最小势能原理-结构力学
2_杆系结构有限元分析1
( x) Nii N j j
x x N 1 , N 其中 i 为形函数。 j l l
由材料力学扭转可知
d dN e e M GI p GI p θ GI p B θ dx dx
其中 B
dN 1 1 dx l l
§1-2 扭转杆单元
e
外力势能 V u
e
e T
fe
e
1 e T e e e T 总势能 U V u K u u f e 2
e e
§1-1 拉(压)杆单元
1 e T e e e T U V u K u u f e 2
e e e
根据最小势能原理，势能泛函取驻值的必要条件
空间杆单元坐标变换矩阵
0 T 0
单元在两个坐标系中刚度矩阵转换关系同样有
K e T T K ' T
e
矩阵中仅仅包含有坐标的倾角，仅平行移动坐标轴，刚度矩阵 中元素值不变，矩阵的阶数也不改变。
§1-2 扭转杆单元
结点位移向量θe i , j
T
结点力向量
平衡关系
杆单元结点力向量
f U i
e
Uj
T
单元在外力和内力作用下处于平衡状态，反映单元平衡状态 的关系式就是刚度方程。下面利用最小势能原理推导单元的 刚度方程。 最小势能原理：在满足连续条件和边界条件的位移中，满足 平衡条件的位移其总势能最小，反之亦然。 单元总势能
e U e V e
M e Mi , M j
T
杆件发生自由扭转时，待求位移是截面的扭转角 ( x) 在局部坐标系中，每一个点将具有一个基本未知位移，最简单 的单元位移函数可以设为
弹性力学的变分原理和应用
弹性力学的变分原理和应用1. 弹性力学的基本原理•弹性力学是研究物体在受力后发生形变，但受力取消后又能恢复原状的力学学科。
•弹性力学的基本原理包括胡克定律、平衡条件和应变能最小原理。
1.1 胡克定律•胡克定律是描述弹性体材料内部应力和应变之间关系的基本规律。
•胡克定律表述为应力与应变之间成正比，且比例系数为弹性模量。
•弹性模量是衡量材料弹性性能的物理参数，常见的有杨氏模量、剪切模量等。
1.2 平衡条件•在弹性力学中，物体达到平衡时需要满足平衡条件。
•平衡条件包括力的平衡条件和力矩的平衡条件。
力的平衡条件要求合外力为零，力矩的平衡条件要求合外力矩为零。
1.3 应变能最小原理•应变能最小原理是变分法在弹性力学中的应用。
•应变能是描述物体变形程度的物理量，应变能最小原理认为在给定边界条件下，物体的平衡状态对应的应变能应该是极小值。
2. 弹性力学的变分原理•变分原理是弹性力学中一种重要的数学方法，用于研究力学系统的平衡和稳定性。
•弹性力学的变分原理主要有广义虚功原理和最小势能原理。
2.1 广义虚功原理•广义虚功原理是描述连续介质力学中变形对象平衡状态的数学表述。
•广义虚功原理要求在满足平衡条件的情况下，任意变形状态与原始状态之间的虚功总和等于零。
•广义虚功原理能够推导出弹性力学的基本方程，如平衡方程和边界条件。
2.2 最小势能原理•最小势能原理是应变能最小原理在弹性力学中的具体应用。
•最小势能原理认为在给定边界条件下，力学系统的平衡状态对应的势能应该是极小值。
•最小势能原理可以通过变分法推导出与广义虚功原理等价的弹性力学方程。
3. 弹性力学的应用•弹性力学在工程和科学研究中有广泛的应用，以下列举其中一些应用领域。
3.1 结构力学•弹性力学在结构力学领域中应用广泛，用于探索材料的力学性能和结构的稳定性。
•结构力学涉及材料的弹性性质、刚度、变形和应力分布等问题，借助弹性力学的原理可以进行合理的设计和分析。
3.2 地质力学•地质力学研究地球内部岩石和土壤的力学性质及其变形行为。
结构力学：势能原理
2EA
P12l EA
P12l 2EA
杆件轴力
45
45
45
杆件伸长量
N1l 2 P1l
EA 2 EA
l Al
l
A点竖向位移 1
外力势能 Ve*
2 P1l
EA Pi i P11
P1
P12l EA
应变能
Ve
1 2
N1
2
P12l 2 EA
1
EP
P12l
结构势能
势能驻值原理
EP
Ve
VP*
例:求图示桁架在平衡状态下的结构势能.EA=常数.
