并矢与张量
电动力学常用数学公式
垐,,AA AAA A A A===（单位矢量）在坐标系中 31i ii A Ae ==∑ 直角系 z yz A A i Aj A k =++方向余弦：cos ,cos cos cos cos x y z Ax Ay Az Ae e e A Aβγαβγ===++321(A A =+二．矢量运算加法： A B B A +=+ 交换律 ()()A B C A B C ++=++ 结合律 31()iiii A B A B e =+=+∑ 满足平行四边形法则标量积：31cos i ii A B A BAB θ=⋅==∑A B B A ⋅=⋅ 交换律()A B C A B A C ⋅+=⋅+⋅ 分配律123123123sin n e e e A B AB e A A A B B B θ⨯== ()A B C A B A C ⨯+=⨯+⨯ 分配律A B B A ⨯=-⨯ 不满足交换律 123123123()()()A A A A B C B C A C A B B B B C C C ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯=3乘2，点2乘3）()()A B C A B C ⨯⨯≠⨯⨯三．矢量微分ˆˆdA dA dAA A dt dt dt=+ ()A B dB dAA B dt dt dt ⋅=⋅+⋅ ()A B dB dAA B dt dt dt⨯=⨯+⨯ 四．并矢与张量并矢： AB (一般 AB BA ≠)，有九个分量。
若某个量有九个分量，它被称为张量33,1,i i ijij i ji j i jT AB A B e e T e e====∑∑ i j e e 为单位并矢，矢量与张量的矩阵表示：123,i iA A Ae A A A ⎛ == ⎝∑1211223(,B AB A A A B A B A B ⎛⎫==++T AB = T T T T ⎛ = ⎝单位张量：31i j i e e ==∑0100 = ⎝,i j()()()()AB C A B C A C B AC BC B A C BAB C A B CA⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅()()()C AB C A B B C A B A C BA C ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅与矢量叉乘：()()AB C A B C C AB C A B ⎧⨯=⨯⎪⎨⨯=⨯⎪⎩并矢并矢两并矢点乘：()()()AB CD A B C D A B C AD CD AB ⋅=⋅=⋅≠⋅ (并矢) 两并矢二次点乘： ()():AB CD B C A D =⋅⋅ 标量与单位张量点乘：C C C ⋅=⋅=AB AB AB ⋅=⋅=:AB A B =⋅15-20分钟）)()A B A B +⨯- ()()2B A =⨯ ()()M b a c a b c =⋅-⋅与矢量C 垂直。
张量是
（张量是n维空间，有r n个分量的一种量，其中每个分量都是坐标的函数，而在坐标变换时，这些分量也依照某些规则做线性变换。
r标为该张量的秩。
第零阶（0r）张量为标=量，第一阶（1=r）张量为向量，第二阶（2r）则为矩阵。
由于变换方式的不同，张量=分成协变张量（Covariant Tensor，指标在下者），逆变张量（Contra variant Tensor，指标在上者），混合张量（指标在上和指标在下两者都有）三类。
在数学里，张量是一种几何实体，或者说广义上的“数量”。
张量概念包括标量、向量和线性算子。
张量可以用坐标系统来表达，记作标量的数组，但是它定义为“不依赖于参照系选择的”。
注意“张量”一词通常是用作张量场的简写，而张量场是对流形的每一点给定一个张量值。
张量可以用分量的多维数组来表示，我们都生活在形形色色的空间中。
数学上所说的空间就是点的集合，如果我们给这个点集赋予特定的空间结构（引入不同的确定关系）。
但世界上不存在毫无任何空间结构的“裸空间”。
如果我们赋予空间以线性结构（可加性与数乘性），则这个空间就叫做线性空间。
一、线性空间只要在点集中定义了加法和数乘两种代数运算，则称之为赋予空间以线性结构，这样的点集（空间）就叫做数域P上的线性空间。
