4.7相似三角形的性质
4.7 相似三角形的性质(一) (2)
A'
B
D E
C B ' D 'E '
C'
1 1 AD (1)若 BAD BAC , B ' A ' D ' B ' A ' C '，则 等于 A' D ' 3 3 多少？ AE 1 1 (2)若 BE BC , B ' E ' B ' C ' ，则 A ' E ' 等于多少？ 3 3
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对 应中线的比都等于相似比.
3.如果把角平分线、中线变为对应角的三等分线、四等 分线、…n等分线，对应边的三等分线、四等分线、…n 等分线，那么它们也具有特殊关系吗？ 如图，已知△ABC∽△ ABC, △ABC与△ ABC 的相似 比为 k .
A
（3）你能得到哪些结论？ A
B
A'
D E
C B ' D 'E '
C'
相似三角形对应角的n等分线的比,对应边的n等 分线的比都等于相似比.
1.已知△ABC∽△ A′B′C′，BD和B′D′是它们 AC 3 的对应中线， ，B′D′=4cm,求BD的长. AC 2 解：∵ △ABC∽△ A′B′C′ AC BD ∴ AC BD
1.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比 例建造了模型房梁A′B′C′ CD和C ′D ′分别 是它们的立柱.
4.7《相似三角形的性质》第2课时 数学北师大版 九年级上册教学课件
课堂练习
3．两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40，则这
两个三角形的周长分别为（ A ）．
A．75，115
B．60，100
C．85，125
D．45，85
4．如图，在△ABC中，BC=2，
DE是△ABC的中位线，下面三个结论：
（1）DE=1（2）△ADE∽△ABC（3）△ADE的面积与△ABC的面积之比为
∴△GEC∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）．
∴
S△GEC S△ABC
EC BC
2
EC 2
BC2 （相似三角形的面积比等于相似比的平
方），即 1 EC 2 ． 2 22
A
D
∴EC2=2．即EC= 2．
G
∴BE=BC-EC 2 2 ，
即△ABC平移的距离为 2 2 ． B
E
C
F
课堂练习
第四章 图形的相似
4.7 相似三角形的性质 第 2 课时
学习目标
1．巩固相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应角 平分线的比、对应中线的比都等于相似比． 2．了解相似三角形的性质定理：相似三角形的周长比对应相似比， 面积比等于相似比的平方．
复习引入
相似三角形的性质： 1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 2．相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的 比都等于相似比．
结论：两个相似多边形的周长比等于相似比面积比等于相似比的平方.
典例精析
例 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC 与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的 一半．已知BC=2，求△ABC平移的距离．
A
D
4.7 相似三角形的性质(课件)九年级数学上册(北师大版)
课堂练习
例1 如图,AD是△ABC的高， AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为
1
E。当SR= BC时，求DE长.
3
2）∵SR⟂AD,BC⟂AD,∴RS∥BC
∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C
∴△ASR∽△ABC. ∴
1
2
∴AE= AD 则DE= ℎ
3
3
AE
AD
=
SR
BC
1
3
而SR= BC
∴ ∠=
∴
′′
=
∠′ ′ ′
′ ′
∴ △
B
D
∽△ ′ ′ ′
C
A’
=k
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
B’
D’
C’
探索与思考
如图，已知△ABC∽△A’B’C’，△ABC∽△A’B’C’的相似为k，点D,E在BC边
上，点D’,E’在B’C’边上
1
1
1∶3
1∶9
对应周长的比为__________，对应面积的比为_________.