解: 杆件轴力
杆件伸长量 N1l 2 P1l
EA 2 EA
45
45
l Al
A点竖向位移
1
2 P1l
EA
外力势能 Ve*
Pi i
P11Leabharlann P12l EAP1 1
应变能 结构势能
Ve
1 2
EP Ve
N1
VP*
2
P12l
P122l
EA
dEP d
EA l
(
1
)
0
应变能 外力势能
Ve Ve*
1 N 2
2 P1
EA2
1
2l
EP (1)
EA21 2l
P11
P12l 2EA
结构势能
EP
EA2 2l
P1
EA[( 2l
1 ) 2
21 ]
P12l 2 EA
2EA
1
设A点发生任意竖向位移 , EP 是 的函数.
45
Al
P1
力学系统的虚功原理与最小能量原理
力学系统的虚功原理与最小能量原理力学是研究物体运动和力的学科，虚功原理和最小能量原理是力学中的两个重要概念。
虚功原理是指在平衡状态下，外力对于系统所做的虚功为零；最小能量原理则是指在运动过程中，系统的能量达到最小值。
本文将介绍力学系统的虚功原理与最小能量原理，并探讨其在实际问题中的应用。
一、虚功原理虚功原理是力学中的一个重要原理，它描述了力学系统在平衡状态下外力对系统所做的虚功为零。
虚功原理的基本思想是，当系统处于平衡状态时，任何微小的虚位移所做的功都是虚功，而这些虚功的总和为零。
虚功原理的应用十分广泛。
例如，在静力学中，我们可以利用虚功原理来求解物体的平衡条件。
在弹性力学中，虚功原理可以用来推导物体的弹性形变和应力分布。
在动力学中，虚功原理可以用来推导物体的运动方程。
二、最小能量原理最小能量原理是力学中的另一个重要原理，它描述了力学系统在运动过程中系统的能量达到最小值。
最小能量原理的基本思想是，系统在运动过程中，会通过各种力的作用进行能量的转化，而系统的能量会趋向于最小。
最小能量原理的应用也非常广泛。
例如，在弹性力学中，我们可以利用最小能量原理来求解物体的弹性形变和应力分布。
在动力学中，最小能量原理可以用来推导物体的运动方程。
此外，在流体力学中，最小能量原理可以用来推导流体的运动方程和流速分布。
三、虚功原理与最小能量原理的联系虚功原理和最小能量原理在某种程度上是相互关联的。
虚功原理描述了系统在平衡状态下外力对系统所做的虚功为零，而最小能量原理描述了系统在运动过程中系统的能量达到最小值。
虚功原理可以看作是最小能量原理的一种特殊情况，即在平衡状态下系统的能量已经达到最小值。
虚功原理和最小能量原理的联系在实际问题中具有重要意义。
通过应用虚功原理和最小能量原理，我们可以求解物体的平衡条件、弹性形变、应力分布、运动方程等问题。
这些原理为我们研究力学系统提供了重要的理论工具。
总结起来，虚功原理和最小能量原理是力学中的两个重要概念。
3001《固体力学》专业综合
（3001）《固体力学》专业综合考试内容:一、结构力学1. 静定与静不定杆系结构内力求解-力法；2. 杆系结构的位移解法（直接刚度法）；3.薄壁工程梁理论；4. 结构力学中的能量原理及其应用。
包括应变能及余应变能、虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、卡氏定理、单位载荷定理、叠加原理与位移互等定理。
二、弹性力学1. 平面问题的基本理论。
包括平面问题的平衡微分方程、几何方程、物理方程、及应力函数、逆解法与半逆解法等；2. 平面问题的直角坐标解答。
