第2讲有理数初步(教师版)
北师大版七年级(上)数学第二章有理数及其运算教案：有理数的加减讲义(含答案)
有理数的加减讲义1.掌握有理数加法运算法则和计算题；2.掌握有理数减法运算法则和计算题；3.掌握有理数加减混合运算的计算技巧.1．（1）加法法则①同号相加,取相同符号,并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数加减,取___________的符号,并用较大的绝对值________较小的绝对值.③一个数同0相加,仍得这个数.④_______相加结果一定得0。
（2）交换律和结合律有理数的加法同样拥有交换律和结合律(和整数得交换律和结合律一样)用字母表示为： 交换律：a+b=b+a结合律：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)2.运算要点：(1)同号相加符号不变,异号相加变减.欲问符号怎么定,绝对值大号选。
(2)在进行有理数加法运算时，一般采取：1.互为相反数的先加（抵消）；2.同号的先加；3.同分母的先加；4.能凑整数的先加;5.异分母分数相加,先通分,再计算。
3.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的________。
其中：两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数。
一不变：被减数不变。
可以表示成： a －b ＝a ＋（－b ）。
参考答案：1.（1）绝对值较大,减去,相反数3.相反数1.有理数加法【例1】用“<”号或“>”号填空：(1)若0,0>>n m ,则0________n m +；(2)若0,0<<n m ,则0________n m +；(3)若0,0<>n m ,且n m >,则0________n m +；(4)若0,0><n m ,且n m >,则0________n m +.【解析】考查有理数的加法法则。
【答案】(1) > (2) < (3) > (4)<【例2】(-25)+34+156+(-65)【解析】根据有理数加法法则和加法交换律即可算出结果。
【答案】解：(-25)+34+156+(-65)=（-25）+（-65）+（34+156）=-90+190=100练习1．不改变原式子的值，将6−(+3)−(−7)+(−2)中的减法改成加法并写成省略加号的和应是( )A ．−6−3+7−2B ．6−3−7−2C ．6−3+7−2D ．6+3−7−2【答案】C练习2．38+（－22）+（+62）+（－78）【答案】0练习3．（－8.25）+8.25+（－0.25）+（－5.75）+（－7.5）【答案】-13.5练习4.（－8）+47+18+（－27）【答案】302.有理数的减法【例3】 (－20)－(+5)－(－5)－(－12)【解析】根据减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，即可求出答案。
北师大版七年级数学上册 (有理数的加减混合运算)有理数及其运算教学课件(第2课时)
D．－1－(－3)－6－(－8)
4 －2－3＋5的读法正确的是( A )
A．负2，负3，正5的和 B．负2，减3，正5的和
C．负2，3，正5的和
D．以上都不对
（来自《典中点》）
知1－练
5 将－3－(＋6)－(－5)＋(－2)写成省略括号和加号 的和的形式，正确的是( D ) A．－3＋6－5－2 B．－3－6＋5＋2 C．－3－6－5－2 D．－3－6＋5－2
1 课堂讲解 有理数的加减运算统一成加法
加法运算律在加减混合运算中的应用
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
复习回顾 加法的交换律： 两个数相加，交换加数的位置，和不变.
ab ba
加法的结合律： 三个数相加，先把前两个数相加或先把 后两个数相加，和不变.
(a b) c a (b c)
55，-40，10，-16，27，-5
今年的小麦总量与去年相比情况如何？
3、某日小明再一条南北：方向的公路上跑步，他从A地出发，每隔 10min记录下自己的跑步情况（向南为正方向，单位：m)：
-1008，1100，-976，1010，-827，946
1小时后他停下来休息，此时他在A地什么方向？据A地多远？小明共 跑了多少米？
4、某中学七(1)班学生的平均身高是160厘米 (1)下表给出了该班6名同学的身高情况(单位:厘米),试完成下表.
姓名 身高 身高与平均身高的差值
小明 小彬 小丽 小亮 小颖 小山
159 162 160 154 163 165 -1 +2 0 -6 +3 +5
(2)谁最高？谁最矮？ 小山最高,小亮最矮 (3)最高与最矮的学生身高相差多少？ 11厘米 (4)求平均身高？
北师大版数学七年级上册《 第二章 有理数及其运算 》教案
北师大版数学七年级上册《第二章有理数及其运算》教案一. 教材分析《第二章有理数及其运算》这一章主要介绍了有理数的概念、分类及有理数的运算规则。
内容涵盖了有理数的概念、分类、加减乘除运算、乘方运算等。
这部分内容是整个初中数学的基础，对于学生理解和掌握后续知识具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习这一章内容时，已经具备了初步的数学运算能力，对数学概念有一定的理解。
但部分学生可能对有理数的概念和分类理解不深，对于有理数的运算规则容易混淆。
因此，在教学过程中，需要注重对学生概念的理解和运算规则的训练。
三. 教学目标1.理解有理数的概念，掌握有理数的分类。
2.掌握有理数的加减乘除运算规则，能够熟练进行计算。
3.理解有理数的乘方运算规则，能够进行相应的计算。
4.培养学生的运算能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.有理数的概念和分类。
2.有理数的运算规则，特别是乘方运算。
五. 教学方法采用讲解、示例、练习、讨论等教学方法，通过引导学生自主探究、合作交流，让学生在实践中掌握知识，提高能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.准备练习题，包括基础题和拓展题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习小学学过的加减乘除运算，引出有理数的概念和分类。
2.呈现（15分钟）讲解有理数的概念和分类，示例说明有理数的运算规则。
3.操练（15分钟）让学生进行有理数的加减乘除运算，引导学生掌握运算规则。
4.巩固（10分钟）让学生进行一些有关有理数的运算题目，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）讲解有理数的乘方运算规则，让学生进行相关的计算。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调重点和难点。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关有理数运算的题目，让学生课后巩固。
8.板书（课后整理）整理本节课的主要板书内容，方便学生复习。
教学过程每个环节所用时间共计50分钟，剩余10分钟用于学生自主学习和教师解答疑问。
针对以上教案对教学情境和教学活动的分析如下：一、教学情境本节课的主题是有理数及其运算，我通过创设生动有趣的教学情境，激发学生的学习兴趣。
第2讲有理数的运算及大小比较
【解析】由题意得 a＋b＝0，cd＝1，所以原式＝2×0－3×1＋3＝0. 【答案】0
18．(2009 中考变式题)计算．(每小题 4 分，共 8 分) 1 4 2 －1 －(1－0.5)× －[2－(－3) ]； 3
1 1 1 1 5 解：原式＝－1－ × －(2－9)＝－1－ －(－7)＝－1－ ＋7＝5 2 3 6 6 6
1 8 2 1 2 1 4 7、 4 21
3
1．下列各数中，最大的数是( D ) A．－1 B．0 C．1 D.2 2 2． 如果□×(－ )＝1， “□” 则 内应填的实数是( ) 3 3 2 2 3 A. B. C．－ D．－ 2 3 3 2 3．下列各式，运算结果为负数的是( D ) 2 3 A.-(-2)-(-3) B.(-2)×(-3) C.(-2) D．(-3) 3 2 4．－2 ×(－2) ＋2 的结果是( B ) A． 18 B． －30 C． 0 D． 34
【解析】由互为相反数的两个数位于原点左右两侧对称分布，可确定－a 的位置，再根 据数轴上表示的数，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大，得 a<1<－a.