课堂练习
1 把一个三角形变成和它相似的三角形，
25
1）如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的__________倍。
10
2）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的__________倍。
1
3）如果边长缩小到原来的一半，那么面积缩小为原来的__________。
B’
D’
C’
探索与思考
如图， △ ∽△ ′ ′ ′ ，相似比为，其中 、 ′′分别是∠、∠‘的角平分线，问
AD 、 A′D′有什么关系呢？
4.7 相似三角形的性质(一)
4.7 相似三角形的性质（一）●教学目标（一）教学知识点相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系. （二）能力训练要求1. 熟练应用相似三角形的性质：对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。
2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题. （三）情感与价值观要求1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作意识.2.通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识. ●教学重点1.相似三角形中对应线段比值的推导.2.运用相似三角形的性质解决实际问题. ●教学难点相似三角形的性质的运用. ●教学方法 引导启发式 ●教具准备 投影片两张 第一张：（记作§4.7.1 A ） 第二张：（记作§4.7.1 B ） ●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.Ⅱ.新课讲解 1.做一做投影片（§4.7.1 A ） 钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图，图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A ′B ′C ′，CD 和C ′D ′分别是它们的高.（1）B A AB '',C B BC '',C A AC''各等于多少？ （2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比.（3）请你在图①中再找出一对相似三角形. （4）DC CD''等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.图①［生］解：（1）B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43（2）△ABC ∽△A ′B ′C ′∵B A AB ''=C B BC ''=CA AC ''∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为3∶4.（3）△BCD ∽△B ′C ′D ′.（△ADC ∽△A ′D ′C ′） ∵由△ABC ∽△A ′B ′C ′得 ∠B =∠B ′∵∠BCD =∠B ′C ′D ′∴△BCD ∽△B ′C ′D ′（同理△ADC ∽△A ′D ′C ′）（4）D C CD ''=43∵△BDC ∽△B ′D ′C ′ ∴D C CD ''= C B BC ''=43 2.议一议已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k .（1）如果CD 和C ′D ′是它们的对应高，那么D C CD''等于多少？ （2）如果CD 和C ′D ′是它们的对应角平分线,那么D C CD''等于多少？如果CD 和C ′D ′是它们的对应中线呢？［师］请大家互相交流后写出过程.［生甲］从刚才的做一做中可知，若△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′是它们的对应高，那么D C CD ''=C B BC''=k . ［生乙］如图②，△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′分别是它们的对应角平分线，那么D C CD ''= C A AC''=k .图②∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴∠A =∠A ′,∠ACB =∠A ′C ′B ′∵CD 、C ′D ′分别是∠ACB 、∠A ′C ′B ′的角平分线. ∴∠ACD =∠A ′C ′D ′ ∴△ACD ∽△A ′C ′D ′ ∴D C CD ''= C A AC ''=k . ［生丙］如图③中，CD 、C ′D ′分别是它们的对应中线，则D C CD ''= C A AC''=k .图③∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∴∠A =∠A ′，C A AC ''= B A AB''=k . ∵CD 、C ′D ′分别是中线∴D A AD ''=B A AB''2121=B A AB ''=k . ∴△ACD ∽△A ′C ′D ′ ∴D C CD ''= C A AC''=k . 由此可知相似三角形还有以下性质.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. 3.例题讲解投影片（§3.7.1 B ）图④如图④所示，AD 是△ABC 的高，AD=h ,点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD,垂足为E .当S R=21BC 时，求DE 的长，如果SR =31BC 呢？ 解：∵ SR ⊥AD,BC ⊥AD,∴SR ∥BC .∵∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C,∴△ASR ∽△ABC （两角分别相等的两个三角形相似）. ∴BCSRAD AE =（相似三角形对应高的比等于相似比）， 即BCSRAD DE AD =-.当SR=21BC 时，得21=-h DE h ，解得DE=21h 当SR=31BC 时，得31=-h DE h ，解得DE=32hⅢ.课堂练习如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？（都是4∶5）. Ⅳ.