母函数
母函数（生成函数）
母函数（⽣成函数）介绍母函数是组合数学中相当重要的⼀个知识点，可以⽤来解决⼀些排列组合问题，还有所有的常系数线性齐次递推问题。
如果系数不是常数，需要根据具体情况进⾏处理。
具体的内容可以看组合数学相关书籍或者，由于⼤佬总是想当然地把别⼈当成⼤佬，⼀些内容对（像我这种）蒟蒻来说不是很友好，在这⾥讲⼀下母函数的基础。
（研究母函数时，钦定|x|<1）,这样，由等⽐数列求和公式有：11−x=∑∞i=0x i=1+x+ (x)11−kx=∑∞i=0k i x i=1+kx+...+k∞x∞1.普通型母函数。
假设有⼀个数列a,那么它的母函数其实就是⼀个关于x的多项式，x n的系数为a n，对于已知通项的数列，其母函数可以直接写出来。
⽽对于未知的数列，主要分为两类：递推型和组合型。
递推型就是利⽤错位相消，举个栗⼦：a n=3a n−1+10a n−2,a0=1,a1=2移项，得a n−3a n−1−10a n−2=0，设a n的母函数为G(x)G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3...−3xG(x)=−3a0x+(−3)a1x2+(−3)a2x3...−10x2G(x)=−10a0x2+(−10)a1x3三⾏相加，可以发现等式右侧除了第⼀⾏的第1,2项和第⼆⾏的第1项外全消掉了。
所以我们可以得到(1−3x−10x2)G(x)=a0+a1x−3a0x=1−x，即G(x)=1−x1−3x−10x2，⽣成函数就求出来了，那如果我们还要求an的通项呢？对于这种东西，我们可以把他化成k1x−A+k2x−B这种形式，其中A和B由分母的因式分解唯⼀确定，然后k1,k2可由待定系数法解得。
然后对于kx−A,总可以化成k′∗11−Nx，就是k′∑∞i=0N i x i，找出x k的系数就是a n，如果母函数拆开成多个该类分式的话各部分相加就好。
具体计算就不算了。
PS:⼀部分⾮齐次线性递推其实也可以这样解，⽐如a n−3a n−1−10a n−2=f(n)，按照上述⽅法错项后会剩下⼀个等⽐数列和前⼏项余项。
母函数与指数型母函数
比较等式两端的常数项，可以得到恒等式：
C(m n, m) C (n, 0)C (m, 0) C (n,1)C (m,1) C(n, m)C(m, m).
又如在等式 (1 x)n C(n,0) C(n,1)x C(n, n)xn
注意到，出现1，5有两种选法，出现2，4也有两 种选法，而出现3，3只有一种选法，按加法法则， 共有2+2+1=5种不同选法。
或者，第一个骰子除了6以外都可选，有5种选法， 一旦第一个选定，第二个骰子就只有一种可能的选 法，按乘法法则有5×1=5种。
但碰到用三个或四个骰子掷出n点，上述两方法就 不胜其烦了。
a1 a3 a5 a7 0, a0 1, a2 C(8, 2) 28,
a4 C(8, 4) 70, a6 C(8, 6) 28, a8 1. 因此序列a1,a2,…,a8对应的母函数为：
A( x) 1 28x2 70x4 28x6 x8 .
类似可得女同志的允许组合数对应的母函数为
1: b0 a0 x: b1 a0 a1 x2: b2 a0 a1 a2
__+_)___x_k:_b_k _a_0 __a1__a_2 ____ak________
B( x) a0 /(1 x) a1 x /(1 x) a2 x2 /(1 x)
[a0 a1 x a2 x2 ] /(1 x) A( x) /(1 x).
中令x=1 可得 C(n, 0) C(n,1) C(n, 2) C(n, n) 2n.
