从“一题多解”转变为“多题一解”
从“一题多解”到“多题一解”
解法 ４ 因为直线 ｚ 过定点 （ ３０ 直线 ｆ过定 。 一 ，）， ２
点 Ｎ Ｏ ） 所以Ｉ ＮＩ２ ， （， ， Ｍ ＝
又因为 ｏＤ 的半 径 ｒ ＝ ２ ， 以如图 所 ａ ｆ ３ ￣因为 ｔ ＝ ＝ ＋０。 ｌ ａ ｎ
又因为ｏＤ的半径 ｒ ２ ￣， ＝ ４ 直线 Ｚ到直线 Ｚ 的角为 。 ： ３ 。所以 ０，
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一
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点评
＝ 澈 栅＋ —＝ ３－ ｍ ｎ 一１
点评
本题是两直线与 圆共 三个元 素的交点 ， 如何
选择两者先求交点 ， 再代入第 三者 当中 ， 要有所取舍 ， 否 则运算 极大 ， 甚至无 功而返． 法在解 法一 的基础 上做 此
了适 当调整 ， 减化了运算量．
３ ＋ｌ ｍ
＾ 一
解法 １ （ 标准答案提 供方法 ） 将直线 ｚ 与 ｆ 的方 ， ２
绍．
（ｍ＋ ） ３ ２ ｎ ，） （ ｍ ＋ ｍ— ） ［ （ — 一 ３ １ ＝ ［ （ 一ｎ ＋ ３ ｎ ２ ｎ ］ ２ ｎ ｍ）
、
（ｍ ＋ ｍ ｎ ］ ３ ｎ ２ — ） 化 简 ， ３ １ ＝ ｎ３ ＋ ） ３ 一 ｍ 一 ｍ） 得（ｍ＋ ） ３ （ ｍ １ （ｎ ３ ｎ ４
３ ８
中。 ７ （ｌ 第 期・ 中 ） ？ 般Ｉ ２１ ５ 高 版 ｏ年
． 解题研究 ．
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践随着中国教育制度的不断改革，无论是教育目的还是方式方法，都是为了让学生拥有更加合理更加有效的学习环境而做出改变。
其中高中数学的教育目标，也不再单是让学生学会如何运用数学公式进行计算，除了针对学生对数学的学习兴趣以外，在实际解题方面，要求培养学生拥有更多更灵活的解题思路和方式，以改变统一性的教学模式。
就高中数学解题中“一题多解”与“多题一解”的解题方式加以分析研究。
高中数学解题方式思维模式学生在进入高中后，改变的不仅仅是学习的内容，学生自身的心智和思维模式也有较大的改变。
学生在思想成长的阶段，会出现种种的问题，这些问题会直接影响学生的学习情况，特别是数学。
因为高中阶段数学的难度将进一步加大，内容增多，因此学生解题的方式应更加的多样化。
因此，高中数学教学，首先要从学生解题过程中的思维模式入手，同时改变课堂教学的方式和内容，以此提高学生的学习成果。
一、“一题多解”在数学教学中的价值与实践（一）价值与实践在未来的社会发展中需求的人才将是多元化、多样化的，统一性思维的教育模式已经不再适用于现代社会。
因此，在高中数学教学中，“一题多解”的教学理念，是以学生学习为主，改变以老师为主导地位的教学模式。
因为每一个学生的受教育情况、性格、思维模式都不相同，因此一个固定性的解题方式不能最有效的适用于每一个学生，所以在数学教学的解题过程中，老师应引导学生多角度的去分析问题，让学生去探究、发现多样化的解题方式。
“一题多解”的根本在于问题本身，老师在创设和选择问题时，首先应考虑到问题自身是否具备多样化的解答模式。
同时，在培养学生多样化解题思维时，应注意调动学生解题的积极性，被动、消极的解题态度很难让学生产生多样化的解题思维。
所以针对这方面数学问题的内容应结合学生平时感兴趣的东西，让学生自觉的参与到多样化的解题中。
如有的学生喜欢足球，老师就把其融入习题中，让学生用原本感到枯燥的公式，运算他喜欢的与足球相关的问题。
一题多解与多题一解案例
一题多解与多题一解案例一、一题多解案例： 例：已知141=+ba 且a >0,b >0.求b a +最小值. 解法1:(1代换).由a >0,b >0,141=+ba 得: 942545441)41)((1)(=⋅+≥++=+++=++=⋅+=+b a a b b a a b b a a b b a b a b a b a 当且仅当ba ab 4= ,即b =2a ,即a =3,b =6时,(b a +)min =9.解法2:(凑常数法).由141=+b a 且a>0,b>0得)4)(1(--b a =4, 又∵140,110<<<<ba ,∴a >1,b >4. ∴1-a >0,4-b >0. ∴4)4)(1()4()1(=--≥-+-b a b a ∴9≥+b a .