其中用于数乘的数域P是指包含0和1的数集，并且数集对加、减、乘、除（0不作除数）运算是封闭的。
此外，实数域R上的线性空间叫做实线性空间，复数域C上的线性空间叫做复线性空间。
二、广义向量空间线性空间的元素是空间点，任一元素都可以用一组有序的数（x1，x2，…）（或曰一组空间坐标）来表示。
如果我们把空间点的一组坐标看作一种广义的向量，则线性空间又可视为广义向量的集合，称之为广义向量空间。
换句话说，线性空间的元素是广义的向量。
广义向量的维数可以有限，也可以无限。
所以线性空间的维数可以是有限的，也可以是无限的。
如果一组向量线性无关，则其中任何一个向量都无法用其余向量线性表出。
张量基础知识
张量的提出：
晶体具有各向异性，从而使得晶体的物理性质在不同方 向上也存在着差异。晶体的各向异性是一种很普遍的特性， 特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效 应等物理现象都完全是因为晶体的各向异性才能表现出来。 于是，人们实践中探索出了一套描述各向异性性质的数学方 法，这种方法就是张量方法。
小结： 所谓张量是一个物理量或几何量，他由在某参考坐
标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时， 这些分量按一定的变换法则变换。
张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于特定坐 标系的表达物理定律的方法。张量有不同的阶和结构， 这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。标量是零 阶张量；矢量是一阶张量；应力张量是二阶张量；还 有三阶、四阶等高阶张量。
Aijxiyj A11x1y1A12x1y2A13x1y3 A21x2y1A22x2y2A23x2y3 A31x3y1A32x3y2A33x3y3
1 求和约定仅对字母指标有效
2 同一项内二对哑标应使用不同指标，如
aix jixj
3 i 1
i3 1aix jixj
3 哑指标可以换用不同的字母指标
J1 11E112E213E3 J2 21E122E223E3 J3 31E132E233E3
或表示成分量形式
3
Ji ijEj （i1,2,3) j1
矩阵形式
J1 111213 E1 J2 212223 E2 J3 313233 E3
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
ijk l
ijk l i'i jj' k'k ll'
i' j'k'l'
张量物理意义
张量物理意义张量是现代物理学中非常重要的数学工具。
它是一个多维数组，具有特殊的变换属性和物理意义。
在物理学中，张量通常被用来描述物理量的旋转和变形。
张量可以抽象地被认为是一个具有特定张量积性质的多重线性函数。
简而言之，这意味着它可以以各种不同的方式组合，而不影响它的结果。
例如，在物理学中，张量可以表示物体的质量、速度、力和能量等重要物理量，这些量可以被旋转或变形，但它们的值在空间中的位置是固定的。
物理学家通常将张量分为几类，如标量、向量和张量。
标量是一个没有方向并且与位置无关的物理量，例如温度、密度和能量。
向量是一个有方向的物理量，如速度、力和磁场。
张量是一个具有多个方向和大小的物理量。
下面是一些常见的张量及其物理意义：1. 度规张量：度规张量描述了时空的几何结构，它是引力通常描述的度量。
在相对论中，度规张量的广义化被认为是描述引力场（即扭曲的时空）的最好方法。
度规张量中的项用于描述时空的距离和角度。
2. 电磁张量：电磁张量用于描述电场和磁场，它是一个反对称张量。
根据相对论的视角，电磁张量的物理意义是在不同的参考系中变换时，它们将表现出新的电场和磁场。
3. 动量张量：动量张量用于描述质点的动量，它是一个对称张量。
在相对论下，动量张量被定义为第一能动张量的二次形式。
动量张量是描述粒子质量和速度之间的关系的重要工具。
4. 应力张量：应力张量用于描述物体的应变和应力，它是一个对称张量。
在固体力学中，应力张量通常被用来计算物体在不同环境中的破裂和失效条件。
5. 能张量：能张量用于描述粒子的内能，包括质量和能量密度，它是一个对称张量。