两端对x求导可得：
n(1 x)n1 C(n,1) 2C(n,2)x nC(n,n)xn1,
3.2母函数及其性质2014
8
4
例1
变形： |x|+|y|+|z|+ w = n+1 (w≥1) 的整数解的个数也为Cn 在这里当|x|=0时x=0只有一种取值，当 |x|>0时，x有两个取值。 按照 |x|,|y|,|z|中0的个数来进行分类: （ 1 ）没有一个等于0 该类整数解的个数＝C(3,0)23C(n,3)
9
例1
11
例1
设|x|+|y|+|z|+ w = n (w≥0)的整数 解的个数为Cn
求数列 Cn的母函数：
考虑 x 的取法： |x|=0，x=0，只有一种取法； |x|=t ≥1 ， x= ± t，有两种取法； 可用幂级数（1＋2x+2x2+…）来表示
12
6
例1
设|x|+|y|+|z|+ w = n (w≥0)的整数 解的个数为Cn
⑤性质 5 若 bk kak ，则
B( x ) xA( x )
36
18
三、母函数的性质
设数列{ak}和{bk} 对应的母函数为A(x),B(x)
⑥性质 6 若
bk ak (k 1)，则
1 x B( x ) A( x )dx x 0
37
三、母函数的性质
设数列{ak}和{bk} 对应的母函数为A(x),B(x)
14
7
例1
求数列 Cn的母函数g(x)：
g( x ) (1 x )3 (1 x )4 4 k 1 k (1 3 x 3 x x ) x k k 0 3 k k 2 3 (1 3 x 3 x x ) x 3 k 0
母函数详解——精选推荐
母函数详解在数学中，某个序列的母函数(Generating function，⼜称⽣成函数)是⼀种形式幂级数，其每⼀项的系数可以提供关于这个序列的信息。
使⽤母函数解决问题的⽅法称为母函数⽅法。
母函数———把组合问题的加法法则和幂级数的的乘幂的相加对应起来我们从经典的砝码的例⼦讲起题⽬：有1g 2g 3g 4g的砝码各⼀枚，能称出多少种重量？每种重量的可能组合砝码是什么穷举的话，很容易得出结果，单数时间复杂的度为n的四次⽅，较⼤，不能采取所以，我么可以采⽤⼀个类似离散数学的逻辑式⼦表⽰前两种砝码组合产⽣的情况这⾥ ||代表或 &&代表与（使⽤1g||不使⽤1g）&&（使⽤2g||不适⽤2g）=使⽤1g&&使⽤2g||不使⽤1g&&使⽤2g||使⽤1g&&不使⽤2g||不使⽤1g&&不使⽤2g思考：⼤家可以发现这个表达式和⼀种表达式很像，没错，如果把“||”看成加法，“&&”看成乘法，和多项式的乘法⼀模⼀样。
那么我们直觉的想到，有没有可能⽤多项式乘法来表⽰组合的情况呢？我们再来看题⽬，题⽬需要的是⼏种砝码组合后的重量，是⼀个加法关系，但是在上式中“&&”是⼀种类似于乘法的运算关系，这怎么办呢？有没有什么这样⼀种运算关系，以乘法的形式运算，但是结果表现出类似于加法的关系呢？正好有⼀个，那就是幂运算。
Xm 乘上Xn结果是Xm+n，他完美的符合了我们的要求。
那么以次数表⽰砝码的质量，就可以以多项式的形式表⽰砝码组合的所有⽅案。
还是以前俩个砝码为例说明。
表⽰1g砝码的两种多项式就是（x^0+x^1），表⽰2g砝码的两种多项式就是（x^0+x^2)，x的0次⽅表⽰没有使⽤该砝码，当然x的0次⽅等于1，所以写成1也是对的。
注意，砝码的重量是⽤次数表⽰的，⽽不是⽤下标表⽰的 （x^0+x^1)*(x^0+x^2) =x^0*x^0+x^1*x^1+x^0*x^1+x^1*x^2 =x^0+x^1+x^2+x^3 结果很显然，有四个⽅案；0g 1g 2g 3g 再试试四个砝码加⼀起的结果 ⼀个1g 2g 3g 4g （x^0+x^1）* （x^0+x^2） * （x^0+x^3）* （x^0+x^4） =x^0 + x^1 + x^2 + 2x^3 + 2x^4 + 2x^5 + 2x^6 + 2x^7 + x^8+ x^9 + x^10 结果就是0g 1g 2g 2个3g 2个4g 2个5g 2个6g 2个7g ⼀个8g ⼀个9g ⼀个10g ⾄此也就得出了答案。
【工程数学课件】4.3 母函数
或取两次，L ，或取r次，L ，是用如下形式表示：
1 x x2 L xr +L
2!
r!
