江苏高考三角函数
江苏高考复习二(三角函数)
错误！未指定书签。 3．定义在区间 0 ,
上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P,过点 P 2
作 PP1⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为____________
错误！未指定书签。 4．函数 y 3 sin( 2 x
上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值. , 4 6
25 错误！未指定书签。 ．已知函数 f ( x) A sin( x ) ,(其中 A 0, 0, 0
2
)的周期为 ,且图
像上有一个最低点为 M ( (1)求 f ( x) 的解析式;
2 2 2
5.如图,在△ABC 中,∠B=45°,D 是 BC 边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则 AB 的长为________.
A
B
D （第 5 题）
C
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C 的对边分别为 a 、 b、 6.在△ ABC 中,内角 A 、 c ,已知 a 5 , b B、
5 2 , A ,则 cos B ______. 4 3
5 ,则 sin 的值 13
为_________.
第 6 页，共 13 页
7.设 ， ， ，且 sin( ) 5 , tan 1 ．则 cos 的值为 2 2 13
▲ ．
8.已知 cos(
3 2 ) ,则 cos 2 ________. 2 3
12.设 ， ， ,且 sin( ) 5 , tan 1 .则 cos 的值为____. 2 2 13
2020届江苏高考数学(理)总复习讲义： 三角函数的图象与性质
第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z ).[小题体验]1．(2019·徐州调研)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6的最小正周期为________．答案：4π2．函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2的定义域为________________． 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z 3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 的图象的对称轴是________．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x ，根据余弦函数的性质可知，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 图象的对称轴是x ＝k π，k ∈Z.答案：x ＝k π，k ∈Z4．(2019·苏州调研)若函数f (x )＝sin πx ，x ∈⎣⎡⎦⎤13，56，则f (x )的值域为________． 解析：函数f (x )＝sin πx ，∵x ∈⎣⎡⎦⎤13，56，∴πx ∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6，∴12≤sin πx ≤1. 即f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤12，1. 答案：⎣⎡⎦⎤12，11．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω＞0时的情况． 3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． [小题纠偏]1．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫π4≤x ≤2π3，且x ≠π2的值域为________． 解析：作出正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2，⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象，根据图象可以得到函数的值域为 (－∞，－3]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)2．(2019·常州调研)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－4x ＋π6，则f (x )的单调递增区间为________________．解析：函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－4x ＋π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6， 由2k π＋π2≤4x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π2＋π6≤x ≤k π2＋5π12，k ∈Z ， 故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π2＋π6，k π2＋5π12，k ∈Z . 答案：⎣⎡⎦⎤k π2＋π6，k π2＋5π12，k ∈Z考点一 三角函数的定义域 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·扬州中学检测)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的定义域为________________． 解析：由2x －π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z ，故所求定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋3π8，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋3π8，k ∈Z 2．求函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域．解：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.所以－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.所以函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2. [谨记通法](1)应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域，要注意本身的 要求．(2)求复杂函数的定义域时转化为求解简单的三角不等式． 考点二 三角函数的值域或最值 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2019·淮安联考)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π3，则f (x )的值域是________． 解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π3，∴x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3∈[－1,2]，故f (x )的值域是[－1,2]．答案：[－1,2]2．(2019·徐州调研)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：由正弦函数的性质知， 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. ∵y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －sin x ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝1或－12时，y max ＝2.答案：782[由题悟法]三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数来求．[即时应用]1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6. 因为x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， 所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π.答案：⎣⎡⎦⎤π3，π2．求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 解：令t ＝sin x ，因为|x |≤π4，所以t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.所以y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， 所以当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.所以函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. 考点三 三角函数的图象与性质 (题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有： (1)三角函数的周期性； (2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性．[题点全练]角度一：三角函数的周期性1．(2019·南京调研)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－πx 的最小正周期是________． 解析：函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－πx ＝－tan ⎝⎛⎭⎫πx －π3的最小正周期是ππ＝1. 答案：1角度二：三角函数的对称性2．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－3cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ⎝⎛⎭⎫|θ|＜π2的图象关于原点对称，则角θ＝________.解析：因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－π3，且f (x )的图象关于原点对称，所以f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0，所以θ－π3＝k π(k ∈Z )，即θ＝π3＋k π(k ∈Z )．又|θ|＜π2，所以θ＝π3. 答案：π3角度三：三角函数的单调性3．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈[0，π]，则f (x )的单调递增区间为________． 