课时小结本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.Ⅴ.课后作业 完成习题Ⅵ.活动与探索图⑤如图⑤，AD ，A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的角平分线，且B A AB ''=D B BD ''=D A AD'' 你认为△ABC ∽△A ′B ′C ′吗？ 解：△ABC ∽△A ′B ′C ′成立.∵B A AB ''=D B BD ''=D A AD '' ∴△ABD ∽△A ′B ′D ′∴∠B =∠B ′,∠BAD =∠B ′A ′D ′ ∵∠BAC =2∠BAD ,∠B ′A ′C ′=2∠B ′A ′D ′ ∴∠BAC =∠B ′A ′C ′ ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′●板书设计§4.7.1 相似三角形的性质（一）一、1.做一做 2.议一议 3.例题讲解 二、课堂练习 三、课时小节 四、课后作业●备课资料如图⑥，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高.图⑥（1）则图中有几对相似三角形. （2）若AD =9 cm,CD =6 cm,求BD . （3）若AB =25 cm,BC =15 cm,求BD .解：（1）∵CD ⊥AB∴∠ADC =∠BDC =∠ACB =90° 在△ADC 和 △ACB 中 ∠ADC =∠ACB =90° ∠A =∠A∴△ADC ∽△ACB同理可知，△CDB ∽△ACB ∴△ADC ∽△CDB所以图中有三对相似三角形. （2）∵△ACD ∽△CBD∴BD CDCD AD =即BD669= ∴BD =4 （cm ）（3）∵△CBD ∽△ABC ∴BC BD BA BC =. ∴152515BD = ∴BD =251515⨯=9 （cm ）.。
4.7 相似三角形的性质
有几种切割方法？
D E
B
C
6、如图，△ABC,DE//BC，且△ADE的面 积等于梯形BCED的面积，则△ADE与
△ABC的相似比是_1__: __2__ A
D B
E C
8、如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1： 2，求△AEF与△CDF周长的比。如果S△AEF=6 cm2,求S△CDF？
相似三角形的相似比与对应边上高线比有什么 关系？
例如： ΔABC∽ΔA/B/C/ ，AD BC于 D，
A / D / B / C /于D / ， A
求证： AD AB
A/
k
A'D' A'B'
B
D
C B/
D/ C/
①相似三角形的对应高线之比等于相似比。
A
Aˊ
B
角平D分线
B ˊ 角平Dˊ分 C线
Cˊ
2、如图，△ABC∽△AˊBˊCˊ ，它们的周长分别为 60cm和72cm，且AB=15cm，BˊCˊ =24cm，
求BC、AC、AˊBˊ、AˊCˊ的长。
A`
A 15
B
C
B`
72
C`
例1、如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE， AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周长是24， 面积是48，求ΔDEF的周长和面积。
A D
B
CE
F
相信自己 如图,在△ABC中,D是AB的中点，
我能行 DE∥ BC，则:
(1)S △ADE : S △ABC =
1:4
(2)S △ADE: S 梯形DBCE = 1:3 A
D B
E C
Байду номын сангаас
2023-2024学年北师大版九年级数学上册教案：4.7 相似三角形的性质
2023-2024学年北师大版九年级数学上册教案：4.7 相似三角形的性质一. 教材分析北师大版九年级数学上册第4章《相似三角形》是学生在掌握了三角形的基本概念、三角形的分类、三角形的内角和定理等知识的基础上，进一步研究相似三角形的性质。
相似三角形是中学数学中的重要内容，是解决实际问题和进一步学习几何的基础。
本节内容通过引导学生探究相似三角形的性质，培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对三角形的基本概念、三角形的分类、三角形的内角和定理等知识有了一定的了解。
但是，学生对相似三角形的性质的认识还比较模糊，需要通过实例和操作来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.让学生通过观察、操作、推理等过程，掌握相似三角形的性质。
2.培养学生的问题解决能力和几何思维能力。
3.培养学生的团队合作意识和交流表达能力。
四. 教学重难点1.掌握相似三角形的性质。
2.能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：通过引导学生观察、操作、推理等过程，让学生自主发现相似三角形的性质。
2.案例分析法：通过分析具体的案例，让学生理解并掌握相似三角形的性质。
3.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论、交流，培养团队合作意识和交流表达能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作教学课件，展示相似三角形的性质。
2.教学素材：准备一些相似三角形的图片和案例，用于分析和讲解。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些相似三角形的图片，引导学生观察并思考：这些三角形有什么共同的特点？让学生初步感知相似三角形的性质。
2.呈现（10分钟）利用课件展示相似三角形的性质，引导学生通过观察、操作、推理等过程，发现相似三角形的性质。
教师讲解并引导学生总结出相似三角形的性质。
3.操练（10分钟）让学生分成小组，每组选取一个相似三角形的案例，运用所学的性质进行分析和解答。
4.7+相似三角形的性质+课件++-2024-2025学年北师大版数学九年级上册
C
A
B
CD
EB
C
A
如图, 已知△ABC, DE ∥ BC, 交AB,AC或其延长线于D,E,则
有如下结论:
D
E
结论1: 平行于三角形一边直线截其它两边（或其延长
二、合作交流，探究新知 线）,所截得的三角形与原三角形相似;
如图: 在△ABC中, 如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC.