例5 证明从n个不同的物体中允许重复地选取r个物体 的排列数为nr。
解：设ar为所求的排列数，则序列(a0 ,a1,a2,L ,ar ,L )的 指数母函数为：
fe(x) 1
x
x2 2!
L
xr r!
每个物体出现偶数次的方式数。 解：设a2r为所求的方式数，则序列(a0 ,a1,L ,ar ,L )的普 通母函数为：
f
(x)
(1
x2
x4
L
)n
1
1 x2
n
r 0
n
r r
1
x2r
故有：a2r
n
r r
1
六、指数母函数在排列中的应用
与组合不同的是，某个物体在排列中不取，或取一次，
n n
x
n
1
xn
二、指数母函数
定义 fe ( x
)给 定 a0 一 a个1 1无 x! 穷a序2 x2列2! (aL0,
a1 ,L an
,xann n!
,L )，称函数
L
ai i0
xi i!
为序列(a0 ,a1,L ,an ,L )的指数母函数。
例5 容易得到序列(p(n,0), p(n,1),L , p(n, n))的指数母
x4)(142x4)L4(14 3x)
n
(1
x)n
n r 0
n
r
xr
x
r
的系数
n r
为从n个不同的物体选取r个的方法数.
(1 x x2L ) 表示某一物体可以不选，或选一次， 或选二次,…
组合数学(第二版)母函数及其应用
考虑座位号),其中,甲、乙两 班最少1张,甲班最多5张,乙班最
多6张;丙班最少2张,最多7张;丁班最少4张,最 多10张.可有多
少种不同的分配方案?
母函数及其应用
母函数及其应用
【例 2.1.5】 从n 双互相不同的鞋中取出r 只(r≤n),要求
其中没有任何两只是成对 的,共有多少种不同的取法?
母函数及其应用
(1+x)n .
【例 2.1.2】 无限数列{1,1,…,1,…}的普母函数是
母函数及其应用
说明
(1)an 的非零值可以为有限个或无限个;
(2)数列{an}与母函数一一对应,即给定数列便得知它的
母函数;反之,求得母函数则数列也随之而定;
(3)这里将母函数只看作一个形式函数,目的是利用其有
关运算性质完成计数问题, 故不考虑“收敛问题”,即始终认
红红、黄黄、蓝蓝、红黄、黄红、红蓝、蓝红、黄蓝、 蓝
黄.其它情形依此类推.
母函数及其应用
这里需要说明的是:
(1)在例2.1.3中,利用普母函数可以将组合的每一种情况
都枚举出来,但是对排列问 题,指母函数却做不到,只能对排列
进行分类枚举.正如例2.3.1这样,项ryb 的系数6说 明红、蓝、
黄球各取一个时,有6种排列方案,但每一种方案具体是什么,
(每个数字可重复出现), 要求其中3,7出现的次数为偶数,1,5,9
出现的次数不加限制.
母函数及其应用
【例 2.3.4】 把上例的条件改为要求1、3、7出现的次数
一样多,5和9出现的次数不 加限制.求这样的n 位数的个数.
解 设满足条件的数有bn 个,与例2.1.6的分配问题类似,即
将n 个不同的球放入标号 为1、3、5、7、9的5个盒子,其中
母函数
比较等式两端的常数项，即得公式(2-1-3)
又如等式： n 2 (1 x ) C ( n, 0) C (n,1) x C (n, 2) x
C ( n, n) x n
令x=1 可得
C (n,0) C (n,1) C (n,2) C (n, n) 2 (2 - 1 - 4)
我们也可以从另一角度来看，要使两个色 子掷出6点，第一个色子除了6以外的都 可选，这有5种选法，一旦第一个选定， 第二个色子就只有一种可能的选法 按乘法法则有5*1=5种
但碰到用三个或四个色子掷出n点，上述两方法 就不胜其烦了。——这就需要引进新的方法。设 想把色子的出现的点数1,2,…6和t到t 6 对应起 来，则第一个色子可能出现的点数就与
[C(n,0) C(n,1)x C(n, n)x n ] [C(m,0) C(m,1)x C(m,m)x ] C(m n,0) C(m n,1)x
m
C(m n,m n)x m n
比较等号两端项对应系数，可得一等式
C (m n, r ) C (m,0)C (n, r ) C (m,1)C (n, r 1) C (m, r )C (n,0)
2 6
• 母函数的思想很简单—就是把离散数列 和幂级数一一对应起来，把离散数列间 的相互结合关系对应成为幂级数间的运 算关系，最后由幂级数形式来确定离散 数列的构造. 看下面的例子.