当且仅当41-=-b a ,即6,3==b a 时,9)(min =+b a .解法3:(增量法)∵141=+b a 且0,0>>b a .∴410,110<<<<ba . ∴4,1>>b a .令)0,0(4,1>>+=+=y x y b x a 代入141=+ba 得,4=xy , ∴,9255)4()1(=+≥++=+++=+xy y x y xb a 当且仅当2==y x 时,即6,3==b a 时,9)(min =+b a .解法4:(消元法)由已知得,14-=a ab 且1>a , ∴514114+-+-=-+=+a a a a a b a ∵014,01>->-a a , ∴9514)1(25141=+-⋅-≥+-+-=+a a a a b a .当且仅当141-=-a a ,即6,3==b a 时,9)(min =+b a .解法5:(配方法)由)0,0(141>>=+b a ba 得,4)4)(1(=--b a ,1(>a )4>b .则5)4)(1(2)41(5)4()1(2+--+---=+-+-=+b a b a b a b a 9)41(2+---=b a .当且仅当41-=-b a 时,即6,3==b a 时,9)(min =+b a .解法6:(三角代换)∵141=+b a 且140,110<<<<b a .令α2cos 1=a, ααπαα222sin 4,cos 1),20(sin 4==<<=b a b . ∴=+=+αα22sin 4cos 1b a α2sec α2csc 4+)1(4122ααctg tg +++= =5+tg αα224ctg ++≥52αα224ctg tg ⋅=9 当且仅当,2ααctg tg =即2=αtg ,即6,3==b a 时,9)(min =+b a .解法7:(判别式法)设s b a =+,则a s b -=.将a s b -=代入141a b +=整理得,0)3(2=+-+s a s a . ∵110<<a∴1>a ∴方程0)3()(2=+-+=s a s a a f 应在),1(+∞上有实解.则需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->≥--=∆1230)1(04)3(2s f s s 或0)1(≤f 解得,9≤s . 当.6,3,9===b a s 时 当6,3==b a 时,9)(min =+b a .二、多题一解案例（都是空间平面化方法）1.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===若对角线1A B 上存在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ D ）A.1B.2C.13+D.72. 如图，已知三棱锥BCD A -的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于１， 30=∠BAC ，N M ,分别在棱ＡＣ和ＡＤ上，则NB MN BM ++的最小值是（ B ）A. 3B. 2C.1D.23. 圆柱的轴截面是边长为5cm 的正方形ABCD ，从点A 到点C 在圆柱侧面上的最短距离为（ B ）（A ）10cm （B ）4252+πcm （C ）52cm （D ）512+πcm ABC D N M4. 如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发， 沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的 最短路线的长为 cm. 135.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB BC AC ===，13AA =，,D E 分别是棱1BB ，1CC 上的动点，则1AD DE EA ++的最小值是（ D ）A ．13B ．5C ．7D ．35。
高考最后一个月学习计划
高考最后一个月学习计划一横向复习与纵向复习考生们在最后这30多天里，无论在语文还是其他各学科上都应该进行系统的横向复习与纵向复习。
所谓横向复习，就是把所有的模拟试卷串在一起，按题型复习。
如诗歌，名著，简答题、阅读、文言文分析理解等。
对于这部分，学生们现在应该准备一个自制的“文言文小词典”，把老师讲解的每个词汇都记在本子上，然后有时间就翻看，再加上平时对知识的掌握，一个月下来，文言文部分应该是胸有成竹。