【答案】A
6．(2010·济宁)若︱x -1︱＋(y＋3) ＝0，则 x－y 的值为( ) A．-2 B．2 C．4 D．-4
2
7．(2009 中考变式题)下列计算正确的是( 2 3 A．(－2) ＝－4 B．－2 ＝－8 C．－2－(－3)＝－5 D．3－2＝－6
14．(2011 中考预测题)若 x、y 为实数，且 2 011 |x ＋ 2| ＋ y－3 ＝ 0 ， 则 (x ＋ y) 的值为 ________．
x＋2＝0 x＝－2 【解析】由题意得 ，解得 ，∴(x＋y)2 011＝(－2＋3)2 011＝1. y－3＝0 y＝3
人教版七年级上册数学 第一章《有理数》第2讲 有理数的运算(答案+解析)_
人教版七年级上册数学第一章《有理数》第2讲有理数的运算（答案+解析）_New人教版七年级上册数学第一章《有理数》第2讲有理数的运算（答案+解析）第2讲有理数的运算第一部分知识梳理知识点一：有理数加法（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。
（2）有理数加法的运算律：加法的交换律：a+b=b+a；加法的结合律：( a+b ) +c = a + (b +c)知识窗口：用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加。
知识点二：有理数减法（1）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
（2）有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。
（3）有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算；概念剖析：减法是加法的逆运算，用法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可转化。
转化后它满足加法法则和运算律。
知识点三：有理数乘法（1）有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。
（2）有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba；结合律：(ab)c=a(bc)；交换律：a(b+c)=ab+ac。
概念剖析：①、“两个有理数相乘，同号得正，异号得负”不要误认为成“同号得正，异号得负” ②、多个有理数相乘时，积的符号确定规律：多个有理数相乘，若有一个因数为0，则积为0；几个都不为0的因数相乘，积的符号由负因数的个数来决定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。
③、有理数乘法的计算步骤：先确定积的符号，再求各因数绝对值的积。
北师大版七年级上册第二章有理数及其运算PPT课件全套
(4)负分数：既是负数，又是分数的数；
(5)非负整数：正整数和0； (6)非正整数：0和负整数．
知3－讲
3.有理数的分类： (1)按定义分类：
有理数 正分数 分数 负分数
正整数 整数 0 负整数
知3－讲
(2)按性质分类：
正整数 正有理数 正分数 有理数 0 负整数 负有理数 负分数
第二章
有理数及其运算
2.1
有理数
1
课堂讲解
正数和负数 具有相反意义的量 有理数及其分类
2
课时流程
逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升
某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加1分，
答错一题扣1分，不 回答得0分；每个队的基本分均为
0分.两个队答题情况如下表：
答题情况 第一队 第二队
如果答对题所得的分数用正数表示，那么你 能写出每个队答题得分的情况吗？试完成下表：
知1－讲
你能描述一下温度计
是怎样表示温度的吗？
知1－讲
定义
规定了原点、正方向和单位长度的直线 叫做数轴．
知1－讲
－2
－1
0
1
2
画一条水平直线，在直线上取一点表示0(这个
单位长度 ， 点叫_______) 原点 ，选取某一长度作为___________ 正方向 ，这样的直线 规定直线上向右的方向为 _________
A．8，4，－2
1 B．2，5.4，2
)
C．－6，0.5，0
D．0，6，9
（来自《典中点》）
知2－导
知识点
2
具有相反意义的量
议一议 生活中你见过其他用负数表示的量吗？与同 伴进行交流.
六年级寒假班-第2讲：有理数的四则运算-教师版
有理数的加减乘除四则运算是初中数学六年级下学期第一章第二节的内容．本讲会讲解有理数加减乘除的基本法则，并进行相关的练习，为后续的学习打好基础．1、有理数加法法则（1）同号两数相加：取原来的符号，并把绝对值相加．（2）异号两数相加：绝对值相等时和为零；绝对值不相等时，其和的绝对值为较大的绝对值减去较小的绝对值所得的差，其和的符号取绝对值较大的加数的符号．（3）一个数同零相加：仍得这个数．2、有理数加法的运算律交换律：a b b a+=+；结合律：()()a b c a b c++=++．有理数的四则运算内容分析知识结构模块一：有理数的加法知识精讲【例1】 计算：（1）14+47；（2）()()14+47--； （3）()12 1.35⎛⎫-+- ⎪⎝⎭； （4）511273⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【难度】★【答案】（1）61；（2）61-；（3）5.3-；（4）2114-． 【解析】有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．【总结】本题考查了有理数的加法运算．【例2】 计算：（1）()1447-+；（2）()1447+-； （3）()1.4 2.7-+；（4）5324128⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 【难度】★【答案】（1）33；（2）33-；（3）3.1；（4）23124-． 【解析】有理数的加法法则：异号两数相加，绝对值不相等时，其和的绝对值为较大的绝对 值减去较小的绝对值所得的差，其和的符号取绝对值较大的加数的符号．【总结】本题考查了有理数的加法运算．【例3】 如果两个数的和是正数，那么（ ）A ．这两个数都是正数B ．这两个数一正一负C ．这两个数中至少有一个是正数D ．以上说法都不对【难度】★【答案】C【解析】由于两个数的和是正数，那么这两个数可以都为正数（或一个为0），也可以一正 一负，但正数的绝对值要大．【总结】本题考查了有理数的加法运算的应用，需要熟练掌握法则．例题解析【例4】 计算：（1）()()()()51764121-+++-+-；（2）65217676⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）()()()()()7128.3 5.49.7 2.5++-++-+++-；（4）5151437.5132064610⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）37-；（2）212-；（3）1.5；（4）60297． 【解析】（1）()()()()21417651--+-+++=()76214151+++-=76113+-=37-；（2）61726576+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-61657276=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3274=212-； （3）()()()()()5.27.94.53.812-7-+++-++++=()()[]5.24.5127.93.87++-+++ =()9.1925-+=1.5；（4）515111515437.51320371320464610246106⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+-+-=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭60297=． 