解析：由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z .又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π4. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π44．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析：因为f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，所以当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，所以ω＝32. 答案：32[通法在握]1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[演练冲关]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：因为f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，所以ω＝2. 所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以cos φ＝0，因为0＜φ＜2π3，所以φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又因为0＜φ＜2π3，所以π3＜π3＋φ＜π. 所以π3＋φ＝2π3，φ＝π3.所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·南通调研)已知函数y ＝cos a πx (a ＞0)的最小正周期为2，则实数a ＝________. 解析：∵函数y ＝cos a πx (a ＞0)的最小正周期为2πa π＝2，∴a ＝1.答案：12．(2018·南京名校联考)函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4的值域是________． 解析：函数y ＝tan x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，所以值域是[0,1]． 答案：[0,1]3．(2018·南京调研)如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的最小正周期是________．解析：连结AB ，设AB 与x 轴的交点为C ，则由∠AOB ＝π2，得CO ＝CA ＝CB .又OA ＝CA ，所以△AOC 是高为3的正三角形，从而OC ＝2，所以该函数的最小正周期是4.答案：44．(2018·苏北四市调研)函数y ＝3sin x ＋3cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是________．解析：化简可得y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π3 5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，α.若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则α的取值范围是________．解析：若－π6≤x ≤α，则－π6≤2x ＋π6≤2α＋π6.因为当2x ＋π6＝－π6或2x ＋π6＝7π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－12，所以要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则π2≤2α＋π6≤7π6，即π3≤2α≤π，所以π6≤α≤π2，即α的取值范围是⎣⎡⎦⎤π6，π2. 答案：⎣⎡⎦⎤π6，π26．下列正确命题的序号为________． ①y ＝tan x 为增函数；②y ＝tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为πω；③在x ∈[－π，π]上y ＝tan x 是奇函数；④在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上y ＝tan x 的最大值是1，最小值为－1. 解析：函数y ＝tan x 在定义域内不具有单调性，故①错误；函数y ＝tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为πω，故②正确；当x ＝－π2，π2时，y ＝tan x 无意义，故③错误；由正切函数的图象可知④正确．答案：②④二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·如东中学检测)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________． 解析：由y ＝sin 2x ＋sin x －1，令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则有y ＝t 2＋t－1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－54，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1，可得y ∈⎣⎡⎦⎤－54，1.答案：⎣⎡⎦⎤－54，1 2．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16＝________.解析：由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝⎛⎭⎫16＝12cos π6＝34. 答案：343．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，故f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2. 答案：－2或24．(2018·通州期末)已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，则φ＝________，ω＝________. 解析：由f (x )是R 上的偶函数，得φ＝π2＋k π，k ∈Z .∵0≤φ≤π，∴φ＝π2.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝cos ωx . ∵函数f (x )的图象关于M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称， ∴3π4ω＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω＝23＋43k ，k ∈Z . 又f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数， ∴T 2≥π2，即T ≥π， ∴0＜ω≤2.故ω＝2或23.答案：π2 2或235．(2019·海安模拟)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的对称轴方程为________．解析：对于函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象， 令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，令k ＝0，可得函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的对称轴方程为x ＝π12. 答案：x ＝π126．(2018·镇江一中测试)已知角φ的终边经过点P (－4,3)，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________. 解析：由于角φ的终边经过点P (－4,3)，所以cos φ＝－45.再根据函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得2πω＝2×π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x＋φ)，所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝cos φ＝－45. 答案：－457．(2019·阜宁中学检测)若直线x ＝k π2(|k |≤1)与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝________.解析：直线x ＝k π2(|k |≤1)与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交，等价于当x ＝k π2时，函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4无意义，即2×k π2＋π4＝π2＋m π，m ∈Z ，∴k ＝m ＋14，m ∈Z. 当m ＝0时，k ＝14，满足条件．当m ＝－1时，k ＝－34，满足条件．当m ＝1时，k ＝54，不满足条件．故满足条件的k ＝14或－34.答案：14或－348．(2019·常州调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图象与x 轴的交点A ，B ，C 满足OA ＋OC ＝2OB ，则φ＝________.解析：设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图象与x 轴的交点坐标分别为A (x 1,0)，B (x 3,0)，C (x 2,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 3， ①x 2＋x 3＝2x 1， ② ①－②得－x 3＝3x 1，将x 3＝－3x 1代入②，得x 2＝5x 1，所以T ＝x 2－x 3＝8x 1，所以ω＝2πT ＝π4x 1， 故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 4x 1＋φ. 由图象可知f (x 1)＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝0，令π4＋φ＝k π，k ∈Z ， 得φ＝k π－π4，k ∈Z . 又0＜φ＜π，所以φ＝3π4. 答案：3π4 9．(2019·宿迁中学调研)已知函数f (x )＝sin 3x ＋3cos 3x ，x ∈R .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－2π9，π3上的最值，并求出取得最值时x 的值． 解：(1)f (x )＝sin 3x ＋3cos 3x＝2⎝⎛⎭⎫12sin 3x ＋32cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3. 