对于现代文，要牢记平时老师讲解的语言知识点，对作家作品做到信手拈来。
横向复习，并不是让大家把多套模拟试题的答案记下来，因为在高考试卷中，模拟题是不可能出现的，但必然出现的就是大家常见的题型。
记住老师出题的目的，抓题型的特点和解题思路，从中发现自己的弱处进行重点复习。
所谓纵向复习，就是把试卷上从第一题到最后一题彻底掌握透彻。
因为语文题型基本固定，这就要求学生研究每道题知识点的范围。
语文试卷题中，从纵向上说，哪个题是考哪个知识点，考生拿到手里就应一目了然。
高考时，虽然题目本身没见过，但题型很熟悉，就会使你不至于太慌乱，静下心来，其实哪一道题都是我们复习过的类型。
建议模拟试卷无论横向还是纵向，尤其是在你认为的难点上，应在考前多做几遍。
作文应力求语言生动、情节感人语文试卷中，除了80分的基础题，就是70分的作文。
从最近3年考试的要求看，作文分两个等级给分，一个是基础等级，占50分;一个是发展等级，占20分。
当初制定此标准的目的就是为了奖励作文水平高的学生。
但发展等级也不是高不可攀，它一共要求12条，其中，内容3条、材料3条、结构3条、语言3条，只要符合其中一条，就可在发展等级上得分。
比如有一条要求是词语丰富、句式灵活就可加分，那么，只要你在你的文章中有三四个使用恰当的成语，就可称为语言丰富;在学过的句式中，有长句、短句、设问句、反问句和感叹句等，在写文章时，不妨灵活运用，使文章读起来流畅通顺、脍炙人口;在修辞上也要善于运用，像比喻、对比、排比等，尤其排比句，用起来气势恢弘，容易渲染感情。
利用一题多解、一题多变来提高初中学生的数学解题能力
利用一题多解、一题多变来提高初中学生的数学解题能力作者：苏淑妮来源：《中学课程辅导·教师教育（中）》2017年第04期（广东省惠州市惠阳区崇雅中学广东惠州 516000）【摘要】数学课程标准中，要求使学生站在不同角度，探索分析和解决问题的方法，此外，教育心理学也指出：问题解决有两种类型：一是常规性问题解决；二是创造性问题解决。
通过一题多解、一题多变训练，使学生能够体验到解决问题的多样性方式，能够掌握分析及解决问题的基本技巧和方法，使所学的知识得到活化，融会贯通，开阔思路，培养学生的发散、创新思维能力。
【关键词】一题多解一题多变初中数学发散思维【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2017）04-173-01先观察以下4个例题，是初中数学练习过程经常碰到的，具体的解答过程后文有详细的描述，以此四个例题用以论述本文的观点。
例1：相切两圆半径分别是4和6，求圆心距。
例2：在几何题型中：直角三角形两边长3和4，求第三边。
例3：一道求证题：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形变式1：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形变式2：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形变式3：顺次连接正方形各边中点所得的四边形变式4：顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边变式5：顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形变式6：顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形例4：在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点.求证：CE⊥BE.一、一题多解、一题多变帮助学生循坏往复调动所学知识，强化记忆在学习生涯中，知识点是解题的基础和灵魂，千千万万的题目是从知识点出发延伸设计出来问题考察学生的。
由于时间和空间有限，学生不可能做完所有的题目，对于教师也不可能讲解完所有的题目。
而对于数学，单是一道题目中也不可能只有一个知识点的考察，例题1这道题中涉及的知识点有：相切圆、半径、圆心距，最终的问题虽然是求圆心距，但是如果没有正确的对于圆、半径以及相切的概念，那么也就无从下手。
《一题多解与一题多变在中学数学中的应用开题报告2000字》
[4] 黄跃惠. 一题多解与一题多变在初中数学教学中的运用[J]. 试题与研究：高考版, 2019(28):1.