(1 a1 x)(1 a 2 x) (1 anx) 1 (a1 a 2 an) x (a1a 2 a1a 3 an 1an) x a1a 2 anx n (2 - 1 - 1)
07母函数介绍
解：由定义4.2，有
特别地：若 =1，则序列(1,1,…,1,…)的指数母函数为ex 。 例8、求序列(1, 1×4, 1×4×7,…, 1×4×7×…×(3n+1),…)的指数母函数。
例
题
§4.1 指数母函数例8
§4.1 母函数的基本概念
4.1.2 指数母函数
解：由定义4.2和二项式定理，有
x x2 xn f e ( x ) 1 (1 4) (1 4 7) ... 1 4 7 ... (3 n 1) ... n! 1! 2! 1 4 7 ... (3 n 1) n x n! n0 4 7 ... 3 n 1 3 3 3n x n 1 3 n! n 1 4 4 1 ... 4 n 1 3 3 3 1 ( 3 x )n n! n 1 4 1 3 ( 3 x ) n n n 1
第4章 母函数
回顾前一章——容斥原理：
基本原理 重集的r-组合 错排、有限制排列
本章重点介绍母函数（普通母函数、指数母 函数）的基本概念及其在排列组合中的应用 ： 母函数的基本概念 母函数的基本运算 母函数在排列、组合中的应用 整数拆分 母函数在组合恒等式中的应用
• • • • •
§4.1 普通母函数概念
(1-4x)-1/2 是 序 列 (C(0,0), C(2,1), C(4,2), … , C(2n,n),…)的普通母函数。
§4.1 普通母函数例3 证明：由牛顿二项式定理有 §4.1 母函数的基本概念 (1 4 x )1 2 1 1 2 ( 4 x )k k k 1 1 2 1 2 1 1 2 2 ... 1 2 k 1 1+ ( 4 x )k k! k 1 4 k 1 3 ... (2k 1) k x 1+ 2k k ! k 1 2 k k ! 1 3 ... (2k 1) xk 1 k !k ! k 1 2 4 ... (2k ) 1 3 ... (2k 1) k 1 x k !k ! k 1 (2k )! k 1 x 1 2k x k k k 1 k ! k ! k 1 0 2 x 4 x 2 ... 2k x k ... 0 1 2 k 由定义知，(1-4x)-1/2是序列(C(0,0), C(2,1), C(4,2), … , C(2n,n),…) 的普通母函数。
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母函数（生成函数）（发生函数）（发生函数）英文：generating function我们已知道了解决组合的计数问题的几种方法，从基本的加法原理和乘法原理开始，导出了排列与组合的各种公式，证明了容斥原理，并且已用它来解决某些计数问题。
这里将论证一种方法是属于Eular 的生成函数法。
（对工程师来说，数列的母函数通称为z-变换）§1 母函数利用生成函数可以说是研究计数问题的一个最主要的一般方法：其基本思想很简单：为了获得一个数列{} 210,,0:a a a k a k=≥的知识，我们用一个母函数+++=∑=≥22100)(x a x a a xa x g kk k这里x k 是指数函数来整体地表示这个数列，称g （x ）是数列{}0:kx a k 的普通母函数，这样原数列就转记为成函数。
假如能求得这个函数，则不仅原则上已确定了原数列，还可以通过对函数的运算和分析得到这个数列的许多性质。
这里如果把x k 提成)(x k μ亦称普通母函数指数函数通常选来使得没有两个不同的序列令产生同一个母函数，故序列的母函数仅只是序列的另一种表示。
如1，cos x ，cos2x ，…为指数函数，序列{}2,,1ωω的母函数为+++++=rx x x x F rcos 2cos cos1)(2ωωω另一方面，用，1，1+x ，1-x ，1+x 2，1-x 2，…，1+x r ，1-x r …作为指数函数，序列（3，2，6，0，0）的普通母函数是3+2（1+x ）+6（1-x ）=11-4x ，而序列（1，3，7，6，0）和（1，2，6，1，1）会产生同一母函数即，1+3（1+x ）+7（1-x ）=11-4x ，xx x x x 411)1()1()1(6)1(2122-=-+++-+++故函数 ,1,1,1,1,122x x x x -+-+不应做为指数函数，)(x r μ的最近常用的是r x ，以下我们仅讨论这种情况的指数函数。
结论是（ r a a ,,0）可能无限，故应注意，)(x F 的收敛性。