【总结】本题考查了有理数的运算，注意法则的熟练运用．【例5】 用简便方法计算：（1）()()()()232795++-+++-；（2）()()()()()5.40.20.60.350.25-+++-+++-；（3）131468635347477⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 【难度】★★【答案】（1）0；（2）7.5-；（3）2．【解析】（1）原式0527923592723=--+=-+-=；（2）原式()()7.53.062.025.035.06.04.5-=+-=+-++-=；（3）原式235763745736413418=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=． 【总结】本题考查了有理数的简便运算，注意方法的选择．【例6】 已知两个数3+和5-，试求下列各种情况的值：（1）求这两个数的相反数的和；（2）求这两个数的和的相反数； （3）求这两个数和的绝对值；（4）求这两个数绝对值的和．【难度】★★【答案】（1）2；（2）2；（3）2；（4）8．【解析】（1）3的相反数是3-，5-的相反数是5，253=+-；（2）()2-5-3=+，2-的相反数是2；（3）()2-5-3=+，2-绝对值是2；（4）55-33==，，853=+． 【总结】本题考查了相反数和绝对值的应用．【例7】 某出租车从A 地出发，在东西路上行驶，如果规定向东行驶为正，向西行驶3为负，一天的行驶记录如下（单位：千米）：4-，7+，9-，8+，6+，4-，3-．求最后收工时出租车距离A 地多远？若每千米耗油0．3升，问从出发到收工共耗油 多少升？【难度】★★【答案】（1）收工时距A 地km 1，且在A 地东边；（2）L 3.12．【解析】（1）()()()()()()()13-4-689-74-=+++++++++；即收工时距A 地1km ，且在A 地东边．（2）()L 3.12413.03-4-689-74-3.0=⨯=++++++⨯；即从出发到收工共耗油L 3.12．【总结】本题考查了正负数的意义及有理数的运算在实际问题中的运用．【例8】 计算：()()()246898100-++-+++-+．【难度】★★★【答案】50．【解析】由式子可知：每相邻的两个数字相加为2；则：原式50225=⨯=．【总结】本题考查了观察规律及有理数的运算．1、 有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数：()a b a b -=+-．【例9】 计算：（1）3.2 5.7-；（2） 3.2 5.7--；（3）1122⎛⎫--+ ⎪⎝⎭；（4）1122⎛⎫--- ⎪⎝⎭． 【难度】★【答案】（1）5.2-；（2）9.8-；（3）213-；（4）211． 【解析】略．【总结】本题考查了简单的有理数运算．【例10】 下列说法正确的是（ ）A ．两个数之差一定小于被减数B ．减去一个负数，差一定大于被减数C ．减去一个正数，差不一定小于被减数D ．0减去任何数，差都是负数【难度】★【答案】B【解析】学会举反例来判断正误．【总结】本题考查了有理数减法运算法则．模块二：有理数的减法 知识精讲 例题解析（1）()111812708323⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）()12430.130.3325⎛⎫⎧⎫-----⎡⎤⎨⎬ ⎪⎣⎦⎝⎭⎩⎭． 【难度】★★【答案】（1）2158；（2）36.8-． 【解析】（1）原式2158217012318217012318=+-=++--=； （2）原式()36.886.35.446.052321433.013.0523214-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=． 【总结】本题考查了有理数的减法运算，注意法则的准确运用．【例12】 计算：（1）()()()()()331815123---+--+++；（2）()()()()()6.6 5.2 3.8 2.6 4.8++---+--；（3）11116325351234747-+--+； （4）111121326-+-． 【难度】★★【答案】（1）8-；（2）2.2-；（3）211322-；（4）32-． 【解析】（1）原式8231151833-=+--+-=；（2）原式2.28.46.28.32.56.6-=--+-=；（3）原式211322759313271376124154153132-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=； （4）原式32-321-1611-652-1===． 【总结】本题考查了有理数的混合运算，注意加减法则的准确运用．（1）()()3120.1253310 1.25483⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）()()346241841618 6.83255++-+-+-+-． 【难度】★★【答案】（1）6110；（2）5219-． 【解析】（1）原式6110411321081343381=-+-+=； （2）原式5219245343216181824546544536-=-=---++-+=． 【总结】本题考查了有理数混合运算的简便组合运算．【例14】 已知134a =-，184b =-，122c =-，求下列各式的值： （1）a b c --；（2）()b a c --；（3）a b c --；（4）a c b --．【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）原式217212418413212418413=++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=； （2）原式217212413418212413418-=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=； （3）原式217212418413212418413-=--=-----=； （4）原式941843418212413=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=． 【总结】本题考查了有理数的混合运算，注意法则的准确运用．【例15】 计算：1234567896667686970+--++--+++--++．【难度】★★★【答案】71【解析】原式()()()7069686766...987654321++--+++--++--+=71701=+=．【总结】本题考查了有理数的简便运算，综合性较强，注意观察数据的特征．【例16】 分别求出数轴上两点间的距离：（1）表示数8-的点与表示数3-的点；（2）表示数2-的点与表示数153-的点； （3）表示数9的点与表示数5-的点．【难度】★★★【答案】（1）5；（2）313；（3）14． 【解析】数轴上两点的距离等于两数差的绝对值；（1）()538=---； （2）3133152=⎪⎭⎫ ⎝⎛---； （3）()1459=--． 【总结】本题考查了数轴上两点的距离的运算，注意对公式的准确理解．【例17】 黄浦江的水位第一天上升6.9厘米，第二天下降5.7毫米，第三天又下降了0.9分米，第四天上升了354厘米，问第四天黄浦江的水位比刚开始时的水位高多少米？ 【难度】★★★【答案】1118.0米．【解析】将上升记为‘+’，下降记为‘-’，7.5毫米=57.0厘米，0.9分米= 9厘米，则：()()336.90.5795 6.90.5795 3.0844+-+-+=--+=（厘米）， 3.08厘米=0.0308米．即第四天黄浦江的水位比刚开始时的水位高0.0308米．【总结】本题考查了正、负数的实际应用及运算，注意单位的统一．1、 两数相乘的符号法则正乘正得正，正乘负得负，负乘正得负，负乘负得正．（同号得正，异号得负）2、有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数与零相乘，都得零．3、有理数相乘的符号法则几个不等于零的因数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．