[5] 宫代印. 浅谈"一题多解"和"一题多变"在高中数学教学中的应用[J]. 试题与研究：教学论坛, 2019(2):1.
[6] 王菊香. 一题多变和多解成就智慧课堂[J]. 考试周刊, 2019(87):2.
[13] 江猷敏. "一题多解和一题多变"在培养学生数学思维能力的应用策略探析[J]. 考试周刊, 2020(66).
[14] 章勇. "一题多解"与"一题多变"在培养学生思维能力中的应用[J]. 新教育时代电子杂志（学生版）, 2020(24):2.
八．指导教师意见
指导教师签字：
年 月 日
九．系意见
系主任签字：
年 月 日
十．学院毕业论文（设计）工作领导小组意见
负责人签字：
年 月 日
[7] 颜天伦. 初中数学教学中"一题多变","一题多解"渗透[J]. 中学课程辅导:教学研究, 2019.
[8] 张海玲. 谈利用"一题多解与一题多变"培养学生的思维能力[J]. 新智慧, 2021(6):2.
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的应用实践
住 数 学教 学 精髓 。 “ 一 题 多解 ”与 “ 多题 一 解 ”
当 且仅当÷ ＝ ＝ ， 也就是 ｘ ＝ ２ ， ｙ ＝ ４ 时 取得
是 目前 教 学 中 常 见 的 用 于 实 施 过程 性 变 式 的 方式 ，即教学理论 中的 “ 问 题 变 式 ”。 “ 一
化原则。 ２ ．教 学模 式
题 多解 ’ ’与 “ 多题一解＂ 在 高 中数学教学 中的应用实践
一
“
５ ３ ３ ６ ０ ０ 广 西 百 色市 田阳 高 中 广西
【 摘
百色
梁静 斌
覃俊 明
＝
要】 在新 时期高 中数 学教 学模 式 题难关 的智囊 妙计。但是 ，再有效 的方法 也
需 要 经 过 长 期 的探 索 、应 用 、反 思 ， 才 能 扫
“
一
解法 ４ ：因为 ｘ ＞ Ｏ ， ｙ ＞ Ｏ ，÷ ÷ ＝ １ ，故可使
ｔ
， 一 ｃ ｏｓ
，
１
’
题多解” 中是将 原有 问题作 为思路的核心 ， 借助于不 同解 题思维拓展 出来 的各种各样 的 解题方式 ，用 于展现数学学科 中的本质属性 与非本 质属性。高 中数学教 学中运用 “ ～题 多 解 ” ，不 但 可 以 实 现 解 题 过 程 的 步 骤 化 、 层 次 化 ，深 化 学 生 对 题 目的 理 解 与 认 知 ，帮 助学生短 时间 内扩展思 维与思路 ，还可 以促 使学生集 中精神挖掘题 目本质。 （ ２ ） “ 多 题 ～ 解 ” 的 概 念 。数 学 中有 不 少 题 目具 有 相 同 特 性 与解 题 模 式 ，一 种 解 题 方 式 可 以 广 泛 应 用 于 多 种 问 题 解 答 。学 术 界 经 过 长期 观 察 ，找 出一 部 分 问 题 的 “ 题根 ” 具体通 性 ，只要抓住 这类问题 的 “ 题根 ”， 解题方 法 自然而然就 找到了。人们将归纳 出 来 的通性 解题方法用 于实践 ，最终得 出 “ 多 题 一 解 ” 。实 际上 ， “ 一 题 多解 ” 源 自于 “ 一 题 多 变 ”变 式 和 “ 一 法 多 用 ” 变 式 ，ｗ ＿ Ａ ＿ 威 克尔格伦将其称之为万能的 “ 通用解题法”。 二、 “ 一题多解 ”与 “ 多 题 一 解 ”在 高 中教 学应用现状 首 先 ，变 式 理 念 已 广泛 得 到 认 可。新 时 期 的 教 学 中心 理 念 为 “ 教 为 主 导 ，学 是 主 体 ”，由此 可见 ，高 中数学教 学中需要将学 生置 于重要位置 ，而 “ 一 题 多 解 ”与 “ 多题 解 ”的中心理念——变式 理念体现的正是 学生 “ 学 ”与 “ 教师 ”教 之间 的辩 证 统 一 关 系 ， 能够为提升数学教学质量提供有效途径。 其次 ，逐渐 成为变式教 学的主流方 式。 据相关 调查资料显示 ，大部 分高 中数学教 师 都倾 向于 “ 一题 多解 ”与 “ 多题一解”两 种 教 学 方 式 ，尤 其 是 习题 讲 解 时 ，通 常 会 通 过 以上 两 种 方式 引 导 学生 。此 外 ，调 查 显示 “ 一