包括多项式解答、矩形梁的纯弯曲、简支梁受均布荷载等；3. 平面问题的极坐标解答。
包括极坐标中的平衡微分方程、几何方程、物理方程、轴对称应力和相应的位移等；4. 空间问题的基本理论。
包括空间问题的平衡微分方程、主应力与应力主向、几何方程、物理方程、轴对称问题及球对称问题的基本方程等；5. 弹性力学中的变分解法。
弹性体的位移变分方程及最小势能原理，基于最小势能原理的近似解法，应力变分方程及最小余能原理，基于最小余能原理的近似解法。
三、有限元方法及应用1．有限元法中的变分原理。
包括最小位能原理、最小余能原理、广义变分原理、修正变分原理等。
2. 有限元方法的一般性原理和表达格式； 3. 单元和插值函数的构造；4. 等参元和数值积分。
四、结构振动理论1．单自由度系统自由振动。
包括能量法，无阻尼自由振动，有阻尼衰减振动。
2.单自由度系统强迫振动。
包括简谐激励下的响应，强迫振动的复指数解法，频响函数与频域分析。
3.多自由度系统的振动。
包括拉格朗日方程，实模态分析，复模态分析，假设模态法。
参考书目：1. 结构力学基础，黄其青，王生楠编，西安：西北工业大学出版社2. 飞行器结构力学，王生楠主编，西安：西北工业大学出版社3. 弹性力学，吴家龙编著，北京：高等教育出版社4. 有限元法中的变分原理，王生楠编，西安：西北工业大学出版社5. 有限单元法王勖成编著，北京：清华大学出版社，20036. 振动理论及应用方同，薛璞著，西安：西北工业大学出版社。
结构力学主要定理
§11-1概述1．变形功与变形能弹性杆受拉力P作用（图11-1），当P从零开始到终值缓慢加载时，力P在其作用方向上的相应位移也由零增至而做功，称为变形功。
（11-1）与此同时弹性杆被拉长而具有做功的能力，表明杆件内储存了变形能。
单位体积储存的应变能称为应变比能（11-2）整个杆件的变形能为（11-3）如果略去拉伸过程中的动能及其它能量的变化与损失，由能量守恒原理，杆件的变形能U在数值上应等于外力做的功W，即有U=W （11-4）这是一个对变形体都适用的普遍原理称为功能原理，弹性固体变形是可逆的，即当外力解除后，弹性体将恢复其原来形状，释放出变形能而做功。
但当超出了弹性范围，具有塑性变形的固体，变形能不能全部转变为功，因为变形体产生塑性变形时要消耗一部分能量，留下残余变形。
2．应变余功与余能变形体受外力作用时的余功定义为其中P1是外力从零增加到的终值，仿照功与变形能相等的关系，将余功相应的能称为余能，用U c表示。
余功与余能相等，即可仿照前面，定义单位体积余应变能（或应变余能），称为余应变比能由此整个结构余应变能可写成应指出：余功、余应变能、余应变比能具有功的量纲，是变形体的另一能量参数，但都没有具体的物理概念，只是常力所做的功减去变力所做功余下的那部分功。
3．能量原理固体力学中运用功与能有关的基本原理统称为能量原理，由此发展出来的方法称为能量法。
能量原理是在总体上从功与能的角度考察变形体系统的受力、应力与变形的原理与方法，是进一步学习固体力学的基础，也是当今应用甚广的有限元法求解力学问题的重要基础。
4．本章内容本章只涉及能量原理在材料力学中常用的部分内容，如：变形能、互等定理、卡氏定理、虚功原理、单位载荷法及图乘法，更为深入的，如最小势能原理，最小余能原理等变分原理，可参考其它专著。
§11-2 杆件变形能计算杆件不同受力情况下的变形能。
1．轴向拉伸或压缩线弹性杆件（图11-3）拉、压杆应变比能则整个杆的变形能或（11-5）（11-6）其中，N是内力（轴力），A是截面面积，l是杆长。