【例18】 计算： ()35-⨯=______，35-⨯=______， ()35⨯-=______，()()35-⨯-=______， 41511511⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭_______， ()220.613-⨯=______． 【难度】★【答案】（1）15-；（2）15-；（3）15-；（4）15；（5）1119；（6）3103-． 【解析】两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘（先定符号）．【总结】本题考查了简单的有理数的乘法运算，注意先确定符号，再计算．模块三：有理数的乘法 知识精讲 例题解析【例19】如果0b<，那么ab____0．a<，0b<，那么ab____0；如果0a>，0【难度】★【答案】<；>．【解析】0<b则b为负，故0ab；><a则a为正，0>ab．b则b为负，故0<<a则a为负，0【总结】本题考查了有理数乘法的运算法则．【例20】五个有理数的积是负数，则正因数的个数为（）A．2个B．4个C．1个、3个或5个D．0个、2个或4个【难度】★【答案】D【解析】由五个有理数的积为负数，则负因数为奇数个，即为1、3、5，所以正因数有0、2、4个．【总结】本题考查了有理数乘法运算法则．【例21】如果0ab<，那么关于这两个数的说法正确的是（）+>，0a bA．符号相反B．符号相反且绝对值相等C．符号相反且负数的绝对值大D．符号相反且正数的绝对值大【难度】★★【答案】D【解析】由0a，得b+ba、中正数的绝对值大，故选D．ab，得b<>a、异号，又0【总结】本题考查了有理数加法和乘法运算应用．【例22】如果0ab>，那么关于这两个数的说法正确的是（）a b+<，0A．都是正数B．都是负数C．符号相反且负数的绝对值大D．符号相反且正数的绝对值大【难度】★★【答案】B【解析】由0a，得b+ba、均为负数，故选B．>ab，得ba、同号，又0<【总结】本题考查了有理数加法和乘法运算应用．【例23】 计算：（1）()5913654⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）116753716⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）89-；（2）315-． 【解析】（1）原式894159653-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-=； （2）原式315167716315-=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯-=．【总结】本题考查了有理数乘法运算法则，注意先确定符号再计算．【例24】 计算：（1）()()()2.50.49 1.2548-⨯⨯⨯-⨯-；（2）()()()232133083-⨯⨯-⨯⨯-；（3）111111*********⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）49-；（2）0；（3）27-． 【解析】（1）原式()()4949.0825.145.2-=⨯⨯⨯⨯-=；（2）原式0=，0乘以任何数都为0； （3）原式276756453423-=⨯⨯⨯⨯-=．【总结】本题考查了有理数乘法的简便运算．【例25】 计算：（1）111553⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭；（2）12324234⎛⎫-+-⨯ ⎪⎝⎭；（3）31.530.750.53 3.40.754-⨯+⨯-⨯；（4）3112610.4 5.28255-⨯-⨯+⨯．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式231155115-=⨯-⨯=；（2）原式14244324322421-=⨯-⨯+⨯⎪⎭⎫⎝⎛-=；（3）原式()10334.4434.353.053.143-=⨯-=-+-⨯=； （4）原式5027320212.55121432.5-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⨯=．【总结】本题考查了有理数乘法的简便运算．acb【例26】 在数轴上表示a 、b 、c 三个数的点的位置如图所示，化简式子：ab ac ac bc --+．【难度】★★★ 【答案】bc ab +．【解析】由数轴得：b a c <<<0，则0>ab ，o ac <，0<bc ，所以0>-ac ab ，0<+bc ac ，故原式()()bc ab bc ac ac ab +=++-=． 【总结】本题考查了绝对值的化简运算．【例27】 已知4x =，5y =，0xy <，则x y -=______． 【难度】★★★ 【答案】9±．【解析】由题意得：4±=x ，5±=y ，又0<xy ，则y x 、异号， 当45x y ==-，时，()954=--=-y x ； 当45x y =-=，时，954-=--=-y x ．【总结】本题考查了绝对值的应用及有理数乘法应用． 1、有理数除法法则（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （2）零除以任何一个不为零的数，都得零．（3）甲数除以乙数（零除外）等于甲数乘以乙数的倒数，即1a b a b÷=⨯（0b ≠）．模块四：有理数的除法知识精讲【例28】 计算：()1751-÷=______，()568-÷-=______，()5.614÷-=______． 【难度】★【答案】（1）31-；（2）7；（3）52-．【解析】两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 【总结】本题考查了简单的有理数除法运算．【例29】 填空：（1）如果0a >，0b <，那么ab____0； （2）如果0a <，0b <，那么ab____0； （3）如果a = 0，0b <，那么ab____0． 【难度】★【答案】（1）<；（2）>；（3）=．【解析】（1）0>a 则a 为正，0<b 则b 为负，故0<b a； （2）0<a 则a 为负，0<b 则b 为负，故0>ba； （3）0=a 则a 为0，故0=ba． 【总结】本题考查了有理数除法运算法则的运用，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝 对值相除．【例30】 下列说法错误的是（ ）A ．任何有理数都有倒数B ．互为倒数的两个数积为1C ．互为倒数的两个数同号D ．1和1-互为负倒数【难度】★ 【答案】A【解析】0是有理数，但0没有倒数；两数相乘积为1，则两数互为倒数． 【总结】本题考查了倒数的定义．例题解析（1）()()3.20.82-÷÷-；（2）111321335⎛⎫-÷÷ ⎪⎝⎭；（3）()()118 3.2524⎛⎫-÷+÷- ⎪⎝⎭；（4）()194102849⎛⎫-÷⨯÷- ⎪⎝⎭；（5）()()17492333⎛⎫-÷-÷÷- ⎪⎝⎭；（6）313313524⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式228.02.3=÷÷=；（2）原式21256573310511312313-=⨯⨯-=÷÷-=；（3）原式1332941341841241318=⨯⨯=÷÷=；（4）原式12194948110=⨯⨯⨯=；（5）原式33173734933731249-=⨯⨯⨯-=÷÷÷-=；（6）原式245831747253-=⨯⨯⨯-=．【总结】本题考查了有理数的除法运算法则，注意化成乘法后先约分再化简．【例32】 若01a b <<<，则1a 与1b的大小关系为___________． 【难度】★★【答案】ba 11>．【解析】两数同为正数，倒数大的反而小． 【总结】本题考查了倒数的应用．【例33】 若a 、b 为倒数，c 、d 为相反数，()533167ab c d +⨯+=______． 【难度】★★【答案】31．【解析】由题意得：1=ab ，0=+d c ，所以原式31=；两数互为相反数，则相加和为0； 两数互为倒数，则相乘积为1． 