B
AC
B
C
结论2: 平行于三角形一边直线截其它两边（或其
相似三角形周长的比等于相似比.理由是:
二、合作交流，探究新知 如图,在△ ABC与△ A′B′C′中,
∵△ABC∽△A′B′C′,且相似比为 k.
AB AC BC k。 AB AC BC
AB AC BC k (等比)。 AB AC BC
（相似三角形对应边成比例,对应边的比叫做相似比） 即：相似三角形周长的比等于相似比.
三、运用新知
如图,如果△ABC∽△A′B′C′A,且B k。
AB
那么, SABC k 2。 SABC
这个结论在今后的学习中作用很大,若能理解运用,则受益非浅.
相似多边形的性质:
四、归纳小结 相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，
对应中线的比，对应周长的比都等于相似比.
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
DE
EF
又∵AM, DN分别是△ABC和△DEF的中线.
B
C
M
BM BC AB BM EN EF DE EN
且∠B =∠E.
∴△AMB∽△DNE（两边对应成比例且夹角相等
的两个三角形相似）
AM AB （相似三角形对应边成比例）
DN DE
4.7 相似三角形的性质
4.7 相似三角形的性质一．选择题（共25小题）1．（2020秋•伊川县期中）如图，D 是△ABC 的边BC 上的点，△ABC ∽△DBA ，则下列各式中正确的是（ ）A ．AB BC=CD ABB ．AB AC=BD CDC ．ABBD=AD ACD ．ABBD=BC AB2．（2019秋•新华区校级月考）如图，△ABC ∽△ADE ，若AB ＝9，AD ＝3，DE ＝2，则BC 的长是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．73．（2020秋•盐城期末）两个相似三角形面积比是4：9，其中一个三角形的周长为18，则另一个三角形的周长是（ ） A ．12B ．12或24C ．27D ．12或274．（2020秋•双流区期末）已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，BD 和B 1D 1是它们的对应中线，若AC A 1C 1=32，B 1D 1＝4，则BD 的长是（ ）A ．43B ．83C ．6D ．85．（2020秋•溧阳市期末）如果两个相似三角形的相似比为4：3，那么这两个相似三角形的面积比为（ ） A ．2：√3B ．4：3C ．16：9D ．256：816．（2020秋•扶风县期末）若两个相似三角形的面积之比为1：9，则它们对应角平分线之比为（ ） A ．13B ．3C ．√33D ．3√37．（2020秋•莲湖区期末）若△ABC∼△DEF，相似比为3：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．3：2B．9：4C．2：3D．4：9 8．（2020秋•滨海新区期末）△ABC与△DEF相似且对应高线之比为2：3，已知△ABC周长为40，则△DEF周长是（）A．10B．20C．40D．609．（2020秋•南京期末）若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，AB＝4，则DE的长为（）A．2B．4C．6D．810．（2020秋•路北区期末）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为3：2，则△ABC与△A1B1C1的周长比为（）A．1：1B．3：2C．6：2D．9：4 11．（2020秋•镇海区期末）已知△ABC的各边长分别为2、5、6，与其相似的另一个△A′B′C′的最大边为18，则△ABC与△A′B′C′的面积比等于（）A．1：3B．1：6C．1：9D．4：9 12．（2020秋•青田县期末）两个相似三角形的面积比为1：16，则它们对应边的比是（）A．1：16B．1：8C．1：4D．4：1 13．（2020秋•长宁区期末）如图，已知在△ABC中，点D、点E是边BC上的两点，联结AD、AE，且AD＝AE，如果△ABE∽△CBA，那么下列等式错误的是（）A．AB2＝BE•BC B．CD•AB＝AD•ACC．AE2＝CD•BE D．AB•AC＝BE•CD14．（2020秋•松江区期末）如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16 15．（2020秋•黄浦区期末）已知△ABC与△DEF相似，又∠A＝40°，∠B＝60°，那么∠D不可能是（）A．40°B．60°C．80°D．100°16．（2020秋•郧西县期末）如图△ABC ∽△ACD ，则下列式子中不成立的是（ ）A ．AB AC=BC CDB ．