二次超静定梁正则方程
二次超静定梁正则方程1. 介绍在结构力学中，超静定梁是指具有多于所需的支持反力的梁。
超静定梁的存在使得梁的强度和刚度能够得到进一步提高，同时也提供了设计中更多的自由度。
在理论计算中，超静定梁的正则方程是一种对超静定梁进行求解的方法，其可以通过求解线性方程组来得到梁的支持反力和挠度。
本文将详细介绍二次超静定梁的正则方程，并探讨其应用于求解超静定梁问题的具体步骤和计算方法。
2. 二次超静定梁的概念超静定梁是指具有多于所需的支持反力的梁，即梁的支持反力的数量大于等于梁的自由度。
在二次超静定梁中，假设梁为线弹性，即符合胡克定律，且横截面形状保持不变。
对于二次超静定梁，其最简单的形式是两端固定支承的梁。
在这种情况下，梁具有4个支持反力和2个自由度。
3. 二次超静定梁的正则方程二次超静定梁的正则方程可以通过最小势能原理得到。
最小势能原理是结构力学中的一种常用的分析方法，它基于势能的最小原理，通过求解势能函数的一阶变分来得到结构的平衡方程。
对于二次超静定梁，其势能可以表示为：V=12∫ELI(d2udx2)2dx−∫qL(x)u(x)dx其中，EI代表弯矩刚度，u(x)代表梁的纵向位移，q(x)代表分布载荷。
通过对势能函数进行变分，可以得到正则方程：EI d4udx4=−q(x)通过求解该二阶齐次微分方程，可以得到梁的挠度u(x)，从而可以计算出梁的支持反力。
4. 求解二次超静定梁的步骤求解二次超静定梁的步骤如下：4.1 确定边界条件首先需要明确梁的边界条件，包括支承方式和角度支座条件。
对于二次超静定梁，最常见的情况是两端固定支承。
4.2 建立正则方程根据上述介绍，可以建立二次超静定梁的正则方程，即二阶齐次微分方程。
4.3 求解齐次方程通过求解齐次方程，可以得到梁的通解。
通解是由两个线性独立的解组成的。
4.4 求解特解根据实际情况，确定特解，并将特解与通解相加，得到二次超静定梁的挠度函数。
4.5 确定支持反力使用边界条件，可以求解出梁的支持反力。
最小数原理的应用范围
最小数原理的应用范围1. 什么是最小数原理最小数原理（Principle of Minimums）是一种在数学和工程中常用的概念，也被称为最小能量原理或最小作用量原理。
它指出在自然界的很多情况下，事物往往以最小的能量或作用量的方式发展和演化。
最小数原理可以帮助我们理解许多自然界和工程中的现象，并且在许多领域有着广泛的应用。
2. 物理学中的应用最小数原理在物理学中具有重要的应用。
以下是一些常见的物理学领域中使用最小数原理的例子：•光学：光经过两点之间的路径是最短的，这是光的传播原理之一。
•力学：最小作用量原理在力学中有着广泛的应用，它可以用来推导出质点在重力场中的运动方程。
•电磁学：电磁场遵循最小作用量原理，从而可以推导出麦克斯韦方程组。
•热力学：最小能量原理可以用来推导出热力学的基本定律，如热力学第一定律和热力学第二定律。
3. 工程学中的应用在工程学中，最小数原理也有着广泛的应用。
以下是一些工程学领域中使用最小数原理的例子：•结构力学：最小势能原理可以用于计算结构的变形和应力分布。
•控制系统：最小耗散原理可以用于设计控制系统的优化算法。
•电力系统：最小发电成本原理可以用于优化电力系统的发电方案。
•流体力学：最小参数原理可以用于分析流体的运动和流动的特性。
4. 生物学中的应用生物学中的许多现象也可以通过最小数原理进行解释。