由2k π－π2≤3x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π3－5π18≤x ≤2k π3＋π18(k ∈Z )， 故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π3－5π18，2k π3＋π18(k ∈Z)．(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2π9，π3，∴3x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，4π3. 当3x ＋π3＝－π3或4π3，即x ＝－2π9或π3时，f (x )min ＝－3； 当3x ＋π3＝π2，即x ＝π18时，f (x )max ＝2.10．(2018·清江中学测试)已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间． 解：(1)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 又因为a ＞0，所以－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]， 所以f (x )∈[b,3a ＋b ]．又因为－5≤f (x )≤1，所以b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)知a ＝2，b ＝－5，所以f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )＞0，得g (x )＞1，所以4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1＞1，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＞12， 所以2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z . 当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z 时，g (x )单调递增， 所以g (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 当2k π＋π2≤2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，即k π＋π6≤x ＜k π＋π3，k ∈Z 时，g (x )单调递减． 所以g (x )的单调递减区间为⎣⎡⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . 综上，g (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z ；单调递减区间为⎣⎡⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．函数y ＝tan(sin x )的值域为________．解析：因为－1≤sin x ≤1，所以sin x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.又因为y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，所以tan(－1)≤y ≤tan 1，故函数的值域是[－tan 1，tan 1]．答案：[－tan 1，tan 1]2．(2018·扬州期末)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(0≤x ＜π)，且f (α)＝f (β)＝12(α≠β)，则α＋β＝________.解析：因为0≤x ＜π，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎭⎫π3，7π3，所以由f (x )＝12得2x ＋π3＝5π6或13π6，解得x ＝π4或11π12，由于f (α)＝f (β)＝12(α≠β)，所以α＋β＝π4＋11π12＝7π6. 答案：7π63．(2019·扬州调研)已知函数f (x )＝1＋3cos 2x －2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x .(1)求f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)若方程f (x )－m ＝0在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝1＋3cos 2x －2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝3cos 2x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝3cos 2x ＋sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π. 由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z . ∴f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )． (2)由题意知，函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点．由(1)知，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，7π12上单调递减，在⎣⎡⎦⎤7π12，π上单调递增， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫7π12＝－2，又f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，f (π)＝3，∴当－2＜m ≤1时，函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即方程f (x )－m ＝0在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上有两个不同的实数解．∴实数m 的取值范围为(－2,1]．。
江苏省高考数学考前压轴冲刺(新高考)-专题18 三角函数问题(解答题)(解析版)
专题18 三角函数问题考点预测三角函数与解三角形是江苏高考必考的题型，主要考察正余弦定理，三角函数的图像与性质在解三角形中的灵活运用，常考的知识点如下：1.在ABC ∆中，C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++,CB CB A tan tan 1tan tan tan -+-=.2.在ABC ∆中，B c C b a cos cos +=，A c C a b cos cos +=,A b B a c cos cos +=.3.ABC ∆的面积RabcR c ab C ab S 4221sin 21===. 4.C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===.5.222222222cos 2,cos 2,cos 2b c a B ac c b a C ab a c b A bc -+=-+=-+=.典型例题1.在△ABC 中，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2（B +C ）﹣sin 2B ﹣sin 2C +sin B sin C ＝0，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）a 的值； （Ⅱ）△ABC 的面积； 条件①：c ＝4，a +b ＝6+2； 条件②：b ＝6，sin （﹣B ）＝﹣．【分析】若选择条件①：（Ⅰ）由已知利用正弦定理即可求解a 的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理可得cos A的值，结合范围A ∈（0，π），可求A 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．若选择条件②：（Ⅰ）由正弦定理，余弦定理可得cos A的值，结合A∈（0，π），可求A的值，在根据题中条件利用三角函数恒等变换可求sin B的值，即可根据正弦定理可求a的值；（Ⅱ）利用两角和的正弦公式可求sin C的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：若选择条件①：c＝4，a+b＝6+2；（Ⅰ）因为sin2（B+C）﹣sin2B﹣sin2C+sin B sin C＝0，可得sin2B+sin2C﹣sin2A＝sin B sin C，由正弦定理可得b2+c2﹣a2＝bc，则a2＝b2+c2﹣bc＝（6+2﹣a）2+16﹣（6+2﹣a）×4，解得a＝2．（Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理可得cos A＝＝，因为A∈（0，π），所以A＝，因为a＝2，a+b＝6+2，所以b＝6，所以S△ABC＝bc sin A＝＝6．若选择条件②：b＝6，sin（﹣B）＝﹣；（Ⅰ）因为sin2（B+C）﹣sin2B﹣sin2C+sin B sin C＝0，可得sin2B+sin2C﹣sin2A＝sin B sin C，由正弦定理可得b2+c2﹣a2＝bc，在由余弦定理可得cos A＝＝，又因为A∈（0，π），所以A＝，因为sin（﹣B）＝﹣cos B＝﹣，即cos B＝，则B∈（0，），所以sin B＝则由正弦定理，及b＝6，可得a＝＝＝4．（Ⅱ）因为A＝，sin B＝，cos B＝，所以sin C＝sin（A+B）＝+＝，所以S△ABC＝ab sin C＝＝．【知识点】正弦定理、余弦定理2.已知a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，，b＝2，D为线段AC上一点且AD＝3DC．（Ⅰ）求cos B；（Ⅱ）求|BD|的最大值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理将已知等式化成边之间的关系，再由余弦定理即可求得cos B的值；（Ⅱ）利用平面向量的线性运算及数量积运算可得＝，由（Ⅰ）中结论及利用基本不等式可得，从而可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得：，∴∴，（Ⅱ）因为D为线段AC上一点且AD＝3DC，所以＝+＝+＝+（）＝+，所以＝＝＝．由（Ⅰ）知：因为：，（当且仅当a＝c＝时取等号）．所以：，得：所以：故|BD|的最大值为．【知识点】正弦定理、余弦定理专项突破一、解答题（共14小题）1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2C＝sin A sin B，＝，a2+b2＝4ab cos C．（Ⅰ）求证：C＝60°；（Ⅱ）若a＝6，求△ABM的外接圆的面积．（Ⅰ）先利用正弦定理将sin2C＝sin A sin B中的角化边，再结合a2+b2＝4ab cos C和余弦定理求得cos C，【分析】进而得角C；（Ⅱ）先证得△ABC为等边三角形，再由正弦定理求得外接圆半径，进而求出外接圆面积．