ACAD=AB ACC ．AC 2＝AD •ABD ．AB BC=AC AD17．（2020秋•金川区期末）如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，如果△ADE ∽△ABC ，AD ：AB ＝1：4，BC ＝8cm ，那么△ADE 的周长等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．6cmD ．12cm18．（2020秋•兰州期末）如果两个相似三角形的对应边之比为3：7，其中一个三角形的一边上的中线长为2，则另一个三角形对应中线的长为（ ） A ．143B ．67C ．143或67D ．无法确定19．（2020秋•马鞍山期末）在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm 变成了2cm ，则缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（ ） A ．13B ．16C ．19D ．11220．（2020秋•沂南县期末）如图，△ABC ∽△DCA ，∠B ＝33°，∠D ＝117°，则∠BAD 的度数是（ ）A ．150°B ．147°C ．135°D ．120°21．（2020秋•乐亭县期末）两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，那么这两个三角形的面积的比是（ ） A ．2：3B ．4：9C ．16：36D ．16：922．（2020秋•邵阳县期末）若△ABC ∽△DEF ，且S △ABC ：S △DEF ＝5：4，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ）A ．5：4B ．4：5C ．2：√5D ．√5：223．（2020秋•沈河区期末）如图，△OAB ∽△OCD ，OA ：OC ＝3：2，△OAB 与△OCD 的面积分别是S 1与S 2，周长分别是C 1与C 2，则下列说法正确的是（ ）A ．C 1C 2=32B ．S 1S 2=32C ．OB CD=32D ．OAOD=3224．（2020秋•济阳区期末）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC ＝3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△DAF 的面积之比为（ ）A ．9：16B ．3：4C ．9：4D ．3：225．（2020秋•历下区期末）如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，△ABE ∽△DEF ，AB ＝6，AE ＝9，DE ＝2，则EF 的长是（ ）A ．4B ．5C ．√13D ．√15二．填空题（共3小题）26．（2020•亳州模拟）已知△ABC 三边的比为2：3：4，与它相似的△A ′B ′C ′最小边的长等于12，那么△A ′B ′C ′最大边的长等于 ． 27．（2020秋•成都期末）如图，△ABC ∽△ADE ，且BC ＝2DE ，则S △ADE S 四边形BEDC的值为 ．28．（2020秋•兰州期末）两相似三角形的相似比为3：5，它们的面积和为102cm 2，则较大三角形的面积为．三．解答题（共15小题）29．（2020秋•顺义区期末）已知：如图，△ABC∽△ACD，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，求AC、DC的长．30．（2020秋•南京期末）如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是它们的中线，求证：AD：A′D′＝AB：A′B′．31．（2020秋•蜀山区校级月考）如图，在△ABC，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为AD：AC＝2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F，求AG与GF的比．32．（2020秋•安徽期末）如图，已知△ABD∽△ACE，∠ABC＝50°，∠BAC＝60°，求∠AED的度数．33．（2019秋•隆回县期末）如图，已知△ABC ∽△ADE ，AE ＝6cm ，EC ＝3cm ，BC ＝6cm ，∠BAC ＝∠C ＝40°．（1）求∠AED 和∠ADE 的大小； （2）求DE 的长．34．（2020秋•武侯区校级月考）已知：如图，Rt △ABC ∽Rt △ACD ，若AC ＝3，BC ＝4，求AD ．35．