能张量可以被用来计算物体内部的压力和密度变化。
总而言之，张量在物理学中扮演着重要的角色，它们不仅仅是简单的数值，还可以描述物理量的变换和旋转。
在今天的各种科学应用中，张量无疑扮演着重要的角色，从物质和能量的宏观和微观描述到计算机图像处理和机器学习技术中的使用。
张量分析提纲及部分习题答案
y
对静止的连续介质，有
ζ n fd 0 ， ζd fd 0 ，
A
ζ f 0。
（21） 证明应力是一个张量； 记 ij ：表示在给定基 g i 下，在面 g j 上，单位面积受力 F j 在 g i 方向上的分量为
对斜圆锥面上任一点 （图中黑点处） ， 不难由相似三角形得到，
z z R cos C i R sin j zk ，进而可得， H H r Rz sin zR cos r R cos C R g i j， gz i sin j k ， H H z H H r
dx g dx I g dx II 1 4 x I 2 dx I 6 x I x II 2 dx II Pdx I Q dx II 11 12 1 1 I 。 2 4 dxII g 21dx I g 22 dx II 6 x I x II dx I 9 x II dx II P2 dx I Q2 dx II
Pi Qi 时，坐标 xI , xII 才可能存在。即向量场 P, Q 无旋时，其在两点间 x II x I Pi Qi 的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。本例中， II I ，故相应的“协 x x
当 变坐标”不存在。 （正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。 ） （9） 有点类似曲面第一基本型（1.3.12） 。 （10） Lame 常数定义（1.3.13）在非正交系中也成立，但此时（1.3.12a）不成立。
1.9-1.13：略； 1.14： 注意，所谓斜圆锥是指， O 点沿 z 方向在大圆平面上的投影 M 在大圆的直径上。
(完整版)常用矢量公式
第一公式
第二公式
一般规则
其他规则
一般变换规则证明：
1.
证： 任取常矢量 点乘上式两端
左 用
用混合积公式
2.
证： 左
三． 算符常用公式
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
证：
6． 微分运算
去掉角标。
7．
利用
微分运算
用 代替 ， 代替 ， 代替
矢量运算
同样
§6. 有关矢量场的一些定理
一、关于散度旋度的四个定理
证：⑴
⑵
§2. 场的概念和标量场的梯度
一、场的概念：
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。
描述场用一个空间中和时间坐标的函数：
当 与 无关时称为稳恒场（稳定场、静场），有关则称为变化场（时变场）。当已知场函数则可以了解场的各种性质：如 随时空的变化关系（梯、散、旋度）。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数（以后主要讨论的问题）。
为了反映空间某一点发散与会聚的情况，可以将 面缩小到体元 ，体元仅包围一个点，此时，高斯定理可以改为 ，我们
用单位体积的通量来描述，则有 ，取极限 称为矢量 的散度。（>0,有源；=0,无源，<0,负源）。有时表示成 （divergence）。若空间各点处处 ，则称 为无源场。
例题：
1. 求 ，其中
1.标量场的梯度必为无旋场， 即
2.矢量场的旋度必为无散场， 即
3.无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。
矢量张量公式及推导
⽮量张量公式及推导⽮量及张量1. 协变基⽮量：321g g g a 321a a a ++=，i a 称为逆变基分量，i g 是协变基⽮量。
2. 逆变基⽮量：321g g g a 321a a a ++=，i a 称为协变基分量，ig 是逆变基⽮量。