【总结】本题考查了相反数和倒数的应用．（1）()()1233 2.571535⎡⎤⎛⎫÷⨯÷⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）()540.1 2.41001765⎛⎫-⨯⨯-⨯-⨯ ⎪⎝⎭；（3）24212 5.54133251318⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式15812523100212531335757253133-=⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-÷=； （2）原式()35658910065512101-=⨯-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=； （3）原式9641855554838185513152510421138=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯÷-÷-=．【总结】本题考查了有理数乘除法的混合运算，注意法则的准确运用．【例35】 已知有理数a 、b 、c 满足1a b c abc++=，求abc abc的值．【难度】★★★【答案】1-．【解析】因为1=++c cb b a a ，所以c b a 、、中必有两正一负，即abc 之积为负，所以原式1-=．【总结】本题考查了绝对值的应用．【例36】 若0abc ≠，则a b c ab bc ac abca b c ab bc ac abc++++++有多少个不同的值？说明理由． 【难度】★★★ 【答案】2个．【解析】分类讨论：就c b a 、、的正负性进行讨论， 当c b a 、、均为正时，原式71111111=++++++=；当c b a 、、有一个负数，两个正数时，原式11111111-=+---++-=； 当c b a 、、有两个负数，一个正数时，原式11111111-=+--++--=；当c b a 、、均为负数时，原式11111111-=-+++---=，所以共有两个不同的值． 【总结】本题综合性较强，考查了有理数的运算及绝对值的性质，注意要分类讨论．【习题1】 对于任意两个有理数a 、b ，下列各项成立的是（ ）A ．若0a b +=，则a b =-B ．若0a b +>，则0a >，0b >C ．若0a b +<，则0a b <<D ．若a b a +<，则0a <【难度】★ 【答案】A【解析】通过有理数加法运算法则或举反例说明即可． 【总结】本题考查了有理数加法运算应用．【习题2】 若两个有理数的差是正数，则下列说法正确的是（ ）A ．被减数是正数，减数是负数B ．被减数和减数都是正数C ．被减数大于减数D ．被减数和减数不能同为负数【难度】★ 【答案】C【解析】根据有理数减法法则，举出反例即可；减去一个数等于加上这个数的相反数． 【总结】本题考查了有理数减法运算法则．【习题3】 如果6m -是负数，那么关于m 的说法中正确的是（ ）A ．0m >B ．0m ≥C ．0m <D ．0m ≤【难度】★ 【答案】A【解析】由题意得：06<-m ，则0>m ． 【总结】本题考查了不等式的性质．【习题4】 如果一个数的绝对值与这个数的商等于1-，则这个数是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．非负数【难度】★★ 【答案】B【解析】设这个数为a ，则有1-=aa ，当0≠a 时，得a a -=，故这个数为负数．【总结】本题考查了绝对值的意义及应用．随堂检测【习题5】 如果0t <，那么t 和它的相反数的差的绝对值等于（ ）A ．tB ．0C ．t -D ．2t -【难度】★★ 【答案】D【解析】由题意得：()02<=--t t t ，故t t 22-=． 【总结】本题考查了绝对值的化简应用．【习题6】 计算：（1）3915112817541431443⎛⎫-++++-- ⎪⎝⎭；（2）112.7535 1.542⎛⎫--+-- ⎪⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）5-；（2）216-．【解析】（1）原式549103153111451498417432-=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=；（2）原式216211412432211215413432-=---=----=．【总结】本题考查了有理数加减法的简便运算．【习题7】 计算：（1）721.113237⎛⎫⎛⎫-÷-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）4893331216311525105510⎛⎫⎛⎫⨯÷-÷⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★★ 【答案】（1）30077-；（2）29520-． 【解析】（1）原式3007723730231011-=⨯⨯-=； （2）原式958169144139581025132952510251052516914410520=-⨯÷÷⨯=-⨯⨯⨯⨯=-． 【总结】本题考查了有理数的乘除运算，注意法则的准确运用．【习题8】 计算：（1）()38424⎛⎫⨯-⨯-- ⎪⎝⎭；（2）()()121356533⎛⎫⎛⎫-÷-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）22；（2）4．【解析】（1）原式22224238=-=-⨯=；（2）原式()()452053263113=-÷-=-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--=．【总结】本题考查了有理数的简便运算．【习题9】 a 、b 为两个任意有理数，试比较a b +、a b -与a 的大小． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】若a 、b 均为正数，则a b a a b +>>-； 若a 、b 均为负数，则a b a a b ->>+； 若0a b <<，则a b a a b +>>-； 若0b a <<，则a b a a b ->>+．【总结】本题考查了作差法比较有理数的大小．【习题10】 若0abc <，0a b c ++>，且a c bc b ab cax ab c ab bc ca=+++++， 求321ax bx cx +++的值． 【难度】★★★ 【答案】1．【解析】因为00abc a b c <++>，；故c b a 、、中有一个是负数，假设0<a ，则00b c >>，； 所以000ab bc ca <><，，，有cacabc bc ab ab c c b b a a x -++-+++-=， 所以0111111=-+-++-=x ， 所以原式11000=+⨯+⨯+⨯=c b a ．【总结】本题考查了绝对值的化简及代数的求值，综合性较强，注意分析符号．【作业1】 下列说法正确的是（ ）A ．两数之和不可能小于其中的一个加数B ．两数相加就是它们的绝对值相加C ．两个负数相加，和取负号，绝对值相减D ．不是互为相反数的两个数，相加不可能等于零 【难度】★ 【答案】D【解析】A 选项，当两数异号时，两数之和一定小于其中一个加数； B 选项，当两数异号相加时，其和就不是它们的绝对值相加； C 选项，两个负数相加，和取负号，绝对值相加．【总结】本题考查了有理数加法，根据异号两数相加的特殊性可得．【作业2】 下列结论不正确的是（ ）A ．若0a <，0b >，则0a b -<B ．若0a >，0b <，则0a b ->C ．若0a <，0b <，则()0a b -->D ．若0a <，0b <，且a b >，则0a b -< 【难度】★ 【答案】C【解析】C 中，若0,0<<b a ，则()b a b a +=--，由题知0<+b a ，即()0<--b a ， 所以本题错误．【总结】本题考查了有理数加减法的理解与运用．【作业3】 一个有理数与它的相反数的乘积（ ） A ．大于0 B ．小于0C ．一定不大于0D ．