,准线 l ,分别过点 A、B 作 l 的垂线,垂足分别为 M、NM.
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB
过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 E. K Q
E
N
在△ AFE 中 EF AF cos .
记 x 轴与准线 l 的交点为 K ,则 KF p
∴ FA = MA KE p FA cos ∴ FA p 1 cos
焦点,与抛物线相交于 A、B ,求线段 AB 的长.
解:设
准线
A(
l:
x1, y1 ) ,
x p
B( x2 , y2 ) ,焦点 F
,分别过点 A、B
(p 2
作
,
l
0) M
的垂
2
( x1 , y1 )
线,垂足分别为 M、N.
由抛物线定义可知 FA MA , FB NB N
( x2 , y2 )
∴ AB
思考(课本第 69 页例 4)
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F ,且与 抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般); 法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算 弦长.
坐标法是一种非常好的证明,你还有 没有其他好方法呢?
本题几何法也是一个极佳的思维!
学习小结: 刚才发现的结论,坐标法起着重要作用. 设而不求,联立方程组,韦达定理这是研究直
线和圆锥曲线的位置关系问题的重要方法.
总结：
判断直线与抛物线位置关系的操作程序： 把直线方程代入抛物线方程
课件14：2.4.2 抛物线的简单几何性质
(2)如图把点 B 的横坐标代入 y2＝4x 中，得 y＝± 12， 因为 12>2，所以 B 在抛物线内部， 自 B 作 BQ 垂直准线于 Q，交抛物线于 P1. 此时，由抛物线定义知：|P1Q|＝|P1F|. 那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4. 即最小值为 4.
∴|AB|＝4p，∴S△ABO＝12·4p·2p＝4p2.
命题方向2 ⇨抛物线焦点弦的性质 典例2 斜率为2的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛 物线相交于两点A、B，求线段AB的长. [解] 如图，由抛物线的标准方程可知， 焦点F(1,0)，准线方程x＝－1. 由题设，直线AB的方程为：y＝2x－2. 代入抛物线方程y2＝4x，整理得：x2－3x＋1＝0.
1．抛物线 y＝－3x2 的准线方程是 ( C )
A．y＝34
B．y＝－34
பைடு நூலகம்
C．y＝112
D．y＝－112
[解析] 由抛物线 y＝－3x2 得 x2＝－13y，∴2p＝112.
可得准线方程为 y＝112.故选 C．
2．若抛物线 y2＝x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的
距离，则点 P 的坐标为 ( B )
典例3 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线 焦点. (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距 离之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
[解] (1)如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程是 x＝－1，由抛物线的定义知：点 P 到直线 x＝－1 的距离等 于点 P 到焦点 F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求 一点 P，使点 P 到点 A(－1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离 之和最小．显然，连 AF 交抛物线于 P 点，故最小值为
§2.4.2 抛物线的几何性质
2.4.2抛物线的简单几何性质学案（第二课时） 谷建荣【知识要点】直线与抛物线的位置关系【学习要求】1、能用坐标法解决一些与抛物线有关的简单几何问题；2、进一步体会数形结合思想在解题中的应用，并能应用几何性质解决有关问题。
【课前热身】1、 过点（0，-1）与双曲线14922=-yx只有一个公共点的直线有________条。
2、 抛物线y x 42=上一点A 纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为_________。
【新知学习】例1、（课本P71，例题6）已知抛物线的方程为x y 42=，直线l 过点)1,2(-P ，斜率为k 。
k 为何值时，直线l 与抛物线x y 42=归纳总结：判断直线l 与抛物线C 的位置关系的交点个数时，可以将直线方程代入抛物线方程C ，消去y ，得到一个关于x （或y ）的一元方程02=++c bx ax (或02=++c by ay)：（1）、当0≠a 时，满足_______条件，直线l 与抛物线C 有两个交点。
满足_______条件，直线l 与抛物线C 只有一个交点。
满足_______条件，直线l 与抛物线C 没有交点。