（2020秋•东港市期中）如图，矩形ABDE 中，AB ＝3cm ，BD ＝7cm ，点C 在边ED 上，且EC ＝1cm ，点P 在边BD 上移动，当以P ，C ，D 为顶点的三角形与△ABP 相似时，求PD 的长．36．（2020秋•历下区期中）如图，已知△ABC ∽△ACD ，AC ＝6，AD ＝4，CD ＝2AD ，求BD 和BC 的长．37．（2019秋•长清区期末）如图，AB 与CD 相交于点O ，△OBD ∽△OAC ，OD OC=35，OB＝6，S △AOC ＝50， 求：（1）AO 的长；（2）求S△BOD．38．（2019秋•朝阳区校级期中）在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BC＝9，点D为AB上一点，AD=23AB，在AC上取一点E，得到△ADE．若两个三角形相似，求DE的长．39．（2019秋•丰台区校级月考）如图所示，三个边长为1个单位长度的正方形ABCD，ABEF，EFGH拼在一起．（1）请找岀中相似的两个三角形，并证明；（2）直接写出∠1，∠2，∠3这三个角度数之和．40．（2019•张家港市模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB．AB＝16cm，BC ＝6cm，CD＝8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），0＜t＜5．（1）用含t的代数式表示AP；（2）当以点A．P，Q为顶点的三角形与△ABD相似时，求t的值；（3）当QP⊥BD时，求t的值．41．（2019秋•雁塔区校级月考）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，当∠BCD＝时，CD为△ABC的完美分割线；（2）如图2，△ABC中，AC＝2，BC=√2，CD是△ABC的完美分割线，求完美分割线CD的长．42．（2020春•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE∽△ABC，连接BD，CE．（1）判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论；（2）若AB＝3，AD＝3√2，∠BAC＝105°，∠CAD＝30°．①BD的长为；②点P，Q分别为BC，DE的中点，连接PQ，写出求PQ长的思路．43．（2019秋•赣榆区期末）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．。
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所以∠B=∠B′（ 相似三角形的对应角相等）
图 18.3.9
又ADB ADB 90. 所以ABD ∽ ABD. 18.3.9 （ 两角对应相等,两三角形相似图 ）
探索新知
相似三角形的性质
问题1 : 如图, ABC∽ ABC , 相似比为k , 其中AD、 AD分别为BC、 BC 边上的高, AD 由ABD ∽ ABD能否得到 等于什么？ AD
B D H E F
C
相似三角形的性质
问题： 两个相似三角形的周长比 会等于相似比吗？
ABC 已知△ABC∽△ ，且相似比为 k。
求证：△ABC、 k AB周长的比等于 C
证明： ∵ △ABC∽△ABC
AB BC CA ∴ AB BC C A k
AB BC CA ∴ k AB BC C A 即△ABC、△ABC 的周长比等于相似比
例.如图，DE∥BC， DE = 1, BC = 4，
(1)△ADE与△ABC相似吗？如果相似， 求它们的相似比. 1∶4 1∶ 4 (2) △ADE的周长︰△ABC的周长＝_______. A
S ADE (3) S ABC
(4)
S ADE
S四边形 BCED
1 _______ . 16
拓展训练
2、如图，FG//BC，AE⊥FG(1)AE：AD是多少？ (2)若AD=6，求DE=？
提高拓展
3、如图，AD是BC的高，点I,H在BC边上，点
G在AC上，点F在AB上， BC=60cm,AD=40cm, 四边形FGHI是正方形， 则(1) AFG与ABC相似吗？为什么？
(2) 求正方形FGHI的边长
B'C'=24厘米 BC=20厘米
C
B'
C'
故 AC=60–15–20=25（厘米）A'C'=72–18–24=30（厘米）
课堂小结
相似三角形的性质
比例 对应角______. 相等 1、相似三角形对应边成____, 2、相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、 相似比 对应角平分线的比都等于________. 相似比 ， 3、相似三角形周长的比等于________
因为ABD ∽ ABD,
AD AB (相似三角形的对应边成比例) AD AB
图 18.3
所以
k
结论：相似三角形对应高的比等于相似比.