以上都有可能【难度】★ 【答案】C【解析】若有理数是0，则0的相反数是0，乘积为0；若有理数不是0，它们的乘积是负数， 异号得负．【总结】本题考查了相反数的定义及有理数乘法法则．课后作业【作业4】 （1）设m 为5-的相反数与12-的和，n 为比6-大5的数，m + n =______； （2）已知x 是5的相反数，y 比x 的相反数小6，则y x -=______． 【难度】★★【答案】（1）8-；（2）4．【解析】（1）()()7125-=-+--=m ，156-=+-=n ，故8-=+n m ； （2）5-=x ，165-=-=y ，故()451=---=-x y ． 【总结】本题考查了相反数的运用及有理数的运算，注意认真审题．【作业5】 计算：（1）23164 3.26 6.82455-+-+-+；（2）15130.51266-+-+．【难度】★★【答案】（1）9；（2）2-．【解析】（1）原式()()9101188.62.35365242416=-+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=；（2）原式2246112165213-=+-=+-+-=．【总结】本题考查了有理数加减的简便运算．【作业6】 计算：（1）111321352⎛⎫-⨯÷- ⎪⎝⎭；（2）321312142311142552505⎛⎫⎛⎫-⨯÷÷⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★★ 【答案】（1）449；（2）12．【解析】（1）原式94432511310=⨯⨯=； （2）原式2159715032185257143=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯⨯⨯-=．【总结】本题考查了有理数的乘除运算，注意法则的准确运用．21 / 21 【作业7】 计算：（1）()()38424-⨯-⨯-； （2）111382⎛⎫⎛⎫-÷--÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）2；（2）14．【解析】（1）原式268=-=； （2）原式1468=+=．【总结】本题考查了有理数四则运算，注意运算顺序．【作业8】 （1）若1t =，则t 与2t 哪个大？若0t =呢？若1t =-呢？（2）t 与2t 哪个大？【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）若1=t ，22=t ，则t t 2<； 若0=t ，02=t ，则t t 2=；若1-=t ，22-=t ，则t t 2>；（2）由（1）得：当0>t 时，t t 2<； 当0=t 时，t t 2=；当0<t 时，t t 2>．【总结】本题考查了有理数的大小比较．【作业9】 “二十四点”的游戏规则：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数都必须用，且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24；例如对1，2，3，4，可作如下运算：()123424++⨯=[上述运算与()412324⨯++=视为相同方法的运算]．现有四个有理数3，4，6-，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算式，可以使用括号，使其结果等于24，运算式如下：（1）___________________________；（2）___________________________；（3）___________________________．另有四个有理数3，5-，7，13-，可用运算式_________________使其结果等于24．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】（1）()[]61043-++⨯；（2）()()63410-⨯--；（3）()10364⨯÷--；()()[]2431357=÷-⨯-+．【总结】本题考查了有理数的混合运算，开放性题目，综合性较强．。
七年级数学上册第二章有理数的运算讲义(含解析)
七年级数学上册第二章有理数的运算考试要求：重难点：1.理解并掌握加减法法则且能熟练运用法则计算2.理解并掌握乘除法法则且能熟练运用法则计算3.能利用有理数的运算法则简化运算4.能借助数轴比较有理数的大小例题精讲：模块一、有理数加法运算有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：①确定和的符号；①求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a b b a+=+(加法交换律)①三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.a b c a b c++=++(加法结合律)()()有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式.①带分数可分为整数与分数两部分参与运算.①多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.①若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.①若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.①符号相同的数可以先结合在一起.【例1】同号两数相加某人从原点0出发，如果第一次走了5米，第二次接着又走了3米，求两次行走后某人在什么地方？为区别向东还是向西走，这里规定向东走为正，向西走为负.这两数相加有以下三种情况：(1)某人向东走5米，再向东走3米，两次一共走了多少米？(2)某人向西走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？总结：__________________________________________________.异号两数相加（3）某人向东走5米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？(4)某人向东走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？(5)某人向东走3米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？总结：_______________________________________________________.【难度】1星【解析】利用实际情境来推导加法法则，强调和的符号及和与绝对值的关系，进而总结出加法法则【例2】计算下列各题：(1) (一11)+(一9)； (2) (一3.5)+(+7)；(3)(一1.08)+0； (4)(23+)+(23-)(5)[(-22)+(-27)]+(+27)； (6)(-22)+[(-27)+(+27)]．【难度】1星【解析】利用加法法则计算。
第二章 有理数的运算小结复习(第2课时专题解讲)(课件)-七年级数学上册(人教版2024)
求
1
+
ab+
2
5
+e2 的值.
例4.计算:
2 3
4
2
(1)-2 ÷[1-(-3) ]+( - )×(-15);
2 2
2
3
(2)-3 -|(-5) |×(- ) -18+|-(-3)2|.
2
3
(1)原式=-16+(1-9)+(- ×15+ ×15)
3
5
4
(2)原式=-9-125× -18÷9
25
=-16÷(-8)+(-10+9)
=-9-20-2
=2-1
=-31.
3 5
=1;
5
专题五 常见错误
例.计算下列计算是否正确，请说说理由。
(1)
1
(-9)÷(- )×3-3.
3
解：原式=(-9)÷(-1)×3-3
正解:原式=(-9)×(-3)×3-3
19
(2)简便计算:-19 ×5.
20
解：原式=-19×5+
(3)
1
4
-1 3
19
×5
20
正解:原式=
1
1
(-20+ )×5=-100+
20
4
正解:原式=
1
-1- ×(2-9)
3
×[2-(-3)2].
解：原式=1-
1
×[2-(-6)]
3
3
=-99 .