以下是一些生物学领域中使用最小数原理的例子：•进化论：达尔文的进化论中运用了最小数原理，认为进化是为了让物种在适应环境中达到最小能耗的状态。
•神经传导：神经传导的路径是最短的，这也符合最小数原理的要求。
•植物生长：植物根部生长的路径也符合最小数原理，根部会尽量向植物需要的养分最少的地方生长。
5. 经济学中的应用最小数原理在经济学中也具有一定的应用价值。
以下是一些经济学中使用最小数原理的例子：•最小成本原则：在生产过程中，企业通常倾向于以最小的成本来达到预期的产出。
•边际效用递减原理：随着消费量的增加，边际效用递减，人们倾向于在边际效用最大化的点停止消费。
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势能驻值条件为
Π 0, a1 Π 0, , a 2 Π 0 a n
上式为一n阶线形方程组，可求解出n个参数a1，a2，…， an。回代入式（11-9），即得出该有限自由度体系的挠度 的精确解，同时也就是梁(无限自由度体系)的挠度的近似 解。
二、解题步骤
1、根据几何边界条件来选取几何可能位移。
第14章
2、将势能表示为含n个参数的函数 。
1 Π 2
n n l l 1 EI (v ) 2 dx qvdx EI ( ai φi) 2 dx q ai φi dx 0 0 0 2 0 i 1 i 1 l
l
势能Π是n个参数a1，a2，…，an的二次函数。 3、应用势能驻值条件求近似解
（3）应变能是状态函数。
第14章
11.3 线性变形体系的最小势能原理
一、线性变形体系总势能 Π＝U＋W 二、结构的外力势能
式中U为体系的应变能，W为体系的外力势能。设结构 上作用荷载P1、P2、P3、…、Pn。结构在某一位移状态中与 荷载Pi对于应的位移为Δi，则结构的外力势能为
（11-7）
W Pi Δi
（11-8）
第14章
11.4 里兹法
一、里兹法
里兹法是建立在最小势能原理基础上的一种近似分析方法。 其基本思路是在位移的级数展开式中取有限项，使无限多个 未知参数变为有限个，并根据最小势能原理应用势能的驻值 条件来求解。里兹法就是将一个无限自由度体系用有限自由 度体系来代替，并依据最小势能原理求得近似解。
应变能有以下的性质。 （1）应变能总是正的，因为在它的计算公式中， M、N 和 Q 都是二次方。 （2）计算应变能时不能应用叠加原理，即体系 在几个力同时作用下的应变能， 不能由这几个力 分别作用下的应变能相叠加而得到（以单个杆同时 受轴力N1和N2的作用为例），即
l l 2 2 2 ( N1 N 2 ) ( N1 N 2 ) 2 EA 2 EA
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
天津城市建设学院力学教研室
第14章
第11章 最小势能原理
11.1
一、静力法 二、能量法 1、最小势能原理
概
述
2、最小余能原理。
11.2 线弹性变形体系的变形势能
一、弹性体的应变能的概念 1、拉伸应变能
N2 l EA 2 U ds N2 Δl 0 2 EA 2 EA 2l
l
第14章
2、弯曲应变能
M2 U ds 0 2 EI
l
EIκ 2 ds 0 2
l
3、剪切应变能
U
l
0
kQ 2 ds 2GA
2 GAγ0 ds 2 0 l
4、圆轴扭转应变能
2 2 GI p 2 Mn lM n U ds φ 0 2GI 2GI p 2l p
l
第14章