（2）、当0=a 时，得到一次方程0=+c bx （或02=++c by ay），此时直线l 与抛物线C 有______交点且此时直线l 与x 轴（或y 轴）__________。
x【小组探索】1、 直线1-=kx y 与抛物线x y 42=只有一个公共点，则k =________。
2、 上题直线改为：过点（0，--1）与抛物线x y 42=只有一个公共点的直线有_____条。
3、 过点（1，2）与抛物线x y 42=只有一个公共点的直线有_____条。
4、 过点（2，2）与抛物线x y 42=只有一个公共点的直线有_____条。
【能力提升】例题2、（课本P70，例题5）过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，通过点Ａ和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点Ｄ，求证：轴x BD焦点弦性质再探：抛物线)0(22>=p px y ，过焦点F 的动直线l 交抛物线于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点，O 为坐标原点，求证：（1）、4221px x =， （2）、221p y y -= （3）、OB OA ∙ 为定值。
2.4.2抛物线的简单几何性质(第2课时)【直线与抛物线的位置关系、弦长问题】
抛物线的简单几何性质
第二课时
方程
图 形 范围
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y l
x
x2 = 2py （p＞0） y
F x
x2 = -2py （p＞0） y
x l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
y 2 px( p 0)
2
组成方程组后消掉y,得到一个关于x的方程：
k x (2km 2 p) x m 0
2 2
y
1 若k 0,
即 2 px m 0
2
o
x
上述方程有唯一解，即 直线与抛物线相交于一点。
2 若k 0,
△ > 0 △ = 0
顶点
焦半径
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p y0 2
（0,0）
p y0 2
离心率 通径
1 2p
1 2p
1 2p
1 2p
直线与抛物线位置关系
1、直线与抛物线位置关系 1、相离； 2、相切； 3、相交于一点 4、相交于两点
y
O
x
与双曲线的 情况一样
（1）当直线的斜率存在时， 若直线方程为y=kx+m，抛物线方程为
△ < 0
直线与抛物线相交于两点 直线与抛物线相切 直线与抛物线相离
（2）若k不存在,则直线x=n与抛物线可能相交于两 点，或相切于一点，或相离。
§2.4.2抛物线的几何性质(2)
【练习3】过抛物线 的顶点做互相垂直的二弦 .
（1）求 中点的轨迹方程;（2）证明: 与 轴的交点为定点.
【练习4】求抛物线 上的点到到直线 的距离的最小值,并求取得最小值时抛物线上点的坐标.
【练习5】经过抛物线 的焦点且和抛物线的对称轴成 的直线交 两点,求 的值.
二次总结栏
五.本节内容个人掌握情况反思,疑问
编号:X2-1010
§2.4.2抛物线的几何性质（2）
一.滚动复习
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在三棱柱 中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点 是侧面 的中心,则 与平面 所成角的大小是.
2.若正四棱柱 的底面边长为 , 与底面 成 角,则 到底面 的距离为.
二.今日作业
3.设斜率为 的直线 过抛物线 的焦点 ,且和 轴交于点 ,若 为坐标原点)的面积为 ,求抛物线方程.
编号:X2-1010
§2.4.2抛物线的几何性质（2）
学习
目标
(1)掌握抛物线的简单几何性质,
(2)能运用性质解决与抛物线有关的问题,进一步体会数形结合的思想.
二次总结栏
一.课前复习
1.提问:回顾一下抛物线的定义,抛物线的标准方程,抛物线的几何性质?
2.抛物线 上与焦点的距离等于 的点的坐标.
二.知识点总结
7.已知直线 与抛物线 相交与 两点,若 ( 为坐标原点),且 ,求抛物线的方程.
8.设抛物线 的焦点为 ,过点 的直线与抛物线相交于 两点,与抛物线的准线相交于 ,求 与 的面积之比.
纠错、总结栏
直线与抛物线的位置关系
三.典型例题
【例1】斜率为 的直线 经过抛物线 的焦点,且与抛物线相交于 两点,求 的长.
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（C） 3 x − 2 y + 6 = 0
（D） 3 x + 2 y + 4 = 0
9、探照灯的反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的 焦点处，已知灯口直径是 60cm，灯深 40cm，则光源到反光镜 顶点的距离是（ ） （A）11.25cm （B）5.625cm （C）20cm （D）10cm 10、已知点 F ( ,0) ，直线 l : x = −
江苏省华冲中学 高二数学备课组教学设计共同方案
课 抛物线的简单几何性质( 题 §2．4．2 抛物线的简单几何性质(２)
殷棣康 备课时间 2007.11.26 2007.11.26 审核人 11.