3. 爱因斯坦求和约定：省略求和符号，ii g g a i i a a == 4. 逆变基于协变基的关系：ji δ=?j i g g5. 标积：i i j i j i b a b a =?=?g g b a6. 坐标转换系数i i 'β：i i i i i ii i i i i xx x x x x g g r r g '''''β=??==??=7. 转换系数的性质：i j k j i k δββ=''，因为''''m l m j i l j i i j g g g g ?=?=ββδ8. 张量：分量满⾜坐标转换关系的量，⽐如⽮量''''''i i i i i i k k i i v v v ββ=?=?=g g g v9. 置换张量：ijk k j i ijk e g ==][g g g ε，其中][321g g g =g ，同理有ijkk j i ijk e g1][==g g g ε由⾏列式的性质及线性][][]['''''''''n m l nk m j l i n n k m m j l l i k j i g g g g g g g g g ββββββ==，因此ijk ε是张量分量。
定义置换张量：k j i ijk k j i ijk g g g g g g εεε==10. 基的叉积：k l ijl ijk k j i g g g g g ?==??εε，所以l ijl j i g g g ε=?，l ijlj i g g g ε=?11. 叉积：k ijk j i j i j i b a b a g g g b a ε=?=?，或写成实体形式ε:ab ab :εb a ==?，双标量积⽤前前后后规则完成。
张量与并矢(即向量的直积)
。
进阶定义
设 是域 上的一个线性空间，则下述定义是等价的。
定义1. 对于任意 量。更加推广，称
，称它们的张量积
为 和 的并矢积并将其简记为
中的元素为 上的并矢张量，或者二阶反变张量。
定义2. 如果有 上的一个线性空间 以及双线性映射
满足
(1)
,
以及
使得
，称为并矢张
(2) 当
； 线性无关时，
是 中的线性无关向量组，
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(1) 任意向量 和 并置摆放形成一个并矢积 ；
(2) 对于任意的
作பைடு நூலகம்
；
和任意的
，规定
，并把上述结果不加区分地记
(3) 称有限个并矢积的形式和为一个并矢张量；
(4) 对任意正整数 ，如果
是，
的充分必要条件是
线性无关，则
或
；
是线性无关向量组——特别
(5) 对任意的 、 、
，成立着分配律
。
注： 所谓形式和，就是说我们既不刻意追究求和的实际含义，也关心求和的结果在哪个集合中，而只是知道这种求和满足交换 律和结合律。
并矢张量与向量的缩并
既然上述定义等价，我们就把 上所有的并矢张量所构成线性空间记为
。在此基础上，如果 是一个内积空间并
把
的内积记为
（当
时，约定
对 是共轭线性的），则定义并矢张量 和矢量
的缩并
和
都是 中的向量，满足下述运算律：
(6) 对于任意的 从而可以把上述两个结果分别记为
以及 和
， 。在上述公式中，
；
其中，
是二维的单位并矢张量。
量子力学
设 是量子力学中所有的角动量本征态所张成的希尔伯特空间（囊括了所有可能的总角动量量子数 ， ， ， ，
矢量、并矢和张量
(
)
)
(
并矢 并矢
1）两并矢的一次点乘 ： AB ⋅ CD = A B ⋅ C D = A B ⋅ C AD ≠ CD ⋅ AB
( )
(
)
)
2）两并矢的二次点乘 AB : CD = B ⋅ C A ⋅ D
(
)(
)
3）单位张量与矢量、张量的点乘
反向定律： A × B
逆向交换定律： A ⋅ ( B × C ) = B ⋅ (C × A) = C ⋅ ( A × B) 逆向变换定律： A × ( B × C) = B ⋅ (C ⋅ A) − C ⋅ ( A ⋅ B) 4、矢量微分
ˆ dA ˆ dA dA =A +A dt dt dt d ( A ⋅ B) dB dA = A⋅ + ⋅B dt dt dt
i, j
( (
(
) )
)
(
)
C ⋅ AB = C ⋅ A B = B C ⋅ A = B A ⋅ C = BA ⋅ C
(
)
(
)
(
)
电动力学讲稿●附录
AB × C = C × AB =
(
A B ×C C×A B
电动力学讲稿●附录
矢量、并矢和张量的计算
一、矢量 1、矢量表示形式
3 ˆ x + Ay e ˆ y + Az e ˆ z = ∑ Ai e ˆi A = Ax e i =1 3 ˆx + By e ˆ y + Bz e ˆ z = ∑i , j =1