【解答】（Ⅰ）证明：由正弦定理知，＝＝，∵sin2C＝sin A sin B，∴c2＝ab，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab cos C，∵a2+b2＝4ab cos C，∴c2＝2ab cos C，∴c2＝2c2cos C，∵c≠0，∴cos C＝，∵C∈（0°，180°），∴C＝60°．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，cos C＝，∴a2+b2＝2ab，即a＝b，∴△ABC为等边三角形，又a＝6，且＝，∴AM＝2，在△ABM中，由余弦定理知，BM2＝AB2+AM2﹣2AB•AM cos A＝36+4﹣2×6×2×cos60°＝28，∴BM＝．设△ABM的外接圆半径为R，∵2R＝＝，∴R＝，∴△ABM的外接圆的面积S＝πR2＝π•＝＝．【知识点】余弦定理、正弦定理2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，并且a sin（A+B）＝c sin2A．（Ⅰ）求A的值；（Ⅱ）若M为AC的中点，并且BM＝3，求△ABC面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦公式，正弦定理，二倍角的正弦公式化简已知等式，结合范围0＜A＜π，0＜C＜π，可求cos A的值，进而可求A的值．（Ⅱ）由题意可得S△ABC＝2S△ABM＝×AB×AM，设∠AMB＝θ，θ∈（0，），则由正弦定理可得AB＝2sinθ，AM＝2sin（θ+），利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△ABC＝3sin（2θ﹣）+，进而根据正弦函数的性质即可求解其取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为sin（A+B）＝sin C，所以a sin（A+B）＝c sin2A＝a sin C，根据正弦定理可得sin A sin C＝sin C sin2A＝2sin C sin A cos A，0＜A＜π，0＜C＜π，所以cos A＝，所以A＝，（Ⅱ）因为点M为AC的中点，因此S△ABC＝2S△ABM＝×AB×AM，在△ABM中，由正弦定理可得＝＝＝2，因此AB＝2sin∠AMB，AM＝2sin∠ABM，设∠AMB＝θ，θ∈（0，），则AB＝2sinθ，AM＝2sin（θ+），从而S△ABC＝6sinθsin（θ+）＝3sin（2θ﹣）+，当θ∈（0，）时，2θ﹣∈（﹣，），所以S△ABC∈（0，]．【知识点】正弦定理、余弦定理3.已知△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a＝c，A＝，____．①a sin B＝3；②当x＝B时，函数f（x）＝cos2x+sin x cos x+2取得最大值．在①②这两个条件中选择一个补充至上述横线上，求解下述问题：若问题中的三角形存在，能否求出边c的值？若能，请求出边c的值；若不能，请说明理由；若问题中的三角形不存在，请说明理由．【分析】由已知结合余弦定理可得b的值，当补充①至条件中时：分类讨论，利用余弦定理可求sin B，进而可求a的值，可求c的值；当补充②至条件中时：分类讨论，利用余弦定理可求cos B，结合分B∈（0，π），可得B＝，化简函数解析式可得f（x）＝cos（2x﹣）+，利用余弦函数的性质即可求解．【解答】解：因为a＝c，结合余弦定理可得cos A＝＝，整理可得b2﹣bc+c2＝0，即（b﹣c）（b﹣c）＝0，解得b＝c，或c，当补充①至条件中时：当b＝c时，由余弦定理可得cos B＝＝，则sin B＝，再由a sin B＝3，可得a＝6，可得c＝6；当b＝c时，由余弦定理可得cos B＝＝0，则sin B＝1，再由a sin B＝3，可得a＝3，可得c＝3，综上可知三角形存在，且可求得c＝6或3．当补充②至条件中时：当b＝c时，由余弦定理可得cos B＝＝，由B∈（0，π），可得B＝；当b＝c时，由余弦定理可得cos B＝＝0，由B∈（0，π），可得B＝；因为f（x）＝cos2x+sin x cos x+2＝+sin2x+2＝cos（2x﹣）+，要使f（x）取得最大值，只需2x﹣＝2kπ，k∈Z，解得x＝kπ+，k∈Z，所以B＝时，满足条件，综上所述，这样的三角形存在，但这样的三角形彼此相似，有无数多个，故无法确定边长c的值．【知识点】两角和与差的三角函数、余弦定理、正弦定理4.在①；②c sin A＝3；③三边成等比数列．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，____．【分析】若选①根据题意，结合正弦定理，可得b＝a，c＝，结合C＝，运用余弦定理即可求得c＝1，进而可求B，A的值；若选②根据题意，△ABC中，c sin A＝a sin C，即可求得a＝6，进而得到b＝2．运用余弦定理即可求得c＝2，即可得解；若选③由已知利用正弦定理可得a＝b，由余弦定理可得c＝b，可得B＝C＝，A＝，可得a＞b＝c，推出矛盾，可得问题中的三角形不存在．【解答】解：若选①ac＝，因为△ABC中，sin A＝sin B，即b＝a，又ac＝，可得c＝，所以cos C＝＝＝，所以a＝，b＝1，c＝1，B＝C＝，A＝．若选②c sin A＝3，因为△ABC中，c sin A＝a sin C＝a sin＝3，解得a＝6，因为sin A＝sin B，即a＝b，解得b＝2．所以cos C＝＝＝，可得c＝2，所以B＝C＝，A＝．若选③，三边成等比数列，因为，，可得a＝b，由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝（b）2+b2﹣2×b×b×＝b2，可得c＝b，所以B＝C＝，A＝，所以a＞b＝c，与三边成等比数列矛盾，故问题中的三角形不存在．【知识点】三角形中的几何计算5.已知函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数的值域；（2）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边长分别为a，b，c，若，，△ABC 的面积为，b﹣c＝2，求a的值．【分析】（1）由函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0）的最小正周期为π．求出ω＝2，从而得到f（x）＝cos2x，g（x）＝2sin（2x﹣），由此能求出函数g（x）的值域．（2）由题意得cos2A＝﹣，推导出A，由△ABC的面积为3，推导出bc，再由b﹣c＝2，利用余弦定理能求出a．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0）的最小正周期为π．∴＝π，由ω＞0，得ω＝2，此时f（x）＝cos2x，则g（x）＝2sin（2x﹣），当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，2sin（2x﹣）∈[﹣1m2]，∴函数的值域为[﹣1，2]．（2）由题意得cos2A＝﹣，∵A∈（0，），则得2A∈（0，π），∴2A＝，解得A＝，∵△ABC的面积为3，则得，即＝3，即bc＝12，∵b﹣c＝2，∴由余弦定理得a＝＝＝＝＝4．【知识点】余弦定理、三角函数的周期性6.已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[﹣t，t]上单调递增，求实数t的最大值．【分析】（1）由图象的最大值可得A，由f（0）＝1，可得φ，由f（）＝0，可得ω，从而可求得函数f（x）的解析式；（2）由函数的平移变换可得g（x），由正弦函数的性质求得g（x）的单调递增区间，从而可求得t的取值范围，即可求得t的最大值．【解答】解：由题图可知，A＝2，又f（0）＝1，所以2sin（ω•0+φ）＝1，即sinφ＝，又|φ|＜，所以φ|＝，因为f（）＝0，所以2sin（ω•+）＝0，结合题图可知ω•+＝2kπ，k∈Z，即ω＝，k∈Z，又T＞，所以0＜ω＜，所以ω＝2，所以f（x）＝2sin（2x+）．（2）因为将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，所以g（x）＝2sin（4x+）．令﹣+2kπ≤4x+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+≤x≤+，k∈Z，因为g（x）在区间[﹣t，t]上单调递增，所以，解得t≤，所以实数t的最大值为．【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换7.在①；②2a cos A＝b cos C+c cos B，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知_______．（1）求角A；（2）设△ABC的面积为S，若，求面积S的最大值．【分析】（1）首先任选择一个条件，然后根据正弦定理进行边角互化，再根据三角恒等变换，化简求值．（2）由（1）得A＝，利用余弦定理和基本不等式求bc的最大值，再求面积的最大值．【解答】解：（1）若选条件①，∵，∴由正弦定理得，∵sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∴＝，，∵sin C≠0，∴，∵0＜A＜π，∴；若选条件②，∵2a cos A＝b cos C+c cos B，∴由正弦定理得2sin A cos A＝sin B cos C+sin C cos B，即2sin A cos A＝sin（B+C）＝sin A，，∵0＜A＜π，∴；若选条件③，∵，∴由正弦定理得，∵sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∴＝sin A cos C+cos A sin C，，∵sin C≠0，∴，∵0＜A＜π，∴；所以不管选择哪个条件，．（2）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，，即b2+c2﹣bc＝3，∵b2+c2≥2bc，∴2bc﹣bc≤3，即bc≤3，当b＝c时等号成立．∴bc的最大值为3，∵，∴．【知识点】正弦定理、两角和与差的三角函数8.已知f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω＜4，|φ|＜）过点（0，），且当x＝时，函数f（x）取得最大值1．（1）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x），求函数g（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，函数h（x）＝f（x）+g（x）+2cos2x﹣1，求h（x）在[0，]上的值域．【分析】（1）由函数的最值求出A，由特殊点的坐标求出φ的值，由周期求出ω，可得f（x）的解析式，再根据y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式．（2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数图象及性质即可得出结论．【解答】解：（1）由题意可得A＝1，由函数过，得，结合范围，由，∵0＜ω＜4，∴可得：ω＝2，可得：，∴．（2）∵，由于，可得：，∴h（x）在上的值域为[﹣1，2]．