主备课人 教学目标 教学重点 教学难点
1．掌握抛物线的简单几何性质； 2．抛物线性质的进一步研究。 抛物线的几何性质。 抛物线几何性质的探讨。
2
(a > 0) 最近的点恰好是顶
点，则这个结论成立的充要条件是 0 < a ≤ 1 三、数学运用 1、抛物线 y=ax2（a≠0）的焦点坐标是__________. 2、一个动圆的圆心在抛物线 y 2 = 8 x 上，且动圆恒与直线 x + 2 = 0 相切，则此动圆必经过点 。 3、长度为 a 的线段 AB 的两个端点 A、B 都在抛物线
1 1 ，点 B 是 l 上的动点，若过 B 4 4 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线相交于点 M ，则
点 M 的轨迹是（ ） （A）双曲线 （B）椭圆
2 2
（C）圆
（D）抛物线
11、双曲线
x y − = 1(mn ≠ 0) 离心率为 2，有一个焦点与抛物线 m n
y 2 = 4 x 的焦点重合，则 mn 的值（ A ）
y 2 = 2 px( p > 0, a > 2 p ) 上滑动，则线段 AB 的中点 M 到 y 轴的最
短距离为
2
。
4、抛物线 x = 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4，则点 A 与抛物线焦点的 距离为( ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 6、设坐标原点为 O，抛物线 y 2 = 2 x 与过焦点的直线交于 A、B 两 点，则 OA⋅ OB 等于（ ） （A）
p2 , y1 y 2 = − p 2 4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
（1） 过抛物线的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点， A, B 在准线 上的射影分别为 A1 , B1 ，则 ∠A1 FB1 等于 90 0 （2）抛物线的焦点为 F，相准线是 l ，以过焦点 F 的一条弦为直径 的圆恰与直线 l 相切。 （3）过抛物线的顶点作两条互相垂直的直线 OM , ON 分别交抛物 线与 M , N 两点，则直线 MN 过定点 ( 2 p,0) 4、最小值问题 （1）A（3，2）为一定点，点 F 是抛物线 y2=2x 的焦点，P 点是抛 物线 y2=2x 上的动点，当|PA|+|PF|最小时，P 点的坐标是 （2，2） （2） 抛物线 x = 2 y 上距离点 A(a,0)
(A)
3 16
(B)
3 8
(C)
16 3
(D)
8 3
12 、 抛 物 线 x 2 = 4 y 的 焦 点 作 直 线 ， 交 这 条 抛 物 线 于
A(x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 两点，若 y1 + y 2 = 6 ，则 AB = （
）
A、10 B、8 C、6 D、4 13、如图，直线 l1 和 l2 相交于点 M，l1⊥l2，点 N∈l1.以 A、B 为端 点的曲线段 C 上的任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等.若△ AMN 为锐角三角形，|AM|=
A
/
2、焦点弦：
2p B/ B 2 sin α （其中 α 为直线 AB 与 x 轴所成的角） （2） 过焦点且与对称轴垂直的弦叫作通径， 抛物线的通径长为 2 p
（1） AB = x1 + x 2 + p = （3）若设 AF = m, BF = n ,则
1 1 2 + = m n p
（4） x1 x 2 = 3、垂直问题
教学过程 公共部分
一、复习引入 1、抛物线的定义 2、抛物线的性质：范围、顶点、对称性 二、建构数学 如 图 ， 已 知 抛 物 线 y 2 = 2 px ， AB 过 抛 物 线 焦 点 F ， 设
个人思路
A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )
A
p 1、焦半径： AF = x1 + 2
3 4
（B） −
3 4
（C） 3
（D）-3
7、抛物线 y = 4x 2 上一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是 (B ) （A）
17 15 7 （B） （C） （D）0 16 16 8 8、若抛物线的准线为 2 x + 3 y − 1 = 0 ，焦点坐标为 (−2,1) ，则抛物
线的对称轴方程是（ ） （A） 2 x + 3 y + 1 = 0 （B） 3x − 2 y + 8 = 0
17 ，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当
的坐标系，求曲线段 C 的方程. （如图建立坐标系中得曲线段 C 的方程为 y2＝8x （1≤x≤4， y ＞0） ．
四、布置作业 教材第 47 页 练习 3
习题
10
3