矢量和张量
称它为拉普拉斯算符(有些作者以符号△表示，特 别在早期德国文献中)。与梯度、散度和旋度一样， 拉普拉斯算符只具有分配律性质。
矢量场的拉普拉斯算符
虽然上式在直角座标系下成立，但不能应用于曲线 座标系，所以把矢量场的拉普拉斯算符定义为：
就可用于曲线座标系。
二阶张量
本节将给出一些与张量和并矢量相关的一些 运算方法。这些运算在传递现象的理论中 会遇到，特别是动量传递中。
• 矢量及其大小的定义： 矢量v定义为一个具有一定大小和方向的量。 矢量的大小记作| v | 。或以非黑体的斜体字 v来标记。二个矢量v和w如果大小相同，方 向亦相同，则此二矢量相等；它们不一定 是同线的，亦不一定具有同一原点。如果v 和w的大小相同，但方向相反，则v ＝-w。
矢量的加法和减法
两个矢量的加法可以用熟知的平行四边形 法则进行运算；矢量减法运算如下：改变 一个矢量的符号，然后与另一失量相加。
定义和符号 矢量v可以用一组分量v1，v2和v3来确定。相似地， 一个二阶张量τ可以用九个分量η11， η12 ，η13 ，η21 等等来确定。为简便起见，这些分量可以写成
不要把这一排列的数组与行列式相混淆；后者 亦可作这种排列，但在此只是一组有序的数， 而行列式是这些数的某一种确定的乘积的和。 两个下标相同的元素称为对角元素，而二下标 不同的元素为非对角元素。如果η12＝η21 ，η13 ＝η31 ， η23＝η32那么η称为对称张量。张量η的 转置是对每个元素的二个下标变换后所得的一 个张量记作η T：
式中nvw是单位长度的矢量(“单位矢量”)，它与v和 w组成的平面垂直，其方向是右螺旋的前进方向(矢 量v按最短路径旋转到w)。矢量积的几何表示如图 A．1—4所示。矢量积的大小正好等于矢量v和w组 成的平行四边形面积。按矢量积定义，我们有
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2 张量的运算与分析
张量或并矢的加减和数乘与矢量运算相同。点 乘和叉乘都分为左右点乘与叉乘。相邻的矢量 乘和叉乘都分为左右点乘与叉乘。 相点乘或叉乘。点乘后张量的总阶数降二阶。 点乘后张量的总阶数降二阶。
左 (前) 点乘： 右 (后) 点乘：
2 张量的运算与分析
左右点乘不相等。点乘用矩阵式运算方便。 叉乘后张量的总阶数降一阶。 左 (前) 叉乘： 右 (后) 叉乘：
2 张量的运算与分析
叉乘用并矢式运算方便。双点乘降四阶, 即 矢量的梯度是并矢，张量的阶数升一阶
2 张量的运算与分析 与并矢点乘，并矢降一阶为矢量，即
与并矢叉乘，仍为并矢。式中第二项 A与 换位，点乘时第二项与第一项同 号，叉乘时异号。
3 张量积分定理 张量或并矢的高斯散度定理分别为
可改写为
3 张量积分定理
1 并矢与张量 因此，标量为零阶张量，矢量是一阶张 量。二阶以上的高阶张量很少用到。 注意，并矢和张量用粗黑斜体，在书写 时，并矢写成 ，张量写成 或 。 并矢是张量的特殊形式，并矢可写成张 量，但张量不一定恰好是并矢。 常用的张量有： 对称张量 , 用 表示有6个独 立分量。
1 并矢与张量
反对称张量 , 用 表示，只有3个 独立分量。 单位张量 或 矢量的梯度 是并矢
并矢与张量
许福永老师 基地班附加内容
1 并矢与张量 (Dyad and Tensor) 两矢量相并称为并矢，其并矢式为
基并矢 并矢的矩阵式为 并矢的
பைடு நூலகம்
, 故
1 并矢与张量 并矢的并矢式和矩阵式的差别在于有无 基并矢。 根据物理量在空间转动时的坐标变换性 质，可将其分为标量、矢量、张量等。 若一个物理量在空间无取向，坐标系转 动即坐标变换时，其值不变，称它为标 量。若一物理量在空间有一定的方向， 可用三个分量表示，坐标变换时，三个 分量按同一方式变换，称它为矢量，可
.6.1 并矢与张量 用一行矩阵或列矩阵表示。若一个物理量有 复杂的空间取向性质，可用9个分量表示，坐 标变换时，九个分量按同一规律变换，称它 为二阶张量，简称为张量。这由任一面上的 应力张量而得名，其它具有这种性质的物理 量也都称为张量。在三维坐标系中，n 阶张 量有 个分量。 在四维坐标系中，n 阶张量有 个分量。 在 m 维坐标系中, n 阶张量有 个分量。