例1，设三种物，a ，b ，c ，现从中 0，1，2，3的不同取法有33231303,,,C C C C 。
已知多项式)1)(1)(1(cx bx ax +++即为a 、b 、c 不同取法的母函数，显然可知。
只有一种方法)1(03C =从三个中一个也不取，有三种方法)3(13=C ，从三中取一把元扩广到n ，有nn n rr n n n n nxC x C x C x C C x ++++++=+ 221)1(为0n C ，nn m C C 1的母函数是上式1=x 得nk n nk C 2=∑=是1-=x 得0)1()1(210=-++-+-+-nn nrn rn n n C C C C C 。
得 ++=++312n n n n C C C C例2，可用母函数证明恒等式nnnn r n n n C C C C C 222212)()()()(=+++++证明：∵左边为n n x x )1()1(1-++的常数项之和 又∵nnnnnnxx x x x xx --+=⎪⎭⎫⎝⎛++=++21)1(1)1()1()1(而n n x x 2)1(+-中常数项系数为n n C 2∴左=右。
例3，在10095)1(x x ++中项23x 的系数是什么？解：因为10095)1(x x ++的展式中，项23x 只能有一种方式生成：23995xx x x =，且有2100C 种方式取9x 之后，有198C 种取5x ，故23x 的系数是9797299110019821009797485100C C C C C C ⋅⋅==⋅，余下97项中取1即0x ： 9797C解4：证明序列00C ，12C ，24C ，36C ，…r r C 2…的母函数为21)41(--x证：∵rr nxr r n n n x !1()1(1)1(1+--+=+∑= ，n 为任意实数。
这里求和上限，当n 是一个正整数时是n ，否则为∞。
由此定理有：[]rr r r rr rr rr r rrr rr r r r xC x r r r xr r r r xr r r r xr r xr r x r r x 21111111211!!)!2(1!!))12(5,3,1)(26,4,2(1!!))12(5,3,1)(!2(1!)12(5,3,121!212232141)4(!121121211)41(∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=-+=+=-+=-⋅+=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-作为这一定理的一个应用，今对一给定的t ，计算和式it it i i ti C C --=∑2220的值解：∵i iC 2是21)41(--x 中项i x 的系数而it i t C --22是21)41(--x 中项i t x -的系数故it it i i ti C C --=∑220是2121)41()41(---⋅-x x 中项t x 的系数，因为21)41(--x+++++=-=---tx x x x x )4()4(41)41()41(2121故有tit i t ii ti C C 42220=∑--=。
当允许重复选取时，或等价地，当同一类的物可能多于一个时，上面结果可直接推广，如多项式423222222)()()()(1)1)(1)(1(xbc a x c a b a abc xa ac bc ab xc b a cx bx x a ax +++++++++++=++++是三物体a ，b ，c 的普通母函数，这里a 可以在两次之内选取。
例5：有p 个类的每一类中给两个物，在另外的q 个类的每一类中给出一个物，问有多少种方法选取r 个物。
p ：0，1，2， q ：0，1 解：此时组合的计数的普通母函数是qpx x x )1()1(2+++rx在其中的系数是ir iq p ip r i CC 2]2/[0--+=∑这是因为在形如21x x ++的p 个因子中，可以选出i 个2x ，而在其余i p -个形如21xx ++的因子和q 个形如x +1的因子中，可以选出i r 2-个x 。
例6，从n 个物中不限重复地选取r 个物的组合的计数普通母函数是rrr n r rr rr nnnkxC xr r n n n x r r n n n x x xx x 10112!)1()1(1)(!)1()1)((1)1(11)1(-+∞=∞=∞=-∑=-++∑+=-+-----∑+=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++++这表明有r n C 11-+种方法从n 个物中不限重复地选取r 物，这在组合中已证完。