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、三角函数的最值9.如图，在平面四边形ABCD中，已知AD＝AB＝1，∠BAD＝θ，且△BCD为等边三角形．（1）将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；（2）求S的最大值及此时θ的值．【分析】（1）在△ABD中，根据余弦定理可表示BD，根据S＝ab sin c可表示出△ABD，△BCD的面积，从而表示出四边形ABCD的面积；（2）由（1）可把四边形面积S化为S＝A sin（ωx+φ）+B形式，根据三角函数的有界性可求其最值．【解答】解：（1）BD＝＝，S△ABD＝×1×1×sinθ＝sinθ，S△BCD＝×BD2＝（2﹣2cosθ）＝﹣cosθ，∴S ABCD＝sinθ﹣cosθ+（0＜θ＜π）．（2）由（1）得S ABCD＝sinθ﹣cosθ+＝sin（θ﹣）+，∵0＜θ＜π，∴﹣＜θ﹣＜，当θ﹣＝时，即θ＝时，S有最大值1+．【知识点】三角函数的最值10.已知函数f（x）＝cos x．（1）若α，β为锐角，，，求cos2α及tan（β﹣α）的值；（2）函数g（x）＝f（2x）﹣3，若对任意x都有g2（x）≤（2+a）g（x）﹣2﹣a恒成立，求实数a的最大值；（3）已知，α，β∈（0，π），求α及β的值．【分析】（1）结合余弦的二倍角公式和弦化切的思想，可得cos2α＝cos2α﹣sin2α＝＝，代入已知数据计算即可；由于α，β为锐角，所以2α∈（0，π），α+β∈（0，π），再结合同角三角函数的平方关系和商数关系，可依次求得tan2α＝，tan（α+β）＝﹣2，然后利用拼凑角的思想和正切的两角差公式可知tan（β﹣α）＝tan（α+β﹣2α）＝，代入已得数据进行计算即可；（2）g（x）＝f（2x）﹣3＝cos2x﹣3，原问题可转化为（cos2x﹣4）a≥（cos2x﹣3）2﹣2（co2x﹣3）+2恒成立，设cos2x﹣4＝t，则t∈[﹣5，﹣3]，所以at≥（t+1）2﹣2（t+1）+2＝t2+1，则a≤t+．令y＝t+，结合对勾函数的性质即可得函数y的最小值，从而得解；（3）由题可知，cosα+cosβ﹣cos（α+β）＝，因为α，β∈（0，π），所以α＝β＝．【解答】解：（1）∵tanα＝，∴cos2α＝cos2α﹣sin2α＝＝＝＝，∵α，β为锐角，即，∴2α∈（0，π），α+β∈（0，π）．∴sin2α＝＝，∴tan2α＝，∵f（x）＝cos x，∴f（α+β）＝cos（α+β）＝，∴sin（α+β）＝＝，∴tan（α+β）＝＝﹣2，∴tan（β﹣α）＝tan（α+β﹣2α）＝＝＝．综上，cos2α＝，tan（β﹣α）＝．（2）g（x）＝f（2x）﹣3＝cos2x﹣3，∵对任意x都有g2（x）≤（2+a）g（x）﹣2﹣a恒成立，∴（cos2x﹣3）2≤（2+a）（cos2x﹣3）﹣2﹣a恒成立，即（cos2x﹣4）a≥（cos2x﹣3）2﹣2（cos2x﹣3）+2恒成立，设cos2x﹣4＝t，则t∈[﹣5，﹣3]，∴at≥（t+1）2﹣2（t+1）+2＝t2+1，则a≤t+．设y＝t+，由对勾函数的性质可知，函数y在区间[﹣5，﹣3]上为增函数，∴y＝t+≥﹣5﹣＝，∴a≤，故a的最大值为．（3）∵，∴cosα+cosβ﹣cos（α+β）＝，∵α，β∈（0，π），∴α＝β＝．【知识点】二倍角的三角函数、两角和与差的三角函数、三角函数的最值11.如图，某校打算在长为1千米的主干道AB一侧的一片区域内临时搭建一个强基计划高校咨询和宣传台，该区域由直角三角形区域ACB（∠ACB为直角）和以BC为直径的半圆形区域组成，点P（异于B，C）为半圆弧上一点，点H在线段AB上，且满足CH⊥AB．已知∠PBA＝60°，设∠ABC＝θ，且θ∈[，）．初步设想把咨询台安排在线段CH，CP上，把宣传海报悬挂在弧CP和线段CH上．（1）若为了让学生获得更多的咨询机会，让更多的省内高校参展，打算让CH+CP最大，求该最大值；（2）若为了让学生了解更多的省外高校，贴出更多高校的海报，打算让弧CP和线段CH的长度之和最大，求此时的θ的值．【分析】（1）利用直角三角形的边角关系求出BC、CH和CP的表达式，再计算CH+CP的最大值；（2）取线段BC的中点O，连接OP，计算和线段CH的长度之和y，构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而求得弧CP和线段CH的长度之和最大时对应θ的值．【解答】解：（1）在Rt△ACB中，BC＝1×cosθ＝cosθ，在Rt△CBH中，CH＝cosθ×sinθ＝sinθcosθ；在Rt△CBP中，CP＝cosθsin（﹣θ）；所以CH+CP＝sinθcosθ+cosθsin（﹣θ）＝sinθcosθ+cosθ（cosθ﹣sinθ）＝sinθcosθ+cos2θ＝sin2θ+×＝sin（2θ+）+，因为θ∈[，），所以≤2θ+＜π，所以当且仅当2θ+＝，即θ＝时，CH+CP最大，最大值为千米；（2）取线段BC的中点O，连接OP，如图所示，则∠COP＝2∠CBP＝2（﹣θ）＝﹣2θ；由（1）知，CO＝BC＝cosθ，所以的长为cosθ•（﹣2θ）＝cosθ﹣θcosθ；由（1）知，CH＝sinθcosθ，所以和线段CH的长度之和为y＝cosθ﹣θcosθ+sinθcosθ＝cosθ（﹣θ+sinθ），θ∈[，）；设f（θ）＝﹣θ+sinθ，θ∈[，），g（θ）＝cosθ，θ∈[，），则y＝f（θ）g（θ）；因为f′（θ）＝﹣1+cosθ，θ∈[，），所以f′（θ）＝﹣1+cosθ＜0，所以函数f（θ）在区间[，）上单调递减，所以＜f（θ）≤f（），易知函数g（θ）在区间[，）上也是单调递减函数；所以g（θ）≤g（），所以f（θ）g（θ）≤f（）•g（）；所以当且仅当θ＝时，弧CP和线段CH的长度之和最大．【知识点】三角函数模型的应用12.如图，在凸四边形ABCD中，AB＝1，BC＝，AC⊥DC，CD＝AC．设∠ABC＝θ．（1）若θ＝30°，求AD的长；（2）当θ变化时，求BD的最大值．【分析】（1）在△ABC中，利用余弦定理可求AC，进而在△ACD中，利用勾股定理可求AD的值．（2）设AC＝x，CD＝x，在△ABC中，利用余弦定理可求x2＝4﹣2cosθ，利用正弦定理可得sin∠ACB＝，进而利用三角函数恒等变换的应用，余弦定理可求BD＝，结合范围θ∈（0，π），利用正弦函数的图象和性质可求BD的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC，∴AC2＝1+3﹣2cos30°＝1，∴AC＝1…（2分）在△ACD中，AD2＝AC2+DC2＝4AC2＝4，∴AD＝2．…（4分）（2）设AC＝x，CD＝x，在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC，x2＝4﹣2cosθ，…（5分）∵＝，∴sin∠ACB＝．…（7分）在△BCD中，BD＝＝＝＝＝＝，…（10分）∵θ∈（0，π），∴θ﹣∈（﹣，），当θ﹣＝，θ＝时BD取到最大值3．…（12分）【知识点】正弦定理、余弦定理13.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）若b＝，C＝120°，求△ABC的面积S；（2）若b：c＝2：3，求．【分析】（1）由正弦定理化简已知条件，解得a，又知b，C，由三角形面积公式ab sin C可求得面积；（2）由已知条件可得a，b，c的比例关系，由倍角公式和正弦定理，余弦定理化简即可得结果．【解答】解：（1）由正弦定理知，c sin B＝b sin C；由2a sin C＝c sin B，得2a sin C＝b sin C，故2a＝b，∵b＝，∴a＝6；又C＝120°，△ABC的面积S＝＝＝18，故△ABC的面积S为18．（2）由2a＝，b：c＝2：3，∴，∴，＝＝＝2cos A﹣；＝＝；∴2cos A﹣＝1．故．【知识点】解三角形14.已知函数f（x）＝（a sin x+b sin2x）+a cos x﹣b cos2x，a，b∈R．（1）若a＝b＝1，求f（x）的值域；（2）若存在b，使得f（x）+4≥0恒成立，求a的最大值．【分析】（1）利用三角函数的三角变换，将f（x）化简，再利用二次函数的性质，求出f（x）的最值，求出值域；（2）f（x）+4＝2a sin（x+）+2b sin（2x﹣）＝4b sin2（x+）+2a sin（x+）﹣2b＝4b sin2（x+）+2a sin（x+）﹣2b+4≥0恒成立，分b＝0及b≠0分类讨论恒成立的条件来判断a的取值范围，进而求出其最大值．【解答】解：（1）由题设知：f（x）＝a（sin x+cos x）+b（sin2x﹣cos2x）＝2a sin（x+）+2b sin（2x﹣），又a＝b＝1，故f（x）＝2sin（x+）+2sin[2（x+）﹣]＝2sin（x+）﹣2cos[2（x+）]＝2sin（x+）﹣2[1﹣2sin2（x+）]，即f（x）＝4sin2（x+）+2sin（x+）﹣2＝4[sin（x+）+]2﹣，∵令t＝sin（x+）∈[﹣1，1]，∴f（t）＝4（t+）2﹣，抛物线开口向上，对称轴t＝﹣∈[﹣1，1]，因为|1﹣（﹣）|＞|﹣1﹣（﹣）|，所以当t＝﹣时，f（t）最小且为﹣，当t＝1时，f（t）最大且为4（1+）2﹣＝4，所以f（x）∈[﹣，4]．故f（x）的值域为[﹣，4]；（2）由（1）易知：f（x）＝2a sin（x+）+2b sin（2x﹣）＝4b sin2（x+）+2a sin（x+）﹣2b，依题意存在b，使得4b sin2（x+）+2a sin（x+）﹣2b+4≥0恒成立，若b＝0，则2a sin（x+）+4≥0恒成立，∴，解得﹣2≤a≤2若b≠0，则，∴，∴，解得﹣，综上可知a的最大值为．故答案为：（1）[﹣，4]；（2）【知识点】三角函数的最值、两角和与差的三角函数。
2020年高考江苏版高考数学 4.2 三角函数的图象和性质
所以ω=-3k,k∈Z,
又ω>0,∴ω的最小值为3.
答案 3
=-1- 2 . 2
方法二 利用三角函数性质求参数
利用三角函数性质求参数是三角函数性质应用的主要题型.正确解答此 类问题的关键是掌握三角函数的各个性质.这种题型常见的有两类: 1.由定义域、值域、最值求参数. 2.由函数奇偶性、单调性、周期性求参数.
例2
(2017江苏苏州期中)已知函数f(x)=sin ωx
解析 本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质.
f(x)=2cos2x-sin2x+2=2(1-sin2x)-sin2x+2=4-3sin2x=4-3× 1 cos 2x = 5 +
22
3cos 2x ,∴f(x)的最小正周期T=π,当cos 2x=1时,f(x)取最大值,为4.
2
答案 ②
方法技巧
⑤ [-1,1]
对称轴:⑥ x=kπ+ 2 (k∈Z) 对称中心:⑦ (kπ,0)(k∈Z)
;
对称轴:⑧ x=kπ(k∈Z)
对称中心:⑨
k
2
,
0
; (k∈Z)
2π
ห้องสมุดไป่ตู้
2π
R
对称中心:
⑩
k 2
,
0
(k∈Z)
π
单调性 奇偶性
单调增区间:
考点清单
考点一 三角函数的图象及其变换
考向基础 1.“五点法”作图原理:在确定正弦函数y=sin x在[0,2π]上的图象形状时,起
关键作用的五个点是①
(0,0)
、②
2021版江苏高考数学复习讲义：三角函数的图象与性质含答案