图 18.3.9
自主思考---类似结论
问题2 : 如图, ABC∽ ABC , 相似比为k ,
其中AD、 AD分别为BC、 BC 边上的中线, AD k . A 则 ____ AD A'
相似三角形的性质
问题:两个相似三角形的面积 之间有什么关系呢？
C 例5:已知△ABC∽△ AB，且相似比为 k， AD、 分别是 AD △ABC、△ 对应边 ABC BC、 S 2 ABC 上的高，求证： BC k
证明： ∵△ABC∽△ABC
AD BC k, k ∴ AD BC
D
E
1 15
B
C
2：如图，△ABC~△A'B'C'，它们的周长分别是 60厘米和72厘米，且AB=15厘米，B'C'=24厘 米。求：BC、AC、A'B'、A'C'。
解：因为△ABC~△A'B'C' △ABC~△A'B'C AB BC 所以 60 A'B' B'C' 72 又 AB=15厘米 所以 A'B'=18厘米 A B A'
B'
B
D
C
D'
C'
结论：相似三角形对应中线的比等于相似比.
自主思考---类似结论
问题3 :如图, ABC ∽ABC , 相似比为k , 其中BE、 BE 分别为ABC、 ABC 的角平分线 ,
BE 则 ______ . BE
k
A E B C B′
A′ E′ C′
结论：相似三角形对应角的角平分线的比等于相似比.
②相似三角形的对应边______________
想一想: 它们还有哪些性质呢?
情境引入
一个三角形有三条重要线段： 高、中线、角平分线 ________________ 如果两个三角形相似， 那么这些对应线段有什么关系呢？
探索新知
相似三角形的性质
问题1 : 如图, ABC ∽ ABC , 相似比为k , 其中AD、 AD分别为BC、 BC 边上的高, ABD与ABD相似吗？
相似三角形的性质
相 似 三 角 形
对应高的比 对应中线的比 对应角平分线的比
都等于相似比.
填一填
1.相似三角形对应边的比为2∶3,那么
2∶ 3 相似比为_________, 对应角的角平分线 的比为______. 2∶3 2．两个相似三角形的相似比为1:4, 1:4 则对应高的比为_________, 对应角的 角平分线的比为_________. 1:4
相似比的平方 相似三角形面积的比等于______________. 相似多边形 也有同样的 结论
平行四边形ABCD与平行四边形 AB C D 相似，
已知AB＝5，对应边 AB ＝6，平行四边形 ABCD的面积为10，求平行四边形 AB C D 的面积.
拓展训练
1、已知两个等边三角形的边长之比为 2 ：3，且它们的面积之和为26cm2，则 较小的等边三角形的面积为多少？
4.7 相似三角形的性质
课前复习:
（1）什么叫相似三角形？
对应角相等、对应边成比例 的三角形,叫做相似三角形. （2）如何判定两个三角形相似？
①两个角对应相等； ②两边对应成比例，且夹角相等； ③三边对应成比例.
课前复习:
（3）相似三角形有何性质？
A A/
B
C
B/
C/
①相似三角形的对应角_____________
1 AD BC 2 k2 1 AD BC 2
S ABC
A
B
D
C
∴ S ABC
S ABC
A'
B'
D'
C'
相似三角形的性质 相 似 三 角 形
对应高的比 对应中线的比
都等于相似比 . 对应角平分线的比
周长的比
面积的比等于相似比的平方
课堂训练
1.如果两个三角形相似,相似比为3∶5,则 3∶ 5 对应角的角平分线的比等于______. 2.相似三角形对应边的比为2:5, 2:5 那么相似比为_______, 2:5 对应角的角平分线的比为______, 2:5 周长的比为_________, 4:25 面积的比为_________.
A
C D B´
A´ D´ C´
课堂训练
1：已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是 △ABC和 △DEF的角平分线，BC＝6cm,EF＝ 4cm,BG＝4.8cm.求EH的长。 A 解：∵ △ABC∽△DEF
G
∴ BC∶EF＝BG∶EH
6∶4＝4.8∶EH EH＝3.2(cm) 答：EH的长为3.2cm。
1 3．两个相似三角形对应中线的比为 ， 4 1 1 4 则相似比为______, . 4 对应高的比为______
例：已知△ABC∽ △A´B ´C ´，BD和B ´D ´分 别是△ABC和△A´B´C´中线，且AB＝10，A´B´ ＝2，BD＝6。求B´D´的长。 B 解：∵ △ABC∽△A´B´C´ AB BD ∴ A´B´＝ B´ D ´ 10 ＝ 6 B´D´ 2 B´D´＝ 1.2 答：B´D´的长为1.2。