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践作者：钱万毅来源：《中学课程辅导·教师教育（上、下）》2017年第02期摘要：经新课标的多次改革，高中数学教学由从前的教师为主导，逐渐演变为教师的作用为指导、引导，而学生为主体的自主多样性课堂，这样的课堂可以帮助学生更加主动地学习，锻炼学生思考、组织、分析、归纳等的能力。
其中“一题多解”和“多题一解”在高中数学教学中有良好的价值，值得实践与推广。
关键词：高中数学；解题方式；思维模式中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2017）02-057-01学生在进入高中学习后，不仅仅面临着学习内容的改变，学习的难度上了一个更高的台阶，还面临着思想的成熟和思维方式的养成。
在这一阶段，学生要学会用发散思维和提纲挈领的方法处理问题，而数学的学习，对培养学生这些能力都非常有益，其中“一题多解”与“多题一解”正是培养这些能力的关键教学实践方法。
在此阶段，注重数学教学的方式方法，传递给学生正确的思考方式，锻炼学生正确的思考能力，对于学生今后学习能力以及生活能力的提高都尤为重要。
一、“一题多解”在数学教学中的价值研究与实践（一）价值在传统的数学教学模式中，通常是老师在讲台上教授数学公式、概念等内容，学生在下面记笔记。
学生和老师都认为掌握了大量的定理、定义，以及数学公式，就能做好题，做对题，就能够在考试中取得好成绩。
在此背景和环境下，培养学生的发散性思维是很必要的。
老师不应该对数学题目只做生硬的讲解，只讲一种“标准答案”，这样只会禁锢学生的思维。
长久下去，学生只会变成“书呆子”。
教师应该多注重教学的有效性，应在课堂上观察学生的状态，倾听学生的需求，倾听学生的提问与回答，倾听学生的讨论。
这样才能使课堂互动起来。
数学的学习，本来就应该是丰富多彩的。
这样一个锻炼逻辑思维的学科，教师在教授的过程中应当充分发挥学科特点，让学生学习了数学，真正能有所用。
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从 一题多解 到 “ ”多题一解 “ ” 【摘要】一题多解是训练学生发散思维的好方法，然而仅仅停留在 一题多解 的层面上远远 “ ”不够的，即让学生的思维无限发散，不注意 收（及时归纳总结方法），那将不利于学生对数 “ ”学思想方法的掌握和运用。
因此，一题多解要关注考纲和考试说明、关注学生的 学情 “ ” 、关 注解法的选择，最终变为多解归一，升华为解一类题的方法。
【关键词】一题多解 多题一解 求异思维 发散思维文[１]说： “一题多解应该关注考纲和考试说明、 关注学生的 ‘学情’ 、 关注解法的选择。
” 这一点笔者在高三教学感触颇深。
让我们先看一例：例 1.已知点 ( ) ( ) ( ) 3,0,0,33,3,0, A B C ABC - D 外接圆为 D e（1）求 D e 的方程；（2）设直线 ( ) 1 :33 l y m x =+ 与直线 ( )2 :31 l y nx =- 的交点为P ，且点P 在 D e 上①若 D e 关于直线 1 l 对称，求n 的值；②若 0,0 m n >> ，求证：mn m n +- 为常数。