2．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是 ．π [T ＝2π2＝π.]3．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调减区间是 ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋kπ，7π8＋kπ(k ∈Z ) [由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z 得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z .] 4．y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间上的值域是 ．考点1 三角函数的定义域和值域D [由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ， 即x ≠kπ2＋π6(k ∈Z )，故选D.] 2．(20xx·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为 ． －4 [f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1，令cos x ＝t ，则t ∈[－1,1]．f (t )＝－2t 2－3t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋342＋178， 易知当t ＝1时，f (t )min ＝－2×12－3×1＋1＝－4. 故f (x )的最小值为－4.] 3．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋b (a ＜0)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域为[－5,1]，则a ＋b ＝ .－1 [因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.因为a ＜0，所以f (x )∈[3a ＋b ，b ]．因为函数的值域为[－5,1]，所以3a ＋b ＝－5，b ＝1，所以a ＝－2，所以a ＋b ＝－1.]4．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为 ．[设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sinx ·cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2. ∴y ＝－t22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]． 当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－2.∴函数的值域为.]求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)形如y ＝a sin 3x ＋b sin 2x ＋c sin x ＋d ，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值．考点2 三角函数的单调性(1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )(2)(20xx·大连模拟)函数y ＝12sin x ＋32cos x 的单调递增区间是 ．(1)B (2) [(1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，得kπ2－π12＜x ＜kπ2＋5π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫kπ2－π12，kπ2＋5π12(k ∈Z )，故选B.(2)∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2kπ－5π6≤x≤2kπ＋π6(k∈Z)．∴函数的单调递增区间为 (k∈Z)，又x∈，∴单调递增区间为.]本例(2) 在整体求得函数y＝1 2sin x＋32cos x的增区间后，采用对k赋值的方式求得x∈上的区间．根据函数的单调性求参数1.若函数f (x )＝sinωx (ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝ .32 [由已知得T 4＝π3，∴T ＝4π3，∴ω＝2πT ＝32.] 2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x＋π3的单调减区间为 ．[由已知，得函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间即可．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调减区间为(k ∈Z )．]考点3 三角函数的周期性、奇偶性、对称性。
江苏高考数学复习三角函数解三角形第24课二倍角的三角函数教师用书
第24课 二倍角的三角函数[最新考纲]1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．二倍角公式的变形及逆用 (1)公式C 2α的变形： ①sin 2α＝12(1－cos 2α)；②cos 2α＝12(1＋cos 2α)．(2)公式的逆用：①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2； ②sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对∀α∈R ，sin 2α＝2sin α均不成立．( ) (2)sin2π8－cos 2π8＝cos π4＝22.( ) (3)sin α＋cos α＝1＋sin 2α.( ) (4)等式1＋cos α＝2sin 2α2对∀α∈R 均成立．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．下列各式中值为32的是________．(填序号) ①2sin 15°cos 15°；②cos 215°－sin 215°；③2sin 215°－1；④sin 215°＋cos 215°. ② [2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32，2sin 215°－1＝－cos 30°＝－32， sin 215°＋cos 215°＝1.]3．若sin α＝255，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan 2α＝________.－43 [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝255，∴cos α＝1－sin 2α＝55， ∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43.] 4．(2017·南京模拟)若tan α＝3，则sin 2α1＋cos 2α＝________.3 [sin 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α2cos 2α＝tan α＝ 3.] 5．(教材改编)函数 f (x )＝3sin x ＋cos x 的最小值为________．－2 [函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最小值是－2.](2017·无锡模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－α＝－4，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． [解] (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2， ∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3·sin π3＝12.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π. 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.[规律方法] 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．如本题中⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，从而先利用诱导公式变换函数名，进而逆用二倍角公式求值．[变式训练1] (2017·南京、盐城二模)已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值. 【导学号：62172133】 [解] (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2.(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2sinπ6＝43＋310.(1)化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.(2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(1)22cos α [原式＝2sin αcos α－2cos 2α22α－cos α＝22cos α.](2)原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝12－sin 22x2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝12cos 2x .[规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．[变式训练2] 化简sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α＝________.12 [法一：原式＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.]已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值. 【导学号：62172134】[解] (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.[规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．[变式训练3] 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．[解] (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32.因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．[思想与方法]1．三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换．