信号与线性系统分析第四次课

思考题
1 （浙大2002年）下列表达式中正确的是____。

A. d (2t)=d (t)
B. d (2t)=d (t)
C.d (2t)=2d (t)
D. 2d (t)=d (2t)
2 （西安电子科大2006年）积分等于_________
21
21⎰
∞
∞
-+-+-2
)]1()1(')[2dt t t t d d （。

A.0
B.1
C.3
D.5
3（华中科大2006年）计算sint ·d ′(t)=? 4（哈尔滨工程大学2003年）计算下列信号值。

（1）
⎰∞
∞
--=-2
1)2()22)(dt
t t t f d （5（中国传媒大学2005年）已知信号图形如图所示，画出f(2-4t)的图形。

二、系统的数学模型
连续系统解析描述：微分方程
离散系统解析描述：差分方程
1. 连续系统的解析描述
图示RLC 电路，以u S (t )作激励，以u C (t )作为响应，由KVL 和VAR 列方程，并整理得
u S (t )u C (t )
L
R
C
2
2d d d d (0)'(0)C C
C S C
C u u LC RC
u u t t u u +⎧++=⎪⎨
⎪+⎩，二阶常系数线性微分方程
)()(d )(d d )(d 012
2
2t f t y a t t y a t
t y a =++抽去具有的物理含义，微分方程写成
2. 离散系统的解析描述
某地区第k年的人口为y(k), 人口的正常出生率和死亡率分别为a和b，第k年从外地迁入的人口为f(k)，那么第k年的人口总数为：y(k)= y(k-1)+ a y(k-1) )-b y(k-1)+f(k)
差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。

未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数。

由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统。

三．系统的框图描述
用框图表示系统的激励与响应之间的数学运算关系。

一个方框表示一个某种功能的部件或一个子系统。

f 1(t)
∑
f 2(t)
f 1(t) -f2(t)
f (t)∫
⎰∞-t x x f d)(
a
f (t)
或a
a f (t)
()t f()T t f-
T
()t f
1
()t
f2
()()t
f
t
f2
1
延
时
器
加法器积分器
数乘器乘法器
f 1(k )
∑
f 2(k )
f 1(k ) - f 2(k )
a
f (k )
或
a
a f (k )加法器
迟延单元
数乘器
f (k )
D f (k -1)
由微分方程画框图
例1：已知y ”(t)+ay ’(t)+by(t)=f(t)，画框图。

解：将方程写为y ”(t)=f(t)–ay ’(t)–by(t)
∫
∫
y"(t)
y'(t)
y(t)
∑
a
b
f(t)
由框图写微分方程
例2：已知框图，写出系统的微分方程。

y (t )
∑∑
∫
∫
3
4
2
3
f (t )
设辅助变量x (t)如图
x (t)
x’(t)
x”(t)
x”(t)=f(t)–2x’(t)–3x (t),即x”(t)+2x’(t)+3x (t)=f(t)y(t)= 4x’(t)+ 3x (t)
y”(t) + 2y’(t) + 3y (t) = 4f ’(t)+ 3f(t)
由框图写差分方程
例3：已知框图，写出系统的差分方程。

y (k )
∑
∑D D 542
3f (k )
解：设辅助变量x (k)如图x (k)
x (k-1)x (k-2)即x (k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)
y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)
消去x (k) ，得
x (k)=f(k)–2x(k-1)–3x(k-2)
一、系统的特性
•线性性质•时不变性•因果性•稳定性本课程重点：讨论线性时不变系统。

(Linear Time-Invariant)，简称LTI 系统。

系统
T f (·)y (·)
f(t):系统的激励
y(t):系统的响应
y (·)= T[f (·)]§1.6 系统的特性与分析方法
1. 线性
⑴线性性质：齐次性和可加性
可加性：
齐次性：
f (·) →y (·)af (·)→ay (·)
f 1(·)→y 1(·)
f 2(·)→y 2(·)f 1(·)+f 2(·)→y 1(·)+y 2(·)
af 1(·)+bf 2(·)→ay 1(·)+by 2(·)综合，线性性质：
线性系统的条件
⑴
动态系统响应不仅与激励{ f (·) }有关，而且与系统的初始状态{x (0)}有关, 初始状态也称“内部激励”。

可分解性零状态线性
y (·) = T [{x (0)},{f (·)}]
y zi (·)= T [{x (0)}，{0}]
y zs (·)= T [{0},{f (·)}]
零输入线性
⑵动态系统是线性系统，要满足下面3个条件：
y (·)=y zi (·)+y zs (·)
②零状态线性：
T[{0},{af 1(t )+bf 2(t )}]=a T[{0},{f 1(·)}]+b T[{0},{f 2(·)}]③零输入线性：
T[{ax 1(0) +bx 2(0)},{0} ]= a T[{x 1(0)},{0}]+b T[{x 2(0)},{0}]线性连续系统（离散）线性微分（差分）方程
判断线性系统举例
判断下列系统是否为线性系统？
（1）y(t)=3x(0)+2f(t)+x(0)f(t)+1
（2）y(t)=2x(0)+|f(t)|
（3）y(t)=x2(0)+2f(t)
解：（1）y
zs (t)=2f(t)+1，y
zi
(t)=3x(0)+1
显然，y(t) ≠ y
zs (t) ＋y
zi
(t)
不满足可分解性，故为非线性
（2）y(t)=2x(0)+|f(t)|
（3）y(t)=x2(0)+2f(t)解：
（2）y
zs (t)=|f(t)|，y
zi
(t)=2x(0)
y(t)=y
zs (t)+y
zi
(t) 满足可分解性；
由于T[{0},{a f(t)}]=|a f(t)|≠a y
zs (t)
不满足零状态线性。

故为非线性系统。

（3）y
zi (t)=x2(0)，
T[{a x(0)},{0}]=[a x(0)]2≠a y
zi (t)
不满足零输入线性。

故为非线性系统。