解法一： （标准答案提供方法）将直线 1 l 与 2 l 的方程联立方程组( ) ( ) 33 31 y m x y nx ì =+ ï í =- ï î 解得 ( )31 331 m x n m m n y n m + ì = ï - ï í + ï = ï - î代入圆D 的方程得： ( ) 2 2 31 31 ()3112 m n m n m n m + éù + +-= êú -- ëû化简得 ( ) ( ) ( )2223133212 m mn m n n m +++-=- 移项因式分解得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 313232232 m n m mn m n n m mn m n +=-++---+- éùéù ëûëû化简得 ( ) ( )( )2 31331334 m n m n mn m +=+-- 因为 0 m > ，所以 ( ) ( )313334 m n n mn m +=-- 移项分解因式得 ( )( ) 31313(31)(1)n n m n n -+=++ 因为 0 n > ，所以 13mn m n +-=-【评注】此法是参考答案提供的方法，对照题意思路清晰——入口宽，但要想真正化到最 终结果，却不太容易——运算量大。
然而这一点符合《考试说明》考查学生运算求解能力的 要求，毕竟此法是通性通法。
解法二：设直线 1 l 与圆D 的交点 ( ) 00 , Q x y ，则将直线 1 l 与圆D 的方程联立方程组( ) 22 33 2390 y m x x y y ì =+ ï í +--= ï î 消去 y 得( ) ( ) 2222 31186271890m x m m x m m ++-+--= 因为 2 0 2 618 (3) 31m m x m - +-= + 所以 点 ( ) 2 22 631 693 (,) 3131m m m m Q m m + -+ ++ ， 因为点Q 也在直线 2 l 上，所以 ( ) 2 22 631 693 3(1) 3131m m m m n m m + -+ =×- ++ 化简得 ( ) 2 2 31693 m mn m n n +=-+ 即 ( ) ( )( ) 2 313133 m m mn n +=-+- ， 所以 1 3mn m n +-=- 【评注】本题是两直线与圆共三个元素的交点，如何选择两者先求交点，再代入第三者 当中，要有所取舍，否则运算极大，甚至无功而返。
此法在解法一的基础上做了适当调整， 减化了运算量。
解法三：因为直线 1 l 过定点 () 3,0 M - ，直线 2 l 过定点 ( ) 0,3 N - 所以 23 MN = ，又因为圆D 的半径 23r = 直线 1 l 到直线 2 l 的角为30 o ，所以 333 tan 30 133 n m mn - == + o 故 13mn m n +-=- 【评注】解法三挖掘题目中隐含条件——过定点，利用到角公式巧妙，运算量小。
然则，所用知识不在苏教版《考试说明》所要求的范围中，虽巧，最好不要向学生介绍。
解法四：因为直线 1 l 过定点 () 3,0 M - ，直线 2 l 过定点 ( )0,3 N - ， 所以 23 MN = ，又因为圆D 的半径 23 r = ，所以如图 30 a b =+ o ，因为 tan 3,tan 3 n ma b == 故 ( ) 3tan tan 30 3a b -== o 所以 333 133 n m mn - = + ，得 1 3mn m n +-=- 。
【评注】解法四同样注意到过定点这一隐含条件，利用几何性质，从倾斜角这一角度 加以解决，避免了用 到角公式 这一考纲不要求掌握的内容，构思精巧，值得提倡。
但是要 “ ”根据具体学情加以引导。
解决解析问题时，注意用几何性质。
一题多解是训练学生求异思维的一种很好的教学方法，对学生思维的流畅性和灵活性有 很大发展，同时让他们能运用多种方法思考问题， 能用多种法则、公式、原理去解决新问题， 思维过程更加灵活，迁移能力强，能举一反三，触类旁通，产生新想法的数量多，种类多。
然而，仅仅停留在“一题多解”的层面上远远不够的，即让学生的思维无限发散，不注 意“收” （及时归纳总结方法），那将不利于学生对数学思想方法的掌握和运用。
上述例题四 种解法分为两类，解法一与解法二运用联立方程组的思想，这是我们在解决直线与圆锥曲线 相关问题的主要思想方法，应重点介绍。
解法四是挖掘图形内在的几何特征，运用几何条件 简化运算量，值得提倡。