例7，从n 个物中不限重复地选取r 个（r ≥n ），每一选取至少有一个，这样的组合的计数普通母函数是in ii n i iii n i n nn nn nkxC x C xx x x x x x x +-+∞=-+∞=-∑∑==-=⎪⎭⎫⎝⎛-=++++10102)1(11)(令rn r r nr xC i n r --∞=∑+=1例8，把r 个相同的球放入n 个不同的盒子中，且无一盒子含少个q 个球，也无一盒含多于q +j -1个球？证明：这样的分配方法个数是njxx ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11的展式中qn r x -的系数。
解：因为某个盒子可以装球的方法的计数普通母函数是11-+++++j q q q xxx故所求放法的母函数是njqn nj nqn j q q qxx x xx xx xx ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+++=+++--++11)1()(111作为这一结果的应用，如，今有四人，每人掷一骰子一次，求四人所得点数总和为17的个数。
这里.6,1,4,17====δq n r 计算母函数为46411⎪⎪⎭⎫⎝⎛--x x x,因为2418126464641)1(xxxx x +-+-=- ①13411713336225143241!3654!254!141)1(xxxxx C x C x C x x x x qn r ===++++=+⨯⨯+⨯++=-⨯---故446)1()1(---x x 中13x 的系数是!146!7106544!1316654⋅+⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=104!146!310984!3161514=⨯+⨯⨯⋅-⨯⨯指数母函数(exponential genenating functios)现讨论排列的母函数，然而把前面结果推广到排列，就存在一些困难，因为在整数城中两个数相乘是可交换的，即ab=ba ，故不能用普通的代数来完全处理排列问题。
设a 、b 两球，作为排列的母函数 我们想有的式子是2)()(1xba ab x b a ++++然而这式子等价于2)2()(1x ab x b a +++其中两个不同的排列ab ，ba 不被识别了。
故不妥！这里，我们不准备对排列情况引入一个新的不可换代数，而只限于讨论排列的计数母函数这计数母函数，仍可借助于实数域上普通的代数而得到处理。
由组合的计数母函数的概念的直接推广指出n 个不同事物的排列计数母函数应如下：nn h rr n n n n xP x P x P x P P x F ++++++= 221)(=nrxn x r n n x n n x n n !)!(!)!2(!)!1(!12++-++-+-+然而上式没有简单了“和式”，故为用F(x)来处理，会使母函数的目的落空组，但由二项式展式：nn h rr n n n nxC x C x C x C x ++++++=+ 211)1(=nnnrrnrrhnn xn P x r P x r P x P x P !!!!2!11221++++++++可见，定义另一类的母函数（即指数母函数）的关键： 设（a 0,a 1,……a r ,…）是序列。
函数++++=)(!)(!1)(!0)(1100x r a x a x a x F r r μμμ，叫作以 ),(),(),(10x x x r μμμ作为指标函数时序列)(0 r a a 的指数母函数，这样一来n x )1(+是r n P 以x 为方作为指标函数的指母函数。
例9， 由例4中结果21)41(--x 是系列（ r r P P P 21200,,,）的指母函数。
序列（1，1×3，1×3×5，…，1×3×5，…x （2r+1），…）的指母函数为23)21(--x序列（1，1，1，…，1）的指母函数为x e*1 显然,一个物的无重复排列的计数指数母函数是1+x(0,1两种).*2 当排列中定允许重复时，推广是直接的，个个相同物的全排列的计数指母函数为!p xp,因为只有一种方法这样做,故p 个相同物的0—排列,1—排列…，2—排列，…，P —排列的计数母函数为PxP x x !1!21!1112++++同样，当P 物属于一类，q 物体属于另一类时，这P+q 物的全排列的计数母函数为!!!!q p xq xp xqp qp+=⋅同这样的排列的个数是!!)!(q p q p +的已知结果一致。