2．利用三角函数值求角要考虑角的范围．3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决．[易错与防范]1．利用辅助角公式a sin x ＋b cos x 转化时，一定要严格对照和差公式，防止弄错辅助角．2．计算形如y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，不要将ωx ＋φ的范围和x 的范围混淆．课时分层训练(二十四)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于________．16 [因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.]2．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________.【导学号：62172135】3 [∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－－32＝ 3.]3．(2016·全国卷Ⅲ改编)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝________.45 [∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ. 又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45.]4．已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.－75[cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α.∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45.∴原式＝－75.]5．(2017·苏州模拟)已知sin(α－45°)＝－210且0°<α<90°，则cos 2α的值为________. 【导学号：62172136】725 [∵sin(α－45°)＝－210， ∴sin α－cos α＝－15，∴2sin αcos α＝2425，∴sin α＋cos α＝1＋sin 2α＝75，∴sin α＝35，cos α＝45.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725.]6．(2016·山东高考改编)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是________．π [法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.]7．(2017·苏州模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________.【导学号：62172137】－78 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－78.]8．化简2＋2cos 8＋21－sin 8＝________. －2sin 4 [2＋2cos 8＋21－sin 8 ＝＋＋21－2sin 4cos 4＝2×2cos 24＋2－2＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.] 9．(2017·南通模拟)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为________．－1718 [∵3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∴3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α，∴3×2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α≠0，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16， 即sin α＋cos α＝26， ∴sin 2α＝－3436＝－1718.]10．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝______________.2－156 [∵cos 4α－sin 4α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝23， 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)．∴sin 2α＝53. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝cos 2αcos π3－sin 2αsin π3 ＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53 ＝2－156.] 二、解答题11．(2017·盐城期中)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期； (2)若f (x )＝－1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x 的值． [解] (1)因为f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2＝32sin 2x －cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )＝－1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝－1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12. 12．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值； (2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24. [解] (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4 ＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α. 又因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos α＝－45， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12×35－32×45 ＝10＋32－4620. B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋4cos 2x 2(x ∈R )的最大值等于________． 92 [由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2＝32sin x ＋2cos x ＋2≤94＋4＋2＝92.] 2．如图241，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为________．图241513[由题意得|OB |＝|OC |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，∴sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513， ∴3cos 2α2－sin α2·cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.] 3．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值． [解] ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171＋12×17＝13＞0， ∴0＜α＜π2. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34＞0， ∴0＜2α＜π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－3π4. 4．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域． [解] (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32. 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. 故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.。
江苏高考数学知识点归纳大全
江苏高考数学知识点归纳大全江苏高考数学考试一直以来都是考生们备战的重中之重。
数学作为一门必修科目，占据着高考总分的较大比重。
细致归纳江苏高考数学知识点，对于备考的考生们来说，无疑是一个很有实用价值的学习工具。
本文将以不同的数学知识领域进行归纳，从而帮助同学们更全面、系统地复习数学，提高应对高考的能力。
一. 函数与方程函数是数学中非常重要的一个概念，被广泛应用于各个领域。
在高中数学中，我们学习了一元二次函数、指数函数、对数函数等各种类型的函数。
对于江苏高考数学来说，以下几个知识点是必须要掌握的：函数定义、函数的图象与解析式、函数的性质与变化规律、解析几何与函数的应用。
二. 三角函数与解三角形三角函数是高考数学中的一个重点内容。
江苏高考数学中对三角函数的考查主要包括以下几个方面：基本概念及性质、函数图象、函数关系、函数应用、解三角形等。
三. 数列与数列极限数列作为高中数学中的一项重要内容，也是江苏高考数学中比较重要的一部分。
我们需要掌握的数列知识点包括：数列的概念、通项公式、数列求和公式、等差数列与等比数列、数列极限等。
四. 概率与统计概率与统计是高中数学的一个重要分支，是江苏高考数学中的难点和重点。
概率与统计的考查主要包括以下几个方面：随机事件与概率、统计量与数据分析、离散型与连续型分布等。
五. 二次函数与二次方程二次函数与二次方程是高中数学中的重点内容之一，也是江苏高考数学中的热点。
我们需要掌握的二次函数与二次方程的知识点包括：函数图象、函数性质、函数作图、方程求解等。
六. 几何知识几何是学习数学不可或缺的内容，也是高考数学中的必考内容。
江苏高考数学的几何知识点主要包括：平面几何、立体几何、向量、坐标系等。
在几何知识的学习中，我们需要掌握一些重要的定理和公式，如：勾股定理、正弦定理、余弦定理、面积公式等。
七. 解析几何解析几何是几何与代数相结合的一门学科，是江苏高考数学中的重要内容。
我们需要掌握的解析几何知识点包括：直线的方程、圆的方程、曲线的方程、解析几何的应用等。
高考江苏版高考数学 第三节 三角函数的图象和性质
2.利用单调性确定ω的范围的方法 已知函数的单调区间的某一部分,确定参数ω的范围时,要明确已知的单 调区间应为函数的单调区间的子集,其次要确定已知函数的单调区间, 从而利用它们之间的关系求解.