至于解法三所用的知识根本不作要求，所以此法就不要讲了。
因此，教者在备课时对这些问题如不加思考，甚至于对照参考书罗列各种解法直接抛给 学生，那么课堂就成了教师个人的“解题秀” ，毫无好处。
其实，一题多解的想法，本身并没有什么不好，历史上对p 的计算可以说是最著名的一 题多解，然而正是这样的一题多解给我们带来了五彩缤纷的数学知识，给了我们无尽的精神 财富。
那么如何克服一题多解的弊端呢？笔者认为在一题多解的基础上通过教师及时点评和 变式训练，将其解题的思想方法进行整理提炼，升华为解一类题的方法，变为多题一解。
例 2.已知数列{ } n a 和{ } n b 都是等差数列， n S 和 n T 分别是它们的前n 项之和43 25 n n S n T n + = + ，求 8 8a b 的值。
解法一：因为 ( ) ( ) 115 815 815 115 15 2 15 2a a a Sb T b b + == + ，所以 8 8 9 5 a b = 解法二：因为 43 25n n S n T n + = + ，所以 设 ( ) ( ) 43,25 n n S kn n T kn n =+=+ 则由 1 n n n a S S - =- ，得 () ( ) 81,43 n n a k n b k n =-=+ 故 8 8 8819 4835a b ´- == ´+ 【评注】解法一运用等差中项的性质，但这不是一般方法，只能作为一种技巧。
如要求 8 9a b 的值，此法就不灵了。
解法二从函数的角度研究等差数列的前n 的和 n S 的特征， 表面上看比法一稍繁，但此法可以解决一类问题，如下变式。
变式题： 设等差数列{ } n a 的前n 项和为 n S ， 若m n ¹ ， 22 , m n S n S m == ， 则 m n S + =。
解：设 2 n S n n a b =+ ，则由 22 , m n S n S m == 得22 n m m a b =+ …①， 22 m n n a b =+ …②，将①－②得( ) ( ) m n m n b a =-+-+ …（＊）因为 ( ) ( ) 2m n S m n m n a b + =+++ ，所以将（＊）代入得 ( ) ( ) ( ) ( )2222 m n S m n m n m n m n a a + =+-+-+=-+ 例 3.（1）设 22 1 x xy y -+= （ , x y ÎR ），求 22 x y + 的取值范围。
（2）已知 223sin 5sin cos 2cos 0 q q q q --= ，则tan q = 。
分析：此两题背景不同，分别是不等式、三角，高三教师在复习都有很多的解题 方法，但仔细品味，其实它们涉及到对二次三项式的处理。
解：（1） 22 1 x xy y -+= Q ， 222222x y x y x xy y + \+= -+ ∴当 0 x = 时， 2 1 y = ，则 22 1x y += 当 0 x ¹ 时， 2 22 2 1() 1() y x x y y y x x+ += -+ ，令 y t x = ，则 2 22 22 1 1 11 t t x y t t t t + +==+ -+-+ 利用函数知识得 22 2[,3] 3x y +Î （2）因为 22 sin cos 1 q q += ，所以 22 22 3sin 5sin cos 2cos 0 sin cos q q q q q q-- = + ，分子分母同除 2 cos q 2 2 3tan 5tan 2 0 tan 1 q q q -- = + ，解得 tan 2 q = 或 1 3- 。
综上所述， 一题多解如能加上教师思维智慧， 将分散在各章不同题型的共同处理方法， 进行整理加工形成多题一解，将会使“一题多解”这一亮点更亮。
参考文献文[1]指《一题多解 是 亮点 还是 败笔》 “ ” “ ” “ ” 吕增锋 《中学数学教学参考》2010 年第10 期上旬。