4
运算中常见错误
1.运算顺序不对，特别是同级运算。
2.运算法则混淆。如异号两数相加、乘方的符号、乘方与乘法区别。
有理数 概念 第二讲
数学教师辅导讲义讲义编号：学员姓名：宋春国年级：初一课时数：2 数学教师：宋老师课题有理数的认识授课日期及时段教学目标学习正数、负数、有理数的概念，会用正、负数表示具有相反意义的量，能正确地将有理数进行分类.〔重点难点〕正数、负数的概念对有理数的建立起关键性的作用，是本节课重点.正数、负数的概念的建立是学生从来未经历过的数学的抽象过程，是本节的难点.教学过程1.2.1 有理数一.教学过程1.创设情景,引入新课同学们你们还记不记上一节课老师请你们举了一些生活当中的例子，这些例子用自然数，分数，小数是不能解决的，当时我们都举了哪些例子啊？我记得同学们好象讲到了温度计当中零下的温度，还有地下室，还有欠银行的钱如何表示，还有路标向东向西，扣分如何表示等等等等.那么温度的零上、零下，路程的向东、向西，钱的收入和支出，得分和扣分这些量是不是相互对立的？因此我们称它们为具有相反意义的量，那么如何把这些具有相反意义的量表示出来呢？2.合作探索,寻求新知师：为了表示具有相反意义的量，我们把一种意义的量规定为正，比如我们会把零上的温度规定为正，路程当中会把向东方向规定为正方向，钱的收入规定为正，把另一种与之意义相反的量规定为负，而这些规定为正的量一般比较容易表示，比如规定向东为正，则向东22千米，记作22千米，而与之相反的量就不好表示，如果也记作22千米，别人一看就分不清是向东还是向西，所以我们必须引进新的数来表示这些相反意义的量.师：把过去学过的数（除零外）规定为正数，如123，15，2/3等，正数前面有时也可以放上“+”（读做正号）；在这些数的前面放上“-”（读做负号）就表示负数，如-123，-15，-2/3等.负数是在正数的前面加上“—”得到的，大家现在来举一队正数和负数？那下面老师来举一个例子：0是正数，-1是负数，对吗？那么1是正数，0是负数.正数里有没有包括0，负数会不会包括0，所以零既不是正数，也不是负数.（强调）有了负数，相反意义的量就好表示了，规定向东为正，则向东22千米，记作22千米，向西走50米，就记作-50米.那现在我来问大家：如果上升8米，记作+8，那么下降5米，应该怎么记呢？做一做：第二题这样我们学过的数中，又增加了新的数，我们以前学的整数如1，2，3，4，更准确地说是正整数，那么-1，-2，-3，-4应该称为什么？1/2，3/2，5.4为正分数,则-1/2,-3/2,-5.4为 .正整数可以化成分数形式，负整数也可以化成分数形式，正小数、负小数化成分数形式，像这种能化成分数形式的数，正整数、0、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
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第2讲 有理数初步1．负数⑴ 定义：在正数前面加“—”（读负）的数，（-5，-2.8，3....4-）⑵ 用正负数表示相反意义的量（增加，减少；零上，零下；向前，向后。
）⑶a -不一定是负数，关键看a 是正数、负数还是0【例题1】设向东行驶为正，则向东行驶30m 记做 ，向西行驶20m 记做 ，原地不动记做 ，—5m 表示向 行驶5m ，+16m 表示向 行驶16m.。
【练习1】收入—2000元，表示 。
2．有理数⑴定义：整数： 正整数、零和负整数统称为整数。
()...2,1,0,1,2....--自然数：正整数和零。
()0,1,2,3....分数：正分数和负分数统称为分数。
40.3,0.31,......5∙∙⎛⎫- ⎪⎝⎭ ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数 有限小数和无限循环小数与分数可以相互转化。
【注】π，以及π的倍数都不是分数。
有理数：整数和分数统称为有理数。
⑵ 有理数分类① 按有理数的定义分类 ②按正负分类 正整数 正整数整数 0 正有理数有理数 负整数 有理数 正分数正分数 0 负整数分数 负有理数负分数 负分数⑶ 习惯上将“正有理数和零”称作非负有理数 （即非负数）⑷ 数集：把一些数放在一起就组成了一个数集，简称数集。
有理数集，整数集，非负整数集等等。
⑸ 【注】0既不是正数也不是负数，0是整数，0是自然数，0是非负数，0是非正数。
0不仅仅表示没有。
最小的正整数是1，最大的负整数是-1，没有最大、最小的整数，最小的自然数是0。
【例题2】76%,5,260,2001,0,120.1,100020,- ,31 -⋅--∙∙，负数有 个，正数有 个，整数有 个，正分数有 个，非负整数有 个。
【练习2】下列说法正确的是：（ ）⑴一个数，如果不是正数，必定就是负数 ⑵正有理数是正整数和正分数的统称。
⑶ 一个有理数不是分数就是整数。
(4)整数不是奇数就是偶数。
(5)0是最小的有理数。
⑹3.1415926不是分数⑺正整数和负整数统称为整数。
⑻ 奇数是正数⑼ 有理数包括整数和分数 ⑽—0.6是分数⑾ 0不是正数也不是负数。
⑿ 0是自然数，不是整数。
⒀ 没有最小的有理数。
3．数轴⑴ 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴⑵ 数轴的三层涵义：① 数轴是一条直线，可以向两方无限延伸② 数轴的三要素：原点，正方向，单位长度，三者缺一不可③ 原点的确定，单位长度大小的确定都是根据实际而定的，但一条数轴上的单位长度要统一，一般规定向右为正方向。
（3）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数（4）在数轴上比较有理数的大小①在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
②由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
【例题3】填空（1）写出数轴上A,B,C,D,E 各点表示的数，并用“>”号连接起来_______________________（2）写出大于—4而不大于2的所有的整数_______________________（3）若数轴上的点A 向右移动2个单位长度后，又向左移动1个单位长度，此时正好对应—8这个点，那么原来A 点对应的数是 。
【例题4】如图，在数轴上有六个点，且EF DE CD BC AB ====，则与点C 所表示的数最接近的整数是多少?【解析】由A 、F 两点所表示的数可知，AF=11+5=16，∵AB=BC=CD=DE=EF ，∴EF=16÷5=3.2，∴E 点表示的数为：11-3.2=7.8；点C 表示的数为：7.8--3.2-3.2=1.4；∴与点C 所表示的数最接近的整数是1．【练习3】如图，A 、B 、C 、D 、E 是数轴上的5个点，其相邻两点间的距离相等，若B 点表示数-3，E点表示数10，A 点表示几？【解析】A,B,C,D,E 相邻两点等间距则AB=BC=CD=DEBE=|10-(-3)|=13=3AB则AB=13/3A 点坐标=-3-13/3=-22/3【例题5】如图，数轴上标出了若干个点，每相邻两点相距1个单位，数轴上还标出了四个点D C B A ,,,，它们对应的数分别是d c b a ,,,且102=-a d ，那么数轴的原点应是【解析】d-2a=10，即d-a-a=10∵d-a=AD=7∴7-a=10，a=-3∴B 点为原点.【练习4】 如图，在数轴上有若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，有理数a ，b ，c ，d 所表示的点是这些点中的四个，且在数轴上的位置如图所示，已知3a=4b-3，求c+2d 的值_________.【解析】3a=4b-3，即4b-3a=3 → b+3b-3a=3 → b+3（b-a ）=3∵b-a=3∴b+3×3=3，b=-6∴c=b+1=-5，d=b+4=-2∴c+2d=-5+2×（-2）=-94．相反数（1）（代数意义）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。