同类练
函数f(x)=sin 2x
3
的单调减区间为
.
答案
k
12
,
k
5
12
12
故所给函数的单调减区间为 k
12
, k
5
12
(k∈Z).
变式练
已知函数f(x)=2sin x
3
,设a=f 7 ,b=f 6 ,c=f 3 ,则a,b,c的
大小关系是
.(用“<”连接)
答案 c<a<b
=
3 2
2
-
1 2
2
-2 3
× 23 × 12
=2.
(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x,得
f(x)=-cos
2x- 3
sin
2x=-2sin 2x
6
,
所以f(x)的最小正周期是π.
教 1.周期函数的定义 材 研 2.三角函数的图象和性质 读
考 考点一 三角函数的定义域与值域 点 考点二 三角函数的单调性 突 破 考点三 三角函数的周期性、奇偶性及对称性
教材研读
1.周期函数的定义
对于函数y=f(x),若存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一 个值时,① f(x+T)=f(x) 都成立,则称y=f(x)为周期函数.
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大方向教育个性化辅导教案 教师： 徐琨 学生： 学科： 数学 时间：
课 题（课型） 三角函数
教学方法：
知识梳理、例题讲解、归纳总结、巩固训练 【课标要求】
1．课程目标
通过三角函数的教学，使学生逐步理解三角函数的概念及基本性质；认识三角函数与实际生活的紧密联系；体会三角函数在解决具有周期变化规律问题中的作用．
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，认识并可以运用它们解决一些实际问题．
2．复习要求
（１）理解三角函数的定义及有关概念，理解同角三角函数的基本关系式，理解正弦、余弦的诱导公式．
（２）理解正弦函数、余弦函数、正切函数函数的图像和性质；了解)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质．
（３）掌握两角和（差）的正弦、余弦和正切；理解二倍角的正弦、余弦和正切；了解几个三角恒等式的恒等变换．
（４）理解正弦定理、余弦定理及其应用．
【典型例题】
例1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．已知a ＋2c ＝2b ，sin B ＝2sin C ，则cos A ＝ ▲ ．
例2.（2014江苏卷14）若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 .
例3.（江苏省东海县第二中学2014届高三第三次学情调研）若ABC ∆的内角A 、B ,满足sin 2cos()sin B A B A
=+,则tan B 的最大值为 ▲ .
例 4.（兴化市2014届高三上学期期中）在ABC ∆中，已知0sin sin sin sin sin 222=---C B C B A ，则A ∠的大小为＿＿＿＿．
例5.（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知αβ，为锐角,且
2tan tan 15
t t αβ==，，当10tan 3tan αβ+取得最小值时,αβ+ 的值为______.
例 6.（江苏省泗阳中学2014届高三第一次检测数学试题）若
12cos cos sin sin ,sin 2sin 223
x y x y x y +=+=,则sin()________x y +=
例7.（2015届江苏南京高三9月调研）已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(π2
，－2)． （1）求φ的值；
（2）若f (α2)＝65，－π2＜α＜0，求sin(2α－π6
)的值．
例8.（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知在△ABC 中，sin()2sin()A B A B +=-．
（1）若π6
B =，求A ； （2）若tan 2A =，求tan B 的值．
例9.在ABC ∆中，54cos ,135cos =-
=C B ． (1)求A sin 的值；
(2)设ABC ∆的面积2
33=∆ABC S ，求BC 的长．
例10.已知ABC ∆中,其面积为3, 360,≤≤=∙m m AC AB ,AC AB 与的夹角为θ⑴ 求θ的取值范围；
⑵ 求函数()θθθθcos sin 3cos 2-=f 的值域.
例11.（江苏省诚贤中学2014届高三12月月考）
在△ABC ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++
（1） 求角A 值；
（2） 求C B cos sin 3-的最大值.
例12.（江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考）
在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 .3tan )(222bc A a c b =-+
（1）求角A ；
（2）若a =2，求△ABC 面积S 的最大值.
例13.（淮安、宿迁市2014届高三11月诊断）
已知函数()sin()(00[0))f x A x A ωϕωϕ=+∈π＞＞，，，的图象如图所示．
（1）求()f x 的解析式；
（2）求函数()()3(2)g x f x f x =++在[13]x ∈-，上的最大值和最小值.
x y O 3 -3 1- 3 (第16题图)
例14、（苏州市2014届高三上学期期中）已知函数2()sin 223sin 13f x x x =++-.
(I)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；
(II)当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，若2()log f x t ≥恒成立，求t 的取值范围.
例15.（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知函数
()sin()(00[0))f x A x A ωϕωϕ=+∈π＞＞，，，的图象如图所示.
(1)求()f x 的解析式;
(2)求函数()()3(2)g x f x f x =++在[13]x ∈-，上的最大值和最小值.
教师评定：
1、学生上次作业评价： ○好 ○较好 ○一般 ○差
2、学生本次上课情况评价：○好 ○较好 ○一般 ○差
教师签字：
教导主任签字：
大方向教育教务
x
y
O 3
-3 1-
3 (第16题图)。