（几何意义）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。
（2）互为相反数的性质①正数的相反数是负数，负数的相反数是正数 ，0的相反数是0②互为相反数的两个数和为0 ，反过来，和为0的两个数互为相反数即：a,b 互为相反数⇔a+b=0，有时也可以表示为a=-b 或b=-a（3）相反数的求法：只需在一个数前面加一个“－”号，即a a -的相反数是。
在一个数的前面加一个“+”号，表示这个数的本身。
（4）多重符号化简多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。
如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。
可简写为“奇负偶正”。
（5）【注】 相反数等于本身的数只有0，正数的相反数小于它本身，负数的相反数大于它本身。
【例题6】选择1.下列说法正确的是( )A 一个数比它的相反数小，那么这个数是正数。
B 符号相反的两个数互为相反数。
C 互为相反数的两个数可能相等。
D 一个数的相反数不可能大于它本身。
2.如图，若A 是实数a 在数轴上对应的点，则关于a ，－a ，1的大小关系表示正确的是（ ）A ．a ＜1＜－aB ．a ＜－a ＜1C ．1＜－a ＜aD ．－a ＜a ＜1【练习5】填空：（1）0.1与a 互为相反数，那么a= 。
（2）a-1的相反数是 。
（3）若-x 的相反数是-7.5，则x= 。
（4）如果m 的相反数是最大的负整数，n 的相反数是-2，那么m+n= 。
（5）若b<a<0，则－a ，b ，a ，－b 的大小关系是 。
（6）-[-（-3.5）]= -[-（+8）]=5．绝对值（1）（几何意义）在数轴上表示数a 的点离开原点的距离，叫做数a 的绝对值。
（代数意义）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．（2）绝对值的求法：去掉绝对值符号，必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。
(0)a 0(0)(0)a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ （3）绝对值性质 :一个数的绝对值是一个非负数，a ≥0。
【注】绝对值最小的数是0，绝对值等于本身的数是正数和0（非负数），绝对值等于它的相反数的数是负数和0（非正数）。
（4）两个相反数的绝对值相等． 即：若a b =⇔则a=b 或a=-b【例题7】填空：（1）若|a|=2，则a= 。
（2）到原点5个单位长度的点是 。
（3）若|m|=-m,则m 是 。
若|m|=m,则m 是 。
（4）若|x+2|+|y-3|=0，则x= ,y= 。
1 A（5）若|a|=4,|b|=3,且a<b,试求 a= 、b= 或a= 、b= 。
（6）写出绝对值不大于3的所有整数（7）若a<0，b<0，且a <b ，那么a 、b 的大小关系是 。
（8）已知a 、b 为有理数，且a<0，b>0，a ＞b ，试比较a 、b 、-a 、-b 的大小：【练习6】选择正确答案（1）若x =—x ，则x 一定是（ ）A 、正数B 、负数C 、非正数D 、非负数（2）下列结论正确的是（ ）A 、a 一定是正数B 、a -一定是负数C 、a -一定是正数D 、a -一定是非正数（3）如果a ＋b =0，则a 与b 的大小关系是（ ）A 、a=b=0B 、a 与b 不相等C 、a 与b 互为相反数D 、a 、b 异号(4) 若有理数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论错误的是（ ）A.|a|>|b|B.|a|>|-b|C.|b|>|a|D.|-a|>|-b|【例题8】已知数轴上4个点A.B.C.D 对应数分别为a.b.c.d 且b 比d 小7，c 比a 大5，b 比c 小3，已知|d|=6，求a.b.c 的值。
6、倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数。
即：a,b 互为倒数⇔ab=1【注】倒数等于本身的数是1，-1。
【例题9】若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，且c ＝–l ，cb a cdc 2)(2||2+-+的值为________．【练习7】选择(1)下列说法正确的是 。
①只有1的倒数等于它的本身。
②－3.5的倒数是3.5。
③零没有倒数。
④0.1的倒数是10。
⑤任何一个有理数a 的倒数都等于a1。
⑥两个数的积等于1，这两个数互为倒数。
(2)如图，数轴上的点A 表示的数为a ，则1a等于（ ）． A. 12- B.12 C.-2 D.2(3)（2010 山东荷泽）负实数a 的倒数是（ ）A ．－aB ．a 1C ．a 1-D ．a【作业】一、判断题1．一个数的相反数一定比原数小。
（ ）2.如果两个有理数不相等，那么这两个有理数的绝对值也不相等。
（） 3．|-2.7|>|-2.6| ( )4.若a+b=0，则a,b 互为相反数。
( )二．选择题1．相反数是它本身的数是（ ）A. 1B. -1C. 0D.不存在2．下列语句中，正确的是（ ）A.不存在最小的自然数B.不存在最小的正有理数C.存在最大的正有理数D.存在最小的负有理数3．两个数的和是正数，那么这两个数（ ）A.都是正数B.一正一负C.都是负数D.至少有一个是正数4、下列各式中，等号成立的是 （ ）A 、－6-=6B 、(6)--=－6C 、－112=－112D 、 3.14+=－3.14 5、在数轴上表示的数8与－2这两个点之间的距离是 （ ）A 、6B 、10C 、-10 D-66、一个有理数的绝对值等于其本身，这个数是 （ ）A 、正数B 、非负数C 、零D 、负数三、填空题1.相反数是2的数是____________,绝对值等于2的数是_____________2.|－4|－|－2.5|+|－10|＝__________;|－24|÷|－3|×|－2|＝_________3.最大的负整数是_____________;最小的正整数是____________4.绝对值小于5的整数有______个；绝对值小于6的负整数有_______个5.数轴三要素是__________,___________,___________6.若上升6米记作＋6米，那么－8米表示。